ANÁLISE AEROELÁSTICA NO ESPAÇO DE ESTADOS APLICADA A AERONAVES DE ASA FIXA

(1)

APLICADA A AERONAVES DE ASA FIXA

Eng. ROBERTO GIL ANNES DA SILVA

Disserta¸cão apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

ORIENTADOR : Prof. Dr. Eduardo Morgado Belo

S˜ao Carlos 1994

(2)

Aos meus Pais, Arnaldo e

Irene ; `a Michelle ; e ao

(3)

- Ao Hugo Borelli Resende, amigo e coorientador deste trabalho, com quem muito aprendi sobre ser um Mestre;

- Ao Paulo Tadeu de M. Louren¸c˜ao, que me incentivou e permitiu fazer este trabalho em conjunto com a Embraer;

- `A Embraer - se¸c˜ao de Aeroelasticidade, pelo apoio material e humano;

- Ao professor Alfredo Américo Hamar pelo aux´ılio e orienta¸cão junto ao tra-balho de revisão bibliográfica;

- Aos amigos Luis Cláudio, Fernando Santoro, Flávio, Pedro, João Azevedo, Paulo Moraes, Fernando Catalano, Michael, Manoel Galhart, e Mário Mucheroni, que de uma forma ou de outra me ajudaram direta ou indiretamente neste trabalho;

- `A IBM pelo aux´ılio prestado contribuindo para o meu aperfei¸coamento

aca-dˆemico;

- `A CAPES pelo provimento da bolsa que permitiu a realiza¸c˜ao deste trabalho;

- E, em especial, ao meu amigo e orientador Eduardo Morgado Belo, meu primeiro orientador, que muito contribuiu para a minha forma¸c˜ao, e que permitiu que eu chegasse onde estou.

(4)

1 INTRODUC¸ ˜AO 1

1.1 Defini¸c˜ao do Problema . . . 1

1.2 Objetivo do Trabalho . . . 4

1.3 Linhas Gerais do Trabalho . . . 5

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA 8

2.1 Modelos aerodinˆamicos . . . 10

2.2 Controle Ativo na Aeroelasticidade . . . 15

3 EQUAC¸ ˜OES DE MOVIMENTO 18

3.1 Se¸c˜ao T´ıpica . . . 18

3.1.1 Modelo Aerodinâmico Não-Estacionário

de Theodorsen . . . 22

3.2 Sistemas Aeroel´asticos Gerais . . . 24

3.2.1 Modelo Estrutural . . . 24

(5)

3.2.3 Teoria das Faixas . . . 30

4 MODELO AEROEL ÁSTICO NO ESPAÇ O DE ESTADOS 34 4.1 Aproxima¸cão por Fun¸cões Racionais . . . 34

4.1.1 O Polinˆomio de Pad´e . . . 36

4.1.2 M´etodo dos M´ınimos Quadrados . . . 39

4.2 Sistema Aerodinamicamente Aumentado . . . 42

5 AN ÁLISE DE FLUTTER 46 5.1 Diagramas V -g-f . . . 47 5.2 Método k . . . 49 5.3 Método p-k . . . 52 5.4 Método p . . . 55 6 RESULTADOS 58 6.1 Introdu¸cão . . . 58 6.2 Modelo dinâmico-estrutural. . . 59

6.3 Aproxima¸c˜ao por Fun¸c˜oes Racionais . . . 61

6.4 Análise Aeroelástica de uma Se¸cão T´ıpica . . . 78

6.5 An´alise Aeroel´astica de uma Asa. . . 89

(6)

7.1 Discuss˜ao . . . 149

7.2 Conclus˜oes . . . 150

7.3 Contribui¸c˜oes . . . 151

7.4 Sujest˜oes para Futuros Trabalhos . . . 152

A CARREGAMENTO AERODIN ˆAMICO 163

B PROCEDIMENTO DE INTERPOLAC¸ ˜AO POR SPLINES 165

C APROXIMAÇ ÃO AERODIN ÂMICA DE JONES 168

D M´ETODO DOS M´INIMOS QUADRADOS 172

(7)

1.1 Diagrama de Collar. . . 2

1.2 Diagrama de an´eis para a Aeroservoelasticidade. . . 4

3.1 Se¸c˜ao t´ıpica. . . 19

3.2 Asa discretizada em faixas. . . 30

5.1 Evolu¸c˜oes aeroel´asticas para uma asa - Modos 17 a 24. . . 48

6.1 Coeficientes de influência Q(1,2) _{versus frequência reduzida. (parte} imaginária) . . . 64

6.2 Coeficientes de influência Q(1,2) _{versus frequência reduzida. (parte real) 65} 6.3 Coeficientes de influência Q(1,2) _{versus frequência reduzida. (parte} imaginária) . . . 68

6.4 Coeficientes de influência Q(1,2) _{versus frequência reduzida. (parte real) 69} 6.5 Coeficientes de influência Q(1,2) _{versus frequência reduzida. (parte} imaginária) . . . 71

6.6 Coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{versus frequˆencia reduzida. (parte real) 72}

(8)

6.8 Coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{versus frequˆencia reduzida. (parte real) 74}

6.9 Evolu¸cões modais para uma se¸cão t´ıpica com três graus de liberdade. 79

6.13 Lugar das ra´ızes para a se¸c˜ao t´ıpica caso 2: velocidades de 10 a 360 m/s. . . 86 6.14 Lugar das ra´ızes para a se¸c˜ao t´ıpica caso 3: velocidades de 10 a 360

m/s. . . 87 6.15 Lugar das ra´ızes para a se¸c˜ao t´ıpica caso c): velocidades de 10 a 360

m/s. . . 88 6.16 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade - Método

k - Modos 7 a 16. . . 91 6.17 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade - Método

p-k - Modos 7 a 16. . . 93 6.19 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade - Método

p-k - Modos 17 a 31. . . 94

(9)

6.21 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade - Método k - Modos 17 a 31. . . 96 6.22 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade - Método

k - Modos 25 a 31 e 42. . . 102 6.27 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 4 graus de liberdade - Método

p-k - Modos 25 a 31 e 42. . . 105 6.30 Evolu¸c˜oes aeroel´asticas para a asa com 3 graus de liberdade -

com-para¸c˜ao entre os m´etodos k e p-k, modo 9 . . . 110

(10)

6.32 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade - com-para¸cão entre os métodos k e p-k, modo 14 . . . 112 6.33 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos k e p-k, modo 17 . . . 113 6.34 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p, três estados de atraso e p-k, modos 7 a

11. . . 115

6.35 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade - com-para¸cão entre os métodos p, três estados de atraso e p-k, modos 12 a 16 . . . 116 6.36 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p, três estados de atraso e p-k, modos 17 a 21. . . 117 6.37 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 2 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p com três estados de atraso e p-k, modos 27 a 31 . . . 119 6.39 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p, três estados de atraso e p-k, modos 7 a 11. . . 120

(11)

16. . . 121 6.41 Evolu¸c˜oes aeroel´asticas para a asa com 3 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p com três estados de atraso e p-k, modos 27 a 31. . . 124 6.44 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 4 graus de liberdade -

com-para¸cão entre os métodos p, três estados de atraso e p-k, modos 22 a 26. . . 128

(12)

27 a 31 e 42. . . 129

6.49 Modos 30 e 31 da asa com 4 graus de liberdade - m´etodo k . . . 132

6.50 Modos 30 e 31 da asa com 4 graus de liberdade - m´etodo p-k. . . 133

6.51 Modos 30 e 31 da asa com 4 graus de liberdade - m´etodo p. . . 134

6.52 Evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade - com-para¸cão entre os casos de 2 3 e 4 parâmetros de atraso. . . 135

6.56 Compara¸cão de evolu¸cões aeroelásticas para a asa com 3 graus de liberdade - para os casos de considera¸cão de “s” no numerador. . . . 140

6.59 Lugar das ra´ızes para a asa com 2 graus de liberdade (m´etodo p): velocidades variando de 1.0 a 500.0 m/s. . . 143

(13)

6.61 Lugar das ra´ızes para a asa com 4 graus de liberdade (m´etodo p): velocidades variando de 1.0 a 500.0 m/s. . . 145 6.62 Lugar das ra´ızes para a asa com 2 graus de liberdade (m´etodo p-k):

velocidades variando de 1.0 a 500.0 m/s. . . 146 6.63 Lugar das ra´ızes para a asa com 3 graus de liberdade (m´etodo p-k):

velocidades variando de 1.0 a 500.0 m/s. . . 147 6.64 Lugar das ra´ızes para a asa com 4 graus de liberdade (m´etodo p-k):

velocidades variando de 1.0 a 500.0 m/s. . . 148

(14)

6.1 Descri¸c˜ao dos modos el´asticos do modelo EMB-110. . . 60

6.2 Propriedades da se¸c˜ao t´ıpica com trˆes graus de liberdade. . . 62

6.3 Parˆametros de atraso. . . 62

6.4 Parte imagin´aria dos coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes ao}

gr´afico da Figura (6.1) . . . 66

6.5 Parte real dos coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes ao gr´afico da}

Figura (6.2) . . . 66

6.6 Parte imagin´aria dos coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes ao}

gr´afico da Figura (6.3). . . 70

6.7 Parte real dos coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes ao gr´afico da}

Figura (6.4). . . 70

6.8 Coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes aos gr´aficos das Figuras}

(6.5) e (6.6). . . 75

6.9 Coeficientes de influˆencia Q(1,2) _{referentes aos gr´aficos das Figuras}

(6.7) e (6.8). . . 75

(15)

6.11 Coeficientes de influˆencia Q(1,2)_{calculados para frequˆencias complexas.}

(parte real) . . . 77

6.12 Velocidades cr´ıticas de flutter. . . 80

6.13 Velocidades cr´ıticas de flutter. . . 81

6.14 Caracter´ısticas geom´etricas do modelo aerodinˆamico da asa. . . 89

6.15 Velocidades e frequˆencias de flutter da asa do EMB-110 (2 graus de liberdade). . . 106

6.18 Velocidades e frequências de flutter da asa do EMB-110, para o caso de três parâmetros de atraso, método p. . . 130

(16)

a Posi¸c˜ao do eixo el´astico a(i,j)

ap (ik) Polinˆomio de Pad´e avaliado em (i, j)

a(i,j)

n (ik) Coeficientes escalares do polinˆomio de Pad´e

a(i,j)t (ik) Valores tabelados avaliados em (i, j)

A(k) Matriz de coeficientes de influˆencia transformada

Aap(s) Polinˆomio de Pad´e

An matrizes coeficientes do polinˆomio de Pad´e

A(i,j)t Vetor dos valores tabelados para cada frequˆencia reduzida

A Matriz do sistema aeroel´astico aerodinamicamente aumentado

b semi-corda do perfil

be Matriz de amortecimento generalizado

bref Semi-corda do perfil (valor de referˆencia)

B Matriz de amortecimento da se¸c˜ao t´ıpica

Bc Matriz de amortecimento aerodinˆamico (circulat´oria)

Be Matriz de amortecimento da estrutura

Bnc Matriz de amortecimento aerodinâmico (não-circulatória)

c Posi¸c˜ao do bordo de fuga da se¸c˜ao principal

C(k) Fun¸c˜ao de Theodorsen

CLα Coeficiente de sustenta¸c˜ao

(17)

f Posi¸c˜ao do eixo de articula¸c˜ao do compensador

F _{Matriz formada pelos vetores {P (ik}m)}

F (k) Argumento real da fun¸c˜ao de Theodorsen

g Amortecimento de um modo aeroel´astico

g0 Amortecimento modal estrutural

G0 Matriz de amortecimentos modais estruturais

G(k) Argumento imagin´ario da fun¸c˜ao de Theodorsen

Gs Matriz de transforma¸c˜ao gen´erica

h Deslocamento em transla¸c˜ao vertical do perfil

h∗

Deslocamento em transla¸c˜ao vertical do perfil admensional

i argumento complexo

I Matriz identidade

Iα Momento de in´ercia do perfil

Iβ Momento de in´ercia da superf´ıcie de controle prim´aria

Iγ Momento de in´ercia do compensador

Jv Fun¸c˜ao de Bessel de primeiro tipo de ordem v

k Frequˆencia reduzida

ke Matriz de rigidez generalizada

K Matriz de rigidez da se¸c˜ao t´ıpica

Kc Matriz de rigidez aerodinˆamica (circulat´oria)

Ke Matriz de rigidez da estrutura

Knc Matriz de rigidez aerodinâmica (não-circulatória)

Kh Rigidez em flex˜ao do perfil

Kα Rigidez em tors˜ao do perfil

Kβ Rigidez em tors˜ao da superf´ıcie de controle prim´aria

Kγ Rigidez em tors˜ao do compensador

L(t) Vetor do carregamento aerodinˆamico sobre a se¸c˜ao t´ıpica

(18)

Ls(t) For¸ca aerodinâmica (sustenta¸cão) sobre a se¸cão t´ıpica

L Transformada de Laplace

me Matriz de massa generalizada

mk N´umero de frequˆencias reduzidas

M Matriz de massa da se¸c˜ao t´ıpica

Me Matriz de massa da estrutura

Mnc Matriz de massa aerodinâmica (não-circulatória)

Ms Massa da se¸c˜ao t´ıpica

Mα Momento de arfagem da se¸c˜ao t´ıpica

Mβ Momento de rota¸c˜ao da superf´ıcie de controle prim´aria

Mγ Momento de rota¸c˜ao do compensador

n n´umero de modos

nlag n´umero de parˆametros de atraso

p Autovalor dos problemas associados ao m´etodo p e p-k

P (ikm) Vetor das variáveis (frequências) do polinômio de Padé

qd Press˜ao dinˆamica

Ql(k) Matriz de coeficientes de influência aerodinâmicos da l-ésima faixa

Q(k) Matriz de coeficientes de influência aerodinâmicos da se¸cão t´ıpica

Qtot(k) Matriz de coeficientes de influˆencia aerodinˆamicos total

rα Raio de gira¸c˜ao do perfil

rβ Raio de gira¸c˜ao reduzido da superf´ıcie de controle prim´aria

rγ Raio de gira¸c˜ao reduzido do compensador

s Vari´avel de Laplace

s Vari´avel de Laplace adimensional

S Area da se¸c˜ao t´ıpica´

Sf Area da faixa´

Sα Momento est´atico do perfil

(19)

t Tempo

Uf Velocidade de flutter

U∞ Velocidade do escoamento livre (n˜ao-perturbado)

x(t) Vetor dos deslocamentos da se¸c˜ao t´ıpica

xe(t) Vetor dos deslocamentos estruturais

xa(t) Vetor dos deslocamentos estruturais em pontos aerodinˆamicos

xα Posi¸c˜ao do centro de gravidade do perfil

xβ Posi¸c˜ao do centro de gravidade da superf´ıcie de controle prim´aria

xγ Posi¸c˜ao do centro de gravidade do compensador

Yv Fun¸c˜ao de Bessel de segundo tipo de ordem v

α Angulo de ataqueˆ

β Angulo de rota¸c˜ao da superf´ıcie de controle prim´ariaˆ

βn Parˆametros de atraso do polinˆomio aproximador

γ Angulo de rota¸c˜ao do compensadorˆ

δ(·) Deslocamento virtual na coordenada (·)

∆p Fun¸c˜ao diferen¸ca

ηe Vetor de coordenadas generalizadas modais

η_{lag n} Estados aerodinˆamicos generalizados

ε(i, j) Erro entre os valores tabelados e os calculados pelo polinˆomio

λ Quadrado da frequˆencia (autovalor para movimento harmˆonico simples)

φa Vetor de coordenadas modais definida em pontos aerodinˆamicos

φae Vetor de coordenadas modais aeroel´asticas

φe Vetor de coordenadas modais estruturais

Φa Matriz modal definida em pontos aerodinˆamicos

Φe Matriz modal

ω Frequˆencia de movimento harmˆonico simples

ωh Frequência de vibra¸cão de deflexão da se¸cão principal

(20)

ωγ Frequˆencia de vibra¸c˜ao torsional (em γ)

ρ Densidade do ar

ξ Vetor de estados

ξβ fator de amortecimento associado a β

ξγ fator de amortecimento associado a γ

Subscritos a aerodinâmico ap aproximado c circulatório e estrutural l l-ésima faixa

m m-´esima frequˆencia reduzida

n n-ésimo coeficiente do polinômio de Padé

nc n˜ao-circulat´orio

nm nm-´esimo modo

nv nv-´esima velocidade

t tabelado

∞ Escoamento livre (n˜ao-perturbado)

Sobrescritos

T Transposta

− Conjugado complexo

(21)

O estudo de aeroelasticidade neste trabalho envolve uma metodologia de aná-lise aeroelástica no dom´ınio do tempo através de uma representa¸cão no espa¸co de estados. Do equacionamento aeroelástico no dom´ınio da frequência, obtém-se coe-ficientes de influência aerodinâmicos para uma faixa de valores destas frequências. Estes coeficientes são aproximados por um polinômio representativo no dom´ınio de Laplace. O método utilizado para a aproxima¸cão deste polinômio é o método dos m´ınimos quadrados para variáveis complexas. O polinômio aproximador escolhido é um polinômio de Padé. Sua conveniência à aproxima¸cão está no fato de representar termos de segunda ordem asssociados aos deslocamentos dinâmico-estruturais, e o atraso aerodinâmico associado ao fenômeno de flutter através de uma série de pólos. Chega-se a uma representa¸cão do fenômeno por fun¸cões racionais, ou fun¸cões de transferência, que permitem a representa¸cão no espa¸co de estados através de uma transforma¸cão inversa de Laplace. Como resultado tem-se um sistema aerodinami-camente aumentado por estados adicionais gerados quando é feita a representa¸cão do fenômeno de atraso aerodinâmico por uma série de pólos. Desta forma, pode-se analisar o sistema aeroelástico através da extra¸cão dos autovalores do sistema, determinando-se as fronteiras de flutter. Esta formula¸cão também facilita a inclusão de sistemas de controle para efeitos de análise aeroservoelástica.

Os resultados apresentados neste trabalho consistem em evolu¸cões dos modos aeroelásticos para os métodos k e p-k, fazendo-se compara¸cões entre os vários casos

de número e valor de parâmetros de atraso, em se tratando do método p. Assim,

mostra-se que a metodologia exposta no trabalho é eficiente para a aproxima¸cão do carregamento aerodinâmico, e que os sistemas aerodinamicamente aumentados não geram dificuldades para a extra¸cão dos autovalores caracter´ısticos da resposta aeroelástica.

(22)

The study shown in this work uses the methodology of state space aeroelastic analysis in the time domain. From the reduced frequency domain aeroelastic equa-tions, the aerodynamic influence coefficients are obtained for a required range of frequencies. These are approximated by a representative polinomial in the Laplace domain. The least squares method for complex variables is used for the approxima-tion of this polinomial. The chosen approximator polinomial is a Pad´e polinomial. The convenience of using this polinomial is due to the fact that it represents second order terms associated with the structural dynamic displacements, and the aero-dynamic lag associated with the phenomenum of flutter by a series of poles. A representation of the phenomenum is obtained using rational functions, or trans-fer functions which permit a state space representation through an inverse Laplace Transform. The result is an aerodynamically augmented system by additional states generated when the aerodynamic lag phenomena is represented by a series of poles. In this way, it is possible to analyse the aeroelastic system by the extraction of the eigenvalues from the aerodynamically augmented system , determining the flutter boundaries. This formulation also facilitates the inclusion of control systems in order to perform the aeroservoelastic analysis.

The results presented in this work consist of evolutions of the aeroelastic modes obtained by the k and p-k methods, making the comparison between the various cases of numbers and values of the lag parameters, when considering the p method. Thus, it is shown that the methodology presented is efficient for the approximation of non-stationary aerodynamic loads and that aerodynamically augmented system do not introduce difficulties into the extraction of the aeroelastic response charac-teristics eigenvalues.

(23)

INTRODUC

¸ ˜

AO

1.1 Defini¸

c˜

ao do Problema

Aeroelasticidade é a matéria que estuda os fenômenos que resultam das intera¸cões entre escoamentos aerodinâmicos não-estacionários e sistemas estruturais flex´ıveis.

No come¸co deste s´eculo, Lanchester1 iniciou os estudos nessa ´area analisando o

fenômeno de flutter ocorrido em um biplano bombardeiro Handley-Page, equacio-nando-o matematicamente com o objetivo de se minimizar os efeitos aeroelásticos encontrados na estrutura. Pode-se vizualizar a multidisciplinariedade do assunto através do diagrama de Collar, Figura (1.1), também conhecido como diagrama dos três anéis.

De um modo geral os estudos aeroelásticos podem ser divididos em duas classes: 1) instabilidades e 2) resposta. Como instabilidades pode-se considerar os fenômenos de divergência e flutter. No que diz respeito a estudos de resposta, pode-se destacar efeitos aeroelásticos devido a cargas de rajadas de vento e buffeting. A divergência é um fenômeno essencialmente estático, e ocorre devido a um aumento excessivo do carregamento aerodinâmico sobre a estrutura, levando-a à

(24)

Forças Aerodinâmicas Aeroelas-ticidade Estática Estabilidade Dinâmica Aero-elasticidade Dinâmica Forças

Elásticas Forças_Inerciais Vibrações

Mecânicas

Figura 1.1: Diagrama de Collar.

ruptura. Pode-se imaginar este fenômeno como um sistema de controle realimen-tado positivamente, pois à medida que o carregamento aerodinâmico aumenta, a deforma¸cão da asa, por exemplo, fica ainda maior, aumentando ainda mais a sus-tenta¸cão, até a ocorrência da ruptura. A condi¸cão de divergência é imaginar o

sistema de controle instável. É de fundamental importância o seu estudo e

estabe-lecimento de meios de preven¸c˜ao, para que n˜ao ocorra.

O flutter já é um fenômeno de natureza dinâmica. É uma instabilidade que

ocorre devido ao carregamento aerodinâmico não-estacionário induzido pelo movi-mento da estrutura. Da mesma forma que a divergência, pode-se representar o fenômeno por um sistema de controle realimentado positivamente. Imaginando uma entrada perturbadora, tal como uma oscila¸cão induzida por turbulência ou rajada de vento, a superf´ıcie de sustenta¸cão pode chegar à condi¸cão de flutter caso se esteja além da fronteira de estabilidade do sistema. Neste caso a oscila¸cão in-duzida pode gerar um comportamento de oscila¸cão auto-excitada, mantida e aumen-tada pela energia retirada do escoamento aerodinâmico. Normalmente isto se deve à diferen¸ca de fase existente entre as for¸cas aerodinâmicas atuantes e a resposta dinâmico-estrutural do sistema. Este também é um fenômeno catastrófico, o que

(25)

levou `a intensa pesquisa sobre o assunto.

As cargas de rajadas de vento ocorrem devido à presen¸ca de ventos atmosféricos que modificam o carregamento nas superf´ıcies de sustenta¸cão. As componentes de velocidade destes ventos, perpendiculares à componente de velocidade do escoa-mento sobre a superf´ıcie de sustenta¸cão, alteram o ângulo de ataque efetivo das superf´ıcies, e por sua vez a sustenta¸cão. O buffeting é uma vibra¸cão aleatória as-sociada a for¸cas aerodinâmicas de turbulência geradas normalmente por partes da própria aeronave, por exemplo, a esteira da asa encontrando o estabilizador hori-zontal.

Revisões históricas relacionadas ao estudo e preven¸cão de fenômenos

aero-el´asticos podem ser encontradas nos trabalhos de Bisplinghoff et al 17, Garrick39,

Garrick e Reed53, e Coupry66. V´arias linhas de pesquisa surgiram `a medida que as

aeronaves e ve´ıculos espaciais foram se desenvolvendo. O aumento da velocidade de vôo, assim como a ultrapassagem da barreira do som, tornaram as aeronaves mais sujeitas a efeitos aeroelásticos. O crescimento em tamanho e capacidade de carga também tornaram as aeronaves mais cr´ıticas do ponto de vista aeroelástico

Sob o aspecto de preven¸c˜ao de instabilidades aeroel´asticas, um conceito que

vem se tornando cada vez mais importante nos últimos anos é a inclusão de efeitos

causados pela presen¸ca de sistemas de controle atuantes na aeronave. Esta matéria é formalmente designada como aeroservoelasticidade, e preocupa-se primordialmente em quantificar a influência de sistemas de controle na resposta da estrutura em questão, ou mesmo fazer uso deles para a supressão de instabilidades aeroelásticas. Olhando a Figura (1.2), análoga ao diagrama de Collar, verifica-se que a aeroservoe-lasticidade é uma área multidisciplinar, ainda mais abrangente do ponto de vista de conceitos envolvidos do que a aeroelasticidade.

Pode-se considerar este trabalho relacionado a uma parte da ´area de aeroser-voelasticidade uma vez que a metodologia exposta no presente texto ´e bem conhecida

(26)

Dinâmica Estrutural Aeroservoelasticidade Aerodinâmica Não-Estacionária Dinâmica de Sistemas de Controle Servoelasticidade Aeroelasticidade Aeroservo-dinâmica

Figura 1.2: Diagrama de an´eis para a Aeroservoelasticidade.

e usualmente empregada em sistemas cujo interesse é representá-los no espa¸co de es-tados, permitindo a análise dinâmica simultânea de sistemas de controle e fenômenos aeroelásticos.

1.2 Objetivo do Trabalho

O objetivo deste trabalho é estabelecer uma formula¸cão aeroelástica baseada na aproxima¸cão dos coeficientes de influência associados ao carregamento aerodinâmico por fun¸cões racionais no dom´ınio de Laplace (polinômios de Padé). Estas fun¸cões permitem uma posterior representa¸cão do sistema aeroelástico no espa¸co de estados, a qual é adequada para uma análise aeroservoelástica, sendo bastante usual na análise de sistemas de controle. Uma utilidade da representa¸cão aerodinâmica por fun¸cões racionais aproximadas é a possibilidade de se usar tal aproxima¸cão para casos de coeficientes de influência obtidos a partir de teorias aerodinâmicas mais gerais, tais como métodos de aerodinâmica computacional aplicados a modelos de

escoamentos compress´ıveis, n˜ao potenciais, e tridimensionais80. A partir do

mo-delo estabelecido, também são objetivos deste trabalho o estudo da qualidade e forma de aproxima¸cão dos coeficientes de influência, assim como a avalia¸cão da solu¸cão do auto-sistema resultante desta nova representa¸cão, observando a varia¸cão dos resultados para cada tipo de polinômio aproximador empregado na formula¸cão

(27)

aeroel´astica, comparando-os com m´etodos conhecidos e validados.

1.3 Linhas Gerais do Trabalho

Neste trabalho coloca-se o procedimento de gera¸cão de um modelo aeroelástico no espa¸co de estados, baseado na representa¸cão do carregamento aerodinâmico não-estacionário por fun¸cões racionais com argumento pertencente ao dom´ınio de Laplace. As fun¸cões racionais, representadas por polinômios de Padé, são aproxi-madas a partir de coeficientes de influência associados a um carregamento aerodi-nâmico obtido no dom´ınio da frequência. Esses coeficientes são obtidos através da formula¸cão de Theodorsen para uma se¸cão bidimensional associada a cada uma das faixas que discretizam a superf´ıcie de sustenta¸cão a ser modelada. O modelo aeroe-lástico no dom´ınio do tempo é obtido aplicando-se a transformada inversa de Laplace no sistema representado por fun¸cões racionais e equa¸cões dinâmico-estruturais na forma modal, anteriormente transformadas por Laplace. Gera-se então um mode-lo aeroelástico no espa¸co de estados, aerodinamicamente aumentado por estados associados à aerodinâmica não-estacionária.

Assim este trabalho está dividido em cap´ıtulos que são apresentados a seguir de uma forma resumida. Neste presente cap´ıtulo foram colocados conceitos e defi-ni¸cões associadas ao problema em questão, assim como o objetivo do trabalho. No cap´ıtulo 2 uma breve revisão bibliográfica trata do assunto aeroservoelasticidade. No cap´ıtulo 3 apresenta-se o modelo básico de se¸cão t´ıpica, definindo suas propriedades, as equa¸cões de movimento, além das for¸cas aerodinâmicas atuantes (de natureza po-tencial, incompress´ıvel e não-estacionária). Também é discutido o problema para o caso de um sistema genérico, em que o modelo dinâmico-estrutural é obtido a partir do método dos elementos finitos, sendo feita a determina¸cão dos modos e frequências naturais deste sistema através de uma análise modal. Uma transforma¸cão por splines de superf´ıcie é feita para a representa¸cão dos modos naturais no conjunto de pontos

(28)

nos quais se calcula o carregamento aerodinâmico. Esta transforma¸cão é necessária para a obten¸cão das for¸cas aerodinâmicas generalizadas empregadas quando do uso do método de superposi¸cão modal. O modelo aerodinâmico deste sistema corres-ponde à aplica¸cão da teoria das faixas, uma extensão da teoria aerodinâmica bidi-mensional (para a se¸cão t´ıpica) e representativa para sistemas tridimensionais, a exemplo da asa de uma aeronave de grande alongamento.

Como objetivo principal deste trabalho, no cap´ıtulo 4 é exposta a técnica de aproxima¸cão por polinômios de Padé (elemento a elemento) da matriz de coefi-cientes de influência aerodinâmicos. Mostra-se o procedimento para a obten¸cão do polinômio aproximador de Padé através do método dos M´ınimos Quadrados. De posse das fun¸cões aproximadas que representam as for¸cas aerodinâmicas expressas no dom´ınio de Laplace, monta-se o problema de autovalor do sistema aeroelástico aerodinamicamente aumentado. Isto é feito através da aplica¸cão da transforma¸cão inversa de Laplace sobre as equa¸cões de movimento na forma modal, que estão associadas a um vetor de for¸cas aerodinâmicas generalizadas.

No cap´ıtulo 5 são mostrados três métodos de solu¸cão do problema de flutter, assim como as hipóteses assumidas para cada um dos métodos. A solu¸cão das equa¸cões aeroelásticas no dom´ınio da frequência reduzida é feita pelos métodos k e p-k, enquanto que o sistema aeroelástico no espa¸co de estados é resolvido pelo método p.

Como finaliza¸cão deste trabalho, tem-se no cap´ıtulo 6 os resultados das análises aeroelásticas do sistema aerodinamicamente aumentado comparados com resultados validados obtidos através dos métodos k e p-k, acompanhados de uma discussão, e no cap´ıtulo 7 encontra-se uma discussão geral sobre os resultados e as conclusões pertinentes.

No apêndice A é apresentada uma forma matricial de representar o carrega-mento aerodinâmico não-estácionário para um regime potencial e incompress´ıvel. O

(29)

apêndice B resume o procedimento de aproxima¸cão por splines de superf´ıcie, adotado no cap´ıtulo 3, para a obten¸cão dos modos de vibra¸cão representados em um sistema compat´ıvel com a formula¸cão aerodinâmica. O apêndice C apresenta a aproxima¸cão

da fun¸c˜ao de Wagner por fun¸c˜oes racionais, desenvolvida inicialmente por Jones7,

assim como a deriva¸cão do sistema para a representa¸cão de uma se¸cão t´ıpica. No apêndice D é mostrado o desenvolvimento do método dos m´ınimos quadrados para a aproxima¸cão dos coeficientes de influência complexos.

(30)

REVIS ˜

AO BIBLIOGR ´

AFICA

Uma vez que o assunto do trabalho em questão pode ser considerado como uma sub-área da aeroservoelasticidade, cabe fazer uma revisão bibibliográfica referente a este tema, uma vez que se pode encontrar diversas metodologias para a gera¸cão de modelos aeroelásticos adequado à este tipo de análise. Como já foi introduzido, pode-se definir aeroservoelasticidade como uma área multidisciplinar que relaciona a aeroelasticidade à teoria de sistemas de controle, ou mesmo à tecnologia de materi-ais compostos empregados de forma a previnir instabilidades aeroelásticas (aeroser-voelastic tailoring). Esta área consolidou-se a partir da década de 1970, e vem recebendo cada vez mais aten¸cão. As pesquisas, tanto a n´ıvel industrial quanto a n´ıvel acadêmico, envolvem o tratamento de problemas como os listados a seguir:

• supress˜ao de flutter em velocidades abaixo das prescritas pelo envelope de vˆoo, • al´ıvio de cargas de rajada,

• aumento de conforto para vôos em cruzeiro, diminuindo-se o n´ıvel de vibra¸cão devido a turbulências ou rajadas de vento,

• redistribui¸c˜ao do carregamento sobre a asa, 8

(31)

• al´ıvio de cargas de manobra para diminui¸c˜ao de momentos atuantes na raiz da asa aumentando, em termos de fadiga, a vida da estrutura da aeronave.

As aplica¸cões iniciais desses conceitos foram feitas predominantemente em aeronaves militares. Um exemplo de aplica¸cão de sistemas de controle para al´ıvio de cargas de rajada, e supressão de modos de flutter, pode ser visto no trabalho de

Dempster e Roger22. A aeronave B-52 CCV (Control Configured Vehicle, ou ve´ıculo

configurado por controle) foi o primeiro substrato para os estudos em aeroservoelasti-cidade. A avia¸cão de transporte civil também emprega sistemas aeroservoelásticos,

tal como pode ser visto no trabalho de Zimmermann75 sobre as pesquisas nesta

´area na Deutsche Airbus. Requisitos de an´alise e projeto foram estabelecidos desde

ent˜ao49, assim como foram realizados v´arios estudos sobre a possibilidade e

viabi-lidade de emprego de sistemas de controle ativos em plantas aeroel´asticas31.

Os estudos relacionados à área de aeroservoelasticidade, como já mencionado anteriormente, envolvem o conhecimento do modelo dinâmico-estrutural, do carre-gamento aerodinâmico não-estacionário, e das leis de controle presentes no sistema. O que particulariza este tipo de modelo com rela¸cão à análise usual de sistemas de controle, por exemplo, é a presen¸ca do carregamento aerodinâmico não-estacionário que atua sobre a estrutura e os sistemas de controle. O sistema como um todo é portanto analisado de forma simultânea, ou seja, estuda-se a intera¸cão de um modelo aerodinâmico atuante sobre um modelo estrutural, e ainda com a influência de leis de controle que modificam a dinâmica do sistema. O que dificulta a análise é o estabelecimento de um modelo aerodinâmico em um dom´ınio compat´ıvel com os dom´ınios dos modelos da estrutura e dos sistemas de controle.

As estruturas de aeronaves, de um modo geral, são de modelagem complexa. Porém, através de hipóteses simplificadoras, ou técnicas modernas de modelagem, essas podem ser analisadas satisfatoriamente. No per´ıodo anterior à decada de 1960 os recursos computacionais para os cálculos estruturais de aeronaves eram precários,

(32)

A-tualmente um dos m´etodos mais comuns para a an´alise estrutural em engenharia

aeronáutica é o método dos elementos finitos38, 40. Bem conhecido e difundido, o

método propriamente dito é antigo, porém tomou for¸ca à medida que os recursos computacionais se tornaram mais acess´ıveis e eficientes. Atualmente a inova¸cão tec-nológica relacionada a este método está no pré/pós-processamento dos resultados gerados pelos códigos computacionais para a análise dos modelos. A aplica¸cão do método dos elementos finitos é bem conhecida, e existen várias revisões da bibli-ografia pertinente a este assunto.

2.1 Modelos aerodinˆ

amicos

Os modelos aerodinâmicos utilizados em aeroelasticidade são de natureza não-esta-cionária, ou seja, o movimento da estrutura tem que ser levado em considera¸cão no cálculo do carregamento aerodinâmico. Como estes modelos são pouco difundidos, é interessante fazer aqui uma breve revisão relacionada aos conceitos e evolu¸cão das teorias aerodinâmicas aplicadas à aeroelasticidade, baseada no trabalho de Garrick

e Reed53. Primeiramente, Wagner estudou a varia¸c˜ao de vorticidade na esteira de

um aerof´olio representado por uma placa plana, assim como a mudan¸ca no valor

da sustenta¸cão sobre o aerofólio devido a uma varia¸cão súbita no ângulo de ataque

no valor de um degrau unitário. Este trabalho resultou na conhecida fun¸cão de Wagner. Este tipo de resposta foi chamada de indicial devido à analogia ao método de análise de circuitos elétricos de Heaveside, onde se usa uma entrada degrau para a obten¸cão da resposta e, consequentemente, caracter´ısticas dinâmicas do circuito. Uma formula¸cão para a quantifica¸cão da varia¸cão de sustenta¸cão através de uma fun¸cão quando uma placa plana encontra uma rajada de canto vivo foi proposta por

Küssner3. A solu¸cão deste problema ficou conhecida como fun¸cão de Küssner.

Baseado na teoria das singularidades aerodinˆamicas, e adotando a hip´otese

(33)

anal´ıtica da equa¸cão de Laplace para o carregamento aerodinâmico não-estacionário,

em regime incompress´ıvel e potencial, para a placa plana. Sears6 desenvolveu uma

expressão para a resposta de um aerofólio devido a uma rajada transversal senoidal, resultando em uma expressão no dom´ınio da frequência designada como fun¸cão de Sears.

Como se pode notar, existem dois enfoques na formula¸cão aerodinâmica. Um baseado em fun¸cões indiciais no dom´ınio do tempo, e outro baseado em fun¸cões no dom´ınio da frequência (movimento harmônico simples). Existe uma rela¸cão entre as duas formula¸cões uma vez que representam o mesmo fenômeno f´ısico. Tal fato foi

demonstrado matematicamente por Garrick4 atrav´es de transformadas de Fourier,

relacionando a fun¸cão de Wagner à fun¸cão de Theodorsen. Da mesma forma pode-se

mostrar a rela¸cão da fun¸cão de Küssner com a fun¸cão de Sears.

Todas as formula¸cões mencionadas até agora dizem respeito a escoamentos im-compress´ıveis, mas existem estudos que fazem a extensão para regimes im-compress´ıveis,

quer sejam subsˆonicos13, 79, 91, ou supersˆonicos12, 87.

A partir da teoria bidimensional, Smilg e Wasserman10 usam a teoria das

faixas para o cálculo do carregamento aerodinâmico sobre uma asa. Isto é feito através da discretiza¸cão da asa em faixas, com as for¸cas sendo fornecidas através das expressões de um carregamento aerodinâmico bidimensional equivalente. No

trabalho de Yates21 podem ser vistas modifica¸c˜oes nesta teoria com respeito `as

considera¸c˜oes de enflexamento e compressibilidade.

Partindo para o tratamento de problemas envolvendo escoamentos

tridimen-sionais, Küssner8 desenvolveu uma equa¸cão integral no caso de regime subsônico

que relaciona a pressão não-estacionária sobre um ponto de uma superf´ıcie de sus-tenta¸cão finita, sujeita a um movimento harmônico simples, à velocidade transversal do escoamento em outro ponto desta superf´ıcie. A fun¸cão que quantifica esta rela¸cão é conhecida como Kernel. Os métodos baseados nesta formula¸cão podem ser

(34)

dividi-dos em métodividi-dos de fun¸cão modal18, 33, e métodos de elementos discretos

(Doublet-Lattice20 e Doublet-Point57). No trabalho de Landahl e Stark23 encontra-se uma

boa revis˜ao sobre o assunto.

Estendendo o c´alculo de carregamentos aerodinˆamicos para movimentos

ar-bitr´arios, movimentos peri´odicos divergentes ou convergentes, por exemplo, Jones7

introduziu o uso de uma aproxima¸cão da fun¸cão de Wagner por uma série de fun¸cões exponenciais, que possuem como transformada inversa de Laplace fun¸cões racionais,

que pode ser usada no caso de movimentos arbitr´arios. Jones14 concluiu que a

formula¸cão de Theodorsen pode ser estendida para o caso de oscila¸cões harmônicas

divergentes. Dengler, Goland e Luke15 publicaram tabelas de valores

relaciona-dos à fun¸cão de Theodorsen para o caso de movimentos harmônicos convergentes,

por´em n˜ao provaram a validade dos coeficientes. Baseado no trabalho de Sears6,

Edwards42 generalizou a fun¸cão de Theodorsen, provando que ela é válida para

ambos os movimentos acima citados. Nada muda na versão original de Theodorsen, apenas faz-se a substitui¸cão da frequência imaginária pura (argumento da fun¸cão de Theodorsen), pela variável do plano de Argand-Gauss s, que possui parte real representando um amortecimento ou divergência do movimento.

Uma outra classe de métodos para o cálculo do carregamento aerodinâmico não-estacionário são os métodos de aerodinâmica computacional, também conheci-dos como métoconheci-dos de CFD (Computational Fluid Dynamics, ou Dinâmica conheci-dos

Flu-idos Computacional). Estes métodos são especialmente úteis na análise de regimes

compress´ıveis e não-lineares (transônico, por exemplo) sendo que o escoamento pode ser representado de várias formas, dependendo da complexidade desejada: equa¸cões de Navier-Stokes (escoamento viscoso), Euler (escoamento não necessariamente isen-trópico), ou formas potenciais como a TSD (Transonic Small Disturbance, ou transô-nica de pequenas perturba¸cões). Tais equa¸cões são resolvidas numericamente através de duas formas gerais. Um procedimento é resolver as equa¸cões aerodinâmicas si-multaneamente com as equa¸cões de movimento da estrutura, tal como pode ser visto

(35)

no trabalho de Guruswamy71. A outra forma baseia-se na integra¸cão no tempo das equa¸cões aerodinâmicas sobre um aerofólio, quando este é submetido a uma varia¸cão de um degrau em ângulo de ataque, por exemplo. A partir desta resposta indicial pode-se obter a resposta para movimentos arbitrários através do uso da integral de

Duhamel. O trabalho de Balhaus e Goorjian44 exp˜oe com clareza este

procedi-mento. Como estas análises são feitas normalmente no dom´ınio do tempo, torna-se necessário usar métodos de transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform) para a obten¸cão de valores de coeficientes de influência no dom´ınio da

frequˆencia reduzida60, 80, permitindo assim que se empregue, por exemplo, m´etodos

de aproxima¸cão por fun¸cões racionais para a representa¸cão do carregamento aerodi-nâmico, os quais serão apresentados a posteriori.

Roger43 usou fun¸c˜oes racionais para a representa¸c˜ao do carregamento

aerodi-nâmico fundamentado na idéia de Jones7, porém obtendo a fun¸cão racional através

de uma aproxima¸cão de valores tabelados dos coeficientes de influência aerodinâ-micos usando o método dos M´ınimos Quadrados. Outra forma adotada também baseada no método dos M´ınimos Quadrados consiste em aproximar os coeficientes

por polinômios de Padé41. Tais aproxima¸cões têm por objetivo representar o

car-regamento aerodinâmico em termos de frequência e amortecimento quaisquer, no dom´ınio de Laplace. O uso de polinômios de Padé é adequado para a representa¸cão do fenômeno, tanto para termos associados aos deslocamentos estruturais, quanto

para os termos associados ao escoamento aerodinˆamico, como mostrado por Vepa41.

Cabe lembrar que os métodos de aproxima¸cão por polinômios de Padé podem ser utilizados independentemente de como os coeficientes de influência foram calculados, ou seja, a partir de formula¸cões anal´ıticas ou numéricas. Aplica¸cões deste método

podem ser encontradas nos trabalhos de Vepa41, Abel48, Karpel58, Eversman e

Tewari76, e Mursal89, al´em de v´arios outros autores.

Uma forma alternativa de representar o polinômio de Padé é a formula¸cão

(36)

aproxima¸cão das matrizes de coeficientes de influência por um polinômio racional cujos denominador e numerador são matrizes. Deve ser lembrado que no método de Padé convencional a aproxima¸cão é feita elemento a elemento O método matricial

possui problemas quanto à gera¸cão de matrizes aerodinâmicas instáveis52, o que

não é interessante. Isto é comum acontecer para o caso de sistemas que envolvem

um grande número de modos, ou cuja aerodinâmica não foi obtida de forma precisa.

Assim, Dunn52prop˜oe em seu trabalho um m´etodo para garantir que os autovalores

da matriz relacionada aos parˆametros de atraso perten¸cam ao semi-plano esquerdo, levando a uma boa aproxima¸c˜ao.

A idéia de representa¸cão da fun¸cão de Wagner por uma série de exponenciais

motivou Dowell51 a generalizar e formalizar os procedimentos de aproxima¸c˜ao do

carregamento aerodinˆamico para regimes compress´ıveis, por exemplo. Um trabalho

interessante que usa este tipo de formula¸c˜ao ´e o trabalho de Peterson e Crawley69,

onde técnicas de otimiza¸cão são utilizadas para a determina¸cão dos parâmetros de atraso associados a estas séries. Vale mencionar que estes parâmetros são os mesmos pólos utilizados nas aproxima¸cões por fun¸cões racionais.

Os métodos acima descritos estão enquadrados na classe de métodos de estados

aumentados42, pois a representa¸cão por série de fun¸cões racionais, quando

transfor-madas inversamente por Laplace para o dom´ınio do tempo, geram estados adicionais que elevam a ordem do sistema aeroel´astico. Para o caso de problemas reais,

assu-mindo que o n´umero de modos envolvidos ´e significativo, e ainda considerando que a

ordem do sistema ´e aumentada de uma vez o n´umero de modos para cada estado de

atraso gerado, a ordem do sistema final pode ser extremamente grande. Isto pode causar problemas quanto à qualidade da solu¸cão na extra¸cão de autovalores, devido a problemas de condicionamento do sistema. Sistemas excessivamente aumentados aerodinamicamente também são problemáticos para o projeto de um controlador adequado, elevando a sua ordem e tornando-o de dif´ıcil implementa¸cão. Da´ı

(37)

aumentados ou reduzindo a ordem do modelo dinˆamico-estrutural. Um exemplo de

método para a minimiza¸cão do número de estados aerodinâmicos de atraso pode

ser visto no trabalho de Karpel58, que prop˜oe o m´etodo dos Estados M´ınimos.

Baseado em métodos de Padé matriciais, o autor utiliza um procedimento para a escolha dos parâmetros de atraso adequados à representa¸cão da aproxima¸cão pelo

menor n´umero poss´ıvel daqueles valores, sem levar a uma aproxima¸c˜ao grosseira.

Uma outra possibilidade de redu¸cão de ordem do sistema é a utiliza¸cão do método

dos m´ınimos quadrados ponderados74, onde s˜ao introduzidos fatores (pesos) que

multiplicam os valores tabelados onde se quer que haja uma melhor representa¸c˜ao

da fun¸c˜ao aproximada. Um outro trabalho interessante ´e o de Tiffany e Adams70,

onde um método de Padé modificado usa técnicas de programa¸cão não-linear para a obten¸cão dos parâmetros de atraso.

2.2 Controle Ativo na Aeroelasticidade

As primeiras cita¸c˜oes sobre controle de efeitos aeroel´asticos foram feitas nos

traba-lhos de Pepping16e Bisplinghoff et al17, sendo postulado que o fenˆomeno de flutter

poderia ser suprimido. Boas revis˜oes sobre os estudos iniciais, principalmente

de-senvolvidos na d´ecada de 1960, podem ser encontradas nos trabalhos de Nissim29

e Sandford et al37. Especificamente, Nissim29 propˆos uma teoria para a supress˜ao

de flutter baseada no princ´ıpio da energia aerodinâmica, sendo este o primeiro de-senvolvimento anal´ıtico dedicado à solu¸cão do problema de análise e projeto de um sistema para a preven¸cão de flutter. Resultados da aplica¸cão desta teoria podem ser

encontrados do trabalho de Sandford et al37.

Na tese de doutorado de Edwards42 s˜ao citados os trabalhos de Turner36 e

de Dressler35, onde s˜ao feitos os primeiros estudos da aplica¸c˜ao de sistemas de

con-trole ótimos em plantas aeroelásticas aerodinamicamente aumentadas. O próprio

(38)

sistema supressor de flutter de uma se¸cão t´ıpica. É estudada a observabilidade e controlabilidade deste sistema, enfatizando-se que sistemas aerodinamicamente au-mentados possuem problemas relacionados à observabilidade, por exemplo. Uma série de trabalhos sobre este assunto surgiram posteriormente, principalmente durante o programa DASTARW (Drones for Aerodynamic and Structural Testing

-Active Research Wing). No trabalho de Murrow e Eckstrom50´e descrito o objetivo e

a própria concep¸cão do drone, que consiste em uma aeronave em escala não-tripulada e remotamente controlada, para fins de ensaios de risco ou destrutivos.

`

A medida que se torna conveniente o uso de técnicas modernas de sistemas de controle, uma planta controlável e observável é necessária para a aplica¸cão de métodos de s´ıntese de sistemas de controle. Muitas técnicas de projeto de sistemas de controle foram utilizadas para projetos do tipo controlador de de flutter (FMC

Flutter Mode Control), e aliviador de cargas de rajada (GLA Gust Load

Allevia-tion). Entre as t´ecnicas pode-se citar a teoria do controle ´otimo55, 56, 59,

hiper-estabilidade64, técnicas no dom´ınio da frequência65, e métodos de atribui¸cão de

autoestrutura61, 62, 68, 72.

Uma tendência interessante no conceito de supressão de flutter é o emprego de

excita¸cões acústicas no escoamento aerodinâmico de modo a suprimir o fenômeno,

como pode ser visto no trabalho de Lu e Huang78, onde ´e demostrado te´orica e

prati-camente este conceito. O emprego de m´etodos novos de projeto de sistemas de

con-trole, a exemplo das t´ecnicas H∞ e H2 pode ser visto no trabalho de ¨Ozbay e

Bach-mann88, onde um controlador de n´umero de estados finitos ´e projetado

utilizando-se as técnicas supracitadas a partir do modelo aerodinâmico não-estacionário, cujo

número de estados é infinito, não se introduzindo aproxima¸cão.

O controle passivo para a supressão de instabilidades aeroelásticas também

´e utilizado, a exemplo do pilone desacoplador proposto por Reed et al47. Outros

métodos de controle passivo conhecidos são o balanceamento de massa e o enrige-cimento estrutural. Estes procedimentos normalmente levam a um decréscimo do

(39)

desempenho da aerovave, uma vez que na maioria das vezes se está adicionando peso, comprometendo o desempenho pré-estabelecido de projeto. Uma linha inte-ressante de supressão passiva de flutter é o aeroservoelastic tayloring. Este conceito está relacionado ao emprego controlado do direcionamento das fibras dos materiais compostos que compõem a estrutura das asas de uma aeronave, por exemplo, de modo a obter caracter´ısticas de rigidez desejadas em determinadas dire¸cões. Este método é bastante desejável em aeronaves sujeitas a problemas aeroelásticos de

divergˆencia, tal como aeronaves com asas enflexadas para frente. Weissharr e Nam73

discutem sobre o emprego do aeroservoelastic tailoring, assim como a hist´oria do desenvolvimento desta tecnologia, citando as primeiras vezes que esta foi empregada.

(40)

EQUAC

¸ ˜

OES DE MOVIMENTO

3.1 Se¸

c˜

ao T´ıpica

O modelo dinâmico mais simples utilizado para estudos aeroelásticos é a chamada se¸cão t´ıpica, que consiste numa placa plana r´ıgida com pelo menos um grau de

liber-dade, fixa por uma mola de tor¸cão, por exemplo, à parede de um túnel de vento45.

No entanto, pode-se considerar outros graus de liberdade, tais como o seu deslo-camento vertical e movimentos de superf´ıcies de controle. De posse deste modelo

mais completo quanto ao n´umero de graus de liberdade, Theodorsen e Garrick11

sugeriram que a se¸cão t´ıpica poderia simular as caracter´ısticas aeroelásticas de uma asa real, usando um modelo cujas propriedades representam uma se¸cão transversal da asa entre 70% e 75% da envergadura a partir da linha de centro das asas. Esta hipótese é válida, como foi mostrado em trabalhos subsequentes realizados por eles, para o caso de asas de razoável alongamento, pouco enflexamento, e com varia¸cão

suave das caracter´ısticas seccionais ao longo da envergadura19.

Na Figura (3.1) pode-se ver uma representa¸cão da se¸cão t´ıpica, com um valor de semi-corda (metade da corda) b unitário, sujeita a um escoamento uniforme

(41)

s s b = − 1 b = 1 @ @ U∞ hhhhhh_hhhhhh hhhhhh_hhhh r s s B.A. a c HH HH HH HHH s s s e d J J J JJ s s s f B.F. ? h∗ 7 α 6 β 3 γ

Figura 3.1: Se¸c˜ao t´ıpica.

de velocidade U∞. Considera-se quatro graus de liberdade pertencentes ao plano

vertical: dois associados ao movimento da superf´ıcie principal, ou seja, ˆangulo de

ataque α, e deslocamento vertical adimensional h∗

= h

b, definido pelo deslocamento

vertical h dividido pela semi-corda b; e dois associados aos movimentos da superf´ıcie de controle primária β, e de um compensador γ. Convenciona-se o sinal associado a esses graus de liberdade como: h/b é positivo para baixo, os ângulos α, β e γ são positivos no sentido horário. As propriedades de geometria são dadas por: a, eixo elástico da se¸cão t´ıpica; c, bordo de fuga da se¸cão principal, ou bordo de ataque da superf´ıcie de controle primária; e, eixo de articula¸cão da superf´ıcie primária; d, bordo de ataque do compensador; e f , eixo de articula¸cão do compensador.

Como propriedades dinˆamicas pode-se listar os valores das constantes de mo-las lineares associadas a cada um dos graus de liberdades, onde o ´ındice refere-se ao

grau de liberdade à qual a constante está relacionada: Kα, Kh, Kβ e Kγ. É razoável

assumir que h´a amortecimento apenas nos graus de liberdade da superf´ıcie de con-trole ou do compensador, uma vez que eventuais sistemas de atua¸c˜ao e concon-trole agem nestes movimentos, e podem possuir caracter´ısticas prescritas pelos fatores de

amortecimento ξβ e ξγ, respectivamente. Os valores de momentos de in´ercia s˜ao

indexados da mesma forma que as constantes de mola, e s˜ao dados por Iα, Iβ e Iγ,

(42)

por Ms, e compreende todas as partes a ela associadas. Propriedades dinˆamicas

complementares são definidas a seguir, sendo que aquelas que tem dimensão de comprimento são adimensionalizadas pela semi-corda b:

rα =

q _I

α

Msb2 : raio de gira¸c˜ao da superf´ıcie principal;

xα = _MSα_s_b : posi¸c˜ao do centro de gravidade da se¸c˜ao principal a partir da

posi¸c˜ao do eixo el´astico;

ωα =

q

Kα

Iα : frequência de vibra¸cão torsional ao redor da posi¸cão do eixo

el´astico;

rβ =

q _I

β

Msb2 : raio de gira¸c˜ao reduzido, ou seja, o raio sobre o qual a massa

da se¸cão inteira deveria estar concentrada, para fornecer o momento de inércia do conjunto superf´ıcie de controle primária mais compensador;

xβ =

Sβ

M b : distˆancia reduzida do centro de gravidade do conjunto superf´ıcie de

controle primária mais compensador, a partir da posi¸cão do eixo de articula¸cãoda superf´ıcie;

ωβ =

r

Kβ

Iβ : frequência de vibra¸cão torsional ao redor do eixo de articula¸cão

do conjunto superf´ıcie de controle mais compensador;

rγ =

q _I

γ

Msb2 : raio de gira¸c˜ao reduzido do compensador;

xγ = _MSγ

sb : distˆancia reduzida do centro de gravidade do compensador, a partir

da posi¸c˜ao do eixo de articula¸c˜ao;

ωγ =

r

Kγ

Iγ : frequência de vibra¸cão torsional ao redor do eixo de articula¸cão

do compensador;

ωh =

q_K

h

Ms : frequência de vibra¸cão de deflexão da se¸cão principal.

(43)

movimento do sistema, usando-se, por exemplo, as equa¸c˜oes de Lagrange46. O resultado final pode ser posto da seguinte forma:

[M ] {¨x (t)} + [B] { ˙x (t)} + [K] {x (t)} = {L(t, x, ˙x, ¨x)} . (3.1)

As matrizes do sistema acima s˜ao definidas como:

[M ] = Msb2              1 xα xβ xγ xα r2α r2β+ xβ(c − a) r2γ+ xγ(d − a) xβ r2β+ xβ(c − a) rβ2 r2γ+ xγ(d − c) xγ r2γ+ xγ(d − a) rγ2+ xγ(d − c) rγ2              , (3.2) [K] = Msb2              ω2 h 0 0 0 0 r2 αωα2 0 0 0 0 r2 βω2β 0 0 0 0 r2 γω2γ              , (3.3) [B] = Msb2              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2r2 βωβζβ 0 0 0 0 2r2 γωγζγ              , (3.4)

onde [M ] é a matriz de massa, [K] a matriz de rigidez, e [B] a matriz de amorteci-mento. O vetor {x (t)} é o vetor dos deslocamentos associados aos graus de liberdade da se¸cão t´ıpica, e é escrito como:

{x (t)} = h b (t) α (t) β (t) γ (t) T . (3.5)

O vetor do carregamento aerodinâmico {L(t)} é fun¸cão do tempo, e mais adiante será mostrada a sua dependência com {x (t)}. Cabe lembrar que a deriva¸cão completa destas equa¸cões de movimento é bem conhecida na literatura, e pode ser encontrada

(44)

3.1.1 Modelo Aerodinˆ

amico N˜

ao-Estacion´

ario

de Theodorsen

Com o propósito de se calcular o escoamento aerodinâmico atuante sobre a se¸cão

t´ıpica, Theodorsen2 publicou uma solu¸c˜ao anal´ıtica completa para esse

carrega-mento aerodinâmico não-estacionário, assumindo regime incompress´ıvel e escoa-mento potencial de pequenas perturba¸cões.

Baseado na teoria das singularidades aerodinâmicas, Theodorsen modelou o escoamento sobre um aerofólio sujeito a um movimento harmônico simples. Para tanto foi feita a superposi¸cão de escoamentos devido a fontes distribu´ıdas na parte superior e inferior no aerofólio (parte não-circulatória), e uma esteira de vórtices ao longo da dire¸cão do escoamento não-perturbado (parte circulatória), a partir do bordo de fuga para o infinito. De acordo com o teorema da circula¸cão de Kelvin, a esteira de vórtices necessariamente dá origem a uma distribui¸cão de vórtices ao longo da corda, para se satisfazer a condi¸cão de que a circula¸cão ao redor do aerofólio será igual em intensidade, porém oposta em sentido, da circula¸cão gerada pela esteira. Theodorsen trata o cálculo dos potenciais de velocidade associados a cada uma das partes acima relacionadas separadamente: 1) potenciais de origem não circulatória, ou seja, aqueles associados à posi¸cão e velocidade do aerofólio e sua partes; e 2) potenciais de origem circulatória, que são associados às for¸cas e momentos devido à esteira de vórtices. De posse destes potenciais, pode-se calcular as for¸cas e momentos atuantes no aerofólio através da integra¸cão das pressões sobre a corda. A rela¸cão f´ısica entre as for¸cas de origem circulatória e não-circulatória é dada pela magnitude da circula¸cão devido à esteira de vórtices. Esta magnitude é quantificada pela fun¸cão de Theodorsen C(k), que caracteriza o atraso das for¸cas aerodinâmicas atuantes no aerofólio devido à influência da esteira. A unicidade da solu¸cão é garantida através da aplica¸cão da condi¸cão de Kutta, que impõe que as velocidades sejam finitas no bordo de fuga, ou seja, assume-se que não há diferenca de pressão entre a parte superior e a inferior do aerofólio no bordo de fuga.

(45)

A interpreta¸cão f´ısica do fenômeno não é trivial. Assumindo-se o movimento do aerofólio, tendo este natureza senoidal, ocorre uma varia¸cão de sustenta¸cão (cir-cula¸cão) que induz a forma¸cão de uma esteira de vórtices com intensidade oscilante, que por sua vez modifica a circula¸cão sobre o aerofólio. A circula¸cão gerada pela esteira somará ou subtrairá à circula¸cão do aerofólio, gerando assim um atraso ou adiantamento de fase na for¸ca gerada (esta diferen¸ca de fase modifica significativa-mente a dinâmica do sistema, pois a for¸ca aerodinâmica está associada diretasignificativa-mente aos deslocamentos estruturais).

No trabalho de Theodorsen2, tem-se o desenvolvimento das equa¸c˜oes para

este tipo de escoamento. Uma discuss˜ao detalhada sobre este desenvolvimento

as-sim como as hip´oteses adotadas, pode ser vista em Bisplinghoff et al17 (p´aginas 251

à 280). Em Dowell et al45(páginas 209 à 220) pode-se encontrar uma forma

alter-nativa para o desenvolvimento da fun¸cão de Theodorsen. Partindo-se diretamente para a representa¸cão das for¸cas e momentos aerodinâmicos, escreve-se na nota¸cão

matricial de acordo com trabalhos mais recentes de Vepa41, Edwards42, Karpel54,

entre outros: {L(t)} = 2b2qd[Mnc] {¨x(t)} b U∞ !2 + 2b2qd([Bnc] + C(k) [Bc]) { ˙x(t)} b U∞ ! +2b2qd([Knc] + C(k) [Kc]) {x(t)} , (3.6)

onde qd é a pressão dinâmica do escoamento não-perturbado dada por 1₂ρU∞2; as

matrizes [Mnc], [Bnc] e [Knc] são de natureza não-circulatória, enquanto que as

ma-trizes [Bc] e [Kc] são de natureza circulatória. A fun¸cão de Theodorsen C (k) é o que

quantifica o atraso aerodinâmico induzido pela esteira, fazendo o papel de um fator de multiplica¸cão dos termos de natureza circulatória. Ela pode ser escrita através

de uma combina¸c˜ao de fun¸c˜oes de Bessel de ordem n dadas por Yn e Jncomo segue:

C (k) = F (k) + iG (k) , (3.7)

F (k) = J1(J1+ Y0) + Y1(Y1− J0)

(J1+ Y0)2+ (Y1− J0)2

(46)

G (k) = − Y1Y0+ J1J0 (J1+ Y0)2+ (Y1− J0)2

. (3.9)

Quando o valor de C (k) é unitário, a formula¸cão é conhecida como quase-estacioná-ria, uma vez que considera os efeitos de massa aparente e os efeitos do amortecimento

aerodinˆamico, desprezando os efeitos de atraso induzido pela esteira17. O

argu-mento k da fun¸cão de Theodorsen é chamado de frequência reduzida, definida como a frequência de oscila¸cão do aerofólio adimensionalizada pelo valor da velocidade do escoamento e pelo valor da sua semi-corda, ou seja,

k = ωb

U∞

. (3.10)

As matrizes [Mnc], [Bnc], [Knc], [Bc], e [Kc] est˜ao descritas no apˆendice A de

acordo com a formula¸c˜ao de Edwards42, em termos de fun¸c˜oes T , definidas em

Theodorsen2, ou Theodorsen e Garrick11, para o caso da se¸c˜ao com quatro graus

de liberdade. ´E importante frisar que a proposta de Theodorsen e Garrick11 n˜ao

prevˆe a possibilidade de escoamento existente no espa¸co que pode haver entre as superf´ıcies de controle e o aerof´olio, ou mesmo entre a superf´ıcie de controle e o

compensador. Küssner e Schwartz9, por sua vez, propõem uma formula¸cão que leva

em conta os escoamentos acima discriminados. Uma elimina¸cão de linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade de compensador e superf´ıcie de controle, na formula¸cão matricial acima colocada, levam a representa¸cões mais simplificadas para três e dois graus de liberdade, respectivamente.

3.2 Sistemas Aeroel´

asticos Gerais

3.2.1 Modelo Estrutural

Partindo-se agora para uma formula¸cão mais geral, serão considerados sistemas aeroelásticos representados matematicamente por um modelo dinâmico-estrutural

(47)

associado a um modelo de for¸cas aerodinâmicas atuantes sobre este sistema. Os modelos em questão podem representar superf´ıcies tais como asas e empenagens de uma aeronave, ou ela inteira. Um sistema aeroelástico pode ser definido, de acordo com uma formula¸cão em elementos finitos, como segue:

[Me] {¨xe(t)} + [Be] { ˙xe(t)} + [Ke] {xe(t)} = {Le(t)} , (3.11)

onde [Me] é a matriz de massa, [Be] é a matriz de amortecimento, [Ke] é a matriz

de rigidez, {xe(t)} ´e o vetor de coordenadas dos deslocamentos f´ısicos estruturais, e

{Le(t)} ´e o vetor de for¸cas aerodinˆamicas atuantes sobre os pontos definidos pelas

coordenadas estruturais. O subscrito (·)e denota a representa¸c˜ao de propriedades

escritas de acordo com o sistema de coordenadas estruturais, ou seja, aquele utilizado para a descri¸c˜ao geom´etrica da estrutura no modelo de elementos finitos.

Para estruturas complexas, é mais comum e conveniente o uso de métodos de elementos finitos, uma vez que através da discretiza¸cão, a solu¸cão torna-se

ele-mentar, e a representa¸c˜ao de meios cont´ınuos pode ser feita por um n´umero finito

de graus de liberdade. Os m´etodos de elementos finitos24, 38, 40 baseiam-se na

id´eia de se discretizar uma estrutura cont´ınua subdividindo o seu dom´ınio em

ele-mentos, descrevendo as propriedades de cada elemento em termos de um n´umero

finito de parâmetros designados como deslocamentos, em pontos prescritos situados na sua fronteira, conhecidos como nós. Aplicando-se condi¸cões de compatibilidade dos deslocamentos nestes pontos, os elementos são unidos formando um sistema de

equa¸cões lineares simultâneas, cujos deslocamentos são as incógnitas84. Através

destas condi¸cões de compatibilidade, de condi¸cões de contorno, assim como das caracter´ısticas elasto-mecânicas e dinâmicas, pode-se determinar matrizes que mo-delam matematicamente o sistema. Estas matrizes relacionam um vetor de deslo-camentos, velocidades ou acelera¸cões, a for¸cas resultantes devido a estas grandezas. A partir da obten¸cão das matrizes que possuem as propriedades elastodinâmi-cas do sistema, representadas no sistema de coordenadas f´ısielastodinâmi-cas estruturais, pode-se partir para a análise dinâmica com o propósito de se obter as caracter´ısticas modais

(48)

do sistema, isto é, frequências e modos naturais. Assim é poss´ıvel transformar o sistema de equa¸cões inicial, normalmente acoplado, num sistema de equa¸cões in-dependentes expresso em termos de coordenadas generalizadas. As propriedades elastodinâmicas são transformadas para este sistema de coordenadas generalizadas através de matrizes de transforma¸cão conhecidas como matrizes modais. Através do princ´ıpio da superposi¸cão modal, um determinado deslocamento f´ısico do sistema pode ser representado por uma combina¸cão linear das coordenadas generalizadas. Este procedimento é de interesse pois resulta num modelo simplificado, e repre-sentativo dinamicamente, para uma posterior análise aeroelástica. A obten¸cão dos vetores componentes da matriz modal, conhecidos como modos naturais do sistema, assim como das frequências associadas a estes modos, partem da solu¸cão de:

[Me] {¨xe(t)} + [Ke] {xe(t)} = 0 . (3.12)

Este é um problema de autovalor e sua solu¸cão é obtida assumindo-se como resposta estrutural um movimento harmônico simples:

{xe(t)} = {φe} eiωt , (3.13)

onde ω ´e a freqˆ_{uencia do movimento, e {φ}e} ´e um vetor representativo da forma

do movimento. Substituindo (3.13) em (3.12), e reagrupando chega-se ao auto-problema [Ke] − ω2[Me] {φe} = 0 , (3.14) ou [Ke] {φe} = ω2[Me] {φe} . (3.15)

Os autovalores designados por λ = ω2 _{s˜ao os quadrados das frequˆencias}

natu-rais associadas a um determinado modo, e os autovetores {φe} s˜ao os vetores modais,

que podem ser agrupados na forma de uma matriz modal [Φe]. Esses podem ser

tomados como bases, com as quais pode-se representar qualquer deslocamento

(49)

coordenadas generalizadas atrav´es da seguinte rela¸c˜ao: {xe(t)} = n X nm=1 {φenm} ηenm(t) , (3.16) ou {xe(t)} = [Φe] {ηe(t)} , (3.17)

onde {ηe(t)} ´e o vetor de coordenadas generalizadas, e o subscrito (·)nm indexa o

modo. A forma apresentada na equa¸cão (3.16) mostra que os deslocamentos f´ısicos são escritos como uma combina¸cão linear das coordenadas generalizadas, que é uma coordenada que caracteriza a contribui¸cão de um determinado modo na resposta do sistema.

Um sistema cont´ınuo possui infinitos modos naturais. Por´em, a partir do momento que se adota uma forma de discretiza¸c˜ao do sistema em partes finitas, o

número de frequências e modos obtidos numa análise modal passa a ser finito. Os

modelos obtidos por m´etodos de elementos finitos possuem um n´umero de graus de

liberdade muito grande, uma vez que a estrutura normalmente ´e discretizada em

um número razoavelmente grande de elementos, aos quais estão associados vários

graus de liberdade. No entanto, a formula¸cão modal permite que se reduza a ordem do sistema através da escolha de apenas alguns modos de interesse para a análise de resposta no tempo, ou mesmo aeroelástica.

Passando a equa¸c˜ao (3.11) para a forma modal, desconsiderando a matriz de amortecimento, lembrando-se que

{¨xe(t)} = [Φe] {¨ηe(t)} , (3.18)

e ainda pr´e-multiplicando-se a equa¸c˜ao por [Φe]T, chega-se a

[Φe] T [Me] [Φe] { ¨ηe(t)} + [Φe] T [Ke] [Φe] {ηe(t)} = [Φe] T {Le(t)} . (3.19)

Uma vez que as matrizes estruturais do sistema são simétricas e reais, e a matriz modal é ortogonal com rela¸cão à massa e rigidez, as matrizes coeficientes da equa¸cão