C´ODIGOSCOLORIDOSPOLIGONAIS UNIVERSIDADEESTADUALDEMARING´ACENTRODECIˆENCIASEXATASDEPARTAMENTODEMATEM´ATICAPROGRAMADEP´OS-GRADUAC¸˜AOEMMATEM´ATICA

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

(Mestrado)

CELSO TOSHIO TAKAHASHI

C ´ ODIGOS COLORIDOS POLIGONAIS

Maring´ a-PR

2019

CELSO TOSHIO TAKAHASHI

Disserta¸c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica do Departamento de Matem´ atica, Centro de Ciˆ encias Exatas da Univer- sidade Estadual de Maring´ a, como requisito par- cial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Ma- tem´ atica.

Area de concentra¸c˜ ´ ao: Matem´ atica Aplicada

Orientador: Dr. Eduardo Brandani da Silva

Maring´ a

2019

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)

Takahashi, Celso Toshio

T136c Códigos coloridos poligonais / Celso Toshio Takahashi. -- Maringá, 2019.

63 f. : il. color.

Orientador: Profº. Drº. Eduardo Brandani da

Silva.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de

Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós- Graduação em Matemática - Área de Concentração:

Matemática Aplicada, 2019.

1. Códigos quânticos corretores de erros. 2.

Códigos coloridos em superfícies compactas. 3.

Mecânica quântica. 4. Códigos coloridos com bordos.

I. Silva, Eduardo Brandani da, orient. II.

Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Matemática Aplicada. III.

Título.

CDD 22.ed. 003.54 Edilson Damasio CRB9-1.123

esfor¸cos para atingir o inating´ıvel, desenvolver ao m´ aximo os dons que Deus nos concedeu, e

nunca parar de aprender”. (Ludwig van Beethoven)

A minha fam´ılia `

Agrade¸co ` a minha fam´ılia, que mesmo de longe sempre me apoiaram e estavam disposto a me auxiliar a qualquer momento necess´ ario. Sem seu apoio n˜ ao haveria chegado aonde cheguei.

Agrade¸co aos amigos Anderson e Edilaine que se tornaram fam´ılia, compartilhando mo- mentos bons e ruins, definitivamente tornaram minha estadia em Maring´ a extremamente mais agrad´ avel. Agrade¸co tamb´ em ao Roger, sua ajuda foi essencial durante os estudos e ao Evandro que compartilhou da jornada que foi desenvolver esta disserta¸c˜ ao.

Claro que n˜ ao posso deixar de agradecer ao meu orientador Eduardo, que n˜ ao se mostrou ser somente um bom professor, mas tamb´ em um ´ otimo amigo, sempre desenvolvendo um bom relacionamento com seus orientandos e se preocupando conosco. Sua paix˜ ao, dedica¸c˜ ao e carinho s˜ ao admir´ aveis.

Por fim, agrade¸co a CAPES e ao IMPA pelo apoio financeiro, essencial para a conclus˜ ao

desta caminhada.

Resumo

Neste trabalho estudamos a constru¸c˜ ao dos chamados c´ odigos coloridos poligonais. A ideia por tr´ as desses c´ odigos ´ e expandir os c´ odigos triangulares introduzidos por Bomb´ın e Martin- Delgado, em 2007. Os c´ odigos coloridos triangulares s˜ ao constru´ıdos sobre uma superf´ıcie euclidiana de dimens˜ ao 2 com trˆ es bordos de cores distintas (vermelho, verde e azul) e tˆ em a propriedade de implementar todo o grupo de Clifford, por´ em ele codifica apenas um

´

unico qubit. No caso dos c´ odigos coloridos poligonais, utilizamos superf´ıcies euclidianas de

dimens˜ ao 2 com n bordos, n ≥ 3, fazendo o n´ umero de qubits codificados aumentar sem

perder a propriedade de implementar todo o grupo de Clifford.

In this work we studied the construction of the called polygonal color code. The idea behind

those codes are to expand the triangular codes introduced by Bomb´ın and Martin-Delgado,

in 2007. The triangular color codes are build over an euclidian surface of dimension 2 with

three borders of distincts colors (red, green and blue) and has the property of implementing

all the Clifford group but it only encodes a single qubit. In the case of the polygonal color

codes we use euclidian surfaces of dimension 2 with n borders, n ≥ 3, making the number

of encoded qubits to increase without losing the property of implementing all the Clifford

group.

Sum´ ario

Introdu¸ c˜ ao xiii

1 Preliminares da Mecˆ anica Quˆ antica 1

1.1 Algebra Linear ´ . . . . 1

1.1.1 Nota¸c˜ ao . . . . 1

1.1.2 Produto Interno . . . . 2

1.1.3 Operadores Adjuntos e Hermitianos . . . . 5

1.1.4 Matrizes de Pauli . . . . 8

1.1.5 Produto Tensorial . . . . 9

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica . . . . 11

1.2.1 Postulados . . . . 12

1.2.2 Fase . . . . 16

2 C´ odigos Corretores de Erros Quˆ anticos 18 2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 18

2.1.1 O C´ odigo Bit Flip de Trˆ es Qubits . . . . 19

2.1.2 O C´ odigo Phase Flip de Trˆ es Qubits . . . . 22

2.2 O C´ odigo de Shor . . . . 24

2.3 Construindo C´ odigos Quˆ anticos . . . . 26

2.3.1 C´ odigos Lineares Cl´ assicos . . . . 26

2.3.2 C´ odigos de Calderbank-Shor-Steane . . . . 29

2.4 C´ odigos estabilizadores . . . . 30

2.4.1 O Formalismo Estabilizador . . . . 30

3 C´ odigos Quˆ anticos Topol´ ogicos 35 3.1 C´ odigos Locais . . . . 36

3.2 Homologia . . . . 37

3.3 C´ odigos de Superf´ıcie . . . . 40

3.3.1 Grupo Estabilizador . . . . 41

3.3.2 Tessela¸c˜ ao Dual . . . . 43

3.4 C´ odigos Coloridos . . . . 44

3.4.1 Tessela¸c˜ ao e Grupo Estabilizador . . . . 44

3.4.2 Tessela¸c˜ oes Reduzidas . . . . 46

3.4.3 Operadores String e String-Nets . . . . 47

3.4.4 C´ odigos Coloridos Triangulares . . . . 48

4 M´ ultiplos Bordos 51 4.1 Nova fam´ılia de c´ odigos coloridos . . . . 58

Considera¸ c˜ oes Finais 60

Referˆ encias 60

Introduc ¸˜ ao

Os c´ odigos corretores de erros cl´ assicos foram introduzidos por Claude Shannon em 1948 [19]

e inspiraram a cria¸c˜ ao dos c´ odigos quˆ anticos corretores de erros an´ alogos. O primeiro c´ odigo exibido foi feito por Shor em 1995 [20]. Esse c´ odigo era, na verdade uma concatena¸c˜ ao de dois c´ odigos de 3 qubits, um que protegia contra erros do tipo bit-flip e outro que protegia contra erros do tipo phase-flip, este ´ ultimo sem an´ alogo cl´ assico.

Em 1996 houve um grande avan¸co na codifica¸c˜ ao quˆ antica pela cria¸c˜ ao de uma classe de c´ odigos, hoje conhecida como c´ odigos CSS, por Robert Calderbank, Peter Shor e Andrew Steane, como pode ser visto em [23], [9], que acabou gerando uma rica estrutura de c´ odigos, que s˜ ao os c´ odigos quˆ anticos estabilizadores [12].

Uma maneira alternativa de se fazer corre¸c˜ ao quˆ antica de erros foi proposta por Kitaev [13], os c´ odigos quˆ anticos topol´ ogicos. Uma das grandes vantagens do c´ odigo proposto por Kitaev ´ e que seus operadores de verifica¸c˜ ao de paridade s˜ ao geometricamente locais, ou seja, agem sempre em uma quantidade pequena de qubits em sua vizinhan¸ca. Devido a isso, as palavras quˆ anticas s˜ ao intrinsecamente resistentes aos ru´ıdos locais, que n˜ ao afetam as propriedades topol´ ogicas do sistema [6].

O c´ odigo t´ orico de Kitaev foi generalizado e melhorado em alguns sentidos, como se pode ver nos trabalhos de Bomb´ın e Martin-Delgado [5], nos de Albuquerque, Pallazo e Silva [5], [2], [3], nos de Delfosse, [10], Terhal, [8] dentre tantos outros.

Todos esses c´ odigos supracitados implementam transversalmente as portas quˆ anticas CNOT, X e Z. No sentido de aumentar as portas quˆ anticas implement´ aveis e assim aumen- tar a quantidade de tarefas executadas foi proposto em [4] uma classe diferente de c´ odigos:

os c´ odigos coloridos. Sob as circusntˆ ancias certas, os c´ odigos coloridos podem implementar

transversalmente todo o grupo de Clifford. Para gerar todo o grupo de Clifford precisamos de apenas trˆ es operadores, que s˜ ao H (Hadamard gate), K (phase shift gate, ou π/4 gate) e Λ(X) (controlled-not gate ou CNOT gate):

H = 1

√ 2





1 1

1 −1





, K =





1 0 0 i





, Λ(X) =





I

0

0 X





A introdu¸c˜ ao dos c´ odigos coloridos triangulares foi feita em 2007 e desde ent˜ ao n˜ ao houve avan¸cos no sentido de aumentar o n´ umero de bordos da superf´ıcie. Em [21], foi feito uma expans˜ ao dos c´ odigos coloridos triangulares de Bombin e Martin-Delgado para os c´ odigos co- loridos poligonais P (1, n, m). Foi-se realizado um aumento no n´ umero de bordos da superf´ıcie e avaliado o comportamento das strings, sejam elas strings diretas de uma ´ unica cor, ou as chamadas t-strings, que s˜ ao as strings que s˜ ao deformadas de modo equivalente combinando duas cores para formar uma terceira.

Ao fazer essa an´ alise foi poss´ıvel mostrar que, mesmo aumentando o n´ umero de qubits

codificados tanto quanto se queira, os elementos geradores do grupo de homologia continuam

sendo apenas as t-strings, o que possibilita a implementa¸c˜ ao do grupo de Clifford tal qual

ocorria no c´ odigo colorido triangular.

Cap´ıtulo 1

Preliminares da Mecˆ anica Quˆ antica

A mecˆ anica quˆ antica ´ e a mais precisa e completa descri¸c˜ ao do nosso mundo. ´ E tamb´ em a base para entendermos a computa¸c˜ ao quˆ antica e a informa¸c˜ ao quˆ antica. Neste cap´ıtulo buscamos fornecer toda a base de mecˆ anica quˆ antica necess´ aria para que possamos entender a computa¸c˜ ao quˆ antica e a informa¸c˜ ao quˆ antica. Come¸caremos apresentando os conceitos b´ asicos da ´ algebra linear necess´ arios para os estudos da mecˆ anica quˆ antica, al´ em de intro- duzirmos a nota¸c˜ ao usada por f´ısicos para descrever a mecˆ anica quˆ antica, diferente da que estamos acostumados a usar na algebra linear. Em seguida, apresentamos os postulados b´ asicos usados pela mecˆ anica quˆ antica. Nossas principais referˆ encias neste cap´ıtulo s˜ ao [15]

e [16].

1.1 Algebra Linear ´

A ´ algebra linear consiste do estudo de espa¸cos vetoriais e de opera¸c˜ oes lineares que agem sobre tais espa¸cos. Uma boa base sobre ´ algebra linear ´ e fundamental para se ter um entendimento s´ olido sobre a mecˆ anica quˆ antica.

1.1.1 Nota¸ c˜ ao

Destacamos que, quando estudamos mecˆ anica quˆ antica, utilizamos algumas nota¸c˜ oes um

pouco diferentes das quais estamos habituados na ´ algebra linear. Podemos citar como exem-

plo disso a nota¸c˜ ao padr˜ ao de um vetor na mecˆ anica quˆ antica, que ´ e dada da forma

|ψi,

onde ψ ´ e o r´ otulo para o vetor e a nota¸c˜ ao|.i ´ e usada para indicar que o objeto ´ e um vetor.

Ao conjunto |ψ i chamamos de ket. Destacamos que ao vetor nulo representamos da forma 0.

Na Tabela 1.1.1 segue uma tabela com alguma das nota¸c˜ oes mais utilizadas na mecˆ anica quˆ antica.

Nota¸ c˜ ao Descri¸ c˜ ao

|ψ i Um vetor. Tamb´ em chamado de ket

hψ | Vetor dual a |ψi. Tamb´ em chamado de bra.

hϕ|ψi Produto interno entre os vetores |ϕi e |ψi.

|ϕi ⊗ |ψi, |ϕi|ψi, ou |ϕψi Produto tensorial entre os vetores|ϕi e |ψ i.

A

Adjunta da matriz A.

hϕ|A|ψi Produto interno entre os vetores|ϕi e A|ψi.

Tabela 1.1: Resumo das nota¸c˜ oes da teoria quˆ antica, conhecida como nota¸c˜ ao de Dirac

1.1.2 Produto Interno

Defini¸ c˜ ao 1.1. Sejam V um espa¸ co vetorial e

o seu corpo de escalares. Chamamos de

a fun¸ c˜ ao

(., .) : V × V →

|vi × |wi 7→ (|vi, |wi)

(1.1) que satisfaz as seguintes condi¸ c˜ oes:

1. (., .) ´ e linear no segundo argumento, ou seja,

(|vi,

i

λ

|w

i) =

i

λ

(|vi, |w

i) (1.2)

1.1 ´ Algebra Linear 3

2. (|vi, |wi) = (|wi, |vi)

3. (|vi, |vi) ≥ 0, onde (|v i, |v i) = 0 ⇔ |vi = 0

Observa¸ c˜ ao 1.2. Esta n˜ ao ´ e a nota¸ c˜ ao usual de produto interno que usaremos, esta ´ e apenas uma forma mais conveniente de apresentar tal fun¸ c˜ ao. A nota¸ c˜ ao usual utilizada ´ e:

hv|wi,

onde |vi e |wi s˜ ao vetores em V e hv | ´ e a nota¸ c˜ ao para o vetor dual de |vi.

Note que o fato de o produto interno ser linear no segundo argumento, temos que ele ser´ a conjugado-linear no primeiro argumento, ou seja,

(

i

λ

|v

i, |wi) =

i

λ

(|v

i, |wi). (1.3)

Observa¸ c˜ ao 1.3. Como os estudos s˜ ao focados na computa¸ c˜ ao quˆ antica e informa¸ c˜ ao quˆ antica, trabalhamos com espa¸ cos vetoriais de dimens˜ ao finita e, como todo espa¸ co vetorial complexo de dimens˜ ao finita com produto interno ´ e um espa¸ co de Hilbert, a partir deste momento iremos referir ao nosso espa¸ co vetorial como espa¸ co de Hilbert.

Dizemos que dois vetores |vi e |wi s˜ ao ortogonais se seu produto interno ´ e igual a zero, ou seja,

hv|wi = 0.

Definimos a norma de |vi por

k|vik =

hv |vi.

Dizemos que um vetor |vi ´ e unit´ ario ou normal se ele possui norma 1, ou seja,

k|vik =

hv|v i = 1.

Dizemos que um conjunto |ii de vetores de ´ındice i ´ e ortonormal se cada um de seus ve- tores for unit´ ario e seus vetores forem dois-a-dois ortogonais. Agora, suponha que |w

i,...,|w

i

´ e uma base para o espa¸co vetorial V com um produto interno. Defina

|v

i ≡ |w

i

||w

i|

e, para cada 1 ≤ k ≤ d − 1, definimos |v

i por

|v

i ≡ |w

i −

i=1

hv

|w

i|v

i

||w

i −

i=1

hv

|w

i|v

ik .

Ent˜ ao, o conjunto |v

i,...,|v

i ser´ a uma base ortonormal de V . Este processo ´ e chamado Processo de Gram-Schmidt. Logo, o processo de Gram-Schmidt nos permite encontrar uma base ortonormal para o nosso espa¸co vetorial.

Agora, daremos uma representa¸c˜ ao matricial para o produto interno. Sejam V um espa¸co de Hilbert e |vi =

i

v

|ii e |wi =

j

w

|ji as representa¸c˜ oes dos vetores |wi e |wi na base ortonormal |ii. Ent˜ ao

hv|wi =

X

i

v

|ii,

j

w

|j i

=

ij

v

w

δ

=

i

v

w

= [v

, ..., v

]











w

.. . w











. (1.4)

Esta representa¸c˜ ao ´ e muito interessante, pois com ela podemos ver que o vetor dual hv|

possui uma boa representa¸c˜ ao matricial como a matriz transposta conjugada da representa¸c˜ ao matricial de |vi.

Atrav´ es do produto interno podemos encontrar uma representa¸c˜ ao de operadores lineares muito ´ util, esta representa¸c˜ ao ´ e chamada de produto externo.

Defini¸ c˜ ao 1.4. Sejam V e W espa¸ cos vetoriais com produto interno e sejam |v i ∈ V e

|wi ∈ W . Definimos o operador linear |wihv| : V −→ W da forma

(|wihv|)(|v

i) ≡ |wihv|v

i = hv|v

i|wi. (1.5)

A este operador chamamos de

1.1 ´ Algebra Linear 5

A express˜ ao dada em (1.5) pode ter dois tipos de interpreta¸c˜ ao: podemos denot´ a-la como o operador |wihv| agindo no vetor |v

i ou como o vetor |wi multiplicado pelo n´ umero complexo hv|v

i.

A utilidade do produto externo pode ser percebida, de certa forma, por meio de um resultado chamado rela¸ c˜ ao de completude. Seja |ii uma base ortonormal para o espa¸co vetorial V . Ent˜ ao

X

i

|iihi| = I. (1.6)

De fato, dado |vi ∈ V , temos que |vi =

i

v

|ii, onde v

∈

, ∀i. Al´ em disso, notemos que

hi|v i = hi|

j

v

|ji =

j

v

hi|ji = v

. (1.7)

Logo,

X

i

|iihi|

|v i =

i

|iihi|vi

=

i

v

|ii = |vi. (1.8)

Como |vi ´ e abitr´ ario, temos que a (1.6) ´ e verdadeira.

1.1.3 Operadores Adjuntos e Hermitianos

Defini¸ c˜ ao 1.5. Seja A um operador linear em um espa¸ co de Hilbert V . Ent˜ ao existe um

´

unico operador linear A

em V tal que

(|vi, A|wi) = (A

|vi, |wi), (1.9)

para todo |vi,|wi ∈ V . Este operador linear ´ e conhecido como

do operador A.

Por conven¸c˜ ao, se |vi ´ e um vetor, definimos

|vi

≡ hv|. (1.10)

Notemos que pela defini¸c˜ ao acima, temos que

(AB)

= B

A

(1.11)

e, como caso particular para o resultado acima, temos

(A|vi)

= hv |A

. (1.12)

Existem outros resultados que usaremos com certa frequˆ encia neste trabalho que listamos em sequˆ encia. Seja V um espa¸co de Hilbert.

1. Sejam |vi e |wi ∈ V dois vetores arbitr´ arios, ent˜ ao

(|wihv|)

= |vihw|; (1.13)

2. (Anti-linearidade do adjunto). Sejam A

operadores lineares em V e a

∈

, ∀i.

Ent˜ ao

X

i

a

A

=

i

a

A

; (1.14)

3. Seja A um operador linear em V . Ent˜ ao

(A

)

= A. (1.15)

Observa¸ c˜ ao 1.6. Quando trabalhamos com a representa¸ c˜ ao matricial do operador A, seu adjunto ser´ a a matriz conjugada-transposta de A, ou seja,

A

≡ (A

)

. (1.16)

Defini¸ c˜ ao 1.7. Um operador A cujo adjunto ´ e o pr´ oprio operador A ´ e chamado de

ou

Uma importante classe de operadores Hermitianos s˜ ao os projetores. Sejam V um espa¸co

vetorial de dimens˜ ao d e W um subespa¸co vetorial de V de dimens˜ ao k. Usando o processo de

1.1 ´ Algebra Linear 7

Gram-Schmidt ´ e poss´ıvel construir uma base ortonormal |1i,...,|di para V tal que |1i,...,|ki

´ e uma base ortonormal para W . Definimos, P ≡

k

X

i=1

|iihi| (1.17)

como sendo o projetor sobre o subespa¸co W .

Notemos que, pelas equa¸c˜ oes 1.13 e 1.14, temos que P

=

k

X

i=1

|iihi|

†

=

k

X

i=1

(|iihi|)

=

k

X

i=1

|iihi| = P. (1.18)

Portanto, P ´ e Hermitiano.

Defini¸ c˜ ao 1.8. Um operador A ´ e dito ser

se

AA

= A

A. (1.19)

Claramente um operador Hermitiano ´ e um operador normal.

Defini¸ c˜ ao 1.9. Um operador U ´ e dito ser

se

U

U = I = U U

. (1.20)

Uma importante caracter´ıstica dos operadores unit´ arios prov´ em do fato que eles preservam o produto interno entre dois vetores.

De fato, sejam |vi e |wi dois vetores quaiquer. Ent˜ ao,

(U |vi, U |wi) = hv |U

U|wi = hv|I|wi = hv|wi. (1.21) Logo, U preserva o produto interno entre vetores.

Existe uma subclasse dos operadores Hermitianos conhecida por operadores positivos.

Defini¸ c˜ ao 1.10. Um operador A ´ e dito ser

se para todo |v i temos que (|vi, A|vi)

´ e um n´ umero real n˜ ao negativo.

Defini¸ c˜ ao 1.11. Seja A uma matriz quadrada. Definimos o

de A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja,

tr(A) ≡

i

A

. (1.22)

O tra¸co satisfaz duas propriedades muito ´ uteis. Sejam A,B operadores lineares e z um n´ umero complexo, ent˜ ao as seguintes propriedades s˜ ao v´ alidas.

1. Ciclicidade

tr(AB) = tr(BA). (1.23)

2. Linearidade

tr(zA + B) = ztr(A) + tr(B). (1.24) Como consequˆ encia da ciclicidade do tra¸co, temos que o tra¸co de uma matriz ´ e invariante sob uma opera¸c˜ ao transversal unit´ aria, ou seja, seja A uma matriz e U uma matriz unit´ aria, ent˜ ao

tr(U AU

) = tr(U U

A) = tr(A). (1.25) Defini¸ c˜ ao 1.12. Sejam A e B dois operadores lineares. Ent˜ ao definimos o

entre A e B da forma

[A, B] ≡ AB − BA. (1.26)

Se [A, B] = 0, ou seja, AB = BA, dizemos que A comuta com B.

Defini¸ c˜ ao 1.13. Sejam A e B dois operadores lineares. Ent˜ ao definimos o

entre A e B da forma

{A, B} ≡ AB + BA. (1.27)

Se {A, B } = 0, ou seja, AB = −BA, dizemos que A anti-comuta com B

1.1.4 Matrizes de Pauli

Existem quatro matrizes que utilizamos com grande frequˆ encia nos estudos da mecˆ anica quˆ antica. A seguir expomos tais matrizes e suas respectivas nota¸c˜ oes.

σ

≡ I ≡





1 0 0 1





, σ

≡ σ

≡ X ≡





0 1 1 0





,

σ

≡ σ

≡ Y ≡





0 −i i 0





, σ

≡ σ

≡ Z ≡





1 0 0 −1





.

1.1 ´ Algebra Linear 9

Uma caracter´ıstica muito interessante das matrizes de Pauli ´ e a de que elas s˜ ao Hermiti- anas e unit´ arias.

1.1.5 Produto Tensorial

O produto tensorial ´ e uma forma de juntar espa¸cos vetoriais para criar um novo espa¸co vetorial maior e seu entendimento ´ e essencial para os estudos relacionados aos sistemas de multipart´ıculas. Suponha que V e W s˜ ao espa¸cos de vetoriais com produto interno de di- mens˜ ao m e n, respectivamente, ou sejam, s˜ ao espa¸cos de Hilbert. Ent˜ ao V ⊗ W (lˆ e-se “V tensor W ”) ´ e um espa¸co de Hilbert de dimens˜ ao mn.

Os elementos de V ⊗W s˜ ao combina¸c˜ oes lineares de produtos tensoriais da forma |vi⊗|wi, onde |vi ∈ V e |wi ∈ W . Em particular, se |ii e |ji s˜ ao bases ortonormais de V e W , respectivamente, ent˜ ao |ii ⊗ |ji ´ e uma base ortonormal para V ⊗ W . Al´ em da nota¸c˜ ao de um elemento do produto tensorial j´ a mostrada, existem outras trˆ es formas de represent´ a-los:

|vi|wi, |v, wi ou |vwi, (1.28)

da qual usaremos aquela que for mais adequada para a situa¸c˜ ao.

Por defini¸c˜ ao, o produto tensorial satisfaz as seguintes propriedades b´ asicas:

1. Sejam |vi ∈ V , |wi ∈ W e z um escalar. Ent˜ ao,

z(|vi ⊗ |wi) = (z|vi) ⊗ |wi = |vi ⊗ (z|wi). (1.29) 2. Dados |v

i, |v

i ∈ V e |wi ∈ W , ent˜ ao

(|v

i + |v

i) ⊗ |wi = |v

i ⊗ |wi + |v

i ⊗ |wi. (1.30) 3. Dados |vi ∈ V e |w

i, |w

i ∈ W , ent˜ ao

|vi ⊗ (|w

i + |w

i) = |vi ⊗ |w

i + |vi ⊗ |w

i. (1.31)

Vejamos, agora, como representamos os operadores lineares que agem sobre V ⊗ W .

Sejam |v i ∈ V e |wi ∈ W e A e B operadores lineares sobre V e W , respectivamente. Ent˜ ao

definimos um operador linear A ⊗ B sobre V ⊗ W da forma:

(A ⊗ B)(|vi ⊗ |wi) ≡ A|vi ⊗ B|wi. (1.32) A fim de assegurar a linearidade destes operadores, esta defini¸c˜ ao ´ e estendida para todos os elementos de V ⊗ W de forma natural, ou seja,

(A ⊗ B)

X

i

a

|v

i ⊗ |w

i

≡

i

a

A|v

i ⊗ B|w

i. (1.33) Esta ideia do produto tensorial de dois operadores pode ser estendida para o caso onde A : V → V

e B : W → W

possuem dom´ınio e contra-dom´ınio distintos. Dessa forma, um operador linear C : V ⊗ W → V

⊗ W

´ e dado pela combina¸c˜ ao linear dos produtos tensoriais dos operadores lineares de V em V

e de W em W

, ou seja,

C =

i

c

A

⊗ B

, (1.34)

onde, por defini¸c˜ ao

X

i

c

A

⊗ B

|vi ⊗ |wi ≡

i

c

A

|vi ⊗ B

|wi. (1.35) A partir do produto interno nos espa¸cos V e W podemos definir o produto interno em V ⊗ W da forma

X

i

a

|v

i ⊗ |w

i,

j

b

|v

i ⊗ |w

i

≡

ij

a

b

hv

|v

ihw

|w

i. (1.36) Dessa forma, o espa¸co V ⊗W herda as propriedades de adjunto, unicidade e Hermiticidade.

Agora, mostraremos como ´ e dada a representa¸c˜ ao matricial de um operador linear da

forma A ⊗ B, a esta representa¸c˜ ao chamamos de produto de Kronecker. Sejam A uma

matriz m × n e B uma matriz p × q. Ent˜ ao a matriz A ⊗ B ser´ a dada da forma

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica 11

A ⊗ B ≡

















A

B A

B · · · A

B A

B A

B · · · A

B

.. . .. . . .. .. . A

B A

B · · · A

B

















. (1.37)

Nesta representa¸c˜ ao os termos da forma A

B denotam submatrizes p × q, logo, A ⊗ B ´ e uma matriz mp × nq.

Por fim, denotamos |ψi

como sendo o produto tensorial de |ψi consigo mesmo k vezes.

A seguir listamos algumas propriedades muito ´ uteis satisfeitas pelo produto tensorial:

1. O conjugado, a transposta e o adjunto se distribuem com rela¸c˜ ao ao tensorial, ou seja, (A ⊗ B)

= A

⊗ B

; (A ⊗ B )

= A

⊗ B

; (A ⊗ B)

= A

⊗ B

; (1.38) 2. O produto tensorial de dois operadores unit´ arios ´ e tamb´ em unit´ ario, isto ´ e, sejam A e

B dois operadores lineares unit´ arios ent˜ ao

(A ⊗ B)(A ⊗ B)

= I; (1.39)

3. O produto tensorial de dois operadores hermitianos ´ e tamb´ em hermitiano, isto ´ e, sejam A e B dois operadores lineares hermitianos ent˜ ao

(A ⊗ B) = (A ⊗ B )

; (1.40)

4. O produto tensorial de dois operadores positivos ´ e tamb´ em positivo;

5. O produto tensorial de dois projetores ´ e tamb´ em um projetor.

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica

Nesta se¸c˜ ao apresentamos os postulados b´ asicos da mecˆ anica quˆ antica. Estes postulados

foram desenvolvidos ap´ os v´ arios processos de tentativa e erro e tem por finalidade realizar

uma conex˜ ao entre o formalismo matem´ atico da mecˆ anica quˆ antica e o mundo real.

1.2.1 Postulados

Postulado 1: A qualquer sistema f´ısico isolado est´ a associado um espa¸co vetorial complexo com produto interno(isto ´ e, um espa¸co de Hilbert) conhecido como espa¸ co de estado do sistema. O sistema ´ e completamente descrito por seu vetor de estado, que ´ e um vetor unit´ ario no espa¸co de estado do sistema.

Observa¸ c˜ ao 1.14. Dado um sistema f´ısico, a mecˆ anica quˆ antica n˜ ao nos diz qual ´ e o espa¸ co de estado do sistema, nem os seus vetores de estado.

O mais simples dos sistemas quˆ anticos, e tamb´ em o de maior interesse nosso, ´ e o qubit.

De forma semelhante ao bit, que pode estar nos estados 0 ou 1, o qubit tamb´ em pode estar nos estados |0i ou |1i, por´ em, no caso do qubit, estes n˜ ao s˜ ao os ´ unicos estados poss´ıveis.

Qualquer combina¸c˜ ao linear destes dois estados

|ψi = a|0i + b|1i, (1.41)

onde α e β s˜ ao n´ umeros complexos tal que |α|

+ |β|

= 1, tamb´ em s˜ ao estados poss´ıveis para o qubit. Dessa forma, se torna imposs´ıvel dizer, com certeza, que um qubit est´ a no estado

|0i ou no estado |1i. Aos outros estados chamamos de superposi¸ c˜ oes.

Observa¸ c˜ ao 1.15. Para o caso de sistemas como o qubit, identificamos o estado |0i como o vetor (1, 0) e o estado |1i como o vetor (0, 1).

Postulado 2: A evolu¸c˜ ao de um sistema quˆ antico fechado ´ e descrita por uma trans- forma¸ c˜ ao unit´ aria. Isto ´ e, o estado |ψi do sistema no instante t

est´ a relacionado ao estado |φ

i do sistema no instante t

por um operador unit´ ario U que depende apenas dos instantes t

e t

,

|ψ

i = U |ψi. (1.42)

Este postulado nos diz como ocorrem as mudan¸cas de um estado ao longo do tempo. Da

mesma forma que a mecˆ anica quˆ antica n˜ ao nos diz qual o espa¸co de estado do sistema, ela

n˜ ao nos diz quais operadores unit´ arios descrevem uma dinˆ amica quˆ antica v´ alida para o nosso

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica 13

mundo. Mas destacamos que para o caso de um ´ unico qubit, qualquer operador unit´ ario satisfaz tal condi¸c˜ ao.

Existem alguns operadores unit´ arios que agem em um ´ unico qubit que s˜ ao de grande importˆ ancia para os estudos da computa¸c˜ ao quˆ antica, alguns deles j´ a foram citados neste cap´ıtulo, as matrizes de Pauli. As matrizes X e Z s˜ ao, por vezes, chamadas como matrizes bit flip e phase flip, respectivamente, dado o fato que a matriz X leva o |0i no |1i e o |1i no |0i e a matriz Z mant´ em o |0i invariante e leva o |1i no −|1i, onde chamamos o fator −1 que surge de fator de fase.

Outro operador unit´ ario muito interessante ´ e a porta de Hadamard(H), cujas a¸c˜ oes s˜ ao definidas da forma

H|0i ≡ |0i + |1i

√ 2 , H|1i ≡ |0i − |1i

√ 2 (1.43)

cuja representa¸c˜ ao matricial ´ e dada da forma

H = 1

√ 2





1 1

1 −1





. (1.44)

Observa¸ c˜ ao 1.16. Notemos que no Postulado 2 devemos ter um sistema quˆ antico fechado, ou seja, um sistema que n˜ ao interage com nenhum outro tipo de sistema, o que na realidade

´ e algo inexistente, salvo a exce¸ c˜ ao de todo o universo. Por´ em, existem sistemas que chegam muito pr´ oximos desta condi¸ c˜ ao e sua evolu¸ c˜ ao pode ser descrita por meio de um operador unit´ ario.

Temos ent˜ ao, a evolu¸c˜ ao de um sistema quˆ antico fechado que funciona bem, mas de nada adianta termos este sistema se n˜ ao sabemos o que acontece em seu interior. Sendo assim, ´ e necess´ ario que o cientista, junto com seus equipamentos observem o interior deste sistema fechado, ou seja, teremos elementos exteriores interagindo com o sistema que, por consequˆ encia, deixa de ser um sistema fehado. Para explicar esta intera¸c˜ ao de observa¸c˜ ao, introduzimos o Postulado 3

Postulado 3: Medi¸c˜ oes quˆ anticas s˜ ao descritas por uma cole¸c˜ ao M

de operadores de

medi¸ c˜ ao. Estes s˜ ao operadores agindo no espa¸co de estado do sistema que est´ a sendo medido.

O ´ındice m se refere aos resultados das medi¸c˜ oes que podem ocorrer no experimento. Se o estado do sistema quˆ antico ´ e |ψi imediatamente antes da medi¸c˜ ao ent˜ ao a probabilidade que o resultado m ocorre ´ e dada por

p(m) = hψ|M

M

|ψ i, (1.45) e o estado do sistema ap´ os a medi¸c˜ ao ser´ a

M

|ψi

hψ|M

M

|ψi

. (1.46)

Os operadores de medi¸c˜ ao satisfazem a equa¸ c˜ ao de completude,

X

m

M

M

= I. (1.47)

A equa¸c˜ ao de completude expressa o fato que as probabilidades somam um:

1 =

m

p(m) =

m

hψ|M

M

|ψi. (1.48)

Existe um importante caso especial deste Postulado 3, esta classe especial de medi¸c˜ ao ´ e conhecida como medi¸ c˜ oes projetivas. Para muitas aplica¸c˜ oes de computa¸c˜ ao quˆ antica e informa¸c˜ ao quˆ antica n´ os estaremos interessados principalmente com medi¸c˜ oes projetivas. De fato, essas medi¸c˜ oes realmente ser˜ ao equivalentes ao postulado geral de medi¸c˜ oes.

Medi¸ c˜ oes Projetivas: Uma medi¸c˜ ao projetiva ´ e descrita por um observ´ avel, M , que

´ e um operador Hermitiano sobre o espa¸co de estado do sistema que est´ a sendo observado. O observ´ avel tem decomposi¸c˜ ao espectral

M =

m

mP

,

onde P

´ e o projetor sobre o auto-espa¸co de M com autovalor m. As poss´ıveis sa´ıdas da medi¸c˜ ao correspondem aos autovalores, m, do observ´ avel. Se a medi¸c˜ ao for realizada em um sistema descrito pelo estado |ψi, a probabilidade de obter o resultado m ´ e dada por

p(m) = hψ|P

|ψi.

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica 15

Dado que uma sa´ıda m ocorreu, o estado do sistema quˆ antico imediatamente ap´ os a medi¸c˜ ao ´ e

P

|ψ i

p(m) .

Medi¸c˜ oes projetivas podem ser entendidas como um caso especial do Postulado 3. Supo- nha que os operadores de medi¸c˜ ao do Postulado 3, al´ em de satisfazerem a rela¸c˜ ao

m

M

M

= I, tamb´ em satisfa¸cam as condi¸c˜ oes que M

s˜ ao projetores ortogonais, isto ´ e, M

s˜ ao Her- mitianos e M

M

= δ

M

. Com estas restri¸c˜ oes adicionais, o Postulado 3 se reduz ` as medi¸c˜ oes projetivas.

Medi¸c˜ oes projetivas possuem muitas propriedades boas. Em particular, ´ e muito f´ acil calcular m´ edias para medi¸c˜ oes projetivas. Por defini¸c˜ ao, o valor esperado de uma medi¸c˜ ao projetiva ´ e:

E(M ) =

m

mp(m) =

m

mhψ|P

|ψi = hψ |(

m

mP

)|ψi = hψ|M |ψi.

Esta ´ e uma f´ ormula ´ util, que simplifica muitos c´ alculos. A m´ edia do observ´ avel M ´ e frequentemente escrita da forma hM i ≡ hψ |M|ψi.

Dessa f´ ormula para m´ edia, segue a f´ ormula para desvio padr˜ ao associado ` as observa¸c˜ oes de M

[∆(M)]

= h(M − hM i)

i = hM

i − hMi

.

O desvio padr˜ ao ´ e uma medi¸c˜ ao t´ıpica de dispers˜ ao dos valores observados ap´ os a medi¸c˜ ao M. Em particular, se fizermos um grande n´ umero de experimentos em que o estado |ψi est´ a preparado e o observ´ avel M ´ e a medi¸c˜ ao, ent˜ ao o desvio padr˜ ao ∆(M) dos valores observados

´ e determinado pela f´ ormula

∆(M ) =

hM

i − hM i

.

Esta formula¸c˜ ao de medi¸c˜ ao e desvio padr˜ ao em termos de observ´ aveis d´ a origem, de um modo elegante, a resultados tais como as Rela¸ c˜ oes de Incerteza de Heisenberg (o Princ´ıpio da Incerteza de Heisenberg).

Duas nomenclaturas amplamente utilizadas merecem ˆ enfase. Ao inv´ es de dar um ob-

serv´ avel para descrever uma medi¸c˜ ao projetiva, muitas vezes as pessoas simplesmente listam

um conjunto completo de projetores ortogonais P

satisfazendo

m

P

= I e P

P

= δ

P

. O observ´ avel correspondente neste uso ´ e M =

m

mP

. Outro termo amplamente utilizado ´ e “medi¸c˜ ao em uma base |mi”, onde |mi forma uma base ortonormal, simplesmente significa realizar a medi¸c˜ ao projetiva com os projetores P

= |mihm|.

Vamos olhar um exemplo de medi¸c˜ ao projetiva em um ´ unico qubit. Primeiro, a medi¸c˜ ao do observ´ avel Z . Este tem autovalores 1 e −1 com autovetores |0i e |1i. Assim, por exemplo, a medi¸c˜ ao de Z no estado |ψi = (|0i + |1i)/ √

2 d´ a resultado 1 com probabilidade

hψ |0ih0|ψi = 1/2

e, similarmente, resulta em −1 com probabilidade tamb´ em 1/2.

Mais geralmente, suponha ~ v = (v

, v

, v

) um vetor real, unit´ ario e 3-dimensional. Ent˜ ao podemos definir o observ´ avel

~

v~ σ ≡ v

σ

+ v

σ

+ v

σ

.

Medi¸c˜ oes desse observ´ avel s˜ ao, ` as vezes, chamadas de “medi¸c˜ ao de spin ao longo do eixo

~ v”, por raz˜ oes hist´ oricas [16].

Suponhamos que estejamos interessados em um sistema quˆ antico composto por dois (ou mais) sistemas f´ısicos distintos. Como devemos descrever os estados do sistema composto?

O quarto postulado a seguir descreve como o espa¸co de estado de um sistema composto ´ e constru´ıdo a partir dos espa¸cos de estados dos sistemas componentes.

Postulado 4: O espa¸co de estados de um sistema f´ısico composto ´ e o produto tensorial dos espa¸cos de estado dos sistemas f´ısicos componentes. Mais ainda, se tivermos sistemas enumerados de 1 a n, e o sistema de n´ umero i est´ a preparado no estado |ψ

i, ent˜ ao o estado conjunto do sistema total ´ e |ψ

i ⊗ |ψ

i ⊗ · · · ⊗ |ψ

i.

1.2.2 Fase

Fase ´ e um termo comumente usado na teoria quˆ antica, com alguns diferentes significados

dependendo do contexto. Neste ponto ´ e conveniente rever dois desses significados. Considere,

1.2 Os Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica 17

por exemplo, o estado e

|ψi onde |ψi ´ e um vetor estado e θ ´ e um n´ umero real. Dizemos que o estado e

|ψi ´ e igual a |ψi a menos de um fator de fase global e

. ´ E interessante observar que as estat´ısticas de medi¸c˜ ao fornecidas por estes dois estados s˜ ao as mesmas. Para ver isso, suponha que M

´ e um operador de medi¸c˜ ao associado a uma medi¸c˜ ao e note que

hψ|M

M

|ψi = hψ|e

M

M

e

|ψi.

Portanto, de um ponto de vista observacional, estes dois estados s˜ ao idˆ enticos. Por esta raz˜ ao podemos ignorar fatores de fase globais como sendo irrelevantes para observar propriedades de um estado f´ısico. Existe um outro tipo de fase conhecido como fase relativa, que tem um significado bastante diferente. Considere os estados:

|0i + |1i

√ 2 e |0i − |1i

√ 2 .

No primeiro estado a amplitude de |1i ´ e

e no segundo estado ´ e

. Em cada caso a magnitude das amplitudes ´ e a mesma, mas elas diferem em um sinal. Mais geralmente, dizemos que duas amplitudes a e b, diferem por fase relativa se existe um n´ umero real θ tal que a = e

b. Mais geralmente ainda, dois estados s˜ ao ditos diferentes por uma fase relativa em alguma base, se cada amplitude nesta base est´ a relacionada por um fator de fase.

Por exemplo, os dois estados mostrados acima s˜ ao iguais a menos de uma mudan¸ca de fase

relativa pois a amplitude de |0i ´ e idˆ entica (fator de fase relativa ´ e 1) e a amplitude de |1i

difere apenas por um fator de fase −1. A diferen¸ca de fase relativa para fase global ´ e que o

fator de fase pode variar de amplitude para amplitude. Isto faz a fase relativa um conceito

base-dependente, o que n˜ ao ocorre em fase global. Como resultado, estados que diferem

apenas por fase relativa em alguma base d´ a origem a diferen¸cas fisicamente observ´ aveis nas

medi¸c˜ oes estat´ısticas, e n˜ ao ´ e poss´ıvel considerar esses estados como fisicamente equivalentes,

o que fazemos com estados que diferem por um fator de fase global.

C´ odigos Corretores de Erros Quˆ anticos

Neste cap´ıtulo, iniciamos explicando as ideias b´ asicas da Teoria de corre¸c˜ ao de erros cl´ assica.

Iremos abordar alguns desafios conceituais que devem ser superados para que a corre¸c˜ ao de erros quˆ antica seja poss´ıvel e apresentamos um exemplo simples de um c´ odigo corretor de erros quˆ anticos, o c´ odigo de Shor. Em seguida discutimos algumas ideias da teoria de c´ odigos lineares cl´ assicos e como ele pode dar origem a uma interessante classe de c´ odigos quˆ anticos conhecida como c´ odigos de Calderbank-Shor-Steane (CSS). E, por fim conclu´ımos introduzindo o conceito de c´ odigos estabilizadores, uma classe de c´ odigos muito bem estru- turada com uma grande conex˜ ao com os c´ odigos corretores de erros cl´ assicos. A principais referˆ encias pra este cap´ıtulo s˜ ao [1], [16] e [22].

2.1 Introdu¸ c˜ ao

O ru´ıdo ´ e um grande problema de sistemas de processamento de informa¸c˜ ao. Sempre que

poss´ıvel, constru´ımos sistemas para evitar o ru´ıdo completamente ou, quando n˜ ao ´ e poss´ıvel

evit´ a-lo, tentamos protegˆ e-lo dos efeitos do ru´ıdo. Os detalhes das t´ ecnicas usadas para pro-

teger o sistema contra o ru´ıdo ´ e, na pr´ atica, um pouco complicado, mas os seus princ´ıpios

b´ asicos s˜ ao facilmente compreens´ıveis. A ideia ´ e que se desejamos proteger uma mensa-

gem contra os efeitos do ru´ıdo, ent˜ ao n´ os codificamos a mensagem adicionando algumas

redundˆ ancias ` a sua informa¸c˜ ao. Desta forma, mesmo que algumas das informa¸c˜ oes da men-

sagem codificada sejam corrompidas pelo ru´ıdo, teremos redundˆ ancia suficiente para que

2.1 Introdu¸c˜ ao 19

seja poss´ıvel recuperar ou decodificar a mensagem de tal forma que toda a informa¸c˜ ao na mensagem original possa ser recuperada.

Como no exemplo dado em [16]. Suponhamos que Alice deseja enviar uma mensagem para Bob por meio de um canal de comunica¸c˜ ao cl´ assico ruidoso. O efeito do ru´ıdo no canal ´ e o de trocar o bit sendo transmitido com probabilidade p > 0, enquanto que com a probabilidade 1 − p, o bit ´ e transmitido sem erro. Uma forma simples de proteger o bit contra os efeitos do ru´ıdo deste canal ´ e substituir o bit que desejamos proteger com trˆ es c´ opias dele mesmo:

0 → 000 (2.1)

1 → 111 (2.2)

Os bit strings 000 e 111 s˜ ao, por vezes, chamados de 0 l´ ogico e 1 l´ ogico, j´ a que atuam como sendo o 0 e o 1, respectivamente. Agora, Alice pode enviar todos os trˆ es bits atrav´ es do canal de tal forma que Bob ir´ a receber trˆ es bits e ir´ a decidir qual o valor do bit original enviado por Alice. Suponhamos que Bob receba o bit string 010 e que a probabibilidade p de ocorrer a troca de bit n˜ ao seja t˜ ao alta, ent˜ ao ´ e bem prov´ avel que apenas o segundo bit tenha sofrido uma troca de bit e, portanto, Bob concluir´ a que o bit original era 0. Este tipo de c´ odigo ´ e conhecido como c´ odigo de repeti¸ c˜ ao j´ a que codificamos a mensagem repetindo-a v´ arias vezes.

2.1.1 O C´ odigo Bit Flip de Trˆ es Qubits

Para proteger a inorma¸c˜ ao quˆ antica contra os efeitos do ru´ıdo ´ e, teoricamente, poss´ıvel fazer uso de c´ odigos quˆ anticos corretores de erros (QECC) que, em sua essˆ encia, seguem princ´ıpios semelhantes aos c´ odigos corretores de erros cl´ assicos. Por´ em, existem algumas diferen¸cas importantes entre a informa¸c˜ ao quˆ antica e informa¸c˜ ao cl´ assica que devem ser levadas em conta [16]:

• Teorema da n˜ ao-clonagem: tentar implementar quanticamente o c´ odigo de repeti¸c˜ ao j´ a discutido ´ e imposs´ıvel, segundo o Teorema da n˜ ao-clonagem. Esse teorema afirma que

´

e imposs´ıvel copiar um estado quˆ antico arbitr´ ario desconhecido.

• Os erros s˜ ao cont´ınuos: um cont´ınuo de diferentes erros podem ocorrer em um ´ unico qubit. Determinar qual erro ocorreu para corrigi-lo iria requerer precis˜ ao infinita e, portanto, recursos infinitos.

• Medi¸c˜ oes destroem a informa¸c˜ ao quˆ antica: na corre¸c˜ ao de erros cl´ assica observa-se a sa´ıda do canal e, com base nisso, decidimos o procedimento a ser adotado. Observa¸c˜ ao na teoria quˆ antica geralmente destr´ oi o estado quˆ antico sob observa¸c˜ ao, como foi visto no Postulado 3.

Felizmente nenhum desses problemas ´ e incontorn´ avel, como veremos no decorrer deste cap´ıtulo. Vamos supor que enviamos qubits atrav´ es de um canal que troca o qubit com uma probabilidade p e o mant´ em intocado com probabilidade 1 − p. Isto ´ e, com probabilidade p o estado |ψi ´ e levado para o estado X|ψi, onde X ´ e uma matriz de Pauli. N´ os chamamos este canal de canal de bit flip.

Agora, suponhamos que codificamos um ´ unico estado de qubit |ψi = α|0i + β|1i, onde α e β s˜ ao n´ umeros complexos satisfazendo |α|

+ |β|

= 1, em outros trˆ es qubits da forma

|ψ

i = α|0

i + β|1

i. Onde a codifica¸c˜ ao realiazada ´ e a seguinte

|0i → |0

i := |000i

|1i → |1

i := |111i

onde os qubits |0

i e |1

i s˜ ao chamados de qubits l´ ogicos. Um circuito que realiza este tipo de codifica¸c˜ ao ´ e ilustrada na Figura 2.1.

Figura 2.1: Circuito de codifica¸c˜ ao para o c´ odigo de trˆ es qubits que protege contra erros do tipo bit-flip. Os dados a serem codificados entram no circuito na linha superior. [16]

Primeiramente devemos descobrir se ocorreu algum tipo de erro, caso tenha ocorrido,

onde aconteceu tal erro. Para isso realizaremos uma medi¸c˜ ao sobre o estado quˆ antico e essa

2.1 Introdu¸c˜ ao 21

medi¸c˜ ao resultar´ a na s´ındrome de erro. Como estamos no canal com apenas o erro bit-flip poss´ıvel, temos que as medi¸c˜ oes projetivas que utilizaremos s˜ ao:

P

= |000ih000| + |111ih111| (2.3)

P

= |100ih100| + |011ih011| (2.4)

P

= |010ih010| + |101ih101| (2.5)

P

= |001ih001| + |110ih110| (2.6)

Agora, vamos entender como funciona a detec¸c˜ ao de erro. Vamos supor que ocorreu um erro bit-flip no primeiro qubit, ou seja, transmitimos o estado |ψi = α|000i + β|111i e foi recebido o estado |ψ

i = α|100i + β|011i. A medi¸c˜ ao da s´ındrome ´ e dada por hψ

|P

|ψ

i, para i = 0, 1, 2, 3.

Nesse caso em particular, temos que hψ

|P

|ψ

i = 1 e hψ

|P

|ψ

i = 0 para i = 0, 2, 3.

Essa s´ındrome est´ a associada ao primeiro qubit. ´ E importante ressaltar que essa medi¸c˜ ao de s´ındrome n˜ ao altera o estado pois cont´ em informa¸c˜ ao apenas de onde o erro ocorreu mas nada diz a respeito das amplitudes α e β, ou seja, medindo a s´ındrome n˜ ao estamos destruindo a informa¸c˜ ao contida no estado quˆ antico.

Ap´ os fazer a medi¸c˜ ao da s´ındrome, o passo seguinte ´ e criar um protocolo para recupera¸c˜ ao do estado inicial. Assim, para cada s´ındrome de erro recebida, uma a¸c˜ ao deve estar associada a ela de modo a recuperar esse estado inicial.

Caso a s´ındrome seja 0, significa que n˜ ao ocorreram erros, logo, nenhuma providˆ encia deve ser tomada. Se a s´ındrome for 1, como no exemplo anterior, significa que houve um erro no primeiro qubit. Dessa maneira devemos inverter o primeiro qubit e , para isso, aplicamos o operador X

= X ⊗ I ⊗ I e recuperamos exatamente o estado inicial. Analogamente, se a s´ındrome for 2, significa que houve um erro no segundo qubit e devemos aplicar o operador X

= I ⊗ X ⊗ I para invertˆ e-lo novamente e caso a s´ındrome seja 3, o erro foi no terceiro qubit e a a¸c˜ ao que devemos tomar ´ e aplicar o operador X

= I ⊗ I ⊗ X para recuperar o estado inicial.

Esse procedimento de corre¸c˜ ao de erro funciona perfeitamente se houver erro, em no

m´ aximo, um dentre os trˆ es qubits. Isso ocorre com probabilidade exatamente igual ao c´ odigo

cl´ assico de repeti¸c˜ ao de 3 bits.

Existe uma maneira alternativa de detec¸c˜ ao e corre¸c˜ ao de erros do tipo bit-flip. Ao inv´ es de utilizar as medi¸c˜ oes projetivas P

, P

, P

e P

, podemos utilizar apenas uma sequˆ encia de duas medi¸c˜ oes, fornecidas pelos observ´ aveis Z

Z

= Z ⊗ Z ⊗ I e Z

Z

= I ⊗ Z ⊗ Z. Cada um desses observ´ aveis tem autovalores ±1 e, portanto, cada medi¸c˜ ao fornece apenas um bit de informa¸c˜ ao para um total de dois bits de informa¸c˜ ao (esses dois bits combinados geram quatro poss´ıveis s´ındromes de erro, assim como no m´ etodo anterior).

A primeira medi¸c˜ ao verifica se o primeiro e o segundo qubit s˜ ao iguais, caso sejam resulta em +1, caso n˜ ao sejam resulta em −1. Para ver isso basta notar que

Z

Z

= (|00ih00| + |11ih11|) ⊗ I − (|01ih10| + |10ih01|) ⊗ I.

De maneira an´ aloga, a medi¸c˜ ao Z

Z

compara o segundo e o terceiro qubits, novamente resultando em +1 se eles forem iguais e em −1 se forem diferentes. Em posse dos dois resultados ´ e poss´ıvel determinar em qual dos qubits ocorreu o erro e o protocolo de corre¸c˜ ao

´ e identico ` a t´ ecnica anterior.

E claro que esse c´ ´ odigo simples n˜ ao ´ e muito robusto e n˜ ao oferece prote¸c˜ ao alguma, por exemplo, para erros do tipo phase-shift.

2.1.2 O C´ odigo Phase Flip de Trˆ es Qubits

Os canais com erros phase-shift n˜ ao tem an´ alogo cl´ assico, o que nos leva a pensar que n˜ ao existiria uma adapta¸c˜ ao simples de c´ odigos cl´ assicos que nos levaria a resolver esse tipo de erro. Por´ em, uma simples adapta¸c˜ ao do c´ odigo de 3 qubits para erros do tipo bit-flip nos leva a um c´ odigo que protege contra um erro de invers˜ ao de fase de um ´ unico qubit.

Um canal com erro phase-shift inverte a fase relativa entre os estados |0i e |1i com probabilidade p, ou seja, leva o estado |ψi = α|0i + β|1i para o estado |ψ

i = α|0i − β|1i.

Para essa codifica¸c˜ ao, usaremos a base conjugada {|+i, |−i}, onde |+i =

2

(|0i + |1i) e

|−i =

(|0i − |1i). Repare que o operador phase-shift Z leva |+i em |−i e vice versa, ou seja, Z age exatamente como um erro do tipo bit-flip, com respeito aos r´ otulos + e −.

Dessa maneira, vemos que a codifica¸c˜ ao para detectar e corrigir um erro do tipo phase-

2.1 Introdu¸c˜ ao 23

shift ´ e realizada em dois passos: primeiro faz-se a codifica¸c˜ ao exatamente como no caso do bit-flip e depois aplica-se a porta de Hadamard H em cada qubit, como ilustrado na Figura 2.2.

Assim:

|0i → |0

i := | + ++i

|1i → |1

i := | − −−i

Figura 2.2: Circuito de codifica¸c˜ ao para o c´ odigo de trˆ es qubits que protege contra erros do tipo phase-shift. Os dados a serem codificados entram no circuito na linha superior.[16]

Agora os procedimentos de detec¸c˜ ao e corre¸c˜ ao de erros s˜ ao feitos de maneira semelhante ao caso do bit-flip, por´ em como vamos utilizar a base conjugada, as medi¸c˜ oes projetivas que geram as s´ındromes de erro s˜ ao dadas pelas medi¸c˜ oes definidas em (2.3) conjugadas pela porta de Hadamard H,ou seja, P

= H

P

H

para cada i = 0, 1, 2, 3.

Dessa maneira, se recebermos um certo estado |ψ

i podemos calcular a medi¸c˜ ao da s´ındrome ao aplicar operador hψ

|P

|ψ

i, para i = 0, 1, 2, 3.

Exatamente como no caso dos erros bit-flip, as poss´ıveis s´ındromes (0, 1, 2 ou 3) referem- se a onde ocorreu o erro. Se for 1 o erro foi no primeiro qubit, 2 no segundo, 3 no terceiro e 0 significa que n˜ ao houve erro. E o protocolo de corre¸c˜ ao de erros tamb´ em ´ e semelhante, por´ em o operador utilizado na recupera¸c˜ ao do estado inicial ´ e o operador Z

= HX

H, i = 1, 2, 3.

Equivalentemente poder´ıamos ter utilizado a sequˆ encia de observ´ aveis H

Z

Z

H

= X

X

e H

Z

Z

H

= X

X

. E interessante notar que os observ´ ´ aveis X

X

e X

X

definidos fazem um trabalho semelhante aos observ´ aveis Z

Z

e Z

Z

do c´ odigo para bit-flip.

Enquanto Z

Z

e Z

Z

comparavam se um certo par de qubits eram iguais, os observ´ aveis

X

X

e X

X

faz o mesmo, mas em rela¸c˜ ao ` a base conjugada.

Ap´ os feito isso, a sequˆ encia de autovalores indicam onde ocorreu o erro e o protocolo de corre¸c˜ ao, para a recupera¸c˜ ao da informa¸c˜ ao original, ´ e semelhante ao que foi feito para as medi¸c˜ oes projetivas.

2.2 O C´ odigo de Shor

Existe um c´ odigo quˆ antico simples que pode proteger contra os efeitos de um erro arbitr´ ario em um ´ unico qubit. Este c´ odigo ´ e uma combina¸c˜ ao dos c´ odigos bit flip e phase flip de trˆ es qubits e ´ e conhecido como C´ odigo de Shor.

Primeiramente, codificamos o qubit utilizando o c´ odigo phase-shift:

|0i → | + ++i (2.7)

|1i → | − −−i. (2.8)

Em seguida, cada um desses qubits ´ e codificado usando o c´ odigo bit-flip:

|+i → 1

√ 2 (|000i + |111i) (2.9)

|−i → 1

√ 2 (|000i − |111i). (2.10)

O resultado ´ e um c´ odigo de nove qubits, com estados l´ ogicos dados por:

|0i → |0

i ≡ 1 2 √

2 [(|000i + |111i)(|000i + |111i)(|000i + |111i)] (2.11)

|1i → |1

i ≡ 1 2 √

2 [(|000i − |111i)(|000i − |111i)(|000i − |111i)] (2.12)

O circuito quˆ antico que codifica o C´ odigo de Shor ´ e mostrado na Figura 2.3. Como

descrito, a primeira parte do circuito codifica o qubit usando o c´ odigo de phase-shift de trˆ es

qubits, e se compararmos com a Figura 2.2 podemos ver que s˜ ao realmente idˆ enticos. A

segunda parte do circuito codifica cada um desses trˆ es qubits usando o c´ odigo bit-flip, que

acaba sendo trˆ es c´ opias do circuito do c´ odigo de bit-flip mostrado na Figura 2.1. Esse m´ etodo

de codifica¸c˜ ao usa n´ıveis organizados hierarquicamente, e ´ e conhecido como concatena¸ c˜ ao.

2.2 O C´ odigo de Shor 25

Figura 2.3: Circuito de codifica¸c˜ ao para o C´ odigo de Shor.[16]

Essa t´ ecnica ´ e um bom truque utilizado para se criar novos c´ odigos a partir de c´ odigos existentes.

O c´ odigo de Shor ´ e capaz de proteger contra erros de bit flip e phase flip em qualquer qubit. Suponhamos que ocorreu um bit flip no primeiro qubit. Como o primeiro qubit pertence ao primeiro bloco de trˆ es qubits, basta que realizemos medi¸c˜ oes nos qubits do primeiro bloco. Desta forma, realizamos a medi¸c˜ ao de Z

Z

e comparamos os dois primeiros qubits e descobrimos que s˜ ao diferentes. Em seguida realizamos uma medi¸c˜ ao de Z

Z

no segundo e terceiro qubit e descobrimos que s˜ ao iguais. Logo, houve um bit flip no primeiro qubit. De forma an´ aloga, se quisermos saber se houve um bit flip no quarto, quinto ou sexto qubit, que est˜ ao no segundo bloco, apenas realizaremos as medi¸c˜ oes Z

Z

e Z

Z

, ou se quisermos saber se houve um bit flip no s´ etimo, oitavo ou nono qubit, que est˜ ao no terceiro bloco, apenas realizaremos as medi¸c˜ oes Z

Z

e Z

Z

. E, assim, caso seja econtrado erro no i-´ esimo qubit, basta aplicarmos o operador X

para recuperarmos a informa¸c˜ ao.

Agora, suponha que ocorreu um erro de phase flip no primeiro qubit. Este tem o efeito de

mudar o sinal do primeiro bloco de qubits. Na realidade, um erro de phase flip em qualquer

um dos trˆ es primeiros qubits tem esse mesmo efeito. Dessa forma, para verificarmos se

houve um erro de phase flip realizamos uma compara¸c˜ ao entre os blocos e n˜ ao em um ´ unico qubit. Assim, as medi¸c˜ oes que devem ser usadas s˜ ao: X

X

X

X

X

X

e X

X

X

X

X

X

. O observ´ avel X

X

X

X

X

X

compara o sinal entre o primeiro e o segundo bloco, enquanto o observ´ avel X

X

X

X

X

X

compara o sinal entre o segundo e o terceiro bloco. Com essas duas medidas podemos avaliar qual bloco tem sinal diferente e ent˜ ao aplicamos o operador Z sobre qualquer um dos qubits desse bloco.

Com esse c´ odigo ainda ´ e poss´ıvel corrigir um erro bit flip e phase flip ocorrendo no mesmo qubit, ou seja, o operador ZX ´ e aplicado a esse qubit corrompido. Basta aplicar os dois procedimentos descritos acima. Ressaltamos que o c´ odigo de Shor ´ e melhor que os c´ odigos cl´ assicos de repeti¸c˜ ao no sentido de fazer uma busca por erros mais apurada. Na verdade, o c´ odigo de Shor al´ em de proteger contra invers˜ oes de bit e de fase sobre um qubit, ele tamb´ em protege estados quˆ anticos contra a a¸c˜ ao de erros completamente arbitr´ arios, desde que apenas um qubit seja afetado, [16].

2.3 Construindo C´ odigos Quˆ anticos

Agora, possu´ımos uma estrutura para estudar os c´ odigos corretores de erros quˆ anticos, por´ em n˜ ao temos muitos exemplos destes c´ odigos. Para solucionarmos este problema trabalharemos brevemente com os c´ odigos lineares cl´ assicos e em seguida mostraremos como as ideias do c´ odigo linear cl´ assico pode ser usado para construir uma classe de c´ odigos quˆ anticos conhecida como C´ odigos de Calderbank-Shor-Steane(CSS).

2.3.1 C´ odigos Lineares Cl´ assicos

Um c´ odigo linear C que codifica k bits em um espa¸co de c´ odigo com n bits ´ e especificado por uma matriz geradora n × k, G, cujas entradas s˜ ao todos elementos em

. A matriz G leva as mensagens em seus equivalentes codificados. Assim, a mensagem x de k bits ´ e codificada como Gx, onde x ´ e um vetor coluna. Um exemplo simples, encontrado em [16], ´ e o c´ odigo de repeti¸c˜ ao que leva um ´ unico qubit em trˆ es repeti¸c˜ oes suas. Sua matriz geradora

´ e: