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aLISTA - ELETROMAGNETISMO I
Instituto de Física - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-2
Problemas obrigatórios: 7, 9, 13, 15 e 17
Data de entrega: 21 de novembro de 2017
1. Suponha que uma partícula de massa m e carga positiva q se mova sob a ação unica exclusiva-mente de um campo eletrostático dado por E(r) = E0
( ˆ x√−ˆy 2 ) . No instante t = 0 a partícula está na origem e tem velocidade v0 = v0
( ˆ x+ˆ√y 2 ) .
(a) Aplicando a segunda lei de Newton, encontre o movimento da partícula para t > 0, ou seja, obtenha as coordenadas x e y da posição da partícula para um instante genérico t > 0. (b) Faça um esboço da trajetória seguida pela partícula. Em seu desenho, indique por meio de
setas a velocidade inicial v0e o campo eletrostático na posição inicial da partícula.
Sugestão: faça uma mudança de variáveis de (x, y) para (x′, y′), onde os eixosO′x′ e
O′y′ têm sua origemO′ coincidente com a origem O e estão girados de π/4 radianos
no sentido anti-horário em relação aos eixos Ox e Oy. Mostre, então, que a equação cartesiana da trajetória é dada por y′ =− qE0
2mv2 0
x′2.
2. Considere uma região do espaço onde haja um campo elétrostático uniforme E e um campo magnético uniforme B, orientado perpendicularmente ao campo E. Uma partícula de massa m e carga q se move nessa região e, em um dado instante, possui a velocidade v = E× B/B2. Despreze, nesta questão, o peso da partícula.
(a) Descreva o movimento da partícula a partir do instante considerado.
(b) Com o auxílio de setas, faça um desenho indicando a orientação relativa entre os campos
E e B e a velocidade v.
(c) Explique em poucas palavras como o resultado obtido no item (a) pode ser utilizado na construção de um filtro de velocidades.
3. Uma partícula de massa m e carga q se move sob a ação apenas de um campo magnético uniforme B. Escolha os eixos cartesianos de forma que B = Bˆz, onde B = |B|.
(a) Utilizando a Segunda Lei de Newton, mostre que
˙vx = ωcvy, (1)
˙vy = − ωcvx, (2)
˙vz = 0 , (3)
onde definimos ωc := qB/m. Observe que as equações anteriores formam um sistema
de equações diferenciais linerares, porém, acopladas entre si (pois para encontrarmos a função vx, por exemplo, precisamos do conhecimento da função vy).
(b) Encontre o movimento da partícula supondo que em t = 0 ela se encontre na posição
r0 = x0ˆx + y0y com a velocidade vˆ 0 = v0xˆx + v0yˆy.
(c) Mostre que a trajetória da partícula é circular e determine o seu raio e a posição de seu centro em termos das constantes x0, y0, v0x, v0y e ωc.
4. Considere, novamente, o problema anterior, mas, agora, resolva as equações para vx e vy
se-guindo um procedimento alternativo, que passamos a descrever. Defina a função complexa
ξ := vx+ i vy. Multiplique, então, a equação (2) por i e some a equação resultante com a
equa-ção (2), obtendo assim uma equaequa-ção de primeira ordem no tempo para a funequa-ção ξ. Utilizando as mesmas condições iniciais, reobtenha o resultado do problema anterior.
5. Nesta questão, você resolverá novamente o problema abordado nos dois últimos exercícios, mas obterá sua solução trabalhando diretamente com vetores, sem nunca fazer uso de componentes. Considere, então, uma partícula de massa m e carga q na presença unica e exclusivamente de um campo magnético uniforme B. Suponha que no instante inicial, t = 0, a posição e a velocidade da partícula sejam dadas por r0 e v0, respectivamente.
(a) Integre a equação de movimento e obtenha, para t > 0, a equação
v = ω× r + v0− ω × r0, (4)
onde definimos ω =−qB/m.
(b) Mostre, a partir da equação anterior, que
v = ω× (r − rc) , (5)
onde definimos rc:= r0+ ˆ
ω×v0
ωc , sendo ωc:=|ω|.
Sugestão:utilize a fórmula da expulsão, a× (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, e escreva v0
na equação (4) convenientemente como um duplo produto vetorial.
(c) A partir da equação (5), mostre que o movimento da partícula é circular e de centro em rc.
Determine o raio da trajetórica circular da partícula.
6. Uma partícula de massa m e carga q se move sob a ação de dois campos, um elétrico e outro magnético, ambos uniformes e denotados, respectivamente, por E e B. Tais campos são per-pendiculares entre si e, por conveniência, escolha os eixos cartesianos de forma que B = Bˆz e E = Eˆy, onde B =|B| e E = |E|.
(a) Utilizando a Segunda Lei de Newton, mostre que
˙vx = ωcvy, (6)
˙vy = − ωcvx+ α , (7)
˙vz = 0 , (8)
onde ωc = qB/m é a freqüência de cíclotron e definimos, por conveniência, α = qE/m.
(b) Encontre o movimento da partícula supondo que em t = 0 ela se encontre em repouso na origem.
7. Carga na presença de monopolo magnético
Considere o movimento de uma partícula de massa m e carga elétrica q que se move única e exclusivamente sob a ação do campo magnético de um monopolo magnético de intensidade
g que está fixo na origem do sistema de coordenadas em uso, ou seja, sob a ação do campo
B(r) = µ0g
4π
r
r3.
(a) Explique, apenas com palavras, por que a energia cinética da partícula carregada é uma constante de movimento, mas o seu momento angular relativo à origem não é.
(b) Verifique, explicitamente, que J = r× mv − qg4πˆr é uma constante de movimento.
(c) Mostre que o movimento da partícula carregada se passa na superfície de um cone. Espe-cifique esse cone em termos das condições iniciais r0e v0.
(d) Embora o plano do movimento da partícula não se mantenha constante ao longo do movi-mento, mostre que a sua velocidade areolar permanece constante durante o movimento. (e) Suponha que, inicialmente, a partícula carregada se aproxime do monopolo de muito
longe. Mostre que a distância entre ela e o monopolo diminuirá monotonicamente até uma distância mínima e, a partir de daí, crescerá monotonicamente (sugestão: calcule
d2r2/dt2 e lembre-se de que r é a distância da partícula à origem).
8. Considere um dipolo magnético puntiforme m e uma espira circular de raio R por onde flui uma corrente estacionária i. Escolhemos os eixos cartesianos de tal modo que o dipolo se encontre na origem e m = |m| ˆz. Além disso, nesse sistema, o plano da espira é paralelo ao plano OX Y e seu centro está no ponto (0, 0, z), com z > 0, como ilustra a figura.
Y X Z
z
R
i
mO campo de um dipolo magnético puntiforme situado na origem é dado por
B(r) = µ0 4π [ 3(m· ˆr)ˆr − m r3 ] , (9)
onde µ0 é uma constante positiva, denominada permeabilidade magnética do vácuo.
(a) Desenhando algumas linhas do campo B, usando a expressão da força sobre o fio e usando a simetria do problema, responda, sem fazer os cálculos, se a força sobre a espira é atrativa, repulsiva ou nula.
(b) Efetuando a integral F = iH dℓ× B, obtenha a força que o dipolo exerce sobre a espira.
9. Expansão em multipolos: momento de dipolo magnético
Considere uma espira de formato arbitrário descrito pela curva C pela qual flui uma corrente estacionária i. De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo magnetostático criado por essa espira em um ponto P genérico do espaço (exceto nos pontos da espira) localizado na posição
r é dado por B(r) = µ0i 4π I C dr′ × (r − r′) |r − r′|3 (10)
(a) Considerando que o ponto P esteja bem distante da espira, isto é, que r ≫ rmax′ , mostre inicialmente que 4π µ0i B(r) ≃ 1 r3 I C r′× dr′ + 3 r3 (I C dr′(ˆr· r′) ) × ˆr, (11)
(b) Usando apropriadamente a identidade
I C dr′(c· r′) = (1 2 I C r′× dr′ ) × c , (12)
sendo c um vetor constante, mostre que o segundo termo do lado direito da equação (11) pode ser escrito na forma (a fórmula (a× b) × c = (b · c)a − (a · c)b pode ser útil)
3 r3 (I C dr′(ˆr· r′) ) × ˆr = 3 r3 [( 1 2 I C r′× dr′ ) · ˆr]ˆr− 3 r3 ( 1 2 I C r′× dr′ ) . (13)
(c) Substituindo (13) em (11), e definindo m = 2i Hcr′× dr′, mostre, finalmente, que
B(r) ≃ µ0 4π [ 3(m· ˆr)ˆr − m r3 ] . (14)
A quantidade m é chamada momento de dipolo magnético da distribuição e a expressão anterior dá o primeiro termo da expansão em multipolos para o campo magnétostático da espira. No caso de um dipolo magnético puntiforme, a expressão anterior se torna exata. Compare essa expressão com a do campo eletrostático de um dipolo elétrico puntiforme de momento de dipolo p. Verifique que as duas expressões são totalmente análogas, bastando fazer as trocas p←→ m e 4πϵ01 ←→ µ0
4π para que uma expressão seja mapeada na outra.
(d) Suponha que essa espira seja plana. Mostre que, nesse caso, o momento de dipolo mag-nético da espira pode ser escrito como m = iAˆn, onde A é a área da espira e ˆn o vetor
unitário normal à espira orientado de maneira usual.
Obs: cálculos análogos podem ser feitos para uma distribuição de correntes volumétricas des-critas por j(r). O resultado é idêntico ao da Eq.(14), mas com m = 12∫Rr′ × j(r′) d3r′. A
demonstração desse resultado é pedida no prolema 12.
10. Considere uma espira de corrente de formato arbitrário, descrito pela curva C, por onde flui uma corrente estacionária i. Mostre que o momento de dipolo magnético dessa espira independe do ponto base escolhido para a expansão em multipolos (em geral escolhido na origem do sistema de eixos).
11. Considere uma espira quadrada cujas arestas têm comprimento L cada uma e por onde flui uma corrente estacionária i. Escolha os eixos cartesianos de modo que a espira esteja no planoOxy, com o seu centro na origem, e de tal modo que dois de seus lados sejam paralelos ao eixo Ox (e, por conseguinte, os outros dois são paralelos ao eixoOy
(a) Calcule o campo magnético da espira em um ponto P (0, 0, z) genérico do eixoOz. (b) Mostre que para|z| ≫ L o campo mangético em P (0, 0, z) é B(0, 0, z) ≈ 2πµ0|z|m3.
12. Considere uma distribuição estacionária e localizada de correntes descrita pelo vetor densidade de corrente elétrica j(r). O potencial vetor A(r) em um ponto genérico do espaço pode ser escrito na forma (calibre de Coulomb):
A(r) = µ0 4π ∫ R j(r′) |r − r′|d3r′, (15)
ondeR é a região (finita) do espaço na qual a corrente é não nula (note que a integração anterior pode ser estendida para todo o espaço, já que j(r′) é nula fora deR.
(a) Mostre que o primeiro termo não nulo da expansão em multipolos para A(r) é dado por
A(r) = µ0 4π m× r r3 , (16) onde m := 1 2 ∫ Rr ′× j(r′) d3r′ (17)
é o chamado momento de dipolo magnético da distribuição em consideração.
(b) Mostre que m não depende do ponto base da expansão em multipolos (escolhido na ori-gem), muito embora A(r) dependa desse ponto.
Sugestão:demonstre, inicialmente, a seguinte identidade: ∫ (f j·∇g + g j·∇f)d3r = 0,
onde f e g são funções arbitrárias, j(r) é diferente de zero apenas em uma região finita do espaço,∇ · j = 0 e a integração é feita em todo o espaço.
13. Solenóide finito.
O objetivo dessa questão é calcular o campo magnético no eixo de simetria de um solenóide de seção circular de raio R e comprimento finito L. Seja i a corrente estacionária que flui no solenóide. Por simplicidade, considere o solenóide como constituído pela superposição de espiras circulares e seja n o número de espiras por unidade de comprimento. Escolha os eixos cartesianos de modo que o eixo OZ coincida com o eixo de simetria do solenóide, com a origem localizada no centro geométrico do solenóide.
(a) Inicialmente, calcule o campo magnético em um ponto genérico do eixoOZ, P (0, 0, z), criado por uma espira circular de raio R, paralela ao plano OX Y e cujo centro está no ponto P′(0, 0, z′). Seja i a corrente estacionária ao longo da espira.
(b) Utilizando o resultado anterior, obtenha por integração direta o campo magnético em um ponto genérico do eixoOZ, P (0, 0, z), criado pelo solenóide descrito no enunciado. (c) Obtenha uma expressão aproximada para o campo magnético em um ponto P (0, 0, z)
14. Um disco de raio R, carregado uniformemente com densidade superficial de carga σ, gira em torno de seu eixo de simetria (escolhido como o eixo OZ) com velocidade angular constante igual a ω ˆz.
(a) Calcule o momento de dipolo magnético do disco girante.
(b) Calcule o campo magnético criado pelo disco girante em um ponto genérico P (0, 0, z) de seu eixo de simetria.
(c) Obtenha uma expressão aproximada para o campo magnético obtido no item anterior su-pondo que z2/R2 ≪ 1 e interprete o resultado à luz da resposta obtida no item (a).
15. Considere uma casca esférica de raio R e densidade superficial de cargas uniforme σ que gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro, escolhido como eixo Oz, com velocidade angular constante ⃗ω = ω ˆz.
(a) Calcule o momento de dipolo magnético dessa casca girante. A partir desse resultado, escreva a expressão da contribuição de dipolo para o campo magnético B(P ) criado por essa casca em um ponto P genérico do espaço exterior à casca.
(b) Calcule o campo magnético (exato) em um ponto P (0, 0, z) genérico do eixoOz externo à casca. Analisando o resultado encontrado, o que você espera para a expressão exato do campo magnético na região externa à casa?
Sugestão:utilize o resultado para o campo de uma espira circular em seu eixo de simetria e integre apropriadamente o resultado.
(c) Repita o item anterior mas considerando agora um ponto P (0, 0, z) genérico do eixo Oz interno à casca.
16. Considere uma esfera de raio R, uniformemente carregada com carga total Q, que gira com velocidade angular ⃗ω = ω ˆz, onde ω é uma constante positiva.
(a) Calculo o momento de dipolo magnético dessa esfera girante.
(b) O campo magnético criado por essa esfera possui alguma descontinuidade? (em caso afirmativo responda onde isso ocorre).
(c) Sabendo que o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R em relação a um eixo que passe pelo seu centro vale 25mR2, determine a constante de proporcionalidade
17. Média do campo magnético em uma região esférica
Considere o campo magnético criado por uma distribuição estacionária genérica de correntes. (a) Mostre que a média espacial em uma esfera de raio R do campo magnético criado pelas
correntes existentes dentro da esfera, quantidade que denotaremos por⟨Bd⟩, é dada por
⟨Bd⟩ =
µ0
4π 2m
R3 , (18)
onde m é o momento de dipolo magnético da esfera. A média espacial na esfera de um campo F é definida por
⟨F⟩ := 1
(4/3)πR3
∫
esf
F(r) d3r . (19)
Sugestão:use a lei de Biot-Savart,
B(r) = µ0 4π ∫ R j(r′)× (r − r′) |r − r′|3 d 3 r′. (20)
e troque a ordem das integrações, isto é, integre primeiro em r.
(b) Mostre que a média espacial na esfera de raio R do campo magnético criado pelas corren-tes existencorren-tes fora da esfera é dado pelo valor de B no centro C da esfera, isto é,
⟨Bf⟩ = Bf(C) , (21)
18. Considere duas espirasC1e C2, por onde fluem correntes estacionárias i1e i2, respectivamente.
Sejam F21 a força que a primeira exerce na segunda e F12 a força que a segunda exerce na
primeira. Mostre que essas forças satisfazem à 3alei de Newton, isto é, F
21=−F21.
19. A força sobre uma distribuição estacionária e localizada de correntes exercida por um campo magnético externo B é dada por F =∫Rj(r′)× B(r′) d3r′e, portanto,
Fi = ϵijk
∫
Rjj(r ′)B
k(r′) d3r′, (22)
onde estamos supondo soma imlícita nos índices repetidos. Considerando campos lentamente variáveis (espacialmente), determine o termo dominante na expressão de F.
Sugestão: substitua na expressão de Fi a expansão em série de Taylor em torno da origem
(supostamente bem escolhida), ou seja, escreva
Bk(r′) = Bk(0) + r′· ∇′Bk(r′)
r′=0 + ... (23)
A identidade escrita no problema 12 também será útil na solução desse problema. 20. Problema 5.43 do Griffiths (4aedição) adaptado
Considere um campo magnético B com simetria axial em torno do eixoOz do sistema de eixos cartesianos em uso. Desse modo, o campo B em um ponto arbitrário P (s, ϕ, z) só depende da distância s de P ao eixoOz, ou seja, B(r) = Bz(s)ˆz. Suponha que esse campo seja não nulo
apenas na região 0 ≤ s ≤ R. Seja S0 a superfície de um disco no planoOxy com centro na
origem. Mostre que se∫ B·ˆz dA = 0, qualquer partícula carregada que inicie o seu movimento
na origem com v0no planoOxy e se mova apenas sob a ação desse campo se conseguir escapar
