Resumo. Potenciação. Radiciação. Notação Científica. Propriedades da potenciação. Expoente inteiro e negativo. Expoente fracionário racional

(1)

Resumo

 Potenciação

 Propriedades da potenciação

 Expoente inteiro e negativo

 Radiciação

 Expoente fracionário racional

 Propriedades da radiciação

 Notação Científica

 Potência de 10

 Notação científica

(2)

Potenciação

a) Base positiva: potência positiva

81 16 3

2 3

2

4 4 4



 



 





81 3

) 3 ).(

3 ).(

3 ( )

3

( ⁴       ⁴ 

       

^³ ³ ^ ^³ ^. ^³ ^. ^ ³ ^ ^ ³ ³ ^ ^²⁷

b) Base negativa:

b.1) expoente par: potência positiva b.2) expoente ímpar: potência negativa

(3)

Potenciação: propriedades

Sendo a e b números reais e m e n números naturais, valem as seguintes propriedades:

1

^𝒂^𝒎 ^{∙ 𝒂}^𝒏 ^{= 𝒂}^𝒎+𝒏

2

^𝒂^𝒎

𝒂^𝒏 = 𝒂^𝒎−𝒏, 𝒂 ≠ 𝟎

3

^(𝒂^𝒎⁾^𝒏 ^{= 𝒂}^𝒎∙𝒏

4

^{𝒂 ∙ 𝒃} ^𝒏^{= 𝒂}^𝒏 ^{∙ 𝒃}^𝒏

5

^𝒂

𝒎

𝒃^𝒎 = 𝒂 𝒃

𝒎

, 𝒂 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎

6

^𝒂_𝒃 ^−𝒏⁼ ^𝒃_𝒂 ^𝒏^, ^{𝒂 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎}

Na propriedade 2, devemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente um número natural (0, 1, 2...).

(4)

5 3

2 3

2

n m n

m

5 5

a

a a











1) Produto de potências de mesma base

Ex:

2) Quociente de potências de mesma base

4 2

- 6 2

6

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2  



 

Ex:

0) (a

a a

a

_m_-_n

n

m

 

(5)

3) Potência de potência

6 2.3

3 2

m.n n

m

3 3

) (3

a )

(a



Ex:

4) Potências de um produto

Ex: (5 4) 5 4 400 b

a b)

(a

2 2

2

m m

m













Propriedades da Potênciação

(6)

Propriedades da Potenciação

5) Potência de um quociente

Ex:

81 16 9

4 9

4 0) (b

b a b

a

2 2 2

m m m



 



 







 



 





(7)

6.Expoente Inteiro Negativo

) R N, a

a (n

a a _n ^*

n

n    



 



 

 1 1

9 1 3

1 3

) 1 3 (

a)

₂

2

  



 



 

Ex: 

3 5 3

5 5

b) 3

1 1



 



 

 

 



 

  ^

7 7

5 3 3

c) 5 



 



 



 



 ^

3 4 9

16 3

4 4

d) 3

2 2



 



 



 



 

 ^

 Todo número com expoente negativo, inverte-se a base, tornando os expoentes positivos.

𝒂 𝒃

−𝒏

=

^𝒃

𝒂 𝒏

,

^{a≠ 0} ^{e b ≠ 0}

Logo,

(8)

Exemplo

 ^   ^  ^

 



 





 ^ ^



1 1 1

2

2 2 2

1

5 1

2 4 1 2

4 1

2 1 2

1 1

2

1 1

2 1





 

 

 



 



 



 



 

 



 



 







(9)

CUIDADO !!

Cuidado com os sinais.

 Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:

 

^² ⁴ ^ ^² ^ ^² ^ ^² ^ ^² ^ ¹⁶

 

³ ²  ³  ³  ⁹

 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:

Ex. 1:

 

^² ³ ^ ^_²_^ _^² ^ ^²





 2

4 8

 Se x  2 , qual será o valor de “ x² ”?

Observe: 

 

² ²  ⁴ , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.

 

² ⁴

x²   ²  

 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo

“-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.

(10)

2 , 10 0

2 10

2 1000

008 8 ,

0 b)

2 )

2 ( 32

a)

3

3 3 3 3

5 5

5













RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.

Exemplos:

(11)

Radiciação: propriedades

Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais não nulos, valem as seguintes propriedades:

1

2

3

4

5

(12)

Expoente Fracionário Racional

Z) m

N R, n

(a a

a

ⁿ ⁿ ^m ^*

m



 e

  ³ ³ ³ ²⁷

9 1 9

9 9

b) 1

2 4

4 )

4 ( a)

3 2 6

2 2 3 2 3

2 2 3

3 2

3

2 1 2

1



 



 



 

 

 









(13)

Exemplos de Aplicações das Propriedades:

4 4

n n

n

6 3

2 3

2 :

ab b

a 1)











 Ex

3 3 3

3 n n

n

2 3 6 2

: 6

0) b (b

a b

2) a







Ex

(14)

15 5

3 5 3

n n m m

3 3

3 :

a a

4)



 Ex



 

³ ² ³ ²

n m

2 2

:

a a

3)



 Ex

Exemplos de Aplicações das Propriedades:

(15)

Notação científica é uma forma de representar números muito grandes ou muito pequenos, baseada no uso de potências de base 10.

Notação Científica

(16)

Potências de base 10

Expoentes positivos

Exemplo:

10

³

= 10 x 10 x 10 = 1000

Expoentes negativos

Exemplo:

10

⁻³

=

¹

10³

=

¹

1000

= 0,001

(17)

10⁰ = 1

10¹ = 10 10^-1 = 0,1 10² = 100 10^-2 = 0,01 10³ = 1000 10^-3 = 0,001 10⁴ = 10000 10^-4 = 0,0001 10⁵ = 100000 10^-5 = 0,00001 10⁶ = 1000000 10^-6 = 0,000001 10⁷ = 10000000 10^-7 = 0,0000001 10⁸ = 100000000 10^-8 = 0,00000001 10⁹ = 1000000000 10^-9 = 0,000000001 10¹⁰ =10000000000 10^-10 =0,0000000001

Potências de base 10

(18)

Existem algumas vantagens em utilizarmos a notação científica:

• os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos de forma reduzida;

• é utilizada por computadores e máquinas de calcular;

• torna os cálculos mais rápidos e fáceis.

Notação Científica

a) 602200000000000000000000 b) 0,00000000000000000000625

Exemplos de números muito grande e muito pequeno

Um método de representar esses números de uma maneira mais simples é usando a notação científica.

= 6,022  10²³

= 6,25  10^-21

(19)

Um número estará em notação científica quando estiver escrito no seguinte formato (dois fatores):

x . 10

^y

• X é um valor tal que 1≤ x < 10 , multiplicado por uma potência de base 10 e

• y é o expoente que pode ser positivo ou negativo

Ex: 3000 = 31000 = 310

³

0,003 = 3(1/1000) = 310

^-3

Nota: Usamos expoentes positivos quando estamos representando números grandes e expoentes negativos quando estamos representando números pequenos.

Notação Científica

(20)

Notação Científica

Exemplos de valores escritos em notação científica

• Velocidade da luz no vácuo: 3 10⁵ Km/s

• Diâmetro de um átomo (H): 1  10^-10 m

• Quantidade de moléculas em 1 mol de uma substância qualquer: 6,022  10²³

• Quantidade de segundos em 1 ano: 3,1536  10⁷

• Quantidade de água nos oceanos da Terra: 1,35 . 10²¹ L

• Duração de uma piscada: 2  10^-1 s

• Massa de um átomo (C): 19,92  10^-27 Kg

(21)

Operações com notação científica

Adição

Para somar números escritos em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Se não o for temos que transformar uma das potências para que o seu expoente seja igual ao da outra.

Exemplo: (5  10⁴) + (7,1  10²) =

(5  10⁴) + (0,071  10² 10²) = (5 + 0,071)  10⁴=

5,071  10⁴

Notação Científica

(22)

Operações com notação científica Subtração

Na subtração também é necessário que o expoente seja o mesmo. O procedimento é igual ao da soma.

Exemplo: (7,7 . 10⁶)  (2,5 . 10³)=

(7,7 . 10⁶)  (0,0025 10³ 10³) = (7,7  0,0025) . 10⁶=

7,6975 . 10⁶

Notação Científica

(23)

Operações com notação científica Multiplicação

Multiplicamos os números sem expoente, mantemos a potência de base 10 e somamos os expoentes de cada uma.

Exemplo: (4,3  10³)  (7  10²) = (4,3  7)  10⁽³⁺²⁾=

30,1  10⁵= 3,01  10¹ 10⁵= 3,0110⁶

Notação Científica

(24)

Operações com notação científica

Divisão

Dividimos os números sem expoente, mantemos a potência de base 10 e subtraímos os expoentes.

Exemplo:

Notação Científica

6 ∙ 10⁵

8,2 ∙ 10² = 6

8,2 ∙ 10⁵ 10² =

0,73 ∙ 10⁵⁻² = 0,73 ∙ 10³ = 7,3 ∙ 10⁻¹ ∙ 10³ =

7,3 ∙ 10

²

Resposta em Notação Científica:

Resumo. Potenciação. Radiciação. Notação Científica. Propriedades da potenciação. Expoente inteiro e negativo. Expoente fracionário racional

Resumo

Potenciação

       

Potenciação: propriedades

1

2

3

4

5

6

5 5

5 5

a

a a











0) (a

a a

a

 

3 3

) (3

a )

(a







Propriedades da Potênciação

Propriedades da Potenciação

81 16 9

4 9

4

0) (b

b a b

a



 



 







 



 





9 1 3

1 3

) 1 3 (

a)

  



 



 

=

,

Exemplo

      

 



 





2 2 2

1

 

 

 

 

 

RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.

Radiciação: propriedades

Expoente Fracionário Racional

Z) m

 ^   ^  ^

  ³ ³ ³ ²⁷