Cap 06 - SL - Atualizado

Cap´ıtulo

6

Transmissão de Sinais através de

Redes Lineares

Comodis utidonos apítulosanteriores,trabalharemos omaSériedeF ou-riereTransformadasdeFourier

1 .

6.1 Sistemas

Segundo Lathi [1℄, os sistemas podem ser lassi ados generi amente nas seguintes ategorias:

1. Sistemaslinearesenãolineares;

2. Sistemas omparâmetros onstantesou omparâmetrosvariandonotempo;

3. Sistemasinstantâneos(semmemória)oudinâmi os( ommemória);

4. Sistemas ausaisounão ausais;

5. Sistemas ontínuosoudis retosnotempo;

6. Sistemasanalógi osedigitais;

7. Sistemasinversíveisounãoinversíveis;

8. Sistemasestáveisouinstáveis. 1

Osexemplosreferen iados aolongodestetexto,os quaissãoapresentadosaseguir,são exemplosdoslivros:i.OPPENHEIM,A.,WILLSKYA.,Signal&Systems,2ndEd., Prenti e-Hall,1996[3℄,ii. LATHI,B.P.,SinaiseSistemasLineares,2nd Ed.,Bookman,2004[1℄e iii. OLIVEIRA,H.M.,FundamentosdaEngenhariadeTele omuni ações,Departamentode

Outras lassi ações, tais omo sistemas determinísti os e probabilísti os, estãoalémdoes opodestadis iplina.

As redes Lineares são aquelas ara terizadas por uma resposta (saída) a uma ombinaçãolineardeex itações(entradas)éiguala ombinaçãolineardas respostasde adaex itação atuandoseparadamente,portanto,se

x

1

(t)

−→

S.L.

y

1

(t)

e

x

2

(t)

S.L.

−→

y

2

(t),

emque

x

i

éaex itação(entrada)e

y

i

éaresposta(saída),então,paratodo

x

1

e

x

2

,

αx

1

(t) + βx

2

(t)

−→

S.L.

αy

1

(t) + βy

2

(t).

Os sistemas invariantes no tempo, também onhe idos om sistemas om parâmetros onstantes,apresentamadi ionalmenteapropriedadede esta iona-lidade,ouseja,

x(t)

−→

S.L.

y(t),

emque

x

i

éaex itação(entrada)e

y

i

éaresposta(saída),então,

x(t − τ)

−→

S.L.

y(t − τ).

Exemplo6.24

Exemplosdesistemaslineares omparâmetros onstantes,sãosistemasregidospor equa-ções diferen ias lineares om oe ientes onstantes, assim, o ltro

RC

, mostrado na Fi-gura8.20,éumsistemalinearinvariante,poisossinaisdeentradaesaídaobede emaequação diferen iallinear

d

dt

y(t) +

1

RC

y(t) =

1

RC

x(t)

Figura6.1: Filtro

RC

integradorsimples.

⋄

6.1.1 Resposta de um Sistema Linear

Toda a abordagem realizada será fo ada em sistemas SISO (single-input, single-out-put),ouseja,úni aentrada,úni asaída.

Asaídadeumsistemapara

t ≥ 0

éoresultadodeduas ausasindependentes: a ondiçãoini ial do sistema (ouoestadodo sistema) para

t = 0

eaentrada

x(t)

para

t ≥ 0

. Se um sistema é linear, a saída deve ser a soma das suas omponentesresultantesdestaduas ausas. Parao ir uito

RC

daFigura8.20, aresposta

y(t)

édeterminada omosendo

y(t) =

v

C

(0)

| {z }

omponenteentradanula

+ Rx(t) +

1

C

Z

t

0

x(τ )dτ

|

{z

}

omponenteestadonulo

.

Fazendo

x(t) = 0

, a laroqueasaídaserá

y(t) = v

C

(0)

,logo,denimos

v

C

(0)

omosendoa omponentedeentradanuladaresposta

y(t)

.

SegundoLathi[1℄,quasetodosossistemasobservadosnapráti asetornam nãolinearesquandosinaisgrandesosu ientesãoapli adosaeles. Entretanto, épossívelaproximaramaioriadossinaisnãolinearesporsistemaslinearespara análisedepequenossinais.

Devido apropriedade dosSistemas Lineares, de omposição, podemos des- reverumaentradaqualquer

x(t)

pelasomadefunçõesmaissimples,daforma

x(t) = a

1

x

1

(t) + a

2

x

2

(t) + · · · + a

m

x

m

(t),

então,pela linearidade,aresposta

y(t)

édadapor

y(t) = a

1

y

1

(t) + a

2

y

2

(t) + · · · + a

m

y

m

(t),

emque

y

k

(t)

éarespostadeestadonuloaentrada

x

k

(t)

.

Por exemplo, onsidereuma entradaarbitrária

x(t)

, omo mostradana Fi-gura6.2,emqueaproximamos

x(t)

pelasomadepulsosretangularesdelargura

∆t

ealturas variáveis. Quando fazemos

∆t → 0

, aaproximaçãoé melhorada, ou seja, quando os pulsos retangulares se tornam impulsos,

δ

. Dessa forma, uma entrada arbitráriapodesersubstituídapela somaponderadadeimpulsos unitários. Portando,sesoubermosarespostadosistemaaumimpulsounitário,

h(t)

, podemos determinaimediatamente arespostado sistemaa umaentrada qualquer

x(t)

através da soma das respostas do sistema a ada omponente impulsode

x(t)

.

Figura6.2: Representaçãodesinaisemtermosde omponentes dedegrau.

Utilizandoapropriedadedasuperposiçãoparadeterminararespostaso sis-temaaumaentradaarbitrária

x(t)

,ini ialmentedenimosumpulsoretangular

p(t)

dealturaunitáriaelargura

∆τ

,similaraFigura6.2. Logo,

x(t)

éasomade pulsosretangularesestreitos,assimumpulsoem

t = n∆t

possuialtura

x(n∆t)

, epodeserexpressopor

x(n∆t)p(t − n∆t)

,assim

x(t) = lim

∆t→0

X

n

x(n∆t)p(t − n∆t)

= lim

∆t→0

X

n

 x(n∆t)

∆t



p(t − n∆t)∆t

Quando

∆t → 0

, a altura desta faixa

x(n∆t)

∆t

tende a

∞

, ontudo sua área permane e

x(n∆t)

, logo,estafaixa seaproximadoimpulso

x(n∆t)δ(t − n∆t)

para

∆t → 0

. Portanto,

x(t) = lim

∆t→0

X

n

x(n∆t)δ(t − n∆t)∆t.

Paradeterminararespostaparaesseimpulso

x(t)

, iremos onsideraraentrada eosparesdesaída orrespondentes[1℄,logo:

entrada

=⇒

saída

δ(t) =⇒ h(t)

δ(t − n∆τ) =⇒ h(t − n∆τ)

[x(n∆τ )∆τ ] δ(t − n∆τ) =⇒ [x(n∆τ)∆τ] h(t − n∆τ)

lim

∆τ →0

X

n

[x(n∆τ )∆τ ] δ(t − n∆τ)

|

{z

}

x(t)

=⇒ lim

∆τ →0

X

n

[x(n∆τ )∆τ ] h(t − n∆τ)

|

{z

}

y(t)

.

Portanto,

y(t) = lim

∆t→0

X

n

x(n∆t)h(t − n∆t)∆t;

=

Z

∞

−∞

x(τ )h(t − τ)dτ.

Observe a resposta do sistema

y(t)

a uma entrada arbitrária

x(t)

em termos daresposta

h(t)

doimpulsounitário. Conhe endo

h(t)

podemosdeterminara resposta

y(t)

aqualquerentrada.

6.2 Integral de Convolução

Aintegralde onvolução,produtode onvoluçãoousimplesmente onvolução édenida omo

x

1

(t) ∗ x

2

(t) =

Z

∞

−∞

x

1

(τ )x

2

(t − τ)dτ,

(6.1)

eéumaoperaçãolargamenteutilizadanaanálisedesinais.

6.2.1 Propriedade da Integral de Convolução

•

Comutati a:

x

1

(t) ∗ x

2

(t) = x

2

(t) ∗ x

1

(t)

;

•

Distributiva:

x

1

(t) ∗ [x

2

(t) + x

3

(t)] = x

1

(t) ∗ x

2

(t) + x

1

(t) ∗ x

3

(t)

;

•

Asso iativa:

x

1

(t) ∗ [x

2

(t) ∗ x

3

(t)] = [x

1

(t) ∗ x

2

(t)] ∗ x

3

(t)

;

•

Deslo amento: Se

x

1

(t) ∗ x

2

(t) = c(t)

,então

x

1

(t) ∗ x

2

(t − T ) = x

1

(t − T ) ∗

x

2

(t) = c(t − T )

,e

x

1

(t − T

1

) ∗ x

2

(t − T

2

) = c(t − T

1

− T

2

)

; Exemplo6.25

Cal ule a onvolução de

x(t) = tu(t)

om

h(t) = u(t)

, ilustrado na Figura 6.3(a) e Figura 6.3(b). Solução: Paraavaliaraintegralde onvolução, geralmente utiliza-seo pro- edimentográ oparaauxiliarnadeterminaçãodosintervalosdeintegração,verFigura6.3. Assim,sabe-seque:

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

Z

∞

−∞

x(τ )h(t − τ )dτ,

omo

x(t) = tu(t)

e

h(t) = u(t)

,tem-se

x(τ ) = τ u(τ )

e

h(t − τ ) = u(t − τ );

verFigura6.3(a)eFigura6.3(d).Como

u(τ ) = 1

e

u(t − τ ) = 1

,logo,

y(t) =

Z

t

0

τ dτ ;

=

t

2

2

.

Observequepeladeniçãodossinais,

y(t) = 0

quando

t < 0

,assim,

y(t) =

t

2

2

u(t).

⋄

Exemplo6.26 Cal ulea onvoluçãode

h(t) = e

−

2t

_u(t)

omumaentrada

x(t) = e

−

t

_u(t)

,ilustradona Figura6.4.Solução: Sabe-seque:

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

Z

∞

−∞

Figura6.3: Convoluçãode

x(t) = tu(t)

om

h(t) = u(t)

. omo

x(t) = e

−

u(t)

e

h(t) = e

−

2t

_u(t)

,tem-se

x(τ ) = e

−

τ

_{u(τ )}

e

h(t − τ ) = e

−

2(t−τ )

_{u(t − τ ).}

Como

u(τ ) = 1

e

u(t − τ ) = 1

,logo,

y(t) =

Z

t

0

e

−

τ

_e

−

2(t−τ )

_{dτ ;}

= e

−

2t

Z

t

0

e

−

τ

_e

2τ

_{dτ ;}

= e

−

_2t

Z

t

0

e

τ

_{dτ ;}

= e

−

2t

_(e

t

_{− 1) = e}

−

t

_{− e}

−

2t

_.

Observequepeladeniçãodossinais,

y(t) = 0

quando

t < 0

,assim,

y(t) = e

−

t

_{− e}

−

2t

_u(t).

⋄

Exemplo6.27

Cal ulea onvolução deduasportas

Π

t

τ

e

Π

t

τ

,ilustradonaFigura 6.5. Solução: Paraavaliaraintegralde onvolução,utilizeopro edimentográ oparaauxiliarna determi-naçãodosintervalosdeintegração,verFigura6.5. Assim,sabe-seque:

y(t) = Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



=

Z

∞

−∞

Π

 t

′

τ



Π



t −

t

′

τ



dt

′

,

tem-se

Π

 t

′

τ



e

Π



t −

t

′

τ



;

Figura6.4: Convoluçãode

x(t) = e

−t

_u(t)

om

h(t) = e

−2t

_u(t)

.

verFigura6.5(d),logo,

y(t) = Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



=



































0,

t +

τ

₂

< −

τ

₂

Z

t+τ /2

−

τ /2

dt

′

= t + τ,

−

τ

2

≤ t +

τ

2

≤

τ

2

Z

τ /2

t−τ /2

dt

′

= t − τ,

−

τ

₂

≤ t −

τ

₂

≤

τ

₂

0,

t −

τ

2

>

τ

2

.

Ouseja,

Figura6.5: Convoluçãodeduasportas

x(t) =

Q(

t

τ

)

e

h(t) =

Q(

t

τ

)

.

τ Λ

 t

τ



= Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



,

verFigura6.6.

⋄

Figura6.6: Convoluçãodeduasportas.

Observações:

•

Convolução omum Impulso:A onvoluçãodeumfunção omo im-pulsounitárioresultanaprópriafunção

x(t)

. Paraobservartalarma ão, onsidereadeniçãode onvoluçãodaEquação(6.1),

x(t) ∗ δ(t) =

Z

∞

−∞

x(τ )δ(t − τ)dτ,

omo

δ(t − τ)

éumimpulsolo alizadoem

t = τ

, ontudo,pelaintegração, ovalorde

τ

variade

−∞

a

+∞

,assim,peladeniçãodeimpulso,obtemos opróprio

x(t)

,portanto,

x(t) ∗ δ(t) = x(t).

6.3 Cara terísti as de Redes Lineares

Utilizandoosresultadosobtidos,observa-seque

f (t) = f (t) ∗ δ(t)

,deforma queumsinal

f (t)

arbitrárioéreproduzidoquando onvoluido omumimpulso unitário,i.e.,

f (t) =

Z

∞

−∞

f (τ )δ(t − τ)dτ.

Admitindo o onhe imento a resposta a um impulso apli ado no instante

τ

, denotadapor

h(t; τ )

eapli andooprin ípiodasuperposição,arespostaobtida nasaídadoltroquandoaex itação é

f (t)

,é:

r(t) = lim

∆τ →0

X

n

[f (n∆τ )∆τ ] h(t; n∆τ ) =

Z

∞

−∞

f (τ )h(t; τ )dτ.

No asode sistemasinvariantes notempo,arespostaao impulsoé esta io-nária,demodoqueveri a-se

h(t; τ ) = h(t − τ)

, omo indi adonaFigura??. Neste aso,arespostaé

r(t) =

Z

∞

Figura6.7: Respostaaoimpulsounitário.

obtida onvoluindo-searespostaaoimpulsounitário omex itação. Assim,um sistemalinearpodeser ara terizadosimplesmentee ompletamenteatravésda suafunçãodeponderação

h(t)

[2℄.

Figura6.8: Respostaaoimpulso-Sistemainvariantenotempo.

É possível trabalhar no domínio da frequên ia, analisando o espe tro dos sinais envolvidos. ATransformadade Fourierdarespostaaoimpulsounitário

h(t)

é onhe ia omo funçãodeTransferên iadosistema,

H(ω) ≡ F {h(t)}

. O espe trodosinaldesaída é:

r(t) = f (t) ∗ h(t)

←→ R(ω) = F (ω)H(ω).

T F

Figura6.9: Cara terizaçãodeumltrolinear.

Comoosistemamodi aoespe trodosinal deentrada,dandotratamento desigual às várias frequên ias (normalmente atenuando uma dada faixa om relação à outra), pode ser interpretado omo um pro esso de ltragem de tre hosdoespe tro. Apli andoumimpulsounitário omoex itaçãoésu iente paraobter-setodaainformaçãopara ara terizaroltrolinear.

Exemplo6.28[2℄

Parao ir uito

RC

des rito anteriormente, afunção detransferên ia podeseravaliada fa ilmente,usandoumdivisordetensão(verFigura8.20):

H(ω) =

R(ω)

F (ω)

=

1/jωC

R + 1/jωC

=

1

1 + jωRC

Arespostaaoimpulsounitáriodosistemaéobtidasimplesmenteanti-transformandoafunção detransferên ia,daforma

h(t) =

1

RC

e

−

t/RC

_u(t)

Figura6.10: Filtro

RC

integradorsimples.

Paraoanálisedo omportamentodafunçãodetransferên ia(quepossivelmenteé om-plexa)usa-se

|H(ω)|

e

∠H(ω)

,amagnitudeeafaseda funçãodetransferên iadosistema. Parao ir uito

RC

,

|H(ω)| =

1

p1 + (ωRC)

2

e

∠H(ω) = − tan

−

1

_(ωRC)

Figura6.11: FunçãoTransferên iadeumltro

RC

.

Aatenuaçãodo ltronormalmenteéexpressaemde ibéis

20 log

10

|H(ω)|

. Para arede

RC

a imades rita,tem-se:

log |H(ω)| −

1

2

log

10

1 + (ωRC)

2



O omportamentoassintóti opodeseravaliadofa ilmente omsegue:



|H(ω)|

dB

≈ 0

ω ≪ 1/RC

|H(ω)|

dB

≈ −20 log

10

ω

1/RC

ω ≫ 1/RC

Aresposta desteltro a umpulsoretangular delargura

τ

éesboçado na Figura para

τ ≫ RC

e

τ ≪ RC

,respe tivamente.O omportamentodaredemudaemtornodafrequên ia

Figura6.12: DiagramadeBodeparao ir uito

RC

.

Figura6.13: Respostadeum ir uito

RC

aumpulsoretangulardelargura

τ

.

6.4 Transmissão Sem Distorção [2℄

Atransmissãodeumsinalatravésdeumsistemalinearpodeintroduzir seve-rasdistorçõesnosinais. Algumasredesdistor emmaisqueoutras,ne essita-se umamaneirade ompara-las. Ainformaçãotransportadapelosinalestá essen- ialmente na forma de onda, não importando ganhos/atenuaçãoe/ou atrasos queo orramnatransmissão[1℄.

Umsistemade omuni açãodeve,idealmente,transmitirsinaissem alterar sua forma de onda. A transmissão de um sinal pelo sistema de omuni ação é onsiderada sem distorção se a resposta do sistema a um sinal de entrada é uma répli a perfeita desse sinal - multipli ada por um fator onstante

k

e deslo ada no tempode

t

0

, mas om forma de onda inalterada. Se o sinal de saída

r(t)

é uma reprodução exata da ex itação

f (t)

, a resposta deve ser da forma

r(t) = kf (t − t

0

)

, omoilustradonaFigura6.14

Umsistema qualquerque nãointroduz distorção,ne essariamentedeve ser linear. Esta éuma dasrazõesdaimportân ia dossistemas lineares. A função detransferên iane essáriaparaqueosistemanãointroduzadistorçãopodeser en ontradafa ilmente observando-seosparesdetransformadas,

f (t)

←→ F (ω)

T F

r(t) = kf (t − t

0

)

T F

Figura6.14: Transmissãosemdistorçãoemredes lineares.

Lembrando da relação entre os dois espe tros, dada por

R(ω) = H(ω)F (ω)

, on lui-se,

H(ω) = ke

−jωt

0

_.

Observandoo omportamento da onstante

k

eda fase dafunção transfe-rên ia

H(ω)

omplexa,referente,porexemplo,aum abo, anal,ampli ador, irtuito,et ., tem-se:



|H(ω)| = k

|Θ(ω)| = −ωt

0

para

−∞ < ω < +∞

, ujos omportamentos en ontram-se esboçados na Fi-gura6.15.

Figura6.15: FunçãoTransferên iapara umatransmissãosemdistorção.

Osprin ipaistiposdedistorçãosãoosseguintes:

a. Distorçãolinear(Amplitudeefase);

b. Distorção ausadapornãolinearidadesdo anal;

. Distorção ausadaporefeitosdemultiper urso;

d. Desvane imento(Fading).

Emtermospráti os,deve-sepro urarmanteromódulodafunçãode trans-ferên ia prati amente onstantedentro da faixadefrequên ia deinteresse, ou seja,todosos oe ientesdeFourierdevemseratenuadosouampli adosdeum mesmovalor. Simultaneamentepro ura-semanterafasepropor ionalà

frequên-ltrodaFigura6.15,podendotransmitirsinais ujoespe troestá on entrado na faixa

|ω| ≤ ω

c

(ou

|ω − ω

0

| ≤ ω

c

) prati amente sem introduzir distorção, Figura6.16.

Figura 6.16: FunçãoTransferên ia omfrequên iade orte

ω

c

.

A frequên ia

ω

c

é hamada defrequên iade orte de redeea faixade

0

até

f

c

Hz(naqualprati amentenãohádistorçãonosinalapli ado)temlargura

B = f

c

Hzeéreferida omoBandaPassante doFiltro.

De modo geral, a largura de faixa na qual os sinais não são severamente distor idos é referida omo Banda Passante. Dessa forma, faz-se ne essário denir ritérios para determinar a frequên ia de orte e onsequentemente a bandapassantedoltro. Um ritériobastanteutilizado onsisteem onsiderar afrequên iade orte

w

c

orrespondendoàfrequên iaemqueháumaatenuação de3dB(BandaPassantedeMeiaPotên ia),Figura6.17.

Figura6.17:FunçãoTransferên ia omBandaPassantedeMeiaPotên ia(3dB).

Vário ritériosparaavaliarabandapassantesãousados,asaber:

•

BandaPassante deMeiaPotên ia(3dB);

•

BandaPassante Equivalente Retangular;

•

BandaPassante EntreZeros(Null-To-Null);

•

BandaPassante deConteúdoFra ionaldePotên ia(

90

% e

99

%). Equalização [2℄

fun-Equalização. Essasredes  orrigem asdistorçõesnumadadafunçãode trans-ferên ia.

Considerandoqueosinalétransmitidosobreum anal omdistorção

H

C

(ω)

, umltrolinear

H

EQ

(ω)

podeser olo adoem as atadeformaaelininar ( on-trolar) a distorção, da forma

H

C

(ω)H

EQ

(ω) = K

1

e

jωt

1

, em que

K

1

e

t

1

são onstantesmaisoumenosarbitrários.

Figura6.18: Projeto deRedesdeEqualização.

Quase sempre não é possível obter equalização perfeita, porém frequente-mente são possíveis ex elentes aproximações práti as, de modo a reduzir as distorçõespresentesaníveistoleráveis.

Umequalizadorbastanteutilizadoéoltrotransversal,dispositivoesse ons-tituídopor umalinhade retardo omderivações,asquaissofremganhos ajus-táveis para gerar a saída. Esses foram osprimeiros ltros digitais(F.I.R). Eles onstituem umdosmodelosmaisfreqüentesparaltroslinearesvariantes no tempo simplesmente introduzindo oe ientes i
s dependentes do tempo. Estapossibilidadedoajustedinâmi odos oe ientesfoiintroduzidaporC.E. Shannonem1950. Em1964,foiusadaporR.W.Lu kynoprimeiroequalizador automáti opara orreçãodadispersãodepulsos.

Um exemplo de um ltro transversal om três derivaçõesé apresentado a seguir, em que

c

−

1

,

c

0

e

c

+1

são os ganhos ajustáveis e

∆ = T

s

é o atraso introduzidoem adaestágio.

Figura6.19: FiltroTransversal om3Derivações.

transferên iaimplementadapeloltroé

H

EQ

(ω) = c

+1

e

jω∆

+ c

0

+ c

−1

e

−jω∆

e

−jω∆

.

Dependendodosganhosadotadosnasderivações,épossívelequalizar ondu-laçõesnaamplitude, nafaseou emambas omponentes dafunção de transfe-rên ia. Outrostipos dedistorçãopodemevidentementeser ontrolados. Existe umaenormequantidadedeté ni asdeequalização,in luindo: equalizaçãozero for ing,equalização ega,equalizaçãoadaptativa,equalizaçãofra ionada

3T /4

. Exemplo6.29Considerando-seum anal ujafunçãodetransferên iaapresentaondulações naamplitude,istoé,

H

c

(w) = k (1 + α cos wT ) e

−

jwt

0

_{, α ≪ 1;}

entãooltroequalizadordeveapresentarfunçãodetransferên ia

H

EQ

(w)

dadapor:

H

EQ

(w) =

k

1

e

−

jwt

1

H

c

(w)

=

k

1

e

−

jwt

1

k (1 + α cos wT ) e

−

jwt

0

=

k

1

/k

(1 + α cos wT )

e

−

_jw(t

1

−

_t

0

)

_.

Tomando-seosdoisprimeirostermosdaaproximaçãoemsériedeTaylor:

(1 + α cos wT )

−

1

_{≈ 1 − α cos wT = 1 −}

α

2

e

jwT

₋

α

2

e

−

jwT

_;

assim,umaaproximaçãopráti aparaoltroequalizadoréexpressapor

H

EQ

(w) =

k

1

k

h

1 −

α

2

e

jwT

₋

α

2

e

−

jwT

i

e

−

jw(t

1

−

t

0

)

=

k

1

k

h

−

α

2

e

jwT

_{+ 1 −}

α

2

e

−

_jwT

i

e

−

_jw(t

1

−

_t

0

)

.

Es olhendo

k

1

= k

e

t

1

− t

0

= T ⇒ t

1

= t

0

+ T

,obtém-seumajustede oe ientes orres-pondendo a: a.

c

−

1

= c

1

= −α/2

;

c

0

= 1

e

∆ = T

,para equalizaradistorção do anal.

⋄

6.5 Filtros Lineares Passivos [2℄

Em diversas apli ações, é interessante mudar as amplitudes relativas dos omponentes em frequên ia de um sinal ou talvez eliminar por ompleto al-guns omponentes emfrequên ia,tal pro essoé onhe ido omoltragem. Os sistemas lineares invariantes no tempo, que mudam aforma do espe tro, são onhe idos omoltros onformadoresdefrequên ia. Ossistemasquesão pro-jetados para deixarpassaralgumas frequên iasessen ialmente não distor idas equeatenuamsigni ativamenteoueliminamoutrassão hamadosltros sele-tivosemfrequên ia.

Em muitas apli ações, a ltragem seletiva em frequên ia é realizada om ousodesistemas LinearesInvariantesnoTempo(LIT)des ritosporequações

talsãomuitos,asaber,muitossistemasfísi osquepodemserinterpretados omo realizandooperaçõesde ltragem são ara terizados porequações diferen iais oudediferença.

Filtros Linearespodem serimplementados apenas omelementos passivos, tais omo apa itores,resistoreseindutores. Autilizaçãoadi ionaldeelementos ati vospermitema onstruçãodeltrosativos.

Existembasi amentequatrotiposdeltrosdeinteresse(verFigura6.20),a saber:

•

FiltrosPassa-baixa(LPF):Funçãotransferên ia:

H(ω) = kΠ

 ω

2ω

B



e

−jωt

0

.

•

FiltrosPassa-alta(HPF):

H(ω) = k



1 − Π

 ω

_2ω

B



e

−jωt

0

_.

•

FiltrosPassa-faixa(BPF):

H(ω) = k



Π

 ω − ω

0

2ω

B



e

−jω

0

t

0

_{+ Π}

 ω + ω

0

2ω

B



e

−jω

0

t

0



e

−jωt

0

_.

•

FiltrosRejeita-faixa(BSF):

H(ω) = k



1 − Π

 ω − ω

_2ω

0

B



+ Π

 ω + ω

0

2ω

B



e

−jωt

0

.

Osdoisltrosmaissimplesdeinteressesãoosintegradores(LPF),

H(ω) =

1/jω

,eosderivadores(HPF),

H(ω) = jω

. Demodogeral,osltrospassa-faixa são frequentemente referidos omo integradores, ara terizadosporpossuírem apenas pólos na função detransferên ia. Já osltros passa-altasão referidos omoderivadores, ara terizado-sepelapresençadeapenaszerosnafunçãode transferên ia.

As três lassesdeltroslineares realizáveisadotadasnamaioriadas imple-mentaçõespráti assão: FiltrosdeButterworth,FiltrosdeChebysheveFiltros deBessel.

Aestratégiautilizada onsisteem onsiderarumLPFnormalizado,a par-tirdeste,épossível onstruiroutrosltrosdesejados omumasimplesoperação de transformação Transformação de denormalização. O projeto de ltros é usualmenterealizadoempregandoaTransformadadeLapla eaoinvésdeT rans-formadadeFourier. ParaimplementaçãodediferentesltrososLFPssãoredes ontendosomentepolos, omfunçãodetransferên iadaforma:

Figura6.20: Filtrosideaisdostipos: (a)LPF,(b)HPF,( )BPF e(d)BSF.

emque

n

éaordemdoltroeos

a

n

denemosltros.

OsltrosdeButterwortheChebyshev orrespondemaaproximações reali-záveisparaaresposta ommagnitude|H(w)|retangulardaforma,

|H(w)| = 1/

p

(1 + ε

2

_ϕ

2

n

(w)),

em que

ε ≤ 1

éumnúmeroreal positivoe

ϕ

n

(w)

éumpolinmiode ordem

n

ontendoapenaspotên iaspares ouímpares.

6.5.1 Filtros de Butterworth [2℄

Sãoobtidoses olhendo-se

ε = 1

e

ϕ

n

(w) = w

n

,resultando emuma função detransferên iadotipo,

|H(w)| = 1/

p

(1 + w

2n

_).

Independente da ordem da aproximação o ltro tem sempre

|H(0)| = 1

e

|H(1)| = 1/

√

2

, de modo que o ltro é sempre normalizado. A Figura ilus-tra a ara terísti adaMagnitudedefunçãodetransferên ia

H(w)

paravárias ordensdeltros.

Comoexemplo, osimplesLPF tipoRCé umltrode Butterworthde pri-meiraordem. Paraumltrodesegundaordemdaforma

|H(w)| = 1/

p

(1 + w

4

₎

possuifunçãotransferên ia

H(s) = 1/(s

3

_{+ 2s}

2

_{+ 2s + 1)}

,sendoospolinmiosno denominador onhe idos omo PolinmiosdeButterworthetabelados, dessa forma não desenvolvidosnesse trabalho. Conhe idasasfunçõesde transferên- ia dos ltros, é possível en ontrar os valores dos elementos

R

,

C

e

L

para

Figura6.21: Cara terísti adaMagnitudedefunçãodetransferên ia

H(w)

para váriasordensdeltros

Figura 6.22: ltro de Butterworth de segunda ordem da forma

|H(w)| =

1/

p

(1 + w

4

₎

6.6 Filtros ativos

Qualquer ltro passive om função de transferên ia

H(w)

veri a a rela-ção

|H(w)| ≤ 1

, o que pode ser interpretado omo um ganho inferior a uni-dade,ouseja,oltroapresentaapenas perdas (atenuaçãoenãoampli ação). Dessaforma,umaimplementaçãodesejadaédeltrosativos, omain lusãode elementos ativos(AMP-OP), forne endo ganho real, ontrastando om ltros passivos.

Lista de Exer í io - Transmissão de Sinais através

de Redes Lineares

QuestõesreferentesaoCapítulo6.

Exer í io 6.1 Refaça asquestõesdadas em salade aula.

Exer í io 6.2 Efetuar as onvoluções rela ionadas, utilizando o método grá- o. a.

u(t) ∗ e

−t

_u(t)

; b.

e

−αt

_{u(t) ∗ e}

−βt

_u(t)

;

.

u(t) ∗ u(t) ∗ u(t)

.

Exer í io 6.3 Cal ule eesbo eo resultado dos produtos de onvolução envol-vendo impulsos: a.

Π

t−4

2

∗ [δ(t + 5) + δ(t − 5)]

; b.

Λ(t) ∗ [δ(t + 11) + δ(t + 10) + δ(t − 10) + δ(t − 11)]

. Exer í io 6.4 Avalie a onvolução

1

πt

∗ −

1

πt

. Sugestão: Use o domínio da freqüên ia.

Exer í io 6.5 Umltrolineartemrespostaimpulsional

e

−

2t

_u(t)

. Qualosinal de respostaquando umpulso

Π

t−3

2

apli adona entrada?

Exer í io 6.6 As linhas telefni as introduzem distorções e ne essitam o uso de equalizadores. Para simulações, duas linhas metáli as apresentam ara te-rísti asde distorção de amplitude ede tempode propagação de grupo(

D(ω) =

−dΘ(ω)/dω

). Observando os gabaritos Mostrados na Figura 6.24, na faixa

300 − 3400

Hz, on lua: Qualalinha demelhor qualidade? Explique.

Figura 6.23: Distorçãodeamplitudeede tempodepropagaçãode grupopara duaslinhastelefni as.

Exer í io6.7 Considereum analde omuni açõesnoqualhápropagaçãopor multi-trajetórias. Em umaanálise simpli ada suponhaque, devido àpresença deum obstá ulo,existemdois aminhosde propagaçãodo sinal. Admitaqueas duas trajetórias são ara terizadas por atenuações

k

1

e

k

2

, respe tivamente, e porretardos no tempo

t

1

e

t

2

,respe tivamente. Obviamente, o aminho direto (1)apresentamenor atenuaçãoemenorretardoqueo aminhode reexão(2), i.e.,

k

2

<< k

1

< 1

e

t

2

> t

1

> 0

. Mostre que o modelo que ara teriza tal omportamento é aquele apresentado na gura abaixo. En ontre a função de transferên ia e demonstre que ela apresenta ondulações na magnitude

H(ω)

. En ontreovalordosparâmetros

k

,

α

e

T

naexpressão

H(ω)@ ∼

= k(1+α cos ωT )

ejustiqueashipótesesassumidas.

Figura6.24: Distorção deamplitudeedetempodepropagaçãodegrupopara duaslinhastelefni as.

Exer í io6.8 Um anal om desvane imento seletivo apresenta uma ara -terísti a de transferên ia

H(w) = (1 + 2α cos wT )e

−jwt

0

. Cal ule a resposta impulsional orrespondente,

h(t) = F

−1



_{(1 + 2α cos wT )e}

−jwt

0

. Para uma ex itação

x(t)

, obtenha a saída y(t), e mostre que ela é onstituída pelo sinal superposto por um par de e os. Tome

α = 0, 5

e

x(t)

uma porta de largura

τ

. Desenheasrespostas obtidasnos seguintes asos:

T = 2τ

,

T = τ /2

e

T = τ /4

.