Conjuntos de continuidade
sequencial fraca
para polinˆ
omios
em espa¸cos de Banach
Pedro Levit Kaufmann
disserta¸c˜ao de mestrado
INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO
´
Area de concentra¸c˜ao: An´alise
Orientadora: Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co
Resumo
Esta disserta¸c˜ao tem por objetivo a apresenta¸c˜ao de um estudo em espa¸cos de Banach sobre os conjuntos nos quais determinados polinˆomios homogˆeneos cont´ınuos s˜ao fraca-mente sequencialfraca-mente cont´ınuos. Algumas propriedades desses conjuntos s˜ao estudadas e ilustradas com exemplos, em maior parte no espa¸co lp. Obtemos um f´ormula para o conjunto de continuidade sequencial fraca do produto de dois polinˆomios e algumas con-sequˆencias. Resultados mais fortes s˜ao obtidos quando restringimos nossos espa¸cos de Banach a espa¸cos com FDD incondicional e/ou separ´aveis. Os resultados estudados aqui foram obtidos por R. Aron e V. Dimant em [2].
Abstract
Introdu¸c˜
ao:
O espa¸co dos polinˆomios homogˆeneos cont´ınuos definidos em espa¸cos de Banach tem sido objeto cont´ınuo de pesquisa nos ´ultimos anos. Um dos pontos a se destacar ´e o grande interesse em estabelecer rela¸c˜oes entre um espa¸co de Banach E e o espa¸co dos polinˆomios definidos sobre E. Podemos observar tal fato em diversos trabalhos cient´ıficos que es-tudam como os polinˆomios portam-se em conex˜ao com certas propriedades geom´etricas dos espa¸cos de Banach onde est˜ao definidos e de propriedades definidas em termos de polinˆomios. Citamos aqui alguns trabalhos, [4], [5] e [11], que abordam o referido tema.
O interesse sobre conjunto de continuidade sequencial fraca de um polinˆomioP, deno-tado porCP, tem como origem o fato de que nem todo polinˆomio ´e fracamente sequencial-mente cont´ınuo em todo dom´ınio ou em ponto algum, como se verifica logo ao in´ıcio do cap´ıtulo 3. Algumas propriedades interessantes s˜ao obtidas quandoP ´e homogˆeneo. Uma f´ormula para CP.Q nos permite analisar a irredutibilidade de determinados polinˆomios, estabelecendo assim uma interessante conex˜ao entre propriedades topol´ogicas e alg´ebricas de polinˆomios. Os resultados sobre o assunto aqui expostos se encontram em [2]
A seguir descrevemos os assuntos abordados em cada cap´ıtulo.
No cap´ıtulo 1, s˜ao apresentados primeiramente alguns resultados b´asicos de an´alise funcional usados no decorrer deste trabalho.
A seguir h´a uma introdu¸c˜ao aos espa¸cos de Banach com FDD incondicional, com algumas propriedades, inclusive a de que espa¸cos deste tipo s˜ao separ´aveis.
Tamb´em no cap´ıtulo 1 desenvolvemos a teoria b´asica de topologia fraca, estabelecendo-se o conceito de convergˆencia fraca, que ´e central neste trabalho. ´E apresentada uma caracteriza¸c˜ao de convergˆencia fraca em espa¸cos do tipo lp, ´util para o desenvolvimento de certos exemplos.
Na primeira se¸c˜ao do cap´ıtulo 3 definimos o conjuntoCP e estudamos suas propriedades b´asicas. Os resultados nesta se¸c˜ao foram obtidos por R. Aron e V. Dimant em [2]. Apresen-tamos uma f´ormula paraCP.Q, e algumas aplica¸c˜oes desta f´ormula para irredutibilidade de polinˆomios. Estudamos certas quest˜oes envolvendoCP que s˜ao colocadas e parcialmente respondidas em [2], no caso em que E ´e um espa¸co de Banach qualquer.
Sum´
ario
1 Resultados preliminares 6
1.1 Decomposi¸c˜ao de Schauder incondicional . . . 10
1.2 Topologia fraca . . . 19
2 Polinˆomios homogˆeneos cont´ınuos 25 2.1 Aplica¸c˜oes multilineares . . . 25
2.2 Aplica¸c˜oes Multilineares Sim´etricas . . . 33
2.3 Polinˆomios . . . 35
2.4 Polinˆomios fracamente sequencialmente cont´ınuos . . . 44
2.5 Complexifica¸c˜ao de polinˆomios . . . 46
3 O conjunto CP 51 3.1 Propriedades gerais de CP . . . 53
Nota¸c˜
oes
N0 N∪ {0}
K corpo de escalares, reais ou complexos
X, Y K-espa¸cos vetoriais ou espa¸cos normados
E, F espa¸cos de Banach
[M] espa¸co gerado pelo conjunto M
L(E;F) transforma¸c˜oes lineares cont´ınuas de E em F X∗ funcionais lineares de X
E′ espa¸co dual de E
ek sequˆencia de escalares que vale 1 na k-´esima coordenada e zero nas demais
xn w
→x xn converge fracamente a x
La(mX;Y) transforma¸c˜oes m-lineares de X em Y
L(mE;F) transforma¸c˜oes m-lineares cont´ınuas de E em F
L(mE) L(mE;K)
Las(mX;Y) transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas de X em Y
Ls(mE;F) transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas cont´ınuas de E em F
Ls(mE) Ls(mE;K)
Pa(mX;Y) polinˆomios m-homogˆeneos de X em Y
P(mE;F) polinˆomios m-homogˆeneos cont´ınuos de E em F
P(mE) P(mE;K)
Pa(X;Y) polinˆomios de X em Y
P(E;F) polinˆomios cont´ınuos de E em F
P(E) P(E;K)
Pwsc(mE) polinˆomios m-homogˆeneos fracamente sequencialmente cont´ınuos
Pwsc0(mE) polinˆomios m-homogˆeneos fracamente sequencialmente cont´ınuos na origem
DJ(mE) polinˆomios m-homogˆeneos cont´ınuos diagonais com rela¸c˜ao a J
Cap´ıtulo 1
Resultados preliminares
Apresentamos inicialmente alguns resultados b´asicos que ser˜ao necess´arios no decor-rer deste trabalho. Muitas afirma¸c˜oes ao longo deste cap´ıtulo ser˜ao feitas sem demons-tra¸c˜ao; s˜ao consideradas pr´e-requisitos para o estudo deste trabalho. Essas afirma¸c˜oes podem ser encontradas com demonstra¸c˜ao em boa parte dos livros de an´alise matem´atica, por exemplo em [13] e [15]. Ser˜ao utilizados tamb´em nota¸c˜oes e resultados b´asicos de topologia. Lembremos que, quandoX´e espa¸co normado eF ´e espa¸co de Banach,L(X;F) munido da normakTk= sup. {kT(x)k:kxk ≤1}´e um espa¸co de Banach.
Ao longo do estudo, os seguintes trˆes resultados fundamentais (1.1, 1.5 e 1.6) ser˜ao frequentemente referidos:
Teorema 1.1(Teorema de Hahn-Banach). SejamX um espa¸co normado,S um subespa¸co
qualquer de X e γ ∈ S′. Ent˜ao existe γ ∈ X′ tal que para cada x ∈ S temos que
γ(x) = γ(x) e kγk=kγk.
Corol´ario 1.2. SejamX um espa¸co normado,S um subespa¸co fechadodeX e x∈X\S. Ent˜ao existe γ ∈ X′ satisfazendo γ(S) = {0}, γ(x) = d(x, S) = inf{kx−yk : y ∈S}
e kγk= 1.
Demonstra¸c˜ao:
Vamos definir um funcional f em S + [x] por f(y+λx) =. λd(x, S), para cada y ∈ S, λ∈K. Ent˜ao f(x) =d(x, S) e para cada y∈S, f(y) = 0.
Para cada y∈S e cada λ∈K n˜ao nulo temos que
de forma que f ´e cont´ınuo e kfk ≤1. Para cada y ∈S,
kfkkx−yk ≥ |f(x−y)|=d(x, S)
e desta forma
kfkd(x, S) =kfkinf{kx−yk:y∈S} ≥d(x, S).
Sendo d(x, S) > 0, temos que kfk = 1. Portanto pelo Teorema de Hahn-Banach (1.1) existeγ ∈ X′ satisfazendo γ(S) ={0}, γ(x) =d(x, S) = inf{kx−yk :y∈S} e kγk= 1, como quer´ıamos. ♠
Corol´ario 1.3. Sejam X um espa¸co normado e x ∈ X n˜ao nulo. Ent˜ao existe γ ∈ X′
tal que γ(x) =kxk e kγk= 1.
Demonstra¸c˜ao:
Considerando S = {0}, podemos usar o corol´ario 1.2 para afirmar que existe γ ∈ X′
satisfazendo γ(x) =kxk ekγk= 1. ♠
Corol´ario 1.4. Seja X um espa¸co normado, e sejam x, y ∈ X distintos. Ent˜ao existe
γ ∈X′ tal que γ(x)6=γ(y).
Demonstra¸c˜ao:
x−y 6= 0. Ent˜ao considerando de novo S = {0}, pelo corol´ario 1.2 existe γ ∈ X′
satisfazendo γ(x)−γ(y) = γ(x−y) =kx−yk>0. Assim, γ(x)6=γ(y). ♠
Teorema 1.5 (Teorema da aplica¸c˜ao aberta). Sejam E e F espa¸cos de Banach e T ∈
L(E;F) sobrejetora. Ent˜ao para cada subconjunto aberto U de E temos que T(U) ´e um aberto deF.
Teorema 1.6 (Princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme). Sejam E um espa¸co de Banach, Y um espa¸co normado e F uma fam´ılia n˜ao vazia de elementos de L(E;Y). Se sup{kT(x)k :
T ∈ F} ´e finito para cada x∈E, ent˜ao sup{kTk:T ∈ F}´e finito.
Teorema 1.7 (Teorema de Banach-Steinhaus). Sejam E um espa¸co de Banach, Y um espa¸co normado e (Tn)n uma sequˆencia em L(E;Y).
Ent˜ao, se para cada x ∈ E existir lim
n→∞Tn(x), teremos que T(x)
.
= lim
n→∞Tn(x) ´e uma
transforma¸c˜ao linear cont´ınua de E em Y.
Demonstra¸c˜ao:
T ´e linear, pois para cadax, y ∈E e cada λ∈K temos que
T(x+λy) = lim
n→∞Tn(x+λy) = limn→∞(Tn(x)+λTn(y)) = limn→∞Tn(x)+λnlim→∞Tn(y) = T(x)+λT(y).
Como sup{kTn(x)k : n ∈ N} ´e finito para cada x∈ E, ent˜ao pelo princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme existe M > 0 tal que sup{kTnk : n ∈ N} < M. Ent˜ao para cada x ∈ E com
kxk ≤1 temos que kTn(x)k< M, e assim kT(x)k ≤M. Portanto T ´e cont´ınua. ♠
Vers˜oes mais gerais desses Teoremas podem ser encontradas nas referˆencias citadas ao in´ıcio do cap´ıtulo.
Vamos precisar tamb´em dos dois pr´oximos resultados sobre funcionais lineares. Recorde-mos que umhiperplano em X por defini¸c˜ao ´e um subespa¸co pr´oprio de X maximal, isto ´e, um subespa¸co pr´oprio H deX ´e um hiperplano se para cada subespa¸co H′ distinto de
H satisfazendo H⊂H′ ⊂X tivermos que H′ =X.
Proposi¸c˜ao 1.8. SejamX umK-espa¸co vetorial e H um hiperplano em X. Ent˜ao existe
γ ∈X∗ tal que γ−1(0) =H.
Reciprocamente, se γ ´e um funcional linear n˜ao nulo de X, ent˜ao H =. γ−1(0) ´e um hiperplano.
Demonstra¸c˜ao:
Sejam H hiperplano deX ev ∈X\H. Temos que X =H⊕[v], isto ´e, cadax∈X se escreve de maneira ´unica na formax=hx+λxv, ondehx∈H e λx ∈K.
Definimosγ :X →Kporγ(x)=. λx. ´E facil ver que γ ´e linear, e vale queγ−1(0) =H
poisγ(x) = 0⇔λx = 0 ⇔x=hx+ 0v ⇔x∈H.
Seja agora γ um funcional linear n˜ao nulo de X, e seja v ∈X tal que γ(v) = 1. Cada y ∈X se escreve como y = (y−γ(y)v
| {z }
∈γ−1(0)
) +γ(y)v. Agora γ−1(0) ´e um subespa¸co
queX =γ−1(0) + [v]. Logo, γ−1(0) ´e hiperplano. ♠
Proposi¸c˜ao 1.9. SejamXumK-espa¸co vetorial eγ, γ1, . . . , γn ∈X∗. Ent˜ao∩nj=1γj−1(0) ⊂
γ−1(0) se e somente se existem α1, . . . , αn ∈K tais que γ = n X
j=1
αjγj.
Demonstra¸c˜ao:
Uma das implica¸c˜oes ´e imediata. Para mostrar a outra, definamosT ∈ La(X;Kn) por
T(x)= (. γ1(x), . . . , γn(x)), ∀x∈X.
Observe que para cadax∈T−1(0) temos que x∈ ∩nj=1γj−1(0), e desta forma por hip´otese
x∈γ−1(0).
Desta forma, podemos definir ψ : T(X) ⊂ Kn → K como sendo, para cada T(x) ∈
T(X),
ψ(T(x))=. γ(x).
ψ est´a bem definida, pois para cada x, y ∈X, temos que
T(x) =T(y)⇔T(x−y) = 0 ⇔x−y ∈T−1(0) ⇔x−y ∈γ−1(0)⇔γ(x) =γ(y).
Sejam T(x) e T(y)∈T(X) e λ ∈K. Ent˜ao
ψ(T(x) +λT(y)) =ψ(T(x+λy)) =γ(x+λy) =γ(x) +λγ(y) =ψ(T(x)) +λψ(T(y)),
logo ψ ´e linear, e ´e cont´ınua por estar definida em um espa¸co de dimens˜ao finita.
Aplicando o Teorema de Hahn-Banach (1.1), sabemos que existe uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua ψe:Kn
→K tal que, para todox∈X, ψe(T(x)) =ψ(T(x)). Seja{e1, . . . , en}a base canˆonica de Kn. Ent˜ao para cada x∈X
γ(x) =ψ(T(x)) = ψe(T(x)) =ψe(γ1(x), . . . , γn(x)) =ψe
n X
j=1
γj(x)ej !
= n X
j=1
e
ψ(ej)γj(x)
e portantoγ = n X
j=1
e
1.1
Decomposi¸c˜
ao de Schauder incondicional
A defini¸c˜ao de decomposi¸c˜ao de Schauder incondicional em um espa¸co de Ba-nach ´e semelhante `a defini¸c˜ao de base de Schauder incondicional, como veremos a seguir. Primeiro, vamos definir base de Schauder. Para tal, precisamos estabelecer o conceito de convergˆencia incondicional de s´eries:
Defini¸c˜ao 1.10. Dizemos que uma s´erie
∞
X
n=1
xn em E ´e incondicionalmente
conver-gente a x se para cada σ permuta¸c˜ao dos naturais tivermos que
∞
X
n=1
xσ(n)=x.
Exemplo 1.11. A s´erie emRdada por
∞
X
n=1
(−1)n
n ´e convergente mas n˜ao ´e
incondicional-mente convergente.
Defini¸c˜ao 1.12. Uma sequˆencia (xn)n em um espa¸co de Banach E ´e dita uma base de Schauder para E se para cada x∈E existe uma ´unica sequˆencia de escalares (λn)n tal que
x=
∞
X
n=1
λnxn.
Se al´em disso a s´erie converge incondicionalmente para cada x∈E, dizemos que (xn)n ´e uma base de Schauder incondicional para E.
Observa¸c˜ao: Decorre diretamente da defini¸c˜ao acima que, se (xn)n ´e uma base de Schauder para um espa¸co de BanachE, ent˜ao [{xn}n∈N] =E.
Exemplo 1.13. A base cl´assica de Schauder para C[0,1] ´e uma base de Schauder que n˜ao ´e incondicional.
A base cl´asica de Schauder ´e dada pela sequˆencia (sn)∞
n=0 de elementos deC[0,1], dada
pors0(t)= 1,. s1(t)=. t e para n≥2
sn(t) =
2m t−(2n−2 2m −1)
se 2n−2
2m −1≤t < 2
n−1 2m −1
1−2m t−(2n−1 2m −1)
se 2n2m−1 −1≤t <
2n
2m −1
0 caso contr´ario
s0(t)
✲ ✻
1 1
s1(t)
✲ ✻ 1 1 ✟✟✟✟ ✟✟
s2(t)
✲ ✻ 1 1 ❅ ❅ ❅
s3(t)
✲ ✻ 1 1 ✁✁ ✁❆ ❆ ❆
s4(t)
✲ ✻ 1 1 ✁✁ ✁❆ ❆ ❆ s5(t)
✲ ✻ 1 1 ✄✄ ✄❈ ❈ ❈
s6(t)
✲ ✻ 1 1 ✄✄ ✄❈ ❈ ❈
s7(t)
✲ ✻ 1 1 ✄✄ ✄❈ ❈ ❈
s8(t)
✲ ✻ 1 1 ✄✄ ✄❈ ❈ ❈
Esse exemplo ´e de [21], artigo no qual foi introduzida a no¸c˜ao de base de Schauder. Exemplo 1.14. Se E =co ou lp com 1≤ p <∞, a sequˆencia (en)n ´e base de Schauder
paraE. Mas (en)n n˜ao ´e base de Schauder para l
∞.
Verifiquemos que (en)n ´e base de Schauder incondicional para lp. Para cada x = (x1, x2, . . .)∈lp temos que
∞
X
n=1
|xn|p converge, de forma que
x− N X i=1
xiei p
=k(0, . . . ,0, xN+1, xN+2, . . .)kp =
∞
X
i=N+1
|xi|p !1
p
N
→0
e portanto a s´erie
∞
X
n=1
xnen converge a x. Assim, (en)n ´e base de Schauder para lp. Para mostrar que essa base de Schauder ´e incondicional, consideremosσ uma permuta¸c˜ao dos naturais. Vamos definirf :N→N por
f(n)= sup. {σ(j) :j ∈N, j ≤n}.
Observe que f(n)→ ∞n . Considerando a sequˆencia de escalares (xσ(n))n temos que
x− N X i=1
xσ(i)eσ(i)
p = X
i6=σ(j)
j= 1, . . . , N
|xi|p 1 p ≤ ∞ X
i=f(N)+1
|xi|p
1
p
N
→0.
Desta forma, a s´erie
∞
X
i=1
xiei converge incondicionalmente parax, e podemos concluir que (en)n ´e base de Schauder incondicional paral
Verifiquemos agora que (en)n ´e base de Schauder incondicional para co. Seja x = (x1, x2, . . .) ∈co. Dado ǫ > 0, existe no ∈ N tal que |xn|< ǫ, para cada n ≥ no natural. Ent˜ao
x−
n X
i=1
xiei
∞
=k(0, . . . ,0, xn+1, xn+2, . . .)k∞ ≤ǫ, para cada n ≥no natural,
de forma que a s´erie
∞
X
n=1
xnen converge a x. Vamos verificar que a convergˆencia ´e incondi-cional: seja σ uma permuta¸c˜ao dos naturais. Vamos definir g :N→N por
g(n)= inf. {j ∈N:{1, . . . , n} ⊂ {σ(1), . . . , σ(j)}}.
Considerando novamente a sequˆencia de escalares (xσ(n))n, temos agora para cada n ≥
g(no) que
x−
n X
i=1
xσ(i)eσ(i)
∞
= sup{kxjk:j =6 σ(i), i= 1, . . . , n}
≤ sup{kxjk:j > no} ≤ǫ e assim a s´erie converge incondicionalmente.
Para verificar que (en)n n˜ao ´e base de Schauder paral
∞, considerox= (1. ,1, . . .)∈l∞.
Para cada (λn)n sequˆencia de escalares temos, para cada N natural, que
x−
N X
i=1
λiei
∞
=k(1−λ1, . . . ,1−λN,1,1, . . .)k∞≥1
de forma que
∞
X
n=1
λnen n˜ao converge x. Como (λn)n ´e arbitr´aria, concluimos nossa veri-fica¸c˜ao.
Para definirmos decomposi¸c˜ao de Schauder incondicional, se far´a necess´aria a no¸c˜ao de proje¸c˜ao, dada pela defini¸c˜ao a seguir.
Defini¸c˜ao 1.15. Sejam um K-espa¸co vetorial X e S um subespa¸co de X. Dizemos que
Π :X→S ´e uma proje¸c˜ao se Π for linear e Π(Π(x)) = Π(x), para cada x∈X.
incondicional paraE se para cada x ∈E existir uma sequˆencia (yn)n em E satisfazendo
yn ∈En, ∀n∈N, tal que x=
∞
X
n=1
yn e a s´erie converge incondicionalmente.” ´
E natural generalizar essa defini¸c˜ao da seguinte maneira:
Defini¸c˜ao 1.16. Dizemos que um espa¸co de BanachE temdecomposi¸c˜ao de Schauder incondicional(ouFDD incondicional), se existirem{En}n∈N subespa¸cos deE de
di-mens˜ao finita tais que cada x∈E se escreve de maneira ´unica como
x=
∞
X
i=1
xi,
onde xi ∈ Ei,∀i ∈ N, a s´erie ´e incondicionalmente convergente e as n-´esimas proje¸c˜oes
associadas `a decomposi¸c˜ao definidas por Πn(x)=. Pni=1xi s˜ao cont´ınuas.
Exemplo 1.17. Seja E com base de Schauder incondicional. Ent˜ao E tem FDD incondi-cional.
Neste caso uma poss´ıvel decomposi¸c˜ao ´e a formada pelos subespa¸cos gerados por cada elemento da base.
Em particular, os espa¸coslp com 1≤p < ∞ tem FDD incondicional.
Nem sempre um espa¸co com FDD incondicional tem base de Schauder, como se vˆe pelo seguinte exemplo:
Exemplo 1.18. SejaE o espa¸co de Banach formado pelos operadores compactos dol2 que
tˆem representa¸c˜ao triangular com respeito `a base canˆonica, isto ´e, que podem ser escritos matricialmente como
[T] =
a11 a12 a13 · · ·
a22 a23
a33
0 . ..
Considero para cada n ∈ N o subespa¸co Bn de E formado pelos operadores que se
escrevem como
[T] =
0 · · · 0 a1n 0 · · ·
... ... ... ...
0 · · · 0 ann 0 · · ·
... ... 0 ...
...
N˜ao ´e dif´ıcil ver que {Bn}n∈N´e uma decomposi¸c˜ao incondicional para E, e como cada
Bntem dimens˜ao finita{Bn}n∈N´e uma FDD incondicional paraE. No entanto, mostra-se
em [10] que este espa¸co n˜ao admite base de Schauder. Observe que dimBn
n
→ ∞.
Em um espa¸co de Banach (E,k · k) com FDD incondicional{En}npodemos introduzir uma outra norma||| · |||, em fun¸c˜ao dek · k e de {En}n, da seguinte maneira:
||| · |||:x∈E 7→ sup m∈N
( m X n=1 xn ) ∈R
ondex=
∞
X
n=1
xn, xi ∈Ei, ∀i∈N. ´
E evidente que para cada x ∈ E, |||x||| ≥ 0 e que |||x||| = 0 se e somente se x = 0. Para cadaλ∈K,
|||λx||| = supm∈N
( λ m X n=1 xm )
= supm∈N
(
|λ|
m X n=1 xm )
= |λ|supm∈N
( m X n=1 xm )
=|λ| |||x|||.
Sex=
∞
X
n=1
xn ey =
∞
X
n=1
yn∈E,
|||x+y||| = supm∈N
( m X n=1
xm+ym )
≤ supm∈N
( m X n=1 xm + m X n=1 xm )
≤ supm∈N
( m X n=1 xm )
+ supm∈N
( m X n=1 xm )
=|||x|||+|||y||| .
Provamos portanto que ||| · |||´e de fato uma norma sobre E.
Proposi¸c˜ao 1.19. Seja (E,k · k) um espa¸co de Banach com FDD incondicional {En}n.
Ent˜ao(E,||| · |||)´e um espa¸co de Banach e existe uma constante K >0 tal que para cada
x∈E,
Para demonstrar a proposi¸c˜ao acima utilizaremos a seguinte consequˆencia do Teorema da aplica¸c˜ao aberta (1.5):
Lema 1.20. SejamE um K-espa¸co vetorial e k · k1, k · k2 normas sobre E. Se (E,k · k1)
e (E,k · k2) forem espa¸cos de Banach e a aplica¸c˜ao identidade
id: (E,k · k1)→(E,k · k2)
for cont´ınua, ent˜ao as normas k · k1 e k · k2 s˜ao equivalentes, isto ´e, existem K1, K2 >0
tais que
K1kxk1 ≤ kxk2 ≤K2kxk1, ∀x∈E.
Demonstra¸c˜ao (do lema):
Como por hip´otese id : (E,k · k1) → (E,k · k2) ´e cont´ınua, defino K2 =. kidk > 0 e
temos que
kxk2 ≤K2kxk1, ∀x∈E.
Pelo Teorema da aplica¸c˜ao aberta (1.5) temos queid−1 : (E,k·k
2)→(E,k·k1) tamb´em
´e cont´ınua.
Assim, para cadax∈E posso escrever kxk1 ≤ kid−1kkxk2, e definindoK1 =. kid−1k−1
temos que
kxk2 ≥K1kxk1, ∀x∈E,
como quer´ıamos. ♠
Demonstra¸c˜ao (da proposi¸c˜ao):
Observa¸c˜ao: No decorrer desta demonstra¸c˜ao, as s´eries convergentes a que nos referirnos s˜ao convergentesna norma original de E, k · k.
Sejax∈E. Temos que kxk ≤ |||x|||, pois
|||x|||= sup m∈N
(
m X
n=1
xn
)
≥
∞
X
n=1
xm
=kxk.
Para provar que (E,||| · |||) ´e um espa¸co de Banach, basta provar que cada sequˆencia de Cauchy em (E,||| · |||) converge.
Seja ent˜ao (xj)j =
∞
X
n=1
xjn !
j
uma sequˆencia de Cauchy com rela¸c˜ao a ||| · |||, e vamos
mostrar que para cada n ∈ N, a sequˆencia (xj
cada,j1, j2, k ∈N, k ≥2,
kxj1
k −x j2
kk = k X n=1
(xj1
n −x j2
n)− k−1
X
n=1
(xj1
n −x j2 n) ≤ 2 ∞ X n=1
(xj1
n −x j2 n) = 2 ∞ X n=1
xj1
n −
∞
X
n=1
xj2
n .
Assim, como (xj)j ´e de Cauchy com rela¸c˜ao a ||| · |||, temos que (xj
k)j ´e de Cauchy com rela¸c˜ao ak · k. para cada natural k ≥2, e (xj1) tamb´em ´e de Cauchy com rela¸c˜ao a k · k
pois
kxj1
1 −x
j2
1 k ≤
∞ X n=1
(xj1
n −x j2 n) = ∞ X n=1
xj1
n −
∞
X
n=1
xj2
n .
Sendo (E,k · k) completo, temos para cada k ∈N que (xjk)j converge para xk em E. Vamos mostrar que
∞
X
n=1
xn converge e que a sequˆencia (xj)j converge a
∞
X
n=1
xn na norma
||| · |||.
Seja ǫ > 0. Como (xj)j ´e de Cauchy com rela¸c˜ao a ||| · |||, existe jǫ ∈ N tal que, se
j1, j2 ∈N, j1, j2 ≥jǫ, ent˜ao para cada m ∈Nvale
m X n=1
xj2
n − m X
n=1
xj1
n ≤ m X n=1
xj2
n − m X
n=1
xj1
n < ǫ 3. Ent˜ao, fazendo j2 → ∞ e j1 =jǫ, temos para cadam ∈N que
m X n=1
xn− m X
n=1
xjǫ
n < ǫ 3 (1.1)
e assim, param1, m2 ∈N,m2 ≥m1, temos
m2 X
n=m1 xn−
m2
X
n=m1 xjǫ
n ≤ m2 X n=1
xn− m2
X
n=1
xjǫ
n +
mX1−1
n=1
xn− mX1−1
n=1
xjǫ
n ≤ 2ǫ 3.
Seja agora mǫ∈N tal que para cada m1, m2 ∈Ncom m2 ≥m1 ≥mǫ vale a desigual-dade m2 X
n=m1 xjǫ
n < ǫ
3. Ent˜ao
m2 X
n=m1 xn ≤ m2 X
n=m1 xn−
m2
X
n=m1 xjǫ
n + m2 X
n=m1 xjǫ
sempre que m1 e m2 s˜ao naturais com m2 ≥m1 ≥mǫ, e portanto
∞
X
n=1
xn converge.
Observe que a inequa¸c˜ao 1.1 tamb´em ´e verdadeira para cada m∈ N se substituirmos
jǫ por um naturalj ≥jǫ. Isto ´e, m X n=1
(xn−xjn) < ǫ
3, ∀m, j ∈N, j ≥jǫ. Logo, tomando-se o supremo deste valor emm temos que
∞ X n=1
(xn−xjn) = ∞ X n=1
xn−
∞
X
n=1
xjn
≤ ǫ
3, ∀j ∈N, j ≥jǫ.
Ent˜ao
∞
X
n=1
xn ´e o limite da sequˆencia (xj)j com rela¸c˜ao a ||| · |||, e podemos concluir que (E,||| · |||) ´e um espa¸co de Banach.
Para mostrar que existe K >0 tal que para cada x∈ E temos |||x||| ≤ Kkxk, basta verificar que as normask·ke|||·|||s˜ao equivalentes. Comokxk ≤ |||x|||, para cadax∈E, a aplica¸c˜ao identidadeid: (E,||| · |||)→(E,k · k) ´e cont´ınua. Logo, como mostramos que (E,||| · |||) ´e espa¸co de Banach , pelo lema 1.20 podemos concluir que as normas k · k e
||| · |||s˜ao equivalentes. ♠
A seguir estudamos uma importante propriedade topol´ogica dos espa¸cos de Banach com FDD incondicional.
Proposi¸c˜ao 1.21. SejaE um espa¸co de Banach com FDD incondicional{En}n∈N. Ent˜ao
E ´e separ´avel.
Lema 1.22. Seja X um espa¸co normado qualquer. Se existe um conjunto enumer´avel
A⊂X satisfazendo [A] =X, ent˜ao X ´e separ´avel.
Demonstra¸c˜ao (do lema):
X ´e um K-espa¸co normado, com K = R ou C. Se K = R, definimos Q =. Q, e se K=C , definimos Q=. {a+bi : a, b∈ Q}. Em ambos os casos, Q´e denso e enumer´avel em K.
Vamos escrever A={an}n∈N, e vamos definir
Dj . = ( j X n=1
qnan: q1, . . . , qj ∈Q )
CadaDj ´e enumer´avel e portanto D´e enumer´avel. Vamos verificar queD´e denso emX, concluindo assim a demonstra¸c˜ao.
Sejam x∈X eǫ >0. Como [A] =X, existem m∈N er1, . . . , rm ∈K tais que x− m X n=1
rnan ≤ ǫ 2.
Sendo Q denso em K, existem q1, . . . , qm ∈ Q tais que, para cada n ∈ {1, . . . , m} temos
|rn−qn| ≤
ǫ
2mkank
se an6= 0 e |rn−qn| ≤
ǫ
2m se an= 0. Ent˜ao
x− m X n=1
qnan ≤ x− m X n=1
rnan + m X n=1
(rn−qn)an
≤ 2ǫ + m X
n=1
|rn−qn|kank ≤
ǫ
2+
ǫ
2 =ǫ,
como quer´ıamos. ♠
Demonstra¸c˜ao (da proposi¸c˜ao):
Para cadai∈N, seja{ei1, . . . , eini}uma base paraEi. O conjuntoB
.
=∪∞
i=1{ei1, . . . , eini}
´e enumer´avel, por ser reuni˜ao enumer´avel de conjuntos finitos; provemos que [B] = E, e poderemos concluir pelo lema 1.22 que E ´e separ´avel. Sejam ent˜ao x ∈ E e ǫ > 0 quaisquer e mostremos que existe um elementoy∈[B] tal que kx−yk< ǫ.
xse escreve na formax=
∞
X
i=1
xi, onde para cadai∈N,xi =αi1ei1+· · ·+αinieini ∈Ei
e existe N ∈N tal que x− N X i=1 xi < ǫ.
Masy =. N X
i=1
xi = N X
i=1
αi1ei1+· · ·+αinieini ∈[B], de onde segue o resultado. ♠
Observa¸c˜ao: Em [7] h´a um exemplo de espa¸co de Banach que ´e separ´avel mas n˜ao possui FDD incondicional. Esse exemplo ´e conhecido como exemplo de Enflo.
Como consequˆencia do lema, temos o seguinte:
1.2
Topologia fraca
Vamos definir em um espa¸co normado a topologia fraca. Para isto necessitaremos dos conceitos que a seguir.
Defini¸c˜ao 1.24. Seja X um espa¸co normado. Sejam a ∈ X, f1, . . . , fn ∈ X′ e ǫ > 0.
Definimos
U(a;f1, . . . , fn;ǫ)=. {x∈X : sup
i=1...,n|
fi(x−a)|< ǫ}.
Diremos que U(a;f1, . . . , fn;ǫ) ´e uma vizinhan¸ca fraca de a.
Diremos que V ⊂ X ´e um conjunto fracamente aberto de X se para cada a ∈ V
existirem f1, . . . , fn ∈X′ e ǫ >0 tais que U(a;f1, . . . , fn;ǫ)⊂V.
Observe que trivialmente∅ ´e fracamente aberto.
Proposi¸c˜ao 1.25. O conjunto
σ(X, X′)=. {V ⊂X :V ´e fracamente aberto},
´e uma topologia sobre X.
σ(X, X′) ´e chamada de topologia fraca sobre X.
Demonstra¸c˜ao:
1) Trivialmente se verifica que ∅, X ⊂σ(X, X′).
2) Sejam I um conjunto de ´ındices n˜ao vazio e{Vi}i∈I tais que Vi ∈σ(X, X′), ∀i∈I. Vamos mostrar que∪i∈IVi ∈σ(X, X′).
Se Vi = ∅, ∀i ∈ I, ent˜ao ∪i∈IVi = ∅ ∈ σ(X, X′). Caso contr´ario, seja a ∈ ∪i∈IVi. Ent˜ao existe io ∈ I, a ∈ Vio. Como Vio ∈ σ(X, X
′), existem f
1, . . . , fn ∈ X′ e ǫ >0 tais queU(a;f1, . . . , fn;ǫ)⊂Vio ⊂ ∪i∈IVi e portanto ∪i∈IVi ∈σ(X, X
′).
3) SejamV1, V2 ∈σ(X, X′) e vamos mostrar que V1∩V2 ∈σ(X, X′).
SeV1 ∩V2 =∅, sabemos que V1∩V2 ∈σ(X, X′). Suponhamos ent˜ao queV1∩V2 6=∅,
e sejaa∈V1∩V2.
Como V1, V2 ∈σ(X, X′), existemf1, . . . , fn, g1, . . . , gm ∈X′ e ǫ1, ǫ2 >0 tais que
Vamos mostrar que U(a;f1, . . . , fn, g1, . . . , gm;ǫ)⊂ V1∩V2, onde ǫ = min. {ǫ1, ǫ2}. De
fato, se x∈U(a;f1, . . . , fn, g1, . . . , gm;ǫ), ent˜ao
sup{|f1(x−a)|, . . .|fn(x−a)|,|g1(x−a)|, . . . ,|gm(x−a)|}< ǫ≤ǫ1.
Em particular, |fi(x−a)|< ǫ1, ∀i∈ {1, . . . , n} e assim temos que x∈V1.
De forma an´aloga provamos quex∈V2. Ent˜aoU(a;f1, . . . , fn, g1, . . . , gm;ǫ)⊂V1∩V2.
♠
Proposi¸c˜ao 1.26. Seja X um espa¸co normado, e seja τ(X) a topologia induzida pela norma de X. Ent˜ao
σ(X, X′)⊂τ(X).
Demonstra¸c˜ao:
Seja V ∈ σ(X, X′) n˜ao vazio, e vamos mostrar que V ∈ τ(X). Fixado a ∈ V, basta verificar que existe r >0 tal que Br(a)⊂V.
Como V ∈σ(X, X′), existem f1, . . . , fn ∈X′ eǫ >0 tais que U(a;f1, . . . , fn;ǫ)⊂V.
Sejar = ǫ
maxi=1,...,n{kfik}+1, e vamos provar que Br(a)⊂U(a;f1, . . . , fn;ǫ).
Seja x ∈ Br(a). Ent˜ao kx −ak < max ǫ
i=1,...,n{kfik}+1, e desta forma para cada i ∈ {1, . . . , n},
|fi(x−a)| ≤ kfikkx−ak<kfik
ǫ
maxi=1,...,n{kfik}+ 1
< ǫ
e portanto supi=1,...,n{|fi(x−a)|}< ǫ, de forma quex∈U(a;f1, . . . , fn;ǫ), como quer´ıamos.
♠
Precisamos estabelecer a no¸c˜ao de convergˆencia fraca de sequˆencias para podermos posteriormente definir o que ´e continuidade sequencial fraca:
Defini¸c˜ao 1.27. Seja X um espa¸co normado. Uma sequˆencia (xn)n ´e dita fracamente convergente (para x ∈ X) se ela ´e convergente (para x) com rela¸c˜ao `a topologia fraca sobre X.
Neste caso, escreveremos xn w
→x.
Teorema 1.28. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X. Ent˜aoxn
w
→x se e somente se f(xn)→f(x),∀f ∈X′.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que xn
w
→x e seja f ∈ X′. Dado ǫ >0, existe no ∈N tal que para cada
n≥no natural, xn ∈U(x;f;ǫ), pelo fato deste conjunto ser fracamente aberto.
Assim, para n ≥ no natural, |f(x)−f(xn)| < ǫ. Como ǫ > 0 ´e arbitr´ario, temos que
f(xn)→f(x), como quer´ıamos.
Suponhamos agora que f(xn) → f(x) para cada f ∈ X′. Seja V um conjunto fraca-mente aberto contendox. Ent˜ao existem f1, . . . , fk ∈X′ e ǫ >0 tais que
x∈U(x;f1, . . . , fk;ǫ)⊂V.
Para cadai∈ {1, . . . , k}, pelo fato defi(xn)→fi(x), temos que existe ni ∈N tal que
|fi(xn)−fi(x)|< ǫpara cada n ≥ni natural.
Se tomarmos no =. maxi=1,...,k{ni}, teremos para cada n ≥ no natural e cada i ∈
{1, . . . , k} que|fi(xn)−fi(x)|< ǫ e portantoxn ∈U(x;f1, . . . , fk;ǫ)⊂V. Ou seja, (xn)n
converge fracamente a x. ♠
Corol´ario 1.29. Sejam X e Y espa¸cos normados, T ∈ L(X;Y) e (xn)n uma sequˆencia em X convergindo fracamente a x. Ent˜ao T(xn)→w T(x).
Demonstra¸c˜ao:
Basta verificar que, dado f ∈ Y′, f(T(xn)) → f((T(x)). Mas, j´a que T ´e cont´ınua,
f◦T ∈X′, e ent˜ao podemos usar o Teorema acima para concluir a demonstra¸c˜ao. ♠
Corol´ario 1.30. SejamX um espa¸co normado, x∈X e (xn)n uma sequˆencia em X. Se
xn →x, ent˜ao xn w
→x.
Demonstra¸c˜ao:
Se xn → x, temos que f(xn) → f(x), ∀f ∈ X′, e pelo Teorema anterior podemos concluir que xn
w
→x. ♠
Exemplo 1.31. No espa¸co lp, 1< p <∞, a sequˆencia (ek)k formada pelos elementos da
A sequˆencia (ek)k n˜ao converge pois para cadal, k naturais distintos temos que kel−
ekk= √p
2, e assim (ek)k n˜ao ´e de Cauchy.
Para mostrar queek w→0, pelo Teorema anterior basta que, para cadaf ∈l′
p,f(ek)→
f(0) = 0. Fixo f ∈ l′
p. Ent˜ao existe (an)n ∈ lq, onde 1
p+
1
q = 1, tal que f(x) =
∞
X
n=1
anxn, para
cada x∈lp. Logo, f(ek) =ak, e a
k →0 pelo fato de (an)n ∈lq e assim concluimos nossa verifica¸c˜ao.
A seguir temos duas importantes propriedades das sequˆencias fracamente convergentes: Teorema 1.32. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X
convergindo fracamente ax. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras: 1) (xn)n ´e limitada;
2) O limite de (xn)n com rela¸c˜ao `a topologia fraca ´e ´unico.
Demontra¸c˜ao:
1) Definimos para cada n∈N Fn∈X′′ por Fn(f)=. f(xn), para cadaf ∈X′. Como xn
w
→x, para cada f ∈X′ temos que f(xn)→f(x), e assim lim
n→∞Fn(f) = limn→∞f(xn) =f(x)
de forma que para cadaf ∈X′ o conjunto {Fn(f) :n∈N} ´e limitado. Como al´em disso
X′ ´e um espa¸co de Banach, podemos usar o princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme (1.6) para concluir que existeM >0 tal que kFnk ≤M, para cadan ∈N. Assim,
|Fn(f)| ≤ kFnkkfk ≤Mkfk, ∀f ∈X′, n∈N.
Vamos supor quekxnk>0, para cadan ∈N. Pelo corol´ario 1.3 (do Teorema de Hahn-banach) podemos afirmar que para cada n ∈ N existe fn ∈ X′ tal que fn(xn) = kxnk e
kfnk= 1. Ent˜ao para cadan ∈N,
kxnk=|fn(xn)|=|Fn(fn)| ≤Mkfnk=M,
ou seja, (xn)n ´e limitada. Observe que a desigualdade acima vale trivialmente quando
kxnk= 0.
2) Suponhamos que xn w
→y, para algum y ∈X distinto de x. Como j´a sabemos que
xn w
K´e ´unico, concluimos que f(x) =f(y), para cada f ∈X′. Agora, pelo corol´ario 1.4 (do
Teorema de Hahn-Banach) existe f0 ∈X′ tal que f0(x)6=f0(y), uma contradi¸c˜ao. ♠
Proposi¸c˜ao 1.33. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X. Ent˜aoxn
w
→x se e somente se as seguintes duas afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras: 1) A sequˆencia (kxnk)n ´e limitada em K;
2) Existe um conjunto M ⊂X′ tal que [M]´e denso em X′ e ∀f ∈M, f(xn)→f(x).
Demonstra¸c˜ao: Se xn
w
→ x, as afirma¸c˜oes (1) e (2) seguem diretamente dos Teoremas 1.32 e 1.28, respectivamente.
Suponhamos agora que (kxnk)n ´e limitada e que exista M ⊂ X′ satisfazendo as condi¸c˜oes de (2). Vamos mostrar que, dado f ∈X′, f(xn)→f(x).
Sejaǫ >0, e sejaK >0 tal quekxnk< K,∀n ∈Nekxk< K. Como [M] ´e denso em
X′, existeg ∈M tal quekg−fk< ǫ
3K. Como por hip´oteseg(xn)→g(x), existe no ∈N
tal que para cadan ≥no natural temos que |g(xn)−g(x)|<
ǫ
3. Ent˜ao, para cada natural n≥no
|f(xn)−f(x)| ≤ |f(xn)−g(xn)|+|g(xn)−g(x)|+|g(x)−f(x)|
< ǫ
3Kkxnk+ ǫ
3 +
ǫ
3Kkxk
≤ ǫ
3+
ǫ
3+
ǫ
3 =ǫ e assim podemos concluir quef(xn)→f(x). ♠
O corol´ario 1.34 nos d´a mais explicitamente uma caracteriza¸c˜ao das sequˆencias fraca-mente convergentes nos espa¸coslp, com 1< p <∞.
Corol´ario 1.34. Considero o espa¸co lp, com 1 < p < ∞, e sejam x = (x1, x2, . . .) um
elemento e (xk)k uma sequˆencia em l
p, onde cada xk= (xk1, xk2, . . .).
Vale ent˜ao que xk w
→x se e somente se as seguintes duas afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras: 1) A sequˆencia (kxkk)k ´e limitada em K;
2) Para cada n ∈N, xk n
k
→xn.
Observe que a sequˆencia (kek)keml
Demonstra¸c˜ao:
Basta tomar M ={ej}j ⊂lq =l′p, com 1
p +
1
q = 1, que satisfaz [{e
j}
j] =lq. Para este
M, a condi¸c˜ao (2) da proposi¸c˜ao acima ´e equivalente `a condi¸c˜ao (2) do corol´ario, pois para cadaj ∈N,ej ´e um representante do funcional f
Cap´ıtulo 2
Polinˆ
omios homogˆ
eneos cont´ınuos
2.1
Aplica¸c˜
oes multilineares
A defini¸c˜ao de polinˆomio homogˆeneo em um espa¸co de Banach ´e baseada na defini¸c˜ao de aplica¸c˜oes multilineares. Esses dois t´opicos s˜ao apresentados neste cap´ıtulo de forma bastante suscinta, de forma que apresentam-se apenas os resultados que ser˜ao utilizados no pr´oximo cap´ıtulo. Um estudo com mais detalhes pode ser encontrado em [16] e [19] .
Defini¸c˜ao 2.1. Sejam m ∈ N e X1, . . . , Xm, Y K-espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸c˜ao A :
X1 × · · · × Xm → Y ´e dita uma aplica¸c˜ao m-linear se para cada i ∈ {1, . . . , m} a
aplica¸c˜ao xi 7→A(x1, . . . , xi, . . . , xm) for linear deXi em Y.
Definimos tamb´em La(X1, . . . , Xm;Y) como sendo o K-espa¸co vetorial de todas as aplica¸c˜oes m-lineares de X1× · · · ×Xm em Y.
Quando X = X1 = · · · = Xm, escrevemos La(mX;Y) =. La(X1, . . . , Xm;Y). Por
conveniˆencia definimosLa(0X;Y)=. Y.
Quando Y =K, escrevemos La(mX)=. La(mX;K).
Para o estudo da continuidade das aplica¸c˜oes m-lineares, estaremos sempre considerando espa¸cos normados, e consideramos emX1× · · · ×Xm a norma k · k:X1× · · · ×Xm →R definida por k(x1, . . . , xm)k=. sup
i∈{1,...,m}k
xik.
Teorema 2.2. SejamX1, . . . , Xm, Y espa¸cos normados e A∈ La(X1, . . . , Xm;Y). Ent˜ao
s˜ao equivalentes as seguintes afirma¸c˜oes: 1) A ´e cont´ınua;
2) A ´e cont´ınua na origem;
3) ExisteM > 0tal quekA(x1,· · · , xm)k ≤Mkx1k. . .kxmk, para cada(x1, . . . , xm)∈
X1× · · · ×Xm.
Demonstra¸c˜ao: ´
E evidente que (1)⇒(2).
Para mostrar que (2)⇒(3) temos por hip´otese A cont´ınua na origem. Logo, existe
δ >0 tal que sekxk< δent˜aokA(x)k ≤1. Sejax= (x1, . . . , xn) comxi 6= 0 para cadai∈
{1, . . . , m}. Temos que
δx1
2kx1k
, . . . , δxn
2kxnk
< δ, assim A
δx1
2kx1k
, . . . , δxn
2kxnk
≤1. Desta forma,kA(x1, . . . , xn)k ≤
2m
δmkx1k. . .kxmk. Se para algum i∈ {1, . . . , m}tivermos que xi = 0, a desigualdade acima tamb´em ´e verdadeira, e portanto a afirma¸c˜ao (3) ´e verdadeira.
Vamos mostrar que (3)⇒(1).
Observe queA(x)−A(y) = A(x1−y1, . . . , xm) +. . .+A(y1, . . . , ym−1, xm−ym). Desta forma,
kA(x)−A(y)k ≤ kA(x1−y1, . . . , xm)k+. . .+kA(y1, . . . , ym−1, xm−ym)k
≤ M(kx1 −y1kkx2k. . .kxmk+· · ·+ky1k. . .kym−1kkxm−ymk). Vamos agora mostrar que, fixador >0A´e uniformemente cont´ınua em Br(0)=. {x∈ X1× · · · ×Xm:kxk< r}.
Sejam x, y ∈X com kxk,kyk< r, ent˜ao para cada i∈ {1, . . . , m}temos que kxik< r ekyik< r. Logo,
kA(x)−A(y)k ≤M rm−1(kx1−y1k+· · ·+kxm−ymk)≤M rm−1mkx−yk
e isto nos permite conluir que A ´e uniformemente cont´ınua sobre Br(0). Como r ´e ar-bitr´ario, A´e cont´ınua. ♠
Vamos destacar o seguinte detalhe da demontra¸c˜ao de (3)⇒(1):
Corol´ario 2.3. Sejam X e Y espa¸cos normados, U um subconjunto limitado de X ×
x, y ∈U,
kA(x)−A(y)k ≤Mkx−yk
e por conseguinte A ´e uniformemente cont´ınua sobre U.
Observa¸c˜ao: Sabemos que as transforma¸c˜oes lineares cont´ınuas s˜ao uniformemente cont´ınuas em todo o seu dom´ınio. Este resultado n˜ao ´e verdadeiro para transforma¸c˜oes multilineares quaisquer, na realidade qualquer aplica¸c˜ao m-linear com m > 1 n˜ao nula
n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em todo o dom´ınio.
Para verificar esse fato, sejaA∈ La(X1, . . . , Xm;Y) cont´ınua n˜ao nula. Ent˜ao existem
ǫ >0 e (x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm tais quekA(x1, . . . , xm)k> ǫ > 0. Para cadaδ >0,
podemos escolherλ∈K tal que kλx1k< δ. Mas ent˜ao temos que
k(x1+λx1,
x2
λ, x3, . . . , xm)−(x1, x2
λ , x3, . . . , xm)k=kλx1k< δ
e
kA(x1+λx1,xλ2, x3, . . . , xm)−A(x1,xλ2, x3, . . . , xm)k = kA(λx1,xλ2, x3, . . . , xm)k
= kA(x1, x2, . . . , xm)k> ǫ.
Logo, A n˜ao ´e uniformemente cont´ınua.
Defini¸c˜ao 2.4. SejamX1, . . . , Xm, Y espa¸cos normados. Denotamos porL(X1, . . . , Xm;Y)
o subespa¸co formado pelastransforma¸c˜oes multilineares cont´ınuas de La(X1, . . . , Xm;Y).
Quando X1 =· · ·=Xm = X, escrevemos L(mX;Y) =L(X, . . . , X;Y) e quando Y =K
escrevemosL(mX)=. L(mX;K).
O espa¸co L(X1, . . . , Xm;Y) ´e um espa¸co normado se munido da norma dada pela
seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 2.5. k · k:L(X1, . . . , Xm;Y)→R definida por
kAk= sup. {kA(x1, . . . , xm)k: (x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm,k(x1, . . . , xm)k ≤1}
´e uma norma em L(X1, . . . , Xm;Y), e para cada A∈ L(X1, . . . , Xm;Y),
Demonstra¸c˜ao:
Observemos inicialmente que para cadaA∈ L(X1, . . . , Xm;Y) temos que
0≤sup{kA(x1, . . . , xm)k: (x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm,k(x1, . . . , xm)k ≤1}<∞,
pois como j´a vimos A leva conjuntos limitados em conjuntos limitados e portanto k · k
est´a bem definida.
Vamos verificar que kAk = 0 ⇔ A = 0. A implica¸c˜ao `a esquerda ´e trivial. Para mostrarmos a outra implica¸c˜ao seja A ∈ L(X1, . . . , Xm;Y) tal que kAk = 0 e x =
(x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm qualquer, e verifiquemos que A(x) = 0. Sexi = 0 para algum i∈ {1, . . . , m}, evidentemente A(x) = 0. Sexi 6= 0 para cadai∈ {1, . . . , m}, temos que
x1
kx1k
, . . . , xm
kxmk
= 1, e logo como
kAk= 0 temos A
x1
kx1k
, . . . , xm
kxmk
= 0. Assim,
kA(x)k= A
x1
kx1k
, . . . , xm
kxmk
kx1k. . .kxmk= 0 e podemos concluir queA = 0.
Para cada λ∈K,
kλAk= sup{kλA(x)k:kxk ≤1}=|λ|sup{kA(x)k:kxk ≤1}=|λkAk.
Falta verificar a desigualdade triangular. SejamAeB ∈ L(X1, . . . , Xm;Y). Para cada
x= (x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm de norma menor ou igual a 1 temos que
kA(x) +B(x)k ≤ kA(x)k+kB(x)k ≤ kAk+kBk
e portanto
kA+Bk= sup{kA(x) +B(x)k:x∈X1× · · · ×Xm, kxk ≤1} ≤ kAk+kBk.
Vamos verificar agora que para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm;Y), kAk = inf{M > 0 :
kA(x1, . . . , xm)k ≤ Mkx1k. . .kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm}. Seja M ≥ 0 tal quekA(x1, . . . , xm)k ≤Mkx1k. . .kxmk, ∀(x1, . . . , xm)∈X1× · · · ×Xm. Ent˜ao para cada
x= (x1, . . . , xm)∈X1×· · ·×Xmcomkxk ≤1 temos quekA(x)k ≤M, e assimkAk ≤M. Logo,
Mostremos agora que kAk ´e a maior cota inferior para {M ≥ 0 : kA(x1, . . . , xm)k ≤
Mkx1k. . .kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm}. Para tal, vamos fixar ǫ > 0 qual-quer e mostrar que kAk + ǫ n˜ao ´e cota inferior para {M ≥ 0 : kA(x1, . . . , xm)k ≤
Mkx1k. . .kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm}. Basta mostrar que M =. kAk + ǫ2 ´e tal que kA(x1, . . . , xm)k ≤ (kAk+ 2ǫ)kx1k. . .kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm. A
desigualdade vale trivialmente se kxik = 0 para algum i ∈ {1, . . . , m}. Consideremos ent˜ao kx1k, . . . ,kxmk n˜ao nulos. Ent˜ao k(kxx11k, . . . , kxxmmk)k = 1, e pela defini¸c˜ao de kAk temos que
kA( x1
kx1k
, . . . , xm
kxmk
)k ≤ kAk<kAk+ ǫ 2. Logo,
kx1k. . .kxmkkA(
x1
kx1k
, . . . , xm
kxmk
)k=kA(x1, . . . , xm)k<(kAk+
ǫ
2)kx1k. . .kxmk, como quer´ıamos. ♠
Nem toda transforma¸c˜ao m-linear cont´ınua em cada vari´avel ´e continua, de acordo com o seguinte exemplo:
Exemplo 2.6.SejaE =. CL1[0,1]. Ent˜ao a transforma¸c˜ao 2-linearB(f, g) .
=R01f(t)g(t)dt
´e cont´ınua em cada vari´avel mas n˜ao ´e cont´ınua.
Se impusermos a condi¸c˜ao adicional de os espa¸cos de partida serem de Banach, a con-tinuidade passa a ser equivalente `a concon-tinuidade em cada vari´avel, como est´a formalizado no Teorema abaixo:
Teorema 2.7. Sejam E1, . . . , Em espa¸cos de Banach e Y um espa¸co normado. Ent˜ao
A∈ La(E1, . . . , Em;Y)´e cont´ınua se e somente se o ´e em cada vari´avel.
Demonstra¸c˜ao:
Suponhamos que A ´e cont´ınua. As fun¸c˜oes xi 7→ A(x1, . . . , xi, . . . , xm) s˜ao cont´ınuas pois s˜ao restri¸c˜oes deAa{x1} × · · · × {xi−1} ×Ei× {xi+ 1} × · · · × {xm} ⊂E1× · · · ×Em.
Vamos mostrar a outra implica¸c˜ao primeiro no caso em que A ´e bilinear. Seja A :
E1 × E2 → Y bilinear cont´ınua em cada vari´avel. Para cada y em E2 vamos definir
A(x, y) tamb´em ´e linear e cont´ınua, e portanto existeMx >0 tal que kAx(y)k ≤Mxkyk, para caday ∈E2.
Temos que kAy(x)k =kA(x, y)k=kAx(y)k ≤ Mxkyk. Em particular, se y∈E2 ´e tal
quekyk ≤1, ent˜ao kAy(x)k ≤Mx.
Vamos considerar a fam´ılia F =. {Ay : y ∈ E2,kyk ≤ 1}. Ent˜ao kAy(x)k ≤ Mx, para cada Ay em F. Pelo princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme (1.6), existe M > 0 tal que
kAyk ≤ M, para cada Ay ∈ F. Ent˜ao para cada (x, y) ∈ E1 ×E2 tal que kxk ≤ 1 e
kyk ≤1, temos quekA(x, y)k=kAy(x)k ≤ kAyk ≤M, e logo para cada (x, y)∈E1×E2
temoskA(x, y)k ≤Mkxkkyk. Ent˜ao A ´e cont´ınua.
Vamos provar a tese por indu¸c˜ao: suponhamos que todo operador (m − 1)-linear cont´ınuo em cada vari´avel ´e cont´ınuo. Ent˜ao para cada xm ∈ Em o operador Axm ∈ La(E1× · · · ×Em−1;Y) definido por Axm(x1, . . . , xm−1)
.
=A(x1, . . . , xm−1, xm) ´e cont´ınuo
em cada vari´avel, portanto cont´ınuo. Logo, existeMxm tal que
kA(x1, . . . , xm)k=kAxm(x1, . . . , xm−1)k ≤Mxmkx1k. . .kxm−1k.
Se adicionalmentekxik ≤1 para cadai∈ {1, . . . , m−1}temos quekA(x1, . . . , xm−1, xm)k ≤
Mxm. Agora vamos definir, para cada (x1, . . . , xm−1) ∈E1 × · · · ×Em−1, o operador
lin-ear Ax1,...,xm−1 ∈ L(Em;Y) por Ax1,...,xm−1(xm) .
= A(x1, . . . , xm−1, xm) e consideremos a
fam´ılia G = {Ax1,...,xm−1 : xi ∈ Ei ekxik ≤ 1,∀i ∈ {1, . . . , m−1}}. Ent˜ao, por um
racioc´ınio similar ao feito anteriormente nesta demonstra¸c˜ao, para cada xm em Em com
kxmk ≤ 1 existeMxm satisfazendo kAx1,...,xm(xm)k= kA(x1, . . . , xm)k ≤ Mxm, para cada
(x1, . . . , xm−1)∈ E1× · · · ×Em−1 com kxik ≤ 1,∀i ∈ {1, . . . , m−1}. Assim, novamente pelo princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme (1.6),kAx1,...,xmk ≤M, para cadaAx1,...,xm emG. Isto
´e,kxik ≤1,∀i∈ {1, . . . , m}implica emkA(x1, . . . , xm)k ≤M, e portantoA´e cont´ınua. ♠
Corol´ario 2.8. Seja A ∈ La(X1, . . . , Xm;Y) onde Xi ´e de dimens˜ao finita, para cada
i∈ {1, . . . , m}. Ent˜ao A ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao:
Teorema 2.9. Sejam X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn, Z espa¸cos normados. Ent˜ao os espa¸cos
L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z) e L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z))
s˜ao isom´etricos.
Demonstra¸c˜ao:
Vamos mostrar que a fun¸c˜ao
φ:L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z)→ L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z))
definida por φ(A)(x)(y) =. A(x, y), para cada x = (x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm e cada
y= (y1, . . . , yn)∈Y1× · · · ×Yn, ´e uma isometria.
Precisamos mostrar que a defini¸c˜ao deφ acima ´e coerente: seja
A∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z)
e vamos mostrar que de fato
φ(A)∈ L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z)).
Fixemos x = (x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · ×Xm. ´E evidente que a aplica¸c˜ao φ(A)(x) ´e
n-linear, e ´e cont´ınua de norma menor ou igual a kAkkx1k. . .kxmk pois para cada y = (y1, . . . , yn)∈Y1×· · ·×Yn,kφ(A)(x)(y)k=kA(x, y)k ≤ kAkkx1k. . .kxmkky1k. . .kynk. ´E facil ver queφ(A) ´e m-linear. Ent˜ao pelo fato de que parax= (x1, . . . , xm)∈X1×· · ·×Xm arbitr´ario temos kφ(A)(x)k ≤ kAkkx1k. . .kxmk, segue que φ(A) ´e cont´ınua. Mostramos portanto que φ(A) ∈ L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z)) e que kφ(A)k ≤ kAk, para cada
A∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z).
φ ´e linear, pois se A, B ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z) e λ ∈ K, ent˜ao para cada
(x, y)∈X1× · · · ×Xm×Y1× · · · ×Yn temos que
φ(A+λB)(x)(y) =A(x, y) +λB(x, y) =φ(A)(x)(y) +λφ(B)(x)(y).
Como kφ(A)k ≤ kAk para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z), segue que φ ´e
cont´ınua.
Para verificar queφ´e injetora, basta mostrar queφ−1(0) ={0}. De fato, seφ(A) = 0, temos queA(x, y) =φ(A)(x)(y) = 0, para cada x∈X1×. . .×Xm,y∈Y1×. . .×Yn, isto
Para provar queφ ´e sobrejetora fixemosB ∈ L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z)) e vamos
mostrar queA :X1× · · · ×Xm×Y1× · · · ×Yn→Z definida por A(x, y)=. B(x)(y) ´e tal queA∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z) eφ(A) = B. ´E f´acil ver queA´e multilinear. Vamos
mostrar que, para cada (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn)∈X1× · · · ×Xm×Y1× · · · ×Yn,
A´e cont´ınua em (x, y). De fato,
kA(x, y)k=kB(x)(y)k ≤ kB(x)kky1k. . .kynk ≤ kBkkx1k. . .kxmkky1k. . .kynk
observando-se que a primeira desigualdade ´e devida `a continuidade de B(x), e a segunda desigualdade ´e devida `a continuidade deB. Podemos concluir ent˜ao queA´e cont´ınua, e ev-identementeφ(A) =B, pela defini¸c˜ao de φ. Observe tamb´em que kAk ≤ kBk=kφ(A)k. Como acabamos de mostrar que φ ´e uma bije¸c˜ao entre L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z) e
L(X1, . . . , Xm;L(Y1, . . . , Yn;Z)), podemos afirmar que
kAk ≤ kφ(A)k, ∀A∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z).
Mostramos anteriormente que kφ(A)k ≤ kAk, ∀A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn;Z), e
por-tanto φ preserva norma.
Comoφ ´e linear, cont´ınua, bijetora, e preserva norma, segue que φ−1 ´e cont´ınua eφ ´e
uma isometria, como quer´ıamos. ♠
Uma consequˆencia not´avel deste Teorema ´e o seguinte corol´ario:
Corol´ario 2.10. Sejam X1, . . . , Xm espa¸cos normados e F um espa¸co de Banach.
Ent˜ao L(X1, . . . , Xm;F) ´e espa¸co de Banach.
Demonstra¸c˜ao:
Vamos mostrar que L(X1,· · · , Xm;F) ´e completo por indu¸c˜ao.
´
E sabido, para o casom= 1, queL(X1;F) ´e completo. Vamos supor queL(X1, . . . , Xm;F)
´e completo, e precisamos mostrar que L(X0, X1, . . . , Xm;F) ´e completo.
L(X0;L(X1, . . . , Xm;F)) ´e completo pelo fato de L(X1, . . . , Xm;F) ser espa¸co de
Ba-nach, e pelo Teorema anteriorL(X0;L(X1, . . . , Xm;F)) ´e isom´etrico aL(X0, X1, . . . , Xm;F)).
2.2
Aplica¸c˜
oes Multilineares Sim´
etricas
Vamos estudar agora este importante subespa¸co das aplica¸c˜oes multilineares. Mais adiante veremos que os espa¸cos de polinˆomios s˜ao isomorfos aos espa¸cos de transforma¸c˜oes multilineares sim´etricas.
Defini¸c˜ao 2.11. Sejam X, Y K-espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸c˜ao m-linear A:Xm →Y
´e dita sim´etrica se para cada x1, . . . , xm∈X tivermos que
A(x1, . . . , xm) =A(xσ(1), . . . , xσ(m)), ∀σ ∈Sm,
onde Sm ´e o grupo de permuta¸c˜oes de m elementos.
Denotamos porLas(mX;Y)oespa¸co das transforma¸c˜oesm-lineares sim´etricas de Xm em Y, e se X e Y forem normados denotamos por Ls(mX;Y) o espa¸co das transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas cont´ınuas de Xm em Y. Quando Y =K,
escrevemosLas(mX;K)=. Las(mX) e Ls(mX;K)=. Ls(mX)
Para simplificar nota¸c˜oes, utilizamos a seguinte conven¸c˜ao, para qualquer A multilin-ear:
A(x1, . . . , x1
| {z } n1vezes
, x2, . . . , x2
| {z } n2vezes
, . . . , xk, . . . , xk | {z }
nkvezes
)=. Axn1
1 . . . x
nk
k
A seguir est´a enunciada a f´ormula de Leibniz, cuja demonstra¸c˜ao omitiremos pois ´e muito t´ecnica e est´a bem escrita em [19], mas que tem importantes consequˆencias para o estudo dos polinˆomios em espa¸cos de Banach:
Teorema 2.12(F´ormula de Leibniz). SejamX, Y K-espa¸cos vetoriais eA∈ Las(mX;Y),
e seja k∈N. Ent˜ao para cada x1, . . . , xk ∈X vale que
A(x1+· · ·+xk)m =
X
n1+···+nk=m
m!
n1!. . . nk!
Axn1
1 . . . x
nk
k
onde cada n1, . . . , nk ∈N0.
Usaremos com mais frequˆencia a vers˜ao da f´ormula de Leibniz para o caso k= 2: Corol´ario 2.13 (F´ormula binomial). SejamX, Y K-espa¸cos vetoriais eA∈ Las(mX;Y).
Ent˜ao para cadax, y ∈X vale que
A(x+y)m = m X
k=0
m
k
!
Demonstra¸c˜ao:
Basta observar que X n1+n2=m
m!
n1!n2!
Axn1yn2 =
m X
n=0
m!
n!(m−n)!Ax nym−n
e o resultado ´e a aplica¸c˜ao direta da f´ormula de Leibniz. ♠
Outra consequˆencia da f´ormula de Leibniz ´e a f´ormula de polariza¸c˜ao, apresentada no pr´oximo Teorema.
Teorema 2.14(F´ormula de polariza¸c˜ao). SejamX, Y K-espa¸cos vetoriais eA∈ Las(mX;Y).
Ent˜ao para cadax1, . . . , xm ∈X vale que
A(x1, . . . , xm) =
1
m!2m X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ1. . . ǫmA(ǫ1x1+· · ·+ǫmxm)m.
Demonstra¸c˜ao:
Pela f´ormula de Leibiniz, temos para cada x1, . . . , xm ∈X que
A(ǫ1x1+· · ·+ǫmxm)m =
X
n1+···+nm=m
m!
n1!. . . nm!
A(ǫ1x1)n1. . .(ǫmxm)nm
= X
n1+···+nm=m
m!
n1!· · ·nm!
ǫn1
1 . . . ǫnmmAx n1
1 . . . xnmm.
Ent˜ao
X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ1· · ·ǫmA(ǫ1x1+· · ·+ǫmxm)m
= X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ1. . . ǫm
X
n1+···+nm=m
m!
n1!. . . nm!
ǫn1
1 . . . ǫnmmAx n1
1 . . . xnmm
= X
n1+···+nm=m
m!
n1!. . . nm!
Axn1
1 . . . xnmm X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫn1+1
1 . . . ǫnmm+1.
Quando nj ´e zero para algumj ∈N, temos que ǫ nj+1
j =ǫ1j e assim X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫn1+1
1 . . . ǫ
nm+1
m =
X
ǫj=±1
ǫj X
ǫi=±1
i6=j
ǫn1+1
1 . . . ǫ
nj−1+1
j−1 ǫ
nj+1+1
j+1 . . . ǫ
nm+1
Desta forma, todas as parcelas da somat´oria X
n1+···+nm=m
m!
n1!. . . nm!
Axn1
1 . . . xnmm X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫn1+1
1 . . . ǫnmm+1
se anulam, exceto a parcela em quen1 =· · ·=nm = 1. Como X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ1+11 . . . ǫ1+1m =
X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ21. . . ǫ2m =
X
ǫi=±1
1≤i≤m
1 = 2m,
podemos concluir que X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫ1· · ·ǫmA(ǫ1x1+· · ·+ǫmxm)m
= X
n1+···+nm=m
m!
n1!. . . nm!
Axn1
1 . . . xnmm X
ǫi=±1
1≤i≤m
ǫn1+1
1 . . . ǫnmm+1
= m!A(x1, . . . , xm)2m,
de onde podemos deduzir a f´ormula de polariza¸c˜ao. ♠
Observa¸c˜ao: Atrav´es dessa f´ormula podemos concluir que uma transforma¸c˜ao mul-tilinear sim´etrica em X ´e unicamente determinada por seus valores na diagonal de Xm, que ´e definida como o conjunto {(x1,· · ·, xm)∈Xm :x1 =· · ·=xm}.
2.3
Polinˆ
omios
Nesta se¸c˜ao vamos, a partir das transforma¸c˜oes multilineares, definir os polinˆomios homogˆeneos e estabelecer a rela¸c˜ao biun´ıvoca entre os polinˆomios homogˆeneos e as trans-forma¸c˜oes multilineares sim´etricas.
Defini¸c˜ao 2.15. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Dizemos que P : X → Y ´e um
polinˆomio homogˆeneo de grau m (ou polinˆomio m-homogˆeneo) e escrevemos
Dizemos ent˜ao que A ´e uma transforma¸c˜ao m-linear associada a P, e que P ´e o
polinˆomio m-homogˆeneo associado a A, e denotamos P = ˆA. Quando Y =K, denotamos Pa(mX)=. Pa(mX;K).
´
E f´acil verificar que o conjuntoPa(mX;Y) ´e umK-espa¸co vetorial, bem comoPa(X;Y), definido a seguir:
Defini¸c˜ao 2.16. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Dizemos que P : X → Y ´e um
polinˆomio (de grau m) se existem m ∈ N e Pi ∈ Pa(iX;Y), i ∈ {0, . . . , m}, Pm 6= 0
tais que
P =P0+P1+· · ·+Pm. (2.1)
Denotamos por Pa(X;Y) o K-espa¸co vetorial dos polinˆomios (de grau qualquer), e quando Y =K escrevemos Pa(X)=. Pa(X;K).
Na pr´oxima proposi¸c˜ao, vamos verificar que s˜ao ´unicos os polinˆomios que satisfazem 2.1. Observemos que, seX eY s˜ao K-espa¸cos vetoriais eP ∈ P(mX;Y), ent˜ao para cada
x∈X e cada λ∈K temos queP(λx) = λmP(x).
Proposi¸c˜ao 2.17. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Ent˜ao Pa(X;Y) ´e a soma direta alg´ebrica dos espa¸cos Pa(mX;Y), com m ∈N.
Demonstra¸c˜ao:
Basta provar que, se P ∈ P(X;Y) ´e tal que P =P0 +· · ·+Pm = 0, Pi ∈ Pa(iX;Y) para cadai∈ {0, . . . , m}, ent˜ao P0 =· · ·=Pm = 0.
Para cada x∈X e r >0 temos que
P0(rx) +P1(rx) +· · ·+Pm(rx) = 0 ⇒ r0P0(x) +rP1(rx) +· · ·+rmPm(x) = 0
⇒ 1
rmP0(x) + 1
rm−1P1(x) +· · ·+Pm(x) = 0.
Como r > 0 ´e arbitr´ario e o lado esquerdo desta ´ultima igualdade converge a Pm(x) quandor→ ∞, temos quePm(x) = 0, para cadax∈X. Assim,P =P0+· · ·+Pm−1 = 0.
Repetindo este recurso, podemos concluir queP0 =· · ·=Pm = 0. ♠
Proposi¸c˜ao 2.18. Seja P ∈ Pa(mX, Y), ent˜ao existe uma unica´ A∈ Las(mE;F) tal que
