Planejamentos Fatoriais

(1)

1

Planejamentos

Fatoriais

2

Não há análise que possa

salvar um experimento mal

planejado!

3

Problema Experimental

COMO VARIAR TUDO AO MESMO TEMPO

Avaliar a

influência de uma ou mais

variáveis

sobre uma outra de interesse

Como a(s)

reposta(s) do sistema

(variável

de interesse)

depende dos

fatores

(variáveis controladas)?

Reformulando o problema

4

Sistema

. . .

Obs. Fatores ou Respostas podem ser qualitativos ou quantitativos Fator 1 Fator 2 Fator k . . . Resposta 1 Resposta 2 Resposta k

Fig. Um sistema pode ser representado por uma função (em princípio desconhecida) ligando os fatores (variáveis de entrada) às repostas (variáveis de saída).

5 Respostas: Variáveis que descrevem as propriedades do processo/sistema;

Fatores (variáveis): Parâmetros que são alterados para influenciar a resposta;

Modelo: Expressão matemática que relaciona a mudança nos fatores com as mudanças na(s) resposta(s).

6

Sistema em Estudo

Reação Química

Temperatura Catalisador

Resposta

Fatores

Rendimento

(2)

7 8

9 10

Métodos Uni e Multivariados

Métodos Univariados

Informações “pontuais”;

Interações entre os fatores não são observadas: ótimo global pode nunca ser encontrado.

Muitos experimentos para encontrar as condições desejadas.

Métodos Multivariados

Funcionam bem na presença de erro experimental;

Permite estimar interações entre fatores: localização do ótimo efetivo e suas vizinhanças;

Economia de Tempo de Dinheiro.

11 12

Definindo o(s) Objetivo(s) do Experimento

O experimentador pode está

interessado em, por exemplo:

♦ saber se ao trocar o catalisador por outro mais barato o rendimento vai diminuir

♦descobrir que temperatura deve ser usada para obter o rendimento máximo, etc.

(3)

13

Escolhendo o planejamento mais adequado

ao(s) objetivo(s) estabelecido(s)

Digamos que se queira saber se certos

fatores têm ou não influência sobre a

“Resposta”

Planejamento Fatorial de Dois Níveis (2

K

₎

14

Planejamento Fatorial de Dois Níveis

(2

K

₎

- k



é o número de

fatores ou variáveis

a serem

controladas pelo experimentador

- 2

k



_{número de ensaios diferentes}

_para

implementar um planejamento completo

- o

“2” de “2

k

_”



_{significa que o experimentado}

terá que variar o fator em

dois diferentes níveis

.

15

Voltemos ao exemplo hipotético do rendimento da

reação para ilustrar a:

Implementação de um planejamento fatorial 2

2

Temperatura Catalisador Para isso, Níveis: 40 o_C_e₆₀o_C _{Níveis: A}_e_B Rendimento? UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22 16 UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22

Os

rendimentos são registrados

para as quatro

combinações possíveis dos fatores:

(

40

o

_C

_,

_A

₎



_{Ensaio 1}

(

60

o

_C

_,

_A

₎



_{Ensaio 2}

(

40

o

_C

_,

_B

₎



_{Ensaio 3}

(

60

o

_C

_,

_B

₎



_{Ensaio 4}

Os resultados são mostrados na Tabela a seguir:

17 UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22

22₌₄_._{Planejamento requer quatro experimentos (ensaios)} ₁₈

Pode-se representar

geometricamente

os

resultados do planejamento como:

(4)

19

Interpretação preliminar dos dados da Tabela 3.1 à

luz da Figura 3.3

- Ao usar o catalisador A e elevar a temperatura de 40 para 60o_{C (ensaios 1 e 2),}_{o rendimento médio passa de}

59 para 90o_C__{aumento de 31%}

- Quando o catalisador é do tipo B (ensaios 3 e 4)  o rendimento sobe apenas 68 – 54 = 14%

O efeito da temperatura depende do

nível do catalisador

!

UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22

- Ao 40o_C _{(ensaios 1 e 3),} _{a mudança do catalisador} diminui o rendimento médio em 5%

- Ao 60o_C_{(ensaios 2 e 4),}_{a redução passa a ser de 22 %}

Por outro lado, o efeito do catalisador também

apresenta um comportamento similar. De fato,

Os resultados apontam uma

interação entre os

fatores

, cujo efeito também pode ser estimado

21

Cálculo dos Efeitos

Efeito Principal da Temperatura (T)

Média dos efeitos da temperatura nos dois

níveis do catalisador

Por definição, Matematicamente,



 





 



%

,5

22

2

54

68

59

90

2 y

y

T



2



1



4



3











UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22 22

Podemos reescrever a Eq. anterior como



 





 



%

,5

22

2

54

59

2

68

90

2 y

y

2 y

y

T



2



4



1



3











O efeito principal de um fator é a

diferença

entre a

resposta média no

nível superior

e a do

nível inferior

formulando a definição que será usada daqui em diante

23

Usando a

nova definição

para o catalisador:



 





 



%

,5

13

2

90

59

2

68

54

2 y

y

2 y

y

C



3



4



1



2













Analisando o efeito principal de C

Efeito negativo



ao trocar o catalisador A

pelo B o rendimento cai, em média, 13,5%

24

Efeito de Interação entre T e C (TxC ou TC)

Se não houvesse interação,

o efeito

de T deveria ser o mesmo

usando

ambos os catalisadores

a metade da diferença entre ambos os

rendimentos de T

pode ser tomada como uma

medida da interação entre os fatores T e C

(5)

25 26

Nos planejamentos de dois níveis, identifica-se os

níveis inferior e superior de uma variável como:

Codificando as Variáveis

♦ Nível inferior 

(-)



40

o

_C

_{(T) e}

_A

_(C)

♦ Nível Superior 

(+)



60

o

_C

_{(T) e}

_B

_(C)

Assim, podemos interpretar geometricamente todos

os efeitos a partir da Figura 3.2 mostrada a seguir

27

Um algoritmo para o calculo dos efeitos usando as

variáveis codificadas

Inicialmente, reescreve-se a matriz de

planejamento (

Tab. 3.1

) substituindo os valores

dos fatores pelos sinais apropriados (+) ou (-)







































B

A

60

40

60

40 C

T

C

T

UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22 28 UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22

Acrescentando-se uma coluna de sinais positivos antes da coluna de T e outra após C e incluindo a unidade:

























































1

1 TC

C

T

M

TC

C

T

M

Tabela de coeficientes de contraste

Calculando os efeitos usando a matriz anterior

Para calcular basta aplicar a equação

matricial abaixo:

































































17

27

45

271

68

54

90

59

1

1 y

X

t

onde: - Xt_{= matriz de coeficientes de contraste transposta}

- y = vetor coluna das repostas (no caso médias) 30













































TC

C

T

M

5 ,

8

5 ,

13

5 ,

22

75 ,

67

2 /

17

2 /

27

2 /

45

4 /

271 Dividindo o primeiro elemento por 4 e os

demais por 2, obtemos:

onde: - M = média global

- T e C = efeito principal da temperatura (T) e do catalisador (C)

- TC = efeito de interação entre os fatores T e C. UM PLANEJAMENTO FATORIAL 22

(6)

Interpretação geométrica dos efeitos

Representa-se o planejamento experimental num

gráfico

com um

eixo para cada fator

.

Neste caso, o espaço assim definido

é um plano

pois temos apenas 2 fatores.

Como resultado, obtêm-se os gráficos da

Figura

3.2 nos quais os níveis dos fatores encontram-se na

forma codificada

.

Nota-se também que as

respostas

são colocadas

nos vértices apropriados.

32

 Efeitos principais  contrastes entre valores situados em arestas opostas e perpendiculares aos eixo do fator correspondente

 Efeito de interaçãocontraste entre as duas diagonais, considerando-se positiva a que liga o ensaio (--) ao ensaio (++)

33

Estimando o erro experimental

Vimos, por exemplo, que o

efeito de interação

entre T e C

foi estimado como -8,5

Será que esse

efeito é realmente

significativo

do ponto de vista estatístico?

Para responder

é imprescindível

obter

uma estimativa do erro experimental!

34

Estimando a variância conjunta (

s

2 conjunta

):

.

5 ,

6

1

8

1

2

1

8

1

8

1 s

s

2 conj unta 4 3 2 1 2 4 ensaio 4 2 3 ensaio 3 2 2 ensaio 2 2 1 ensaio 1 2 conj unta



























































% 55 , 2 5 , 6 s 

Estimativa do desvio padrão do erro experimental característico (erro padrão) das respostas

35

De um modo geral, se cada ensaio for repetido

“n

i”

vezes

e houver

“m” ensaios diferentes

, estimativa

conjunta da variância exp. (

s

2

conjunta

) será dada por:

m 2 1 2 4 m 2 2 2 2 1 1 2 conj unta

_...

s

...

s





























onde





i

= n

i

– 1



número de graus de liberdade de

s

i2



s

_i2



_{estimativa da variância do i-ésimo ensaio}

36

Estimando o erro padrão de um efeito

Como cada um dos efeitos é uma combinação linear de

4 valores (4 repostas médias) e admitindo que eles têm

a mesma variância populacional, podemos escrever:

2 y 2 y i 2 y 2 i 2 efeito

)

4

1

4

1

4

1

4

1 (

a

s



















Onde:

 ai = coeficientes usados no cálculo dos efeitos

(ai = 1/2 e -1/2 de modo que ai2 = ¼) 2 y  ₌_{variância populacional}  2 efeito

s

(7)

37

Consequentemente, o desvio ou erro padrão

de um efeito é dado por:

2 y 2 efeito

s

)

efeito

(

s





25 ,

3

2

5 ,

6

2 )

4

1

4

1 (

a

2 2 i 2 2 i 2 y























onde, 

2

_{foi tomada como igual s}

2 conjunta

Como cada resposta média é uma combinação

linear de 2 observações independentes, temos

:

38

Portanto, o

erro padrão de um efeito

é

estimado como:

%

8 ,

1

25 ,

3 )

efeito

(

s





2 _y



Tendo obtido o erro padrão de um efeito,

pode-se construir

intervalos de confiança para os

efeitos usando a distribuição de Student

.

Vejamos a seguir como isso pode ser feito.

39

Significância dos efeitos

Na

prática,

só

devemos

considerar

estatisticamente significativos

os efeitos que

satisfizerem (

em módulo

) a condição:

)

(efeito

s

t

ivo

significat

Efeito



_



onde:

t=ponto de distribuição com  graus de liberdade

para o nível de confiança desejado

= é o mesmo no_{total de graus de liberdade}_usado

para estimar o desvio ou erro padrão de um efeito. 40

No presente experimento, 

= 4

então

t = 2,776

(

ver tabela

) ao nível de 95% de confiança,

%

0 ,

5 %

8 ,

1

776 ,

2 )

efeito

(

s

t

ivo

significat

Efeito













Usaremos esse critério para avaliar se os efeitos

encontrados na

Tabela 3.2

são significativos no

nível de confiança considerado.

41 42

Uma vez que o efeito de interação entre T e C

é significativo,

os efeitos principais devem

ser interpretados conjuntamente

, ou seja:

Para auxiliar a interpretação final dos resultados,

consideremos novamente o gráfico da

Figura 3.3

(8)

43 44  Elevando T aumenta-se o rendimento da reação, porém esse efeito é muito mais pronunciado com o catalisador A (+31% contra +14%)

 Ao trocar o catalisador A pelo B o rendimento da reação é diminuído, sendo esse efeito muito mais expressivo a 60o_C_{(-22% contra -5%)}

 Os maiores rendimentos (90%, em média) foram obtidos com o catalisador A e com a temperatura em 60o_C

Fig. 3.3. Diagrama para a interpretação dos resultados do planejamento fatorial 22. Os valores nos vértices do quadrado são as respostas médias (rendimentos percentuais).

45 46

Y(x

₁

,x

₂

) =

b

_o

+

b

₁

x

_i

+

b

₂

x

₂

+

b

₁₂

x

₁

x

₂

+

e

Onde

bo  valor populacional da média global das respostas; b1, b2 e b12  valores populacionais dos dois e feitos principais e do efeito de interação;

Y  verdadeira média populacional da resposta.

e  resíduo (erro aleatório)

Modelo Estatístico

eY- ye

47

Estimativas dos parâmetros a partir dos

experimentos:

y

e

= b

0

+ b

1

x

1

+ b

2

x

2

+ b

12

x

1

x

2

•Com a codificação cada efeito passa a corresponder à variação de DUAS unidades do fator correspondente (nível vai de –1 a 1)

•Os efeitos POR UNIDADE de x1 e x2  são a METADE

dos calculados anteriormente 48

•O efeito principal da temperatura é de 22,5% quando T passa de 40 o_{C para 60}o_C

•O efeito da temperatura é de 11,25% por unidade de x1

•11,25 (temperatura), -6,75 (catalisador) e -4,25 (interação)  efeitos por unidade de x1 e x2

Logo:

y(x

1

,x

2

)= y

e

= b

0

+ b

1

x

1

+ b

2

x

2

+ b

12

x

1

x

2

(9)

49

Em termos de álgebra linear, a equação pode

ser escrita como um produto escalar:















12 2 1 12 2 1 2 1

,

)

[

1 ]

*

(

ˆ

b

x

y

o 50

Por Exemplo:

y

e

=67,75 + 11,25

(−1)

− 6,75

(−1)

− 4,25

(−1. −1)

y(x

₁

,x

₂

)= y

_e

= b

₀

+ b

₁

x

₁

+ b

₂

x

₂

+ b

₁₂

x

₁

x

₂

y

_e

= 67,75+11,25x

₁

-6,75x

₂

-4,25x

₁

x

₂

= 59,0

Para o

Ensaio 1

, tem-se:

x

₁

=-1

;

x

₂

=-1

Estudar os efeitos do aumento da Temperatura, da mudança de catalisador e agora, da concentração sobre o rendimento de uma reação.

52

(10)

55 Variância Conjunta

56

Expressão Geral para o erro padrão do efeito:

S(efeito) = (4s

p2

/N

total

)

1/2

Logo

S(efeito) = (4 x 5,19/16)

1/2

_{= 1,1}

No presente experimento,



= 8

então

t = 2,306

(

ver tabela

) ao nível de 95% de confiança,

Logo

1,1 x 2,306 =

2,54

57 58

Interpretando dos Resultados

Nota-se que:

♦ A inclusão do

fator concentração do reagente

não

trouxe nenhuma novidade, senão seu efeito

principal

♦

não há evidência

de interação entre a concentração

e os outros dois fatores, pois seus efeitos não são

maiores que

t

8

x s(efeito).

59

♦ Os efeitos 1 e 2, assim como 12, são praticamente

os mesmos do planejamento 2

2

_{e podem ser}

interpretados a partir dos valores da figura abaixo.

60

♦ então, o efeito da concentração (M) pode ser

interpretado isoladamente como:

quando M é aumentada de 1,0 M para 1,5 M, ocorre um aumento médio de cerca de 9% no rendimento, e não há evidência de esse aumento dependa dos níveis das outras variáveis, na região experimental investigada.

(11)

61

Modelo Estatístico

2 62

Modelo Estatístico

2 63

Planejamento Fatorial 2

4

64

Inclusão do fator pH

65 66

(12)

67

No Excel

68 Média 67,188 Efeitos principais* 1 22,875 2 -14,125 3 8,875 4 0,875

Interação de dois fatores

12 -8,625 13 -0,625 14 0,875 23 -0,625 24 0,875 34 0,375 Interação de três fatores 123 0,875 124 -0,125 134 -0,625 234 0,375

Interação de quatro fatores 1234 0,375

Efeitos Calculados para o PF 2

4

(1) Temperatura;(2) Catalisador; (3) Concentração; (4) pH

Estimativa do erro do PF 2

4

Que interações são importantes ?

(como saber sem repetições ?)

1) Admitindo que os efeitos principais e as

interações de dois fatores são suficientes para

descrever adequadamente a superfície de

resposta.

1) Gráfico de Distribuição Normal

1º Caso: Admitindo que os efeitos principais e as

interações de dois fatores são suficientes para

descrever adequadamente a superfície de resposta

Podem ser atribuídos às flutuações aleatórias inerentes ao nosso processo, isto é, ao “ruído” embutido nos valores das respostas.

71

Logo, elevando cada um dos efeitos (de três e quatro interações) ao quadrado, teremos uma estimativa da variância de um efeito, e a média dos cinco valores nos dará uma estimativa conjunta, com 5 graus de liberdades (porque são cinco valores independentes).

72

Conclusão:

Apenas os efeitos 1, 2, 3 e 12 são, de fato, significativos nesse nível de confiança.

Valor de t ~ 2,571 (95%) Logo

Valor limite para significância de um efeito

Será

0,54 x 2,571 = 1,39 Graus de liberdade

(13)

73

2º Caso: Análise por meio de gráficos normais.

Técnica alternativa para verificar quais dos efeitos são significativos

Baseia-se no conceito de probabilidade cumulativa Lembrando:

Uma variável aleatória x  N ( , 2₎_{obedece à equação}

dx

e

(x

μ

)

2 /2

σ 2

]

σ

)

π

(2

1/2

1 [

f(x)dx





Curva de distribuição normal

74

Probabilidade Cumulativa

Probabilidade de se observar um valor da

variável aleatória “x” menor ou igual a

“x

1

”, como ilustrado no gráfico abaixo.

Essa probabilidade aumenta à medida que “x” se desloca para a direita,tendendo para

1 quando x 

Como fazer a representação da distribuição em

gráficos normais?

76

77

Voltando ao planejamento 2

4

1. Considerar os 15 valores como uma amostra aleatória retirada de uma distribuição aproximadamente normal, com média populacional zero.

2. Cada um dos valores representa 1/15 (6,67%) da área total da distribuição.

(14)

79 (3) Os efeitos principais (pontos 1, 2 e 3) e o de interação 12 são significativos, pois encontram-se afastados da reta dos pontos centrais.

(1) Os pontos centrais ajustam-se a uma reta que cruza o ponto zero do eixo das abscissas;

(2) Os pontos vindos de uma população normal de média zero. Logo, representam efeitos sem nenhum significado físico.

80

• Gerar um Planejamento 2

3

• Calcular os efeitos e interpretar

• Utilizar gráficos normais para avaliar

significância dos efeitos

Planejamento Fatorial Utilizando

o Programa Estatística

81 Um pesquisador, no desenvolvimento de um método analítico para determinação de metais em óleos lubrificantes usados, estava interessado em avaliar a influência de três variáveis relacionadas ao procedimento de digestão, na exatidão do método. A resposta estudada foi a recuperação obtida após adição de concentrações conhecidas dos metais em uma amostra de óleo usado (isto é, a resposta ótima seria 100%). Os fatores estudados foram: tipo de ácido (TA), concentração dos ácidos (CA) e tempo (t). Com base nesses dados o que você pode concluir?

Exemplo Prático

82

83

Para entrar no módulo de Planejamento de

experimentos (DOE)

• Abrir o Statistica e criar uma nova pasta de trabalho [File-

New-Workbook]

• Selecione “Insert empty spreadsheet”, antes de clicar ok

1

84 SELECIONE Para gerar o planejamento Nº de fatores

Gerar um

planejamento 2

3

_em

duplicata

2

3

(15)

85 Para adicionar repetições e colunas para a variável dependente Após selecionar estas opções, clique em “Summary display design”,

4

5

86 Valores da resposta obtidas, após execução dos experimentos Planejamento Gerado

6

Pode-se editar os rótulos de cada variável dando dois

cliques em cada coluna.

87

Com um clique com o botão direito, selecione a

opção “Extract as

stand-alone windows”. Em

seguida, “original”

File  Save As  “Nome do planejamento”

7

88

Para analisar o planejamento

•Abrir o arquivo “ Nome do Planejamento”

•Adicionar ao Workbook (Add to workbook)

New workbook

•Habilitar a planilha como ativa.

Botão direito do mouse sobre o nome do

arquivo na árvore, clique na opção “

use as active

input

”

•Abrir o módulo “

Statistics

/

Industrial Statistics & Six

Sigma

/

Experimental Design (DOE)

”

89 90

(16)

91

 Voltar para o módulo “

Quick

”

 Selecionar “Summary Effects estimates”

92

Como há feitos de interação de terceira ordem

significativos, deve-se fazer a interpretação conjunta no cubo

Escolher as variáveis para o cubo 93 CA=(33,7-24+14,65-12,25)/4=3,025 Para girar o cubo. 94