Interação Eletromagnética Ricardo Affonso do Rego

Interação Eletromagnética

Ricardo Affonso do Rego

♣ Interação eletromagnética → Relatividade.

♠ Materiais dielétricos e magnéticos.

♦

Interação eletromagnética quântica.

♥

Livro de eletromagnetismo.

Boa parte do conteúdo desta apresentação foi extraído

do livro abaixo relacionado, a ser publicado nesta ano

de 2010. No final da apresentação consta os capítulos

deste livro.

Eletromagnetismo Básico

Ricardo Affonso do Rego

Interação Eletromagnética.

Questão: O que é a interação eletromagnética ?

☻

carga elétrica

As interações fundamentais da natureza.

♣

Gravitacional

♠

Eletromagnética

♥

Nuclear forte

♦

Nuclear fraca

Próton: Três quarks. u u d.

Nêutron: Três quarks. u d d.

Elétron: Partícula elementar.

Os quarks apresentam as quatro interações fundamentais da natureza.

Interações entre os quarks?

Massa: Interação gravitacional.

Quarks: Interação nuclear forte. Explica a união dos três quarks do próton.

Quark d em u.Interação nuclear fraca. Decaimento do nêutron: .

Carga elétrica: Interação eletromagnética. Quarks apresentam cargas elétricas.

n

p

e

ν

e

−

Força entre duas cargas elétricas. Dois referenciais inerciais.

Rapaz parado: Força coulombiana. .

Rapaz em movimento: Força coulombiana modificada .

Transformadas de Lorentz

Transformadas de Galileu

2 2

1

−

V

/

c

,

x y z

F F eF

,

x y z

F F eF

2 2 2 2

1

/

1

/

x x y y z z V V

F

F

F

F

c

F

F

c

=

=

−

=

−

Razão do fator ?

2 2 2 2 2

1

/

/

1

/

V V V V

x

t

x

c

y

y

z

z

t

x c

t

c

−

=

−

=

=

−

=

−

Necessidade destas transformações ?

2

L

1

L

3

L

4

L

V

x

x

t

y

y

z

z

t

t

= −

=

=

=

Einstein – 1905 – Teoria da Relatividade

1- Princípio da relatividade:

Todas as leis da natureza são as mesmas ( invariantes ) para todos os observadores

em movimento translacional relativo uniforme.

2- Princípio de invariança da velocidade da luz:

A velocidade da luz no vácuo é a mesma e igual a c em todos os sistemas inerciais

de referência.

Estes dois princípios são satisfeitos pelas transformações de Lorentz apresentadas.

Estas transformações foram descobertas por Lorentz em 1904. Torna inalterada a

forma das equações de Maxwell. Apesar das transformações de Lorentz proporcionar

uma base para o desenvolvimento da relatividade especial, as consequências

transce-dentes da relatividade não foram descobertas por Lorentz que neste tempo ainda

acre-ditava na hipótise do éter.

Vamos mostrar que é decorrente das transformações de Lorentz.

2 2

1

/

y y

Prova da transformação de força entre dois ref. inerciais:

Relação entre velocidades e momentos de dois referenciais inerciais.

Rapaz de boné.

Rapaz de cabelo esvoaçante.

Vê referencial se afastando com e corpo com vel. .

Massa:

2 2 2 2 2 4 1 / 1 / y V y V y y y L L t t t u Δ = = Δ = Δ c

u

c Δ Δ Δ =

=

− = − 2 2 2 2 1 / 1 / ( )(**) V y y y V c y y c p mu

m

u

− =m

u

p − = = = =

_{( )}

y y

p

=

p

◊

2 2 2 2

( )

4

1

/

1

/

y y y y V y V

p

p

p

F

L

c

F

c

t

t

t

Δ

Δ

Δ

=

= ◊ =

=

=

−

=

−

Δ

Δ

Δ

2 2

1

/

y y

V

F

=

F

−

c

2 2

1

/

y y

V

F

=

F

−

c

2 2

1

/

(**)

y y

V

u

=

u

−

c

V

−

_u

_y 2 2 2

(***)

y

V

v

=

+

u

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

(*)

1

/

1

/

1

/

1

/

( )

o o y V V

m

m

m

m

c

c

u

c

c

ν

=

=

=

=

=

−

−

−

−

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

−

ν

/

c

=

(***)

= −

1

V

/

c

−

u

_y

/

c

=

(**)

= −

1

V

/

c

−

(

u

_y

/

c

)

(1

−

V

/

c

)

=

2 2

,

,

,

1

/

(*)

y o y y y y y

p

m

y

u

m

p

mu

F

t

_u

_c

t

Δ

Δ

=

=

=

=

Δ

₋

Δ

2 2 2 2

1

/

/

(

−

V

c

)(1

u

_y

c

)( )

=

−

Força medida por dois referenciais inerciais

•

Referencial parado : Força medida pelo rapaz de boné ?

.Rapaz vê as cargas paradas: Força coulombiana.

Referencial em movimento : Força medida pelo rapaz cabelo esvoaçante ?

Força coulombiana modificada.

2

,

0

4

x z qQ o

qQ

F

y

F

F

r

πε

=

=

=

2 2 2 2 2

ˆ

ˆ

ˆ

_?

ˆ

₁

_/

_?

ˆ

₁

_/

4

x y z y o

V

V

F

xF

yF

zF

yF

c

y

qQ

c

r

πε

=

+

+

= =

−

= =

−

2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{2 2 2 2 2 2}

1

/

1

/

1

/

(

/

)

4

₄

₁

_/

₄

₁

_/

y o _{o o}

V

V

V

c

F

c

c

qQ

qQ

qQ V

c

r

_r

_V

_c

_r

_V

_c

πε

_πε

_πε

−

=

−

=

−

−

−

−

Identificando a natureza das forças

Referencial em movimento

Força coulombiana com

correção relativística.

Força magnética com

correção relativística

Característica da força magnética

1- F

_B

surge de movimento de carga elétrica.

2- F

_B

atua em q e Q. As duas cargas estão em movimento.

3- F

_B

/ F

_E

= v

2

_/c

2 .

2

2

2

4

1

/

E

o

V

F

qQ

qE

r

c

πε

=

=

−

2

2

2

2

2

4

1

/

B

o

V

V

F

q B

c

qQV

r

c

πε

=

=

−

Qual a origem da força magnética F

_B

?

Movimento de carga. Carga Q com velocidade produz campo magnético que atua na carga q com velocidade . Resulta a força magnética :

Força atuando na carga q em movimento

Expressão de , criado por Q em movimento na carga q ?

Conclusão: Toda carga elétrica em movimento cria campo magnético!

A teoria da relatividade nos diz que a origem cinemática da força magnética é resultante

da modificação da força coulombiana devido à mudança de sistema de referência.

V

B

q V

=

V B

F

q B

B

q

V

F

=

×

B

2 2 2 2

2

2

2

2

ˆ

_ˆ

ˆ

(#)

4

1

/

4

1

/

Q o

o

V

r

_zQV

B

zB

r c

V

c

V

c

Q

r

c

πε

πε

×

₋

=

=

=

= −

−

−

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Q

V

× = −

r

xV

× = −

y

zV

(#)

F

_B

=

q

V

q

× = −

B

q

(

x

ˆ

V

) (

× −

zB

ˆ

)

= −

yq B

ˆ

V

Força no eletromagnetismo

Situação: Cargas q e Q observada em dois referenciais inerciais.

Questão: Força em q ?

Rapaz parado. Observa . Não observa campo magnético.

Mede:

Rapaz em movimento. Observa . Campo elétrico e magnético.

Mede: . Força de Lorentz.

Campo (ref. parado) é visto (transformado) em campos (ref.movimento).

Conclusões sobre campo elétrico e magnético:

1- Campos dependentes de sistema de referência.

2- Campos criados por carga elétrica.

3- Campos elétrico E e magnético B constituem a interação eletromagnética.

A teoria da relatividade restrita fornece as regras de transformação de como o

campo eletromagnético se transforma em sistemas inerciais de referência.

As relações matemáticas entre o campo eletromagnético do sistema parado e

movimento é conhecida por transformações de Lorentz.

F

=

qE

E

,

E B

(

)

F

=

q E

+ ×

V

B

E

E B

,

2 2

1

/

y y

E

E

V

c

=

−

Qual a necessidade das transformações de Lorentz ?

Decorrente da exigência do 1

0

_{princípio da teoria da relatividade especial:}

Para que as leis do eletromagnetismo sejam as mesmas ( apresentam a

mesma forma ) em referenciais inerciais são necessárias as transformações de

Lorentz. Implica que:

Sistema Parado

Sistema Movimento

Conclusão: Força de Lorentz é invariante pelas transformações de Lorentz.

Equações de Maxwell

Sistema Parado

Sistema Movimento

As equs. de Maxwell são invariantes pelas transformações de Lorentz.

(

_q

)

F

=

q E V

+ ×

B

(

_q

)

F

=

q E V

+ ×

B

2

/

0

o o

E

B

B

E

t

E

B

J

c t

ρ ε

μ

∇

=

∇

=

∂

∇× = −

∂

∂

∇× =

+

∂

i

i

2

/

0

o o

E

B

B

E

t

E

B

J

c t

ρ ε

μ

∇

=

∇

=

∂

∇× = −

∂

∂

∇× =

+

∂

i

i

Que sistema de referência obtemos valor c ?

Note que e as constantes de permeabilidade e

permissividade são constantes universais. Logo e

Consequência da invariança da velocidade da luz ?

Sistema Parado

Sistema Movimento

Visto que o espaço deve contrair, o tempo deve mudar proporcionalmente à

medida que a velocidade se aproxima da velocidade da luz.

Análise alternativa: Que propriedades de transformaçoes os campos elétrico e

magnético devem ter para que ( na mudança de referencial do parado para o em

movimento ) nos referenciais inerciais a velocidade da luz seja a mesma ?

Como consequência: forças de Lorentz e equações de Maxwell invariantes!

1

o o

c

μ ε

=

1

o o

c

μ ε

=

o o

μ

=

μ

ε

_o

=

ε

_o

⇒

_c

₌

_c

dx

c

dt

=

c

dx

dt

=

x x

E

=

E

E

_y

=

γ

(

E

_y

−

V

B

_z

)

E

_z

=

γ

(

E

_z

+

V

B

_y

)

x x

B

=

B

2

(

)

y

y

z

V

B

E

c

B

γ

+

=

z

(

z 2 y

)

V

B

B

B

c

γ

−

=

2 2

1

1

V

/

c

γ

=

−

Qual a resposta da matéria sob ação de e ?

Dielétrico

Efeito do dielétrico num capacitor?

Adiciona água entre as placas de um capacitor carregado. Medida: V_o > V

E_od > E d → E_o> E. Dielétrico: E_o / E = K → E = E_o/ K (1)

Conclusão: Dielétrico reduz campo elétrico. Razão ? Dipolo elétrico. O que é ? Dielétrico: composto por moléculas não-polares e polares.

Molécula não-polar na ausência de campo elétrico orientador.

O que aconteça com ela, na presença de campo elétrico orientador ? Molécula polar

Razão da redução do campo elétrico.

1 dipolo

E

E

B

p

=

o

o

_d

E

=

E

+

E

p

≠

o

0,

E

=

19 10

10

10

q

C

p

qd

d

m

− −

≅

=

=

≅

⎧

⎨

⎩

momento

de

dipolo

p

p

=

o

0,

E

=

p

≠

o

0

E

≠

Como verificar a redução do campo elétrico pelo dielétrico?

Capacitor:

1- Vácuo.

Lei de Gauss:

2- Com Dielétrico: Muitos dipolos elétricos .

Compare equ. (2) com equ. (3): Redução do campo elétrico

pela presença de carga do dielétrico.

2

ˆ

_n

?

_o

?

l S o o S A A

Q

A

E ndA

E A

E A

σ

ε

ε

= +

=

=

= =

= =

∫∫

i

⇒ _o (2) o

E

σ

ε

=

(

)

ˆ

?

S

?

P o o S

Q

A

E ndA

EA

σ σ

ε

ε

−

=

= =

= =

∫∫

i

P

(3)

o

E

σ σ

ε

−

=

⇒ p

σ

i

p

ˆ

S o S

Q

E ndA

ε

=

∫∫

i

arg .

arg . .

P

c

a livre

c

a de polarização

σ

σ

→

→

Como relacionar momento de dipolo elétrico com polarização ?

_p

_P

Dielétrico: Redução do campo elétrico.

Equ. (3):

Polarização

Como calcular o vetor polarização ?

P

E

E

o

σ

⇒ <

P o

E

σ σ

ε

−

=

⇒

arg . _{arg . .}

.

(4)

P c a livre _{c a de polarização}

o

E

σ

=

ε

+

σ

1

_...(5)

N i i

P

P

P

P

p

Nq d

Ad

_P

V

V

Ad

N

q d

np

P

V

σ

σ

=

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

=

=

=

=

=

=

∑

↓

(7)

.

.

o

D vetor Deslocamento

D

=

ε

E

+

P

1

0

.

lim

V V

N n

i

i

V

Vetor Polarização

p

P

= Δ

=

Δ →

_Δ

=

∑

P

ˆ

_p

p

=

qdu

:

densidade de dipolos elétri

.

.

.

cos

n

(4) (5)

e

→

D

=

ε

_o

E

+

P

(6)

Cálculo de é complicado!

Dielétricos lineares:

P representa a resposta do dielétrico da ação de campo elétrico E_o: Campo elétrico E_o : causa. Polarização P: efeito da matéria. 1- Polarização P proporcional a E, campo elétrico resultante: 2- Susceptibilidade elétrica.

3- , proporcional a E.

4- Gases e líquidos são, em geral, dielétricos isotrópicos.

Constante dielétrica K: K_{ar seco} =1,00025, K_diamante= 5,7 K_água= 80,1 Curiosidades: Quando um dielétrico (isolante) se torna condutor ?

Ruptura dielétrica. Ar: E > 3x106_V/m. O´leo: E > 1,5x107_V/m. Raios.

(6)

(2)

(1)

(

1)

(

.

)

o o o o o o o o o e o e

P

D

E

E

E

E

KE

E

K

E

E

P

E Dielétrico isotrópico

ε

σ ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε χ

ε χ

=

=

−

= −

=

=

−

=

=

−

=

−

=

=

1

e

K

χ

=

−

P

o

D

=

ε

KE

o d

E

=

E

+

E

Materiais magnéticos

Fontes do campo magnético.

Quais são as fontes do campo magnético ?

1- Corrente aplicada. Corrente em fio condutor produz campo magnético.

Corrente aplicada Campo H

2- Matéria: Interação entre os elétrons da matéria produz campo magnético.

Matéria Magnetização 3- Corrente aplicada + matéria.

Obs.: Razão? M = M( H ). H altera M.

O que produz a magnetização ?

?

c o

B

=

B

= =

μ

H

↓

↓

?

m o

M

B

=

B

= =

μ

↓

↓

c m o o

B

=

B

+

B

=

μ

H

+

μ

M

3 1 2

B

≠

B

+

B

M

Os dipolos magnéticos induzem a magnetização .

O que é um dipolo magnético? correntes microscópicas. com momento de dipolo magnético

Um elétron em órbita produz momento de dipolo magnético

Como definir ligando com dos elétrons ?

ˆ

i

m

=

iAn

2

2

2

2

_e e

2

_e

eV

eVr

e

e

iA

r

m Vr

L

r

π

m

m

π

=

=

=

=

2

L e

eL

m

m

−

=

_{( ...}

_{L fonte de M}

_{.. ..}

₎

2

2

e

e

eV

i

r

T

r

V

π

_π

=

=

=

e e

p

L

= ×

r

m V

=

m Vr

S e

eS

m

m

−

=

?

i L S e

e

m

m

m

g

J

m

=

+

= = −

( ...

S

fonte de M

.. ..

)

J

= +

L

S

M

m

_i

M

m

Magnetização

M

Matéria magnética apresenta milhões de elétrons com num volume ΔV.

Matéria homogênea:

Modelo microscópico: Cilindro de volume ΔV=A constituído de N correntes microscópicas.

Cada elétron (-e) induz corrente i:

Conclusão: Magnetismo da matéria tem sua origem nas correntes microscópicas.

i

m

1

0

.

lim

V

N n

i

i

V

_V

m

Vetor Magnetização

M

= Δ

=

Δ →

_Δ

=

∑

0 1

?

lim

V N n i V i V

Nm

m

Nm

M

nm

= Δ Δ → = Δ

= =

⇒

=

=

∑

2 V e i r

Q

t

π

− =

Δ

Δ

=

?

?

,

:

?

m o o

N

M

nm

iA temos

A

B

μ

M

μ

Ni

= =

= =

=

=

=

Expressão de solenóide

. .

Comportamento da matéria na presença de campo magnético: M = M ( H)

Qual é a resposta do material magnético na presença de campo magnético aplicado B

_c

?

Diamagnetismo:

Paramagnetismo:

Ferromagnetismo: Material não-linear: M = F(H)

C _m B _B

o

o

B

=

μ

H

+

μ

M

(

.

)

m Efeito _Causa

M

=

χ

H Material linear

1

C

B

B

1

C

B

B

<

1

C

B

B

>

5

(

)

2, 60 10

m

prata

χ

−

= −

×

5

(

)

2, 50 10

m

alumínio

χ

−

=

×

(

:

)

24999

m

liga

ferro

níquel

Materiais magnéticos

Materiais lineares

Diamagnéticos

e

Paramagnéticos

Materiais não-lineares : Ferromagnetismo

Como produzir um ímã ?

Histerese

Obs.: H = 0 M = 0. Diamagnetismo e Paramagnetismo.

H = 0 M ≠ 0. Ferromagnetismo.

Materiais dielétricos: E < E

_o

x Materiais magnéticos é possível B > B

_o

(1

)

m m m M K

o

o

H

o

H

H

B

H

μ

χ

χ

μ

μ

=

μ

+

=

μ

=

+

⇒

⇒

Eletromagnetismo: Breve análise de duas abordagens.

Teoria clássica x quântica

Existem fenômenos envolvendo cargas elétricas inexplicável pelo eletromagnetismo de

Maxwell?

Criação de um par de cargas.

Um onda eletromagnética cria um par de cargas ao interagir com o campo coulombiano de

um núcleo.

Como é possível explicar o desaparecimento de um campo eletromagnético, raio , ao

interagir com um núcleo A, e no seu lugar criar um elétron e um posítron (

antimaté-ria do elétron ) ? Energia resultando em matéantimaté-ria ?

Eletromagnetismo Clássico: Não explica! Eletromagnetismo Quântico: Explica!!!

Antimatéria:

Previsão teórica de Dirac: 1928.

Verificação experimental: Anderson e Blackett 1932.

O que é antimatéria ?

Partícula gêmea da matéria, com carga elétrica oposta.

Como explicar o fenômeno ?

Einstein ( 1905): A matéria é uma concentração de energia E = m c

2

_.

*

A

A

e

e

γ

_{+ →}

₊

−

₊

+

Teoria clássica do eletromagnetismo: Elétron: partícula pontual, com momento,

energia,...satisfaz as equs.da mecânica de Newton e campo eletromagnético

contínuo, que satisfazem as equações de Maxwell.

1- Eletromagnetismo Clássico: Maxwell.

Força de Lorentz

Equações de Maxwell.

Qual é a fonte de ?

...

. .

...

/

ˆ

_o

I

S

o

S

Lei de Gauss

E

Q

E ndA

_ε

ρ ε

−

∫∫

i

=

∇

i

=

)

(

F

=

q E V

+

×

B

,

E B

E

Existe cargas magnéticas ( monopolos ) ?

Ausência de monopolos magnéticos.

Como se pode induzir campo elétrico na ausência de cargas elétricas ?

...

. .

...

0

.

ˆ

0

II

S

Lei de Gauss

B

do magnetismo

B ndA

−

∫∫

i

=

∇

i

=

( ) ( )

..

..

ˆ

.. ..

C A A C

III

E dl

d

B ndA Lei de Faraday

E

B

dt

t

−

= −

∇ × = −

∂

∂

∫

i

∫∫

i

E

Cilindro condutor se move

com velocidade V, com

campo magnético B constante.

Área variável no tempo A=A(t)

Campo magnético

variável no tempo, numa

Como se pode induzir campo magnético ?

Questão: Como é possível variar fluxo elétrico sem variação no tempo do campo elétrico?

( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ

..

_{o o o} C A C A C E o o o C A I

E

B

J

t

J ndA

d

E ndA

IV

B dl

dt

μ

μ ε

μ

μ ε

Φ

∂

∇ × =

+

∂

+

−

∫

i

=

∫∫

i

∫∫

i

B

.. ..

Lei de Ampére

−

Maxwell

Corrente é fonte de campo magnético B

Carregamento de capacitor:

Variação de fluxo elétrico no tempo

2- Eletromagnetismo quântico: Dirac, Feynman ...

♣ O que é?

Combinação de eletromagnetismo com mecânica quântica: Eletrodinâmica quântica ( QED, quantum electrodynamics ).

♣ Necessidade de mecânica quântica ? 1- Radiação de corpo negro: Planck.

Matéria: energia é quantizada. X Newton: energia contínua. 2- Efeito fotoelétrico: Einstein.

Luz: energia é quantizada: fótons. X Maxwell: energia contínua. 3- Elétron é uma onda: De Broglie.

Verificação experimental: difração de elétrons. ♣ Equação desta onda ?

a- Equ. de Schrödinger.

b- Equ. de Dirac: Mecânica Quântica + Relatividade restrita.

Aplicação da mecânica quântica a campos resulta: teoria quântica de campos .

Eletrodinâmica quântica: Descreve a interação entre cargas elétricas através de troca de fótons.

♣ O que é um fóton ?

Um quantum de energia de radiação. E_f = h f . Eletromagnetismo:

Clássico: Os campos elétrico e magnético são contínuos.

Satisfazem as equações de Maxwell. Elétron satisfaz equação de Newton. Quântico: Campos satisfazem as equações da QED. O elétron satisfaz a equação de Dirac.

Eletrodinâmica Quântica ( Eletromagnetismo quântico ).

Incluem as concepções de mecânica quântica: Funcão de onda, conceito de probabilidade, princípio de incerteza de Heisenberg,...

Equações da QED:

Hamiltoniana de Dirac:

QED: 1- Interação eletromagnética é realizada pela troca de fótons.

2- Aplicação da mecânica quântica a campos.

3- Incorpora relações relativística de energia:

4- Equações invariantes por transformações de Lorentz. Assegura que o mesmo fenômeno é descrito em d diferentes referenciais inerciais.

Previsão da QED: . É esperado spin ½ e g_S=2. Observado: g_S=2x1,001159652193

Teoria de pertubação na QED. Termos α, α

2

_{e α}

3

_{( 72 termos em α}

3

_).

g_S=2x1,001159652. J.M.Dudley and A.M. Kwar , American Journal of Physics, Vol. 64 ( June 1996) 694-698

( , )

( , )

D

r t

H

r t

i

t

∂Ψ

Ψ

=

∂

2

(

)

D

H

=

c

α

i

− ∇ −

i

qA

+

β

mc

+

qV

2 2 † 2 2 o

ˆ

A

A

q

c t

μ

α

∂

∇

−

= −

Ψ Ψ

∂

2 † 2 2 2 o

V

V

q

c t

ε

∂

∇ −

= − Ψ Ψ

∂

1 2 3 4

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

r t

r t

r t

r t

r t

ψ

ψ

ψ

ψ

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

Ψ

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

A

E

V

t

B

A

∂

= −∇ −

∂

= ∇×

2 2 4 2 2

E

=

m c

+

p c

2

S S e

g eS

m

m

−

=

Espinor

Capítulos do livro a ser publicado em 2010.

Eletromagnetismo Básico- Ricardo Affonso do Rego- LTC editora ♠

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