MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE FUNÇÃO
POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU: UMA INVESTIGAÇÃO USANDO
MAPAS CONCEITUAIS
Bárbara Cândido Braz1, UEM, babicbraz@gmail.com Amauri Jersi Ceolim2, UNESPAR, ajceolim@gmail.com
RESUMO
Este trabalho aponta resultados de uma pesquisa de conclusão de curso em Matemática. A investigação foi realizada com um grupo de alunos do primeiro ano de um curso de licenciatura em Matemática. O objetivo foi investigar, por meio da Modelagem e dos mapas conceituais, se tais alunos utilizam os conceitos envolvidos no conteúdo de Função, já estudados, para interpretar situações com referência na realidade. As análises evidenciam que os alunos não utilizam todos os conceitos que estudaram ao mesmo tempo em que deixam de mapear, conceitos essenciais intrínsecos ao conteúdo de Função.
Palavras chaves: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Mapas conceituais, Função do Polinomial do 2º grau.
ABSTRATCT
This paper shows some results obtained from an undergraduate final research in mathematics. It involved a group of first-year mathematics undergraduate students. It aimed at using Modeling and Conceptual Maps in order to examine if the students made use of concepts learned within the Function subject so as to interpret situations which made reference to reality. Analyses revealed that these students did not use all of the concepts they learned and so they did not map some basic concepts within Function.
Keywords: Mathematical teaching, Mathematical modeling, Conceptual maps, Second degree polynomial functions.
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Apresentação
O presente artigo apresenta os resultados obtidos no estudo realizado em função do trabalho de conclusão de curso de Matemática – Licenciatura na Universidade Estadual do Paraná/ FECILCAM - Campus de Campo Mourão, em que os autores deste texto
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Mestranda do Programa para as Ciências e ensino de Matemática – Universidade Estadual de Maringá.
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Professor da UNESPAR - Universidade Estadual do Paraná (Fecilcam/Campus de Campo Mourão) e doutorando do Programa de Pós Graduação em Educação da Universidade Federal de São Carlos.
propuseram um estudo sobre o conteúdo de Função Polinomial do 2º Grau no ambiente de aprendizagem proporcionado pela Modelagem Matemática e a utilização dos mapas conceituais, com um grupo de alunos do primeiro ano de um curso de Matemática – Licenciatura, durante o segundo semestre do ano de 2011.
A história da Matemática mostra que seu desenvolvimento tem início em virtude da necessidade do homem em resolver problemas práticos e cotidianos e, apenas mais tarde, esta ciência passa a ser desenvolvida com fim em si mesma. Ainda assim, questionamentos dos alunos no que se refere à aplicação dos conteúdos matemáticos são freqüentes nas aulas de Matemática.
Em relação aos conteúdos abordados nas salas de aula, percebe-se que alguns deles que têm fácil relação com o cotidiano dos alunos, por vezes, recebem uma abordagem extremamente formal, como o conteúdo de Funções. Conforme Pires (2009) o conteúdo de Funções é normalmente apresentado por meio de situações que o desvinculam de situações reais, daí nossa escolha por este tema no estudo.
A Modelagem foi escolhida como alternativa pedagógica pelo fato de esta ser uma tendência que aproxima os conteúdos estudados em sala, de situações reais. Já os mapas conceituais foram utilizados como instrumento de ensino e de aprendizagem. Neste artigo, apresentaremos as teorias que embasaram o estudo, os procedimentos metodológicos utilizados na pesquisa realizada, e uma das atividades desenvolvidas pelos alunos durante o processo investigativo. Por fim, teceremos algumas considerações acerca dos resultados obtidos ao fim do estudo.
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Modelagem Matemática como alternativa de ensino
Em meio às tendências em Educação Matemática, que têm por objetivo o desgarramento dos moldes tradicionais de ensino, está a Modelagem Matemática. O conceito de Modelagem surge durante o Renascimento3 servindo como base para as primeiras ideias no campo da Física. Hoje, pode-se dizer que ela constitui um ramo da Matemática que auxilia áreas do conhecimento como a Economia, Biologia, Engenharia, dentre outros (BIEMBENGUT; HEIN, 2005).
No Brasil, conforme Burak (2005), a Modelagem começa a ser estudada no início da década de 1980 e passa a ser difundida em cursos de especialização por um grupo de professores, especialmente pelos professores Ubiratan D’Ambrósio e Rodney Carlos Bassanezi, ambos do Instituto de Matemática, Estatística e Ciências da Computação –
IMECC, da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP. Posteriormente, ainda na década de 1980, com o intuito de romper com um método de ensino baseado apenas na resolução de exercícios de aplicação e conteúdo teórico, a atual, Universidade do Centro do Paraná, UNICENTRO, passa a difundir a Modelagem Matemática como alternativa de ensino da Matemática em cursos de especialização para professores.
Embora não seja tão antiga na esfera educacional, de acordo com Santos e Bisognin (2007) diversas são as concepções de Modelagem Matemática existentes, podemos destacar Almeida e Ferruzzi (2011), Bean (2001), Bassanezi (2002); Barbosa (2001, 2004), Biembengut e Hein (2005), Burak (2005), Caldeira (2007, 2005) e ainda Skovsmose (2000). Entretanto, pode-se inferir que elas possuem a mesma essência: ensinar conteúdos matemáticos por meio de situações que tenham como referência a realidade. Cabe aqui a perspectiva, mais abrangente, apresentada por D’Ambrósio (1986, p. 11) que a entende como “um processo muito rico de encarar situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com a simples resolução formal de um problema artificial”.
Neste estudo, as atividades de Modelagem desenvolvidas tiveram como embasamento as concepções de Barbosa (2007) e Almeida e Ferruzzi (2011).
Em relação à Modelagem, Barbosa a conceitua como “um ambiente de aprendizagem em que os alunos são convidados a investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade” (BARBOSA, 2007, p. 161). Além disso, propõe a indagação a problemas matemáticos sem procedimentos estabelecidos de antemão deixando, portanto, que a atividade ganhe um caráter mais aberto.
A ideia de ambiente de aprendizagem a que Barbosa faz referência é apresentada por Skovsmose (2000) como um cenário para investigação, em que os alunos são convidados a formular questões e a procurar explicações. A Modelagem segundo o entendimento de Barbosa, apresentado acima, é um convite para a investigação em sala de aula e este convite pode ou não ser aceito pelo aluno, isso dependerá da natureza do professor e dos alunos envolvidos.
Skovsmose (2008) aponta que a combinação entre as práticas de sala de aula são baseadas em três tipos de referência: Referências à Matemática Pura, Referências à semi-realidade e Referência a semi-realidade; e em dois paradigmas: do Exercício, e em Cenário para investigação, dá origem a seis diferentes tipos de ambientes de aprendizagem.
Entendemos que a concepção de Barbosa se enquadra no ambiente de aprendizagem que faz referência à realidade e também à um cenário para investigação. Barbosa (2004) apresentou uma sistematização teórica das práticas curriculares em Modelagem, a qual
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O termo Renascimento, ou Renascença, faz referência a um movimento intelectual e artístico surgido na Itália, entre os séculos XIV e XVI, e daí difundido por toda a Europa. À concepção
denominou “casos”, como possibilidades para desenvolver Modelagem em sala de aula. Esses casos são diferenciados conforme o papel que professor e aluno assumem ao longo do desenvolvimento da atividade com Modelagem. Os papéis atribuídos ao professor a aos alunos nos três casos variam quanto às tarefas e extensão. No caso 1, o professor apresenta o problema com dados quantitativos e qualitativos, cabendo aos alunos investigarem. No caso 2, o professor apresenta o problema e os alunos terão que coletar as informações e investigar. Por fim, no caso 3 ocorre o desenvolvimento de projetos com temas não-matemáticos propostos pelo professor ou pelo aluno, onde terão que levantar informações, formular problemas e resolvê-los.
Almeida e Brito (2005) também apresentam uma compreensão de Modelagem Matemática. Conforme os autores, esta é uma alternativa pedagógica na qual uma situação-problema, não necessariamente matemática, pode ser abordada por meio da Matemática. Nesta perspectiva, uma atividade de Modelagem Matemática envolve: “a) a formulação de um problema; b) um processo investigativo; c) a busca por uma representação matemática (ou modelo matemático); d) a análise de uma resposta para o problema; e) a comunicação de resultados para os outros” (ALMEIDA e FERRUZZI, 2011, p. 3-4).
De acordo com Almeida e Ferruzzi (2011), a etapa da formulação do problema abarca a aproximação dos envolvidos com a apropriação de um problema e a definição de metas para solucioná-lo. A etapa do processo investigativo envolve a definição de hipóteses, fazer simplificações, selecionar variáveis. A busca por uma representação matemática, ou modelo matemático, diz respeito à transformação de uma representação, de uma linguagem natural, para outra, que é a linguagem matemática. Esta linguagem matemática é que evidencia o problema matemático que deve ser resolvido e permite uma adequação das características da situação, técnicas e procedimentos para uma representação matemática. Almeida e Brito (2005) acreditam que gráficos, figuras geométricas, relações funcionais são exemplos de Modelos Matemáticos. Já a etapa da análise de uma resposta para o problema implica numa avaliação do processo realizado pelos envolvidos, culminando na validação da representação em linguagem matemática dada ao problema, levando-se em conta os procedimentos matemáticos utilizados e a adequação deles à situação problema. Por último, a etapa da comunicação de resultados para os demais tem por objetivo o desenvolvimento do senso de argumentação dos modeladores que devem convencer a si e aos outros que a representação matemática final e os artefatos utilizados para atingi-la são consistentes.
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Mapas Conceituais
medieval do mundo se contrapõe uma nova visão, empírica e científica, de homem e de natureza.
Desenvolvido pelo professor Joseph D. Novak e alguns colaboradores, como D. Bob Gowin, em 1972, na Universidade de Cornell, os mapas conceituais, ou mapas de conceitos, abrangem diferentes áreas do conhecimento numa perspectiva construtivista. Conforme Novak e Cañas (2008) a fundamentação dos mapas conceituais está na Teoria Cognitiva, desenvolvida por David Ausubel. Conforme Novak e Cañas apud Venâncio (2010, p. 32), a partir da “necessidade de encontrar uma maneira para representar a compreensão conceitual das crianças” vem a ideia da representação de conceitos por meio de um mapa, surgindo assim uma ferramenta para ser usada numa investigação e em vários outros casos, como veremos adiante.
Segundo Novak (1984, p. 31) os mapas conceituais “têm o objetivo de representar relações significativas entre conceitos na forma de proposições”. Para Novak, uma proposição é a ligação por palavras entre dois ou mais termos, formando uma unidade semântica (ibid.). O mesmo autor ainda define conceito como “uma regularidade nos acontecimentos ou nos objetos que se designa por certo termo” (NOVAK, 1984, p. 20). De uma maneira simples pode-se exemplificar a estrutura de uma proposição como: conceito um + palavra de ligação + conceito dois (VENÂNCIO, 2010).
Sobre o mapa conceitual, Novak (1984, p. 31) o define como “um recurso esquemático para representar um conjunto de significados conceituais incluídos numa estrutura de proposições”. Esta forma de representar esquematicamente o conjunto de significados conceituais geralmente é feito em duas dimensões. Os conceitos aparecem em caixas ou elipses e as relações entre os conceitos são especificadas por meio de frases de ligação nas linhas que os conectam.
Conforme Novak (1984, p. 114).: “os significados que atribuímos a um dado conceito depende não só do número de relações relevantes de que nos apercebemos, mas também da hierarquização (inclusividade) dessas relações em nosso sistema conceitual”.
É de consenso na literatura que o mapa conceitual refere-se à representação estruturada sobre um grupo de conceitos em determinado momento, por isso, não se pode dizer que existe um mapa certo ou errado, ou o mapa conceitual, mas um mapa conceitual, e deve ser pensado como uma das possibilidades de mapa que existe (VENÂNCIO, 2010, p. 37). Trata-se, portanto, de um instrumento maleável e que pode ser utilizado em situações com objetivos diversificados (MOREIRA, 1986). Os mapas podem ser usados como:
Planejamento de ensino: podem auxiliar na organização tanto de um curso, como no
de uma aula, ou unidade de ensino. Neste caso, podem contribuir com o professor na reflexão sobre quais são os conceitos centrais e as relações mais significativas entre estes conceitos que serão necessários para o melhor entendimento da disciplina, e quais devem receber uma maior atenção durante o processo de ensino. No processo de ensino, os
mapas podem ser utilizados para apontar “as relações hierárquicas entre as concepções que estão sendo ensinadas em uma única aula, unidades de estudo ou em toda a matéria” (MOREIRA, 1986, p. 18).
Como instrumento de ensino e aprendizagem: quando o professor usa um mapa
como recurso para ensino, deve explica-los, pois não são auto-explicativos. Nesta explanação deve haver uma exploração do conceito mais geral para os mais específicos e depois, dos mais específicos, para os mais gerais, para que a relação entre os conceitos mais e menos abrangentes se torne clara. É também necessária a explicação entre as relações dos conceitos subordinados entre si.
Instrumento na avaliação da aprendizagem: Como recurso para avaliação, os mapas
conceituais são utilizados para se ter uma noção das relações hieráquicas entre conceitos feitos pelo aluno sobre determinado conteúdo. Ainda conforme Moreira, “o mesmo mapa usado na análise da estrutura conceitual do conteúdo pode também ser usado como recurso didático ou como um referencial para a elaboração de verificações de aproveitamento” (MOREIRA, 1986, p. 19), no entanto nem sempre isso será possível.
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Procedimentos metodológicos e análise das atividades desenvolvidas
As atividades investigativas tiveram duração de seis encontros de três horas e meia, no período contra turno. Dividimos as intervenções em três momentos: 1º) atividades de introdução à construção de mapas conceituais e a construção do primeiro mapa (mapa A) sobre Função Polinomial do 2º Grau; 2º) a atividade de Modelagem Matemática e; 3º) a construção do mapa sobre a atividade realizada (mapa B).
Para que pudéssemos investigar o comportamento dos alunos no decorrer das atividades realizadas e alcançar nossos objetivos, definimos as seguintes formas de obter os dados que precisávamos para a investigação: notas de registros escritos das falas dos alunos durante o desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática, por meio de áudio; desenvolvimento escrito das formas de resolução da atividade de Modelagem de cada grupo e questionários respondidos pelos alunos; os mapas conceituais elaborados pelos alunos.
As atividades de construção dos mapas A e B, bem como a atividade de Modelagem foram desenvolvidas por dois grupos. Descreveremos nas próximas páginas o trabalho e as análises das atividades desenvolvidas pelo grupo 1.
A construção do Mapa A, ocorreu no terceiro encontro com o grupo. Os dois primeiros encontros foram dedicados às atividades preliminares, cujo objetivo era aprender a confeccionar os mapas conceituais. Estes mapas foram construídos a partir de textos sobre temas diversificados, não matemáticos.
A construção do mapa A, diferente dos mapas construídos anteriormente, teve como base apenas o conceito chave de Função Polinomial do 2º Grau. O objetivo desta atividade foi investigar os conhecimentos prévios que os alunos tinham em relação a tal conteúdo.
Figura 1: Mapa A construído pelo grupo 1
Observando a Figura 1, verificamos incoerências quanto à estrutura e erros em relação às proposições formadas. Uma das proposições errôneas que aparecem mapeadas é que a “Função do 2º Grau no gráfico define a forma de parabolóide”. Graficamente, a Função Polinomial do 2º Grau é representada por uma parábola e não por um parabolóide.
A relação de dependência entre as variáveis não aparece no mapa que também não mostra nenhum método que possa aproximar uma Função Polinomial do 2º Grau, ou aponta a derivada como método para encontrar pontos de inflexão.
Por meio dos mapa, percebemos que o conhecimento acerca do conteúdo de Função Polinomial do 2º Grau dos alunos foi construído de forma estrutural. Não percebemos no mapa do grupo 1, a preocupação em mapear situações em que este tipo de função pode ser utilizada. Os alunos preocuparam-se em colocar no mapa um grande número de conceitos sem a preocupação quanto às relações que seriam estabelecidas entre estes conceitos, o que deve ser analisado numa situação modelada por meio de uma Função Polinomial do 2º Grau.
Após a construção do mapa A, os próximos encontros foram dedicados ao desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática.
4.2 A atividade de Modelagem Matemática
A atividade de Modelagem foi realizada durante dois encontros, perfazendo uma carga horária de sete horas. Os grupos utilizaram computadores para resolver o problema que já foi aplicado por Almeida e Brito4 (2005) aos alunos no Ensino Médio. O problema lançado consistiu determinar o melhor tempo em relação ao gasto de calorias numa caminhada conforme as especificações dadas.
Para que pudessem avaliar a situação, os grupos seguiram os passos propostos por Almeida e Ferruzzi (2011). Utilizaram no estudo os softwares Excel e Microsoft Math 3.0.
Tabela 1: Caminhadas
Fonte: Organização Mundial de Saúde
A abordagem do conteúdo por meio da Modelagem aqui apresentada se dá no contexto no qual os alunos estão inseridos, ou seja, faz parte da realidade dos alunos, se diferencia daquelas abordagens de conteúdos de funções trabalhados na sala de aula de forma descontextualizada e sem relação com cotidiano dos alunos.
O grupo levantou algumas hipóteses que os ajudaram a resolver o problema proposto. Imediatamente após a definição do problema e o levantamento das hipóteses, os alunos examinaram e selecionaram os dados, preservando as características do problema, isto é, fizeram uma simplificação, conforme sugerem Almeida e Ferruzzi (2011).
Inicialmente o grupo definiu que as grandezas apontadas no estudo eram: distância, tempo, energia e velocidade.
TEMPO VELOCIDADE Km/h ENERGIA CONSUMIDA (cal) MIN HORAS 60 1 3 155 50 0.833 3.6 183.92 45 0.75 4 190.18 40 0.667 4.5 190.99 30 0.5 6 175.95 20 0.334 9 139.01 10 0.167 18 80.66
A hipótese levantada pelos alunos, de que a perda de calorias depende do tempo de caminhada permitiu que construíssem o gráfico que subsidiou todo o estudo realizado pelo grupo.
Figura 2: (Modelo1) Gráfico da parábola construído pelo grupo 1 no software Microsoft Math 3.0
A representação gráfica já pode ser considerada um Modelo Matemático, pois trata da substituição da linguagem natural para a linguagem matemática (ALMEIDA; FERRUZZI, 2011), no entanto a partir da visualização gráfica obtida, decidiram representar por meio de uma função quadrática, na forma analítica, a energia gasta numa caminhada em função do tempo. Neste momento, inicia-se a etapa de resolução do problema matemático. Esta é a fase em que, utilizando-se recursos da Matemática, procura-se a solução do problema formulado (ALMEIDA; FERRUZZI, 2011).
Com auxílio das planilhas do Excel, o grupo utiliza os tempos de 60, 40 e 10 min, e por Crammer, obtêm um segundo modelo que representa a situação. Os cálculos dos determinantes utilizados para encontrar a solução do sistema foram resolvidos com auxílio do Excel.
Quadro 1: Modelo 2, Função Polinomial do 2º Grau aproximada pelo grupo
No processo de Modelagem Matemática, a etapa da validação é essencial, pois se trata da fase em que o modelo encontrado é analisado. Os dados reais são comparados com os fornecidos pelo modelo. Neste momento se o modelo considerado não é válido, deve-se retornar à fase da formulação do problema (ALMEIDA; FERRUZZI, 2011). Portanto, após encontrar dois modelos para a mesma situação, o grupo faz uma comparação entre as informações reais e os dados obtidos pelo primeiro e o segundo modelos construídos. Desta
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BRITO, D; ALMEIDA, L. M. W. O conceito de função em situações de Modelagem Matemática. Revista: Zetetikê ,v.12, n.23 jan/jun . p. 42-61, 2005.
forma, calcula o erro entre os valores da primeira tabela e os valores obtidos pelos modelos construídos, por meio das planilhas do Excel. Ao concluírem que o Modelo 2 representa melhor a situação problema e afim de estimar qual o melhor tempo de caminhada, em relação ao gasto de calorias, o grupo 1 utiliza a derivada da função.
Com base nos cálculos realizados, os alunos concluem que o tempo em que o gasto de calorias é maior é em aproximadamente 42 minutos de caminhada.
A atividade “caminhadas” desenvolvida adéqua-se ao caso 2 proposto por Barbosa (2004), pois a formulação do problema foi feita pelos pesquisadores, no entanto o processo de simplificação, coleta de dados e solução do problema foi realizado pelos alunos. Neste caso, a etapa de formulação do problema, é feita em partes pelos pesquisadores. Dizemos em partes pelo fato de que conforme Almeida e Ferruzzi (2011), a etapa de formulação do problema abarca também a definição de metas para a resolução do problema, a compreensão da situação-problema, que nesta pesquisa foram feitas pelos alunos.
4.3 Análise do Mapa B
O mapa final, denominado Mapa B, foi construído após a atividade de Modelagem Matemática. As formas de condução desta atividade foram as mesmas do processo de construção do mapa A. Nenhum material de apoio foi disponibilizado e os alunos deveriam construir um mapa tendo como referência a atividade de Modelagem Matemática desenvolvida e os conceitos de Função Polinomial do 2º Grau utilizados na atividade
De forma geral, o mapa B da Figura 3 apresenta um número maior de conceitos que o mapa A. Ele apresenta alguns conceitos que não aparecem no mapa A, como os métodos para aproximação de uma Função Polinomial do 2º Grau.
Diferente da construção do primeiro mapa, neste, os alunos se preocuparam em escrever as proposições antes de ajustá-las no mapa conceitual. Esta é uma sugestão de Novak (1984), que pode contribuir para que o mapa apresente uma quantidade menor de erros.
Observe na Figura 3 que o mapa apresenta ligações cruzadas. Isto não acontece no mapa A construído pelo mesmo grupo. Este mapa também é bem feito no sentido de exemplificar os conceitos que apresenta.
Quanto às proposições, o mapa é bem elaborado, rico quanto às ligações. Os conceitos aparecem disponibilizados de forma hierárquica. Como o grupo estudou o gasto de energia numa caminhada, é este o conceito que aparece no topo do mapeamento: gasto de energia, que é o mais abrangente. Este mapa também apresenta o conceito da Regra de Crammer, que não aparece no mapa A construído pelos alunos.
Figura 3: Mapa B construído pelo grupo 1
O mapa B ainda apresenta características importantes, como a dependência entre variáveis, que não aparece no mapa A; destaca os Modelos Matemáticos como meio de interpretação de uma situação problema; apresenta formas diferenciadas de representação de uma Função Polinomial do 2º Grau, como tabular e gráfica; existe uma interpretação do que representam as variáveis na função. Percebemos que no mapa B, os alunos do grupo 1, enfatizam mais as formas de representação de uma Função Polinomial do 2º Grau, os métodos para aproximá-las e as interpretações dos Modelos Matemáticos. Isto acontece provavelmente por terem sido os conceitos mais relevantes no processo de solução da situação-problema da atividade de Modelagem.
Percebe-se neste segundo mapa, a compreensão da Matemática enquanto linguagem que relaciona ideias, diferente do que acontece no primeiro mapa, cujo entendimento dado à ela, restringe-se à cálculos e representações algébricas.
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Algumas considerações
Acreditamos que a Matemática por vezes se encontra tão presa a si mesma e a seu rigor, formalismo conceitual, que acaba dificultando o entendimento dos alunos sobre conteúdos que fazem parte do seu cotidiano e são utilizados por eles, como o de Função.
Embasados nesta hipótese, buscamos nesta pesquisa investigar o processo de aprendizagem do conteúdo de Função Polinomial do 2º Grau. Neste mapeamento, os alunos apresentaram uma grande quantidade de conceitos formalizados, entretanto, conforme pudemos observar no processo de construção destes mapas, alguns alunos tinham dúvidas quanto a conceitos envolvidos no conteúdo de Função Polinomial do 2º Grau, revelando a falta de significados atribuídos a determinados conceitos, como o de raízes reais da Função. Por meio dos mapas conceituais, das gravações e demais registros feitos durante a investigação, verificamos também dificuldades dos alunos em aplicar os conhecimentos que tinham do conteúdo matemático estudado, em situações que exigiam seu uso, ou seja, problemas para relacionar o conteúdo de função apreendido em sala de aula com outros contextos que envolvessem a cotidianidade. A Modelagem Matemática, como metodologia de ensino, permitiu que os alunos envolvidos não só sentissem a necessidade de usar os conteúdos de Matemática para interpretar uma situação que fazia parte da realidade deles, como a atribuição de significados aos conceitos utilizados na atividade, por meio do contexto em que a atividade fazia referência.
Da construção do primeiro mapa pudemos perceber que os alunos passaram por situações de aprendizagem e “rotularam” ideias relacionadas à função. A forma como os alunos representam os conceitos no primeiro mapeamento dá indícios de que este conteúdo quando estudado na Educação Básica foi tratado de forma estrutural, pois os grupos dão prioridade a conceitos que geralmente aparecem nos livros didáticos e deixam de apresentar a essência da ideia de função, que é a dependência entre variáveis. No primeiro mapa construído, mapa A, o grupo 1 apresenta como forma para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função as fórmulas que estudaram durante a Educação Básica, no entanto quando precisou utilizá-la para interpretar uma situação real, usou o conceito de derivada, estudado apenas no Ensino Superior.
Os mapas conceituais quando usados como organizadores de conceitos, representam o conhecimento que o aluno já tem sobre determinado assunto, tornando visível ao professor o entendimento do aluno, dando a oportunidade de revisar os conteúdos que não tiveram um bom entendimento, tirando dúvidas ou validando certezas. A construção do mapa A neste trabalho possibilitou aos pesquisadores um reconhecimento sobre os conceitos que os alunos já haviam construído, norteando o encaminhamento da atividade de Modelagem no momento posterior.
Acreditamos que os mapas conceituais complementam as atividades com Modelagem na sala de aula, pois no momento de sua construção os alunos precisam pensar sobre os conceitos utilizados no processo de interpretação das situações reais. Estas foram considerações feitas pelos alunos que participaram da pesquisa.
Sobretudo, os alunos envolvidos tiveram a oportunidade de reconhecerem falhas conceituais que tinham, sentindo-se motivados em desenvolver atividades desta natureza com seus alunos quando estiverem atuando como professores de Matemática.
