Redes Complexas Aula 2

(1)

Redes Complexas

Aula 2

Aula passada

Logística

Redes e Grafos

Exemplos

Redes Complexas

Aula de hoje

Redes e classes

Estrutura e

características

Grau, distância,

clusterização

(2)

Rede (ou Grafo)

Abstração que permite codificar

relacionamentos entre pares de objetos

objetos

Exemplos?

vértices do grafo

arestas do grafo

relacionamentos

(3)

Objetos e Relacionamentos

Sobre objetos

idênticos, diferentes tipos, possuir estado Ex. pessoas, homens e mulheres, idade

Sobre relacionamentos

simétricos, assimétricos, diferentes

intensidades (pesos), diferentes significados Ex. amizade, distância, etc

(4)

Classe de Redes

Redes sociais: relacionamento entre

pessoas ou grupo de pessoas

Redes de informação (de conhecimento):

codificam associação entre informação

Redes tecnológicas: construída pelo homen

geralmente para distribuir

commodities

Redes biológicas: codifica relacionamentos

em sistemas biológicos

Classificação para referência

(5)

Descrever sua estrutura

Como Falar sobre Redes?

Desenho da rede: “figura vale por mil palavras”

não funciona para redes grandes

Matriz de adjacência

Matriz n x n (n é número de vértices) a_ij = 1 , se existe aresta entre

vértices i e j

a_ij = 0 , caso contrário

(6)

Matriz de Adjacência

Exemplo

1 3 2 4 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 3 1 1 0 1 4 0 0 1 0

?

(7)

Matriz de Adjacência

Problema em descrever a estrutura com matriz de adjacência?

Possui toda a informação, mas não é muito útil, pouco intuitivo

Matriz é o DNA da rede analogia humana!

Precisamos de resumos da estrutura!

(8)

Características de Redes

Resumo da estrutura da rede Caracterísiticas estruturais

Exemplos: Tamanho, densidade, graus,

distâncias, clusterização, centralidade, etc. Dão ideia geral da estrutura da rede

Quais características devem ser avaliadas? Quais são importantes?

Depende do que você deseja estudar, mas ningúém sabe ao certo

Como gens no DNA, estamos apenas começando a enteder seu significado

(9)

Característica Importante

O que faz uma característica ser importante?

1) Determinar comportamento geral de algum processo

independente de outras características

2) Influência sobre diferentes processos Exemplo: distribuição de grau

determina comportamento do RW

influencia outros processos (epidemia)

Não conhecemos muitas outras características são importantes

(10)

Vértices e Arestas

Número de vértices de um grafo

n = |V|

_{cardinalidade}

do conjunto

Número de arestas de um grafo

m = |E|

Dado G = (V, E), qual é o maior número de

arestas de G?

número de pares não ordenados em um

conjunto de n = |V| objetos



n

2



= n n₂−1 ≤n2

Densidade: fração de arestas que o grafo

possui

= 2m

(11)

Grau Médio

Grau médio do grafo considerando todos

seus vértices

Grau do vértice u

Também pode ser calculado diretamente



g=1/n

∑

u ∈V

g u



g=2 m/n

Logo temos

∑

u ∈V

g u=2 m

(12)

Distribuição do Grau

Distribuição empírica do grau dos vértices

frequência relativa do grau

p

_k

=

P[ D=k]

Número de vértices com grau k

Número total de vértices

=

P[ Dk ]=1−

∑

_{i= 0}k

p

_k

Variável aleatória que

denota grau de um vértice

CCDF empírica (Complementary Cumulative

Distribution Function)

(13)

Distribuição do Grau

Exemplo

2 6 4 7 5 1 3 9 8

(14)

Distancia

Comprimento do menor caminho entre

dois vértices

Função d(u,v), onde u e v são vértices

infinito quando não há caminho

2 6 4 7 5 1 3

Exemplo

d(6, 3) = ?

d(7, 1) = ?

Importante: muitos caminhos podem

realizar a distância entre dois vértices

(15)

Distância Média e Diâmetro

Distância média do grafo

média entre todos os pares de vértices

2 6 4 7 5 1 3



d =

∑

u ,v ∈V

d u , v 



n

2



Se d(u,v) não definida, ignorar par (u,v)

também do denominador

Diâmetro: maior distância entre dois vértices da

rede

(16)

Distribuição da Distancia

Distribuição empírica da distância entre os

vértices do grafo

frequência relativa das distâncias

f

_D



d =

n d 



n

2



Número de pares não ordenados de vértices que tem distância d

Exemplo

2 5

4 1

(17)

Clusterização

Medida a respeito de “triangulos” na rede

Comparação entre triangulos e

“quase-triangulos”

quase triangulos: dois vizinhos de um mesmo vértice

Duas métricas na literatura

média de métrica local calculo direto na rede

2 3

5 6

1

(18)

Figueiredo – 2011

Clusterização – I

Fração de aresta entre vizinhos

probabilidade de dois vizinhos também serem vizinhos

Definida para cada vértice da rede

C

_i

=

E

i



d

_i

2 

d_i : grau do vértice i E_i : # de arestas entre os vizinhos de i

Clusterização do grafo

média da clusterização dos vértices

C=1/ n

_∑

C

_i

C

_i

=

2 E

i

(19)

Calculando Clusterização

Exemplo 2 3 5 6 1 4 Quanto vale C?

(20)

Clusterização – I

Problemas?

Não é a fração de arestas entre vizinhos do grafo (como um todo)

Favorece vértices com menos vizinhos denominador é ~ d_i2

Clusterização para grau 0 e 1?

Exemplo? ₃ 8 4 2 7 9 1 5 6 10 11 12

(21)

Clusterização – II

Fração entre o número de triângulos no grafo (cliques de tamanho 3) e o número de triplas (sequência de três vértices)

3 x número de triângulos

número de triplas conectadas C' =

Tripla é não-ordenada (a,b,c == c,b,a) Métrica global

Não é média dos vértices

Não tem problemas com vértices de grau 0 e 1 Valor pode ser muito diferente da outra definição Mais estável, menos sujeita a anomalias do grafo

Cada triângulo conta 3 vezes

(22)

Clusterização – II

6 x número de triângulos

número de caminhos de comprimento 2 C' =

Definição equivalente (mesmo valor)

Número de caminhos de comprimento 2

Para cada vértice, número de vizinhos dos meus vizinhos (caminhos de comprimento 2)

Cada triângulo conta 6 vezes

Igual a métrica anterior, mas agora a tripla é ordenada: (a-b-c) != (c,b,a)

(23)

Calculando Clusterização

Exemplo 2 3 5 6 1 4 Quanto vale C? Quanto vale C'?