Cônicas

Julho/2011

Prof. Mar o AurélioP. Cabral

Departamento de Matemáti a Apli ada

Instituto de Matemáti a  UFRJ

1  Introdução

A história das ni as se ini ia na Gré ia antiga. Menae hmus (350 A.C.) foium dos pioneiros

no estudodas ni as, estudando-assobo ponto devistada interse ção de onee planoutilizandoa

ex entri idade. Eu lides(300A.C.)es reveuumlivrosobreasseções ni asqueseperdeu. Apolnio

(225A.C.)es reveusetelivrossobreas ni as, omosprimeiroquatrolivrosbaseadosnodeEu lides.

Apolnio riou osnomeselipse, parábola ehipérbole (ver[Bu℄p. 197198e [Bo℄).

Kepler (1604) des obriu pela análise de observações astronmi as e Newton (1670) provou

ma-temati amente baseado na lei da gravitação universal, que os planetas se movem em elipses. A

Geometria antiga (aparentemente inútil) dos gregos se tornou a base da astronomia moderna (ver

[Cx℄).

Oestudomodernode ni asforne eumbeloexemplode omomudançasde oordenadas podem

simpli ar otratamento de problemas. Mostratambém omo omesmo problemapode serabordado

de formasdistintas.

2  Três Definições

Podemos deniras ni asde três modosdistintos: porGeometria Espa ial, Plana eAnalíti a.

2.1. Seções de um one por um plano (Geometria Espa ial)

ELIPSE: plano orta somente um dos ramos do onee não é paralelo à geratriz (forma uma gura

nita).

HIPÉRBOLE: plano orta osdois ramos do one; a parte de baixo e de  ima (forma uma gura

innita).

PARÁBOLA: plano orta somente umdos ramos do one e é paralelo à geratriz (forma uma gura

innita).

Figura1: Seçõesdo Cone: Cír ulo,Elipse, Parábolae Hipérbole[MAO℄

Exer í io 1: Utilizando a denição a ima, omo obter as ni as degeneradas (observe a

Figura1):

(a) Umponto; (b)Duasretas; ( ) Umareta;

(d)Conjunto vazio; Di a: onsidereum onedegenerado em reta.

(e) Todoo plano; Di a: onsidere um one degeneradoem plano.

2.2. Lugar geométri o (Geometria Plana)

HIPÉRBOLE:Lugargeométri odospontosdoplano ujadiferença,emvalorabsoluto,dasdistân ias

atédois pontos

F

1

e

F

2

é onstante.

PARÁBOLA:Lugargeométri odospontosdoplano ujadistân iaatéumponto

F

éigualadistân ia atéuma reta

r

.

Seja

Π

umplano,

d(P, Q)

adistân ia entreospontos

P, Q ∈ Π

e

d(P, r)

a distân iaentreoponto

P

e a reta

r

. Com estanotação:

ELIPSE =

{P ∈ Π; d(P, F

1

) + d(P, F

2

) = C}

HIPÉRBOLE =

{P ∈ Π; |d(P, F

1

) − d(P, F

2

)| = C}

PARÁBOLA=

{P ∈ Π; d(P, F ) = d(P, r)}

Exer í io 2: Utilizando adenição a ima, omoobter as ni asdegeneradas:

(a) Conjunto vazio. (b)Umponto. Di a: Elipse.

( ) Umareta. Di a: Parábola. (d)Todoo plano. Di a: hipérbole.

2.3. Soluções de equação polinomial do segundo grau (Geometria Analíti a)

CÔNICA=

{(x, y) ∈ R

2

tais que

ax

2

+ bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0}

.

A lassi ação das soluções deste polinmio do segundo grau em

x

e

y

é feita em dois estágios: eliminação de

bxy

(por rotação)edostermos lineares (portranslação).

Exer í io 3: Considere

a(x

2

+ y

2

) + dx + ey + f = 0

om

a 6= 0

. (a) Proveque representa uma ir unferên ia se,e somente se,

d

2

+ e

2

> 4af

. (b)Determine entroe raio. R: entro

C(−d/(2a), −e/(2a))

e raio

r =

p

d

2

+ e

2

− 4af /2|a|

. 2.3.1 Eliminação de

bxy

. Fazemos isto rodando o sistema de oordenadas por um ângulo

θ

es olhido adequadamente. Para istointroduzimosnovas variáveis

(e

x, e

y),

denidaspor:



e

x = x cos θ + y sen θ,

e

y = −x sen θ + y cos θ,

ou,matri ialmente,



e

x

e

y



=



cos θ sen θ

− sen θ cos θ

 

x

y



.

Como (uma matrizé ainversada outra verique!)



cos θ sen θ

− sen θ cos θ

 

cos θ − sen θ

sen θ

cos θ



=



1 0

0 1



,

multipli ando pela inversa dosdoislados temosque



x

y



=



cos θ − sen θ

sen θ

cos θ

 

e

x

e

y



.

Agorasubstituímos

x = cos θ e

x − sen θ e

y,

y = sen θ e

x + cos θ e

y

naequação

ax

2

+ bxy + y

2

epodemos

zerar o termo em

e

xe

y

se(exer í io) tomarmos

θ

tal que

tan(2θ) = b/(a − c)

. Após esta mudança de oordenadas a equação setransformaráem:

Ae

x

2

_{+ C e}

y

2

+ d

1

e

x + e

1

y + f

e

1

= 0.

Note quese

A

ou

C

forzero obtemosa equação deumaparábola. Exer í io 4:

(a) Prove que amatriz a ima representa umarotação;

(b)Faça atro a de variáveis a ima e prove queotermo misto

e

xe

y

desapare e se

tan(2θ) = b/(a − c)

; ( ) Se

a = c

teríamos que ter

tan(2θ) = ±∞

. Isto será verdade se

2θ = 90

o

e portanto

θ = 45

o

.

Isto pode ser veri ado diretamente. Mude oordenadas de

ax

2

+ bxy + ay

2

(

a = c

!) tomando

x =

√

_2/2(e

_{x − e}

y),

y =

√

_2/2(e

_{x + e}

y)

e mostrequeo termo misto

xe

e

y

desapare e.

(d) Observe que o ângulo de rotação não é úni o pois pedimos apenas que

tan(2θ) = C

. Quantos ângulosdistintospodemserutilizados? Qualarelaçãoentreessesângulos? Pensealgebri amente(em

termos de

kπ + · · ·

) e geometri amente ( ír ulo trigonométri o). Como isto afetará a transformação a ima?

(e) Prove que

4ac − b

2

(a) Dena

k = b/(a − c)

. Prove que

(cos(2θ))

2

= 1/(k

2

+ 1)

;

(b)Agoratemosquexarum(dos4valorespossíveis)para

θ

. Restringindo

2θ

aoprimeiro (se

k > 0

) e quartoquadrante(se

k < 0

),vamosterque

−π/4 < θ ≤ π/4

. Nosdois asospodemos xar

cos > 0

e somentevariar osinalde seno. Nestas ondiçõesprove que

cos(2θ) = 1/

p

k

2

_{+ 1}

om

k = b/(a − c).

Assim xe

m = cos(2θ) =

_√

1

k

2

+ 1

=

|a − c|

p

b

2

+ (a − c)

2

.

Se

k > 0

prove que

sen(θ) =

r

1 − m

2

e

cos(θ) =

r

1 + m

2

.

Se

k < 0

prove que

sen(θ) = −

r

1 − m

2

e

cos(θ) =

r

1 + m

2

.

Exer í io 6: Suponha que

b

2

− 4ac = 0

.

(a) Mostreque

a

e

c

possuemo mesmosinal(ambos positivosou ambosnegativos).

(b) Vamos assumir daqui em diante que

a

e

c

sãopositivos, pois aso ontrário basta multipli ar a equação por

−1

. Mostre que se

k > 0

(ou seja, se

b > 0

),

sen θ =

p

c/(a + c)

e

cos θ =

p

a/(a + c)

e se

k < 0

(ou seja, se

b < 0

),

sen θ = −

p

c/(a + c)

e

cos θ =

p

a/(a + c)

. ( ) Prove queostermosdo segundograu

ax

2

+ bxy + cy

2

formamumquadrado perfeito.

(d)Utilize oitem(b)diretamente(semutilizar o item(a))eintroduzanovasvariáveis

x

e

e

y

e

tais que a equação setransforme em

Ae

x

2

+ De

x + Ee

y + F = 0

. Di a:

e

x = (

√

_{ax +}

√

_cy)/

√

a + c

(se

b > 0

) ou

x = (−

e

√

ax +

√

cy)/

√

a + c

(se

b < 0

).

(e) Dis utaaspossibilidadesquando

d = e = 0

. R:Continua umaparábola.

(f) Dis uta aspossibilidades quando

D = E = 0

. R:Dependendodo sinalde

F

,vazio, duasretas paralelas ou umaretapassando na origem.

2.3.2Eliminação de

d

1

e

x

e

e

1

y

e

. Completeo quadrado e obtenhaumaequação da forma:

A(e

x − x

0

)

2

+ C(e

y − y

0

)

2

= F

ou

A(e

x − x

0

)

2

+ e

1

y = F

e

ou

d

1

e

x + C(e

y − y

0

)

2

= F.

Transladamos os eixos introduzindo as variáveis

X = e

x − x

0

e

Y = e

y − y

0

, sendo que no aso de parábola tomamos

X = e

x

ou

Y = e

y

. Obtemos

AX

2

+ CY

2

= F

ou

AX

2

+ e

1

Y = F

ou

d

1

X + CY

2

= F

que pode ser lassi ada, desprezando os asos degenerados (reta(s), ponto, vazio) pelos sinais deA

e C:

ELIPSE (

A · C > 0

) sinais iguais,ambospositivosou ambosnegativos; HIPÉRBOLE (

A · C < 0

)sinais distintos, umpositivoe outronegativo; PARÁBOLA(

A · C = 0

) umdossinais igual azero.

Observação: Pelo sinal do hamado dis riminante

b

2

− 4ac

, que é igual a

−4AC

por exer í io anterior, podemos lassi ara ni asem ne essidade de rodar oseixos expli itamente.

Mais adiante provaremos que

y = ax

2

+ c

é uma parábola,

(x/a)

2

+ (y/b)

2

= 1

é uma elipse e

(x/a)

2

− (y/b)

2

= 1

éumhipérbole. Estasequaçõessão hamadas deformas anni as(padrão) das ni as.

Exer í io 7: Es reva,utilizando asformas anni as,equaçõesparaas ni asdegeneradas:

(a) Conjunto vazio; (b)Umponto; ( )Uma reta; (d)Todo oplano;

(e) Umpar deretas paralelas; (f) Umpar de retas on orrentes.

Exer í io 8: Prove queográ o de grandezas inversamentepropor ionais é umahipérbole.

Exer í io 9: Troquevariáveise lassique as ni asabaixo: Usando omaxima pode-se tro ar

senn: sqrt(2)/2;

oss: sqrt(1-senn^2);

x: oss*X - senn*Y;

y: senn*X + oss*Y;

expand(5*x^2 - 6*x*y + 5*y^2 - 1);

(a)

y

2

+ 2x y − 2y + x

2

+ 2x = 0

. R:A parábola

X

2

=

√

2Y

. (b)

3 y

2

+ 2 x y + 3 x

2

+ 2 = 0

. R:O onjunto vazio

2X

2

+ Y

2

+ 1 = 0

. ( )

5 y

2

− 6 x y + 5 x

2

− 1 = 0

. R:Aelipse

8Y

2

+ 2X

2

= 1

. (d)

2 x y +

4 x

√

2

= 0

. R:Duasretas

(X + 1)

2

= (Y + 1)

2

(retas

X = Y

e

X = −Y − 2

). (e)

2 x y + 2 y + 2 x + 1 = 0

. R:A hipérbole

(X +

√

2)

2

− Y

2

= 1

. (f)

7 y

2

− 48 x y − 7 x

2

= 0

. R:Duasretas

Y

2

= X

2

(retas

Y = ±X

) (

sen θ = 3/5

). (g)

8 y

2

− 4 x y + 5 x

2

= 1

. R:A elipse

4X

2

+ 9Y

2

= 1

(

sen θ =

√

5/5

). (g)

3 y

2

+ 2

√

3 x y + 6 y + 5 x

2

+ 6

√

3 x + 4 = 0

. R:Aelipse

3(X + 1)

2

+ Y

2

= 1

(

sen θ = 1/2

). (h)

−9 y

2

− 24 x y + 4 y − 16 x

2

= 3 x

. R:A parábola

Y = 5X

2

(

sen θ = 3/5

). (i)

5 y

2

− 14 y + 5 x

2

− 2 x + 5 = 0

. R:A elipse

(X − 1)

2

+ (Y − 1)

2

= 1

(

sen θ = 3/5

). Exer í io 10: Vamos determinar sob que ondições o polinmio

P (x, y) = ax

2

+ bxy + cy

2

é

semprepositivo,ouseja,quando

P (x, y) > 0

paratodo

x, y ∈ R\{0}

. Dizemosneste asoque

P (x, y)

é umaforma quadráti a positivo denida.

(a) Elimine

bxy

e mostrequeelaé positivodenida se

b

2

− 4ac < 0

e

a > 0

(ou

c > 0

). (b)Determine ondições paraqueelasejaindenida, i.e., nempositiva nemnegativa.

( ) Faça os itens anteriores da seguinte forma. Fatore

P (x, y) = x

2

(a + b(y/x) + c(y/x)

2

)

. Dena

w = y/x

,

g(w) = a + bw + cw

2

e estudeo sinalda função

g

.

3  Apli ações Práti as

Muitas apli açõessãobaseadas naspropriedades fo aisdas ni as(Figura 2):

(a)ElipseeHipérbole: umraioquepasseporumfo o,apósreexãoprosseguiránumaretaquepassa

pelooutrofo o;

(b) Parábola: um raio que passe pelo fo o após reexão será perpendi ular à reta diretriz (e

vi e-versa).

Figura2: Propriedades fo aisda parábola, elipsee hipérbole[MAO℄

Note que embora seja ne essário o on eito de limite para denir a reexão de raios de luz em

espelhos urvos,pode-seprovar omGeometria Sintéti a(videSeção 10) estesresultados.

3.1 Elipse: Galeria sussurrante no apitólio em Washington DC e na Catedral de São Paulo

em Roma; tratamento de pedra nos rins (litotripsia): pedranum dosfo os e ondas sonoras de alta

intensidade. Luminária de dentista, que on entra luz no dente e evita que ofusque o pa iente.

Trajetórias dos planetas e ometas em torno do sol; Utilizando geometria analíti a veremos mais

adiante porque surgemelipses no opo d'águae no bambolê daFigura 3.

3.2 Parábola: Antenaparabóli a (vide Figura5), farol dos arros, lanternas, rádioteles ópio,

numbebedouro(Figura 4) e o salto de umgolnho (Figura 4). Espelho parabóli o (ver [Kl℄ p. 272

para mexer luz no fo o), transmissão de sinais (pode ser visto no parque da iên ia da Fundação

OsvaldoCruz do RiodeJaneiro, paratransmitir voz).

Figura4: Apli açõesda Parábola[Br℄

3.3 Hipérbole: Zona de es uta dobarulho emitido por umavião subsni o, pois ainterse ção

do one de som om o solo forma uma hipérbole (vide Figura 5). Difusão da luz em luminárias de

iluminação públi a. Lentes do teles ópio de Cassegrain (vide Figura 5). Luz de abajur na parede

(videFigura 5e [Ca℄).

Figura5: Apli açõesda Hipérbole 1(avião e lápisde[Br℄; abajur [LAB℄; teles ópio[MAO℄)

Exer í io 11: Ondee porquesurge umahipérbole nolápisda Figura5?

Exer í io 12: Porquea sombra doabajur na parede(videFigura 5)é umahipérbole?

Umaapli açãomilitaréoLORANLong RangeNavigation: Duasestaçõesderádiotransmitem

simultaneamentesinaisparaumbar oouavião. Diferençadetempolo alizaramodeparábola. Com

umater eira estação pode-se al ular interseçãodasduasparábolas.

Torre de refrigeração de usina de energia (termoelétri as e nu leares) ne essita dissipar muito

alor e paraisto deve ser onstruída om material forte. Partindo de um ilindro, ujaslaterais são

formadasporarames,rodandoumadasbases,obtemosumhiperboloidederevolução(umasuperfí ie

quádri a ujos orte formamhipérboles) ujas laterais são segmentos de retas que podem ser feitos

4  Formas Canni as são Cni as

4.1 Parábola: Porque

y = aX

2

+ c

é umaparábola(para

a 6= 0

) ?

Se denirmos

Y = y − c

e

p = 1/(4a)

e substituirmosna equação a ima obtemos

X

2

= 4pY.

Como

(Y + p)

2

− (Y − p)

2

= 4pY

,obtemosque

X

2

= 4pY = (Y + p)

2

− (Y − p)

2

. Logo

X

2

_{+ (Y − p)}

2

= (Y + p)

2

.

Denotando

P = (X, Y )

e denindo o fo o

F = (0, p)

e a reta diretriz

r

por

Y = −p

, esta equação é equivalente a

d(P, r) = d(P, F )

. Note que nessas oordenadas o vérti e é

(X, Y ) = (0, 0)

. Nas apli ações basta saber o fo o, vérti e e diretriz da equação simpli ada

X

2

= 4pY

ou, de forma equivalente,

Y = aX

2

om

p = 1/(4a)

. 4.2 Elipse: Porque

(x/a)

2

+ (y/b)

2

= 1

é umaelipse ? Assuma, sem perdade generalidade, que

a > b

e dena

c

2

= a

2

− b

2

. Multipli ando a equação por

a

2

b

2

obtemos

b

2

x

2

+ a

2

y

2

= a

2

b

2

. Substituindo

b

2

= a

2

− c

2

obtemos

(a

2

− c

2

)x

2

+ a

2

y

2

= a

2

(a

2

− c

2

)

. Multipli andoostermoserearrumando obtemos

a

2

x

2

+ a

2

c

2

+ a

2

y

2

= c

2

x

2

+ a

4

. Somando

2a

2

cx

em ambososladospodemosrees rever omo

(cx + a

2

)

2

= a

2

((x + c)

2

+ y

2

)

. Tirandoaraizquadrada em ambososladosobtemos

cx+a

2

= a

p

(x + c)

2

+ y

2

. Observeque

4cx = (x+c)

2

−(x−c)

2

. Portantose

multipli armosambososladospor

4

eutilizarmosestarelaçãoobtemos

(x + c)

2

−4a

p

(x + c)

2

_{+ y}

2

₊

4a

2

= (x−c)

2

. Somando

y

2

emambososlados,

(x+ c)

2

+ y

2

−4a

p

(x + c)

2

+ y

2

+ 4a

2

= (x−c)

2

+ y

2

.

Portanto hegamos a equação:

(2a −

p

(x + c)

2

+ y

2

)

2

= (x − c)

2

+ y

2

. Tirando araiz quadrada em

ambos os lados e rearrumando obtemos

p

(x − c)

2

_{+ y}

2

₊

p

_{(x + c)}

2

_{+ y}

2

_{= 2a}

. Se denotarmos os

fo os

F

1

= (c, 0)

,

F

2

= (−c, 0)

e

P = (x, y)

esta equação éequivalentea

d(P, F

1

) + d(P, F

2

) = 2a

. Exer í io13: Seguindo[Av℄,observequeprovamosqueseumpontosatisfazaequação

(x/a)

2

+

(y/b)

2

= 1

então este ponto perten e a elipse. Para mostrar a volta temos que tomar uidado pois

k = l

impli a que

k

2

= l

2

, mas a re ípro a não é verdadeira. Porém se

k, l ≥ 0

então

k = l

é equivalente a

k

2

= l

2

. Prove utilizando a dedução a ima que todo ponto da elipse satisfaz esta

equação (a re ípro a).

4.3 Hipérbole: Porque

(x/a)

2

− (y/b)

2

= 1

éumhipérbole ? Dena

c

2

= a

2

+ b

2

. Substituindo e fazendooperaçõessemelhantesao da elipseobtemosa equação

|d(P, F

1

) − d(P, F

2

)| = 2a

. Exer í io 14:

(a) Prove que se

a > b

a lo alização dos fo os da elipse

(x/a)

2

+ (y/b)

2

= 1

será em

(−c, 0)

,

(c, 0)

om

c

2

= a

2

− b

2

. Di a: Assumindo que os fo os estão no eixo-x, estude os pontos extremos da

elipse, quando

x = 0

e quando

y = 0

.

(b) Prove que a lo alização dos fo os da hipérbole

(x/a)

2

− (y/b)

2

= 1

será em

(−c, 0)

,

(c, 0)

om

c

2

= a

2

+ b

2

( ) Na equação da hipérbole

(x/a)

2

− (y/b)

2

= 1

es reva

y

emfunção de

x

e determine asretas que seaproximam dela para

x

grande,as hamadas assíntotas. Di a: para

x

grande,

√

x

2

+ a ≈ |x|

. (d)Naequaçãodaparábola

y = ax

2

,sabendoqueofo oestánoeixo-yequearetadiretrizéparalela

ao eixo-x, determine diretamente (sem usaro que foi desenvolvido no texto) o fo o e a reta diretriz

em funçãode

a

.

Exer í io15: Para adauma das ni asabaixo,determine o fo o (ou fo os),reta diretriz (se

for parábola) eassíntotas (sefor hipérbole). Di a: Transformena equação padrãoapóstranslação

e/ou rotação de eixos.

(a)

2x = y

2

+ 8y + 22

. R:parábola,

F (7/2, −4)

,

x = 5/2

. (b)

4x

2

+ y

2

= 16

. R:elipse,

F (0, ±2

√

3)

. ( )

y

2

− x

2

= 4

. R:hipérbole,

F (0, ±2

√

2)

,

y = ±x

. (d)

x

2

= 4y − 2y

2

. R:elipse,

F (±1, 1)

. (e)

9x

2

− 18x + 4y

2

= 27

. R:elipse,

F (1, ±

√

5)

. (f)

x

2

+ 4x + 28 = 8y

. R:parábola,

F (−2, 5)

,

y = 1

. (g)

y

2

+ 2y = 4x

2

+ 3

. R:hipérbole,

F (0, −1 ±

√

5)

,

y + 1 = ±2x

. (h)

y

2

+ 2y + 12x + 25 = 0

. R:parábola,

F (−5, −1)

,

x = 1

. (i)

2y

2

− 3x

2

− 4y + 12x + 8 = 0

. R:hipérbole,

F (2 ±

√

15, 1)

,

y = 1 ±

√

6/2(x − 2)

. Exer í io 16: En ontreuma equaçãopara a ni a quesatisfaça as ondições abaixo:

(a) parábola: vérti e

(0, 0)

;fo o

(0, −2)

. R:

x

2

= −8y

. (b)parábola: fo o

(−4, 0)

;diretriz

x = 2

. R:

y

2

= −12(x + 1)

. ( ) elipse: fo os

(±2, 0)

;vérti es

(±5, 0)

. R:

x

2

/25 + y

2

/21 = 1

. (d)elipse: fo os

(0, 2)

e

(0, 6)

; vérti es

(0, 0)

e

(0, 8)

. R:

x

2

/12 + (y − 4)

2

/16 = 1

. (e) hipérbole: fo os

(0, ±3)

;vérti es

(0, ±1)

. R:

y

2

− x

2

/8 = 1

. (f) hipérbole: fo os

(1, 3)

e

(7, 3)

;vérti es

(2, 3)

e

(6, 3)

. R:

(x − 4)

2

/4 − (y − 3)

2

/5 = 1

. (g) hipérbole: vérti es

(±3, 0)

;assíntotas

y = ±2x

. R:

x

2

/9 − y

2

/36 = 1

.

Exer í io 17:

(a) Verique que

x(t) = a cos t

e

y(t) = b sen t

éa equação paramétri ade umaelipse.

(b) Verique que

x(t) = a cosh t

e

y(t) = b senh t

éa equação paramétri a da hipérbole(justi ando o nomedasfunçõessenoe ossenohiperbóli o), onde

cosh t = (e

t

_{+ e}

−t

_)/2

e

senh t = (e

t

_{− e}

−t

_)/2

5  Interse ção de Cone om Plano Gera Cni a

5.1. Equação do Cone

Vamos deduzir a equação do one. Dado um one qualquer introduzimos o seguinte sistema de

oordenadas: O eixo-z será o eixo de simetria do one, a origem o vérti e do one e o plano

x

-

y

perpendi ularao eixo-

z

.

Cortando o one om um plano paralelo ao plano

x

-

y

obtemos um ír ulo de raio

r

. Dado um ponto

(x, y)

deste ír ulo, pelo Teorema de Pitágoras o raio

r =

p

x

2

_{+ y}

2

(veja Figura 7). Como a

oordenada

z

deste ponto é diretamente propor ionala

r

peloexer í ioabaixo, temosque

z = αr

. Portanto

z

2

= α

2

r

2

= α

2

(x

2

+ y

2

)

. Logo aequação do oneé:

z

2

= α

2

(x

2

+ y

2

).

Exer í io 18: Utilizando semelhança de triânguloprove que

z = αr

. Exer í io 19:

(a) Como obter uma reta ( one degenerado) igual ao eixo-

z

? R: Quando

α → ∞

temos que

r/z = 1/α → 0

,oque impli a

r = 0.

Logo

x

2

+ y

2

= 0

o queimpli a em

x = 0

e

y = 0

.

(b)Como obter o plano

x

-

y

( onedegenerado)? R:Quando

α → 0

temosque

z/r = α → 0

,o que impli a

z = 0

,oplano

x

-

y

.

( ) Para estesdois asos imagine geometri amente um one setransformando em umareta e depois

r

z

(x,y)

Figura 7: Deduçãoda Equação doCone

Exer í io20: PorqueobservamosumaelipsenobambolêdaFigura3? Di a: Utilizeaequação

do ír ulo

x

2

+ y

2

= c

2

erodesistemade oordenadas om

(x, y, z) = (X, cos θY + sen θZ, − sen θY +

cos θZ)

e inter epte om oplano

Z = 0

.

Exer í io 21: Porque observamos uma elipse no opo d'água da Figura 3? Di a: Utilize

equação do ilindro

x

2

+ y

2

= c

2

e exer í ioanterior.

5.2. Gerando ír ulo, elipse, hipérbole, parábola

Paraestaparte onsidere

α = 1

,demodoqueaequação do oneaquiserá:

z

2

= x

2

+ y

2

. Observe

novamente a Figura1para verosplanos ortando o one.

CÍRCULO: onsidereoplano

z = β

. Logo obtemos

x

2

+ y

2

= β

2

,aequaçãodo ír uloderaio

|β|

. HIPÉRBOLE: onsidere o plano

x = β

. Logo obtemos

(z/β)

2

− (y/β)

2

= 1

, a equação de uma hipérbole.

PARÁBOLA: onsidere o plano

x − z = β

. Logo obtemos

z = −(y

2

/(2β) + β/2)

, a equação de umaparábola.

ELIPSE: onsidere o plano

x = 2z + 1

(ou deforma maisgeral

x = γz + β

om

|β| < |γ|

). Logo obtemos



z + 2/3

1/3



2

+



y

1/

√

3



2

= 1

a equação deuma elipse.

Exer í io 22: Oquea onte e omo asogeral,quando oplano é

x = γz + β

?

Observação: Ofatoqueinterse ção de one omplanogera ni a éum asoparti ular dofato

que a interse ção de uma quádri a (elipsoide, paraboloide hiperbóli o, hiperboloide de uma folha,

ilindro, one,et .) omplanogera ni a. Ademonstraçãoéumasimplesadaptaçãodaquefoifeita

a ima.

5.3. Cortando o one om um plano arbitrário

Umplanoarbitrário édado por

ax + by + cz + d = 0

. Semperdade generalidadeassumimos que

a = 1

(porque ?) e tro amos ossinais:

x − by − cz − d = 0

. Logo

x = by + cz + d

. Substituindo na equação do oneobtemos:

α

2

(1 + b

2

)y

2

+ 2bcα

2

yz + (α

2

c

2

− 1)z

2

+ 2α

2

d(by + cz) + α

2

d

2

= 0.

Estaéumaequaçãoquadráti aem

yz

(polinmiodosegundograu),queéaequaçãogeraldas ni as. Portanto a interse ção deumplano eum one gerauma ni a.

6  Ex entri idade e uma Definição Geométri a Unifi ada

Podemos deniratravésda Geometriasintéti a, deforma uni ada, todasas ni as.

CÔNICA: Lugar geométri o dos pontos do plano uja razão entre a distân ia até um ponto

F

e a distân ia atéumareta

r

é igual auma onstante.

Sedenotarmos esta onstante por

e

( hamadade ex entri idade), podemos redenir: CÔNICA =

{P ∈ Π; d(P, F ) = e · d(P, r)}

Seintroduzirmosumsistemade oordenadas talqueareta

r

vireoeixoye

F = (p, 0)

,aequação a ima setransforma em

p

(x − p)

2

_{+ y}

2

_{= e}

√

_x

2

. Elevando aoquadrado ambososladosobtemos

(1 − e

2

)x

2

− 2px + y

2

+ p

2

= 0.

Para

e = 1

obtemosumaparábola. Para

e 6= 1

, ompletando o quadrado,obtemos(verique!):

(x −

_1−e

p

2

)

2

p

2

_e

2

/(1 − e

2

₎

2

+

y

2

p

2

_e

2

/(1 − e

2

₎

= 1.

Como o sinaldo termo em

y

depende do sinalde

1 − e

2

, on luímosque se

e < 1

temosumaelipsee se

e > 1

uma hipérbole.

Figura8: Ex entri idade: elipse(

e = 1/2

), parábola(

e = 1

) e hipérbole(

e = 2

) [Wi℄ Exer í io 23:

(a) Proveque

F = (p, 0)

é umdosfo osda ni a (elipse ouhipérbole); (a) Proveque

e = c/a

.

Exer í io 24: Como podemos obterum ír ulo na deniçãoa ima?

Exer í io 25: Note que três denições utilizam a Geometria Sintéti a e que a outra utiliza

Geometria Analíti a.

(a) Quaissãoasvantagens e desvantagens?

(b)Qual a maiselegante?

( ) Questão losó a: Qual o melhor método: Geometria analíti a ou Geometria Sintéti a ? (ver

[Ba℄)

(d)São todasequivalentesentresi?

7  Desenhando (Esboçando) Cni as om Régua e Compasso

7.1 Elipse: ([Fi℄ p. 380)

1. Traçarsegmento

AB

e mar arosdoisfo os

F

1

e

F

2

tais que

F

1

F

2

< AB

. 2. Dividir segmento

AB

emintervalos om pontos

P

i

∈ AB

.

3. Para ada ponto

P

i

, traçar um ír ulo de raio

AP

i

entrado em

F

1

e um ír ulo de raio

P

i

B

entrado em

F

2

. Os pontosde interse ção destes ír ulos,seexistirem, fazem parteda elipse.

Exer í io 26:

(b)Paraquaispontos

P

i

mar adosa interse ção dos ír ulos orrespondente serávazia? R:

AP

i

< (AB − F

1

F

2

)/2

e

BP

i

< (AB − F

1

F

2

)/2

.

7.2 Hipérbole: ([Fi℄ p. 397)

1. Traçarsegmento

AB

e mar arosdoisfo os

F

1

e

F

2

tais que

F

1

F

2

> AB

. 2. Mar ar pontos

P

i

forado segmento

AB

,na semirreta

−→

AB

.

3. Para ada ponto

P

i

, traçar um ír ulo de raio

AP

i

entrado em

F

1

e um ír ulo de raio

BP

i

entrado em

F

2

. Os pontosde interse ção destes ír ulos,seexistirem, fazem parteda hipérbole.

Exer í io 27:

(a) Porque este pontosfazem parteda hipérbole?

(b)Paraquaispontos

P

i

mar adosa interse ção dos ír ulos orrespondente serávazia? R:

AP

i

< (F

1

F

2

− AB)/2

e

BP

i

< (F

1

F

2

− AB)/2

.

7.3 Parábola: ([Fi℄ p. 408)

1. Mar ar fo o

F

e retadiretriz

r

.

2. Traçar uma perpendi ular a reta

r

passando por

F

, o eixo da parábola. Mar ar

A

, o ponto de interse ção do eixo daparábola om

r

.

3. Mar ar pontos

P

i

no eixo daparábola nasemirreta

−→

AF

.

4. Para ada ponto

P

i

, traçar uma paralela a

r

passando por

P

i

e um ír ulo de raio

AP

i

entrado em

F

. Os pontosde interse ção dareta edo ír ulo, seexistirem, fazemparte daparábola.

Exer í io 28:

(a) Porque este pontosfazem parteda parábola?

(b)Paraquaispontos

P

i

mar adosa interse ção serávazia? R:

AP

i

< (AF )/2

.

Exer í io29: Esbo e adaumadas ni asnumpapelseguindoopro edimentodes ritoa ima.

8  Desenhado (Esboçando) Cni as om Dobraduras

Nas onstruçõesa seguir ada dobragerauma reta. As ni as sãoesboçadas omoo envelope

deste onjunto de retasobtidas a partirde ada dobra. Cada retaé tangenteà ni a.

8.1 Parábola:

1. Traçarreta diretriz

r

.

2. Mar ar pontos

P

i

equiespaçados em

r

e numerá-los. 3. Na frentee versodo papelmar arofo o

F

.

4. Dobrar o papelfazendo oin idir

F

omospontos

P

i

. 8.2 Elipse:

1. Traçaruma ir unferên ia

C

.

2. Mar ar pontos

P

i

equiespaçados em

C

e numerá-los.

3. Na frentee versodo papelmar arumponto

F

dentro de

C

. 4. Dobrar o papelfazendo oin idir

F

omospontos

P

i

.

8.3 Hipérbole:

1. Traçaruma ir unferên ia

C

.

2. Mar ar pontos

P

i

equiespaçados em

C

e numerá-los. 3. Na frentee versodo papelmar arumponto

F

fora de

C

. 4. Dobrar o papelfazendo oin idir

F

omospontos

P

i

.

Na elipse e na hipérbole os fo os são ospontos

F

e

O

, onde

O

é o entro da ir unferên ia

C

. O raio

r

da ir unferên ia

C

é a onstanteda equação da elipse/hipérbole:

|d(P, O) ± d(P, F )| = r

. Observe que na parábola a ir unferên ia

C

se transforma na reta diretriz

r

, que pode ser pensado omo um ír ulo om raio

r = ∞

.

Exer í io 30: Esbo e ada uma das ni as num papel utilizando dobraduras seguindo o

pro edimento des ritoa ima.

Exer í io 31:

densos paraseobter ummelhoresboço?

(b)Oque o orre na onstruçãoda elipsese

F

esta no entro da ir unferên ia? ( ) Oqueobtemosse

F

perten e à ir unferên ia?

Exer í io 32: Prove que o lugar geométri o dos pontos equidistantes a ir unferên ia e um

ponto

F

é:

(a) Umaelipsese

F

perten e ao interiorda ir unferên ia; (b)Uma hipérbolese

F

perten e ao exteriorda ir unferên ia.

Exer í io33: Podemosesboçarumaelipse ombarbanteealnete. Prendaumafolhadepapel

numa pla a de isopor om durex. Prendadois alnetes (os fo os) na folha e amarre ada ponta de

um barbante nos alnetes. Com um lápis estique o barbante e movimente o lápis om o barbante

sempre esti ado,mar ando pontosna folhade papel. Prove quea urvamar ada é umaelipse.

9  Metamorfoses

Aqui nesta seção queremos observar omouma ni a pode setransformar em outra. Estas

me-tamorfoses(transformações)podemservistasanaliti amenteoupensandonamodi ação daposição

relativa entre oplano e one, omplano ortando o one.

9.1 Elipse

−→

Cír ulo: Quandoosdoisfo ossetransformam emumúni oponto.

9.2 Elipse

−→

Parábola: Quando um fo o vaipara o innito (ver [Fi℄ p. 410). Considere

y = x

2

+ ǫ

2

y

2

. Esta equação podeser rees rita omo:



y − 1/(2ǫ

2

)

1/(2ǫ

2

₎



2

+



x

1/(2|ǫ|)



2

= 1.

Esta equaçãorepresenta umaelipsede semi-eixo-x=

1/(2|ǫ|)

e semi-eixo-y=

1/(2ǫ

2

)

, omponto de en ontrodossemi-eixosdaelipse( entroda elipse)iguala

(0, 1/(2ǫ

2

))

. Quando

ǫ → 0

,pelaprimeira equação, obtemosa parábola

y = x

2

enquanto ossemi-eixose o entro vão para o innito.

Exer í io 34: De forma análoga analisamos a transformação hipérbole

−→

parábola. Mostre que aequação

y = ǫ

2

y

2

− x

2

pode serrees rita omo:



y − 1/(2ǫ

2

)

1/(2ǫ

2

)



2

−



x

1/(2|ǫ|)



2

= 1.

9.3 Hipérbole

−→

duas retas transversais: Quandoosdoisfo ossetransformamemum

úni o ponto.

Exer í io35: Repitaaanálisefeitaparaoitem(2)paraaequação

x

2

− y

2

= ǫ

2

,quando

ǫ → 0

. 9.4 Elipse

−→

duas retas paralelas: Quando osdois fo osvão parao innito. Considere

x

2

+ ǫ

2

y

2

= 1 = x

2

+ (y/(1/ǫ))

2

. Estaequação representaumaelipsedesemi-eixo-x=

1

esemi-eixo-y =

1/ǫ

, om ponto deen ontro dossemi-eixosda elipse( entroda elipse)igual a

(0, 0)

.

Quando

ǫ → 0

,obtemos aequação

x

2

= 1

,que representa duasretas paralelas:

x = 1

e

x = −1

. 9.5 Cír ulo

−→

ponto: Quando oraio vaipara zero.

9.6 Parábola

−→

uma reta: Quando ofo o onverge para a reta

r

.

Exer í io 36: Para ada umadastransformaçõesanteriores, omoobservá-la atravésde

inter-se ção de um onepor umplano ?

10  Propriedades Provadas om Geometria

Podemos demonstrar propriedades das ni asatravés da geometria sintéti a. Alguns exemplos

são a soma das distân ias para os fo os ([Fi℄ p. 382) e propriedades da tangente à elipse ([Fi℄ p.

384). Estesresultados podemserdemonstrados om geometriaanalíti a e,no asoda tangente, om

Teorema: Uma tangente àelipse por umponto

P

forma ângulos iguais om osraios ligando

P

a ada umdosfo os.

Prova: Considere umaelipse omfo os

F

e

F

′

.

1. Considere umase antequalquer

M M

′

.

2. Baixemos aperpendi ular

F C

de umdosfo ose tra emos

CF

1

= CF

. 3. Tra emos

F

′

_F

₁

determinando

D ∈ MM

′

. 4. Ligue

D

a

F

e

M

a

F

e

F

1

. 5. Armo que os ângulos

F DM

e

F

′

_DM

′

são ongruentes. Isto é verdade pois osângulos

F

′

_DM

′

e

CDF

1

são ongruentes (opostos pelo vérti e) e omoos triângulos

CDF

1

e

CDF

são semelhantes por LAL (

CF = CF

1

,

CD

lado omum e

DCF

1

= DCF

poissãoângulos retos), osângulos

CDF

e

CDF

1

são ongruentes. Como osângulos

CDF

e

F DM

sãoidênti os, hegamos ao resultado. 6. Quando

M → M

′

, a se ante vai onvergir parauma tangente. Os ângulos

F DM

e

F

′

_DM

′

vão

onvergir paraosângulosentreosraiosligando

P

a adaumdosfo oseatangente. Comoosângulos são ongruentespara umase antequalquer, eles serão ngruos no limitetambém.

Exer í io37: Ondefoiutilizadaahipótesequea urvaéumaelipse?!?!? NOutilizamosesta

hipótese! Verreferên ia oudes obrir diretamente qual oproblema omesta demonstração.

11  Bibliografia

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