SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 8

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 03 de Outubro 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 8

2

Definição de L:

Empregando a distribuição de estado estacionário dada e usando ρρρρ = λλλλ/µµµµ é possível obter a média do número de clientes presentes no modelo de filas é L.

TEORIA DE FILAS

Definição de Lq:

O número esperado de clientes esperando atendimento (ou na fila) é Lq.

Definição de Ls:

O número esperado de clientes em atendimento é Ls.

Definição de W, Wq e Ws:

Define-se W como o tempo esperado gasto pelo cliente no sistema, incluindo o tempo na fila mais o tempo de atendimento. O tempo gasto na fila é Wq e o tempo em serviço é Ws.

(2)

3

Modelo de Fila M/M/s/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

Este modelo supõe:

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1 Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

2 Natureza do processo de serviço. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

3 Número de servidores em paralelo é s ao invés de 1.

4 Organização da fila: FCFS – Primeiro a entrar, primeiro a sair (First come, first served), p. ex.

5 Número máximo de clientes no sistema (totalizando clientes na fila e em atendimento).

6 Tamanho da população de clientes.

4

Neste modelo existem s servidores em paralelo tal que se existem j clientes dois casos podem ocorrer:

TEORIA DE FILAS

Caso 1: Se j ≤≤≤≤ s

Todos os clientes presentes estão em atendimento, pois o número de servidores é maior que o de clientes. Se j servidores estão ocupados a taxa de fim de serviço será j*µµµµ.

Seja s = 3 e j = 2:

µµµµ

Taxa de atendimento j*µµµµ = 2*µµµµ

(3)

5

Neste modelo existem s servidores em paralelo tal que se existem j clientes dois casos podem ocorrer:

Caso 2: Se j > s

Neste caso s servidores estão ocupados enquanto j-s clientes aguardam atendimento. A taxa de fim de serviço será s*µµµµ.

Seja s = 3 e j = 5:

µµµµ µµµµ

Taxa de atendimento s*µµµµ = 3*µµµµ

µµµµ

# clientes na fila j - s = 5 – 3 = 2

6

Modelo de Fila M/M/s/GD/∞∞∞/∞∞ ∞∞∞:

Neste modelo existem s servidores em paralelo tal que se existem j clientes dois casos podem ocorrer:

Casos 1 e 2:

Se j clientes estão presentes, então, min(j,s) servidores estarão ocupados e a taxa de atendimento será de µµµµj = min(j,s)µµµµ.

TEORIA DE FILAS

Seja s = 3 e j = 2:

µµµµ µµµµ

µµµµj = min(j,s)µµµµ µµµµ2 = min(2,3)µµµµ µµµµ2 = 2µµµµ

Serv. ocupados:

min(j,s) min(2,3) = 2

µµµµ µµµµ µµµµ

Seja s = 3 e j = 5:

µµµµj = min(j,s)µµµµ µµµµ5 = min(5,3)µµµµ µµµµ5 = 3µµµµ

Serv. ocupados:

min(j,s) min(5,3) = 3

(4)

7

Os dois casos anteriores podem ser modelados por um processo de nascimento-morte tal como dado a seguir:

2 1

0

λλλλ

2µµµµ λλλλ

µµµµ

s+1 s

λλλλ

sµµµµ λλλλ

sµµµµ

•••

Caso 1 Caso 2

λλλλj = λλλλ (j=0,1,2,...) µµµµj = ju (j = 0,...,s) µµµµj = sµµµµ (j = s+1,...)

8

Seja ρρρρ = λλλλ/sµµµµ e ρρρρ < 1, então, para este modelo:

2 1

0

λλλλ

2µµµµ λλλλ

µµµµ

s+1 s

λλλλ

sµµµµ λλλλ

sµµµµ

•••

(j=1,...,s)

TEORIA DE FILAS

∑⁻

= + −

= ₁

0 0

) 1 (

! ) (

1

s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

π ρ

! )

( ₀

j s ^j

j

π π = ρ

(5)

9

Pode ser mostrado também que:

A probabilidade de estado estacionário de que todos os servidores estejam ocupados é dada por:

) 1 (

! ) ) (

( ⁰

ρ π ρ

= −

≥ s

s s j P

s

ρ ρ

−

= ≥ 1

) ( j s L_q P

λ µ

λ −

= ≥

= s

s j L P

W_q ^q ( )

Para se obter L, usa-se L = Lq + Ls e que Ls = λλλλ/µµµµ:

µ + λ

= Lq

L ^e

µ λ µ µ µ

λ λ

1 ) ( 1

1 +

−

= ≥ +

= +

=

= s

s j W P

L L

W ^q _q

e

Observe que vários valores dependem de P(j ≥≥≥≥ s).

10

Exemplo 1: Considere um banco com dois atendentes. Um média de 80 clientes por hora chegam ao banco e esperam em

uma única fila por um caixa vazio. O tempo médio de

atendimento de um clientes é de 1,2 minutos. Assumindo que o tempo entre as chegadas e o tempo de serviços são exponenciais, determinar:

TEORIA DE FILAS

(B)O número esperado de clientes no banco.

(C)O tempo médio de espera que um cliente gasta no banco.

(A)A fração de tempo que um servidor está vazio.

(6)

11

Para determinar a fração de tempo que um servidor em particular está ocioso é necessário observar que quando j = 0 o servidor está totalmente ocioso, mas quando j = 1, somente 50% do tempo um servidor estará ocioso (são dois), isto é:

Tempo ocioso de 1 servidor = ππππ0 + 0,5ππππ1

Seja ρρρρ = λλλλ/sµµµµ = 80/2*50 = 0,8. Calculando ππππ_0,e depois ππππ₁:

) 8 , 0 1 (

! 2

) 8 , 0

* 2 (

! 1

) 8 , 0

* 2 (

! 0

) 8 , 0

* 2 (

1 )

1 (

! ) (

1

2 1

0 1

0 0

+ − +

= + −

= ∑⁻

= s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

9 1 4 , 6 6 , 1 1

1

0 =

+

= + π

12

TEORIA DE FILAS

Usando que ππππ₀ = 1/9 calcula-se ππππ₁:

(j=1,...,s)

! )

( ₀

j s ^j

j

π π = ρ

176 ,

! 0 1

11 , 0 ) 8 , 0

* 2

( ¹

1 = =

π

A fração de tempo que 1 servidor estará ocupado é:

Tempo ocioso de 1 servidor = ππππ0 + 0,5ππππ1 = 0,11 + 0,088 = 0,198

(7)

13

Sejam λλλλ = 80 clientes por hora e µµµµ= 50 clientes por hora.

Então: ρρρρ = 80/(2*50) = 0,80 < 1 e o estado estacionário existe.

Calcula-se P(j ≥≥≥≥ s) = P(j ≥≥≥≥ 2). Então:

(B) O número esperado de clientes no banco.

) 1 (

! ) ) (

( ⁰

ρ π ρ

= −

≥ s

s s j P

s

71 , ) 0

8 , 0 1 (

! 2

11 , 0

* ) 8 , 0

* 2 ) ( 2 (

2 =

= −

≥ j P

14

TEORIA DE FILAS

Se P(j ≥≥≥≥ 2) = 0,71. Então:

Aplicando a Equação relativa a L:

(B) O número esperado de clientes no banco.

clientes

84 , 80 2

, 0 1

80 , 0

* 71 , 0 1

)

( =

= −

−

= ≥

ρ^s ρ j

L_q P

44 , 50 4 84 80 ,

2 + =

= +

= µλ Lq

L ^clientes

(8)

15

(C)O tempo médio de espera que um cliente gasta no banco.

horas = 3,3 minutos

055 , 80 0

44 ,

4 =

=

= λ W L

16

Exercício 1: O mesmo banco do exercício anterior sabe que no início do mês a taxa

média de clientes por hora passa de 80 para 95. Sabendo-se que o atendimento a um cliente não deve demorar mais que 20 minutos será necessário

aumentar o número de atendentes para 3 ou mais?

TEORIA DE FILAS

(A) Será necessário calcular o tempo médio de espera que um cliente gasta no banco. Se este for maior que 20 minutos, então, verificar se 3 fornece um tempo menor, senão 4 e assim por diante.

(9)

17

Algumas equações para os cálculos:

∑⁻

= + −

= ₁

0 0

) 1 (

! ) (

1

s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

(j=1,...,s)

! )

( ₀

j s ^j

j

π π = ρ

) 1 (

! ) ) (

( ⁰

ρ π ρ

= −

≥ s

s s j P

s

clientes

ρ ρ

−

= ≥ 1

) (j s L_q P

µ + λ

= L_q

L ^clientes ^horas

λ W = L

ρρρρ = λλλλ/sµµµµ

Se ρρρρ ≥≥≥≥ 1, então, não existe estado estacionário.

18

TEORIA DE FILAS

O tempo no banco é menor que 20 minutos, se λλλλ = 95?

) 95 , 0 1 (

! 2

) 95 , 0

* 2 (

! 1

) 95 , 0

* 2 (

! 0

) 95 , 0

* 2 (

1 )

1 (

! ) (

1

2 1

1 0

0 0

+ − +

= + −

= ∑⁻

= s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

% 5641 , 39 2

1 1 , 36 9 , 1 1

1

0 = =

+

= + π

Sejam λλλλ = 95 clientes por hora e µµµµ= 50 clientes por hora e ρρρρ = λλλλ/sµµµµ →→→ ρρρρ=95/(2*50) = 0,95. Então:→

(10)

19

Usando-se que ππππ₀ = 1/9, calcula-se P(j≥s):

) 1 (

! ) ) (

( ⁰

ρ π ρ

= −

≥ s

s s j P

s

9256 , ) 0

95 , 0 1 (

! 2

) 39 / 1 (

* ) 95 , 0

* 2 ) ( 2 (

2 =

= −

≥ j P

clientes

5864 , 95 17

, 0 1

95 , 0

* 9256 , 0 1

)

( =

= −

−

= ≥

ρ^s ρ j

L_q P

48 , 50 19

58 95 ,

17 + =

= +

= µ

λ Lq

L clientes

20

TEORIA DE FILAS

horas = 12,3 minutos

2051 , 95 0

48 ,

19 =

=

= λ W L

(11)

21

Exemplo 2: O gerente de um banco deve determinar quantos atendentes devem trabalhar na Sexta. Cada minuto que um cliente permanece na fila, o gerente acredita que custa R$ 0,05.

Em média 2 clientes por minuto chegam ao banco. Em média leva 2 minutos para o atendente completar o serviço. O tempo entre as chegadas e o de serviço são exponenciais.

O custo de um atendente por hora é de R$ 9. Para minimizar a soma dos custos de serviço e os custos de atraso, quantos atendentes deverão trabalhar na Sexta?

22

TEORIA DE FILAS

Sejam λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ= 0,5 clientes por minuto e

ρ= λλλλ/sµµµµ< 1 →→→→4/s < 1, então, s ≥≥≥≥ 5. Deve haver pelo menos 5

atendentes para não “explodir” o número de clientes. E agora, calcula-se para s = 5, 6, ... e comparar qual o menor:

Custo esperado minuto

Custo serviço minuto

= Custo espera

minuto

+

Custo espera minuto

Custo espera cliente

= ×××× clientes esperados

minuto Custo espera

cliente = ×××× Tempo médio(min)

clientes no sistema 0,05

cliente/min

W é o tempo esperado gasto pelo cliente no sistema

(12)

23

0,05W

=

= ×××× clientes esperados

minuto

λλλλ é taxa média de chegada de clientes no sistema(=2).

Custo espera

minuto = ^0,05Wqλλλλ = ^2*0,05Wq = ^0,1Wq

24

TEORIA DE FILAS

Sejam λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ= 0,5 clientes por minuto e s = 5 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 2/5*(0,5) = 2/2,5 = 0,8. Então:

∑⁻

= + −

= ₁

0 0

) 1 (

! ) (

1

s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

0130 , 1 0

1 = =

π =

) 8 , 0 1 (

! 5

) 8 , 0

* 5 (

! 4

) 8 , 0

* 5 (

! 3

) 8 , 0

* 5 (

! 2

) 8 , 0

* 5 (

! 1

) 8 , 0

* 5 (

! 0

) 8 , 0

* 5 (

1

5 4

3 2

1 0 0

+ − +

+ +

+ π =

(13)

25

minutos

1 , 2 1 ) 5 , 0 ( 5

55 , 0 )

( =

= −

−

= ≥

= λ ^sµ λ s j L P

W_q ^q

55 , ) 0

8 , 0 1 (

! 5

0130 , 0 ) 8 , 0

* 5 ( ) 1 (

! ) ) (

(

5

0 =

= −

≥ ρ πρ s s s j P

s

Sejam λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ= 0,5 clientes por minuto e s = 5 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ→→→→ ρρρρ= 2/5*(0,5) = 2/2,5 = 0,8. Então:

Custo espera

minuto = ^0,1Wq = ^{R$ 0,11}

Custo serviço

minuto = ^9/60 = ^{R$ 0,15}

26

= Custo espera

minuto

+ TEORIA DE FILAS

Custo esperado

minuto = ^{R$ 0,15} * ⁵ + ^{R$ 0,11} = ^{R$ 0,86}

(14)

27

Sejam λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ= 0,5 clientes por minuto e s = 6 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 2/6*(0,5) = 2/3. Então:

∑⁻

= + −

= ₁

0 0

) 1 (

! ) (

1

s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

0167 , 93 0 , 59

1

0 = =

π

) 67 , 0 1 (

! 6

) 67 , 0

* 6 (

! 5

) 3 / 2

* 6 (

! 4

) 3 / 2

* 6 (

! 3

) 3 / 2

* 6 (

! 2

) 3 / 2

* 6 (

! 1

) 3 / 2

* 6 (

! 0

) 3 / 2

* 6 (

1

6 5

4 3

2 1

0 0

+ − +

+ +

π =

28

minutos

28 , 2 0 ) 5 , 0 ( 6

28 , 0 )

( =

= −

−

= ≥

W_q ^q

TEORIA DE FILAS

28 , ) 0

3 / 2 1 (

! 6

0167 , 0 ) 3 / 2

* 6 ( ) 1 (

! ) ) (

(

6

0 =

= −

≥ ρ πρ s s s j P

s

Sejam λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ= 0,5 clientes por minuto e s = 6 tal que ρρρρ= λλλλ/sµµµµ →→→→ ρρρρ= 2/6*(0,5) = 2/3. Então:

Custo espera

minuto = ^0,1Wq = ^{R$ 0,028}

(15)

29

= Custo espera

minuto

+

Custo esperado

minuto = ^{R$ 0,15} * ⁶ + ^{R$ 0,02} = ^{R$ 0,92}

Na verdade o cálculo detalhado não era necessário, pois o custo do serviço por minuto para 6 servidores,

que não depende de ρρρρ, domina o custo de espera.

Assim, basta fazer R$ 0,15*6 = R$ 0,90 (custo serviço com 6) que é maior que o custo total de R$ 0,86 para 5 servidores. Portanto, 5 é melhor.

30

TEORIA DE FILAS

R$ 0,11 R$ 0,15

Custo serviço Custo fila c/ 5

+ 1 atendente

+ R$ 0,15

Melhor caso

- R$ 0,11

= + R$ 0,04

Uma regra, então, é:

Se (custo_fila > custo_serviço), então, contratar atendente Senão não contratar atendente

(16)

31

Exercício 2: Para qual valor do custo de permanência por minuto na fila passa a ser vantajoso a contratação de 6 atendentes (no exemplo c = 0,05)? Lembrando que

λλλλ = 2 clientes por minuto e µµµµ = 0,5 clientes por minuto.

∑⁻

= + −

= ₁

0 0

) 1 (

! ) (

1

s

i

s i

s s i

s

ρ ρ π ρ

28min

, ) 0

( =

−

= ≥

λ µ s

s j W_q P

) 1 (

! ) ) (

( ⁰

ρ π ρ

= −

≥ s

s s j P

s

Custo espera

minuto = ^c*Wq*λλλλ

32

=

R$ 0,15 * 6 = TEORIA DE FILAS

c*Wq*λλλλ

c = 0,9/(Wq*λλλλ)

minutos

28 , 2 0 ) 5 , 0 ( 6

28 , 0 )

( =

= −

−

= ≥

W_q ^q

(17)

33

A função de distribuição do tempo de espera do consumidor pode ser obtida de modo a, p.ex., se determinar a percentagem de pessoas que devem esperar

mais de 5 minutos em um mercado, ou seja, P(W > 5).

Para determinar esta probabilidade é necessário conhecer a distribuição do tempo de espera de cada cliente. Para

o modelo M/M/s/GD/∞∞∞/∞∞ ∞∞∞ pode ser mostrado que:

[ ]









−

≥ − +

=

> ⁻

ρ ρ

µ µ

1

) 1 ( exp )1 ( 1 )

( s

s s s t

j P e

t W

P ^t

[ ^s ^t]

s j P t Wq

P( > )= ( ≥ )exp− µ(1−ρ)

34

TEORIA DE FILAS

Para ilustrar o uso das equações anteriores, suponha que no Exemplo (s = 5), o gerente do banco deseja saber qual

a probabilidade de que um consumidor deverá esperar na fila por mais do que 10 minutos. Para s = 5, ρρρρ = 0,80,

P(j ≥≥≥≥ 5)= 0,55 e µµµµ = 0,5:

[ ^s ^t]

s j P t Wq

P( > )= ( ≥ )exp− µ(1−ρ)

[ ⁵⁽⁰^,⁵⁾⁽¹ ⁰^,⁸⁾⁽¹⁰⁾] ⁰^,⁵⁵^exp( ⁵⁾ ⁰^,⁰⁰⁴

exp 55 , 0 ) 10

(Wq> = − − = − =

P

Ou seja, a probabilidade é bem pequena.

EXEMPLO 3:

(18)

35

Para ilustrar o uso das equações anteriores, suponha que no Exemplo (s = 5), o gerente do banco deseja saber qual

a probabilidade de que um consumidor deverá esperar na fila por mais do que 3 minutos. Para s = 5, ρρρρ = 0,80,

P(j ≥≥≥≥ 5)= 0,55 e µµµµ = 0,5, calcular a probabilidade.

[ ^s ^t]

s j P t Wq

P( > )= ( ≥ )exp− µ(1−ρ)

[ ⁵⁽⁰^,⁵⁾⁽¹ ⁰^,⁸⁾⁽³⁾] ⁰^,⁵⁵^exp( ¹^,⁵⁾ ⁰^,¹²²⁷

exp 55 , 0 ) 3

(Wq> = − − = − =

P

Ou seja, a probabilidade é maior que a anterior.

Exercício 3:

36

TEORIA DE FILAS

Suponha que para cliente cujo atendimento é realizado em um tempo maior ou igual a 10 minutos, uma multa de R$ 1.000,00 deverá ser paga. Suponha que o número atual

de atendentes é de 5 (s = 5).

Sejam os dados:

Caso 1: Para s = 5, ρρρρ = 0,80, P(j ≥≥≥≥ 5)= 0,55 e µµµµ = 0,5.

Caso 2: Para s = 6, ρρρρ = 2/3, P(j ≥≥≥≥ 6)= 0,28 e µµµµ = 0,5.

O gerente do banco deve ter 6 atendentes?

EXERCÍCIO 4:

(19)

37

Suponha que para cliente cujo atendimento é realizado em um tempo maior ou igual a 10 minutos uma multa de R$ 1.000,00 deverá ser paga. Suponha que o número atual

de atendentes. Para s = 5, ρρρρ = 0,80, P(j ≥≥≥≥ 5)= 0,55 e µµµµ = 0,5. O gerente do banco deve ter 6 atendentes?

[ ^s ^t]

s j P t Wq

P( > )= ( ≥ )exp− µ(1−ρ)

[ ⁵⁽⁰^,⁵⁾⁽¹ ⁰^,⁸⁾⁽¹⁰⁾] ⁰^,⁵⁵^exp( ⁵⁾ ⁰^,⁰⁰⁴

exp 55 , 0 ) 10

(Wq> = − − = − =

P

Assim, 1.000 horas de operação com s = 5, em média, o custo da multa será dada por 1.000*P(Wq>10)*1.000:

1.000*0,004 = 4 clientes esperam mais do que 10 min

= R$1.000 * 4 = R$ 4.000,00

EXERCÍCIO 4:

38

TEORIA DE FILAS

EXERCÍCIO 4:

Assim, 1.000 horas de operação com s = 6, em média, o custo total será dado por 1.000*P(Wq>10)*1.000 + custo at.:

1.000*0,00001 = 0,01 clientes esperam mais que 10 min

= R$1.000 * 0,01 = R$ 10,00 10,00 + 1.000*9 = 10 + 9000

= R$9.010 = R$ 9.010,00

[ ^s ^t]

s j P t Wq

P( > )= ( ≥ )exp− µ(1−ρ)

[ ⁶⁽⁰^,⁵⁾⁽¹ ²^/³⁾⁽¹⁰⁾] ⁰^,²⁸^exp( ¹⁰⁾ ⁰^,⁰⁰⁰⁰¹

exp 28 , 0 ) 10

(Wq> = − − = − =

P

Para s = 6, ρρρρ = 2/3, P(j ≥≥≥≥ 6)= 0,28 e µµµµ = 0,5:

Vale a pena receber a multa !

(20)

39

APLICAÇÃO

Navios fundeados

Demurrage:

“Multa por atraso”

40

Modelo de Reparo de Máquina:

Suponha que existem K máquinas e R técnicos de manutenção. Em qualquer instante de tempo uma máquina pode estar funcionando ou quebrada. O tempo que uma máquina permanece funcionando segue uma distribuição exponencial com taxa λλλλ ao passo que o tempo de reparo necessário segue uma distribuição exponencial com taxa µµµµ.

TEORIA DE FILAS

(21)

41

Modelo de Fila M/M/R/GD/K/K : Este modelo supõe:

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1 Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

2 Natureza do processo de serviço. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

3 Número de servidores em paralelo é R ao invés de 1.

4 Organização da fila: FCFS – Primeiro a entrar, primeiro a sair (First come, first served), p. ex.

5 Número máximo de clientes no sistema (totalizando clientes na fila e em atendimento) é K e não ∞∞∞∞.

6 Tamanho da população de clientes é K e não ∞∞∞∞.

42

Modelo de Fila M/M/R/GD/K/K:

O modelo anterior é um exemplo de modelo com recursos finitos, ou seja, ele é tal que as chegadas dependem de uma pequena população. Pode-se assumir que este processo pode ser modelado por um processo de nascimento-morte, onde o estado j, em qualquer tempo, é o número de máquinas quebradas. É importante observar que existem 2 casos para este problema:

Caso 1: Mais técnicos que máquinas quebradas: j ≤≤≤≤ R.

Caso 2: Mais máquinas quebradas que técnicos: j > R.

TEORIA DE FILAS

(22)

43

Neste modelo existem K máquinas e R técnicos de manutenção:

Caso 1: Se j ≤≤≤≤ R

Qualquer máquina que apresentar problema será imediatamente colocada em manutenção. Não há filas.

Seja R = 2 e j = 2:

µµµµ µµµµ

Taxa de atendimento j*µµµµ = 2*µµµµ

44

TEORIA DE FILAS

Seja R = 2 e j = 5:

µµµµ µµµµ

Taxa de atendimento s*µµµµ = 2*µµµµ

# clientes na fila

Neste modelo existem K máquinas e R técnicos de manutenção:

Caso 2: Se j > R

Neste caso j-R máquinas deverão esperar atendimento, pois a capacidade máxima de atendimento é R.

(23)

45

Supondo que K = 5 e R = 2, F = Máquina em funcionamento, Q = máquina quebrada e C = Trabalhador ocupado, então, segue a seguinte tabela e grafo:

2 1

0

2µµµµ 5λλλλ

µµµµ

4 3

2µµµµ 2µµµµ

5 2µµµµ 4λλλλ 3λλλλ 2λλλλ λλλλ

Estado # Maq.F Fila # Trab.C

0 5 0 0

1 4 0 1

2 3 0 2

3 2 1 2

4 1 2 2

5 0 3 2

46

De acordo com o processo de nascimento-morte:

TEORIA DE FILAS

λλλλj = (K-j)λλλλ (j=0,1,2,...) µµµµj = ju (j = 0,...,R)

µµµµj = Rµµµµ (j = R+1,...) 2

1 0

2µµµµ 5λλλλ

µµµµ

4 3

2µµµµ 2µµµµ

5 2µµµµ 4λλλλ 3λλλλ 2λλλλ λλλλ

Caso 1 Caso 2