Departamento de Ecologia e Recursos Naturais Curso de Oceanografia
D is
FÁBIO PAVAN PICCOLI
INTERACÃO DE ONDAS MONOCROMÁTICAS
COM BATIMETRIA DE FUNDO E RECIFE
ARTIFICIAL
VITÓRIA 2005
FÁBIO PAVAN PICCOLI
INTERACÃO DE ONDAS MONOCROMÁTICAS
COM BATIMETRIA DE FUNDO E RECIFE
ARTIFICIAL
Monografia de conclusão de curso, apresentada ao Departamento de Ecologia e Recursos Naturais da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Oceanografia.
Orientador: Prof.º Dr. Julio Tomás Aquije Chacaltana.
FÁBIO PAVAN PICCOLI
INTERACÃO DE ONDAS MONOCROMÁTICAS
COM BATIMETRIA DE FUNDO E RECIFE
ARTIFICIAL
COMISSÃO EXAMINADORA
__________________________________________ Prof. Dr. Julio Tomás Aquije Chacaltana
Orientador – DEA/UFES
_________________________________________ Prof. Dr.a Jacqueline Albino
Examinadora – DERN/UFES
_________________________________________ Prof. Dr. Daniel Rigo
Examinador – DEA/UFES
_________________________________________ Prof. Dr. Alex Cardoso Bastos
Examinador – DERN/UFES
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Dr. Julio Tomás Aquije Chacaltana que me orientou, apoiou e ofereceu disponibilidade para a realização deste trabalho.
Aos companheiros do Laboratório de Simulação de Escoamento com Superfície Livre.
Aos meus amigos que tiveram compreensão quando estive ausente devido ao trabalho.
"O Homem aprendeu a escrever os defeitos no bronze e as virtudes na água."
RESUMO
Ondas vindas de águas profundas propagando em direção à costa sofrem importantes deformações, que são de fundamental importância para os processos costeiros. As simulações numéricas desses fenômenos são instrumentos utilizados por engenheiros e oceanógrafos como um método de estudos desses processos dentro de uma pequena margem de erro. Neste trabalho realizamos simulações numéricas para a propagação de ondas monocromáticas em diferentes domínios para um melhor entendimento de processos como empinamento, refração, difração, reflexão e quebra das ondas. As simulações foram realizadas no modelo FUNWAVE no qual emprega as equações do tipo Boussinesq. Os domínios apresentam se como um canal de fundo plano, uma praia com declive de 1:20, uma batimetria contendo um baixio e um possível recife artificial na praia de Camburí. Esta ultima com o objetivo de alterar a altura da onda para promover ondas do tipo mergulhante, com uma zona de arrebentação fora da face da praia. Nas simulações, o modelo FUNWAVE mostrou boa adequação dos resultados, com uma visualização clara dos processos que ocorrem em regiões costeiras.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Figura dos parâmetros de ondas. Fonte: Coleman (2001). ... 19 Figura 2: Curto registro de ondas no Atlântico Norte. Fonte Stewart (2005). ... 22 Figura 3: Comparação de Formas de ondas. Fonte: Pond e Pickard (1989), modificado
aqui. ... 24 Figura 4: Figura mostrando refração de ondas. Fonte: Coleman (2001)... 26 Figura 5: Figura de Difração das ondas propagando em direção de uma estrutura. Fonte:
Hoult (2004)... 27 Figura 6: Empinamento e quebra da onda devido a influencia do fundo marinho. Fonte:
Coleman (2001)... 29 Figura 7: Principais processos devido a ação das ondas na região costeira. Fonte:
Coleman (2001)... 31 Figura 8: Corrente Longitudinal ou Deriva Longitudnal. Fonte: Coleman (2001) ... 31 Figura 9: Correntes de retorno – Rosarita Beach, Baja Califórnia, México. Fonte:
Peregrine (1998). ... 32 Figura 10: Ação das ondas na zona de espraiamento da praia. Fonte: Coleman (2001)... 33 Figura 11: Tipos de quebras de ondas, de cima para baixo, deslizantes, mergulhantes,
colapsantes e ascendentes. Fonte: Coleman (2001)... 35 Figura 12: Surfista realizando manobra denominada de “tubo” em uma onda mergulhante.
Fonte: Mead e Black (2001). ... 36 Figura 13: Definição da função fonte no domínio computacional. Fonte: Wei et al. (1999).
... 41 Figura 14: Representação esquemática do domínio do canal de 838 m de extensão e
profundidade constante h. ... 47 Figura 15: Domínio utilizado para a simulação em uma declividade de 1:20. ... 50 Figura 16: a) Topografia de fundo do experimento de Berkhoff et al. (1982) e b) batimetria
em três dimensões... 53 Figura 17: Localização da Baía do Espírito Santo. Fonte: Soares e Chacaltana (2002). ... 54 Figura 18: Figura da simulação do programa RefDif na Baía do Espírito Santo. A figura da
direita consiste na entrada de ondas de sudeste, e da esquerda consiste na entrada de ondas de leste. Fonte: Soares e Chacaltana (2002). ... 55 Figura 19: Localização do possível recife artificial na praia de Camburí: a) Área da Praia
de Camburí; b) Localização do recife; c) perfil vertical do recife; d) perfil horizontal do recife... 57 Figura 20: Resultados das elevações da onda que se propaga em um canal de
profundidade constante para as profundidades a) L0 2, b) L0 4, c) L0 6, d) L0 8, e) 12
0
L e f) L0 18. Os registros foram medidos na estação 34 e correspondem aos 50s. finais da simulação... 58 Figura 21: Resultados espaciais da elevação da onda, no canal de profundidade
constante 2
0
L , para diversos instantes de tempo. ... 59
Figura 22: Resultados espaciais da elevação da onda, no canal de profundidade
constante L08 , para diversos instantes de tempo. ... 59
Figura 23: Resultados espaciais da elevação da onda, no canal de profundidade
Figura 24: Analises de sensibilidade – Valores de Hs/Hsmed para fundos planos com profundidades de a)L0 2, b) L0 4, c) L0 6, d) L0 8, e) L0 12, f) L0 18, ao longo do
domínio. ... 61
Figura 25: Análise percentual dos erros máximo e médio para diferentes profundidades paras as ondas propagando no canal de fundo plano ... 62
Figura 26: Registros das elevações da onda correspondentes aos 85 segundos finais de simulação. As estações estão apresentadas na tabela 2, correspondendo respectivamente de a-o... 64
Figura 27: Comparação dos resultados do empinamento da onda ao longo do canal. ... 64
Figura 28: Propagação das ondas ao longo do domínio. ... 65
Figura 29: Propagação das ondas ao longo do domínio com a linha batimétrica... 66
Figura 30: Perfil tridimensional da propagação da onda em um domínio com declividade 1:50 e com um baixio elíptico... 67
Figura 31: Perfil Horizontal da propagação da onda em um domínio com declividade 1:50 e com um baixio elíptico... 67
Figura 32: Vista tridimencional do resultado da propagação das ondas sobre um fundo inclinado contendo um baixio elíptico. ... 68
Figura 33: Vista tridimencional da propagação da onda sobre o domínio com recife artificial. ... 69
Figura 34: Perfil Horizontal mostrando o efeito de concentração dos raios da onda propagando sobre o recife artificial. ... 70
Figura 35: Registros da propagação da onda sobre o recife artificial mostrando o processo de empinamento da onda. ... 70
Figura 36: Perfil vertical da propagação das ondas em a) y=100m, b) y=125m e c) m y =150 . ... 71
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Tabela de localização das sondas no domínio de análise. ... 48 Tabela 2: Localização das sondas no domínio com declividade de 1:20... 50 Tabela 3: Tabela de posições dos transectos no domínio do experimento. ... 53
LISTA DE SIGLAS
φ - potencial de velocidade;
x, y e z - coordenadas horizontais e coordenada vertical;
u, v e w- componentes da velocidade nas direções x, y e z ;
η - elevação da superfície; T - período de onda; L - comprimento de onda; H - altura da onda; k - número de onda; ω - freqüência cíclica; h - profundidade da água; g - aceleração da gravidade;
c - velocidade da fase de onda;
u - velocidade média; U - velocidade de deriva; pot E - energia potencial; kin E - energia cinética; ( 3 1
H ) - altura de onda significativa;
a - amplitude da onda;
0
H - altura de onda em águas profundas;
0
L - comprimento de onda em águas profundas;
β - declividade da praia;
0
ζ e ζb - parâmetros de quebra de ondas (Numero de Irribarren);
b
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA ...12
2. OBJETIVOS ...14
3. TEORIA DE ONDAS ...15
3.1. INTRODUÇÃO ...15
3.2. TEORIALINEARDEONDASDESUPERFÍCIENOOCEANO...16
3.2.1. Conceitos Básicos ...16
3.2.2. Velocidade da fase (Celeridade)...19
3.2.3. Velocidade de Grupo ...20
3.2.4. Velocidade de deriva (velocidade de transporte de massa) no fluxo irrotacional 20 3.2.5. Energia da Onda...21
3.2.6. Altura significativa ...21
3.3. ONDASNÃOLINEARES...22
3.3.1. Conceitos Básicos ...22
3.3.2. Momentum da Onda ...23
3.3.3. Ondas Solitárias...23
3.4. PRINCIPAISTRANSFORMAÇÕESDASONDAS...25
3.4.1. Refração ...25
3.4.2. Difração ...26
3.4.3. Empinamento e Fricção com o fundo ...27
3.5. QUEBRADEONDAS ...28
3.5.1. Conceitos básicos...28
3.5.2. Zonação Hidrodinâmica ...29
3.5.3. Efeitos da Quebra das Ondas na Região Costeira. ...30
3.5.4. Alteração da Linha de Costa...32
3.5.5. Tipos de Quebras de onda ...33
4. MODELAGEM NUMÉRICA...36
4.1. EMBASAMENTOTEÓRICO...36
4.2. MODELOFUNWAVE ...37
4.2.1. Equações do Modelo Numérico FUNWAVE ...39
4.2.2. Descrição da Estrutura do Modelo...42
4.2.3. Descrição dos Parâmetros de Entrada do Modelo...43
5. METODOLOGIA ...45
5.1. PROPAGAÇÃODEONDASSOBREUMCANALDEFUNDOPLANO ...46
5.2. PROPAGAÇÃODEONDASMONOCROMÁTICASEMUMAPRAIACOM DECLIVEDE1:20 ...49
5.3. PROPAGAÇÃODEONDASOBREUMBAIXIO...51
5.4. SIMULAÇÃODAPROPAGAÇÃODEONDASEMUMASEÇÃODAPRAIADE CAMBURÍ...54
5.4.1. Área de estudo...54
5.4.2. Condições da Simulação ...56
6.1. CANALDEFUNDOPLANO ...57
6.2. DECLIVIDADE1:20...62
6.3. DOMÍNIOCOMBAIXIO ...66
6.4. SIMULAÇÃODEUMRECIFEARTIFICIALEMUMASEÇÃODAPRAIADE CAMBURÍ...69 7. CONCLUSÃO ...72 8. REFERÊNCIAS...74 ANEXOS...79 ANEXO 1 ...80 ANEXO 2 ...81 ANEXO 3 ...82 ANEXO 4 ...83 ANEXO 5 ...84 ANEXO 6 ...86
1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
Durante a propagação em direção à costa, as ondas geradas em águas profundas são influenciadas pela plataforma continental e sofrem uma série de deformações devido ao gradiente batimétrico. Dessa forma, conforme se propagam para águas mais rasas suas cristas tendem a ficar de forma mais paralela com a linha de costa, processo conhecido como refração, e a altura das ondas tende a se modificar quando a onda sente o fundo marinho, processo conhecido como shoaling ou empinamento (steepen) (SILVESTER e HSU, 1997). Essas modificações das ondas de águas profundas é dada quando a razão entre a profundidade local e o seu comprimento (h L0) torna-se menor que 12 (MUEHE, 1996). Assim as ondas diminuem sua velocidade quando propagam sobre a plataforma continental, o que resulta em um decréscimo do comprimento de onda e aumento da altura da onda, até se tornar instável e quebrar (SILVA et al., 2004).
A quebra da onda está associada com uma grande dissipação de energia, e após a quebra as ondas se propagam ao longo de uma região onde ocorrem importantes processos costeiros, denominada zona de surfe. A zona de surfe ao longo da praia é onde o fluxo de energia de ondas de águas profundas é dissipada pela turbulência e calor, e a forte dissipação de energia diminui a altura da onda em direção à costa (FREDSØE e DEIGAARD, 1997). Além disso, a turbulência causada pela quebra da onda pode mobilizar e colocar os sedimentos em suspensão, os quais serão transportados pelas correntes induzidas pelas ondas, tais como as correntes longitudinais (longshore currents) e as correntes de retorno (rip currents) (LIN e LIU, 1998).
A quebra das ondas pode ser classificada basicamente em quatro tipos: a) Quebra Deslizante (spilling breaker); b) Quebra Mergulhante (plunging breaker); c) Quebra Ascendente (surging breaker) e; d) Quebra Colapsante (collapsing breaker), (HOEFEL, 1998). Essas diferentes quebras geram diferentes estados de energia na zona de surfe e geralmente dependem da declividade da praia.
Nos últimos anos tem aumentado a utilização de recifes artificiais nas áreas costeiras de usos múltiplos que podem alterar as características das ondas, para contenção de erosão, engorda de praias e adequadas para a prática do surfe. Esses recifes artificiais são relativamente uma nova tecnologia usada para aumentar tanto o número de dias que
podem ser surfáveis como a qualidade das ondas de surfe (TOURISM RESOURCE CONSULTANTS, 2002). Esses dois aspectos são denominados de “surfabilidade”. O projeto de recife artificial para o surfe tem como objetivo alterar a altura de quebra da onda para conseguir uma onda adequada ou de boa qualidade para o surfe (PATTIARATCHI, 2003). Com isso os recifes artificiais estão relacionados às alterações de quebra de ondas que ocorrem na região costeira.
Também, recifes artificiais são construídos para fixação de novos ambientes bióticos e para aumentar a atividade turística, ao contrário de outras estruturas da engenharia costeira que são construídas apenas para a proteção da erosão costeira (como espigões e quebra-mares).
Para obter uma descrição da transformação da onda em regiões costeiras e estudar a variação do formato da onda ocasionada pela implantação de um recife, no leito do mar, será usado o modelo FUNWAVE 1.0, desenvolvido por James T. Kirby et al. (1998). Esse é um modelo não-linear de ondas baseado nas equações do tipo Boussinesq. O FUNWAVE leva em consideração os termos de dissipação de energia, uma função geradora de ondas, fronteiras absorventes, e um filtro numérico aplicado para eliminar ondas espúrias que podem provocar a não convergência dos resultados (“blow-up”) (VIEIRA, 2004).
2. OBJETIVOS
Este trabalho avalia as transformações da onda na medida que passam de águas profundas para águas rasas e sobre recifes artificiais usando o modelo numérico FUNWAVE. Assim são propostos os seguintes objetivos.
• GERAL
¾ Contribuir para a compreensão e o conhecimento do movimento d’água do mar, das transformações das ondas e o transporte de sedimentos nos diferentes ambientes costeiros.
• ESPECÍFICOS
¾ Avaliar a confiabilidade do modelo numérico FUNWAVE.
¾ Confrontar resultados do empinamento da onda fornecidos pelo modelo com os da literatura.
¾ Avaliar as transformações da onda viajando de águas profundas para águas rasas e interagindo com uma batimetria de fundo e um recife artificial.
3. TEORIA DE ONDAS
3.1. INTRODUÇÃO
As ondas podem ser definidas como manifestações de forças agindo em um fluido tendendo a deformá-lo através da ação da gravidade e da tensão superficial, os quais juntos agem para manter o nível da superfície do fluido. Dessa forma as ondas requerem algum tipo de força para que ocorra a sua formação na superfície do fluido; tais forças poderiam ser causadas com o sopro do vento ou uma pedra impactando na água. A partir daí ocorre à ação da gravidade e da tensão superficial no fluido em movimento, onde, dependendo na magnitude destas forças, as ondas podem ocorrer com vários tamanhos e formas (DEAN e DALRYMPLE, 1998).
Pond e Pickard (1989) mostraram as principais classes de ondas e suas causas:
(1) ripples, ondas de vento e swell – originadas do efeito do vento na superfície ar/água;
(2) ondas internas - que podem ocorrer quando variações verticais de densidade estão presentes – por várias causas, por exemplo as correntes cisalhantes, distúrbios da superfície;
(3) tsunamis – geradas por movimentos tectônicos do fundo do mar ou da costa;
(4) ondas giroscópicas gravitacionais – (superficiais e internas) de período suficientemente longo para que o efeito Coriolis seja importante – várias causas, por exemplo alterações na força do vento, alterações na pressão atmosférica;
(5) Rossby ou ondas planetárias – de larga escala e longo período, evidenciadas em correntes variadas – varias causas, por exemplo, as variações temporais na tensão do vento e, talvez, instabilidades baroclínicas e barotrópicas;
(6) Marés – devidas às interações das forças gravitacionais da lua e do sol.
Na realidade, as alturas das ondas variam aleatoriamente no tempo e no espaço e as propriedades estatísticas das ondas variam diariamente. Estas ondas podem ser geradas por ventos locais ou por tempestades distantes da costa, mas que acabam alcançando a
Em qualquer discussão sobre ondas, alguns termos são usados para compor o perfil da onda (ver Figura 1). A altura é a distância vertical entre o fundo da cava e o pico da crista. O comprimento da onda, por sua vez, é a distância horizontal entre duas cavas ou cristas sucessivas. O período da onda é o tempo gasto para duas cristas ou duas cavas sucessivas passarem por um ponto fixo.
3.2. TEORIA LINEAR DE ONDAS DE SUPERFÍCIE NO OCEANO
3.2.1. Conceitos Básicos
Ondas superficiais reais são inerentemente não-lineares. Porém, na teoria linear, é assumido que as amplitudes das ondas são infinitamente pequenas (teoria de pequena amplitude) e então a superfície do mar é quase plana. Para simplificar, assume-se que o fluxo é bidimensional e que as ondas viajam na direção x. Assume-se também que o efeito de Coriolis e a viscosidade são negligenciados (STEWART, 2005).
Fredsøe e Deigaard (1997) também assumem que a cinemática das ondas são usualmente descritas pela teoria potencial requerendo o fluido a ser invíscido e irrotacional. Nesse caso, um potencial φ pode ser introduzido, no qual está relacionado ao campo de velocidade por
x u ∂ ∂ = φ ; y v ∂ ∂ = φ ; z w ∂ ∂ = φ Equação 1
onde x e y são as coordenadas horizontais, e z é a coordenada vertical. A origem dos sistemas de coordenadas é localizada no leito marinho. u, v e w são as componentes da velocidade nas direções x, y e z . Pela introdução da Equação 1 na equação da continuidade =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Equação 2
a equação de Laplace é obtida
2 0 2 2 2 2 2 = ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φ φ φ φ z y x Equação 3
1. No leito marinho, a velocidade do fluxo perpendicular ao leito é zero. Para um leito plano horizontal é determinado
=0 ∂ ∂ = z w φ para z =0 Equação 4
2. Uma partícula do fluido localizada na superfície livre deve permanecer na superfície livre determinando
t w ∂ ∂ = η para z= h+η Equação 5 na qual h é a profundidade média da água, e η é a elevação da superfície.
3. A pressão na superfície da água deve ser igual à pressão atmosférica e pode ser posta como zero, pelo qual a equação de Bernoulli pode ser escrita como:
(
)
C(t) t g g w v u h = ∂ ∂ + + + + +η 1 φ 2 2 2 2 para z = h+η Equação 6 na qual C é somente uma função de t .Se a onda está bidimensional e periódica com um período T e uma direção de propagação na direção x, as Equações 3–6 podem ser resolvidas como um problema de valor de contorno.
Fredsøe e Deigaard (1997) mostraram que como a elevação da superfície máxima é assumida a ser pequena comparada a uma dimensão típica, por exemplo, o comprimento da onda L , o problema pode ser linearizado e resolvido analiticamente. Como todos os termos mais altos no ηmax/L são negligenciados, a solução para o problema de valor de contorno fica
sin( t kx) ) kh cosh( ) kz cosh( g H − − = ω ω φ 2 Equação 7 η = H cos(ωt−kx) 2 ou η =asin(kx−σt) Equação 8 tanh(kh) k g k c ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 ω Equação 9 cos( t kx) ) kh sinh( ) kz cosh( T H u =π ω − Equação 10 sin( t kx) ) kh sinh( ) kz sinh( T H w=−π ω − Equação 11
Essa é a solução linear de onda, também chamada de onda de Airy ou uma onda de ordem primária de Stokes. Na Equação 8, H é a altura da onda (distância da cava à crista), k é o número de onda, e ω a freqüência cíclica (ver Figura 1), k e ω sendo
definido como: L k = 2π , T π ω = 2 Equação 12
A equação da dispersão, a qual relaciona a freqüência angular ou cíclica (ω ) com o numero de onda (k), pode ser determinada como (Stewart ,2005):
ω2 = gktan(kh) Equação 13
Onde h é a profundidade da água e g é a aceleração devido a gravidade. E com isso elaborou-se uma relação da aproximação da equação da dispersão com a profundidade das águas, onde:
Aproximação de água profunda: é válida se a profundidade da água h é muito maior que o comprimento de onda L . Neste caso, h>> L, kh>>1 e tanh(kh)=1. Então a equação fica: ω2 = gk
Aproximação de água rasa: é válida se a profundidade da água h é muito menor que o comprimento de onda L . Neste caso, h<< L, kh<<1e tanh(kh)=kh. Então
Figura 1: Figura dos parâmetros de ondas. Fonte: Coleman (2001).
3.2.2. Velocidade da fase (Celeridade)
A velocidade de fase da onda, c , é a velocidade em que a onda se propaga e é definida como (Stewart,2005): k T L c = =ω Equação 14 Como conseqüência das aproximações da equação de dispersão, obtemos:
• Velocidade de fase em água profunda:
ω g k g
c= =
• Velocidade de fase em água rasa: c= gh
Estas aproximações possuem precisão de 5% nos limites estabelecidos.
Como pode ser observada nas equações acima, em águas profundas, a velocidade da fase depende do comprimento da onda ou da freqüência da onda, isto é, uma onda longa viaja mais rápida. Então, ondas de águas profundas são ditas dispersivas. Em águas rasas, a velocidade de fase depende exclusivamente da profundidade da água. Então,
3.2.3. Velocidade de Grupo
A velocidade de grupo é a velocidade de propagação da energia da onda. A definição de velocidade de grupo em duas dimensões é:
k cg ∆ ω ∆ = Equação 15
Usando a equação de dispersão na equação acima, se obtém a velocidade de grupo, (Fredsøe e Deigaard, 1997) : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = ) kh sinh( kh c dk dc k c cg 2 2 1 2 Equação 16
onde h é a profundidade média da água.
Usando as aproximações da equação da dispersão temos:
• Velocidade de grupo em águas profundas:
2 2 c g cg = = ω
• Velocidade de grupo em águas rasas: cg = gh =c
Nota-se então que, em águas profundas, a velocidade de grupo é menor que a celeridade.
Dessa forma, com as definições anteriormente descritas podemos dizer que a dispersão das ondas pode ser usada para trilhar tempestades. Como uma tempestade distante produz ondas de muitas freqüências, as ondas de baixas freqüências viajam mais rápida e alcançam a costa na frente das ondas de alta freqüência. Então quanto mais longe da tempestade, maior o atraso entre as ondas de diferentes freqüências (STEWART, 2005).
3.2.4. Velocidade de deriva (velocidade de transporte de massa) no fluxo irrotacional
Em Fredsøe e Deigaard (1997) é encontrada uma relação que é essencial para distinguir entre a velocidade média u medida em um ponto fixo e a velocidade de deriva U, a qual é a velocidade média de uma partícula de fluido média sobre um período de onda.
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ) kh ( sinh ) kz ( sinh ) kz ( cosh T H c u U 2 2 2 2 2 1 π Equação 17
A descarga da água associada com a deriva é encontrada pela integração sobre a profundidade da água ) kh tanh( T H qdrift 1 4 2 π = Equação 18 3.2.5. Energia da Onda
A energia da onda consiste de duas partes, a energia potencial e a cinética. Para uma onda de Airy a energia potencial por unidade de área é determinada por
2 16
1
gH
Epot = ρ Equação 19 A energia cinética é determinada por
2 16
1
gH
Ekin = ρ Equação 20
A energia é transportada na direção da propagação da onda, em um grupo de velocidade.
3.2.6. Altura significativa
Encontra-se em Stewart (2005), é comum representar as alturas de um registro de ondas usando o conceito de altura significativa (
3 1
H ), que consiste em fazer a média do terço
das maiores alturas ondas. Por exemplo no registro apresentado na Figura 2, pegam-se as alturas da ondas e ordenam-se de maior para menor e identifica-se o terço superior, contendo as maiores alturas de ondas, e tira-se a média obtendo
3 1
Figura 2: Curto registro de ondas no Atlântico Norte. Fonte Stewart (2005).
Mais recentemente, a altura de onda significativa é calculada pelo deslocamento da superfície livre. Em um mar com freqüência de ondas de banda estreita,
3 1
H está
relacionada ao desvio padrão do deslocamento da superfície:
2 12 3
1 4
H = <η > Equação 21 onde <η2 >12
representa o desvio padrão da superfície livre.
3.3. ONDAS NÃO LINEARES
3.3.1. Conceitos Básicos
As propriedades das ondas de superfície do oceano foram derivadas assumindo que a amplitude era muito pequena ka =O(0). Na verdade, a amplitude não é pequena, mas sim o produto ka, e as propriedades da onda podem ser expandidas numa série de potências de ka (STOKES, 1847 apud STEWART, 2005). O cálculo das propriedades da onda de amplitude finita resulta em uma Série de Fourier:
η
=acos(kx−ω
t)+ ka cos (kx−ω
t)+ k a cos3(kx−ω
t)+... 8 3 2 2 1 2 2 3 Equação 22A expansão da Série de Fourier para η mostra que as ondas não-lineares tem cristas afiladas e cavas aplainadas (Ondas de Stokes).
De acordo com Stewart (2005) o desenvolvimento do estudo das ondas não-lineares foi lento. Até que se descobriu que n ondas livres propagando-se em qualquer direção sobre
a superfície do mar podem interagir para produzir mais uma onda livre somente se as freqüências e os números de onda das ondas que interagem somam zero:
ω1±ω2±ω3±L+ωn =0 Equação 23a
k1±k2±k3±L+kn =0 Equação 23b
ωi2 = gki Equação 23c
A onda de Stokes não segue o critério das Equações 23 e os componentes da onda não são ondas livres; as maiores harmônicas são limitadas pelas ondas primárias.
3.3.2. Momentum da Onda
Segundo Stewart (2005) de forma geral, as ondas não têm momentum, fluxo de massa, mas elas têm um fluxo de momentum. Isto é verdadeiro para ondas na superfície do mar.
Entretanto, esta evidência é contradita para ondas não-lineares tais como as ondas de Stokes. Partículas de água dirigidas pela onda de Stokes se movem lentamente na direção de propagação da onda. Este é o transporte de massa; e o fenômeno é chamado deriva de Stokes e ele inicia uma corrente inercial.
3.3.3. Ondas Solitárias
Ondas solitárias são outras classes de ondas não-lineares. Elas se propagam sem mudar sua forma, e duas solitárias podem se cruzar sem interagir. As propriedades das ondas solitárias resultam de um balanço exato entre a dispersão, a qual tende a espalhar a onda solitária dentro do trem de ondas, e efeitos não lineares que tendem a encurtar e elevar a onda. O tipo de onda solitária em água rasa vista por Russell, tinha uma forma:
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x ct h a h sec a / 2 1 3 2 4 3 η Equação 24a qual se propagava com uma velocidade: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = h a c c 2 1 0 Equação 25
As ondas solitárias são não dispersivas assim como as ondas de água rasa. Entretanto as ondas de águas rasas mudam de forma quando se propagam (dependente da profundidade), enquanto as ondas solitárias não (STEWART, 2005).
Pond e Pickard (1989) realizaram uma comparação com a onda de segunda ordem de Stokes (Figura 3(b)) com o a simples onda (linear) sinuosa (Figura 3 (a)). Este formato agudo da crista é facilmente observado em ondas reais. Há ainda a correção da velocidade da fase como
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 1 2 1 1 a k k g cs Equação 26
Figura 3: Comparação de Formas de ondas. Fonte: Pond e Pickard (1989), modificado aqui.
Portanto como visto anteriormente em águas profundas, as ondas de maiores amplitudes viajam mais rápida que as ondas de menores amplitudes. Em águas rasas haverá
variações na velocidade, comprimento de onda e na amplitude. Quando chegam em águas muito rasas não haverá dispersão de ondas de comprimentos diferentes, mas as ondas de amplitudes maiores viajam mais rápida que as de amplitudes menores. Além disso, as cristas tornam-se mais rápidas que as cavas, tornando a face frontal mais íngrime. Portanto, as ondas quando chegam em águas mais rasas sofrem várias modificações onde as principais são a refração, a difração, o empinamento e a quebra.
3.4. PRINCIPAIS TRANSFORMAÇÕES DAS ONDAS
As ondas geradas em águas profundas e propagando em direção à costa se dirigem para águas com profundidades mais rasas. Conforme estas ondas movem-se para águas rasas,
2 1 =<
L
h , onde h é a profundidade da água e L é o comprimento de onda, a
onda começa a sentir o fundo causando uma fricção entre o sedimento e o movimento orbital das partículas na água (DAVIS, 1985). É encontrado em Hoefel (1998) que após esse ponto, h L=< 12, as ondas sofrem quatro processos básicos: O empinamento (stepness ou shoaling), a refração, a difração e a fricção com o fundo.
3.4.1. Refração
De forma geral, quando as ondas se movem em águas rasas, o período permanece constante, mas a velocidade decresce e conseqüentemente o comprimento de onda decresce também. A partir disto, se uma série de ondas de cristas paralelas se aproxima de uma linha de costa reta num certo ângulo obliquo acima da superfície plana do fundo do mar, aonde vai ficando mais raso gradativamente, progressivamente mudam de direção a partir da onda que estiver mais perto da costa, que diminui a velocidade antes das que estão mais longe (POND e PICKARD 1989).
Com isso nestas águas rasas, as ondas são influenciadas pelo fundo marinho de modo que a sua crista tende a se alinhar à linha de costa denominando assim o processo de Refração (Figura 4 ).
Figura 4: Figura mostrando refração de ondas. Fonte: Coleman (2001)
3.4.2. Difração
A difração é o fenômeno em que as ondas sofrem variações em sua propagação provocadas por ilhas, quebra mares (SOARES e CHACALTANA, 2002) e até mesmo recifes. Nesta situação a energia se espalha lateralmente perpendicular à direção dominante da propagação da onda (Figura 5).
Pond e Pickard (1989) também indicam que se ondas oceânicas chegam de uma entrada de uma marina, esta entrada irá atuar como uma fonte de onda para a mesma área da marina. Se a abertura da entrada é larga (comparada com o comprimento de onda) grande quantidade de energia da onda entrará na marina na mesma direção da propagação da onda, mas, perto dos lados da abertura da entrada, alguma energia da onda será difratada na área de “sombra”, atrás das paredes da marina. Quando a abertura da entrada, em uma parede ou recife no mar, é estreita a energia da onda irá se espalhar na área da marina como ondas difratadas na forma de arcos circulares centrados na abertura da marina.
Figura 5: Figura de Difração das ondas propagando em direção de uma estrutura. Fonte: Hoult (2004)
3.4.3. Empinamento e Fricção com o fundo
A diminuição da velocidade da onda e um decréscimo no comprimento de onda, devido à diminuição da profundidade, provoca um aumento da energia de onda, expresso fisicamente através do aumento da altura da onda caracterizando o processo de empinamento (DAVIS, 1985; HOEFEL, 1998).
A fricção do fundo causa o empinamento da onda (Figura 6) no qual a velocidade orbital excede a velocidade da onda, causando a quebra da onda (DAVIS, 1985). A quebra causa a dissipação da energia da onda e redistribuição sobre uma ampla variação de freqüências (HENDERSON, 2001), e quando as ondas começam a quebrar, uma parte da energia da onda é transformada em turbulência e calor, e a altura da onda diminui em direção à costa (RATTANAPITIKON e KARUNCHINTADIT, 2000). Sendo assim, dependendo do tipo de quebra, uma grande turbulência associada com a quebra das
3.5. QUEBRA DE ONDAS
O conhecimento do mecanismo de quebra das ondas na praia é essencial para entender todos os processos costeiros. Na prática, a quebra das ondas são poderosos agentes de mistura; podem desalojar e arremessar sedimentos em suspensão, que então será carregado pelas correntes induzidas pela onda tais como as correntes longitudinais (longshore currents) ou as correntes de retorno (rip currents), (LIN E LIU, 1998).
3.5.1. Conceitos básicos
Para iniciar o estudo da teoria de quebra de ondas, definem-se aqui os processos que identificam a ocorrência das quebras de ondas nas regiões proximais da costa. Estes processos podem ser associados à pré-quebra das ondas, à quebra das ondas e aos processos ocasionados após a quebra das ondas. Com relação ao estágio de pré-quebra das ondas, pode ser definido como todos os processos que as ondas vindas de águas profundas sofrem quando chegam nas regiões próximas da costa, estes processos foram definidos anteriormente nesta seção sobre a Teoria de Ondas. Agora, abordaremos o processo de quebra das ondas com as formas diferenciadas de quebras e uma pequena introdução aos processos ocasionados pela a ação de quebra das ondas nas regiões costeiras, como as correntes e transporte de sedimentos nestas regiões.
Figura 6: Empinamento e quebra da onda devido a influencia do fundo marinho. Fonte: Coleman (2001).
3.5.2. Zonação Hidrodinâmica
Segundo Peregrine (1998) quase todas as ondas geradas pelo vento incidem nas praias quebrando e propagando em direção à linha de costa como vagalhões (bores). A partir daí, baseando-se em Hoefel (1998), podemos delimitar três zonas da ação de quebras de ondas em uma praia: Zona de Arrebentação (Breaking Zone), Zona de Surfe (Surf zone) e Zona de Espraiamento (Swash zone).
A zona de arrebentação é aquela porção do perfil praial caracterizada pela ocorrência do processo de quebra da onda, que representa o modo de dissipação energética da onda sobre a praia. A zona de surfe compreende àquela região em que as ondas propagam após a quebra, no caso de praias de baixa declividade as ondas sofrem um decaimento exponencial de altura, até atingir a linha de praia. Em praias que predominantemente refletem a energia de ondas incidentes, ou seja, em praias muito ingrimes, a zona de surfe tende a ser dominada por movimentos de freqüência subharmônicas, de período igual ao dobro da onda incidente (HOEFEL, 1998).
são cruciais para projetos de estruturas costeiras e para a quantificação de poluentes e processos de transporte de sedimentos. A ação da quebra das ondas resulta em um movimento altamente complexo, compreendendo movimentos médios, orbitais e flutuações (turbulência) que tem, até agora, desafiado as precisões das medidas e a modelagem.
3.5.3. Efeitos da Quebra das Ondas na Região Costeira.
Como visto anteriormente, a energia das ondas é dissipada ao longo da zona de surfe e grande parte dessa energia muitas vezes é transferida para gerar correntes costeiras e, assim, gerar alterações na linha de costa (Figura 7). As principais e mais importantes correntes geradas na zona de surfe são as correntes longitudinais e as correntes de retorno.
As correntes longitudinais (longshore currents) são aquelas que se movem paralela à costa (Figura 8) e que causam a maior quantidade de transporte de sedimentos (DAVIS, 1985); e as correntes de retorno (rip currents) consistem naquelas que se movem em um sentido transversal à costa dirigindo-se para região offshore (Figura 9). Entretanto, estas correntes e o transporte de sedimentos ocasionado por estas correntes não serão abordados aqui.
Figura 7: Principais processos devido a ação das ondas na região costeira. Fonte: Coleman (2001).
Figura 9: Correntes de retorno – Rosarita Beach, Baja Califórnia, México. Fonte: Peregrine (1998).
3.5.4. Alteração da Linha de Costa
As alterações da linha de costa devem-se principalmente a chegada de ondas sem tempestade e de tempestade. As ondas sem tempestade estão sujeitas a condições de energias físicas moderada ou baixas, ocasionadas geralmente por ondas swell. Nesta condição o ambiente encontra-se na forma de caráter construtivo, devido à quantidade e a taxa de transporte de sedimento ser muito menor em condições de baixa energia que de alta energia. Conseqüente a isso, essa fase tende a reconstruir a praia da erosão causada por ondas de tempestade, porém é um processo lento e se as ondas de tempestades ocorrerem em intervalos freqüentes, o resultado líquido é a erosão. As condições de alta energia causadas pela tempestade criam consideráveis mudanças na praia e na zona de surfe em um curto período de tempo. Provavelmente a regra mais significante é o fornecimento de grandes quantidades de sedimentos suspensos para ser transportado pelas correntes da zona de surfe (DAVIS, 1985).
Após o final da quebra de uma onda em sua progressão através da zona costeira, existe um uprush, um fluxo de água sobre a face da praia (beachface). Logo em seguida, o
backwash causado pela gravidade o que resulta em um refluxo de água com velocidade
inicialmente baixa; entretanto, a aceleração pode ser rápida com as condições de regime de fluxo superficial alcançados. A velocidade do refluxo depende da declividade da face da praia, da perda de volume por percolação, do volume de água neste refluxo, e da
Células de Retorno
adição de água da zona efluente. Estes fluxo e refluxo definem o espraiamento (swash) da face da praia que são importantes na morfologia da linha de costa (Figura 10), contudo neste trabalho somente abordaremos até o ponto de quebra das ondas na zona de surfe.
Figura 10: Ação das ondas na zona de espraiamento da praia. Fonte: Coleman (2001).
3.5.5. Tipos de Quebras de onda
A maioria de estudos de transformações e quebra de ondas em águas rasas têm sido conduzidos em declividades relativamente planas de baixo gradiente. Esses estudos descobriram que as características de uma quebra de onda são primariamente dependentes das condições de ondas de águas profundas (a altura de onda, H , e o 0
0 0 0 L H tanβ ξ = ; ou 0 L H tan b b β ξ = Equação 27
onde ξ é o Número de Irribarrem, H é a altura de onda de água profunda, 0 L é o 0
comprimento de onda de água profunda, β é a declividade da praia e H é a altura da b
onda no ponto de quebra e pode ser escrito na seguinte forma
5 1 0 0 0 56 0 / b H L , H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (FREDSØE e DEIGAARD,1997).
Uma vez que ξ é calculado, este será usado para classificar o tipo de quebra, com os valores maiores indicando as mais altas intensidades de quebra, sendo cada tipo de quebra classificado dentro de uma variação de valores (MEAD e BLACK, 2001). Com isso, dependendo da declividade da praia, da altura e do comprimento da onda, as ondas podem quebrar basicamente de quatro modos (HOEFEL, 1998; HENDERSON, 2001; FREDSØE e DEIGAARD,1997 ), Figura 11:
Deslizante (spilling breaker), se ξ0 <0,5 ou ξb <0,4. Ocorre em praias de baixa declividade, nas quais a onda gradualmente empina-se deslizando sobre a cava, dissipando sua energia através de uma larga faixa.
Mergulhante (plunging breaker), se 0,5<ξ0 <3,3 ou 0,4<ξb <2,0. Ocorre em praias de declividade moderada a alta. A onda empina-se abruptamente ao aproximar-se da costa e quebra violentamente formando um tubo, dissipando sua energia sobre uma pequena porção do perfil, através de um vórtice de alta turbulência.
Ascendente (surging breaker), se ξ0 >3,3 ou ξb >2,0. Ocorre em praias de declividade tão alta que a onda não chega a quebrar propriamente, ascendendo sobre a face praial e interagindo com o refluxo das ondas anteriores.
Colapsante (collapsing breaker). É o tipo de mais difícil identificação. Ocorre também em praias de pendente abrupta e é considerado um tipo intermediário entre o mergulhante e ascendente.
Figura 11: Tipos de quebras de ondas, de cima para baixo, deslizantes, mergulhantes, colapsantes e
ascendentes. Fonte: Coleman (2001)
Para um estudo de Recifes Artificiais para o surfe é necessário um estudo destes tipos de quebras para predizer quais as quebras que são mais adequadas para a prática do surfe. Mead e Black (2001) realizaram um estudo das quebras que são de boa qualidade para o surfe e concluíram que quebras deslizantes e mergulhantes são as mais utilizadas para o surfe, porém a face de uma onda deslizante é suavemente inclinada e então fornece baixa velocidade da prancha em comparação à face mais inclinada da onda mergulhante, sendo esta última o melhor tipo para a aplicação de manobras mais avançadas (Figura 12). Enquanto que as colapsante e ascendentes ocorrem na face da praia ou onde o gradiente muito inclinado do leito marinho fica próximo da superfície da água. Tais ondas
Figura 12: Surfista realizando manobra denominada de “tubo” em uma onda mergulhante. Fonte: Mead e
Black (2001).
Uma convencional aproximação para a construção de um recife artificial de surfe é criar uma topografia irregular do leito marinho que causa a quebra das ondas de modo desejado (WEST et al., 2003).
4. MODELAGEM NUMÉRICA
4.1. EMBASAMENTO TEÓRICO
Muitas soluções analíticas para as equações do movimento são difíceis ou impossíveis de se obter para escoamentos típicos no oceano. O problema é devido aos termos não-lineares, turbulência, e a necessidade de formas realísticas para o fundo marinho e linhas de costa (STEWART, 2005).
Algumas tentativas foram feitas para resolver as equações diferenciais analiticamente com os termos não-lineares inclusos. Entretanto, apenas soluções restritas para casos muito especiais puderam ser obtidas. A necessidade de incluir os termos não-lineares tem levado para o desenvolvimento de modelos numéricos avançados. Assim, é possível obter soluções usando equações aproximadas que podem ser resolvidas numericamente usando um computador, dando origem à modelagem numérica (POND e PICKARD, 1989).
Os modelos numéricos são amplamente utilizados para muitas propostas na oceanografia. Stewart (2005) divide os modelos em duas classes:
a) Modelos Mecânicos: são modelos simplificados usados para estudar processos. Devido aos modelos serem simplificados, os dados de saída (output) são mais fáceis de serem interpretados comparados àqueles mais complexos.
b) Modelos de Simulação: são usados para calcular a circulação realística das regiões oceânicas. Os modelos são freqüentemente muito complexos porque todos os processos importantes são incluídos, e os dados de saída são difíceis de serem interpretados.
A modelagem e visualização dos cenários oceânicos tem sido um desafio para a computação gráfica por um longo período (JESCHKE et al., 2003). Neste trabalho utilizaremos um modelo de simulação de ondas em regiões costeiras para o estudo das quebras de ondas sobre uma estrutura submergida em uma cena costeira.
4.2. MODELO FUNWAVE
O modelo utilizado neste trabalho é o FUNWAVE 1.0, no qual baseia-se nas equações estendidas do tipo Boussinesq.
A equações do tipo Boussinesq fornecem uma base geral para o estudo de propagação de ondas em duas dimensões horizontal. Em princípio, esta equação pode modelar as equações de águas rasas para a propagação de ondas linear não-dispersiva. As equações do tipo Boussinesq continuamente vêm sendo estendidas pela adição de termos que incluem os efeitos não-lineares e de dispersão. A formulação do tipo Boussinesq do modelo FUNWAVE fornece uma base segura e bem testada para a simulação de propagação de ondas em regiões costeiras (KIRBY et al., 1998).
Segundo Zou (2000), as equações clássicas de Boussinesq são conhecidas por incorporar uma fraca dispersão e uma fraca não-linearidade. Dessa forma as equações clássicas ou também conhecidas como Equações de Peregrine (1967) não são validas
e Sørensen (1992) apresentaram as equações estendidas de Boussinesq aplicáveis para o estudo da propagação de ondas irregulares sobre uma batimetria, variando moderadamente de água profunda para água rasa. As equações incorporam excelentemente as características de dispersão linear, que são viáveis em águas rasas e da extrema importância em águas profundas.
As novas equações tornaram possível a simulação de trens de ondas irregulares viajando de águas profundas para águas rasas. Madsen et al. (2002) também apresentaram um novo método para as equações do tipo Boussinesq com o objetivo de melhorar a precisão da variação vertical do campo de velocidade e assim como a precisão de propriedades lineares e não-lineares.
As aproximações levam a modelos com relação de dispersão que podem ser escritos na forma (GOBBI e KIRBY, 1999):
( )
2 2 2 2 1 3 1 1 ) kh ( kh ghk α α ϖ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Equação 28onde k é o número de onda, h é a profundidade da água, g é a aceleração da gravidade e α é o parâmetro obtido da aproximação de Padé (Equação 28) da relação de dispersão.
O parâmetro kh é freqüentemente usado para indicar se a onda está em águas rasas, intermediárias ou profundas. Em águas rasas o parâmetro kh tende a zero e todas as celeridades da onda normalizada por gh aproximam-se da unidade. Entretanto, conforme kh aumenta, as discrepâncias com a solução exata ficam grandes. A relação de dispersão da equação estendida de Boussinesq para um valor ótimo α =−0,390 é mais próximo da solução exata nas profundidades de águas intermediárias do que aquela equação de Boussinesq padrão de Peregrine (KIRBY et al., 1998).
De acordo com Agnon et al. (1999), a introdução da aproximação de Padé melhora as características da dispersão e de empinamento das equações do tipo Boussinesq. Contudo vários autores têm demonstrado a utilidade das diversas aproximações na predição das transformações das ondas na região costeira, na quebra da onda na zona de surfe e do run-up, e na modelagem da circulação induzida por ondas. Gobbi et al.
comparam muito bem com a solução do problema totalmente potencial, sobre a variação das profundidades em água costeira, exceto para algumas discrepâncias nos perfis de velocidade em ondas perto da quebra. Estas imperfeições na predição de perfis verticais nos modelos existentes do tipo Boussinesq são devido ao fato que assumem os perfis de velocidade a serem polinomial de segunda ordem na coordenada vertical z (GOBBI et al., 2000).
Segundo Agnon et al. (1999) os métodos mais usados para a obtenção das equações de Boussinesq de alta ordem são baseados em duas técnicas: uma é a escolha apropriada das variáveis de velocidade que melhoram as características dispersivas da equação resultante, e a outra é o melhoramento das equações pela aplicação apropriada de operadores lineares para a equação da continuidade e a equação do momentum. Estas escolhas levam a um sistema dependente do tempo no qual a dispersão, a não-linearidade e o empinamento são todos complementados. Em água de profundidade intermediária, são requeridos termos de mais alta ordem para a representação da dispersão e do empinamento.
Comparado com os modelos de Boussinesq prévios, a propriedade de dispersão linear do modelo de Boussinesq de Nakajima et al. (2003) é significantemente melhorado; Para a celeridade da onda, os modelos de 5ª e 3ª ordem teve um excelente ajuste com resultados teóricos, na variação de kh<50 e kh<10, respectivamente.
4.2.1. Equações do Modelo Numérico FUNWAVE
A base matemática das equações de Boussinesq totalmente não-lineares utilizadas neste trabalho foram obtidas por Wei et al. (1995) e podem ser encontradas em Kirby et al. (1998). As equações básicas podem ser escritas como
(
)
(
)
(
( )
)
(
)
(
)
0 6 1 2 1 2 1 2 2 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⋅ ∇ ∇ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⋅ ∇ ∇ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ⋅ ∇ + α α α α α η η η η η u h h z hu h z u h t Equação 29(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)(
)
[
( )
]
(
)(
) ( )
(
)
(
)
0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∇⋅ +∇⋅ − ⋅ ∇ ∇ ⋅ − ∇ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⋅∇ ∇⋅ + ∇⋅ + ∇⋅ ∇ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∇∇⋅ +∇∇⋅ + ∇ + ∇ ⋅ + t t t t t hu u hu u z u hu u u z hu u z z g u u u α α α α α α α α α α α α α α α α α η η η η η η Equação 30onde η á a elevação da superfície, h é a profundidade da água em repouso (still water
depth), u é o vetor velocidade horizontal obtido na profundidade α z = zα =−0,531h,
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ y ,
x é o operador gradiente horizontal, g é a aceleração da gravidade, e o
subscrito t é a derivada parcial no tempo. As Equações 29 e 30 estão relacionadas às equações da conservação da massa e do momentum, respectivamente. Como detalhado anteriormente, as Equações 29 e 30 podem ser transformadas nas diferentes equações de governo da propagação de ondas pela simples exclusão de certos termos e/ou mudanças de certos coeficientes.
As Equações 29 e 30 descrevem a evolução da onda sem fricção, sem quebra, sobre um fundo liso impermeável. Para desenvolver um modelo para aplicações práticas, vários efeitos têm que ser incorporado no modelo esquemático, incluindo efeitos físicos de amortecimento friccional e quebra de onda, e assim como extensões necessárias para desempenhar tarefas puramente numéricas incluindo a geração de ondas, fronteiras de absorção, e movimento da linha de costa.
Kirby et al. (1998) reescreveram as Equações 29 e 30 incluindo essas extensões para o modelo FUNWAVE.
Seria desejável ter as condições de contorno para o modelo de Boussinesq que possam fornecer uma combinação da geração de onda, absorção de onda, e efeitos de reflexão de onda. Contudo, Camadas esponjas são localizadas nas extremidades do domínio para
efetivamente absorver a energia das ondas que deixam o domínio (waves outgoing) com diferentes freqüências e direções.
Na tentativa de gerar uma onda a partir de uma fonte geradora em uma região orientada ao longo do eixo y , Wei et al. (1999) assumiram uma profundidade constante h para gerar uma onda com amplitude a e freqüência angular 0 ω propagando na direção x
(Figura 13). Para uma componente individual da onda, θ é o ângulo entre a direção de propagação e o eixo x. A forçante de geração das ondas é localizada em alguma região de x1≤ x≤ x2, onde x2−x1 terá o tamanho de um comprimento de onda. Todas as formulações matemáticas da função fonte do modelo FUNWAVE encontram-se em Wei et
al. (1999) e Chawla e Kirby (2000).
Figura 13: Definição da função fonte no domínio computacional. Fonte: Wei et al. (1999).
Devido às interações não-lineares no modelo, são gerados harmônicos de ordem superior à medida que a onda se propaga no domínio. Para eliminar o crescimento dos
4.2.2. Descrição da Estrutura do Modelo
O modelo está em linguagem Fortran 77 e inclui vários programas:
• initw.f – Este programa deve ser o primeiro a ser executado, pois serve para gerar condições iniciais de elevação de superfície livre em todos os pontos do domínio;
• 1dsource.f – Este programa serve para gerar a série temporal de entrada para a função fonte de ondas, usando séries temporais medidas ou através do espectro, e é apenas utilizado para a versão unidimensional do modelo. Na versão bidimensional, apenas é possível gerar agitação regular através de uma sub-rotina incluída no programa principal;
• funwave1d (ou 2d).f – Programa principal que calcula a elevação da superfície livre e velocidades horizontais em todo o domínio;
• depth.f – Programa para gerar o Arquivo de batimetria dos exemplos do manual;
• b2dp2.f – Programa para pós-processamento dos resultados do programa funwave2d.f.
Os Arquivos de entrada necessários para executar o modelo FUNWAVE são:
• funwave1d (ou 2d, conforme a situação).data – Arquivo que contém todos os parâmetros de controle, descritos mais à frente, a serem usados pelos programas;
• f1n – Arquivo que contém os dados de batimetria;
• f2n – Arquivo que contém os valores de elevação da superfície livre e da velocidade horizontal do campo de ondas inicial;
• f3n – Arquivo que contém a série temporal da amplitude da função fonte de ondas;
• 1dsource.data – Arquivo que contém os dados para gerar ondas (no caso unidimensional);
• param.h – Arquivo que contém as dimensões das matrizes do programa funwave1d.f.
Os Arquivo de saída do programa são:
• f4n - Arquivo que contém a série temporal de elevação da superfície livre em diversas sondas;
• f5n - Arquivo que pode conter séries temporais de outras quantidades como volume de água ou componentes horizontais da velocidade;
• f6n - Arquivo reservado para perfis espaciais de elevação da superfície livre especificados pelo passo temporal itg a definir pelo usuário;
• f7n - Arquivo que contém perfis espaciais da elevação da superfície livre ou componente da velocidade média nos passos temporais controlados por itbgn, itend, itdel.
O programa depth.f, da versão bidimensional do modelo FUNWAVE, apenas é utilizado para gerar o Arquivo de batimetria dos exemplos do manual. Nas aplicações que não fazem parte do manual é necessário construir o Arquivo da batimetria pretendida.
4.2.3. Descrição dos Parâmetros de Entrada do Modelo
Os parâmetros do Arquivo funwave1d (ou 2d).data são os seguintes:
ibe – Parâmetro que define o tipo de equações de Boussinesq a utilizar: 0 – Equações de Nwogu linearizadas; 1- Equações de Boussinesq estendidas; 2 – Equações de Boussinesq totalmente não lineares (Wei et al., 1995); 3 – Equações de Boussinesq (Peregrine, 1967) e 4 – Equações não lineares para águas pouco profundas;
• imch – Número de identificação para diferentes tipos de computador devido ao diferente tamanho de gravação de dados para o formato binário: 1 – estações SGI; 8 – Sun and Cray J90;
• ianm – Número de identificação para uso de animação para o programa unidimensional: 1 – Animação em máquinas SGI; 0 – sem animação;
• a0 – Amplitude inicial em metros. Para o caso de ondas geradas a partir de um espectro, é a amplitude média quadrática;
• h0 – Profundidade da coluna de água na zona de geração de ondas;
• mx,ny - Número de pontos da malha nas direções x e y respectivamente;
• nt – Número de passos temporais que o programa executa;
• itbgn, itend, itdel – Início, fim e intervalo de passos temporais para guardar valores de elevação de superfície livre;
• itscr – Número de passos temporais entre apresentação de resultados na tela;
• itftr – Número de passos temporais entre aplicações do filtro numérico. No manual é aconselhado um valor correspondente a quatro vezes o período da onda;
• theta – Ângulo (em graus) entre a direção da onda e o eixo dos xx (apenas para a versão bidimensional do modelo);
• cbkv – Coeficiente que permite a variação do parâmetro para o esquema de rebentação;
• delta – Largura da fenda do fundo. Pode variar entre 0.002 a 0.02;
• slmda – Tipo de permeabilidade do fundo. Pode variar entre 20 e 80;
• isltb – Ponto do domínio onde se inicia o fundo permeável;
• islte – Ponto do domínio onde termina o fundo permeável;
• isrc – Ponto do domínio onde se encontra a linha central da função fonte, na direção x;
• jsrc – Ponto do domínio onde se encontra a linha central da função fonte, na direção y;
• swidth – Relação entre a largura da função fonte e metade do comprimento de onda. Deve ser de O(1);
• cpsg, cpsg2, cpsg3 – Coeficientes para os três diferentes tipos de camada de absorção. Os valores utilizados para testes são: 10, 0, 0;
• ispg – Largura das fronteiras de absorção (em pontos). No manual é sugerido um valor correspondente a 2 ou 3 comprimentos de onda. Quanto maior o seu valor, maior será a zona de absorção da energia das ondas;
• ngage – Número de sondas;
• ixg, iyg – Coordenadas da malha nas direções x e y, para as posições das sondas;
• itg – Passos temporais onde o perfil de elevação da superfície livre é guardado;
• f4n, f5n, f6n e f7n – Nomes dos Arquivos de saída do programa funwave (1d ou 2d).f;
• ck_bt – Coeficiente de atrito de fundo. Valores típicos: 1.0*10-3 a 5.0*10-3;
• itide – Parâmetro de controle do efeito das marés. 0 – não é considerado; 1 – é considerado;
• tideco – Coeficientes da curva parabólica ajustada para o efeito da maré na versão unidimensional do modelo.
Os parâmetros do Arquivo 1dsource.data (apenas para a versão unidimensional do modelo) são os seguintes:
• imeth – Parâmetro de controle para diferentes métodos de geração de séries temporais da função fonte de ondas: 1 – necessita de um espectro de ondas; 2 – é utilizada uma série temporal de ondas medida;
• f1, f2 – Menor e maior componente de freqüência a utilizar no espectro de ondas; No caso de agitação regular f1=f2;
• nf – Número de componentes de freqüência entre f1 e f2;
• fnin – Nome da série temporal de ondas de entrada;
• ntd – Número de passos temporais total da série temporal de ondas de entrada;
• dtd – Passo temporal (s) para a série temporal de entrada;
• nttrans – Número de passos temporais para aplicar a transformada de Fourier
(FFT) para cada segmento de dados. Deve ser um valor associado a uma potência de 2;
• hscale – Coeficiente para converter os valores de elevação da superfície livre em metros;
em um canal de fundo plano, e em um canal com batimetria de fundo, praia com declividade de 1:20 para o caso unidimensional. Para o caso bidimensional, a praia é adicionada um baixio. A simulação real é baseada em dados publicados da praia de Camburí, situada na Baía do Espírito Santo.
5.1. PROPAGAÇÃO DE ONDAS SOBRE UM CANAL DE FUNDO PLANO
O objetivo da presente simulação é verificar se os resultados obtidos pelo modelo computacional FUNWAVE reproduzem as características das ondas e os erros associados às diversas profundidades da coluna d’água.
Na tentativa de analisar o comportamento do modelo em um fundo plano utilizamos ondas monocromáticas, com período de 5s e amplitude 0,28m, propagando-se sobre diferentes profundidades em um canal de fundo plano. Durante a execução do modelo foi observado que a largura da função fonte (denominada de swidth) influencia na geração das ondas em qualquer profundidade. A partir de uma análise de sensibilidade para diferentes valores da largura da função fonte foi encontrada que conforme diminui o parâmetro
swidth a altura inicial das ondas aumenta. Para a execução do FUNWAVE neste trabalho
será utilizado o swidth igual a uma unidade, no qual se mostrou com melhores resultados.
As profundidades simuladas variam de L02 a
20
0
L
, o extremo superior limita a zona
entre águas intermediárias e profundas, e o extremo inferior limita a zona entre águas intermediárias e rasas. Fornecido o período da onda, o valor de L pode ser encontrado 0
através da equação de dispersão para água profundas, dada pela expressão abaixo.
π 2 2 0 gT L = Equação 31
onde L é o comprimento da onda em águas profundas, .. 0
Na Figura 14 é apresentada a estrutura do domínio usado neste exemplo. O comprimento do canal é de 838m e foi representado por 2096 pontos com espaçamento constante de
m .
dx=04 . O tempo de simulação do experimento foi 250s e usado um incremento de tempo de dt =0.01s. A escolha destes valores de dx e dt está relacionado com a necessidade de garantir a estabilidade da solução numérica, dado pelo número de Courant. Na presente simulação, o número de Courant escolhido para todo domínio é
inferior a 0.5. Foram distribuídas 34 sondas ao longo do canal para registrar a passagem da onda. Na analise desses registros serão considerados somente os 50s finais, ou seja, de 200s a 250s
Figura 14: Representação esquemática do domínio do canal de 838 m de extensão e profundidade
constante h.
As ondas são geradas a partir de uma função fonte localizada na posição x=144m. Para executar o modelo FUNWAVE é necessário gerar os seguintes dados: i) uma série temporal para a função fonte, ii) as profundidades do canal e iii) as condições iniciais para a elevação e a velocidade. Para gerar uma serie temporal para a função fonte foi usado o programa 1dsource.f. Existem duas formas de gerar esta série, a primeira forma usa um registro temporal das elevações da onda, e a segunda forma usa um espectro de onda. As duas formas de geração foram testadas no presente caso. Estas formas são indicadas pelo parâmetro imeth do programa 1dsource.data (Anexo 1).. Os resultados serão apresentados usando-se a segunda forma de geração, para produzir uma onda monocromática com as características dadas acima, ou seja, imeth = 1
Condições de contorno de absorção de energia são usadas nas extremidades do canal. Camadas esponjas são colocadas nas extremidades do canal com objetivo de absorver a
Os dados de profundidade são gerados pelo programa depth.f. As condições iniciais da onda, elevação da superfície (η) e velocidade horizontal (u), são gerados pelo programa
initw.f. Os parâmetros de controle do programa FUNWAVE são fornecidos através do
arquivo funwave1d.data (Anexo 2).
Também foram elaborados programas para o tratamento estatístico dos registros de onda e elaboração do periodograma.
O modelo FUNWAVE fornece os dados de elevação da superfície livre (η). Para os cálculos dos periodogramas e para a visualização dos valores de altura significativa ao longo do domínio, foi criado o programa etatout_sp.f e etatout_ts.f. Os valores de elevação da superfície livre ao longo dos passos temporais foram calculados em 34 sondas mostradas na Tabela 1.
Tabela 1: Tabela de localização das sondas no domínio de análise.
Sondas Posições (m) Sondas Posições (m)
S1 240 S18 478,4 S2 250 S19 497,6 S3 260 S20 516,8 S4 270 S21 530 S5 280 S22 540 S6 290 S23 560 S7 300 S24 580 S8 320 S25 600 S9 340 S26 620 S10 350 S27 640 S11 360 S28 660 S12 370 S29 680 S13 404,8 S30 700 S14 412 S31 720 S15 430 S32 740 S16 440 S33 760 S17 460 S34 780
Para cada profundidade, foi usado o programa etatout_ts.f para calcular os erros, máximo e médio, expressos respectivamente pelas equações abaixo (Vieira, 2004).
= −1⋅100 med max Hs Hs max ε Equação 32
