APLICAÇÃO DOS MODELOS ARMA NA PREVISÃO DE VENDAS

APLICAÇÃO DOS MODELOS ARMA NA PREVISÃO DE VENDAS

Autoria: Marta Olivia Rovedder de Oliveira, Felipe Tavares Milach, Vitor Francisco Dalla Corte

RESUMO

A tarefa de previsão de vendas pode ser complexa, porém é extremamente relevante para as empresas, requerendo, assim, atenção do meio acadêmico. Dada a complexidade de alguns modelos de previsão, muitas companhias acabam utilizando técnicas subjetivas de previsão; dada a sua relevância (base para o plano de marketing, orçamento empresarial e planejamento estratégico) (Stanton & Spiro, 2000; Pilinkienė 2008), muitos gestores e pesquisadores escolhem métodos estatísticos mais elaborados, contudo, nem sempre realizam uma devida verificação da adequação do método aos dados disponíveis para realizar as estimativas. Conseqüentemente, as previsões podem apresentar falhas. Uma das causas de falha no uso de métodos quantitativos diz respeito a não verificação de alguns pressupostos estatísticos necessários ao bom funcionamento dos modelos. No caso da utilização de séries temporais torna-se necessária a verificação da presença de correlação serial ou autocorrelação nos dados para a realização de uma previsão (Maddala, 2003; Gujarati, 2006). Se presente, a autocorrelação cria um viés de previsão, comprometendo o processo de tomada de decisão. O tratamento da autocorrelação pode ser feito através de modelos auto-regressivos de média móvel, também conhecidos como modelos ARMA (Box & Jenkins, 1978). Cabe destacar que os modelos ARMA são amplamente utilizados para realizar previsões em outros campos do conhecimento, como economia, finanças, engenharia e metereologia, no entanto sua aplicação em estudos na área de marketing ainda é escassa. Dessa forma, este estudo objetivou testar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas de uma empresa que fabrica refrescos. Foram, então, analisadas 12 séries de dados diários sobre as vendas de refrescos, em um período de 11 meses. Foi identificada a presença de não estacionariedade das séries de vendas, indicando que a suas médias e as suas variâncias não foram constantes ao longo do período analisado. Dessa forma, tornou-se necessário diferenciar as séries, passando-se a trabalhar com as variações nas vendas ou invés dos valores brutos de vendas. Através da aplicação do Teste de Box-Pierce nas 12 séries analisadas foi possível identificar a presença de autocorrelação nas mesmas. Dessa forma, tornou-se necessário o ajuste destas através dos modelos ARMA. Das 12 séries analisadas, nove foram ajustadas através de um ARMA (2, 1). As demais foram modeladas por um AR (1), um AR (2) e um ARMA (1, 1). Destaca-se que tal fato acabou corroborando com a suspeita que havia sido levantada inicialmente na construção da matriz de correlações, onde as séries de variações nas vendas apresentavam, em sua maioria, correlações positivamente fortes, um possível indicativo que as mesmas seguiam processos semelhantes. De uma forma geral, pode-se afirmar que os modelos ARMA foram adequados para modelar as 12 séries analisadas, uma vez que, após o ajuste, não foram encontradas evidências de autocorrelação nos resíduos das mesmas.

1. Introdução

A previsão de vendas é uma parte extremamente importante do plano de marketing (Roggeveen & Johar, 2004), assim com do orçamento empresarial, sendo essencial para as empresas. Além disso, a previsão de vendas representa uma informação fundamental para o planejamento empresarial, pois é usada para o dimensionamento dos recursos necessários à operação da empresa (Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998). Previsões acuradas das vendas auxiliam na obtenção de lucros e na sobrevivência das companhias (Decker & Gnibba-Yukawa, 2010).

Por conseguinte, as previsões de vendas embasam o processo de tomada de decisões dos gestores. “Cada decisão exige uma estimativa dos seus efeitos, logo envolve uma previsão. Uma previsão é uma listagem de informações que ajuda o gerente a chegar a uma decisão” (Battersby, 1976, p. 13). Conseqüentemente, cada vez mais os gestores requerem modelos que forneçam previsões de vendas confiáveis (Neelamegham & Chintagunta, 2004), principalmente porque, a efetiva seleção e utilização de um modelo de predição podem reduzir a incerteza dos gestores (Pilinkienė, 2008).

Contudo, “a tarefa da previsão de vendas é árdua e complexa se os dados são escassos e a metodologia inadequada.” (Cobra, 1994, p. 97). Dada a complexidade de alguns modelos de previsão, muitas companhias acabam utilizando técnicas subjetivas de previsão, principalmente as pequenas e médias empresas. Em contrapartida, dada a relevância das previsões de vendas para a companhia - como servir de base para o orçamento e planejamento estratégico -, muitos gestores e pesquisadores escolhem métodos estatísticos mais elaborados. Contudo, esses modelos nem sempre condizem com a natureza dos dados disponíveis para realizar as estimativas. Conseqüentemente, as previsões de vendas podem apresentar falhas.

Uma das causas de falha no uso de métodos quantitativos diz respeito a não verificação de alguns pressupostos estatísticos necessários para o bom funcionamento dos modelos. No caso da utilização de séries temporais, por exemplo, o número de vendas diárias de um produto durante um determinado horizonte de tempo, torna-se necessária a verificação da presença de correlação serial ou autocorrelação nos dados. Se presente, a autocorrelação cria um viés de previsão, comprometendo o processo de tomada de decisão. O tratamento da autocorrelação pode ser feito através de modelos auto-regressivos de média móvel, também conhecidos como modelos ARMA.

Cabe destacar que os modelos ARMA são amplamente utilizados para realizar previsões em outros campos do conhecimento, como economia, finanças, engenharia da produção e metereologia, no entanto sua aplicação na área de marketing ainda é escassa. Ao realizar um levantamento nos Anais do Encontro de Marketing da ANPAD (EMA) e no Encontro de Administração (ENANPAD), principais congressos na área de marketing no Brasil, foram encontrados poucos artigos que tratam sobre previsão de vendas. Nos três Encontros de Marketing realizados foi publicado um artigo sobre previsão de vendas. No período entre 1998 e 2009, foram encontrados 3 artigos relativos a previsão de vendas nos anais do ENANPAD, sendo um sobre orçamento de vendas e um sobre previsão de fidelização dos clientes. Cabe destacar que apenas um destes artigos foi publicado na área de marketing. Dois foram publicados na área de Administração de TI nas Organizações e uma na área de Contabilidade e Controle Gerencial. Via este levantamento, pode-se observar que ao longo de 11 anos foram publicados 5 artigos referentes a previsão de vendas nas conferencias analisadas, sendo que somente 2 artigos foram submetidos a área de Marketing. Destaca-se também, que nenhum deles trabalhou com os modelos ARMA.

Dada a pouca quantidade de aplicações de tais modelos na literatura brasileira de marketing e a importância do tema de previsão de vendas para os gestores e práticos de marketing, pode-se afirmar que tal assunto representa um campo a ser explorado. Dessa

forma, pretende-se testar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas de uma empresa que fabrica refrescos. Para tanto, foram analisadas as séries de vendas diárias de 12 sabores comercializados pela fabricante. Primeiramente foi realizada uma revisão da literatura sobre métodos de previsão de vendas, destacando-se os modelos de série temporais, entre os quais estão os modelo ARMA, apresentados no item 2, deste artigo. Os procedimentos metodológicos estão descritos no item 3, enquanto os resultados estão no item 4. Por fim, são expostas as considerações finais deste estudo, juntamente com as sugestões de futuras pesquisas.

2. Métodos de Previsão de Vendas

O principal objetivo de um método de previsão é transferir a informação atual para o futuro e mover-se do processamento da informação para a previsão (Pilinkienė, 2008). “A previsão de vendas é uma estimativa de vendas (em dinheiro ou em unidades) que uma empresa espera alcançar durante um período de tempo especificado, num determinado mercado e segundo um plano de marketing proposto” (Stanton & Spiro, 2000, p.331). Ou seja, a previsão de vendas é a projeção numérica das expectativas da organização, sobre o que poderá ocorrer no futuro dentro do mercado alvo de atuação (Moreira, Gobe, Fische & Pasquale, 2004).

De acordo com a literatura acadêmica de economia, existem mais de 200 métodos de previsão (Pilinkienė, 2008). Eles variam dos métodos mais ingênuos, tais como o uso das mais recentes observações, até as abordagens altamente complexas, como as redes neurais e sistemas econométricos de equações simultâneas (Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998). Além disso, há uma grande variedade de métodos para a previsão de vendas, em específico (Cobra, 1994; Moreira et al., 2004). Devido à grande quantidade de métodos existentes, pesquisadores tentam classificá-los em grandes categorias. Contudo, diferentes autores apontam distintas classificações.

Segundo Pilinkiené (2008), dependendo da área de pesquisa e de seu objetivo, a classificação dos métodos de previsão é baseada nos seguintes critérios:

- tipo de informação (quantitativa e qualitativa);

- tempo de previsão (curto prazo, médio prazo e longo prazo);

- objeto da previsão (métodos de previsão para indicadores econômicos micro ou macro);

- objetivo da previsão.

Cobra (1994), por sua vez, julga que existam quatro categorias gerais de métodos para a previsão: métodos não-científicos, métodos matemáticos, métodos de levantamento (pesquisas), métodos de zona-piloto (área-teste de mercado). Já Moreira et al. (2004) e Las Casas (2002) classificam os métodos de previsão de vendas apenas em: métodos científicos e métodos não-científicos. Segundo Moreira (2004), alguns dos métodos para previsão de vendas são baseados em processos científicos apurados, refletindo a preocupação das empresas em possuir garantias para a previsão futura: são os métodos científicos. “No outro extremo, estão os métodos pouco conceituados cientificamente, mas que são usados em função dos recursos disponíveis: são os métodos não-científicos” (Moreira et al., 2004, p. 88).

Para Las Casas (2002), os métodos científicos são bem mais sofisticados, talvez, por essa razão, menciona o autor, a maioria das empresas, principalmente as pequenas e médias, utilizam métodos não científicos. “Muitas vezes, os métodos mais técnicos, por serem mais caros e exigirem mais tempo e qualificação, acabam sendo substituídos por alternativas baseadas na percepção ou feeling” (Moreira et al., 2004, p. 88).

Dentre os métodos não científico de previsão de vendas encontram-se a listagem de fatores, construção de cenários e extrapolação (Cobra, 1994; Moreira et al., 2004). Las Casas

(2004) também aponta a opinião da força de vendas e o julgamento dos executivos dentre os métodos não científicos.

O método científico, por sua vez, é aquele no qual se utilizam dados do passado para que, combinados com técnicas diversas e o uso da matemática, sejam encontrados números mais confiáveis (Moreira et al., 2004). Para o exercício da previsão de vendas é importante observar o passado para fazer interferências acerca do futuro (Cobra, 1994). Com esse intuito, segundo o autor, existem diversas técnicas com o uso da matemática que são muito úteis na análise da série histórica de vendas.

“Contudo, é importante observar que não existe um modelo único, válido para todas e quaisquer circunstâncias; em função do rigor e precisão desejada há um modelo matemático mais adequado para cada caso” (Cobra, 1994, p. 105). Ou seja, esta metodologia não pode ser aplicada de forma indiscriminada para todos os setores; existem situações em que uma forma matemática é mais útil do que em outra, assim deve-se conhecer a mecânica dos métodos matemáticos e aplicar de forma coerente a cada caso (Moreira et al., 2004).

Dentre os métodos matemáticos, destacam-se os modelos das médias móveis, os modelos da média ponderada, os modelos da suavização (aplicação particular da média ponderada), os modelos de ajustamento exponencial, os modelos de regressão, modelos econométricos, modelos de simulações.

Já os métodos de levantamento tratam-se da intenção de compra dos clientes, análise do rendimento da ação comercial, avaliação da concorrência, júri de opiniões de executivos, o método de opinião da força de vendas. Já os métodos de zona-piloto apresentam como exemplo o modelo para a estimativa das mudanças econômicas.

Contudo, Roggeveen e Johar (2004) apresentam outra categorização. Eles mencionam que os métodos de previsão normalmente são categorizados apenas em duas categorias: aquelas baseadas principalmente no julgamento e (2) aquelas baseadas em fontes estatísticas.

Na realidade, “a forma mais popular universal, a mais comumente aplicada nos artigos de pesquisa é a classificação baseada em métodos de previsão qualitativos e quantitativos, porque suas características envolvem os métodos classificados em outros grupos” (Pilinkienė, 2008, p. 20). Wanke e Julianelli (2006) e Makridakis, Wheelwright e Hyndman (1998), dentre outros autores, utilizam essa classificação. Cabe destacar, que também podem ser realizadas pesquisas com a combinação de modelos qualitativos e quantitativos.

Os métodos qualitativos ou subjetivos são baseados em informações intuitivas (opiniões, intenções e sentimentos) que podem ser obtidas por vários tipos de entrevistas (consumidores, pessoal de vendas, pessoal da companhia), levando em conta a análise do ponto de vista de especialistas (Pilinkienė 2008). Ou seja, os métodos qualitativos baseiam-se na opinião de certas pessoas consideradas aptas a formular previsões sobre um determinado fenômeno. São freqüentemente utilizados quando se verificam alterações significativas nas circunstâncias existentes, quando não existe informação histórica (série histórica) disponível, limitada ou inexistente informação quantitativa (Wanke & Julianelli, 2006; Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998).

“Estas técnicas dependem exclusivamente do expertise do(s) previsor(es), sendo que geralmente são mais caras e trabalhosas que os métodos quantitativos de previsão” (Wanke & Julianelli, 2006, p. 31). Os métodos qualitativos englobam: opiniões dos vendedores, dos executivos, etc.; a construção de cenários; e o método Delphi, processo interativo baseado em questionários e entrevistas realizados a um determinado grupo previamente escolhido. Segundo Makridakis, Wheelwright e Hyndman (1998), os métodos de previsão qualitativos dividem-se em exploratórios e normativos.

Os métodos quantitativos analisam objetivamente os dados passados, fazendo suposições que seus valores não vão mudar, enquanto as regularidades atuais permanecerem a mesma (Peterson & Lewis, 1999 apud Pilinkiené, 2008). Ou seja, o método quantitativo

baseia-se na análise dos dados históricos e demanda três condições para a sua aplicação (Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998):

-disponibilidade de informações sobre o passado;

-possibilidade de essas informações serem quantificada em forma de dados numéricos; - pressupor que alguns aspectos de padrões passados permanecerão no futuro.

“Esta última condição é conhecida como a pressuposição da continuidade; que é uma premissa de todos os métodos de previsão quantitativos e de muitos qualitativos, independente do seu grau de sofisticação” (Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998, p. 9).

Os métodos quantitativos dividem-se me dois sub-grupos principais: modelos causais e séries temporais. As técnicas causais procuram relacionar as vendas (variável dependente) com outros fatores (Wanke & Julianelli, 2006), geralmente de cunho econômico. Um exemplo são os modelos econométricos. O segundo sub-grupo, as técnicas de série temporais, utilizam dados históricos de vendas como base para a determinação de padrões que podem se repetir no futuro (Wanke & Julianelli, 2006). Ou seja, os valores passados das vendas são usados para estimar o seu comportamento futuro, por meio de modelos de séries temporais (Makridakis, Wheelwright & Hyndman, 1998). Esses modelos serão tratados detalhadamente na próxima sessão do artigo.

2.1 Séries temporais

De acordo com Maddala (2003, p. 273), “...uma série temporal é uma seqüência de dados numéricos na qual cada item é associado a um instante particular de tempo”. Se Xt representa o valor de uma variável aleatória X no instante t, a série temporal é denotada por

X1, X2,..., Xn, onde n é o corresponde ao tamanho da série ou número de observações seriais da variável.

Souza e Camargo (2004) ainda apontam quatro objetivos principais para a análise de séries temporais: descrição, explicação, previsão e controle. No entanto, para que se atinjam esses objetivos, é preciso considerar alguns pressupostos existentes para a análise de séries temporais, como a autocorrelação dos dados.

Em relação à autocorrelação, Maddala (2003) explica que, há situações em que os termos de erro a_t do modelo de regressão podem ser correlacionados, nesse caso, a_tem um período de tempo t, é correlacionado com os termos de erro a_t+1, a_t+2,...e a_t−1, a_t−2, e assim por diante, violando, dessa forma um das premissas necessárias para a escolha do melhor estimador não-viesado, realizada pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

Em séries temporais, diz-se que o termo de erro deve ser ruído branco, representado por _a ~_IIDN(0,_σ2)

t , ou seja, at é o termo de erro, distribuído de modo independente e

idêntico, não necessariamente, mas usualmente, a uma distribuição normal com μ =0 (média zero) e _{σ (variância constante).} 2

Uma das técnicas amplamente citadas para o tratamento dos dados autocorrelacionados são os ajustes realizados pela família de modelos ARMA (auto-regressivo de médias móveis), desenvolvidos por Box e Jenkins (1978), cujo principal objetivo é remover a autocorrelação dos dados.

A família de modelos ARMA é composta, basicamente, por modelos auto-regressivos [AR (p)], modelos de média móvel [MA (q)], modelos auto-regressivos de média móvel [ARMA (p, q)] e modelos auto-regressivos integrados de média móvel [ARIMA (p, d, q)].

Os modelos AR (p) podem ser definidos de forma geral pela equação 1:

t p t p t t t X X X a X =φ_{1 −1} +φ_{2 −2} +...+φ ₋ + [1]

Onde at é um termo de erro ruído branco e p corresponde ao número de termos auto-regressivos. Nos modelos AR (1), o valor de X no período t depende do seu valor no período

t-1 e um termo de erro aleatório, sendo os valores de X expressos como desvios da sua média,

ou seja, o valor previsto para Xt é simplesmente uma proporção (φ ) do valor de Xt-1 (Gujarati, ₁ 2006). Outro modelo pertencente à família ARMA é o MA (q) que pode ser expresso conforme a equação 2: q t q t t t t a a a a X =μ+β₀ +β_{1 −1}+β_{2 −2} +...+β ₋ [2] Onde μ é uma constante e q é o número médias móveis existentes. Gujarati (2006) destaca que nos modelos MA(q) o valor de X no período t é uma constante (μ) mais uma média móvel dos termos de erro presentes (β0) e passados (βq). O processo de MA (q) é simplesmente uma combinação linear de termos de erro de um ruído branco (at).

Um modelo ainda pode apresentar características de um processo AR (p) e de um processo MA (q). Os Modelos ARMA (p, q) podem ser representados da seguinte forma:

q t q p t p t t t t t t X a a X a X a X =θ+φ_{1 −1}+β₀ +β_{1 −1}+φ_{2 −2} +β_{2 −2} +...+φ ₋ +β ₋ [3] Onde θ é um termo constante. É interessante notar que os modelos AR (p), MA (q) e ARMA (p, q) pressupõe que a série analisada seja estacionária (média e variância constantes ao longo do tempo). No entanto nem sempre essa premissa se verifica empiricamente. Caso a série seja não estacionária, uma alternativa é a utilização do modelo ARIMA (p, d, q). Onde d corresponde ao número de diferenciações necessárias para que a série se torne estacionária.

Apresentados os modelos, deve-se escolher o mais adequado. Assim, para que o modelo seja corretamente escolhido, sugere-se um processo de cinco passos, chamado de metodologia Box-Jenkins, que segundo Maddala (2003) e Gujarati (2006) podem ser definidos de acordo com a Figura 1.

Figura 1 - Cinco passos para o desenvolvimento da metodologia Box-Jenkins

Fonte: Adaptado de Maddala, G. S. (2003). Introdução à econometria. (3a ed.). Rio de Janeiro: Editora LTC.

De acordo com o exposto na Figura 1, o primeiro passo é verificar a estacionariedade da série analisada, para tanto pode se utilizar um teste de raiz unitária, como os testes ADF e KPSS. Se a série for estacionária, é necessário diferenciá-la. Nesse caso, modelo ARIMA (p, d, q) escolhido deve apresentar d = I(d), ou seja, d deve ser igual ao número de diferenciações necessárias para que a série seja estacionária.

O segundo passo é identificar o modelo através da escolha de valores adequados para p, d e q. A seleção dos valores é realizada a partir da análise de técnicas como a função de autocorrelação (ACF) e a função de autocorrelação parcial (PACF).

A ACF mede o comportamento da correlação entre as observações em relação às suas defasagens, onde o primeiro valor é a correlação entre Xt e Xt-1, o segundo é a correlação entre

Xt e Xt-2, e assim por diante. A ACF é definida pela equação 4:

0 ^ γ γ ρ k k = [4]

Onde γ_k =cov(X_t,X_t+k), ou seja, a covariância de X na defasagem k e γ₀ =var

( )

A série é estacionária?

Identificação do modelo – Escolha provisória de (p,d,q)

Estimação dos parâmetros do modelo

Verificação do diagnóstico – os resíduos são ruídos brancos?

Sim Não

Usar o modelo para previsão e controle

A PACF, por sua vez, mensura o comportamento da correlação entre as observações em relação às suas defasagens, removendo o efeito das observações intermediárias. Por exemplo, ao mensurar a relação entre Xt e Xt-2, a PACF remove a influência de Xt-1. O PACF se vale da utilização de regressões múltiplas, enquanto o ACF usa regressões simples, e é definida pela equação 5:

k t kk t k t k t X X X X =φ _{1 −1}+φ _{2 −2} +...+φ ₋ [5] O próximo passo, após a escolha do modelo é a estimação do mesmo. Em seguida deve-se verificar se o modelo é adequado aos dados através de um diagnóstico. Para tanto, deve-se examinar o ACF dos resíduos, cujos valores não podem ser estatisticamente significativos e verificar os valores para a estatística Q de Box-Pierce, que devem apontar os resíduos como ruído branco. Ainda, deve-se testar a normalidade dos resíduos.

Terminada essa etapa, caso seja verificada a ausência de autocorrelação e uma normalidade na distribuição dos resíduos (desejável, mas não necessária), o modelo é julgado como adequado para a previsão, caso contrário deve-se testar outro modelo ARMA. Para a previsão de n passos a frente de um modelo AR (p), com observações até o tempo T , tem-se a equação 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ^ ^ 2 2 ^ 1 1 ^ ... _{p Tn p} n T n T n T X X X X =φ ₋ +φ ₋ + +φ ₋ , [6]

Onde X_T(^_n−p) representa o valor estimado de X_T(n−p) até a ordem p .

Com base nesta revisão da literatura sobre modelos ARMA, elaboraram-se as estratégias para a operacionalização do objetivo deste estudo, descritas no próximo item (procedimentos metodológicos).

3. Procedimentos Metodológicos

Para aplicar e avaliar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas do refresco XYZ, a amostra utilizada na pesquisa correspondeu ao total de vendas diárias do refresco XYZ durante o período de onze meses, totalizando 209 observações. O XYZ possui quatorze sabores distintos. Contudo, devido aos problemas acarretados por informações ausentes em séries de dados organizadas ao longo do tempo, foram selecionados os doze sabores que apresentaram vendas ao longo de todos os dias da amostra: laranja, abacaxi, maracujá, tangerina, guaraná, uva, manga, limão, morango, acerola, pêra e pêssego. Naturalmente, na amostra não estavam presentes os dias correspondentes a sábados, domingos e feriados.

Ainda, em relação às vendas, cabe destacar que as mesmas são realizadas em caixas, assim, os valores analisados correspondem ao número de caixas vendidas. Cada caixa contém quinze saches do refresco.

Como o objetivo do estudo é realizar e avaliar uma previsão para as vendas do refresco XYZ, trabalhou-se, durante a estimação dos modelos ARMA, com uma amostra de estimação e outra de avaliação dos modelos. A primeira correspondeu ao período de fevereiro a novembro, enquanto a segunda abarcou nove dias pertencentes ao mês de dezembro.

O software utilizado para a análise dos dados foi o OxMetrics, no seu módulo G@RCH 5.0. Para a análise dos dados, primeiramente foram verificadas as estatísticas descritivas para as séries de vendas dos doze sabores de refrigerantes, objetivando realizar comparações diretas entre os diferentes tipos de refrigerantes da empresa XYZ. Dessa forma,

foram averiguadas as médias, medianas, valor máximo e mínimo, desvio padrão, assimetria, curtose e o teste de Jarque-Bera.

Para a aplicação do modelo ARMA, primeiramente foi verificado se as séries de dados eram estacionárias. Para atender tal pressuposto, foram calculados os testes ADF e KPSS. O primeiro é um teste paramétrico, cuja hipótese nula (H0) indica a presença de raiz sobre o círculo unitário, apontando para a presença de não estacionariedade. O KPSS, por sua vez, é um teste não paramétrico, que tem como H0 a ausência de raízes unitárias, indicando a estacionariedade da série analisada. Os testes ADF e KPSS foram estimados em suas versões com constante e com constante e tendência, uma vez que não se sabia de antemão qual processo que melhor descreveria o comportamento das séries de dados.

No caso das séries não serem estacionárias, pode ser realizada a transformação dos dados. A transformação dos valores em nível para os valores em suas primeiras diferenças é realizada segundo a seguinte equação 7:

1 , 1 , , , − − − = Δ t i t i t i t i X X X X , [7]

Onde X_i,t corresponde ao total de vendas do sabor i no dia _{t e 1}t− corresponde ao dia imediatamente anterior a t .Esta transformação pode ser realizada diretamente através do

software utilizado, no momento da estimação dos modelos ARMA, no entanto, julgou-se mais interessante a realização de tal procedimento antes da estimação dos mesmos, o que permite que se possam analisar alguns fatos estilizados sobre as características das séries em termos de suas primeiras diferenças, como vem a ser o caso das estatísticas descritivas.

O próximo passo consistiu na verificação da presença de autocorrelação nas séries através do teste de Box-Pierce, dado pela equação 8:

∑

Onde n corresponde ao total de observações e ^2

k

ρ aos valores para as k primeiras autocorrelações estimadas elevadas ao quadrado. A estatística Q desses testes é aproximadamente distribuída como uma _χ2_{com k graus de liberdade. A hipótese nula (H}

0) afirma que não há dependência serial entre os dados até a defasagem k .

Seguido o proposto pela metodologia de Box e Jenkins (1976), foram estimados os modelos de ajuste pertencentes à família ARMA para que o problema da autocorrelação pudesse ser corrigido. Aplicou-se o teste de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos ARMA para obter a estatística Q. Assim, foram aplicados os modelos ARMA para as 199 observações, correspondentes ao período entre fevereiro e novembro de 2007, para prever as vendas de nove dias do mês de dezembro do mesmo ano.

A acurácia de previsão foi avaliada com aplicação de três funções de perda: o erro médio (EM), o erro quadrático médio (EQM) e o erro absoluto médio (EAM), que são apresentadas, respectivamente, nas equações 9, 10 e 11:

∑

∑

∑

Onde n indica o número total de observações e n₀corresponde ao número de observações utilizadas para estimar o modelo, X^_t e X_t representam o valor estimado para as vendas no dia t e o valor observado de vendas no mesmo período, respectivamente.

4. Análise dos resultados

Inicialmente foram computadas as estatísticas descritivas para as doze séries analisadas. Os resultados para as séries em nível estão expostos na Tabela 01.

Tabela 01

Estatísticas descritivas para as doze séries analisadas (valores em nível)

Média Mediana Máximo Mínimo Desvio

Padrão Assimetria Curtose Obs. Laranja 8601 8573 26262 2194 3659 0,833 5,057 61,017 ** 209 Abacaxi 5540 5604 12238 1577 2198 0,265 2,530 4,364 * 209 Maracujá 4465 4490 10452 1366 1740 0,348 2,823 4,494 * 209 Tangerina 3012 3067 7907 823 1235 0,424 3,210 6,639 ** 209 Guaraná 2329 2298 7605 547 1029 0,916 5,440 81,083 ** 209 Uva 4029 3936 12203 1174 1673 0,989 5,694 97,251 ** 209 Manga 4157 4072 12961 1156 1786 1,122 6,250 135,832 ** 209 Limão 3199 3296 8968 686 1431 0,448 3,221 7,411 ** 209 Morango 3397 3408 10432 868 1448 0,801 4,754 49,116 ** 209 Acerola 2618 2574 6375 646 1059 0,567 3,286 11,897 ** 209 Pêra 2011 2012 4513 492 813 0,257 2,423 5,205 * 209 Pêssego 2971 2965 7550 762 1241 0,473 3,182 8,069 ** 209 Jarque-Beraa

Nota. Fonte: elaboração própria.

a _{Segundo o indicado em tabelas estatísticas} χ2_{, ao nível de 5% e para 2 g.l., o valor crítico para o teste de Jarque-Bera é} 5,99.

*valores significativos p < .05; **valores muito significativos p < .01.

De acordo com a Tabela 01, pode-se verificar que o sabor que apresentou o maior número de vendas média no período foi o sabor laranja, seguido do abacaxi e do maracujá. Cabe destacar que o sabor laranja, em relação aos demais, também apresentou o valor máximo de vendas em um único dia (26262), além do valor mais elevado entre os mínimos, indicando que esse sabor é realmente aquele que apresenta uma maior demanda. Por outro lado, o refresco de pêra foi aquele com a menor média de vendas, menor valor máximo e maior quantidade mínima vendida entre os doze sabores. Por conseguinte, o sabor laranja acabou revelando o maior desvio padrão (3659), enquanto o de pêra apresentou o menor (813).

Todas as séries indicaram valores positivos para a assimetria, o que significa que suas distribuições possuem uma cauda maior à direita, gerando, conseqüentemente, um desvio à

esquerda das mesmas. Os valores obtidos para a curtose dos sabores abacaxi, maracujá e pêra indicaram a presença de distribuições platicúrticas, com grau de achatamento maior do que uma distribuição normal, enquanto os valores encontrados para os demais sabores revelaram distribuições leptocúrticas, com grau de afilamento superior ao de uma curva normal. Por sua vez, o teste de Jarque-Bera apontou para a rejeição da hipótese nula de normalidade para todas as séries, indicando que as mesmas não seguem uma distribuição normal.

Conforme já foi destacado, a verificação da estacionariedade das séries temporais é um importante pressuposto estatístico para que possa ser dado o correto tratamento às mesmas. Os resultados para os testes ADF e KPSS são apresentados na Tabela 02.

Tabela 02

Teste ADF e KPSS para as doze séries analisadas (valores em nível)

Laranja -2,088 -2,556 0,652 * 0,369 ** Abacaxi -1,338 -1,754 0,551 * 0,359 ** Maracujá -1,447 -1,781 0,533 * 0,395 ** Tangerina -0,973 -1,371 0,557 * 0,412 ** Guarana -0,365 -0,745 0,589 * 0,411 ** Uva -1,467 -1,886 0,584 * 0,382 ** Manga -2,214 -2,581 0,586 * 0,384 ** Limão -0,515 -0,950 0,518 * 0,393 ** Morango -0,800 -1,248 0,603 * 0,391 ** Acerola -1,494 -1,773 0,511 * 0,398 ** Pêra -1,718 -1,910 0,490 * 0,414 ** Pêssego -1,242 -1,664 0,539 * 0,372 ** ADFa ADFb KPSSc KPSSd

Nota. Fonte: elaboração própria.

a _{ADF realizado apenas com a constante. Segundo o indicado em tabelas estatísticas} τ_{, ao nível de 5% e 1%, os valor} críticos são de -2,875 e -3,462, respectivamente.

b _{ADF realizado com constante e tendência. Segundo o indicado em tabelas estatísticas} τ_{, ao nível de 5% e 1%, os valor} críticos são de -3,432 e -4,003, respectivamente.

c _{KPSS realizado com constante. Valores críticos para a estatística M.L. de 0,739 e 0,463, ao níveis de 5% e 1%,} respectivamente.

d _{KPSS realizado com constante e tendência. Valores críticos para a estatística M.L. de 0,216 e 0,146, ao níveis de 5% e 1%,} respectivamente.

*valores significativos p < .05; **valores muito significativos p < .01.

Na Tabela 02, pode-se observar que tanto o teste paramétrico ADF, quanto o não paramétrico KPSS, realizados nas suas versões com constante e com constante e tendência, apontaram para a presença de raízes unitárias nas doze séries analisadas, indicando a não estacionariedade das mesmas. Tal fato aponta para a necessidade de transformação dos dados, uma vez que é desejável, do ponto de vista estatístico, que as séries em questão sejam estacionárias. As estatísticas descritivas, após a transformação dos dados, são apresentadas na Tabela 03.

Tabela 03

Estatísticas descritivas para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença)

Média Mediana Máximo Mínimo Desvio

Padrão Assimetria Curtose Obs. Laranja 0,057 -0,013 1,955 -0,681 0,359 1,551 8,025 302,247 ** 208 Abacaxi 0,047 -0,010 1,217 -0,557 0,310 0,835 4,007 32,982 ** 208 Maracujá 0,072 0,012 1,200 -0,680 0,390 0,666 3,100 15,485 ** 208 Tangerina 0,068 0,008 1,650 -0,622 0,384 0,872 3,898 33,357 ** 208 Guaraná 0,102 -0,020 1,765 -0,735 0,480 0,965 3,715 36,685 ** 208 Uva 0,070 0,009 2,236 -0,706 0,396 1,472 8,035 294,794 ** 208 Manga 0,075 0,011 2,218 -0,717 0,409 1,387 7,314 227,954 ** 208 Limão 0,063 0,017 2,046 -0,609 0,380 1,388 6,928 200,485 ** 208 Morango 0,075 -0,007 1,799 -0,659 0,401 0,954 4,338 47,047 ** 208 Acerola 0,073 -0,001 1,256 -0,647 0,393 0,721 3,146 18,208 ** 208 Pêra 0,067 -0,001 3,614 -0,652 0,423 3,098 25,181 4596,502 ** 208 Pêssego 0,054 0,007 1,543 -0,604 0,333 0,762 4,080 30,262 ** 208 Jarque-Beraa

Nota. Fonte: elaboração própria.

a _{Segundo o indicado em tabelas estatísticas} χ2_{, ao nível de 5% e para 2 g.l., o valor crítico para o teste de Jarque-Bera é} 5,99.

**valores muito significativos p < .01.

O emprego de valores em suas primeiras diferenças, ao contrário do que ocorre quando se utilizam valores em nível, permite uma comparação mais direta entre séries que possuem magnitudes distintas. Por exemplo, de acordo com o indicado na Tabela 03, podem-se comparar diretamente os valores obtidos para o desvio padrão das séries. O guaraná foi o sabor com maior variabilidade de vendas (0,480), seguido dos sabores pêra (0,423), manga (0,409) e morango (0,401).

Em comparação com os resultados obtidos na Tabela 01, percebe-se na Tabela 03 um aumento na magnitude da curtose das séries, pois todas revelaram distribuições leptocúrticas. O teste de normalidade de Jarque-Bera também revelou um aumento nos seus valores, passando a rejeitar a H0 de normalidade para todas as séries a um nível de, pelo menos, 1%.

Buscando confirmar a estacionariedade das séries dispostas em suas primeiras diferenças, foram aplicados novamente os testes ADF e KPSS. Os resultados estão expostos na Tabela 04, onde o teste ADF revela a ausência de raízes unitárias, apontando para a estacionariedade das doze séries. O teste KPSS indica, por sua vez, a estacionariedade de apenas nove destas. Os resultados foram contraditórios para as séries dos sabores manga, limão e pêssego. Tal fato pode indicar uma possível presença de integração fracionária nas mesmas (BAILLIE, 1996), tornando-se necessário a verificação da presença de memória longa nessas séries, para que possam ser estimados modelos pertencentes a classe ARFIMA (p, d, q), gerando previsões mais corretas para as séries. Dado o escopo do presente estudo, não foram estimados os modelos ARFIMA (p, d, q).

Tabela 04

Teste ADF e KPSS para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença)

Laranja -8,295 ** 0,147 Abacaxi -8,261 ** 0,286 Maracujá -6,851 ** 0,077 Tangerina -7,343 ** 0,082 Guarana -4,035 ** 0,079 Uva -8,022 ** 0,213 Manga -7,846 ** 0,500 * Limão -7,708 ** 0,474 * Morango -7,869 ** 0,133 Acerola -7,661 ** 0,106 Pêra -23,222 ** 0,096 Pêssego -25,402 ** 0,463 * ADFa KPSSb

Nota. Fonte: elaboração própria.

a _{ADF realizado sem constante e sem tendência. Segundo o indicado em tabelas estatísticas} τ _{, ao nível de 5% e 1%, os valor} críticos são de -2,576 e -1,942, respectivamente.

b _{KPSS realizado com constante. Valores críticos para a estatística M.L. de 0,739 e 0,463, ao níveis de 5% e 1%,} respectivamente.

*valores significativos p < .05; **valores muito significativos p < .01.

A análise da matriz de correlações entre as séries de dados pode ser um primeiro indicativo de que estas seguem processos semelhantes. Assim, buscou-se estimar a mesma. Os resultados estão expostos na Tabela 05.

Tabela 05

Matriz de correlação para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença)

Laranja Abacaxi _{Maracujá Tangeri}

na

Guaraná Uv

a

Manga Limão _{Morango Acerola} Pêr

a Pê sse go Laranja 1,000 Abacaxi 0,901 1,000 Maracujá 0,766 0,856 1,000 Tangerina 0,767 0,860 0,919 1,000 Guarana 0,668 0,741 0,856 0,837 1,000 Uva 0,863 0,854 0,878 0,895 0,790 1,000 Manga 0,876 0,831 0,807 0,779 0,721 0,862 1,000 Limão 0,751 0,798 0,849 0,901 0,811 0,871 0,735 1,000 Morango 0,838 0,843 0,890 0,912 0,810 0,920 0,835 0,904 1,000 Acerola 0,745 0,816 0,858 0,883 0,810 0,830 0,728 0,851 0,870 1,000 Pêra 0,682 0,758 0,748 0,832 0,648 0,807 0,659 0,842 0,813 0,767 1,000 Pêssego 0,742 0,822 0,825 0,872 0,751 0,856 0,743 0,852 0,838 0,811 0,867 1,000

Nota. Fonte: elaboração própria.

Conforme o apresentado na Tabela 05, as séries revelaram correlações fortemente positivas entre si, sendo tal fato um indicativo de que as mesmas possam seguir processos semelhantes. Após, foi verificada a presença de autocorrelação nas séries com a utilização do

teste de Box-Pierce para as doze séries analisadas. Os valores obtidos para a estatística Q do teste de Box-Pierce estão indicados na Tabela 06.

Tabela 06

Teste de Box e Pierce para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença)

Q (05) Q (10) Q (20) Q (50) Laranja 61,647 ** 80,052 ** 92,070 ** 156,318 ** Abacaxi 80,110 ** 92,836 ** 111,782 ** 188,650 ** Maracujá 130,471 ** 156,354 ** 167,008 ** 221,245 ** Tangerina 109,717 ** 137,324 ** 155,479 ** 222,353 ** Guarana 133,932 ** 156,615 ** 164,792 ** 234,697 ** Uva 82,115 ** 101,331 ** 107,205 ** 151,148 ** Manga 72,730 ** 84,987 ** 94,674 ** 164,217 ** Limão 88,636 ** 117,187 ** 127,210 ** 166,841 ** Morango 87,187 ** 103,744 ** 113,517 ** 192,741 ** Acerola 105,486 ** 131,927 ** 147,267 ** 208,782 ** Pêra 62,986 ** 68,756 ** 79,330 ** 146,946 ** Pêssego 78,425 ** 89,729 ** 117,135 ** 166,312 **

Nota. Fonte: elaboração própria. **valores muito significativos p < .01.

A Tabela 06 aponta para a rejeição da H0 de ausência de autocorrelação para todas as séries, ao nível de, pelo menos, 1%. Surge assim a necessidade de se tratar tal problema. Dessa forma, os modelos ARMA foram selecionados a partir da verificação da significância dos coeficientes AR (p) e MA (q) e também através da análise dos valores da estatística Q do teste de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos. Ao final, chegaram-se aos seguintes modelos, expostos na Tabela 07.

Tabela 07

Modelos de ajuste para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença)

AR(1) AR(2) MA(1)

Laranja -1,102 ** -0,437 ** 0,608 ** Abacaxi -1,210 ** -0,510 ** 0,633 ** Maracujá -1,289 ** -0,580 ** 0,664 ** Tangerina -1,230 ** -0,524 ** 0,610 ** Guaraná -1,240 ** -0,581 ** 0,680 ** Uva -1,195 ** -0,478 ** 0,635 ** Manga -1,224 ** -0,475 ** 0,722 ** Limão -1,139 ** -0,451 ** 0,545 ** Morango -0,598 ** -0,159 ** Acerola -1,193 ** -0,499 ** 0,564 ** Pêra -0,446 ** Pêssego -0,415 ** -0,159 *

Nota.*valores significativos p < .05; **valores muito significativos p < .01.

A Tabela 07 revela que grande parte das séries foram modeladas por um ARMA (2, 1), nove no total. As séries do refresco de morango, pêra e pêssego foram modeladas por um AR (2), um AR (1) e um ARMA (1, 1), respectivamente. Tal fato acabou corroborando com a suspeita, levantada inicialmente na construção da matriz de correlações, de que as séries, em

sua maioria, seguiam processos semelhantes. A Tabela 08 mostra os valores obtidos para a estatística Q do teste de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos ARMA expostos na Tabela 07.

Tabela 08

Teste de Box e Pierce para os resíduos dos modelos estimados

Q (05) Q (10) Q (20) Q (50) Laranja 3,468 10,961 19,824 51,307 Abacaxi 7,876 10,294 21,920 56,626 Maracujá 4,312 7,252 20,788 56,722 Tangerina 1,528 6,765 15,936 45,184 Guarana 2,976 5,087 10,403 48,864 Uva 1,541 7,293 10,864 43,482 Manga 1,641 3,891 15,166 46,829 Limão 1,519 10,754 17,025 47,872 Morango 7,682 15,390 26,387 61,705 Acerola 2,626 8,973 15,961 51,945 Pêra 6,817 9,048 15,400 44,768 Pêssego 6,317 10,159 26,391 49,520

Nota. Fonte: elaboração própria.

Os resultados para o Teste Box-Pierce nos resíduos apontam para a ausência de autocorrelação, indicando um bom ajuste dos modelos ARMA, apresentados na Tabela 08, às séries analisadas. Por fim, a última etapa do estudo consistiu na aplicação de tais modelos, utilizados para prever as vendas de nove dias do mês de dezembro. A acurácia de previsão foi verificada através de três funções de perda: o erro médio (EM), o erro quadrático médio (EQM) e o erro absoluto médio (EAM). Os resultados para os erros de previsão estão expostos na Tabela 09.

Tabela 09

Funções de perda calculadas para a média das previsões dos modelos estimados para as doze séries analisadas

EM EQM EAM Laranja 0,123 0,096 0,254 Abacaxi 0,126 0,104 0,243 Maracujá 0,158 0,154 0,313 Tangerina 0,145 0,099 0,268 Guaraná 0,283 0,454 0,500 Uva 0,156 0,115 0,297 Manga 0,153 0,135 0,319 Limão 0,139 0,090 0,261 Morango 0,164 0,122 0,317 Acerola 0,137 0,099 0,255 Pêra 0,152 0,147 0,321 Pêssego 0,134 0,095 0,281

Nota. Fonte: elaboração própria.

Analisando o exposto na Tabela 09, pode-se afirmar que os melhores resultados (menores erros de previsão) ocorreram para as séries dos sabores laranja, abacaxi, limão,

acerola e pêssego. Entre as séries supracitadas, apenas aquela referente ao pêssego não foi modelada por um ARMA (2, 1). Por outro lado o modelo ARMA (2, 1) também apresentou resultados menos expressivos, como para as séries dos sabores manga, maracujá e guaraná, sendo essa última aquela que revelou o pior desempenho entre as doze séries.

De uma forma geral, pode-se afirmar que os modelos ARMA foram adequados para modelar as 12 séries analisadas, uma vez que, após o ajuste, não foram encontradas evidências de autocorrelação nos resíduos das mesmas. O não tratamento de tal problema acarretaria em previsões com erros maiores, comprometendo assim o processo de tomada de decisão dos gestores.

5. Considerações finais

O presente estudo teve como objetivo verificar a adequação de modelos pertencente à família ARMA na previsão de vendas do refresco XYZ. Inicialmente foram observadas algumas características estatísticas das séries analisadas. Destaca-se a presença de não estacionariedade das séries de vendas, indicando que a suas médias e as suas variâncias não foram constantes ao longo do período analisado. Dessa forma, tornou-se necessário diferenciar as séries, passando-se a trabalhar com as variações nas vendas ou invés dos valores brutos de vendas.

Através da aplicação do Teste de Box-Pierce nas 12 séries analisadas foi possível identificar a presença de autocorrelação nas mesmas. Dessa forma, tornou-se necessário o ajuste destas através dos modelos ARMA. Das 12 séries analisadas, nove foram ajustadas através de um ARMA (2, 1). As demais foram modeladas por um AR (1), um AR (2) e um ARMA (1, 1). Destaca-se que tal fato acabou corroborando com a suspeita que havia sido levantada na inicialmente na construção da matriz de correlações, onde as séries de variações nas vendas apresentavam, em sua maioria, correlações positivamente fortes, um possível indicativo que as mesmas seguiam processos semelhantes.

Em relação ao desempenho dos modelos ARMA nas previsões realizadas, pode-se afirmar que, segundo as três funções de perda utilizadas na análise, os modelos correspondentes às séries dos sabores laranja, abacaxi, limão, acerola e pêssego foram aqueles que revelaram um melhor desempenho, apresentando os menores erros.

Assim, destaca-se que com a aplicação dos modelos pertencentes à família ARMA foi possível realizar previsões estatisticamente adequadas para as vendas diárias (e também para as variações nas mesmas) do refresco XYZ. Tal fato foi confirmado após a verificação da ausência de autocorrelação nos resíduos das séries, indicando a adequação dos modelos ARMA para a resolução de tal problema. A questão demonstra a relevância que o modelo pode representar para as empresas e seus gestores.

Utilizando simplesmente uma série de dados históricos, pôde ser realizada uma adequada previsão de vendas para a companhia, sem o dispêndio com a utilização de outras técnicas, evitando, ainda, a utilização de modelos subjetivos de predição. Com essa apropriada previsão de vendas, o processo orçamentário e de planejamento podem ser realizados com mais acurácia, minimizando incertezas na tomada de decisões, melhor suportando a empresa no mercado. Apesar de a previsão ter sido realizada para um período curto de tempo, destaca-se que a previsão deve ser um processo contínuo na empresa, que tente absorver as alterações que venham ocorrer internamente e no mercado.

Apesar dos modelos ARMA terem demonstrado um desempenho positivo, não se pode dizer que este é o melhor método para a realização de previsões para este tipo de produto. Para averiguar essa questão, faz-se necessária a aplicação de outros métodos, que possibilitem uma comparação de resultados. Assim, sugere-se que sejam realizados futuros estudos com a aplicação de outros métodos quantitativos, como, por exemplo, técnicas de médias móveis,

amortecimento exponencial e redes neurais. Poderiam ainda ser testados modelos Bayesianos, combinado assim as informações contidas exclusivamente nos dados coletados com aquelas informações que já são de conhecimento da empresa a priori. Naturalmente ainda há a possibilidade de se utilizarem técnicas qualitativas no apoio dos modelos ARMA.

Uma das limitações da pesquisa é o curto prazo de tempo analisado: dados de fevereiro de 2007 até novembro de 2007, totalizando 200 observações, fazendo com que, dessa forma, não seja possível verificar a influência de uma possível sazonalidade nas vendas. Assim, sugere-se que estudos futuros utilizem séries de dados maiores, de preferência com informações referentes a mais de cinco anos, para que assim possam ser verificas as possíveis influências de sazonalidades.

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