Preparar o Exame Macs 11

(1)

Elisabete Longo

Isabel Branco

MACS

11 .

º

ANO

PREPARAR

O

EXAME

MATEMÁTICA APLICADA

ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS

• 4 testes-modelo de Exame

• Soluções

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Índice

Teste-modelo 1 ... 3

Teste-modelo 2 ... 8

Teste-modelo 3 ... 12

Teste-modelo 4 ... 16

Soluções ... 23

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(4)

Matemática Aplicada às Ciências Sociais – 11.o_Ano _{Duração: 150 minutos}

Na resposta a cada item, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não for pedida aproximação, apresente sempre o valor exato.

Sempre que recorrer à calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização.

As respostas aos itens que envolvam o uso da calculadora gráfica devem apresentar, consoante a situação:

3

Os gráficos obtidos, a janela de visualização e as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução (por exemplo, coordenadas de pontos de interseção de gráficos, máximos ou mínimos).

3

As linhas da tabela obtida relevantes para a resolução.

3

As listas introduzidas na calculadora para se obterem as estatísticas pedidas (por exemplo, média, desvio--padrão, coeficiente de correlação, declive ou ordenada na origem de uma reta de regressão).

1. Numa associação recreativa de um concelho português realizaram-se eleições para eleger os oito elementos da assembleia geral.

Na tabela seguinte estão indicados os números de votos validamente expressos obtidos por cada uma das quatro listas mais votadas nas referidas eleições. Os votos em branco ou nulos não foram considerados como votos validamente expressos.

Lista A B C D

Número de votos 324 202 98 66

1.1 Aplique o método de Hondt na distribuição dos oito lugares disponíveis na assembleia geral da associação recreativa.

Apresente os quocientes do método de Hondt arredondados com uma casa decimal.

1.2 Em eleições semelhantes, alguns países aplicam o método de Sainte-Laguë, em vez do método de Hondt. Segundo o método de Sainte-Laguë, a conversão de votos em mandatos faz-se da forma seguinte:

3

Divide-se o número de votos obtidos por cada lista por 1, 3, 5, 7, 9, etc.

3

Alinham-se os quocientes por ordem decrescente da sua grandeza, numa série de tantos termos quantos

os mandatos a atribuir ao círculo eleitoral em causa.

3

Atribuem-se os mandatos às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra

ante-rior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série.

3

No caso de só ficar um mandato por distribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e de listas

diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos.

Um candidato de uma das quatro listas que concorreu a esta eleição afirmou que se a distribuição dos man-datos tivesse sido feita pelo método de Sainte-Laguë, a sua lista teria sido beneficiada.

Determine a que lista pertence o candidato que fez essa afirmação. Na sua resposta deve:

3

Aplicar o método de Sainte-Laguë para determinar a distribuição dos oito lugares.

3

Concluir a que lista pertence o candidato a partir da comparação entre os dois resultados. Apresente os quocientes do método de Sainte-Laguë arredondados com uma casa decimal.

Teste-modelo 1

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Teste-modelo 1

2. A companhia de aviação ASA 5 opera nos aeroportos nacionais.

2.1 No avião que faz a viagem entre Lisboa e Faro, há seis tipos de lugares: Ago, Behind, Extra-legroom, Normal, Up-front e XL. Os bilhetes para esta viagem são vendidos, exclusivamente, por duas agências: a NETVOA e

a VOARSEMPRE. As duas agências negoceiam entre si os tipos de lugares que cada uma pode vender. Na negociação utiliza-se o método seguinte:

3

Cada agência distribui, confidencialmente, cem pontos pelos diferentes tipos de lugares, de acordo com as suas preferências.

3

Cada tipo de lugar é atribuído, temporariamente, à agência que mais o valoriza. Em caso de empate, o tipo de lugar é atribuído à agência que tiver menos pontos.

3

Com esta distribuição temporária, somam-se os pontos de cada uma das agências. Se as duas agências tiverem o mesmo número de pontos, a distribuição temporária torna-se definitiva; se não, a agência que tiver mais pontos transfere um tipo de lugar, ou parte dos lugares desse tipo, para a outra agência, até ficarem ambas com o mesmo número de pontos. Para fazer a transferência, calculam-se os quocientes referentes aos tipos de lugares atribuídos à agência que ficou com mais pontos:

Número de pontos atribuídos ao tipo de lugar pela agência vencedora inicial

---Número de pontos atribuídos ao tipo de lugar pela agência perdedora inicial Os quocientes são alinhados por ordem crescente da sua grandeza.

3

Faz-se a transferência do tipo de lugar a que corresponde o menor quociente e somam-se, novamente,

os pontos de cada uma das agências, de acordo com os pontos distribuídos confidencialmente. Caso esta transferência dê vantagem à agência que a recebe, terá de se efetuar a transferência de apenas uma percentagem dos lugares desse tipo, de modo a igualar o número de pontos.

3

No final, obtêm-se os lugares de cada tipo que cada uma das agências pode vender.

A tabela seguinte apresenta os pontos atribuídos por cada agência aos diferentes tipos de lugares.

Agência Tipo de lugar NETVOA VOARSEMPRE Ago 22 18 Behind 26 21 Extra-legroom 6 1 Normal 33 55 Up-front 8 1 XL 5 4

Determine, aplicando o método descrito, como serão distribuídos os tipos de lugares que cada agência pode vender.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

2.2 O diretor de operações de terra da companhia de aviação ASA 5 fez uma lista das tarefas efetuadas entre a aterragem de um certo avião e uma nova descolagem.

A tabela da página seguinte apresenta o tempo necessário para concretizar cada tarefa (duração) e, quando existem, as tarefas que devem ser previamente concluídas (tarefa(s) precedente(s)).

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Tarefa Duração (em minutos) Tarefa(s) precedente(s)

Carregamento de bagagem (CB) 16 Descarga de bagagem (DB)

Descarga de bagagem (DB) 2

---Desembarque de passageiros (DP) 14

---Embarque de passageiros (EP) 20 Desembarque de passageiros (DP)

e descarga de bagagem (DB)

Limpeza de cabina (LC) 12 Desembarque de passageiros (DP)

Reabastecimento alimentar (RA) 4 Limpeza de cabina (LC)

Há tarefas que se podem realizar em simultâneo. Por exemplo, enquanto decorre o desembarque de passa-geiros (DP), pode estar a realizar-se a descarga de bagagem (DB).

Determine o tempo mínimo, em minutos, necessário para realizar todas as tarefas que antecedem uma nova descolagem (D) desse avião da ASA 5, nas condições previstas na tabela acima.

Na sua resposta, apresente:

3

Um grafo que represente a situação, incluindo o significado dos elementos (arestas e vértices) que o constituem.

3

As possíveis sequências de concretização das tarefas e respetiva duração.

2.3 A partir de uma amostra aleatória de 220 viagens Lisboa-Faro, o presidente da ASA 5 identificou 11 viagens com um tempo de voo menor ou igual a 45 minutos.

Construa um intervalo com uma confiança de 95% para estimar a proporção de viagens com um tempo de voo menor ou igual a 45 minutos nas ligações Lisboa -Faro.

Apresente os extremos do intervalo com arredondamento às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015, Época especial

3. A tabela seguinte apresenta o registo do número de habitantes, N , em milhões, de uma certa região do globo ao

longo do século XIX:

Tempo (t) Número de habitantes (N)

0 3,9215 1 5,0075 2 6,3843 3 8,124 4 10,312 5 13,05 6 16,452 7 20,642 8 25,75 9 31,898

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3.1 Qual era o número de habitantes nesta região no final do ano de 1810? Apresente o resultado sob a forma de número inteiro.

3.2 Recorra à calculadora gráfica e utilize a regressão logística, de equação y = ᎏᎏc

1 + a × e–bx , para determinar o

modelo de crescimento logístico que se ajusta aos dados da tabela. Indique os valores de a e de c

arre-dondados às unidades e o valor de b arredondado às centésimas. 3.3 De acordo com o modelo encontrado:

3.3.1 Estime o número de habitantes existentes nesta região no final do ano de 1910. Apresente o resultado

sob a forma de número inteiro.

3.3.2 Determine o ano em que provavelmente o número de habitantes atingiu os cem milhões. Apresente o

resultado com arredondamento às unidades.

4. A tabela seguinte contém dados relativos ao número de rapazes e de raparigas das três turmas do 12.o_{ano de}

uma escola secundária.

Tarefa Rapazes Raparigas Total

Turma A 14 13 27

Turma B 16 10 26

Turma C 5 10 15

Total 35 33 68

Os alunos do 12.o_{ano desta escola estão a organizar uma viagem de finalistas.}

Das agências de viagens contactadas, os organizadores optaram por uma que oferece uma viagem a um dos alunos. Para escolher o contemplado, decidiram organizar um sorteio.

Há duas propostas de modalidades de sorteio:

1.a_{modalidade – Cada aluno escreve o seu nome num papel; colocam-se os 68 papéis num saco; extrai-se, ao}

acaso, um dos papéis.

2.a_{modalidade – Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6; se sair face 1 ou face 2, escolhe-se, ao}

aca-so, um aluno da turma A (utilizando um procedimento idêntico ao da primeira modalidade); se sair face 3 ou face 4, escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma B; se sair face 5 ou face 6, escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma C.

4.1 Em qual destas duas modalidades é mais provável que o aluno contemplado seja uma rapariga? Justifique a sua resposta, apresentando todos os cálculos que efetuar.

4.2 Admita que o sorteio já se realizou e que a modalidade adotada foi a segunda.

4.2.1 Qual é a probabilidade de o aluno contemplado ser da turma C? Apresente o resultado na forma de

fração irredutível.

4.2.2 O aluno contemplado foi uma rapariga. Qual é a probabilidade de ela pertencer à turma C? Apresente

o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

4.3 No programa da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (edição do Ministério da Educação),

pode ler-se o seguinte texto:

«As técnicas Bayesianas baseiam-se no seguinte princípio: começa-se por atribuir uma probabilidade a um acontecimento, tendo em consideração a informação disponível – probabilidade a priori; posteriormente,

mediante nova informação entretanto adquirida, obtém-se uma nova probabilidade para esse acontecimen-to – probabilidade a posteriori. Esta pode ser entendida como uma correção da probabilidade anteriormente

atribuída.»

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Baseando-se no problema da alínea anterior, ou num exemplo à sua escolha, ilustre o texto acima citado, explicitando qual é a probabilidade a priori e qual é a probabilidade a posteriori.

5. A professora de MACS pediu a dois grupos de alunos que averiguassem sobre a percentagem, p , de alunos da

escola que praticam desporto regularmente. Como indicação, sugeriu que recolhessem, independentemente, uma amostra aleatória de dimensão 50. Passado o tempo estipulado para a entrega dos resultados obtidos, os dois grupos, A e B, apresentaram os seguintes resultados:

Grupo A – A percentagem de alunos que praticam regularmente desporto, de entre os 50 a quem fizémos a

per-gunta, é de 25%.

Grupo B – A percentagem de alunos que praticam regularmente desporto, de entre os 50 a quem fizémos a per-gunta, é de 28%.

5.1 Acha razoável ter-se obtido dois valores distintos para estimativa de p , com amostras da mesma

dimen-são? Explique porquê.

5.2 Relativamente aos resultados apresentados, tem alguma indicação sobre qual das duas estimativas

pon-tuais estará mais perto de p ? Explique porquê.

5.3 Os grupos poderiam ter apresentado os seus resultados sob a forma de intervalos de confiança de 95%.

5.3.1 Obtenha esses intervalos.

5.3.2 Tem a garantia de que algum desses intervalos contém a percentagem p dos alunos da escola que

praticam regularmente desporto? Justifique a resposta.

5.3.3 Se em vez de duas amostras tivessem sido recolhidas cem amostras, e construídos outros tantos

intervalos de 95% de confiança, quantos destes intervalos esperaria que contivessem a percentagem

p , que temos estado a estudar?

5.4 Suponha que o grupo A resolveu selecionar uma amostra de dimensão 100, para obter um intervalo de 95%

de confiança, mas com uma maior precisão do que o que tinha obtido a partir da amostra de dimensão 50. Explique o que é que significa uma maior precisão, e a razão pela qual se espera obter uma maior precisão aumentando a dimensão da amostra.

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3

1. No concelho de Avelares, realizaram -se recentemente eleições para a constituição de um órgão consultivo da população. Este órgão tem nove consultores.

Na tabela seguinte fez -se o registo do número de votos, validamente expressos, obtidos pelas quatro listas con-correntes a esse ato eleitoral. Os votos em branco ou nulos não foram considerados como votos validamente expressos.

Lista A B C D

Número de votos 220 530 650 150

Para converter os votos em mandatos, aplicou -se o método que a seguir se descreve:

3

Divide -se o número de votos obtidos por cada lista sucessivamente por 1, 3, 5, 7, 9, etc.

3

Ordenam -se todos os quocientes obtidos, arredondados às décimas, por ordem decrescente da sua grandeza, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao órgão consultivo da população.

3

Atribuem -se os mandatos às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série.

3

No caso de só ficar um mandato por atribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e de listas diferen-tes, o mandato cabe à lista que tiver obtido o menor número de votos.

Na referida eleição, foram atribuídos os nove mandatos, correspondentes aos lugares disponíveis para o órgão consultivo da população.

1.1 Aplique o método descrito na distribuição dos nove lugares disponíveis no órgão consultivo da população.

1.2 Depois de publicados os resultados, os representantes da lista A afirmaram que os mandatos poderiam ter sido atribuídos na proporção direta dos votos obtidos por cada uma das listas, com arredondamento às unidades. Verifique se a adoção do método proposto pelos representantes da lista A modificaria, ou não, o número de mandatos a atribuir a cada lista concorrente.

Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015, 1.a_fase 2. No final do ano, o diretor de uma agência de viagens atribuiu um prémio a três dos funcionários, Alice, Bernardo

e Camila, por terem atingido os objetivos estabelecidos pela empresa. O prémio era constituído por um compu-tador, um tablet e uma viagem.

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Para dividirem o prémio, de modo que nenhum dos funcionários tenha razão para reclamar, acordaram utilizar o método de licitação secreta a seguir descrito.

3

Cada funcionário atribui, secretamente, um valor monetário a cada um dos três bens e coloca o registo dos valores das suas licitações dentro de um envelope fechado. Em seguida, os envelopes são abertos e os valores das licitações dos três funcionários são registados numa tabela.

3

Determina -se o valor global atribuído aos bens por cada funcionário e o valor que cada um considera justo receber. Assume -se que o valor que cada funcionário considera justo receber é igual a um terço do valor global que ele atribuiu aos bens.

3

Cada bem é atribuído ao funcionário que mais o valoriza, considerando -se que ele recebe o valor monetário que atribuiu ao respetivo bem.

3

Caso, por aplicação do procedimento anterior, um funcionário não receba qualquer bem, considera -se, para efeitos dos cálculos seguintes, que o valor dos bens recebidos por esse funcionário é de zero euros.

3

Caso o valor dos bens recebidos por um funcionário ultrapasse o valor que este tinha considerado justo rece-ber, o funcionário disponibiliza, em dinheiro, o respetivo excedente. Caso contrário, o funcionário recebe, em dinheiro, do montante à disposição, o valor em falta.

3

Após os procedimentos anteriores, caso ainda sobre dinheiro, este é distribuído, em partes iguais, pelos três funcionários.

Na tabela seguinte foram registados os valores, em euros, atribuídos por cada funcionário aos bens, nas licita-ções secretas.

Alice Bernardo Camila

Computador 600 950 750

Tablet 350 300 300

Viagem 850 1000 810

De acordo com o método acima descrito, determine como será distribuído o prémio por cada um dos funcionários e o valor monetário a pagar ou a receber, de forma que nenhum deles tenha razão para reclamar.

Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015, 1.a_fase

3. O João tem de apresentar um projeto para uma disciplina e decidiu estruturar o seu trabalho para o conseguir terminar nos 20 dias de prazo dados pelo professor. Na tabela seguinte encontra -se registado o tempo neces-sário a cada uma das tarefas que o João tem de realizar para a concretização desse projeto, em dias, e, quando existem, as tarefas que devem ser previamente concluídas.

Tarefa Duração Precedências

T1 1 Nenhuma T2 4 T1 T3 7 T1 T4 3 T2 T5 3 T2 T6 2 T4 T7 6 T5 e T6 T8 8 T3

(11)

3.1 Represente por um digrafo os dados da tabela respeitantes ao projeto do João.

3.2 Indique as possíveis sequências de concretização do projeto do João e a respetiva duração.

3.3 Será que o João vai conseguir cumprir o prazo estabelecido? Justifique.

4. O número, P , de residentes num concelho, em função de t , em meses, é bem aproximado pelo modelo seguinte,

com arredondamento às unidades.

P(t) = 1239

1 + 23 × e–0,13t (t = 0, 1, 2, …)

Considere que t é o número de meses que decorrem após o início de janeiro de 2010. Por exemplo, P1 , com

arredondamento às unidades, representa o número de residentes no início de fevereiro de 2010.

4.1 Entre o início de janeiro de 2010 e o início de janeiro de 2013, o número de residentes no concelho aumentou. Determine o valor desse aumento. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, pelo menos, três casas decimais.

4.2 Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, responda ao seguinte, justificando:

4.2.1 Determine quando é que, nesse concelho, foi atingido um milhar de residentes. Indique o ano e o mês

em que o valor foi atingido.

4.2.2 Um estudo concluiu que, dadas as dimensões geográficas do conselho, o número de residentes do

concelho não pode exceder um determinado valor. Diz -se, por isso, que, com o decorrer do tempo, há um limite para o valor de P . Identifique um valor aproximado para esse limite.

Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015, Época especial

5. O Ivo, que vive no estrangeiro, veio de férias à sua terra natal, em Portugal. Como queria comprar um automó-vel, dirigiu -se a um stand, onde foi informado de que são várias as parcelas que perfazem o preço de venda ao

público (PVP). Ao preço base (preço sem impostos) é adicionado o Imposto Sobre Veículos (ISV) e, a esta soma, é aplicado o Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA), à taxa de 23%.

Por exemplo, um automóvel com um preço base de 12 500 euros e com um ISV associado de 7883 euros terá o seu PVP calculado como se demonstra:

PVP = (12 500 + 7883) × 1,23 = 25 071,10 euros Quando questionado sobre o seu interesse em efetivar a compra, o Ivo respondeu:

«Penso que a vossa proposta não me interessa, porque no país onde vivo a taxa do IVA é de 18% e é aplicada somente ao preço base do automóvel. Depois de se ter aplicado o IVA, adiciona -se o ISV para determinar o PVP do automóvel».

Quando chegou a casa, o Ivo foi determinar o PVP, em Portugal e no país onde vive, do automóvel que pretendia comprar. Nessa altura, recordou -se de que no país onde vive o valor do ISV é superior em 28% ao ISV praticado em Portugal.

O automóvel que interessa ao Ivo tem um preço base de 18 000 euros em ambos os países e o ISV em Portugal é de 9251 euros.

A que conclusão terá chegado o Ivo? Justifique a resposta.

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6. A Maria vivia em Coimbra, mas saiu para fazer Erasmus na Croácia, a 16 de fevereiro. Nos 15 dias antes de partir, registou os dias em que choveu e obteve os seguintes resultados:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C C C C C N C N N C C N C C N

Legenda: C – Choveu; N – Não choveu

Num dos dias em que fez o registo, antes de ir para a Croácia, telefonou a uma amiga para se despedir e disse -lhe que estava a chover. Qual é a probabilidade de ter chovido no dia seguinte àquele em que a Maria telefonou para a amiga? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível.

7. Estudaram -se os valores da precipitação total anual registados na estação meteorológica de Coimbra no período 2012–2015 e verificou -se que:

3

A média dos valores da precipitação total anual, nesses quatro anos, foi de 1270,125 milímetros e a mediana foi 1314,350 milímetros.

3

Desses quatro anos, 2014 foi o ano de menor precipitação total anual e 2015 foi o ano de maior precipitação total anual.

Determine a média, em milímetros, arredondada às décimas, dos valores de precipitação total anual dos últimos dois anos desse período de tempo, 2014 e 2015.

8. A Maria e a Josefa têm alguns amigos que estão fora do país a fazer Erasmus. Considere as seguintes variáveis aleatórias:

X: «tempo gasto, em minutos, por um amigo da Maria, em conversação telefónica durante um mês» Y: «tempo gasto, em minutos, por um amigo da Josefa, em conversação telefónica durante um mês»

As variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições normais, ambas de valor médio de 220 minutos.

Sabendo que P(200 < X < 240) ≈ 0,6827 e P(200 < Y < 240) ≈ 0,9545.

Qual das variáveis aleatórias X e Y tem menor desvio -padrão?

Justifique a sua resposta.

9. Num estudo realizado no ano 2000 sobre os transportes rodoviários de Sacavém, concluiu -se que 62% dos pas-sageiros que entram na paragem A têm como destino o centro da cidade de Lisboa.

Como estes valores já se encontravam pouco atuais, foi realizado um inquérito na paragem A, tendo sido inquiri-dos 240 passageiros, inquiri-dos quais 126 indicaram o centro da cidade de Lisboa como destino.

9.1 Com base nestes resultados, construa um intervalo de confiança de 90% para a percentagem de passa-geiros que entram na paragem A e que saem no centro da cidade de Lisboa. Apresente os extremos do intervalo em percentagem, arredondados às centésimas.

9.2 Quantos passageiros deveriam ser inquiridos para se estimar a percentagem de passageiros que têm como destino o centro de Lisboa com uma margem de erro não superior a 2% e com um grau de confiança de 90%?

(13)

3

1. Na empresa de transportes de mercadorias Para Todo o Mundo (PTM), realiza -se anualmente um congresso que conta com a presença de funcionários das diferentes filiais. Em 2016 o congresso terá 200 participantes. Na tabela seguinte, indicam -se as filiais que marcarão presença no congresso e o número de funcionários de cada uma delas.

Filiais A B C D

Número de funcionários 300 560 830 240

Na opinião dos sócios da PTM, a distribuição dos 200 convites para o congresso deve ter em conta o número de funcionários afetos a cada filial. Como tal, propõem a aplicação do método a seguir descrito para distribuir os convites pelas quatro filiais.

3

Calcula -se o divisor -padrão, dividindo -se o número total de funcionários pelo número de convites a distribuir.

3

Calcula -se a quota -padrão para cada uma das filiais, dividindo -se o número de funcionários de cada filial pelo divisor -padrão.

3

Se a quota -padrão de uma filial é um número inteiro, atribui -se essa quota à filial.

3

Se a quota -padrão de uma filial não é um número inteiro, calcula -se √L(L + 1) , sendo L o maior número inteiro

menor que a quota -padrão.

3

Se a quota -padrão de uma filial é menor que √L(L + 1) , atribui -se a essa filial uma quota arredondada igual

ao maior número inteiro menor que a quota -padrão; se a quota padrão de uma filial é maior que √L(L + 1) ,

atribui -se a essa filial uma quota arredondada igual ao resultado da adição de 1 com o maior número inteiro menor que a quota -padrão.

3

Caso a soma das quotas -padrão arredondadas seja igual ao número de convites a distribuir, o método dá -se por terminado e assume -se que cada filial recebe um número de convites igual à quota -padrão arredondada; caso a soma das quotas -padrão arredondadas seja diferente do número de convites a distribuir, é necessário encon-trar um divisor modificado, substituto do divisor -padrão, de modo a calcular a quota modificada de cada filial.

3

Repetem -se os cinco pontos anteriores até se obter a soma das quotas -padrão modificadas igual ao número de convites a distribuir, atribuindo -se a cada filial o número de convites igual à respetiva quota -padrão. Determine o número de convites para o congresso que cada filial da PTM irá receber de acordo com a aplicação do método proposto pelos sócios. Apresente os valores das quotas -padrão e os valores de √L(L + 1)

arredonda-dos com três casas decimais.

(14)

2. Os dois sócios da PTM, David e Tomás, estão em conflito e pretendem partilhar os bens da empresa. Decidem negociá -los entre si, utilizando o método que a seguir se descreve.

3

Cada sócio atribui, secretamente, pontos a cada um dos bens, de modo que o total dos seus pontos seja 100.

3

Cada bem é destinado, temporariamente, ao sócio que mais o valoriza. Determina -se o total de pontos dos bens temporariamente destinados a cada sócio. Seja A o sócio com o total de pontos mais elevado e B o outro sócio.

3

Procede -se ao ajuste da partilha, pois os sócios devem ficar com igual total de pontos. Será o bem que tiver menor diferença de pontos atribuídos o usado para fazer o ajuste, sendo esse o bem a partilhar pelos sócios.

3

Representa -se o total de pontos a atribuir ao sócio A pela diferença entre o total temporário dos seus pontos e x por cento do valor por ele atribuído ao bem a partilhar.

3

Representa -se o total de pontos a atribuir ao sócio B pela soma do total temporário dos seus pontos com x por

cento do valor por este atribuído ao bem a partilhar.

3

Igualam -se os dois totais finais de modo a determinar o valor de x para o qual a partilha fica equilibrada.

A tabela seguinte apresenta os pontos atribuídos por cada um dos sócios aos bens da empresa.

David Tomás

Frota de motos 20 25

Frota de automóveis 45 25

Avião 35 50

Proceda à partilha dos bens aplicando o método acima descrito. Na sua resposta:

3

Apresente a partilha temporária de bens pelos sócios.

3

Determine o total de pontos dos bens temporariamente destinados a cada sócio.

3

Selecione o bem a utilizar no ajuste da partilha.

3

Apresente a equação que traduz o equilíbrio da partilha e resolva -a.

3

Prove que, com a solução encontrada (valor arredondado às centésimas), ambos os sócios ficam com igual total de pontos.

3

Apresente a partilha final dos bens.

Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015, 2.a_fase 3. Na tabela seguinte, encontram -se registadas as distâncias, em quilómetros, entre as localidades P, Q, R, S e T.

Q R S T

P 30 35 32 15

Q 32 34 30

R 50 21

(15)

Pretendemos encontrar um percurso que ligue todas estas localidades utilizando o algoritmo seguinte: Algoritmo

Passo 1 – Define -se uma das localidades como ponto de partida.

Passo 2 – Seleciona -se a localidade mais próxima, tendo em conta que, se houver duas localidades à mesma distância, a seleção é aleatória.

Passo 3 e passos seguintes – Procede -se como foi indicado no passo anterior, não se repetindo nenhuma loca-lidade e regressando -se ao ponto de partida depois de visitadas todas as localoca-lidades.

3.1 Em qual das situações se pode obter um percurso menor: começando na localidade P ou na localidade R? Na sua resposta deve:

3

Aplicar o algoritmo considerando os dois pontos de partida distintos.

3

Indicar o número mínimo de quilómetros para cada uma das duas situações indicando o respetivo percurso.

3

Optar pela melhor solução.

3.2 Mostre, aplicando o algoritmo, que se iniciar o percurso na localidade Q, a opção aleatória por uma locali-dade à mesma distância pode levar a percursos com diferentes comprimentos.

Na sua resposta deve:

3

Aplicar o algoritmo considerando Q como ponto de partida.

3

Indicar o número mínimo de quilómetros para cada uma das duas situações indicando o respetivo

per-curso.

3

Concluir o pretendido.

4. O nível N , em decibéis, de um som audível pode ser dado por: N = 120 + 10 log I

em que I é a intensidade do som emitido, em watts por metro quadrado. 4.1 Determine o nível de um som de intensidade 0,001 W/m2_.

4.2 Admita que o nível de ruído de um avião a jato a que está exposta uma pessoa que se encontra numa varanda do aeroporto é de 140 decibéis. Determine, analiticamente, a intensidade desse som, em watts por metro quadrado.

4.3 Recorra à calculadora gráfica para determinar a intensidade de um som com um nível de ruído de 125 deci-béis. Apresente o resultado final em watts por metro quadrado, arredondado às centésimas.

5. O Policarpo faz parte dos Escuteiros e um dos jogos que costumam jogar envolve dados cúbicos e octaédricos, ambos equilibrados. Os dados cúbicos têm as faces numeradas de 1 a 6 e os octaédricos têm as faces numera-das de 1 a 8.

5.1 O Policarpo lançou seis vezes um dos dados octaédricos. Qual é a probabilidade de:

5.1.1 A face com o número 2 sair três vezes?

5.1.2 A face com o número 4 sair pelo menos duas vezes?

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

5.2 O Policarpo tem um saco com nove dados cúbicos distinguíveis apenas pelas cores: seis azuis, dois verdes e um amarelo.

(16)

Considere a experiência aleatória que consiste em retirar desse saco um dado de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirado um dado azul.

Seja X a variável aleatória «número de dados retirados desse saco».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X .

Apresente as probabilidades na forma de fração.

5.3 O Policarpo levou alguns dados azuis e outros verdes. Sabe -se que:

3

10% dos dados da coleção são azuis.

3

O número de dados octaédricos é igual ao triplo do número de dados cúbicos.

3

20% dos dados azuis são octaédricos.

O Policarpo seleciona ao acaso um dos dados que levou e verifica que é verde. Qual é a probabilidade de esse dado ser cúbico?

6. Durante as férias escolares, o Policarpo decidiu trabalhar para arranjar dinheiro para os festivais de verão. Resolveu rentabilizar esse dinheiro num depósito a prazo, obtendo juros, num regime de juro composto. Com esse objetivo, depositou o dinheiro que tinha recebido numa conta a prazo com uma taxa de juro anual de 1,2%, com capitalizações anuais.

Após ter realizado alguns cálculos, concluiu que, nas condições referidas, seis anos após a data da abertura da conta, o correspondente capital iria perfazer cerca de 1074,19 euros.

Determine a quantia que o Policarpo ganhou. Apresente o resultado arredondado às unidades.

7. Na figura que se segue encontra -se o diagrama de extremos e quartis relativo ao tempo que 32 jovens do acam-pamento do Policarpo demoram a realizar determinada tarefa.

15 35 50 55 60

Admita que nenhum jovem demorou exatamente 35 minutos a realizar as atividades. Quantos jovens demoraram menos de 35 minutos a terminar as atividades propostas? Justifique a sua resposta.

(17)

3

1. Na tabela seguinte encontram -se os resultados das eleições autárquicas de 2013 num determinado concelho do distrito de Braga.

Número de votos Percentagens Mandatos atribuídos

Partido A 44 571 Partido B 31 326 Partido C 8355 Partido D 5072 Votos em branco 3065 Votos nulos 1735 Votantes 95 417 Inscritos 159 313 Total de mandatos 11

1.1 Complete a coluna da tabela relativa às percentagens. Apresente os resultados arredondados às centési-mas.

1.2 Determine a percentagem de abstenção. Apresente o resultado final arredondado às décimas.

1.3 Em Portugal a conversão de votos em mandatos faz -se utilizando o método de representação proporcional de Hondt, cujo procedimento é o seguinte:

3

Divide -se o número de votos apurados por cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, 4, 5, etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente da sua grandeza, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral em causa.

3

Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra ante-rior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série.

3

No caso de só ficar um mandato por distribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido o menor número de votos.

Faça a distribuição dos 11 mandatos atribuídos a este concelho pelos diferentes partidos.

Teste-modelo 4

(18)

1.4 Em eleições semelhantes, alguns países aplicam o método de Sainte -Laguë, em vez do método de Hondt. Pelo método de Sainte -Laguë, a conversão de votos em mandatos faz -se de forma idêntica à do método de Hondt, mas os divisores utilizados são: 1, 3, 5, 7, 9, etc.

Utilize o método de Sainte -Laguë para fazer a distribuição dos 11 mandatos e compare estes resultados com os obtidos pelo método de Hondt.

2. Numa eleição concorrem quatro candidatos: A, B, C e D. Cada votante deverá ordenar, uma única vez, os nomes dos quatro candidatos de acordo com as suas preferências. A ordenação feita por cada votante corresponde a um voto. Foram apurados 140 votos válidos.

Na tabela seguinte, encontram -se organizados os resultados obtidos:

48 40 25 15 12

1.a_preferência _A _B _C _D _C

2.a_preferência _B _D _B _A _D

3.a_preferência _C _C _A _C _B

4.a_preferência _D _A _D _B _A

2.1 O método da pluralidade inclui -se nos sistemas de votação por ordem de preferência e elege o candidato com maior número de primeiras preferências.

2.1.1 Determine a percentagem de primeiras preferências de cada candidato. Apresente os resultados

finais arredondados com uma casa decimal.

2.1.2 Aplicando o método da pluralidade, indique, justificando, qual é o candidato vencedor desta eleição.

Com que tipo de maioria?

2.2 Segundo o método de contagem de Borda, a escolha faz -se de acordo com os seguintes critérios e etapas:

3

Para que um voto seja considerado válido, cada votante ordena, uma única vez, os nomes dos quatro

candidatos de acordo com as suas preferências.

3

Na ordenação final dos candidatos, cada primeira preferência recebe tantos pontos quantos os

candida-tos em votação.

3

Cada segunda preferência recebe menos um ponto do que a primeira, e assim sucessivamente,

rece-bendo a última preferência um ponto.

3

É escolhido o candidato com maior número de pontos.

Determine qual o candidato vencedor aplicando o método de contagem de Borda. Na sua resposta deve:

3

Determinar o número de pontos obtidos por cada candidato.

3

Apresentar a ordenação dos candidatos por ordem crescente do número de pontos obtidos.

(19)

3. Um grafo diz -se atravessável se tiver um trajeto euleriano. Um grafo diz -se euleriano se tiver um circuito eule-riano.

Considere os grafos seguintes:

A B C I J L G Q H R D M F O P E N (I) (II)

3.1 Verifique se cada um dos grafos é atravessável. Justifique e, em caso afirmativo, identifique um trajeto euleriano.

3.2 Verifique se cada um dos grafos é euleriano. Justifique e, em caso afirmativo, identifique um circuito eule-riano.

4. A população de uma cidade cresce 3% ao ano. Sabe -se que, no início de 2001, o número de habitantes dessa cidade era de 120 785 habitantes.

4.1 Calcule o aumento da população desta cidade desde o início de 2001 até ao início de 2016:

4.1.1 Em número de habitantes.

4.1.2 Em percentagem. Apresente o resultado final arredondado às décimas.

4.2 Determine o ano em que esta população atinge os 500 milhares de habitantes.

5. A Margarida comprou um apartamento novo. Dirigiu -se à repartição de finanças e solicitou informação sobre o Imposto Municipal sobre Imóveis (IMI).

O IMI é um imposto que incide sobre o valor patrimonial tributário dos prédios rústicos, urbanos ou mistos, situa-dos em Portugal. O valor patrimonial tributário situa-dos prédios urbanos novos, destinasitua-dos à habitação, ao comércio, à indústria e aos serviços, depende de vários parâmetros.

Na tabela seguinte, encontra -se a avaliação do imóvel da Margarida, realizada por um perito, segundo os parâme-tros usados na determinação do valor patrimonial tributário dos prédios urbanos novos destinados à habitação.

Tipo de prédio Prédio ediﬁcado

Afetação Habitação

Área bruta de construção e área excedente à área de implantação (A) 287,74 m2_²

Coeﬁciente de afetação (Ca) 1,00

Coeﬁciente de localização (Cl) 1,40

Coeﬁciente de qualidade e conforto (Cq) 1,10

Coeﬁciente de vetustez (Cv) 0,85

Valor base dos prédios ediﬁcados (Vc) 570,00 euros

(20)

O valor patrimonial tributário dos prédios urbanos é obtido pela expressão seguinte: Vtributário = A × Ca × Cl × Cq × Cv × Vc

O valor patrimonial tributário dos prédios urbanos apurado é arredondado para a dezena de euros imediatamente superior.

Para 2016, no concelho onde a Margarida comprou o apartamento, estipulou -se que o valor do IMI dos prédios urbanos seria 0,7% do valor patrimonial tributário arredondado.

5.1 Calcule o valor patrimonial tributário. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

5.2 Determine o valor do IMI que a Margarida deverá pagar em 2016, de acordo com a avaliação realizada pelo perito.

6. As temperaturas máximas e mínimas diárias variam ao longo do ano e consoante o local onde são registadas. Os valores da temperatura dependem de características como a latitude e a altitude dos locais. Também se veri-ficam diferenças quando se comparam conjuntos de anos distintos.

Na tabela seguinte, apresentam -se os valores da altitude, em metros, de alguns locais de Portugal onde estão situadas estações meteorológicas. Apresentam -se também os valores, em graus Celsius (o_{C), das médias anuais}

das temperaturas máximas, registadas nessas estações, no período 1971–2000 e no período 2001–2010.

Localização da estação meteorológica

Altitude (metros)

Médias anuais das temperaturas máximas (o_C)

1971–2000 2001–2010 Bragança 690 17,9 18,8 Vila Real 481 18,6 18,8 Braga 190 20,0 20,8 Viseu 443 19,6 18,6 Guarda 1019 14,7 15,7 Coimbra 35 21,2 21,2 Castelo Branco 386 21,0 21,5 Santarém 73 22,3 22,8 Portalegre 597 19,5 20,5 Setúbal 35 21,8 22,7 Évora 309 20,7 22,8 Beja 246 22,5 23,0 Faro 8 22,0 22,2

6.1 Designe -se por x a variável «altitude», referente aos locais das estações meteorológicas apresentadas na

tabela, e por y a variável «média anual das temperaturas máximas» referente aos mesmos locais,

regista-das no período 1971–2000.

Na figura que se segue, apresentam -se o diagrama de dispersão que relaciona as variáveis x e y e a reta

(21)

0 4 200 400 600 800 1000 8 12 16 20 24 y

Média anual das temperaturas

máximas (°C)

x Altitude (m)

O valor do coeficiente de correlação linear, r , é aproximadamente igual a –0,912.

6.1.1 Justifique que a correlação linear existente entre as variáveis x e y é forte e negativa.

6.1.2 A afirmação seguinte é uma interpretação incorreta do valor de r :

«O valor de r indica que, quando diminui a média anual das temperaturas máximas, a altitude diminui.»

Interprete corretamente, no contexto da situação descrita, o valor de r .

6.2 Das estações meteorológicas que constam da tabela, considere aquelas cujas médias anuais das tempera-turas máximas são, nos dois períodos indicados, iguais ou superiores a 20 o_{C .}

Escolhe -se, ao acaso, uma dessas estações meteorológicas.

Determine a probabilidade de a média anual das temperaturas máximas registadas nessa estação ter subido, pelo menos, 0,5 o_{C , do período 1971–2000 para o período 2001–2010. Apresente o resultado em}

percentagem. Na sua resposta, deverá apresentar os casos possíveis e os casos favoráveis.

Adaptado do Exame Nacional de Matemática B, 2014, 1.a_fase 7. O José trabalha num stand de automóveis. Tem um porta -chaves com as chaves dos três automóveis de que é

responsável. Quer abrir a porta de um dos automóveis, mas não sabe qual das três chaves deve usar.

Na primeira tentativa para abrir o carro, escolhe, ao acaso, uma das três chaves; se esta não for a chave que abre o automóvel, coloca -a de parte e, numa segunda tentativa, escolhe, ao acaso, uma das outras chaves; se esta chave também não abrir o automóvel, coloca -a de parte e usa a terceira chave para abrir o automóvel.

7.1 Na primeira tentativa, o José não escolheu a chave correta. Qual a probabilidade de abrir o automóvel à segunda tentativa? Justifique a resposta.

7.2 Seja X a variável aleatória «número de chaves usadas pelo José até abrir o automóvel»:

7.2.1 Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

7.2.2 Determine o valor médio e o desvio -padrão da variável aleatória X.

Apresente os resultados arredondados às décimas.

8. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguíveis ao tato:

3

Na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis.

3

Na caixa B: três bolas verdes e quatro azuis.

Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B.

Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a 1

2 , mostre que a bola que foi reti-rada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.

(22)

9. Realizou -se um estudo numa população constituída por 2575 indivíduos, de uma região do país, que conseguiram emprego pela primeira vez, no ano de 2015.

De acordo com o estudo, concluiu -se que a idade, X , em anos, em que obtiveram emprego pela primeira vez, dos

indivíduos dessa população segue uma distribuição aproximadamente normal N(25, 3), de valor médio μ ≈ 25

anos e de desvio -padrão σ ≈ 3 anos.

Estime o número de indivíduos dessa população que arranjaram emprego pela primeira vez com idade inferior ou igual a 22 anos. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize duas casas decimais.

10. Um Clube de Matemática prepara os alunos para as Olimpíadas da Matemática. Foi realizado um inquérito a cem alunos que realizaram a referida prova, selecionados ao acaso, com o intuito de saber o número de horas que dedicaram à preparação das Olimpíadas.

Os dados obtidos permitiram concluir que os inquiridos gastaram uma média de 40 horas na preparação da prova, com um desvio-padrão de 2,5 horas.

Defina um intervalo com 95% de confiança para o número médio de horas que os alunos dedicaram à prepara-ção das Olimpíadas da Matemática. Apresente os extremos do intervalo de confiança arredondados às décimas, explicitando os valores usados no cálculo.

(23)

(24)

Teste-modelo 1

1.1 Lista A: quatro lugares; Lista B: três luga-res; Lista C: um lugar; Lista D: zero lugares.

1.2 Lista A: três lugares; Lista B: três lugares; Lista C: um lugar; Lista D: um lugar. O can-didato seria da lista D.

2.1 NETVOA: vende todos os lugares do tipo

Extraleg -room, Up -front, XL e Behind e 70%

tipo Ago; VOARSEMPRE: vende todos os

lugares do tipo Normal e 30% do tipo Ago.

2.2 34 minutos 2.3 ]0,021; 0,079[ 3.1 5 007 500 3.2N(t) = 200 1 + 50 × e–0,25x 3.3.1 47 659 977 3.3.2 1957 4.1 1.a_modalidade:_{≈ 0,49;} 2.a_modalidade:_{≈ 0,51} 4.2.1 1 3 4.2.2≈ 43% 5.1 Sim. 5.2 Não. 5.3.1 Grupo A: ]0,13; 0,37[; Grupo B: ]0,16; 0,4[ 5.3.2 Não. 5.3.3 95 Teste-modelo 2

1.1 Lista A: um mandato; Lista B: três manda-tos; Lista C: quatro mandamanda-tos; Lista D: um mandato

1.2 Lista A: um mandato; Lista B: três manda-tos; Lista C: quatro mandamanda-tos; Lista D: um mandato. Não se verificaria qualquer alte-ração na distribuição dos mandatos.

2. Alice: recebe o tablet e 360 euros; Bernardo:

recebe o computador e a viagem e paga 1090 euros; Camila: não recebe nenhum bem, mas recebe 730 euros

3.1 1 7 T₁ T3 3 T₄ 2 T₆ 6 T₇ 8 T8 4 T2 3 T₅ 3.2 T1 — T3 — T8: 1 + 7 + 8 = 16 T1 — T2 — T4 — T6 — T7: 1 + 4 + 3 + 2 + 6 = 16 T1 — T2 — T5 — T7: 1 + 4 + 3 + 6 = 14 3.3 Sim, demora 16 dias.

4.1 969

4.2.1 Dezembro de 2012

4.2.2 1239

5. ISV (Portugal): 9251 euros; ISV (país de resi-dência): 11 841,28 euros; PVP (Portugal): 33 518,73 euros; PVP (país de residência): 33 081,28 euros

O PVP do automóvel é mais baixo no país onde vive o Ivo do que em Portugal (custa menos 437,45 euros do que em Portugal).

6. 3

5

7. 1225,9 milímetros

8. A variável Y tem menor desvio -padrão.

9.1 ]47,20%; 57,80%[

9.2n ≥ 1688

Teste-modelo 3

1. Filial A: 31 convites; Filial B: 58 convites; Filial C: 86 convites; Filial D: 25 convites

2. Tomás: fica com o avião e cerca de 67% da frota de motos; David: fica com frota de automóveis e cerca de 33% da frota de motos. Terminam com cerca de 58,33 pon-tos cada um.

3.1 Percurso 1: P T S Q R P (135 quilómetros);

Percurso 2: R T P Q S R (150 quilómetros).

É menor o percurso 1, que começa e ter-mina em P.

3.2 Percurso 3: Q T P S R Q (159 quilómetros);

Percurso 4: Q P T S R Q (146 quilómetros).

É menor o percurso 4: tem menos 13 qui-lómetros. 4.1 90 decibéis 4.2 100 W/m2 4.3 3,16 W/m2 5.1.1 0,026 5.1.2 0,167 5.2 xi 1 2 3 4 P(X = xi) 2 3 1 4 1 14 1 84 5.3 17 90 6. 1000 € 7. 8 jovens Teste-modelo 4 1.1 Número de votos Percentagens A 44 571 46,71 B 31 326 32,83 C 8355 8,76 D 5072 5,32 Em branco 3065 3,21 Nulos 1735 1,82 Votantes 95 417 59,89 Inscritos 159 313 1.2 Abstenção: 40,1%

1.3 A: seis mandatos; B: quatro mandatos; C: um mandato; D: nenhum mandato

1.4 A: cinco mandatos; B: quatro mandatos; C: um mandato; D: um mandato

2.1.1 A: 34,3%; B: 28,6%; C: 26,4%; D: 10,7%;

2.1.2 Vence o candidato A com maioria sim-ples.

2.2 A: 339 pontos; B: 418 pontos; C: 354 pon-tos; D: 289 pontos

Ordenação crescente: D – A – C – B. Vence o candidato B.

3.1 São ambos atravessáveis (o grafo I tem apenas dois vértices de grau impar (G e F)

e os restantes de grau par; o grafo II tem todos os vértices de grau par).

Trajeto do grafo I: F E H D C B A G B H F G,

por exemplo.

Trajeto do grafo II: I J L R J M R O N M O P R Q I, por exemplo.

3.2 O grafo I não é euleriano, pois tem vértices de grau ímpar (G e F). O grafo II é euleriano,

pois tem todos os vértices de grau par Circuito do grafo II: M O N M J L R P O R J I Q R M 4.1.1 188 179 habitantes 4.1.2 Cerca de 55,8% 4.2 Em 2049. 5.1 214 691,45 euros 5.2 1502,9 euros 6.1.1r > 0 e |r| > 0,9

6.1.2 O valor de r indica que, quando aumenta

a altitude, a média anual das temperatu-ras, tende a diminuir.

6.2 75% 7.1 0,5 7.2.1 xi 1 2 3 P(X = xi) 1₃ 1₃ 1₃ 7.2.2μ = 2 ; σ ≈ 0,8 9. 412 indivíduos 10. ]39,51; 40,49[

Soluções

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AMOSTRA NÃO COMERCIALIZÁVEL

Para o aluno, esta obra fará parte integrante do Caderno de Exercícios MACS, 11.o_Ano.

AMOSTRA NÃO COMERCIALIZÁVEL

978-111-11-4007-6