COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
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Exercícios de Números Complexos – Forma Trigonométrica – 2011 - GABARITO 1. Determine o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = 4 – i b) z = -5i c) z 2 i d) z = 8 Solução. Aplicando a fórmula do módulo em cada caso, temos:
a) z ( 4 )
2 ( 1 )
2 16 1 17 b) z ( 0 )
2 ( 5 )
2 25 5
c) z 2
2 ( 1 )
2 2 1 3 d) z 8
2 ( 0 )
2 64 8
2. Determine o argumento principal dos complexos:
a) z 1 i b) z 2 2 3 i c) z 4 i d) z 2 2 3 i Solução. Os argumentos serão calculados encontrando a forma trigonométrica de cada complexo.
a)
4 rad ou 7 º 315 2
sen 1 2 cos 1
2 1 1 )1 ( )1 (
z 2 2
b)
3 rad ou º 60 2
3 4
3 sen 2
2 1 4 cos 2
4 16 12 4 3
2 )2 (
z 2 2
c)
2 rad ou º 90 4 1
sen 4 4 0 cos 0
4 16 )4 ( )0 (
z 2 2
d)
3 rad ou 2 º 120 2
3 4
3 sen 2
2 1 4 cos 2
4 16 12 4 3
2 )2 (
z 2 2
3. Sendo z 4 i e w 3 2 i , calcule:
a) z b)
wc)
z.wSolução. Efetuando as operações em cada caso, temos:
a) z ( 4 )
2 ( 1 )
2 16 1 17
b) w ( 3 ) 2 9 4 13 i
2 3 w
2
2
c)
11 100 121 221 )
10 ( w . z
i 11 10 i 11 2 12 i
2 i 3 i 8 12 i
2 3 . i 4 w . z
2 2
2
4. Calcule o valor de 4 4 i 3
6.
Solução. A operação ficará mais prática escrevendo o complexo na forma trigonometria.
3 6 18 18 18
6
6 6 6
6 2 2
2 )i0 1 1(
2 )2 ( isen )2 cos(
2 )4 ( isen )4 cos(
. 2 z
3 ).6 2 ( 3 isen ).6 2 cos(
. 3 8 isen 2 3 cos 2 8 3i 4 4 z
3 isen 2 3 cos 2 8 z 3 rad ouº 2 120 2
3 8 sen 34
2 1 8 cos 4
8 64 48 16 34 )4 ( z
3i 4 4 z
.
5. (UFCE) Sejam z
1e z
2os números complexos da equação 1 x
x 1 . Determine o valor de z
1 z
2. Solução. Resolvendo a equação e posteriormente o módulo, temos:
1 0 1
2 1 2 2
3 i 1 2
3 i z 1
z
2 3 i z 1
2 3 i z 1
2 3 1 )1(
2
)1 )(1 (4 1 x 1
0 1 x x x 1 x x 1
x 1
2 2 2
1
2 2 1
2 2
.
6. Escreva o complexo
68
i 4 4
i 2 3 z 2
na forma trigonométrica.
Solução. Escrevendo o numerador e denominador na forma trigonométrica e dividindo os complexos,
temos:
i)
3 isen 44 3 cos 44 6 4 )8( 11 6 isen )8 11 cos(
4 z
6 isen 11 6 cos4 11 z 6 rad ouº 11 330 2 1 4 sen 2
2 3 4 cos 32
4 16 412 )2(
32 z i23 2z
8 8 8
1
1 2 2
1
.
ii)
2 isen 3 2 cos 3 4 2.4 )6(
4 isen )6 cos(
24 z
isen 4 cos 4 24 rad z ouº 4 45 2 1 24 sen 4
2 1 24 cos 4
24 32 16 16 )4(
4 z i44 z
3 6 6
6 2
2 2 2
2
.
Logo, temos:
6 isen 7 6
cos 7 6 2
isen 79 6
cos 79 2 z
2 3 3 isen 44 2
3 3 cos 44 8 16 2
isen 3 2
cos 3 2 . 4
3 isen 44 3
cos 44 4 i
4 4
i 2 3 z 2
3 6 8
6 8
.
7. Sejam os complexos
8
isen 3 8
cos 3 2
u e
8
isen 11 8
cos 11 2
v . Dê a forma algébrica de:
a) u . v b) u
v c) u
2Solução. Aplicando as fórmulas de produto, quociente e potência na forma trigonométrica, temos:
a)
i 2 2 2
i 1 2 2 1 4 2
isen 7 4
cos 7 2 8 2
isen 14 8
cos 14 2 2 v . u
8 11 8 isen 3 8
11 8 cos 3 2 8 2
isen 11 8
cos 11 2 8 .
isen 3 8
cos 3 2 v . u
.
b)
2 0 2
i 2 1
isen 2 2 cos
2 u v
8 isen 8 8
cos 8 2
2 8
3 8 isen 11 8
3 8 cos 11 2
2 8
isen 3 8
cos 3 2
8 isen 11 8
cos 11 2 u v
.
c)
i.
2 2 2 2 2
i 2 2 4 2 u
4 isen 3 4
cos 3 8 4
. 3 2 8 isen
. 3 2 cos 8 4
isen 3 8
cos 3 2 u
2
2 2
2
.
8. Calcule as raízes quartas de -1.
Solução. Aplicando a fórmula da radiciação dos complexos, temos:
2 i 2 2
2 4 isen 7 4 cos 7 .1 w 3 k
2 i 2 2
2 4 isen 5 4 cos 5 .1 w 2 k
2 i 2 2
2 4 isen 3 4 cos 3 .1 w 1 k
2 i 2 2
2 isen 4 cos 4 .1 w 0 k
4 isen k2 4 cos k2 .1 w
4 k2 k2
4
1 w 1 w isen
cos.
1 z
4 isen 4 cos w w w z z w
isen cos w w
isen cos.
1 z 1 0
sen 0 1 1 cos 1
1 1 )0(
1 z 1 z
3 2 1 0
k
4 4 4 4 4
2 2
.
9. Calcule as raízes quintas de z 1 i e represente-as no plano Argand-Gauss.
Solução. A representação será um pentágono regular. Como os argumentos diferem entre si de
5
2 ,
formando uma PA, basta encontrarmos o primeiro argumento.
20 isen 39 20 cos 39 .2 w 4 k
20 isen 31 20 cos 31 .2 w 3 k
20 isen 23 20 cos 23 .2 w 2 k
4 isen 3 4 cos 3 .2 w 1 k
20 isen 7 20 cos 7 .2 w 0 k
4 k2 . 7 5 isen 1 5
k2 20 . 7 cos .2 w
4 k2 . 7 5 isen 1 4 k2
. 7 5 cos 1 . 2 w
4 isen 7 4 cos 7 .2 z 4
7 2 sen 1
2 cos 1
2 1 1 )1 ( 1 z i 1 z
10 4
10 3
10 2
10 1
10 0 10 k
1 5 k
2 2
.
A 1ª raiz inicia de um arco de 63º e as outras estão distantes arcos de 72º.
10. Determine o menor valor de n para que o complexo z 2 3 2 i
nseja imaginário puro.
Solução. Para que seja imaginário puro, a parte real deve ser nula. Escrevendo a potência na forma
trigonométrica, temos:
7 . k3 n 3 k3 3n 7 2 k 6 0 n.7 6 cos n.7 0) zRe(
6 isen n.7 6 cos n.7 6 4 isen 7 6 cos. 7 4 i2 32 z
6 isen 7 6 cos. 7 4 z 6 7 2 1 4 sen 2
2 3 4 cos 32
44 12 )2(
32 z i23 2 z
n n n
1 2 2
1
1
.
O numerador (3 + 12k) deve ser múltiplo de 7. O primeiro valor de k que satisfaz a condição é k = 6. Logo, 7 3
21 7
) 6 ( 3
n 3 .
11. Dado o número complexo
isen 6 cos 6
z , se P
1, P
2e P
3são as respectivas imagens de z , z
2e z
3no plano complexo, calcule a medida do maior ângulo interno do triângulo P
1, P
2e P
3.
Solução. O módulo dos complexos vale 1. Os argumentos são:
2 3 6
3 e 2 6
6 ;
.
O ângulo inscrito em P
3vale 15º (metade de 30º determinado pelo arco P
2P
1). O mesmo acontece com o ângulo inscrito em P
1. Vale 15º. Logo, o maior ângulo vale 180º - (15º + 15º) = 150º.
12. (UNESP) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1. Indique por Re(z), Im(z) e |z| a parte real, imaginária e o módulo do número complexo z = x + iy,
respectivamente. Marque a alternativa que contém as condições que descrevem o subconjunto do plano que representa a região sombreada, incluindo sua fronteira.
a) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≥ 0 e |z| 1 b) Re(z) ≥ 0, Im(z) 0 e |z| 1
c) Re(z) ≥ 0 e |z| ≥ 1 d) Im(z) ≥ 0 e |z| ≥ 1 e) Re(z) ≥ 0 e |z| 1
Solução. O raio mede 1. Logo, no eixo real, a variação vai de 0 até 1. Isto é, sentido positivo. No eixo
imaginário os valores variam entre -1 e 1. A região pintada é interior ao semicírculo incluindo a fronteira.
13. (ITA) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z
6 1 . Qual a área deste polígono, em unidades de área?
Solução. O polígono é um hexágono regular de lado igual a 1 (módulo = raio da circunferência). A área é o
sêxtuplo da área de um triângulo equilátero de lado 1. Temos:
2 3 3 4
3 . 6 1 A
2
hexágono
