Construções com semigrupos

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palavras-chave Semigrupo, geradores, apresentações, automaticidade.

resumo O presente trabalho propõe-se reunir os resultados mais significativos sobre subsemigrupos de índice de Rees finito e construções com semigrupos (produto livre, produto directo, matrizes de Rees, produto em coroa), no que respeita a geradores, apresentações e automaticidade. A dissertação inicia-se com um capítulo introdutório, que contém alguns resultados fundamentais sobre teoria de semigrupos. No segundo capítulo são estudados subsemigrupos de índice de Rees finito, o que é relevante para o estudo das construções de semigrupos. Os restantes quatro capítulos correspondem a cada uma das construções indicadas.

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keywords Semigroup, generators, presentations, automaticity.

abstract The aim of this work is to reunite the more significant results about

subsemigroups of finite Rees index and semigroup constructions (free product, direct product, Rees matrix, wreath product), with respect to generators, presentations and automaticity. This dissertation begins with an introductory chapter, containing some fundamental results about semigroup theory. In the second chapter are studied subsemigroups of finite Rees index, which are relevant for the study of semigroup constructions. The remaining four chapters correspond to each one of the indicated constructions.

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Conte´

udo

1 INTRODUÇ ÃO E DEFINIÇ ÕES 3

1 Descri¸c˜ao do semigrupo livre sobre um conjunto . . . 4

2 Congruˆencias . . . 5

3 Geradores de semigrupos . . . 10

4 Apresenta¸c˜oes de semigrupos . . . 11

5 Subsemigrupos . . . 13

6 Semigrupos simples e 0-simples . . . 13

7 Equivalˆencias de Green . . . 16

8 Ac¸c˜oes diagonais . . . 23

9 Elementos injectivos, ou quase-injectivos . . . 24

10 Semigrupos autom´aticos . . . 25

2 SUBSEMIGRUPOS DE ÍNDICE DE REES FINITO 35 1 Geradores . . . 35 2 Apresenta¸cões . . . 36 3 Automaticidade . . . 39 3 PRODUTO LIVRE 45 1 Geradores . . . 49 2 Apresenta¸cões . . . 49 3 Automaticidade . . . 51

4 PRODUTO DIRECTO DE SEMIGRUPOS 53 1 Apresenta¸c˜ao do produto directo de mon´oides . . . 54

2 Geradores . . . 55

2.1 Ambos os factores s˜ao infinitos . . . 56

2.2 Um dos factores ´e finito e o outro infinito . . . 59

3 Apresenta¸c˜oes . . . 60 1

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3.1 Ambos os factores são semigrupos infinitos . . . 60 3.2 Um dos factores é finito e o outro é infinito . . . 71 4 Automaticidade . . . 71 5 MATRIZES DE REES 73 1 Geradores . . . 74 2 Apresenta¸cões . . . 76 3 Automaticidade . . . 84 6 PRODUTO EM COROA 89 1 Geradores . . . 91 2 Apresenta¸cões . . . 98 3 Automaticidade . . . 99

(8)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO E

DEFINIC

¸ ˜

OES

Neste cap´ıtulo serão introduzidos conceitos e resultados fundamentais da teoria de semigrupos, necessários ao posterior estudo das propriedades combinatórias (gera-dores, apresenta¸cões, automaticidade) nos restantes cap´ıtulos. No segundo cap´ıtulo far-se-á o estudo das propriedades combinatórias referidas para subsemigrupos de ´ındice de Rees finito. Nos restantes quatro cap´ıtulos far-se-á o estudo das mesmas propriedades para as constru¸cões: produto livre; produto directo; matrizes de Rees; produto em coroa.

Os resultados fundamentais deste cap´ıtulo podem ser encontrados em [11] e [2]. Defini¸cão 1.1. O par (S, •), em que S é um conjunto e • é uma opera¸cão binária, associativa, em S, designa um semigrupo. Se no semigrupo existir um elemento (identidade) 1, este diz-se monóide. S1

designa o monóide que se obtém do semi-grupo S acrescentando-lhe a identidade, 1. Se, para todo o elemento do monóide, existir inverso, isto é, se para todo o s ∈ S existir s−1∈ S, tal que s•s−1 _{= s}−1_{•s = 1,}

este diz-se grupo.

Defini¸cão 1.2. Dado um conjunto A, diz-se que F é semigrupo (monóide / grupo) livre sobre A, se:

(F1) existe uma fun¸c˜ao α : A → F ;

(F2) para cada semigrupo (mon´oide / grupo) S e cada fun¸c˜ao φ : A → S, existe

um ´unico homomorfismo, ψ : F → S tal que 3

(9)

F A S α φ ψ * -?

´e um diagrama comutativo.

Observa¸cão 1.3. O semigrupo (monóide / grupo) livre sobre um conjunto é definido a menos de isomorfismo: No caso particular em que S = F e φ = α, como ψ é único, por (F2), e como ψ = idF satisfaz (a)αψ = (a)α para todo o a ∈ A, tem-se

ψ = idF (1.1)

Agora, seja F∗ outro semigrupo (mon´oide / grupo) livre sobre A e seja α∗: A → F∗ _{uma fun¸c˜}_{ao. Substituindo S por F}∗ _{e φ por α}∗_{, pela propriedade (F}

2), existe

um ´unico homomorfismo χ∗: F → F∗, tal que

(a)αχ∗ = (a)α∗; ∀a ∈ A (1.2)

Trocando os papeis de F e F∗ e de α e α∗, por (F2) existe um s´o homomorfismo

χ : F∗ _{→ F tal que}

(a)α∗χ = (a)α ∀a ∈ A (1.3)

De (1.2) e (1.3) resulta que existem homomorfismos χχ∗ : F∗ → F∗ e χ∗χ : F → F , tais que (a)αχ∗_{χ = (a)α e (a)α}∗_χχ∗ _{= (a)α}∗_{, para todo o a ∈ A. De (1.1) resulta}

χ∗χ = idF e χχ∗ = idF∗. Logo, χ (assim como χ∗) ´e invert´ıvel, pelo que ´e um

isomorfismo. Assim, F e F∗ _s˜_{ao isomorfos.}

1 Descri¸

c˜

ao do semigrupo livre sobre um conjunto

Seja A = {ai : i ∈ I} um conjunto, a que chamamos alfabeto e A+ o conjunto das

sequˆencias finitas, ou palavras, n˜ao vazias, de elementos de A, w = a1a2...an, para

n ∈ N. Designa-se o comprimento de uma palavra w ∈ A+ por |w|. Assim, por exemplo, |a1a2...an| = n.

O par (A+,_{), em que : A}+× A+→ A+ é a opera¸cão de justaposi¸cão (ou con-catena¸cão), tal que (a1a2...an)(b1b2...bm) = a1a2...anb1b2...bm, ∀a1a2...an, b1b2...bm ∈

A+, ´e o semigrupo livre sobre A.

A imersão canónica, ou natural, de A em A+, que a cada elemento a ∈ A faz corresponder a palavra a ∈ A+ é a fun¸cão referida em (F1).

(10)

2. CONGRU ÊNCIAS 5 Por outro lado, para cada semigrupo S e fun¸cão φ : A → S, existe um único homomorfismo ψ : A+ → S, tal que (a)φ = (a)αψ, para todo o a ∈ A, que é o homomorfismo ψ, tal que (a)ψ = (a)φ, para todo o a ∈ A e verifica-se (F2) (a

unicidade resulta do facto de cada palavra de A+ ser a justaposi¸cão de palavras singulares, imagens, pela imersão canónica, dos elementos de A).

O mon´oide livre sobre A, A∗, obt´em-se do semigrupo livre A+, acrescentando-lhe uma identidade, habitualmente designada por ǫ, a palavra vazia (|ǫ| = 0).

Finalmente, o grupo livre sobre A={ai : i ∈ I} é, para a opera¸cão justaposi¸cão,

o conjunto das palavras vazia e finitas reduzidas, no alfabeto {ai, a−1_i : i ∈ I}, em

que A−1={a−1_i : i ∈ I} é um conjunto em bijeçcão com A, tal que A∩A−1= ∅. Entende-se por sequência reduzida, aquela em que não se encontram aia−1_i nem

a−1_i ai, para i ∈ I.

2 Congruˆ

encias

Seja X um conjunto. A um subconjunto de X × X chamamos uma rela¸cão em X. Uma rela¸cão de equivalência R em X é uma rela¸cão reflexiva, simétrica e transitiva. Tendo em conta que o conjunto das equivalências sobre X é não vazio, faz sentido a defini¸cão seguinte.

Defini¸cão 1.4. Dada uma rela¸cão R sobre um conjunto X, chama-se rela¸cão de equivalência gerada por R à interseçcão de todas as rela¸cões de equivalência que contêm R (menor equivalência que contém R) e designa-se por Re_.

Defini¸cão 1.5. Dada uma rela¸cão R, num conjunto X designa-se por R−1a rela¸cão {(x, y) : (y, x) ∈ R}. Designa-se por 1X a rela¸cão {(x, x) : x ∈ X}.

Defini¸cão 1.6. Dadas duas rela¸cões ρ e σ, sobre um conjunto X, definimos a com-posi¸cão ρ ◦ σ por

ρ ◦ σ = {(x, y) ∈ X × X : ∃z ∈ S, com (x, z) ∈ ρ, (z, y) ∈ σ}. Proposi¸c˜ao 1.7. Para toda a rela¸c˜ao R sobre um conjunto X, Re

= [R ∪ R−1∪ 1X]∞,

onde [R ∪ R−1_{∪ 1}

X]∞=S{[R ∪ R−1∪ 1X]n: n ≥ 1}.

Para a prova da Proposi¸cão são necessários os dois seguintes Lemas.

Lema 1.8. Dada a rela¸cão R, sobre um conjunto X, a rela¸cão (R ∪ R−1∪ 1X)∞ é

(11)

Demonstrac¸˜ao. Tem-se, para todo o n ∈ N:

(R ∪ R−1∪ 1X)n = ((R ∪ R−1∪ 1X)−1))n= ((R ∪ R−1∪ 1X)n))−1.

A primeira igualdade resulta de R ∪ R−1∪ 1X ser rela¸c˜ao sim´etrica. Por outro lado,

(x, y) ∈ ((R ∪ R−1_{∪ 1}

X)−1))n, se e s´o se existem z1, z2, ..., zn−1 ∈ S, tais que (x, z1),

(zi, zi+1), (zn−1, y) ∈ (R∪R−1∪1X)−1, com 2 ≤ i ≤ n−2, ou seja, tais que (y, zn−1),

(zi+1, zi), (z1, x) ∈ R∪R−1∪1X, com 2 ≤ i ≤ n−2. O que ´e equivalente a ter (y, x) ∈

(R ∪ R−1∪ 1X)n, condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para (x, y) ∈ ((R ∪ R−1∪ 1X)n)−1.

Finalmente, se (x, y) ∈ (R ∪ R−1∪ 1X)∞, ent˜ao (x, y) ∈ (R ∪ R−1∪ 1X)n, para algum

n ∈ N. Ora (R ∪ R−1∪ 1X)n= ((R ∪ R−1∪ 1X)n)−1, ent˜ao (y, x) ∈ (R ∪ R−1∪ 1X)n,

logo (y, x) ∈ (R ∪ R−1∪ 1X)∞.

Lema 1.9. Para toda a rela¸cão reflexiva R, num conjunto X, a rela¸cão R∞ = S(Rn_{: n ≥ 1) é a menor rela¸c˜}_{ao transitiva, que contém R.}

Demonstração. Sejam (x, y), (y, z) ∈ R∞_{, então, (x, y) ∈ R}n _{e (y, z) ∈ R}m_,

para alguns n, m ∈ N, logo (x, z) ∈ Rn+m ⊆ R∞_{. Por outro lado, se T ´e rela¸c˜ao}

transitiva contendo R, R2 = R ◦ R ⊆ T ◦ T = T . Para mostrar que R ◦ R ⊆ T ◦ T , seja (x, y) ∈ R ◦ R arbitrário. Então, existe z ∈ X, tal que (x, z), (z, y) ∈ R ⊆ T . Logo, (x, y) ∈ T ◦ T . Para mostrar que T ◦ T = T , seja (x, y) ∈ T ◦ T , arbitrário. Então, existe z ∈ X, tal que (x, z), (z, y) ∈ T . Como T é transitiva, (x, y) ∈ T . Se (x, y) ∈ T , como R ⊆ T e R é reflexiva, (x, x) ∈ T e tem-se (x, y) ∈ T ◦ T .

Finalmente, por indu¸c˜ao, tem-se Rn _{= R}n−1_{◦ R ⊆ T}n−1_{◦ T = T , para todo o}

n ∈ N. Logo, R∞_{⊆ T .}

Demonstração. da Proposi¸cão 1.7 : É óbvio que qualquer rela¸cão reflexiva e simétrica que contenha R, tem que conter R ∪ R−1∪ 1X. Pelo Lema 1.9, Re é a

menor rela¸c˜ao transitiva que cont´em R ∪ R−1∪ 1X. Como 1X ⊆ R ∪ R−1∪ 1X ⊂ Re,

Re _{é reflexiva. Pelo Lema 1.8, R}e _{é simétrica.}

Defini¸cão 1.10. Dado um semigrupo S, uma rela¸cão binária R, em S (R ⊆ S × S) é uma congruência, se for uma equivalência e se for compat´ıvel (∀s, t, s∗, t∗ ∈ S; [(s, t) ∈ R e (s∗, t∗) ∈ R] ⇒ (ss∗, tt∗) ∈ R).

Diz-se que R é congruência à esquerda [direita] se é equivalência e é compat´ıvel `

a esquerda (∀a ∈ S; ∀(s, t) ∈ R; (as, at) ∈ R) [`a direita (∀a ∈ S; ∀(s, t) ∈ R; (sa, ta) ∈ R)].

(12)

2. CONGRU ÊNCIAS 7 Proposi¸cão 1.11. Uma rela¸cão R, num semigrupo S é uma congruência sse for congruência à esquerda e à direita.

Demonstração. Se R é congruência e a ∈ S, então (a, a) ∈ R e, para qualquer (s, t) ∈ R, tem-se (as, at) ∈ R e (sa, ta) ∈ R.

Se R é congruência à esquerda e à direita e (s, t), (s∗, t∗) ∈ R, como s∗∈ S, pela compatibilidade à esquerda de R, (s∗_{s, s}∗_{t) ∈ R e pela compatibilidade à direita,}

(s∗t, t∗t) ∈ R. Pela transitividade de R, (s∗s, t∗t) ∈ R.

Como a fam´ılia de congruências que contêm uma rela¸cão R sobre um semigrupo S é não vazia, visto que S × S é congruência sobre S e a interseçcão de uma fam´ılia de congruências sobre S é uma congruência sobre S, faz sentido a seguinte defini¸cão: Defini¸cão 1.12. Dada uma rela¸cão R sobre um semigrupo S, chama-se rela¸cão de congruência gerada por R, à interseçcão de todas as congruências que contêm R (menor congruência que contém R) e designa-se neste texto por ρ.

Lema 1.13. Dada uma rela¸c˜ao R sobre um semigrupo S, Rc

= {(xay, xby) : x, y ∈ S1_{, (a, b) ∈ R} ´e a menor rela¸c˜}_{ao compat´ıvel `}_{a esquerda e `}_{a direita, que cont´em R.}

Demonstrac¸˜ao. Temos R ⊆ Rc_{, pois (a, b) = (1a1, 1b1), para todo o (a, b) ∈ R.}

Por outro lado, Rc é compat´ıvel à esquerda e à direita, pois sejam (u, v) ∈ Rc e w ∈ S, então u = xay; v = xby, para alguns x, y ∈ S1 e (a, b) ∈ R. Ora w(u, v) = (wu, wv) = ((wx)ay, (wx)by) ∈ Rc _{e (u, v)w = (uw, vw) = (xa(yw), xb(yw)) ∈ R}c_,

visto que wx, yw ∈ S ⊆ S1.

Seja agora C uma rela¸cão compat´ıvel à esquerda e à direita, que contém R, w, z ∈ S1 _{e (a, b) ∈ R ⊆ C, como C é compat´ıvel à esquerda, (wa, wb) ∈ C, como C}

´e compat´ıvel `a direita, (waz, wbz) ∈ C.

Lema 1.14. Sejam Q, R rela¸c˜oes num semigrupo S. (1) Q ⊆ R ⇒ Qc_{⊆ R}c_;

(2) (Q−1₎c _{= (Q}c₎−1_;

(3) (Q ∪ R)c _{= Q}c_{∪ R}c_.

Demonstração. (1) seja (u, v) ∈ Qc, então u = xay e v = xby, para x, y ∈ S1 e (a, b) ∈ Q ⊆ R, logo (u, v) ∈ Rc_.

(13)

(2) (v, u) ∈ (Q−1)c_{, se e s´}_{o se v = xby e u = xay, com x, y ∈ S}1 _{e (b, a) ∈ Q}−1_,

se e s´o se v = xby ; u = xay, com x, y ∈ S1 _{e (a, b) ∈ Q, se e s´o se (u, v) ∈ Q}c_{, se e}

s´o se (v, u) ∈ (Qc₎−1_.

(3) (u, v) ∈ (Q ∪ R)c_{, se e s´}_{o se (u, v) = (xay, xby), com x, y ∈ S}1 _{e (a, b) ∈ Q}

ou (a, b) ∈ R se e s´o se (u, v) ∈ Qc ou (u, v) ∈ Rc se e s´o se (u, v) ∈ Qc∪ Rc_.

Lema 1.15. Seja R uma rela¸cão compat´ıvel à esquerda e à direita, num semigrupo S. Então Rn_{= R ◦ R ◦ ... ◦ R é compat´ıvel `}_{a esquerda e `}_{a direita, para n ∈ N.}

Demonstrac¸˜ao. Seja (x, y) ∈ Rn_{, ent˜}_{ao existem}

z1, ..., zn−1 ∈ S : (x, z1), (zi, zi+1), (zn−1, y) ∈ R (2 ≤ i ≤ n − 2).

Por hip´otese, para todo o a ∈ S,

(ax, az1), (azi, azi+1), (azn−1, y), (xa, z1a), (zia, zi+1a), (zn−1a, y) ∈ R(2 ≤ i ≤ n−2).

Pelo que (ax, ay), (xa, ya) ∈ Rn.

Proposi¸cão 1.16. Seja R uma rela¸cão num semigrupo S. Então, ρ = (Rc₎e_.

Demonstração. Quer-se provar que (Rc)e é a menor congruência que contém R. Ora, (Rc₎e _{é a menor equivalência que contém R}c_{. Por outro lado, R ⊆ R}c_{, por}

defini¸cão de Rc_{. Ent˜}_{ao (R}c₎e _{é uma equivalência que contém R. Falta mostrar que}

(Rc)e é a menor equivalência compat´ıvel à esquerda e à direita, contendo R. Seja (x, y) ∈ (Rc₎e_{, qualquer. Pela Proposi¸c˜}_{ao 1.7, (R}c₎e _{= [R}c_{∪ (R}c₎−1_{∪ 1}

S]∞. Ent˜ao

(x, y) ∈ [Rc ∪ (Rc₎−1 _{∪ 1}

S]n, para algum n ∈ N. Como 1S = {(s, s) : s ∈ S} =

{(xay, xay) : x, y ∈ S1, (a, a) ∈ 1S} = 1c_S, ent˜ao, pelo Lema 1.14, temos

Rc _{∪ (R}c₎−1_{∪ 1}

S = Rc ∪ (Rc)−1∪ 1cS = (R ∪ R−1∪ 1S)c, que designa a menor

rela¸cão compat´ıvel à esquerda e à direita, que contém R ∪ R−1∪ 1S. Pelo Lema 1.15,

(R ∪ R−1∪ 1S)n, também é compat´ıvel à esquerda e à direita. Logo, para a ∈ S,

tem-se (ax, ay), (xa, ya) ∈ (R ∪ R−1_{∪ 1}

S)n. Ent˜ao (ax, ay), (xa, ya) ∈ (Rc)e, para

todo o a ∈ S. Logo, (Rc₎e_{é congruência que contém R.}

Seja, agora, K uma congruência, sobre S, que contém R. Pelo Lema 1.13, Rc _{⊆ K. Como K é congruência, é, em particular, uma equivalência e contém}

Rc_{. Pela Proposi¸c˜}_{ao 1.7, (R}c₎e _{é a menor equivalência que contém R}c_{. Logo,}

(14)

2. CONGRU ÊNCIAS 9 Dadas duas rela¸cões de equivalência, ρ e σ, designa-se por ρ ∨ σ a interseçcão de todas as rela¸cões de equivalência que contêm ρ e σ (menor rela¸cão de equivalência que contém ρ ∪ σ). Vamos ver que ρ ∨ σ = (ρ ◦ σ)∞.

Proposi¸cão 1.17. Sejam ρ, σ duas rela¸cões de equivalência num conjunto S [con-gruências num semigrupo S]. Então, (a, b) ∈ ρ ∨ σ, se e só se, para algum n ∈ N, existem x1, x2, ..., x2n−1 ∈ S, tais que (a, x1) ∈ ρ, (x1, x2) ∈ σ, (x2, x3) ∈

ρ,...,(x2n−1, b) ∈ σ.

Demonstração.O que o resultado significa é ρ∨σ = (ρ◦σ)∞_{. Ora das Proposi¸cões}

1.7 e 1.16, tem-se ρ ∨ σ = R∞, com

R = (ρ ∪ σ) ∪ (ρ ∪ σ)−1_{∪ 1} S

= ρ ∪ σ ∪ ρ−1∪ σ−1∪ 1S

= ρ ∪ σ,

pois ρ, σ são rela¸cões de equivalência. Por outro lado, como ρ ⊆ ρ ∪ σ e σ ⊆ ρ ∪ σ, vem ρ ◦ σ ⊆ (ρ ∪ σ)2_{. Logo, (ρ ◦ σ)}n _{⊆ (ρ ∪ σ)}2n_{, para n ≥ 1 e, então,}

(ρ ◦ σ)∞⊆ (ρ ∪ σ)∞= ρ ∨ σ.

Agora, rec´ıprocamente, como ρ, σ são rela¸cões de equivalência, ρ ⊆ ρ ◦ σ e σ ⊆ ρ ◦ σ, logo, ρ ∪ σ ⊆ ρ ◦ σ e, assim,

ρ ∨ σ = (ρ ∪ σ)∞⊆ (ρ ◦ σ)∞.

Observa¸c˜ao 1.18. Se ρ e σ comutam, ent˜ao

ρ ∨ σ = (ρ ◦ σ)∞= ρ ◦ σ.

Defini¸cão 1.19. Seja R uma rela¸cão sobre um semigrupo S e sejam a, b ∈ S. Se a = xuy, b = xvy, para alguns x, y ∈ S1 e (u, v) ∈ R ou (v, u) ∈ R, diz-se que a , b estão ligados por uma R-transi¸cão elementar.

Defini¸cão 1.20. Dada uma rela¸cão R, sobre um semigrupo S, diz-se que (a, b) ∈ S × S é consequência de R, se existir uma sequência de R−transi¸cões elementares, a = z1, z2, ...,zn= b, ligando a a b.

Proposi¸cão 1.21. Seja R uma rela¸cão, num semigrupo S e sejam a, b ∈ S. Então, (a, b) ∈ ρ sse a = b ou (a, b) é consequência de R.

(15)

Demonstração.Tem-se: (a, b) ∈ ρ se e só se (a, b) ∈ [Rc_∪(Rc₎−1_∪1

S]n, para algum

n ∈ N. Se n = 1 e (a, b) ∈ 1S, ent˜ao a = b, se (a, b) ∈ Rc∪ (Rc)−1 = Rc∪ (R−1)c,

ent˜ao a = xuy, b = xvy, para alguns x, y ∈ S1 e (u, v) ou (v, u) ∈ R. Se n ≥ 2, existem z1, ..., zn, zn+1 ∈ S, tais que a = z1, zn+1 = b e (zi, zi+1) ∈ Rc∪ (Rc)−1∪ 1S,

para 1 ≤ i ≤ n. Suponha-se, sem perda de generalidade, que cada par ´e elemento de Rc _{ou de (R}−1₎c_{, caso contr´}_{ario encontrar-se-ia m ∈ N, com m < n, tal que}

(a, b) ∈ [Rc _{∪ (R}c₎−1 _{∪ 1}

S]m. Ent˜ao, zi = xiuiyi, zi+1 = xiuiyi, com xi, yi ∈ S1

e (ui, vi) ∈ R ∪ R−1 e tem-se uma sequˆencia de R−transi¸c˜oes elementares a =

z1, z2, ..., zn+1 = b.

Reciprocamente, se a = b, como ρ é, em particular, reflexiva, (a, b) ∈ ρ. Se, para algum n ∈ N, há uma sequência de R−transi¸cões elementares a = z1, z2, ..., zn = b,

ligando a a b, tem-se zi= xiuiyi, zi+1 = xiviyi, com xi, yi ∈ S1 e (ui, vi) ∈ R ∪ R−1,

para 1 ≤ i ≤ n − 1. Assim, (zi, zi+1) = xi(ui, vi)yi ∈ (R ∪ R−1)c = Rc∪ (R−1)c ⊆

Rc_∪(R−1₎c_∪1

S, para 1 ≤ i ≤ n−1. Logo, (a, b) = (z1, zn) ∈ [Rc∪(Rc)−1∪1S]n−1 ⊆

ρ.

Observa¸c˜ao 1.22. Dado um semigrupo S e uma congruˆencia ρ ⊆ S × S, S/ρ = {s : s ∈ S}, (s = {s∗∈ S : (s∗, s) ∈ ρ}),

é um semigrupo, para a opera¸cão binária em S/ρ, definida da forma s w = sw (s, w ∈ S/ρ)

A opera¸c˜ao est´a bem definida, pois s1 = s2 e s3= s4 sse (s1, s2) e (s3, s4) ∈ ρ e, por

outro lado, como ρ é congruência (s1s3, s2s4) ∈ ρ, logo s1s3 = s2s4. É associativa,

porque S é semigrupo e por defini¸cão da opera¸cão,

(s1 s2) s3= s1s2 s3 = (s1s2)s3 = s1(s2s3) = s1 s2s3 = s1 (s2 s3).

3 Geradores de semigrupos

Defini¸cão 1.23. Dado um semigrupo S e ψ : A → S uma aplica¸cão. Dizemos que A é conjunto gerador de S, a respeito de ψ, se a única extensão de ψ a um homomorfismo de semigrupos ψ : A+→ S é sobrejectiva.

Um semigrupo diz-se finitamente gerado se tiver um conjunto gerador finito. Observa¸c˜ao 1.24. Seja S um semigrupo. Um elemento s ∈ S diz-se decompon´ıvel se existirem s1, s2∈ S, tais que s = s1s2. O conjunto dos decompon´ıveis de S ´e S2 =

(16)

4. APRESENTAÇ ÕES DE SEMIGRUPOS 11 {s1s2: s1, s2 ∈ S}. Um elemento diz-se indecompon´ıvel, se for não decompon´ıvel. O

conjunto dos indecompon´ıveis de S ´e S\S2_{. Este conjunto est´a contido em qualquer}

conjunto gerador de S.

4 Apresenta¸

c˜

oes de semigrupos

Defini¸c˜ao 1.25. Seja A um conjunto, R ⊆ A+× A+ _{e ρ a menor congruˆencia que}

cont´em R. Dizemos que

P =< A|R > ´e uma apresenta¸c˜ao do semigrupo S, se S ≃ A+/ρ.

Observa¸c˜ao 1.26. Aos elementos de R chamamos rela¸c˜oes definidoras de S. Aos elementos de A chamamos elementos geradores de S.

(Nota¸cão: usa-se ≡ para denotar a igualdade de elementos no semigrupo livre, isto é, a igualdade de sequências)

Proposi¸c˜ao 1.27. Se A ´e gerador de S e se ∀w1, w2 ∈ A+; w1 = w2 em S sse

(w1, w2) ∈ ρ (ρ é a menor congruência que contém R), então P =< A|R > é

apresenta¸c˜ao de S.

Demonstração. Vamos mostrar que a aplica¸cão i: A+/ρ → S

w → w

´e um isomorfismo. Sejam w1, w2 ∈ A+/ρ, tais que w1=w2, ou seja, (w1, w2) ∈ ρ, o

que, por hipótese, é equivalente a w1 = w2, em S e, portanto, i está bem definida

e ´e injectiva. Por outro lado, seja s ∈ S, como S ´e gerado por A, s = a1...an, para

alguns ai ∈ A, com 1 ≤ i ≤ n e n ∈ N. Ent˜ao s = i(a1...an), com a1...an ∈ A+/ρ.

Logo i ´e sobrejectiva. Finalmente,

i(w1 w2) = i(w1w2) = w1w2 = i(w1)i(w2), ∀w1, w2∈ A+/ρ.

Logo P ´e apresenta¸c˜ao de S.

Proposi¸c˜ao 1.28. Se P =< A|R >, com A = {aj : j ∈ J} e R ⊆ A+× A+, ´e

apresenta¸cão de S, e i : A+/ρ → S é isomorfismo, então i(A/ρ) é gerador de S e, para quaisquer w1, w2∈ A+, i(w1) = i(w2), em S, sse (w1, w2) ∈ ρ.

(17)

Demonstrac¸˜ao. Seja s ∈ S, s = i(w), para algum w ∈ A+/ρ. Tem-se w = aj1...ajm, para ajk ∈ A, 1 ≤ k ≤ m, para algum m ∈ N. Ora, ajk ∈ A

+_{/ρ, pois}

ajk ∈ A, imerso canonicamente em A

+_{, 1 ≤ k ≤ m. Ent˜ao, pela defini¸c˜ao dada da}

opera¸c˜ao bin´aria em A+_{/ρ e por i ser isomorfismo,}

s = i(w) = i(aj1aj2...ajm) = i(aj1)i(aj2)...i(ajm).

Logo, i({aj : j ∈ J}) ´e conjunto gerador de S. Por outro lado, por i ser isomorfismo

e por ρ ser, em particular, equivalência em A+× A+, logo determinar uma parti¸cão de A+ (as classes ou são disjuntas, ou coincidem), resulta:

i(w1) = i(w2) ⇔ w1 = w2 ⇔ (w1, w2) ∈ ρ.

Defini¸cão 1.29. Diz-se que uma apresenta¸cão P =< A|R > é finita se A e R são finitos.

Proposi¸cão 1.30. Seja S um semigrupo e A e B dois conjuntos geradores de S finitos. Se S pode definir-se por uma apresenta¸cão finita em termos de A, então S pode definir-se por uma apresenta¸cão finita em termos de B.

Demonstração. Como B é conjunto gerador de S, para cada a ∈ A existem b1, b2, ..., bm ∈ B, tais que a = b1b2...bm, em S, com b1b2...bm ∈ B+. Então existe

uma aplica¸c˜ao ζ : A → B+_{, que se extende naturalmente a um homomorfismo}

ζ : A+ → B+_{, que a cada palavra w ∈ A}+ _{faz corresponder (w)ζ ∈ B}+_{. Pela}

defini¸c˜ao de ζ tem-se ,para w ∈ A+, w = (w)ζ, em S. Do mesmo modo, como A ´e conjunto gerador de S, existe um homomorfismo η : B+→ A+_{, que a cada palavra}

w∗ ∈ B+ faz corresponder (w∗)η ∈ A+, tal que w∗ = (w∗)η, em S. Seja, agora, < A|R > uma apresenta¸c˜ao finita de S, com R = {(u1, v1), (u2, v2), ..., (uk, vk)}

e seja (R)ζ = {((u1)ζ, (v1)ζ), ((u2)ζ, (v2)ζ), ..., ((uk)ζ, (vk)ζ)}. Quer-se provar que

< B|Q >, com Q = {(R)ζ, (b, (b)ηζ), b ∈ B} é apresenta¸cão de S. Todas as rela¸cões de Q são satisfeitas em S, pois ui = (ui)ζ e vi = (vi)ζ, em S (1 ≤ i ≤ k), logo

ui = vi, em S se e s´o se (ui)ζ = (vi)ζ, em S.

Resta provar que, para todos os w1, w2 ∈ B+, se w1 = w2 em S, ent˜ao, ou

(w1, w2) é consequência de Q, ou w1 = w2, em B+. Por defini¸cão de η, se w1 = w2,

em S, ent˜ao (w1)η = (w2)η, em S, com (w1)η, (w2)η ∈ A+. Como < A|R > ´e

apresenta¸cão de S, pela Proposi¸cão 1.28, ou ((w1)η, (w2)η) é consequência de R, ou

(18)

5. SUBSEMIGRUPOS 13 uma sequência de R−transi¸cões elementares, então (w1)ηζ = (z1)ζ, (z2)ζ, ..., (zn)ζ =

(w2)ηζ é sequência de (R)ζ−transi¸cões elementares. Logo, ((w1)ηζ, (w2)ηζ) é

con-sequˆencia de (R)ζ. Finalmente, das rela¸c˜oes (b, (b)ηζ), tem-se que (w1, (w1)ηζ) e

((w2)ηζ, w2) s˜ao elementos de qualquer congruˆencia que contenha Q. Logo, por

transitividade, (w1, w2) é elemento da menor congruência que contém Q.

Um semigrupo é finitamente apresentável, se tiver uma apresenta¸cão finita.

5 Subsemigrupos

Defini¸c˜ao 1.31. Seja S um semigrupo e T ⊆ S, tal que para todos os t1, t2 ∈ T ,

t1t2∈ T , T diz-se subsemigrupo de S.

Designa-se o cardinal de S \ T por ´ındice de Rees de T em S. Se T for tal que S \ T ´e conjunto finito, diz-se que T tem ´ındice de Rees finito em S.

6 Semigrupos simples e 0-simples

Vamos introduzir a no¸c˜ao de semigrupos simples e 0-simples.

Defini¸c˜ao 1.32. Seja S um semigrupo e I ⊆ S . Se, para todo o s ∈ S se tem sI ⊆ I e Is ⊆ I , diz-se que I ´e ideal de S.

Donde resulta que um ideal é sempre um subsemigrupo. Da teoria de anéis tem-se, dado um homomorfismo φ : A → B de anéis, que kerφ é ideal de A e A/kerφ ∼= (A)φ. Se I é ideal de um anél A, então A/I é uma parti¸cão de A. Em teoria de semigrupos existe um tipo de morfismo (morfismos de Rees) que corresponde a um ideal. Se I é ideal próprio de um semigrupo S, então

ρI= (I × I) ∪ 1S

´e uma congruˆencia em S (facilmente se verificam reflexividade, simetria, transitivi-dade e compatibilitransitivi-dade) . No semigrupo quociente

S/ρI = {I} ∪ {{x} : x ∈ S \ I},

o produto de dois elementos é o conjunto singular com o seu produto em S, se este pertencer a S \ I e é I, caso contrário. Chamamos a uma congruência deste tipo congruência de Rees. Se um morfismo φ : S → T é tal que Kerφ = φ ◦ φ−1 ₌

{(x, y) ∈ S × S : (x)φ = (y)φ} é congruência de Rees, dizemos que φ é morfismo de Rees.

(19)

Proposi¸cão 1.33. Seja I um ideal próprio de um semigrupo S e A o conjunto dos ideais de S que contêm I. Seja B o conjunto de ideais de S/I. então a aplica¸cão φ : J → J/I (J ∈ A) é uma bijeçcão que preserva a inclusão.

A demonstra¸cão é de verifica¸cão rotineira.

Defini¸cão 1.34. Um semigrupo sem zero diz-se simples se não tem ideais próprios. Um semigrupo S, com zero é chamado 0-simples se

(i) {0} e S s˜ao os seus ´unicos ideais; (ii) S2 6= {0}.

Proposi¸cão 1.35. Um semigrupo é 0-simples se e só se SaS = S, para todo o a ∈ S \ {0}.

Demonstração. S2 _{é ideal de S, como S}2 _{6= {0}, tem-se S}2 _{= S.} _Assim,

S3 = SS2 = S. Por outro lado, para a ∈ S \ {0}, SaS é ideal de S, se SaS = {0}, o ideal de S, I = {x ∈ S : SxS = {0}} ) {0}, então I = S, pelo que se teria S3 = {0}. Reciprocamente, se A ) {0} é ideal de S, seja a ∈ A \ {0}, então S = SaS ⊆ SAS ⊆ A, logo S é 0-simples.

Corolário 1.36. Um semigrupo S é simples se e só se SaS = S, para todo o a ∈ S. Entende-se por ideal 0-minimal de um semigrupo S um ideal minimal no conjunto de todos os ideais não nulos de S.

Proposi¸cão 1.37. Se M é um ideal 0-minimal de S, então, ou M2 = {0}, ou M é semigrupo 0-simples.

Demonstração. M2_{é ideal de S contido em M , logo, ou M}2 _{= M , ou M}2_{= {0}.}

Se M2 = M , então M3 = M . Por outro lado, para a ∈ S \ {0}, S1aS1 também é ideal não nulo de S, logo M ⊆ S1aS1. Então,

M aM ⊆ M = M3 ⊆ M (S1aS1)M = (M S1)a(S1M ) ⊆ M aM. Então M é 0-simples pela Proposi¸cão 1.35.

Se o semigrupo não tem zero, terá no máximo um ideal minimal. Pois se M e N forem ideais minimais, M N é ideal contido em M e em N , logo igual a ambos, que consequentemente são iguais. Então, ou S não tem nenhum ideal minimal, ou tem um único ideal minimal, habitualmente designado por Kernel de S, K(S). Daqui resulta,

(20)

6. SEMIGRUPOS SIMPLES E 0-SIMPLES 15 Proposi¸cão 1.38. Seja S um semigrupo sem zero. Se S tem Kernel K, então K é semigrupo simples.

´

E importante real¸car que todo o semigrupo finito tem Kernel, pois, caso contrário, teria cadeias descendentes infinitas de ideais, o que não é poss´ıvel dada a finitude dos seus elementos. Outro contexto onde podem ocorrer semigrupos 0-simples é dado pela seguinte Proposi¸cão,

Proposi¸cão 1.39. Se I, J são ideais de um semigrupo S, tais que I ⊆ J e não existe ideal B, de S, tal que I ⊆ B ⊆ J, então J/I ou é 0-simples ou nulo.

Demonstração.Pela Proposi¸cão 1.33, J/I é ideal 0-minimal de S/I, pela Proposi¸cão 1.37, é nulo ou 0-simples.

Este resultado é a base de um método de decomposi¸cão para qualquer semigrupo S.

Sabemos que a intersec¸c˜ao de uma fam´ılia indexada {Ui : i ∈ I}(I 6= ∅) de

subsemigrupos de um semigrupo S é ainda um subsemigrupo se S. Designa-se por subsemigrupo de S gerado por um subconjunto A, não vazio de S, a interseçcão de todos os subsemigrupos de S que contêm A. Denota-se por < A >. Se A = {a}, então < A >= {a, a2, a3, ...} e o semigrupo < A > diz-se monogénico. Se am ₌

an _{⇒ m = n, ent˜ao (< a >, .) ´e isomorfo ao semigrupo (N, +) e diz-se que a tem}

ordem infinita. Se há repeti¸cões, então

{x ∈ N : (∃y ∈ N)ax_{= a}y_{, x 6= y} 6= ∅}

e tem um elemento m´ınimo, que denotamos por m e designamos por ´ındice do elemento a e, tamb´em, do semigrupo < a >. Assim,

{x ∈ N : am+x = am} 6= ∅,

logo tem um elemento m´ınimo, r, que designamos por per´ıodo de a (e de < a >). Pela minimalidade de m e de r conclui-se que os elementos a, a2_{, ..., a}m_{, a}m+1_{, ..., a}m+r−1

s˜ao todos distintos. O subconjunto de < a >, Ka = {am, am+1, ..., am+r−1} ´e um

subsemigrupo (ideal) de < a >, que designamos por Kernel de < a >. Mais, é um subgrupo de < a >. Um semigrupo diz-se periódico se todos os seus elementos têm ordem (m + r − 1) finita. Assim, um semigrupo finito tem necessariamente ordem finita. Ainda vamos ver que em cada semigrupo periódico (em particular, finito) há pelo menos um elemento idempotente.

(21)

Proposi¸cão 1.40. Num semigrupo periódico todos os elementos têm uma potência que é idempotente, isto é, um semigrupo periódico tem, pelo menos, um idempotente. Demonstração.Se a ∈ S, semigrupo periódico, então < a > é finito, logo an_{, para}

algum n ∈ N ´e a identidade do grupo Ka.

Se definirmos uma rela¸cão entre os idempotentes de um semigrupo da forma: e ≤ f se e só se ef = f e = e, facilmente se verifica e ≤ e; e ≤ f ∧ f ≤ e ⇒ e = f ; e ≤ f ∧ f ≤ g ⇒ e ≤ g. Isto é, a rela¸cão é de ordem (parcial).

Se S é semigrupo com zero, então, claramente, 0 é o m´ınimo (∀s∈S; 0 ≤ s) dos

idempotentes. Os idempotentes minimais e ∈ S (∀s∈S; s ≤ e ⇒ s = e) diferentes

de zero s˜ao chamados primitivos. Assim, um idempotente primitivo e, tem a pro-priedade: ef = f e = f 6= 0 ⇒ e = f .

Um semigrupo diz-se completamente 0-simples se ´e 0-simples e tem um idempo-tente primitivo.

Analogamente, se S é um semigrupo sem zero, dizemos que S é completamente simples se S é simples e contém um idempotente primitivo.

7 Equivalˆ

encias de Green

Chama-se ideal principal esquerdo gerado por a ∈ S, ao menor ideal esquerdo de S que contém a, que é Sa ∪ {a}, habitualmente designado por S1_{a. Uma equivalência}

L, em S, é definida pela lei a L b se e só se a e b geram o mesmo ideal principal esquerdo, isto é, se e só se S1_{a = S}1_{b. De forma análoga se define equivalência R,}

pela lei a R b se e só se aS1 = bS1. Uma propriedade imediata de L e de R é: Proposi¸cão 1.41. L é uma congruência direita e R é uma congruência esquerda. Demonstração. Seja a ∈ S, (r, t) ∈ L e (f, h) ∈ R, arbitrários. Então, S1_{r = S}1_t,

logo S1ra = S1ta e assim, (ra, ta) ∈ L. E f S1 = hS1, logo af S1 = ahS1 e assim, (af, ah) ∈ R.

´

E de verifica¸cão rotineira a seguinte caracteriza¸cão dos elementos das L, R equivalências.

Proposi¸cão 1.42. Sejam a, b elementos de um semigrupo S. Então a L b se e só se existem x, y ∈ S1, tais que xa = b, yb = a. Da mesma maneira, a R b se e só existem u, v ∈ S1, tais que au = b, bv = a.

(22)

7. EQUIVAL ÊNCIAS DE GREEN 17 Designa-se por H a interseçcão das rela¸cões R e L. Como se sabe H = R ∩ L é ainda uma rela¸cão de equivalência. Por D designa-se a equivalência L∨R. Vamos ver que, para a composi¸cão, L e R comutam, o que nos permite afirmar, pela Proposi¸cão 1.17 e Observa¸cão seguinte, que D = R ◦ L.

Proposi¸c˜ao 1.43. As rela¸c˜oes L e R comutam.

Demonstração. Seja S um semigrupo, sejam a, b ∈ S e suponha-se que (a, b) ∈ L ◦ R. Então existe c ∈ S, tal que a L c e c R b. Logo existem x, y, w, v ∈ S1_{, tais}

que xa = c, cw = b, yc = a, bv = c. Seja d = ycw ∈ S, então aw = ycw = d, dv = ycwv = ybv = yc = a, logo a R d. Por outro lado, yb = ycw = d, xd = xycw = xaw = cw = b, logo d L b. Assim, (a, b) ∈ R ◦ L. A inclusão rec´ıproca segue um caminho análogo. Assim, L ◦ R = R ◦ L.

Definimos agora uma rela¸cão de equivalência, simultaneamente esquerda e dire-ita, em S, da seguinte forma : a I b se e só se S1_aS1 _{= S}1_bS1_{. Como facilmente se}

verifica L ⊆ I e R ⊆ I. Como D é a menor rela¸cão de equivalência que contém L e R, então D ⊆ I. O seguinte resultado vai permitir-nos concluir que D = I em todo o semigrupo periódico (em particular finito).

Proposi¸cão 1.44. Se S é um semigrupo periódico, então D = I.

Demonstração. Sejam a, b ∈ S, tais que a I b. Então existem x, y, u, v ∈ S1_{, tais}

que

xay = b, ubv = a. (1.4)

Precisamos, agora, de encontrar um elemento c ∈ S, tal que a L c, c R b. Resulta da equa¸c˜ao (1.4), que

a = (ux)a(yv) = (ux)2_a(yv)2_{= (ux)}3_a(yv)3_{= ...}

b = (xu)b(vy) = (xu)2b(vy)2 = (xu)3b(vy)3 = ...

Como S é periódico, pela Proposi¸cão 1.40, podemos encontrar m, tal que (ux)m _é

idempotente. Assim, seja c = xa, ent˜ao

a = (ux)ma(yv)m= (ux)m(ux)ma(yv)m = (ux)ma = (ux)m−1uc,

logo a L c. Por outro lado, cy = xay = b e se escolhermos n, tal que (vy)n _´e

idempotente, tem-se

c = xa = x(ux)n+1a(yv)n+1= (xu)n+1xay(vy)n_v

= (xu)n+1b(vy)2nv = (xu)n+1b(vy)n+1(vy)n−1v = b(vy)n−1_v.

(23)

Logo c R b, como pretend´ıamos. `

A custa da rela¸cão de ordem parcial (reflexiva, transitiva e anti-simétrica) dada pela inclusão de conjuntos vamos definir uma pré-ordem (reflexiva e transitiva), ≤R,

nas classes de R, da forma s ≤R t se e s´o se Rs ≤R Rt se e s´o se sS1 ⊆ tS1. De

forma análoga se definem pré-ordens em L e em I, considerando, respectivamente, os ideais principais esquerdos e ideais principais esquerdo-direitos. Estrutura das D − classes: Cada D − classe, num semigrupo S, é a reunião disjunta de L − classes e, também, a reunião disjunta de R − classes, pois seja D uma D − classe e a ∈ D, então a ∈ R, para alguma R − classe. Seja b ∈ S, tal que b ∈ R, então bRa e aLa, logo bDa, isto é b ∈ D. O mesmo racioc´ınio se pode aplicar às L − classes. A interseçcão de uma L − classe com uma R − classe é, ou vazia, ou uma H − classe. Como D = R ◦ L = L ◦ R, tem-se

aDb ⇔ Ra∩ Lb 6= ∅ ⇔ La∩ Rb 6= ∅.

Pode visualizar-se uma D−classe como uma “caixa-de-ovos”em que cada linha repre-senta uma R−classe e cada coluna reprerepre-senta uma L−classe e cada “c´elula”represen-ta uma H − classe.

La= Lb Lc

Ra= Rc Ha Hc

Rb Hb

Se D é uma D − classe arbitrária num semigrupo S e se a, b ∈ D são tais que a L b, então por defini¸cão de L existem t, t′∈ S1_{, tais que}

ta = b, t′b = a.

A transla¸c˜ao esquerda λt: S → S, x → tx, aplica Ra em Rb, pois se x ∈ Ra, ent˜ao

tx R ta, pela Proposi¸c˜ao 1.41, logo tx ∈ Rta = Rb. De forma semelhante se prova

que λt′ aplica R_b em R_a. A composi¸cão λ_tλ_t′ : R_a → R_a é a aplica¸cão identidade

em Ra e λt′λ_t: R_b → R_b. Ent˜ao λ_t|

Ra e λt′|Rb são bijeçcões mutuamente inversas de

Ra em Rb e de Rb em Ra, respectivamente. Ainda se pode deduzir que se x ∈ Ra

ent˜ao o elemento y = xλt de Rb tem a propriedade y = tx, x = t′y. Ent˜ao x L y,

(24)

7. EQUIVAL ˆENCIAS DE GREEN 19 de Ra, numa H − classe de Rb, mantendo a L − classe. O mesmo se conclui de

λt′. Racioc´ınio semelhante nos levaria a concluir o mesmo acerca das transla¸c˜oes

ρs: S → S, x → xs e ρ′s: S → S, x → xs′, transla¸c˜oes que preservam as R − classes

e aplicam bijectivamente uma H − classe noutra H − classe e uma L − classe noutra L − classe. Podemos ent˜ao enunciar a seguinte

Proposi¸c˜ao 1.45. Sejam a, b elementos R − equivalentes (respectivamente L − equivalentes), num semigrupo S e sejam s, s′ ∈ S1_{(respectivamente t, t}′ _{∈ S}1_{), tais}

que as = b, bs′ _{= a (respectivamente ta = b, t}′_{b = a). Ent˜}_{ao, as transla¸c˜}_{oes direitas}

(respectvamente, esquerdas) ρs|_La, ρs′_|

Lb (respectivamente, λt|Ra, λt′|Rb) são bijeçcões

mutuamente inversas, que preservam a R − classe (respectivamente, L − classe) de La (respectivamente Ra) para Lb(respectivamente Rb) e de Lb(respectivamente Rb)

para La (respectivamente Ra).

Daqui resulta,

Lema 1.46. Se a, b s˜ao elementos D−equivalentes num semigrupo S, ent˜ao |Ha| =

|Hb|.

Demonstrac¸˜ao. Seja c ∈ S, tal que a R c e c L b, com as = c, cs′ _{= a, tc = b,}

t′b = c. Pelas considera¸cões anteriores ρsλt: x → txs é bijeçcão entre Hae Hb (cuja

inversa ´e λ′_tρ′_s: y → t′ys′). Daqui resulta |Ha| = |Hb|.

Do que foi exposto anteriormente, sabemos que para a ∈ S, ρs : x → xs, aplica

bijectivamente Ha em Has. Ora se, em particular, tivermos a H as, ent˜ao ρs aplica

bijectivamente Ha em si pr´opria. O mesmo se verifica para λt: x → tx, que aplica

Haem Hta. Ora se a H ta, então λt aplica Ha em si própria, bijectivamente. Então

podemos afirmar,

Lema 1.47. Sejam x, y ∈ S (semigrupo). Se xy ∈ Hx, então ρy|Hx é uma bijeçcão

de Hx em si própria. Se xy ∈ Hy então λx|_Hy é uma bijeçcão de Hy em si própria.

Daqui resulta o seguinte Teorema (de Green)

Teorema 1.48. Se H é uma H − classe num semigrupo S, então, ou H2∩ H = ∅, ou H2 _{= H, e H é subgrupo de S.}

Demonstração. Suponha-se que H2 _{∩ H 6= ∅, então existem a, b ∈ H, tais que}

ab ∈ H. Pelo Lema 1.46, ρb e λa são bijeçcões de H em si própria. Então, hb ∈ H e

(25)

H em si pr´opria. Logo Hh = hH = H, para todo o h ∈ H, ou seja H2 = H e H ´e grupo, subgrupo de S.

O resultado seguinte ´e consequˆencia deste Teorema.

Corolário 1.49. Se e ∈ S é idempotente, então He é subgrupo de S. Nenhuma

H − classe em S pode conter mais do que um idempotente. Demonstrac¸˜ao. Como H2

e ∩ He6= ∅, pois ee = e, ent˜ao He´e subgrupo de S, logo

s´o tem um idempotente, o elemento neutro.

Um elemento a, num semigrupo S, diz-se regular se existir x ∈ S, tal que axa = a. Vamos ver que numa D − classe, se existir um elemento regular, ent˜ao todos os seus elementos s˜ao regulares.

Proposi¸cão 1.50. Se a ∈ S é regular, então todos os elementos de Dasão regulares.

Demonstração. Temos axa = a, para algum x ∈ S. Se c ∈ Ra, então existem

y, z ∈ S1_{, tais que ay = c e cz = a. Assim, c = ay = axay = axc = c(zx)c, logo c}

é regular. De modo análogo se prova que qualquer elemento de uma L − classe de um elemento regular é regular.

Uma D − classe diz-se regular se os seus elementos s˜ao todos regulares. Caso contr´ario diz-se irregular.

Proposi¸c˜ao 1.51. Numa D − classe regular todas as L − classes e todas as R − classes contˆem idempotentes.

Demonstração. Se a pertence a uma D − classe regular, então existe x ∈ S, tal que axa = a. Então, axax = ax e ax R a, ou seja ax é um idempotente em Ra. De

forma semelhante se prova que xa ´e um idempotente em La.

Proposi¸c˜ao 1.52. Um idempotente e, num semigrupo S ´e uma identidade esquerda em Re e uma identidade direita em Le.

Demonstração. Se b ∈ Le, então b = xe, para algum x ∈ S1. Então,

be = (xe)e = xe2= xe = b. De modo an´alogo se prova que ea = a, para todo o a ∈ Re.

(26)

7. EQUIVAL ÊNCIAS DE GREEN 21 Corolário 1.53. Se uma D − classe D contém um idempotente, então todas as R − classes e L − classes em D contêm um idempotente.

Demonstração. Seja e um idempotente na classe De, então e é regular, pois

eee = e. Pelas Proposi¸c˜oes 1.51 tem-se o pretendido.

Defini¸c˜ao 1.54. Dado um semigrupo S e a ∈ S, diz-se que a′ ∈ S ´e um inverso de a, se aa′a = a e a′aa′= a′.

Daqui resulta que, se um elemento tem um inverso, então é regular. Por outro lado, se existir x ∈ S, tal que axa = a, então a′ = xax é um inverso de a,

aa′a = axaxa = axa = a, a′aa′= xaxaxax = xax = a′,

isto ´e, se um elemento ´e regular tem um inverso. Denotamos por V (a) o conjunto dos inversos de um elemento a.

Teorema 1.55. Seja a um elemento de uma D − classe regular D, num semigrupo S.

(1) Se a′ _{∈ V (a), ent˜}_{ao a}′ _{∈ D e as duas H − classes R}

a∩ La′, L_a∩ R_a′ contˆem,

respectivamente, os idempotentes aa′ e a′a,

La La′

Ra a aa′

Ra′ a′a a′

(2) Se b ∈ D ´e tal que Ra∩ Lb e La∩ Rb contˆem os idempotentes e, f ,

respectiva-mente, ent˜ao Hb cont´em um inverso a∗, de a, tal que aa∗ = e, a∗a = f

La Lb

Ra a e

(27)

(3) Nenhuma H − classe cont´em mais que um inverso de a.

Demonstração. (1) Se aa′a = a e a′aa′ = a′, então a R aa′, a′ R a′_{a, a L a}′_a,

a′ _{L aa}′_{. Assim aa}′ _{∈ R}

a∩ La′ e a′a ∈ L_a∩ R_a′.

(2) Como e ∈ Ra∩ Lb, ent˜ao e ∈ Ra e ea = a, pois e ´e uma identidade esquerda

em Re = Ra. Por outro lado, como f ∈ La∩ Rb, ent˜ao f ∈ La, logo La= Lf. Ent˜ao,

af = a, pois f ´e identidade direita em Lf. De a R e, resulta que existe x ∈ S1, tal

que ax = e. Fazemos a∗= f xe.

aa∗a = af xea = axa = ea = a,

a∗aa∗ = f xeaf xe = f xaf xe = f xaxe = f xe2 = f xe = a∗. Assim, a∗ ´e um inverso de a. Ainda se tem,

aa∗ = af xe = axe = e2 = e Como f = ya, para algum y ∈ S1, pois f ∈ La,

a∗a = f xea = f xa = yaxa = yea = ya = f.

Finalmente, como tamb´em se tem (f x)e = a∗ _{e f (xe) = a}∗_{, ent˜ao L}

a∗ = L_e,

Rf = Ra∗. Ent˜ao,

a∗∈ Le∩ Rf = Lb∩ Rb = Hb.

(3) Suponhamos que a′ e a∗ s˜ao inversos de a em Hb. Ent˜ao aa′aa′ = aa′,

aa∗_aa∗ _{= aa}∗_{, a}′_aa′_{a = a}′_{a, a}∗_aa∗_{a = a}∗_{a, isto ´e, aa}′_{, aa}∗ _{s˜ao idempotentes em}

Ra∩ Lb, logo são iguais e a′a, a∗a são idempotentes em La∩ Rb, logo são iguais.

Finalmente, a∗ = a∗aa∗ = a∗aa′ = a′aa′ = a′.

Proposi¸cão 1.56. Sejam e, f idempotentes num semigrupo S. Então, (e, f ) ∈ D se e só se existe um elemento a ∈ S e um seu inverso a′, tais que a′a = e, a′a = f

Lf Le

Re a e

(28)

8. ACÇ ÕES DIAGONAIS 23 Demonstração. Se e, f ∈ D, então a sua D − classe é regular. Seja a ∈ Re∩ Lf.

Pelo Teorema 1.55 existe um inverso a′ _{de a em R}

f ∩ Le, tal que aa′ = e, a′a = f .

Se existem a, a′ ∈ S inversos, tais que aa′ _{= e, a}′_{a = f , ent˜ao, pelo Teorema 1.55}

(1), e = aa′ _{∈ R}

a e f = a′a ∈ La. Ent˜ao, e R a, a L f , logo e D f .

Vamos agora ver que duas H − classes, subgrupos de S, na mesma D − classe s˜ao isomorfas.

Proposi¸cão 1.57. Sejam H e K duas H − classes grupos, na mesma D − classe, então H e K são isomorfas.

Demonstração.Seja e o elemento neutro de H, f o elemento neutro de K (idem-potentes). Seja a ∈ Re∩ Lf e a′ ∈ Rf ∩ Le o único inverso de a nesta H − classe.

Então, aa′ = e, a′a = f , ea = af = a, a′e = f a′ = a′. É fácil verificar que φ : H → K, x → a′_{xa é um isomorfismo entre H e K.}

Lema 1.58. Sejam a, b elementos de uma D − classe D. Ent˜ao, ab ∈ Ra∩ Lb se e

s´o se La∩ Rb cont´em um idempotente.

Demonstração.Suponha-se que ab ∈ Ra∩Lb. Então existe c ∈ S1, tal que abc = a

e, pela Proposi¸c˜ao 1.45, ρc : x → xc aplica bijectivamente Hb em La∩ Rb. Assim,

bc ∈ La∩ Rb. Por outro lado, ρb : y → yb aplica bijectivamente La∩ Rb em Hb e

ρb, ρc s˜ao inversas, entre La∩ Rb e Hb. Logo bc ´e idempotente, pois

(bc)2= bρcρbρc= bρc = bc.

Reciprocamente, se La∩ Rb contém um idempotente e, então eb = b e a transla¸cão

x → xb aplica bijectivamente Ha em Ra∩ Lb. Em particular, ab ∈ Ra∩ Lb.

8 Ac¸

c˜

oes diagonais

Uma açcão de um semigrupo S sobre um conjunto X é uma aplica¸cão X × S → X, (x, s) → xs, tal que (xs1)s2 = x(s1s2). A um conjunto X, juntamente com uma

açcão, chamamos S−acto. Dizemos que é gerado por um conjunto U ⊆ X, se U × S1 = X, dizendo-se finitamente gerado, se existe um conjunto U finito em tais condi¸cões. A açcão diagonal(de dimensão 2) de um semigrupo S é o conjunto S × S, com a açcão (s1, s2)s = (s1s, s2s). A açcão diagonal n-dimensional, de S é o

(29)

Lema 1.59. Dado um semigrupo S, uma açcão diagonal n-dimensional (n ≥ 2) de S é finitamente gerada se e só se cada açcão diagonal for finitamente gerada. Demonstração. Se a açcão diagonal n-dimensional for finitamente gerada, então existe U finito, U ⊆ S(n), tal que U S1 = S(n). Então a projeçcão V , de U , em duas componentes é finita e V S1 _{= S}(2)_{, isto é, cada açcão diagonal é finitamente gerada.}

Reciprocamente, suponha-se que S(m) é açcão diagonal m-dimensional finitamente gerada, para m ≥ 2, fixo. Seja U ⊆ S(m) seu conjunto gerador finito. Seja V o subconjunto de S constitu´ıdo por todas as componentes de todos os elementos de U .

´

E fácil de verificar que V(k)S1 = S(k), para 1 ≤ k ≤ m. Vamos agora ver que W = (V2∪ V )(m+1) é tal que S(m+1) = W(m+1)S1. Seja, então (x1, ..., xm+1) ∈ S(m+1).

Se (x1, ..., xm+1) ∈ W(m+1), est´a provado. Caso contr´ario, podemos considerar, sem

perda de generalidade, que x1 ∈ W . Por hip´otese de indu¸c˜ao, existe (v/ 1, ..., vm) ∈

V(m) _{e p ∈ S}1_{, tais que (x}

1, ..., xm) = (v1, ..., vm)p. Ora p 6= 1, pois x1 6= v1. Como

V(2)S1 = S(2), ent˜ao existem (vm+1, vm+2) ∈ V × V e q ∈ S1, tais que (p, xm+1) =

(vm+1, vm+2)q. Assim, existem (v1vm+1, ..., vmvm+1, vm+2) ∈ (V2∪V )(m+1)e q ∈ S1,

tais que

(v1vm+1, ..., vmvm+1, vm+2)q = (v1p, ..., vmp, xm+1) = (x1, ..., xm, xm+1).

Lema 1.60. Seja S um semigrupo infinito. Se a açcão diagonal n-dimensional de S é finitamente gerada, então existe um subconjunto finito U ⊆ S, tal que U(n)_{= S}(n)_.

Demonstração. Pela prova do Lema 1.59, existe um conjunto V ⊆ S, tal que V(n+1)S1 = S(n+1). Então, dados s1, ..., snarbitrários em S, existem v1, ..., vn, vn+1 ∈

V , t ∈ S \ V e s ∈ S1, tais que

(s1, ..., sn, t) = (v1, ..., vn, vn+1s).

Como t 6= vn+1, ent˜ao s 6= 1 e, olhando para as primeiras n componentes vemos que

S(n)= V(n)S.

9 Elementos injectivos, ou quase-injectivos

Um elemento s, de um semigrupo S diz-se quase injectivo se existe um subconjunto U , de S, tal que x1s = x2s → x1 = x2, para todos os x1, x2 ∈ S \ U . O cardinal do

(30)

10. SEMIGRUPOS AUTOM ÁTICOS 25 menor conjunto U , para o qual se verifica a propriedade é chamado deficiência de s. Se a deficiência de s é 0 dizemos que s é injectivo.

Lema 1.61. Seja S um semigrupo. Se s ∈ S é um elemento quase injectivo, com deficiência d, e se s′ ≥R s (s′S1 ⊇ sS1), então, s′ é também quase injectivo, com

deficiência não superior a d. Em particular, se s é injectivo e s R s′, então s′ é também injectivo.

Demonstrac¸˜ao. Seja s injectivo em S \ U , com |U | = m. Como sS1 _{⊆ s}′_S1_,

ent˜ao s = s′s′′, para algum s′′ ∈ S1_{. Ora se x}

1s′ = x2s′ ∧ x1 6= x2, para alguns

x1, x2 ∈ S \ U , então também ter´ıamos x1s′s′′ = x2s′s′′∧ x1 6= x2, pelo que s não

seria injectivo em S \ U . Então, s′ também é injectivo, pelo menos em S \ U .

Lema 1.62. Seja S um semigrupo finito, seja s ∈ S um elemento injectivo e seja e ∈ S uma identidade direita de S. Se s ≤Re, ent˜ao s R e.

Demonstração.Como s ≤Re, então s = et, para algum t ∈ S1. Como a aplica¸cão

x → xs ´e injectiva, e como S ´e finito e = us, para algum u ∈ S. Assim, es = e2t = et = s = se = sus,

e, como s ´e injectivo, temos tamb´em, e = su, logo s R e.

10 Semigrupos autom´

aticos

Vamos, nesta seçcão, introduzir a no¸cão de semigrupo automático.

Defini¸c˜ao 1.63. Dado um alfabeto A e L, K ⊆ A∗, duas linguagens, define-se: a) concatena¸c˜ao L · K = {w1· w2 : w1 ∈ L, w2 ∈ K}, habitualmente designada

por LK. b) L0 = {ǫ}, Ln+1 = L · Ln_{(n ∈ N} 0), L∗ _{= ∪}∞ n=0Ln= {w1· w2· ... · wn: w1, w2, ..., wn∈ L, n ∈ N0}

e designa-se ∗ opera¸c˜ao estrela de Kleene

c) diz-se que L é regular se puder ser obtida por aplica¸cão finita das opera¸cões ∪(reunião), ·(concatena¸cão), ∗(estrela de Kleene), sobre subconjuntos finitos de A∗.

(31)

Da Teoria da Computa¸cão sabe-se, ainda, que a classe das linguagens regulares é a classe das linguagens reconhec´ıveis por autómatos de estados finitos. Vamos, então, definir autómato de estados finito, ou, mais simplesmente autómato finito: Defini¸cão 1.64. Um autómato de estados finito é um qu´ıntuplo A = (Q, A, ϕ, i, T ), em que A, Q são conjuntos finitos, não vazios, ϕ : Q × A → Q é uma fun¸cão, i ∈ Q e T ⊆ Q. Os elementos de Q são chamados os estados de A, A é chamado alfabeto de A, i é estado inicial e T é o conjunto de estados finais, ou terminais.

Define-se um caminho π num aut´omato como uma sequˆencia (q1, a1, q2), (q2, a2, q3), ..., (qn, an, qn+1),

em que q1, ..., qn+1 ∈ Q e a1, ..., an ∈ A. Diz-se que o caminho π ´e etiquetado

pela palavra a1a2...an. Um caminho ´e bem sucedido se come¸car no estado inicial

e terminar num elemento de T . Um autómato reconhece uma palavra se tiver um caminho bem sucedido etiquetado por essa palavra. A palavra vazia será reconhecida por um autómato se e só se o estado inicial for um estado terminal. A linguagem L(A) reconhecida por A é o conjunto de todas as palavras reconhecidas por A.

Por vezes é mais fácil trabalhar com uma defini¸cão mais geral de autómato finito. Defini¸cão 1.65. Um autómato finito não determin´ıstico é, ainda, um qu´ıntuplo A = (Q, A, ϕ, i, T ), mas em que a aplica¸cão ϕ tem imagens em P(Q), isto é ϕ : Q×A → P(Q). Um caminho é bem sucedido se come¸car no estado inicial e terminar em U ∈ P(Q), tal que U ∩ T 6= ∅.

O seguinte resultado, porém, garante que desde que exista um autómato qual-quer de estados finitos, podemos sempre construir um autómato de estados finitos determin´ıstico e completo, isto é, em que ϕ é uma fun¸cão de Q × A, em Q. Pelo facto de todos os pares de Q × A terem imagem diz-se que o autómato é completo e, pelo facto de terem uma só imagem diz-se que é determin´ıstico.

Teorema 1.66. Seja A = (Q, A, ϕ, i, T ) um autómato finito qualquer e seja L(A) a linguagem reconhecida por A. Então existe um autómato completo e determin´ıstico A′ tal que L(A′) = L(A).

Demonstração. Define-se A′ como tendo o mesmo alfabeto A que A, mas o seu conjunto de estados é agora o conjunto P(Q) e a fun¸cão de transi¸cão ψ : P(Q)×A → P(Q) define-se da forma óbvia

ψ(P, a) = [

p∈P

(32)

10. SEMIGRUPOS AUTOM ÁTICOS 27 Prova-se por indu¸cão sobre o comprimento das palavras em A∗ que se extende na-turalmente esta aplica¸cão da forma

P (wa) = (P w)a (p ∈ P(Q), w ∈ A∗, a ∈ A).

O seu estado inicial passa a ser {i} e o conjunto dos seus estados terminais ´e T′ = {P ∈ P(Q) : P ∩ T 6= ∅}.

Finalmente, w ∈ L(A) se e só se ϕ(i, w) ∩ T 6= ∅, se e só se ψ({i}, w) ∩ T 6= ∅, se e só se ψ({i}, w) ∈ T′_{, se e s´}_{o se w ∈ L(A}′_).

Defini¸c˜ao 1.67. Dado um alfabeto A, uma palavra w = a1a2...an ∈ A∗ e uma

linguagem L ⊆ A∗ define-se:

w(t) = a1a2...at, se t < n e w(t) = w nos restantes casos;

Pref(L) = {w(t) : w ∈ L, t ∈ N0};

Suff(L) = {w ∈ A∗ : w,_{w ∈ L, para algum w},_{∈ A}∗_};

Subw(L) = {w ∈ A∗ _{: w},_ww,,_{∈ L, para alguns w},_{, w},,_{∈ A}∗_}.

Vamos construir uma aplica¸cão utilizada na defini¸cão de semigrupo automático: δA: A∗× A∗→ A(2, $)∗, onde $ /∈ A e A(2, $) = ((A ∪ {$}) × (A ∪ {$})) \ {($, $)}, dada por (a1a2...an, b1b2...bn)δA =            ǫ se 0 = m = n (a1, b1)...(an, bn) se 0 < n = m (a1, b1)...(an, bn)($, bn+1)...($, bm) se 0 ≤ n < m

(a1, b1)...(am, bm)(am+1, $)...(an, $) se n > m ≥ 0

Vamos introduzir alguns resultados elementares sobre conjuntos regulares. Proposi¸c˜ao 1.68. Seja A um alfabeto. Ent˜ao tem-se:

(i) ∅, A+, A∗ s˜ao regulares;

(ii) Todo o subconjunto finito de A∗ ´e regular;

(iii) Se L, K são regulares, então L \ K, LK, L∗, (L), Suff(L) e Subw(L) são regulares;

(33)

(iv) Se K ⊆ A∗ é regular e φ : A∗ → B∗ é homomorfismo de monóides, então Kφ é regular;

(v) Se K ⊆ B∗ _{´e regular e φ : A}∗ _{→ B}∗ _{´e homomorfismo de mon´}_{oides, ent˜}_ao

Kφ−1 ´e regular;

(vi) Se K, L ⊆ A∗ são regulares, então (K × L)δA é regular;

(vii) Se U ⊆ (A∗_{× A}∗_)δ

a ´e regular, ent˜ao

{α ∈ A∗ _{: (α, β)δ}

A∈ U, para algum β ∈ A∗} ´e regular.

Demonstração.As al´ıneas (i)-(v) são propriedades conhecidas das linguagens reg-ulares.

(vi) Sejam (S, Y, A, τ, s0) e (T, Z, A, σ, t0) aut´omatos finitos reconhecendo,

respec-tivamente, K e L. Seja, agora, q /∈ S ∪ T . O aut´omato finito, com conjunto de estados

(S ∪ {q}) × (T ∪ {q}), que aceita os estados

(S ∪ {q}) × (T ∪ {q}) \ {(q, q)}, com alfabeto A(2, $), com fun¸c˜ao de transi¸c˜ao

((s, t), (a, b))ς = ((s, a)τ, (t, b)σ), s ∈ S, t ∈ T, a, b ∈ A, ((s, t), ($, b))ς = (q, (t, b)σ), s ∈ Y ∪ {q}, t ∈ T, b ∈ A, ((s, t), (a, $))ς = ((s, a)τ, q), s ∈ S, t ∈ Z ∪ {q}, a ∈ A,

e com estado inicial (s0, t0). Este aut´omato reconhece a linguagem (K × L)δA.

(vii) Seja ∆ o grafo de estados do autómato de estados finito D, tal que L(D) = U . Os seus vértices são estados e as suas arestas são etiquetadas por pares (x, y) ∈ A∗× A∗_{. Seja, agora, o grafo ψ, com o mesmo conjunto de vértices que ∆ e com}

arestas etiquetadas com x se em ∆ for etiquetada por (x, y). Então ψ pode ser visto como o grafo de um autómato finito E, cujo estado inicial é o estado inicial de D e cujos estados aceites são os aceites por D. Ora a linguagem aceite por E é a projeçcão de U ⊆ A∗_{× A}∗ _{no seu primeiro factor, logo é regular.}

Lema 1.69. Seja A um alfabeto e L, L′ linguagens regulares sobre A. Ent˜ao, ¬L = A+\ L, L ∪ L′, L ∩ L′ s˜ao linguagens regulares sobre A.

(34)

10. SEMIGRUPOS AUTOM ÁTICOS 29 Demonstração. Seja M um autómato finito que aceita L. Um autómato que aceita ¬L obtém-se trocando os estados aceites com os estados não aceites. Que L ∪ L′ é regular resulta da defini¸cão de linguagem regular. Finalmente, como L ∩ L′ _{= ¬(¬L ∪ ¬L}′_{), esta é, também, regular.}

Teorema 1.70. Sejam L, L′ linguagens regulares sobre (A1, ..., An).

(1) As linguagens ¬L, L ∩ L′ _{e L ∪ L}′ _s˜_{ao regulares sobre (A}

1, ..., An).

(2) As linguagens ∃(L) e ∀(L) s˜ao regulares sobre (A1, ..., An−1).

(3) Para qualquer alfabeto An+1, a linguagem {(w1, ..., wn, wn+1)|(w1, ..., wn) ∈ L}

´e regular sobre (A1, ..., An+1).

(4) Para cada permuta¸c˜ao σ de {1, ..., n}, a linguagem

Lσ = {(w1, ..., wn)|(wσ(1), ..., wσ(n)) ∈ L}

´e regular sobre (A1, ..., An+1).

Demonstração. A prova de (1) é análoga à do Lema anterior. O operador ∃ é dado por f∗, em que

f∗ : A1× ... × An→ A1× ... × An−1

é a projeçcão óbvia. Por outro lado, o operador ∀ é o mesmo que ¬∃¬, pelo que está provado (2). As al´ıneas (3) e (4) resultam da defini¸cão de autómato finito.

Vamos agora apresentar um resultado sobre a diagonal do quadrado de uma linguagem regular.

Lema 1.71. Seja L uma linguagem regular sobre um alfabeto A = {ai : 1 ≤ i ≤ n}.

Ent˜ao a diagonal

∆(L) = {(w, w)δA|w ∈ L}

´e regular sobre A(2, $).

Demonstração. Como ∆(L) = (L × L)δA∩ {(ai, ai)|i = 1, ..., n}∗, isto é, a

(35)

Proposi¸cão 1.72. Suponha-se que A é conjunto finito e U , V são subconjuntos de A∗_{× A}∗_{, tais que U δ}

A e V δA s˜ao regulares. Seja

W = {(α, γ) ∈ A∗× A∗ : ∃β ∈ A∗ : (α, β) ∈ U, (β, γ) ∈ V }. Ent˜ao, W δA ´e regular.

A demonstra¸c˜ao encontra-se em [5]. Por indu¸c˜ao tem-se o seguinte

Corolário 1.73. Se U1, ..., Un são linguagens regulares sobre um alfabeto A, então

o conjunto {(α, β)δA : ∃w1, ..., wn−1 ∈ A∗, (α, w1)δA∈ U1, (w1, w2)δA∈ U2, ...,

(wn−2, wn−1)δA∈ Un−1, (wn−1, β)δA ∈ Un} ´e regular.

Agora vamos introduzir um conceito mais generalizado de aut´omato

Defini¸cão 1.74. Uma máquina sequencial generalizada (msg) é um sextuplo A = (Q, A, B, µ, q0, T ), em que Q é o conjunto de estados, A é o alfabeto de entrada, B é

o alfabeto de sa´ıda, todos finitos. A aplica¸cão µ é uma fun¸cão parcial de Q × A, para P(Q × B+_{), q}

0 ∈ Q ´e o estado inicial e T ⊆ Q ´e o conjunto de estados terminais.

Dizer que (q′, u) ∈ (q, a)µ significa que, se o autómato A está no estado q e lê o input a, então pode mover-se para o estado q′ e output u.

Pode interpretar-se A como um grafo dirigido, com v´ertices Q e uma aresta para cada par (q′_{, u) ∈ (q, a)µ.}

q (a, u) - q′

Dado, agora, um caminho π: q1 q2 q3 qn+1

(a1, u1) (a2, u2) (an, un)

- - . . .

-define-se

Φ(π) = a1a2...an, Σ(π) = u1u2...un.

Para q, q′ ∈ Q, u ∈ A+, v ∈ B+ escreve-se q_, (u, v)- +q′_{, significando que existe} um caminho π, de q para q′_{, tal que Φ(π) ≡ u e Σ(π) ≡ v e dizemos que (u, v) ´e a}

etiqueta do caminho. Dizemos que um caminho ´e bem sucedido se tiver a forma q (u, v)- +t _{, com t ∈ T .}

A msg A induz uma aplica¸c˜ao ηA : P(A+) → P(B+), de subconjuntos de A+

(36)

10. SEMIGRUPOS AUTOM ´ATICOS 31 XηA = {v ∈ B

+_{: (∃u ∈ X)(∃t ∈ T )(q} (u, v)- _+t_)}.

Se X ∈ A+ _{´e regular, ent˜}_{ao X}

ηA também é regular (ver [10]). De forma análoga,

A induz uma aplica¸c˜ao

ζA: P(A+× A+) → P(B+× B+)

definida por Y ζA = {(w, z) ∈ B+ × B+ : (∃(u, v) ∈ Y )(w ∈ uηA, z ∈ vηA)}.

Seguidamente vamos ver que, sob certas condi¸cões, esta aplica¸cão também preserva a regularidade.

Lema 1.75. Seja A = (Q, A, B, µ, q0, T ) uma msg, e seja πA : (A∗ × A∗)δA →

A∗_{× A}∗ _{o inverso de δ}

A. Suponha-se que existe uma constante C, tal que, para dois

caminhos α1, α2 em A, se tem

|Φ(α1)| = |Φ(α2)| ⇒ |Σ(α1)| − |Σ(α2)| ≤ C. (1.5)

Se M ⊆ (A+_{× A}+_)δ

A é linguagem regular em A(2, $)+, então N = M πAζAδB é

uma linguagem regular em B(2, $)+. A demonstra¸c˜ao encontra-se em [8].

Vamos, agora, definir estrutura autom´atica para um semigrupo.

Defini¸cão 1.76. Seja S um semigrupo, A conjunto gerador finito, L subconjunto regular de A+ e φ : A+→ S um homomorfismo com Lφ = S. Dizemos que (A, L) é uma estrutura automática para S se os conjuntos

L== {(α, β) : α, β ∈ L, α = β em S},

La= {(α, β) : α, β ∈ L, αa = β em S}; ∀a∈A,

forem regulares em A(2, $)∗_{. Se um semigrupo S tiver uma estrutura autom´atica}

diz-se autom´atico.

Diz-se que um semigrupo S é prefixo-automático, ou p-automático se tiver uma estrutura (A, L) automática, tal que

L′₌ = {(w1, w2)δA: w1∈ L, w2∈ Pref(L), w1 = w2}

é, também, automática.

Proposi¸cão 1.77. Se S é semigrupo com uma estrutura automática (A, L), K ⊆ L, K é regular e é aplicado sobrejectivamente sobre S, então (A, K) é estrutura automática para S.

(37)

Demonstrac¸˜ao.Ora K== L=∩ (K × K)δAe Ka= La∩ (K × K)δA. Logo, (A, K)

´e estrutura autom´atica para S.

Proposi¸cão 1.78. Suponha-se que S é um semigrupo com uma estrutura automática (A, L) e B ⊆ A. Seja T um subsemigrupo de S gerado por B, tal que L ∩ B+ é aplicado sobrejectivamente em T . Então, (B, L ∩ B+_{) é estrutura autom´}_{atica para}

T .

Demonstração. O conjunto K = L ∩ B+ é regular pela Proposi¸cão 1.68 e pelo Lema 1.69. Por hipótese é aplicado sobrejectivamente em T . Por outro lado,

K== L=∩ (B∗× B∗)δB,

Kb = Lb∩ (B∗× B∗)δB (b ∈ B),

s˜ao regulares pela Proposi¸c˜ao 1.68 e pelo Lema 1.69.

Para definir um tipo de estrutura automática (A, L) de S que é caracterizada pela injectividade da aplica¸cão de L para S introduzimos um novo conceito de ordem lexicográfica.

Defini¸c˜ao 1.79. Seja A = {a1, a2, ..., an} e escolha-se uma ordem a1< a2 < ... < an

em A. Extende-se esta ordem a A∗ da forma:

α < β se e s´o se |α| < |β| ou |α| = |β| e α precede β lexicograficamente.

Facilmente se verifica que a rela¸cão α ≤ β, se e só se α < β no anterior sentido, ou α ≡ β é de ordem total em A∗_.

Proposi¸cão 1.80. Se S é semigrupo com uma estrutura automática (A, L) e K = {α ∈ L : se (α, β) ∈ L= para algum β, então α ≤ β na ordem lexicográfica},

então (A, K) é estrutura automática para S.

Demonstração. Seja Mǫ o autómato finito que reconhece palavras iguais em S,

na estrutura (A, L). Como o predicado α ≤ β, na ordem lexicográfica pode ser reconhecido por um autómato finito, conclui-se que K é linguagem regular. Então, pela Proposi¸cão 1.77 está provado.

Se (A, L) é uma estrutura automática para um semigrupo S, dizemos que é estrutura automática com unicidade se cada elemento de S for representado por precisamente um elemento de L. Então, como consequência da Proposi¸cão 1.80 resulta o seguinte:

(38)

10. SEMIGRUPOS AUTOM ÁTICOS 33 Corolário 1.81. Se S é um semigrupo automático, então S tem uma estrutura automática com unicidade.

Ainda se prova o seguinte resultado,

Proposi¸cão 1.82. Seja S um semigrupo automático, tal que S2 = S. Então S tem uma estrutura automática com unicidade (A, K), tal que K ∩ A = ∅.

A prova desta Proposi¸c˜ao encontra-se em [6].

Vamos agora introduzir algumas propriedades básicas dos semigrupos automáticos. Proposi¸cão 1.83. Se S é um semigrupo com uma estrutura automática (A, L) e s ∈ S, então o conjunto {α ∈ L : α = s} é regular.

Demonstração. Tome-se β ∈ L, com β = s. Se α ∈ A+_{, então (α, β)δ}

A∈ L= se e

s´o se α ∈ L e α = s. Ora a linguagem

K = {(α, β) : α ∈ L, α = s}δA= L=∩ {(γ, β) : γ ∈ A+}δA= L=∩ (A+× {β})δA

é regular pela Proposi¸cão 1.68, assim como é regular {α ∈ A+_{: (α, γ)δ}

A∈ K, para algum γ ∈ A+} = {α ∈ A+ : (α, β)δA ∈ K}

= {α ∈ L : α = s}.

Vamos ver que dada uma estrutura autom´atica a respeito de um conjunto gerador A, de um semigrupo S, o problema do reconhecimento dos pares de palavras de A+

tais que h´a um elemento de A+, que sufixo a uma delas as torna iguais em S pode ser feito por um aut´omato finito.

Proposi¸cão 1.84. Se S é um semigrupo com estrutura automática (A, L) e γ ∈ A+, então o conjunto

Lγ= {(α, β) ∈ L × L : αγ = β}δA

´e regular.

Demonstração. Seja γ ≡ a1a2...an. Como (A, L) é estrutura automática,

(39)

são conjuntos regulares. Então, pela Proposi¸cão 1.72 os conjuntos La1a2 = {(α, α2) ∈ L × L : ∃α1 ∈ L : (α, α1) ∈ La1, (α1, α2) ∈ La2}δA; La1a2a3 = {(α, α3) ∈ L × L : ∃α2 ∈ L : (α, α2) ∈ La1a2, (α2, α3) ∈ La3}δA; . . . La1a2...an= {(α, β) ∈ L × L : ∃αn−1∈ L : (α, αn−1) ∈ La1a2...an−1, (αn−1, β) ∈ Lan}δA são regulares.

Outro resultado conhecido sobre linguagens regulares ´e enunciado na seguinte Proposi¸c˜ao

Proposi¸cão 1.85. Se L é regular, então

Lrev = {anan−1...a1 : a1a2...an}

(40)

Cap´ıtulo 2

SUBSEMIGRUPOS DE

´

_{INDICE DE REES FINITO}

Vamos estudar as propriedades combinat´orias respeitantes a geradores, apresenta¸c˜oes e automaticidade, dado um semigrupo S e um seu subsemigrupo T de ´ındice de Rees (|S \ T |) finito.

1 Geradores

Os resultados desta sec¸c˜ao encontram-se em [14].

Como vamos ver seguidamente, dados um semigrupo S e um seu subsemigrupo T de ´ındice de Rees finito, ou são ambos finitamente gerados, ou não o é nenhum.

Para a demonsta¸cão do resultado principal desta seçcão vamos definir um novo conceito designado por conjunto de representantes.

Defini¸cão 2.1. Seja S o semigrupo gerado pelo conjunto A (a respeito da inclusão) e seja T um subsemigrupo de S. Um conjunto de representantes de S \ T é um conjunto Ω de palavras de A∗, tal que

(1) Ω cont´em a palavra vazia ǫ;

(2) cada palavra n˜ao vazia de Ω representa um elemento de S \ T ;

(3) cada elemento de S \ T é representado por uma e uma só palavra de Ω. Define-se, também, uma fun¸cão representa¸cão w → w, que associa a cada ele-mento w ∈ S \ T a sua representante w ∈ Ω e goza das seguintes propriedades:

(i) w ≡ w, para cada elemento w ∈ S \ T ; 35

(41)

(ii) se w1, w2 ∈ Ω representam o mesmo elemento de S, ent˜ao w1≡ w2;

(iii) w = w, em S, para cada elemento w ∈ S \ T .

Designa-se por L(A, T ) o conjunto de palavras de A+que representam elementos de T .

Lema 2.2. Seja S um semigrupo gerado por um conjunto A e seja T um subsemi-grupo de S. Se Ω ´e um conjunto de representantes de S \ T , ent˜ao o conjunto

X = {ρ1aρ2|ρ1, ρ2∈ Ω, a ∈ A, ρ1a, ρ1aρ2 ∈ L(A, T )}

gera T .

Demonstração. Quer-se provar que toda a palavra w ∈ L(A, T ) é igual em S ao produto de elementos de X. Para tal faz-se indu¸cão sobre o comprimento de w. Se |w| = 1, então w ≡ a ∈ A e, em S, w = ǫaǫ ∈ X. Se |w| > 1, escreva-se w ≡ w1aw2,

em que w1a ´e o menor segmento inicial que pertence a L(A, T ). Se w2 ∈ L(A, T ), por

hipótese de indu¸cão, w2 é o produto de elementos de X, logo, como w = (w1aǫ)w2,

em S, tem-se o pretendido. Se w2 ∈ L(A, T ), ent˜ao, w/ 2∈ Ω, logo, w1aw2 ∈ X.

Proposi¸cão 2.3. Seja S um semigrupo e T um seu subsemigrupo de ´ındice de Rees finito em S. Então, S é finitamente gerado se e só se T é finitamente gerado. Demonstração. Se S é finitamente gerado, então, pelo Lema 2.2, T é finitamente gerado. Se T é finitamente gerado pelo conjunto B, então S é finitamente gerado pelo conjunto Y = B ∪ (S \ T ).

2 Apresenta¸

c˜

oes

Os resultados desta sec¸c˜ao encontram-se em [14].

Vamos ver que um semigrupo e um seu subsemigrupo de ´ındice de Rees finito, ou são ambos finitamente apresentados, ou nenhum tem apresenta¸cão finita. Proposi¸cão 2.4. Seja S um semigrupo e T um seu subsemigrupo de ´ındice de Rees finito, em S. Então S é finitamente apresentado se e só se T é finitamente apresentado.