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Lista6-EletroI-2017-2

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a

LISTA - ELETROMAGNETISMO I

Instituto de Física - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-2

Problemas obrigatórios: 7, 9, 13, 15 e 17

Data de entrega: 21 de novembro de 2017

1. Suponha que uma partícula de massa m e carga positiva q se mova sob a ação unica exclusiva-mente de um campo eletrostático dado por E(r) = E0

( ˆ x−ˆy 2 ) . No instante t = 0 a partícula está na origem e tem velocidade v0 = v0

( ˆ x+ˆy 2 ) .

(a) Aplicando a segunda lei de Newton, encontre o movimento da partícula para t > 0, ou seja, obtenha as coordenadas x e y da posição da partícula para um instante genérico t > 0. (b) Faça um esboço da trajetória seguida pela partícula. Em seu desenho, indique por meio de

setas a velocidade inicial v0e o campo eletrostático na posição inicial da partícula.

Sugestão: faça uma mudança de variáveis de (x, y) para (x′, y′), onde os eixosO′x′ e

O′y têm sua origemO coincidente com a origem O e estão girados de π/4 radianos

no sentido anti-horário em relação aos eixos Ox e Oy. Mostre, então, que a equação cartesiana da trajetória é dada por y′ = qE0

2mv2 0

x′2.

2. Considere uma região do espaço onde haja um campo elétrostático uniforme E e um campo magnético uniforme B, orientado perpendicularmente ao campo E. Uma partícula de massa m e carga q se move nessa região e, em um dado instante, possui a velocidade v = E× B/B2. Despreze, nesta questão, o peso da partícula.

(a) Descreva o movimento da partícula a partir do instante considerado.

(b) Com o auxílio de setas, faça um desenho indicando a orientação relativa entre os campos

E e B e a velocidade v.

(c) Explique em poucas palavras como o resultado obtido no item (a) pode ser utilizado na construção de um filtro de velocidades.

3. Uma partícula de massa m e carga q se move sob a ação apenas de um campo magnético uniforme B. Escolha os eixos cartesianos de forma que B = Bˆz, onde B = |B|.

(a) Utilizando a Segunda Lei de Newton, mostre que

˙vx = ωcvy, (1)

˙vy = − ωcvx, (2)

˙vz = 0 , (3)

onde definimos ωc := qB/m. Observe que as equações anteriores formam um sistema

de equações diferenciais linerares, porém, acopladas entre si (pois para encontrarmos a função vx, por exemplo, precisamos do conhecimento da função vy).

(b) Encontre o movimento da partícula supondo que em t = 0 ela se encontre na posição

r0 = x0ˆx + y0y com a velocidade vˆ 0 = v0xˆx + v0yˆy.

(c) Mostre que a trajetória da partícula é circular e determine o seu raio e a posição de seu centro em termos das constantes x0, y0, v0x, v0y e ωc.

(2)

4. Considere, novamente, o problema anterior, mas, agora, resolva as equações para vx e vy

se-guindo um procedimento alternativo, que passamos a descrever. Defina a função complexa

ξ := vx+ i vy. Multiplique, então, a equação (2) por i e some a equação resultante com a

equa-ção (2), obtendo assim uma equaequa-ção de primeira ordem no tempo para a funequa-ção ξ. Utilizando as mesmas condições iniciais, reobtenha o resultado do problema anterior.

5. Nesta questão, você resolverá novamente o problema abordado nos dois últimos exercícios, mas obterá sua solução trabalhando diretamente com vetores, sem nunca fazer uso de componentes. Considere, então, uma partícula de massa m e carga q na presença unica e exclusivamente de um campo magnético uniforme B. Suponha que no instante inicial, t = 0, a posição e a velocidade da partícula sejam dadas por r0 e v0, respectivamente.

(a) Integre a equação de movimento e obtenha, para t > 0, a equação

v = ω× r + v0− ω × r0, (4)

onde definimos ω =−qB/m.

(b) Mostre, a partir da equação anterior, que

v = ω× (r − rc) , (5)

onde definimos rc:= r0+ ˆ

ω×v0

ωc , sendo ωc:=|ω|.

Sugestão:utilize a fórmula da expulsão, a× (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, e escreva v0

na equação (4) convenientemente como um duplo produto vetorial.

(c) A partir da equação (5), mostre que o movimento da partícula é circular e de centro em rc.

Determine o raio da trajetórica circular da partícula.

6. Uma partícula de massa m e carga q se move sob a ação de dois campos, um elétrico e outro magnético, ambos uniformes e denotados, respectivamente, por E e B. Tais campos são per-pendiculares entre si e, por conveniência, escolha os eixos cartesianos de forma que B = Bˆz e E = Eˆy, onde B =|B| e E = |E|.

(a) Utilizando a Segunda Lei de Newton, mostre que

˙vx = ωcvy, (6)

˙vy = − ωcvx+ α , (7)

˙vz = 0 , (8)

onde ωc = qB/m é a freqüência de cíclotron e definimos, por conveniência, α = qE/m.

(b) Encontre o movimento da partícula supondo que em t = 0 ela se encontre em repouso na origem.

(3)

7. Carga na presença de monopolo magnético

Considere o movimento de uma partícula de massa m e carga elétrica q que se move única e exclusivamente sob a ação do campo magnético de um monopolo magnético de intensidade

g que está fixo na origem do sistema de coordenadas em uso, ou seja, sob a ação do campo

B(r) = µ0g

r

r3.

(a) Explique, apenas com palavras, por que a energia cinética da partícula carregada é uma constante de movimento, mas o seu momento angular relativo à origem não é.

(b) Verifique, explicitamente, que J = r× mv − qgˆr é uma constante de movimento.

(c) Mostre que o movimento da partícula carregada se passa na superfície de um cone. Espe-cifique esse cone em termos das condições iniciais r0e v0.

(d) Embora o plano do movimento da partícula não se mantenha constante ao longo do movi-mento, mostre que a sua velocidade areolar permanece constante durante o movimento. (e) Suponha que, inicialmente, a partícula carregada se aproxime do monopolo de muito

longe. Mostre que a distância entre ela e o monopolo diminuirá monotonicamente até uma distância mínima e, a partir de daí, crescerá monotonicamente (sugestão: calcule

d2r2/dt2 e lembre-se de que r é a distância da partícula à origem).

8. Considere um dipolo magnético puntiforme m e uma espira circular de raio R por onde flui uma corrente estacionária i. Escolhemos os eixos cartesianos de tal modo que o dipolo se encontre na origem e m = |m| ˆz. Além disso, nesse sistema, o plano da espira é paralelo ao plano OX Y e seu centro está no ponto (0, 0, z), com z > 0, como ilustra a figura.

Y X Z

z

R

i

m

O campo de um dipolo magnético puntiforme situado na origem é dado por

B(r) = µ0 [ 3(m· ˆr)ˆr − m r3 ] , (9)

onde µ0 é uma constante positiva, denominada permeabilidade magnética do vácuo.

(a) Desenhando algumas linhas do campo B, usando a expressão da força sobre o fio e usando a simetria do problema, responda, sem fazer os cálculos, se a força sobre a espira é atrativa, repulsiva ou nula.

(b) Efetuando a integral F = iH dℓ× B, obtenha a força que o dipolo exerce sobre a espira.

(4)

9. Expansão em multipolos: momento de dipolo magnético

Considere uma espira de formato arbitrário descrito pela curva C pela qual flui uma corrente estacionária i. De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo magnetostático criado por essa espira em um ponto P genérico do espaço (exceto nos pontos da espira) localizado na posição

r é dado por B(r) = µ0i I C dr × (r − r) |r − r|3 (10)

(a) Considerando que o ponto P esteja bem distante da espira, isto é, que r ≫ rmax , mostre inicialmente que µ0i B(r) 1 r3 I C r× dr + 3 r3 (I C dr(ˆr· r) ) × ˆr, (11)

(b) Usando apropriadamente a identidade

I C dr(c· r) = (1 2 I C r× dr ) × c , (12)

sendo c um vetor constante, mostre que o segundo termo do lado direito da equação (11) pode ser escrito na forma (a fórmula (a× b) × c = (b · c)a − (a · c)b pode ser útil)

3 r3 (I C dr(ˆr· r) ) × ˆr = 3 r3 [( 1 2 I C r× dr ) · ˆr]ˆr 3 r3 ( 1 2 I C r× dr ) . (13)

(c) Substituindo (13) em (11), e definindo m = 2i Hcr× dr′, mostre, finalmente, que

B(r) µ0 [ 3(m· ˆr)ˆr − m r3 ] . (14)

A quantidade m é chamada momento de dipolo magnético da distribuição e a expressão anterior dá o primeiro termo da expansão em multipolos para o campo magnétostático da espira. No caso de um dipolo magnético puntiforme, a expressão anterior se torna exata. Compare essa expressão com a do campo eletrostático de um dipolo elétrico puntiforme de momento de dipolo p. Verifique que as duas expressões são totalmente análogas, bastando fazer as trocas p←→ m e 4πϵ01 ←→ µ0

para que uma expressão seja mapeada na outra.

(d) Suponha que essa espira seja plana. Mostre que, nesse caso, o momento de dipolo mag-nético da espira pode ser escrito como m = iAˆn, onde A é a área da espira e ˆn o vetor

unitário normal à espira orientado de maneira usual.

Obs: cálculos análogos podem ser feitos para uma distribuição de correntes volumétricas des-critas por j(r). O resultado é idêntico ao da Eq.(14), mas com m = 12Rr × j(r′) d3r. A

demonstração desse resultado é pedida no prolema 12.

10. Considere uma espira de corrente de formato arbitrário, descrito pela curva C, por onde flui uma corrente estacionária i. Mostre que o momento de dipolo magnético dessa espira independe do ponto base escolhido para a expansão em multipolos (em geral escolhido na origem do sistema de eixos).

(5)

11. Considere uma espira quadrada cujas arestas têm comprimento L cada uma e por onde flui uma corrente estacionária i. Escolha os eixos cartesianos de modo que a espira esteja no planoOxy, com o seu centro na origem, e de tal modo que dois de seus lados sejam paralelos ao eixo Ox (e, por conseguinte, os outros dois são paralelos ao eixoOy

(a) Calcule o campo magnético da espira em um ponto P (0, 0, z) genérico do eixoOz. (b) Mostre que para|z| ≫ L o campo mangético em P (0, 0, z) é B(0, 0, z) ≈ µ0|z|m3.

12. Considere uma distribuição estacionária e localizada de correntes descrita pelo vetor densidade de corrente elétrica j(r). O potencial vetor A(r) em um ponto genérico do espaço pode ser escrito na forma (calibre de Coulomb):

A(r) = µ0 R j(r) |r − r|d3r′, (15)

ondeR é a região (finita) do espaço na qual a corrente é não nula (note que a integração anterior pode ser estendida para todo o espaço, já que j(r) é nula fora deR.

(a) Mostre que o primeiro termo não nulo da expansão em multipolos para A(r) é dado por

A(r) = µ0 m× r r3 , (16) onde m := 1 2 ∫ Rr × j(r) d3r (17)

é o chamado momento de dipolo magnético da distribuição em consideração.

(b) Mostre que m não depende do ponto base da expansão em multipolos (escolhido na ori-gem), muito embora A(r) dependa desse ponto.

Sugestão:demonstre, inicialmente, a seguinte identidade: ∫ (f j·∇g + g j·∇f)d3r = 0,

onde f e g são funções arbitrárias, j(r) é diferente de zero apenas em uma região finita do espaço,∇ · j = 0 e a integração é feita em todo o espaço.

13. Solenóide finito.

O objetivo dessa questão é calcular o campo magnético no eixo de simetria de um solenóide de seção circular de raio R e comprimento finito L. Seja i a corrente estacionária que flui no solenóide. Por simplicidade, considere o solenóide como constituído pela superposição de espiras circulares e seja n o número de espiras por unidade de comprimento. Escolha os eixos cartesianos de modo que o eixo OZ coincida com o eixo de simetria do solenóide, com a origem localizada no centro geométrico do solenóide.

(a) Inicialmente, calcule o campo magnético em um ponto genérico do eixoOZ, P (0, 0, z), criado por uma espira circular de raio R, paralela ao plano OX Y e cujo centro está no ponto P′(0, 0, z′). Seja i a corrente estacionária ao longo da espira.

(b) Utilizando o resultado anterior, obtenha por integração direta o campo magnético em um ponto genérico do eixoOZ, P (0, 0, z), criado pelo solenóide descrito no enunciado. (c) Obtenha uma expressão aproximada para o campo magnético em um ponto P (0, 0, z)

(6)

14. Um disco de raio R, carregado uniformemente com densidade superficial de carga σ, gira em torno de seu eixo de simetria (escolhido como o eixo OZ) com velocidade angular constante igual a ω ˆz.

(a) Calcule o momento de dipolo magnético do disco girante.

(b) Calcule o campo magnético criado pelo disco girante em um ponto genérico P (0, 0, z) de seu eixo de simetria.

(c) Obtenha uma expressão aproximada para o campo magnético obtido no item anterior su-pondo que z2/R2 ≪ 1 e interprete o resultado à luz da resposta obtida no item (a).

15. Considere uma casca esférica de raio R e densidade superficial de cargas uniforme σ que gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro, escolhido como eixo Oz, com velocidade angular constante ⃗ω = ω ˆz.

(a) Calcule o momento de dipolo magnético dessa casca girante. A partir desse resultado, escreva a expressão da contribuição de dipolo para o campo magnético B(P ) criado por essa casca em um ponto P genérico do espaço exterior à casca.

(b) Calcule o campo magnético (exato) em um ponto P (0, 0, z) genérico do eixoOz externo à casca. Analisando o resultado encontrado, o que você espera para a expressão exato do campo magnético na região externa à casa?

Sugestão:utilize o resultado para o campo de uma espira circular em seu eixo de simetria e integre apropriadamente o resultado.

(c) Repita o item anterior mas considerando agora um ponto P (0, 0, z) genérico do eixo Oz interno à casca.

16. Considere uma esfera de raio R, uniformemente carregada com carga total Q, que gira com velocidade angular ⃗ω = ω ˆz, onde ω é uma constante positiva.

(a) Calculo o momento de dipolo magnético dessa esfera girante.

(b) O campo magnético criado por essa esfera possui alguma descontinuidade? (em caso afirmativo responda onde isso ocorre).

(c) Sabendo que o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R em relação a um eixo que passe pelo seu centro vale 25mR2, determine a constante de proporcionalidade

(7)

17. Média do campo magnético em uma região esférica

Considere o campo magnético criado por uma distribuição estacionária genérica de correntes. (a) Mostre que a média espacial em uma esfera de raio R do campo magnético criado pelas

correntes existentes dentro da esfera, quantidade que denotaremos por⟨Bd⟩, é dada por

⟨Bd⟩ =

µ0

2m

R3 , (18)

onde m é o momento de dipolo magnético da esfera. A média espacial na esfera de um campo F é definida por

⟨F⟩ := 1

(4/3)πR3

esf

F(r) d3r . (19)

Sugestão:use a lei de Biot-Savart,

B(r) = µ0 R j(r)× (r − r) |r − r|3 d 3 r′. (20)

e troque a ordem das integrações, isto é, integre primeiro em r.

(b) Mostre que a média espacial na esfera de raio R do campo magnético criado pelas corren-tes existencorren-tes fora da esfera é dado pelo valor de B no centro C da esfera, isto é,

⟨Bf⟩ = Bf(C) , (21)

18. Considere duas espirasC1e C2, por onde fluem correntes estacionárias i1e i2, respectivamente.

Sejam F21 a força que a primeira exerce na segunda e F12 a força que a segunda exerce na

primeira. Mostre que essas forças satisfazem à 3alei de Newton, isto é, F

21=−F21.

19. A força sobre uma distribuição estacionária e localizada de correntes exercida por um campo magnético externo B é dada por F =Rj(r)× B(r′) d3re, portanto,

Fi = ϵijk

Rjj(r )B

k(r′) d3r′, (22)

onde estamos supondo soma imlícita nos índices repetidos. Considerando campos lentamente variáveis (espacialmente), determine o termo dominante na expressão de F.

Sugestão: substitua na expressão de Fi a expansão em série de Taylor em torno da origem

(supostamente bem escolhida), ou seja, escreva

Bk(r′) = Bk(0) + r′· ∇′Bk(r)

r=0 + ... (23)

A identidade escrita no problema 12 também será útil na solução desse problema. 20. Problema 5.43 do Griffiths (4aedição) adaptado

Considere um campo magnético B com simetria axial em torno do eixoOz do sistema de eixos cartesianos em uso. Desse modo, o campo B em um ponto arbitrário P (s, ϕ, z) só depende da distância s de P ao eixoOz, ou seja, B(r) = Bz(s)ˆz. Suponha que esse campo seja não nulo

apenas na região 0 ≤ s ≤ R. Seja S0 a superfície de um disco no planoOxy com centro na

origem. Mostre que se∫ B·ˆz dA = 0, qualquer partícula carregada que inicie o seu movimento

na origem com v0no planoOxy e se mova apenas sob a ação desse campo se conseguir escapar

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