Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

(1)

3.1- Movimento em 1D

Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais

(2)

Índice

1. Conceitos Fundamentais;

2. Velocidade;

3. Movimento Uniforme;

4. Movimento Uniformemente Variado;

5. Movimento Variado não uniforme;

6. Queda livre;

7. Movimento Relativo.

2 Prof. Roberto Claudino

(3)

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento sobre os conceitos e grandezas que envolvem os movimentos, assim como suas expressões, unidades de medida e aplicações.

Prof. Roberto Claudino

(4)

4

CINEMÁTICA

 A física se divide em vários ramos e a Cinemática é um deles;

 Conceito de Cinemática: Ciência que

estuda os movimentos sem se preocupar com suas causas e consequências.

 Cinemática escalar, (grandeza escalar);

 Cinemática vetorial, (grandeza vetorial);

(5)

5

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

 Ponto Material e Corpo Extenso;

 Repouso, Movimento e referencial;

 Trajetória;

 Posição escalar, no SI (m);

 Deslocamento escalar (m) .

1 2 x

x

x  



(6)

6

VELOCIDADE MÉDIA e VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

 Velocidade média , no SI (m/s);

 Velocidade escalar média , (m/s)

É uma forma diferente de se escrever a rapidez com que a partícula está se movendo.

Envolve a distância total percorrida independente do sentido.

Prof. Roberto Claudino 1 2

1 2

t t

x x

t vm x



 



 

x

t

0 m 0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

S_méd  distânciat total

(7)

7

VELOCIDADE INSTANTÂNEA e

VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA

 Velocidade instantânea é obtida reduzindo o

intervalo de tempo ∆t até torná-lo próximo de zero;

 A velocidade escalar instantânea trata-se do módulo da velocidade instantânea sem levar em consideração o sentido do deslocamento da partícula.

x t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=5 m/s V=7 m/s V=8 m/s

dt dx t

v x

t





 





lim

0

(8)

Um automóvel viaja do ponto A até o ponto B a 36 km/h durante o primeiro minuto e de B até C a 72 km/h nos três minutos seguintes. Qual a sua velocidade escalar média durante os quatro minutos?

Se este automóvel retornasse ao ponto B levando 30 s para manobrar em C, desprezando os pequenos deslocamentos da manobra e sabendo que o percurso CB foi realizado em 2 minutos. Qual seria a sua velocidade média em CB? e qual a sua velocidade escalar média em todo percurso?

Prof. Roberto Claudino 8

1º Problema:

(9)

A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a velocidade da partícula em t = 3,5s? A velocidade é constante ou está variando continuamente?

A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a velocidade da partícula em a) t = 5 s e b) t = 8 s?

c) a velocidade é constante ou está variando continuamente?

2º Problema:

³ 1 , 2 2

, 9 8

,

7 t t

x   

3º Problema:

t

x  5 , 3  4 , 2

(10)

10

MOVIMENTO UNIFORME

x t

0 m 0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

V = constante ≠ 0

A função da posição:

Demonstração Unidades de medidas

   

0 t

) (

o















o o

t t x

x

t

t x

x

t t v x

x

t v x

dt v

dx

vdt dx

dt V dx

o o

) (

s dt

m dx s

V m  



 





vt x

x 

_o



(11)

11

GRÁFICO DO MOVIMENTO UNIFORME

 é do 1º grau,

sua declividade (v) é uma reta;

 Em (x,t):

 Se v > 0, movimento Progressivo;

 Se v < 0, movimento retrogrado;

 Em (v,t), função constante:



x

t v > 0

x

t v < 0 v

t

v > 0 v

t v < 0

vt x

x 

_o



(12)

Dois móveis A e B percorrem uma reta de acordo com os diagramas indicados ao lado. Qual a posição de encontro destes móveis?

4º Problema:

(13)

13

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que ela sofreu uma aceleração.

Já a aceleração instantânea trata-se do limite da aceleração média com Δt tendendo a zero.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

x t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=12 m/s V=16 m/s

x

t 0 s 1 s 2 s 4 s

V=24 m/s V=18 m/s V=12 m/s V=0 m/s

4

2

2 3

8 12

s m t

a v 



 



 

6

2

0 1

24 18

s m t

a v  



 



 

A velocidade é variável e a aceleração é constante ≠ 0.

dt a dv

t a v

t

 



 





lim

0 ^{Pode ser}

Também:

²

² dt

x d dt

dx dt

d dt

a dv  



 



 



(14)

14

FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO E DA

VELOCIDADE PARA MOVIMENTO VARIADO

A função da velocidade.

Demonstração:

   

0 t

) (

o















o o

t t v

v

t

t v

v

t t a v

v

t a v

dt a

dv

adt dv

dt a dv

o o

at v

v 

_o



A função da posição.

Demonstração:

 

 ^ ^













t

t o

x

o o o

o o

o

tdt a

dt v

dx

dt at v

dx

at dt v

dx

dt v dx

a v

v

) (

t

2

2 t t a

v x

x 

_o



_o



   

 

0 ) 2 (

2

2 2

2















 

 



 



o

o o

t

t t

t o x

x

t

t a t

t t v x

x

a t t

v x

o o

o

(15)

15

INTEGRAÇÃO DO GRÁFICO EM ANÁLISE DO MOVIMENTO

v

 t

 ^



t

t x

x_o _o

vdt dx

dt v dx

to t







t

t_O

vdt x

x

₀

Área

N

x

o

x  

a

to t1 t

 ^ 



t

to

adt dv

dt a dv







t

adt v

v

0 0

0

Área

N

v

v  

(16)

O gráfico a baixo representa o movimento de um móvel. Qual a variação da posição no intervalo de 0 a 12 segundos.

5º Problema:

(17)

A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. (a) Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula. (b) Existe algum instante para o qual v=0?

6º Problema:

² 27

4 t t

x   

(18)

18

EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Torricelli eliminou a variável tempo da equação das velocidades da seguinte maneira:

Sabemos que: , logo: , igualando as duas equações:

at v

v 

_o



x a v

v

²



_o²

 2 



 ^



x

x v

v

_o _o

adx vdv

a dv v

dx

dt dt

dt a dv dt

v  dx , 

a dt dv

v

dt  dx , 

 

 

x a

v v

x x

v a v

x v a

o

o o

x x v

v

o o







 

 

 



2 ² 2

² 2

²

2

(19)

MOVIMENTO VARIADO NÃO UNIFORME

x t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=18 m/s V=32 m/s

 

^v_v

 

^t_t

t

t v

v

t

t v

v

o o

t v

tdt dv

adt dv

dt a dv

0

²

2 4 4





A velocidade e a aceleração são variáveis.

No exemplo abaixo a partícula parte do repouso e aceleração varia segundo a função . a  4 t

² 2

0 0

: exemplo No

)

² ( 2

)

² ( 2

2 2

t v

t t

v v

t t

v v

o o















s m v

s m a

s m v

s m a

s m v

s m a

/ 32

² / 16

: 4s t

Em

/ 18

² / 12

: 3s t

Em

/ 8

² / 8

: 2s t

Em



   

3 ³ 2

² 2

0 0

x t

t x

dt t dx

vdt dx

dt v dx

t t x

x

t

t x

x

o o





t

a  4

(20)

A aceleração de um corpo em movimento retilíneo é diretamente proporcional ao tempo e representada por a = kt, onde k é uma constante.

Para t = 0s, a velocidade do corpo é de -16 m/s.

Sabendo que a velocidade e a coordenada da posição são nulas no tempo de 4s. Determine (a) as equações da aceleração, velocidade e posição do corpo (b) a aceleração, velocidade e posição do corpo no tempo de 2s.

7º Problema:

(21)

21

QUEDA LIVRE

Um objeto quando abandonado no vácuo nas proximidades da Terra descreve trajetória vertical e sua velocidade aumenta progressivamente sob a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s².

No vácuo, objetos caem sempre da mesma forma,

independente de sua massa, tamanho e forma.

Na Terra não temos queda livre devido à resistência do ar, no entanto para pequenos deslocamentos podemos desprezar a resistência do ar.

Convencionando o sinal de (g) = (-g)

gt v

v 

_o



2 t ² t g

v y

y 

_o



_o

 y g v

v ² 

_o²

 2  Descida: v = (-) e o |V| aumenta

Subida: v = (+) e o |V| diminui

Convencionando o sinal de (v):

(22)

Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo com uma velocidade de 24 m/s. (a) de que altura um operário a deixou cair?

(b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os gráficos de y,v,e g em função de t para a chave de grifo.

8º Problema:

(23)

23

MOVIMENTO RELATIVO

 O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador.

 Diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtém diferentes descrições de um mesmo movimento.

 O estudo do movimento relativo tem como

objetivo relacionar estes resultados distintos de

um mesmo movimento.

(24)

24

MOVIMENTO RELATIVO EM 1D

vBA

PB PA

BA

BA PB

PA

BA PB

PA

BA PB

PA

BA PB

PA

a a

v

dt v v d

dt v d

dt d

dt a dv

v v

v

dt x x d

dt x d

dt d

dt v dx

x x

x



















Constante Sendo

) (

BA PB

PA

x x

x  

(25)

Na figura do slide anterior, Alexandre é o referencial A enquanto que Bárbara é o referencial B. A velocidade de Barbara em relação a Alexandre é constante, e que o carro P está se movendo no sentido negativo do

eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade para o carro P, qual é a velocidade medida por

Bárbara? (b) Se o carro P freia até parar em relação a Alexandre (e portanto, em relação ao solo) no instante t = 10 s, com uma aceleração constante, qual é a sua aceleração em relação a Alexandre?

(c) Qual é a aceleração do carro P em relação à Bárbara durante a frenagem?

9º Problema:

km/h

 52 v

BA

km/h

 78

PA

 v v

PB

a

PA

a

PB

(26)

3.2- Movimento em 2D e 3D.

Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais

(27)

POSIÇÃO e DESLOCAMENTO em 2D e 3D.

O deslocamento vetorial ^:

r 

k z j

y i

x

r   ˆ  ˆ  ˆ

Posição vetorial ou vetor posição .

r 



   

     

      ^x ⁱ ^y ^j ^z ^k

r

k z

z j

y y

i x x

r

k z j

y i

x k

z j

y i

x r

r r

r

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

1 2

1 1

1 2

2 2

1 2















































 



 



(28)

Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenadas foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:

x = - 0,31t² + 7,2t + 28 y = 0,22t² - 9,1t + 30

(a) No instante t = 15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação módulo-ângulo?

10º Problema:

(29)

VELOCIDADE MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.

As componentes escalares ficam:

t v r

t

k z j

y i

v x

méd méd



 









 

 

 ˆ ˆ ˆ

Velocidade média: Velocidade Instantânea:

dt v dz

dt v dy

dt

v

_x

 dx ,

_y

 ,

_z



 

k v j

v i

v v

k vz j

y i

dt x v d

z y

x

ˆ ˆ ˆ











(30)

Determine a velocidade vetorial do coelho do problema 10, no instante t = 15s.

x = - 0,31t² + 7,2t + 28 y = 0,22t² - 9,1t + 30

Lembre-se que: Um vetor é caracterizado por ter módulo, direção e sentido.

11º Problema:

(31)

ACELERAÇÃO MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.

As componentes escalares ficam:

t a v

t v a v

méd méd



 



 

 



 

₂ ₁

Aceleração média: Aceleração Instantânea:

dt a dv

dt

a

_x

 dv

^x

,

_y



^y

,

_z



^z

 

dt k j dv

dt i dv

dt a dv

k v j

v i

dt v a d

y z x

z y

x

ˆ ˆ ˆ











(32)

32

MOVIMENTO RELATIVO EM 2D

BA PB

PA r r

r   





v 

BA

r 

BA

r 

PB

r 

PA

BA PB

PA v v

v   





PB

PA a

a  



(33)

Um avião se move para leste enquanto o piloto direciona o avião ligeiramente ao sul do leste, para compensar um vento constante que sopra para nordeste. O avião tem uma velocidade em relação ao vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que faz um ângulo θ ao sul do leste. O vento tem uma velocidade em relação ao solo, com uma velocidade escalar de 65,0 Km/h e uma orientação que faz um ângulo de 20º a leste do norte. Qual é o módulo da velocidade do avião em relação ao solo e qual é o valor de θ?

12º Problema:

v 

AV

v 

VS

v 

AS

(34)

34

LANÇAMENTO HORIZONTAL

 O movimento de um corpo lançado

horizontalmente, coincide com o movimento em queda livre;

O corpo apresenta duas velocidades: Uma na horizontal (vx) e a outra na vertical (vy).

A velocidade horizontal

não afeta a vertical.

(35)

O movimento de projéteis é composto de duas velocidade uma na horizontal ( ) e outra na vertical ( ).

Um projétil pode ser entendido como uma partícula que se move no plano vertical com velocidade inicial e com aceleração constante igual a aceleração de queda livre , dirigida para baixo. Onde: , onde:

35

MOVIMENTO DE PROJÉTEIS

v 

^o

g 

j v i

v

v 

_o



_ox

ˆ 

_oy

ˆ

o o

oy

o o

ox

sen v

v

v v









 cos

v 

x

v 

y

(36)

36

MOVIMENTO HORIZONTAL

Na horizontal não existe aceleração, logo trata-se de um MU.

t v

x x

t v x

x

v v

o o

o

ox o

x ox

) cos

(

constante











O movimento na horizontal

coincide com um movimento em

queda livre, logo o movimento

horizontal não interfere no

movimento vertical.

(37)

37

MOVIMENTO VERTICAL

Trata-se de um movimento em queda livre MUV.

Logo, nas expressões em queda livre, substituiremos: v _oy  v _o  sen  _o

gt sen

v

_y



_o

 

_o



2 t ² t g

sen v

y

y 

_o



_o_

 

_o

 

 ^v ^sen  ^g ^y

v

² y



_o

 

_o ²

 2 

(38)

38

EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA

Trata-se da equação para encontrar o caminho percorrido pelo projétil. Para encontrá-la, isola-se o tempo na equação do deslocamento horizontal e substitui-se na equação do deslocamento vertical, tomando

y MUV

 ^tag ^  ^x ²  ^v

_o

^gx ^cos ^² ^  ^²

y  

0 ,

0 



_o

o

x

y

Equação da trajetória

(39)

39

ALCANCE HORIZONTAL



 









 













2 ² )

( 0

) (cos

² ) 2

(

) (

g t t

sen v

t v

R g t

t sen

v y

y

t Cos

v x

x

o o

o

o o

o



) ) (

( 2

) (

) 2 (

0 ) 2 (

0 ) e (

o o

Sen Cos v

v

R g

Cos v

R Sen g

v

t g t Sen

Cos v v

t R

 







 

  



0 ,  



 x

_o

R y y

_o

x

Elimina o tempo nas duas:



) )(

2

²

(

o o

o

Sen Cos

R  v  

) 2 (

2

o o

Sen g

R  v 

Chamaremos:

É a distância máxima horizontal que o projétil

alcança até atingir sua altura inicial.

(40)

40

ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO

g R

_máx

v

^o



2

1 2

_o

 sen 

º 45 º

90 2 

_o

  

_o



Então o alcance máximo

Ocorre quando:

Portanto o ângulo de alcance máximo é 45º

) 2 (

2

o o

Sen g

R  v 

(41)

Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que está 10,0 m acima da superfície da água. (a) A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0,8 s após o início do salto?

(b) A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante? (c) A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a água?

13º Problema:

(42)

Um avião mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 53º com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m. O projétil chega ao solo 5,0 s após o lançamento.

(a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso? Quais são as componentes?

(c) horizontal e (d) vertical da velocidade do projétil no momento em que chega ao solo?

14º Problema:

(43)

Um projétil é lançado do solo para cima segundo um ângulo de 30º com a horizontal, com