01 INTRODUÇÃO_letra18

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fabiana.silva@osorio.ifrs.edu.br P - 1

Introdução

Nas atividades de uma empresa, podem estar envolvidas

produção, compra, venda, aplicações, empréstimos,

financiamentos, etc. Pode-se dizer que o dia a dia de uma

empresa faz-se de fluxos econômico-financeiros. As pessoas e as empresas ao se relacionarem com o mercado financeiro devem estar cientes da complexidade e do dinamismo que o envolvem.

Para que se atenda a tais atributos do relacionamento com o mercado financeiro é preciso abordar com profundidade a Matemática Financeira e exercitar a capacidade de resolução de problemas diferenciados e/ou mais complexos que, não raramente, atormentam os administradores e pessoas envolvidas numa atividade produtiva.

A Matemática Financeira, via de regra, exige um conhecimento básico de Matemática, mais precisamente de funções lineares, funções exponenciais, regra de três,

porcentagem, interpolação linear, limites, progressão

geométrica e logaritmo.

Antes de tudo é necessário que se faça uma diferenciação

entre operações comerciais e operações financeiras. As

primeiras não envolvem o fator tempo e as segundas têm neste fundamentada toda a conceituação. Assim, é necessário fazer-se uma distinção entre estas operações para que não haja

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conjunção no tratamento de conteúdos distintos. Não abordaremos aqui as operações comerciais.

Portanto, não se pretende estudar Matemática Comercial e sim Matemática Financeira, a qual ocupa-se, em essência, da análise do valor do dinheiro no decorrer do tempo.

Para que se torne menos oneroso o trabalho é necessário que se lance mão de uma calculadora financeira ou científica. A preocupação aqui não será ensinar a usar a calculadora e sim fornecer conceitos, métodos e fórmulas que possibilitem o encaminhamento de soluções envolvendo operações financeiras de maneira clara e objetiva.

Será frequente a apresentação de deduções de fórmulas, pois entende-se que este procedimento permite a solidificação dos conceitos, abrindo caminho para a solução de problemas diferenciados, que são muito comuns dado ao caráter dinâmico da Matemática Financeira.

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Operações Financeiras

As operações financeiras são aquelas realizadas com valores monetários com a finalidade de obter seus valores no tempo. O fator tempo é, portanto, fundamental numa operação financeira.

As operações financeiras podem ser ativas ou passivas: as operações financeiras ativas são os investimentos que tem a finalidade de obter rendimentos. São exemplos destas operações a Poupança, as Letras de Câmbio, operações a prazo fixo, compra de imóveis ou moeda estrangeira, etc. Como exemplo de operações financeiras passivas, enumeramos os descontos de títulos e os empréstimos, pois se destinam à captação de recursos.

A Matemática Financeira ocupa-se dos cálculos para quantificar as Operações Financeiras.

Num primeiro momento apresenta-se alguns conceitos básicos para que se use adequadamente a terminologia e não se confundam elementos que são distintos.

O Capital

Do ponto de vista da economia, os fatores de produção são

divididos em trabalho, imóveis, capacidade empresarial e

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Qualquer quantidade de moeda, disponível em certa data para ser aplicada numa operação financeira, é denominada

Capital, Valor Atual ou Valor Presente ou Principal. (Valor que

pode ser expresso em moeda).

Indicaremos capital por (Present Value).

O Juro

Aos fatores de produção acima apresentados, por sua parcela de participação em um processo produtivo, corresponde uma remuneração que denomina-se respectivamente de

salário, aluguel, lucro e juro.

Mantidas as mesmas condições, os agentes econômicos preferem consumir no presente a fazê-lo no futuro. Da mesma forma, é preferível receber uma unidade monetária hoje a recebe-la em data posterior. Assim, retardar o consumo ou o recebimento de uma importância pressupõe um certo sacrifício

que deve ser remunerado através do juro. O juro é, portanto, a

contrapartida dada pela utilização de um determinado capital em certo período de tempo.

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Taxa de Juros

A taxa de juros ou simplesmente taxa é a unidade de medida

dos juros.

A taxa é um coeficiente que determina o juro referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração do capital por um prazo igual ao indicado na taxa.

A taxa de juros representa a razão entre a remuneração do capital e este e, de modo geral traz embutidos os seguintes componentes:

- custo de oportunidade, ou seja, a parcela destinada a

proporcionar ao dono do capital pagamento pelo seu uso;

- taxa de risco, que é o acréscimo dado à taxa por conta da

incerteza em relação ao futuro;

- determinação do poder de compra do capital, motivado

pelo fenômeno inflacionário.

A taxa poderá apresentar-se de duas formas:

Taxa percentual ou centesimal: Anotada por (rate).

É a remuneração atribuída a centos do capital, na unidade referida de tempo. Sua indicação é acompanhada do símbolo (“por cento”). Exemplo: ;

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Taxa unitária: Anotada por (interest)

É a remuneração atribuída à uma unidade de capital numa unidade referida de tempo. Exemplo: ;

A taxa unitária é obtida pela divisão da taxa percentual por 100. Os cálculos, em Matemática Financeira, sempre utilizam a taxa no formato unitário. No entanto, é costume referir-se, na linguagem corrente, à taxa na forma percentual.

Temos então que:

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Exemplo 1

O capital de R$ 40.000,00 ficou aplicado durante um mês e rendeu R$ 1.400,00. A que taxa esteve aplicado?

Exemplo 2.

Um capital de R$ 8.400,00 estava aplicado por 6 meses e rendeu R$ 769,44 de juros. A que taxa esteve aplicado?

Exemplo 3.

O capital de R$ 18.000,00 esteve aplicado por 60 dias à taxa de 3,94% no período. Quais os juros produzidos por este investimento?

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Montante ou Valor Futuro

Quando um investidor aplica determinado capital por um certo tempo a certa taxa, no final desse período de tempo ele tem a sua disposição não só valor inicialmente aplicado (Valor Presente ou Capital), mas também os juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado

Montante.

O Montante pode ser considerado como Valor Final do

capital aplicado, sendo também chamado de Valor Futuro.

Será indicado por (Future Value) Temos então que:

Exemplo 4.

Um capital de R$165.000,00 esteve aplicado durante um trimestre e rendeu R$18.480,00 de juro. Pede-se:

4.1 Qual o montante final?

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Regimes de Capitalização

A operação de adição dos juros ao capital recebe o nome de

capitalização.

Existem dois regimes de capitalização, o Regime de

Capitalização Simples e o Regime de Capitalização Composta.

O Regime de Capitalização Simples, ou Regime de Juros Simples, consiste em somar os juros ao capital no final do prazo contratado. Daí o nome de capitalização simples. Nada impede que os juros sejam calculados, ou até colocados à disposição do investidor, parceladamente no decorrer deste prazo. Neste caso, embora os juros sejam calculados periodicamente, em várias vezes, seu cálculo é feito sempre sobre o capital inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, que equivale a uma única capitalização. Neste caso os juros a cada período financeiro são iguais. Os juros simples são lineares.

No Regime de Capitalização Composta, ou Regime de Juros Compostos, surge a figura do período de capitalização, que é o intervalo de tempo durante o qual os juros são calculados,

antes de se incorporarem ao capital, para, a partir daí, render juros no período seguinte. Esse processo de adição dos juros ao capital se repete período a período, durante o prazo total da operação. É imprescindível, neste regime, conhecer, além da taxa de juros e do prazo de aplicação, a periodicidade com a

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qual os juros devem ser incorporados ao capital. Os juros compostos são chamados de exponenciais.

Suponhamos, a título de exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, segundo os dois regimes:

ANO

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS

Juros no Ano Montante Juros no Ano Montante Início do ano - 1.000,00 - 1.000,00 Fim do ano 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 Fim do ano 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 Fim do ano 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 Fim do ano 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 Fim do ano 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51

Em operações com apenas um período de capitalização é indiferente a utilização do regime de juros simples ou de juros

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compostos. As diferenças ocorrem a partir do segundo período de capitalização, observando-se que o montante a juros simples tem o comportamento de uma progressão aritmética em relação ao tempo de aplicação, ao passo que o regime de juros compostos confere ao montante características de uma progressão geométrica.

Os juros simples, pela sua facilidade de cálculo, são utilizados frequentemente entre pessoas físicas. São utilizados também em operações comerciais com o argumento de venda, pois, esse regime, através de artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão ser maiores e as taxas de juros menores. No mercado financeiro, normalmente é utilizado em aplicações de curto prazo em descontos de títulos. Para todos os papéis de renda, sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-se o regime de capitalização composta.

Os conceitos definidos até aqui e as poucas relações estabelecidas entre capital, juros, taxa e montante, são válidos para qualquer um desses dois regimes de capitalização.

Observe que até o momento, o tempo, apresentado como elemento principal nas relações financeiras, foi considerado como um período único, sem divisões, e não teve ainda papel explícito nas relações estabelecidas e exemplos resolvidos.

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Fluxo de Caixa ou Diagrama de Capital no Tempo

Os problemas envolvendo operações financeiras tanto podem ser de relativa simplicidade como podem apresentar elevado grau de complexidade.

Para que se resolva adequadamente um problema é preciso antes bem entendê-lo.

Um dos recursos que se pode utilizar é o chamado Fluxo de

Caixa. Construir um fluxo de caixa pode representar meio

caminho andado na resolução do problema. Se num problema simples pode ser dispensável, num problema mais complexo sua construção pode ser imprescindível e contribuir para a elucidação do mesmo.

O Fluxo de Caixa é um conjunto de entradas e saídas, dispostas ao longo do tempo. É geralmente constituído por um diagrama de eixo horizontal, que representa a linha do tempo, tendo acima as entradas e abaixo as saídas de caixa. A unidade de tempo, para maior facilidade de cálculo, deve ser escolhida de acordo com o prazo de capitalização dos juros. (período da taxa de juros)

O Fluxo de Caixa de uma operação financeira pode ser construído sob a ótica do credor ou sob a ótica do devedor. Evidentemente, a escolha do enfoque não alterará os resultados obtidos; apenas deve-se atentar para a coerência em relação ao fluxo adotado quando da identificação das

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entradas e saídas de caixa (o que é entrada para o credor é saída para o devedor, e vice-versa).

Embora este detalhe não se constitua num ponto fundamental costuma ser importante para alguns problemas.

Obs.: O objetivo de nosso estudo é o fluxo de caixa de um investimento ou empréstimo, contudo a mesma ideia é comumente utilizada por empresas para controlar suas disponibilidades monetárias, através das entradas e saídas de dinheiro.

Exemplos de fluxo de caixa:

01. Um terreno de R$49.000,00 é vendido a prazo em seis prestações mensais de R$10.000,00 cada uma, vencendo a primeira 2 meses após a compra.

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Credor:

02. Um apartamento no valor de R$220.000,00 é vendido a prazo em 12 parcelas mensais de R$15.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 12 meses, cada uma de R$50.000,00.

03. Uma empresa deve a uma instituição financeira R$30.000,00 com vencimento para 60 dias; R$42.000,00 com vencimento para 120 dias. A empresa quer acordar com a instituição o pagamento em três parcelas iguais em 30, 60 e 90 dias. Se a taxa da operação for de 6,5% a.m., qual o valor de cada pagamento?

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04. Uma máquina pode ser comprada nas seguintes condições: À vista por R$ 6.550,00 ou financiada com uma entrada de 20% do valor à vista mais um pagamento de R$22.000,00 em 30 dias e mais 10 pagamentos mensais e consecutivos começando o primeiro 90 dias após a compra. Determine o valor desses pagamentos se a taxa de juros for de 4,5% ao mês.

05. O preço à vista de uma chácara é de R$96.700,00. A prazo, ela é vendida com uma entrada de R$30.000,00 e mais 5 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$15.600,00, com a primeira vencendo 60 dias após a compra. Qual a taxa mensal de juros adotada pelo vendedor?