Identificação de Sistemas

Identificação de Sistemas

Guilherme Luiz Moritz1

1_{DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná}

Apresentação

Todo projeto de sistemas de controle desenvolvido na disciplina é baseado na análise de funções de

transferência

Trabalhamos com as funções mas não desenvolvemos nenhuma teoria sobre como obter modelos das plantas que trabalhamos

A aula é uma introdução à identificação de sistemas, que consiste na teoria para se encontrar funções de

Criação de modelos de sistemas

O método mais intiutivo de criar-se um modelo é aplicando as leis da física à planta alvo (modelo caixa branca)

O método geralmente é inviável para ser aplicado à sistemas complexos ou gera modelos muito complicados para uso em controle

A teoria de identificação é experimental: A planta é excidada e sua resposta medida. Depois um modelo que consegue representar esta relação de entrada e saída é calculado (caixa preta).

Criação de modelos de sistemas

Os modelos para controle tem objetivo bem diferente dos modelos físicos

O modelo físico é criado para representar o sistema com exatidão

O modelo de controle é criado para que o sistema seja controlado de maneira segura e eficiente e assim, algumas simplificações são feitas.

Criação de modelos de sistemas

Existem três entidades básicas num experimento de identificação

1 _{Os dados medidos} 2 _{Os modelos candidatos}

3 _{O critério para avaliar a aceitação dos modelos frente aos}

Identificação usando convolução

A resposta de saída de um sistema é a convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso do sistema.

y (k ) =

∞

X

j=0

h(j)u(k − j) (1)

De onde podemos escrever o seguinte sistema linear:      y (0) y (1) y (2) .. .      =     

u(0) u(−1) u(−2) · · ·

u(1) u(0) u(−1) · · ·

u(2) u(1) u(0) · · ·

.. . ... ... ...           h0 h1 h2 .. .      (2)

Método da convolução

Que na forma matricial é:

y = Uh (3)

e consequentemente:

h = U−1y (4)

Problemas:

U−1deve existir

Sinal de entrada

Sinal de entrada

Foi observado na seção anterior que o sinal de entrada precisa de certas características para que o sistema consiga ser identificado com sucesso

O melhor sinal a ser identificado seria ruído branco porém o mesmo não é prático

É muito comum de se utilizar uma PRBS (Pseudorandom binary sequence)

Parâmetros de uma PRBS

Níveis de entrada (V ) - Escolhe-se de acordo com a física do processo

Modelos Candidatos

Modelo Geral

A(q)y (k ) = B(q) F (q)u(k ) + C(q) D(q)ν(k ) A(q) = 1 − a1q−1− · · · − anyq −ny B(q) = b1q−1+ · · · +bnuq −nu C(q) = 1 + c1q−1+ · · · +cnνq −nν D(q) = 1 + d1q−1+ · · · +dndq −nd F (q) = 1 + f1q−1+ · · · +fnfq −nf

Modelo ARX

y (k ) = B(q) A(q)u(k ) + 1 A(q)ν(k ) A(q) = 1 − a1q−1− · · · − anyq −ny B(q) = b1q−1+ · · · +bnuq −nu C(q) = 1 D(q) = 1 F (q) = 1

Modelo ARMAX

y (k ) = B(q) A(q)u(k ) + C(q) A(q)ν(k ) A(q) = 1 − a1q−1− · · · − anyq −ny B(q) = b1q−1+ · · · +bnuq −nu C(q) = 1 + c1q−1+ · · · +cnνq −nν D(q) = 1 F (q) = 1

Problemas que podem acontecer

O algoritmo de otimização falhou ao calcular o melhor modelo em função do critério escolhido

O critério de aceitação escolhido é deficiente

O modelo escolhido não é apropriado e não representa corretamente o sistema

Os dados do experimento não contém informação suficiente para que se escolha um bom modelo

Problemas que podem acontecer

A teoria de identificação de sistemas desenvolve métodos para evitar que os problemas expostos aconteçam e ferramentas para que se detectem os problemas ocorridos.

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

De posse dos dados do experimento é necessário um método para se descobrir os parâmetros dos modelos candidatos

O estimador que encontra os valores ótimos é o estimados de mínimos quadrados

Sistemas de equações

Para o nosso modelo temos

y = Ψˆθ + ξ (5)

Onde queremos encontrar ˆθque minimiza ||ξ||2= ||y − Ψˆθ||2

Por mínimos quadrados temos que

θMQ = [ΨTΨ]−1ΨTy (6)

Onde Ψ é o vetor de regressores, y é o vetor de saída, ˆθé o

Exemplo

Num experimento de identificação foram obtidos os seguintes dados:

y (k ) = 12, 2 11, 8 11, 6 11, 6 11, 8 12, 2 13, 0 14, 4 16, 2 15, 8 

u(k ) = 2, 50 2, 50 2, 50 2, 50 2, 50 2, 23 2, 20 2, 20 2, 21 2, 20 

Aplique o algoritmo dos mínimos quadrados para um processo ARX33

Exemplo

O vetor de regressores é:

ψ(k − 1) = y(k − 1) y(k − 2) u(k − 3) u(k − 2) u(k − 1) T

          11, 6 11, 8 12, 2 13, 0 14, 4 16, 2 15, 8           =           11, 6 11, 8 2, 50 2, 50 2, 50 11, 6 11, 6 2, 50 2, 50 2, 50 11, 8 11, 6 2, 50 2, 50 2, 50 12, 2 11, 8 2, 50 2, 50 2, 23 13, 0 12, 2 2, 50 2, 23 2, 20 14, 4 13, 0 2, 23 2, 20 2, 20 16, 2 14, 4 2, 20 2, 20 2, 21                 θ1 θ2 θ3 θ4 θ5       θMQ = [ΨTΨ]−1ΨTy (7)

Exemplo

O vetor de regressores é:

ψ(k − 1) = y(k − 1) y(k − 2) u(k − 3) u(k − 2) u(k − 1) T

θ =       3.42 −3.48 4.71 −0.68 1.04       (8) y [z] u[z] = 1.04z−1− 0.68z−2+4.71z−3 1 − 3, 42z−1_{+3, 48z}−2 (9)