NGUY˜
ÊN H ˜
U
U ÐIÊ
N
PHU
,
O
,
NG PH´
AP ÐIRICHLÊ
V`
A ´
U
,
NG D .UNG
NH`A XU´ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT, H`A N .ÔI - 1999
L `
O
,
I N ´
OI Ð `
ÂU
Nguyên l´y nh˜u,ng c´ai lô`ng v`a c´ac ch´u tho ¯, d˜a ¯du,.o,c biê´t ¯dê´n t`u,râ´t lâu. Ngay trong chu,o,ng tr`ınh phô,thông co,so,,ch´ung ta c˜ung ¯d˜a l`am quen v´o,i phu,o,ng ph´ap giai to´, an n`ay. Th .u,c ra nguyên l´y n`ay mang tên nh`a b´ac h .oc ngu,`o,i дu,c Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805-1859). Nguyên l´y ph´at biê,u râ´t ¯do,n gian: Nê´u ch´, ung ta nhô´t tho v`, ao c´ac lô`ng m`a sô´lô`ng ´ıt ho,n sô´tho, th`ı thê, ,n`ao c˜ung c´o m .ôt lô`ng nhô´t ´ıt nhâ´t hai con tho.,
Ch,ı b`˘ang nguyên l´y ¯do,n gian nhu, ,v .ây h`ang lo.at c´ac b`ai to´an ¯d˜a ¯
du,.o,c giai.,
Cuô´n s´ach ¯du,.o,c biên so .an l.ai theo t`u,ng chu ¯, dê` c´o liên quan ¯dê´n nguyên l´y, m˜ôi c´ach giai trong v´ı d .u c, ua t`, u,ng chu,o,ng l`a ´ap d .ung ¯
diê,n h`ınh nguyên l´y Ðirichlê. B`ai t .âp giai tru, ,´o,c c´o liên quan ¯dê´n b`ai giai sau nên câ`n lu, ,u ´y khia ¯d .oc s´ach. V´o,i mong muô´n c`ung b .an ¯d .oc thao lu .ân m .ôt phu, ,o,ng ph´ap ch´u,ng minh to´an h .oc v`a hy v .ong cung câ´p m .ôt t`ai li.êu bô,´ıch cho c´ac thâ`y cô gi´ao v`a c´ac em h .oc sinh ham mê t`ım t`oi trong to´an h .oc, t´ac gia m .anh d.an biên so.an cuô´n s´ach, n`ay. Do kha n˘, ang v`a th`o,i gian c`on h .an chê´, cuô´n s´ach ch´˘ac ch´˘an không tr´anh khoi thiê´u s´, ot. Ch´ung tôi mong ¯du,.o,c s .u,d´¯ong g´op ´y kiê´n cua ¯, d .oc gia. Thu, ,g´op ´y xin gu,,i vê` Nh`a xuâ´t ban Khoa h .oc v`a K˜y, thu .ât - 70 Trâ`n Hu,ng Ð .ao, H`a N .ôi.
T´ac gia xin chân th`, anh cam o, ,n PGS-TSKH Иô Hô`ng Tân ¯d˜a ¯d .oc v`a ¯d´ong g´op nhiê`u ´y kiê´n qu´ı b´au trong qu´a tr`ınh ho`an ch,ınh ban, thao.,
CHU
O
NG
1
NGUYÊN L ´
Y ÐIRICHLÊ V `
A V´I D .U
1.1. Nguyên l´
y Ðirichlê
Nguyên l´y Ðirichlê nhiê`u khi ngu,`o,i ta g.oi l`a ¨Nguyên l´y nh˜u,ng ng˘an k´eo¨. Ðây l`a m .ôt nguyên l´y râ´t ¯do,n gian, ¯, d .˘ac bi.êt c´o nhiê`u ´
u,ng d .ung trong c´ac l˜ınh v .u,c kh´ac nhau cua to´, an h .oc. D`ung nguyên l´y n`ay ngu,`o,i ta d˜ê d`ang ch´u,ng minh tô`n t.ai m .ôt ¯dô´i tu,.o,ng v´o,i t´ınh châ´t x´ac ¯d.inh. D.ang ¯do,n gian nhâ´t c´, o thê,ph´at biê,u nhu,sau:
Nê´u c´om v .ât ¯d .˘at v`ao n c´ai ng˘an k´eo v`a m > n th`ı c´o ´ıt nhâ´t m .ôt
ng˘an k´eo ch´u,a ´ıt nhâ´t hai v .ât.
Tuy r`˘ang v´o,i nguyên l´y n`ay ngu,`o,i ta chı ch´, u,ng minh ¯du,.o,c s .u,tô`n t .ai m`a không ¯du,a ra ¯du,.o,c phu,o,ng ph´ap t`ım ¯du,.o,c v .ât c .u thê,, nhu,ng trong th .u,c tê´nhiê`u b`ai to´an ta ch,ı câ`n ch,ı ra s .u,tô`n t .ai l`a ¯du rô`i.,
Nguyên l´y Ðirichlê l`a m .ôt ¯d.inh l´y vê`t.âp h .o,p h˜u,u h .an. Ph´at biê,u ch´ınh x´ac nguyên l´y n`ay nhu,sau:
Cho A v`a B l`a hai t .âp h .o,p không r˜ông c´o sô´ phâ`n tu,, h˜u,u h .an, m`a sô´ lu,.o,ng phâ`n t
,
u,cua A l´, o,n ho,n sô´ lu,.o,ng phâ`n tu,,cua,
B. Nê´u v´o,i m .ôt qui t´˘ac n`ao ¯dâ´y, m˜ôi phâ`n tu,,cua A cho tu, ,o,ng ´
u,ng v´o,i m .ôt phâ`n tu,,B, th`ı tô`n t .ai hai phâ`n tu,,kh´ac nhau cua A, m`a ch´ung tu,o,ng ´u,ng v´o,i c`ung m .ôt phâ`n tu,,cua B.,
k´eo¨ v`a c´ac phâ`n tu,,cua A ¯, du,.o,c ¯d .˘at v`ao c´ac ng˘an k´eo cua n´, o. Trong ph´at biê,u cua nguyên l´, y trên c´ac phâ`n tu,,h˜u,u h .an ¯du,.o,c t´ınh b`˘ang sô´t .u,nhiên, v`ı v .ây Nguyên l´y Ðirichlê c´o liên quan m.ât thiê´t t´o,i t .âp h .o,p sô´t .u,nhiên v`a c´ac t´ınh châ´t cua t .âp h .o, ,p sô´n`ay.
1.2. V´ı d .u
. .
.1.1. Ðê,ky ni.êm 20 n˘am ng`ay gi, ai ph´, ong Miê`n Nam, t .ai m.ôt th`anh phô´ ngu,`o,i ta tô,ch´u,c buô,i l˜ê g .˘ap m .˘at nh˜u,ng ngu,`o,i 20 tuô,i. Ng`ay 30 th´ang 4 n˘am ¯d´o trong buô,i g .˘ap m .˘at c´o 400 thanh niên. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o ´ıt nhâ´t hai ngu,`o,i trong sô´ ngu,`o,i t´o,i d .u,c`ung chung m .ôt ng`ay sinh.
L`o,i giai. N˘, am 1995 c´o 365 ng`ay. Ch´ung ta coi m˜ôi ng`ay nhu,m .ôt ng˘an k´eo v`a ¯d´anh sô´ t`u,1 ¯dê´n 365 (ng˘an k´eo cuô´i c`ung l`a ng`ay 31 th´ang 12 n˘am 1995). Ch´ung ta ¯d .˘at nh˜u,ng thanh niên c´o ng`ay sinh tu,o,ng ´u,ng v`ao c´ac ng˘an k´eo ¯d´o. Nhu,ng sô´thanh niên ¯dê´n d .u,l˜ê l´o,n ho,n sô´ ng˘an k´eo, theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai ngu,`o,i ¯du,.o,c ¯
d .˘at v`ao c`ung m .ôt ng˘an k´eo. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a h .o sinh c`ung m .ôt
ng`ay. J
. .
.1.2. Trong sinh h .oc ngu,`o,i ta biê´t r`˘ang sô´t´oc trên ¯dâ`u cua m˜, ôi ngu,`o,i không qu´a 200.000 c´ai. Ch´u,ng minh r`˘ang trong sô´ ngu,`o,i cua th`, anh phô´H`a n .ôi, v´o,i sô´dân ho,n 2.000.000, c´o ´ıt nhâ´t 11 ngu,`o,i c´o c`ung sô´ t´oc.
L`o,i giai. Ch´, ung ta x´et 200.000 ng˘an k´eo ¯du,.o,c ¯d´anh sô´ t`u,0 ¯dê´n 199.999. Ch´ung ta ¨¯d .˘at¨ m˜ôi ngu,`o,i dân H`a n.ôi v`ao m .ôt ng˘an k´eo m`a sô´ t´oc b`ang sô´ th´˘ u,t .u,cua ng˘, an k´eo. Gia s, u,,không c´o 11 ngu,`o,i c´o c`ung sô´t´oc, nhu,v .ây m˜ôi ng˘an c´o nhiê`u nhâ´t l`a 10 ngu,`o,i c´o c`ung sô´t´oc, do ¯d´o sô´dân H`a n .ôi nhiê`u nhâ´t l`a 200.000×10=2.000.000,
¯
diê`u n`ay không ¯d´ung v´o,i gia thiê´t l`, a sô´ dân H`a n .ôi l´o,n ho,n 2 tri .êu. J .
.
.1.3. Ba mu,o,i h .oc sinh l`am b`ai viê´t ch´ınh ta. M .ôt trong sô´h.oc sinh, ¯
d´o b.i 14 l˜ôi, c`on c´ac h.oc sinh kh´ac m´˘ac l˜ôi ´ıt ho,n. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o ´ıt nhâ´t ba ngu,`o,i m´˘ac sô´l˜ôi b`˘ang nhau.
L`o,i giai. Ch´, ung ta x´et 15 ng˘an k´eo ¯du,.o,c ¯d´anh sô´t`u,0 ¯dê´n 14. Ch´ung ta ¨¯d .˘at¨ m˜ôi h .oc sinh v`ao m .ôt ng˘an k´eo mang sô´ ¯d´ung b`˘ang sô´ l˜ôi cua h .oc sinh n`ay. Nê´u không c´o ba h .oc sinh n`ao c´o sô´l˜ôi b`˘ang nhau,, th`ı trong m˜ôi ng˘an mang sô´t`u,0,1,2,. . . ,13 s˜e c´o nhiê`u nhâ´t hai h .oc sinh. Khi ¯d´o sô´lu,.o,ng cua nh˜, u,ng h .oc sinh n`ay nhiê`u nhâ´t l`a 28. Nê´u thêm v`ao ¯d´o h .oc sinh m´˘ac 14 l˜ôi (trong ng˘an k´eo sô´14) ch´ung ta s˜e nh .ân ¯du,.o,c nhiê`u nhâ´t 29 h .oc sinh viê´t ch´ınh ta, ¯, diê`u n`ay d˜ân ¯dê´n
s .u,vô l´y v´o,i ¯diê`u ki .ên ¯d˜a cho. J
. .
.1.4. Ch´u,ng minh r`˘ang trong m˜ôi nh´om b .an 5 ngu,`o,i c´o ´ıt nhâ´t hai ngu,`o,i c´o c`ung sô´lu,.o,ng ngu,`o,i quen gi˜u,a nh˜u,ng ngu,`o,i trong nh´om ¯dos. Ch´u,ng minh r`˘ang c`ung kê´t lu .ân nhu,v .ây v´o,i nh´om b .an c´o sô´ lu,.o,ng th`anh viên bâ´t k`y.
L`o,i giai. Ch´, ung ta x´et n˘am ng˘an k´eo, ¯d´anh sô´t`u,0 ¯dê´n 4. M˜ôi ngu,`o,i tham d .u,du¯ ,.o,c ¯d .˘at v`ao ng˘an k´eo mang sô´ tr`ung v´o,i sô´ ngu,`o,i trong nh´om m`a ngu,`o,i ¯d´o quen.
a) Nê´u c´o m .ôt ngu,`o,i không quen ai ca trong sô´ nh˜u, ,ng ngu,`o,i c`on l .ai, th`ı ng˘an sô´ 4 l`a trô´ng (v`ı ngu,.o,c l .ai th`ı ca hai ng˘, an 0 v`a 4 ¯
dê`u không trô´ng, d˜ân ¯dê´n vô l´y). Nhu, v .ây, m˜ôi ngu,`o,i trong sô´ 5 ngu,`o,i ¯du,.o,c ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´0,1,2,3 v´o,i sô´lu,.o,ng 4 ng˘an. T`u,nguyên l´y Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t c´o hai ngu,`o,i ,o, trong m.ôt ng˘an, hay l`a, h .o c´o chung sô´lu,.o,ng ngu,`o,i quen.
b) Nê´u m .oi ngu,`o,i c´o ´ıt nhâ´t m.ôt ngu,`o,i quen, m˜ôi ngu,`o,i s˜e ¯du,.o,c ¯
d .˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´1,2,3,4, v´o,i sô´lu,.o,ng 4 ng˘an. Phâ`n c`on l .ai ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J
. .
.1.5. Trong m .ôt giai b´, ong ¯d´a tham d .u,16 ¯d .ôi. M˜ôi c .˘ap hai ¯d.ôi phai, ¯
dâ´u v´o,i nhau. Ch´u,ng minh r`˘ang t .ai m˜ôi th`o,i ¯diê,m cua gi, ai c´, o ´ıt nhâ´t 2 ¯d .ôi c´o sô´tr .ân ¯d˜a ¯dâ´u nhu,nhau.
L`o,i giai. Ch´, ung ta x´et 16 ng˘an k´eo ¯d´anh sô´t`u,0 ¯dê´n 15. Ch´u ´y r`˘ang 15 l`a sô´lu,.o,ng l´o,n nhâ´t c´ac tr .ân b´ong m`a m˜ôi ¯d .ôi c´o thê,dâ´u t .ai th`o¯ ,i ¯
diê,m ¯dang x´et. H˜ay ¯d .˘at m˜ôi ¯d .ôi b´ong v`ao ng˘an k´eo mang sô´ b`˘ang sô´c´ac tr .ân m`a ¯d .ôi ¯d˜a ¯dâ´u ¯dê´n th`o,i ¯diê,m ¯d´o. Ch´ung ta nh .ân ra r`˘ang c´ac ng˘an 0 v`a 15 không thê,dô`ng th`¯ o,i không trô´ng ¯du,.o,c v`a nhu,v .ây
c´o thê,´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J
. .
.1.6. Trên tr´ai ¯dâ´t sô´ng ho,n 5 ty ngu, ,`o,i, biê´t r`˘ang không qu´a 1% sô´ng trên m .ôt tr˘am tuô,i. Ch´u,ng minh r`ang ´ıt nhâ´t c´˘ o hai ngu,`o,i sinh c`ung m .ôt giây ¯dô`ng hô`.
L`o,i giai. Theo du, ,o,ng l.ich hi.ên h`anh 100 n˘am c´o ´ıt ho,n 37000 ng`ay. M˜ôi ng`ay c´o 24 gi`o,, m˜ôi gi`o,c´o 3600 giây. Khi ¯d´o 100 n˘am c´o ´ıt ho,n 3,33 ty giây. T`, u,diê`u ki .ên ch´ung ta t`ım ¯du¯ ,.o,c nh˜u,ng ngu,`o,i trên tr´ai ¯
dâ´t không qu´a 100 tuô,i ´ıt nhâ´t l`a 99% t`u,5 ty ngu, ,`o,i ngh˜ıa l`a ´ıt nhâ´t c´o 4,9 ty. Vi .êc c`on l.ai ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê: ¯d.˘at 4,9 t, y ngu, ,`o,i
v`ao 3,33 ty ng˘, an k´eo. J
. .
.1.7. Trong th`o,i gian k´eo d`ai m .ôt n˘am h.oc m.ôt h.oc sinh giai ´ıt nhâ´t, m .ôt b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. Ðê,tr´anh c˘ang th˘ang h .oc sinh gi, ai h`, ang tuâ`n không qu´a 12 b`ai t .âp. Ch´u,ng minh r`˘ang trong th`o,i gian k´eo d`ai liên t .uc m.ôt sô´ng`ay h.oc sinh n`ay phai gi, ai ¯, d´ung 20 b`ai t .âp m˜ôi ng`ay.
L`o,i giai. Ch´, ung ta k´y hi .êu a1 l`a sô´ lu,.o,ng b`ai t .âp h .oc sinh ¯d˜a giai, trong ng`ay ¯dâ`u tiên, a2 l`a sô´ lu,.o,ng b`ai t .âp ¯d˜a giai trong hai ng`, ay ¯
dâ`u, a3 l`a sô´ lu,.o,ng b`ai t .âp ¯d˜a gi
,
ai trong ba ng`ay ¯dâ`u, v`a v.v. a77
l`a sô´ lu,.o,ng b`ai t .âp ¯d˜a giai trong 77 ng`, ay ¯dâ`u (11 tuâ`n). Theo gia, thiê´t a77 ≤ 11.12 = 132. Ch´ung ta x´et t .âp h .o,p c´ac sô´ t .u, nhiên
M = {a1, a2, a3, . . . , a77, a1+20, a2+20, a3+20, . . . , a77+20}. N´o
ch´u,a 154 phâ`n tu,, v`a sô´ l´o,n nhâ´t trong ch´ung l`a a77+20 ≤ 152.
Theo nguyên l´y Ðirichlê trong M c´o ´ıt nhâ´t hai sô´b`˘ang nhau. Nhu,ng c´ac sô´ a1, a2, a3, . . . , a77l`a ho`an to`an kh´ac nhau. suy ra tô`n t .ai ak v`a
al m`a ak = al+20, l < k ≤ 77. Nhu,v .ây ak−al = 20, ¯diê`u n`ay
c´o ngh˜ıa l`a t`u,ng`ay th´u,l+1 ¯dê´n ng`ay th´u,k h .oc sinh n`ay phai gi, ai, ¯
d´ung 20 b`ai. J
. .
. 1.8. Trong m .ôt khu t .âp thê,sô´ng 123 ngu,`o,i. Tô,ng sô´ tuô,i cua h .o, l`a 3813. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o thê,ch .on 100 ngu,`o,i sô´ngo,,khu t .âp thê, n`ay, m`a tô,ng sô´tuô,i cua h .o không nh, o ho, ,n 3100.
L`o,i giai. Ch´, ung ta h˜ay ch .on 100 ngu,`o,i nhiê`u tuô,i nhâ´t v`a gia s, u,, tô,ng sô´ tuô,i cua h .o nh, o ho, ,n 3100. Khi ¯d´o ngu,`o,i tre nhâ´t trong sô´, ngu,`o,i ¯du,.o,c ch.on l`a 3100:100=31 tuô,i. M .˘at kh´ac ngu,`o,i n`ay không tre ho, ,n 23 ngu,`o,i c`on l.ai theo c´ach ch .on. Khi ¯d´o tô,ng sô´tuô,i cua 23, ngu,`o,i n`ay không l´o,n ho,n 23.31=713. Suy ra tô,ng sô´tuô,i cua tâ´t c, a, m .oi ngu,`o,i sô´ng trong t.âp thê
,
nho ho, ,n 3100+713=3813 d˜ân ¯dê´n
vô l´y. J
. .
.1.9. N˘am c .˘ap v.o,chô`ng tô,ch´u,c m .ôt buô,i g .˘ap m .˘at. Khi g .˘ap nhau h.o b´at tay nhau, nhu˘ ,ng không ai t .u,b´at tay ngu˘ ,`o,i trong gia ¯d`ınh m`ınh v`a ngu,`o,i m`a chô`ng m`ınh (ho .˘ac v.o,m`ınh) ¯d˜a b´˘at tay rô`i. C˜ung không ai b´at tay c`˘ ung m .ôt ngu,`o,i hai lâ`n. Sau cu .ôc g .˘ap ch´uc m`u,ng ban ¯dâ`u, m .ôt ngu,`o,i ¯d`an ông tên l`a H`ung hoi tâ´t c, a nh˜, u,ng ngu,`o,i c´o m .˘at, kê,ca,
v .o,m`ınh, l`a h .o ¯d˜a b´˘at tay ¯du,.o,c bao nhiêu lâ`n. H .o nh .ân thâ´y r`˘ang ch´ın ngu,`o,i ¯du,.o,c hoi ¯, dê`u tra l`, o,i c´ac con sô´kh´ac nhau. Nhu,v .ây v.o,cua H`, ung ¯
d˜a b´˘at tay bao nhiêu lâ`n?
L`o,i giai. M˜, ôi m .ôt ngu,`o,i kh´ach b´˘at tay không qu´a 8 lâ`n. V`ıcâu tra l`, o,i cua 9 ngu, ,`o,i l`a c´ac sô´kh´ac nhau nên c´ac sô´¯d´o phai l`, a 0,1,2,3,4,5,6,7 v`a 8. Ngu,`o,i b´˘at tay 8 lâ`n phai l`, a v .o,(ho .˘ac chô`ng) cua ngu, ,`o,i không b´˘at tay lâ`n n`ao (nê´u ngu,.o,c l .ai th`ı ngu,`o,i ¯d´o không b´˘at tay 8 lâ`n m`a nhiê`u nhâ´t ch,ı l`a 7 lâ`n thôi). Tu,o,ng t .u,nhu,v .ây ngu,`o,i b´˘at tay 7 lâ`n c´o ngu,`o,i v.o,(ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay m .ôt lâ`n, ngu,`o,i b´˘at tay 6 lâ`n c´o ngu,`o,i v.o,(ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay 2 lâ`n, ngu,`o,i b´˘at tay 5 lâ`n c´o ngu,`o,i v.o, (ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay 3 lâ`n. Ch,ı c`on l .ai m .ôt ngu,`o,i duy nhâ´t b´˘at tay 4 lâ`n, ¯d´o ch´ınh l`a ngu,`o,i v.o,cua H`, ung. J .
.
.1.10. M .ôt câu chuy.ên cô,t´ıch kê,l .ai r`˘ang: M.ôt lâ`n vua H`ung vu,o,ng 18 c´o m`o,i c´ac quan trong triê`u h .op ngô`i quanh m.ôt c´ai b`an tr`on. Theo l.ênh cua vua, m .ôt c .ân thâ`n ¯d˜a viê´t tên c, ua m˜, ôi quan trên b`an tru,´o,c chiê´c ghê´ m`a ông ta phai ngô`i. C´, ac quan trong triê`u không ¯du,.o,c b´ao tru,o´,c nên h .o ¯d˜a ngô`i không theo s´˘ap xê´p ¯d˜a ¯d.inh m`a chiê´m ch˜ô m.ôt c´ach bâ´t k`y. Ch´u,ng minh r`˘ang ông c .ân thâ`n c´o thê,quay chiê´c b`an sao cho ´ıt nhâ´t c´o hai ông quan ngô`i ¯d´ung v.i tr´ı tên cua m`ınh ?,
L`o,i giai. Ð .˘at sô´lu, ,.o,ng c´ac quan l`a n. Khi ¯d´o m .˘at b`an c´o n tr.ang th´ai, v´o,i c´ac tr .ang th´ai n`ay ¯dô´i di.ên v´o,i c´ac quan l`a biê,n ¯dê` tên n`ao ¯d´o. Ngo`ai ra v´o,i m˜ôi m .ôt ông quan ch,ı c´o m .ôt tr.ang th´ai, m`a khi ngô`i ¯
d´ung th`ı ông â´y ¯dô´i di .ên v´o,i ch´ınh tên cua m`ınh trên biê, ,n ¯dê` s˜˘an. Ngh˜ıa l`a, nê´u m˜ôi tr .ang th´ai cua b`, an (v`ı b`an c´o thê,xoay ¯du,.o,c) ta cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i m .ôt sô´ b`˘ang sô´ lu,.o,ng c´ac quan ngô`i ¯d´ung v.i tr´ı tên m`ınh, th`ı tô,ng cua tâ´t c, a nh˜, u,ng sô´ nh .ân ¯du,.o,c (m .oi tr.ang th´ai b`an) s˜e không nho ho, ,n n. Nhu,ng m .ôt tr.ang th´ai ¯dâ`u tiên cua s´, ˘ap
xê´p b`an cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i 0 (không ai ngô`i ¯d´ung ch˜ô ). Nê´u gia s, u,, trong n−1 tr .ang th´ai m.˘at b`an c`on l.ai tu,o,ng ´u,ng v´o,i sô´ nho ho, ,n 2 (t´u,c l`a ch,ı c´o sô´ 1 ho .˘ac 0), th`ı tô,ng cua n sô´ nh .ân ¯du, ,.o,c s˜e nho ho, ,n n, ¯diê`u ¯d´o không thê,du¯ ,.o,c. Suy ra t`u,n−1 tr .ang th´ai m.˘at b`an c`on l .ai c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tr.ang th´ai m`a hai ngu,`o,i s˜e ¯dô´i di.ên v´o,i ch´ınh tên
cua m`ınh., J
1.3. B `
ai t .âp
. .
.1.11. Trong sân cung ¯di .ên nh`a vua h .ôi h .op 2n(n ≥2)ông quan, m˜ôi ông quan ¯d˜a quen biê´t không ´ıt ho,n n ông c´o m .˘at t.ai ¯d´o. Ch´u,ng minh r`˘ang ngu,`o,i xê´p b`an tr`on c´o thê,xê´p ¯du,.o,c m˜ôi b`an 4 ngu,`o,i sao cho m˜ôi ngu,`o,i ¯d´u,ng gi˜u,a hai ngu,`o,i quen cua m`ınh.,
. .
. 1.12. M .ôt khu r`u,ng thông c´o d .ang h`ınh vuông m˜ôi chiê`u 1km. Trong r`u,ng c´o 4500 cây thông, cây to nhâ´t c´o ¯du,`o,ng k´ınh 0,5m. Ch´u,ng minh r`˘ang trong khu r`u,ng c´o ´ıt nhâ´t 60 manh ¯, dâ´t, di .ên t´ıch m˜ôi manh 200m, 2, không c´o m .ôt cây thông n`ao.
. .
.1.13. Trong m .ôt gi´a s´ach c´o 25 ng˘an. Ta thâ´y c´o m .ôt ng˘an ch´u,a 10 cuô´n, c`on c´ac ng˘an kh´ac ch´u,a sô´ s´ach ´ıt ho,n. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o ´ıt nhâ´t ba ng˘an s´ach ch´u,a c`ung sô´ s´ach nhu,nhau (kê,ca nh˜, u,ng ng˘an không c´o s´ach).
. .
. 1.14. T .ai m .ôt th`anh phô´ biê,n xe ôtô ¯du,.o,c ¯d´anh sô´ b`˘ang tô,h .o,p ch˜u,c´ai rô`i ¯dê´n d˜ay sô´. Ch´u,ng minh r`˘ang trên m .ôt ¯do.an ¯du,`o,ng c´u, c´o 11 chiê´c ôtô ¯di qua th`ı bao gi`o,c˜ung c´o hai chiê´c ôtô c´o c`ung ch˜u, sô´t .ân c`ung.
. .
. 1.15. M .ôt chiê´c hô` l´o,n ¯du,.o,c b .oc bo,,i 4 tr .am chuyê,n tiê´p s´ong thông tin. Gi˜u,a hai tr .am ngu,`o,i ta xây d.u,ng c´ac trung tâm ph´at s´ong v`a nh .ân s´ong, ¯du,`o,ng s´ong bao phu l´, o,n nhâ´t l`a ¯du,`o,ng tr`on c´o tâm ,o,
trung tâm v`a ¯di qua hai tr .am. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i bô´n trung tâm ,
o,c´ac ¯do .an gi˜u,a cua t`, u,ng c .˘ap tr.am th`ı to`an b .ô m.˘at hô` s˜e ¯du,.o,c phu, s´ong thông tin.
CHU
O
NG
2
S ´
Ô H .OC
2.1. Ph ´
ep chia sô´ t .u
,
nhiên
Trong c´ac ph´ep t´ınh trên sô´ nguyên: c .ông, tr`u,, nhân, chia, th`ı ph´ep chia l`a râ´t ¯d .˘ac bi.êt. Ph´ep chia c´o h`ang lo.at t´ınh châ´t m`a tâ´t ca, c´ac ph´ep t´ınh c`on l .ai không c´o. V´ı d .u c´ac ph´ep to´an ¯dê`u th .u,c hi .ên v´o,i sô´0 ¯du,.o,c, nhu,ng riêng ph´ep chia cho sô´0 th`ı không ¯du,.o,c. Ph´ep chia không ch,ı ¯d .˘ac bi.êt v´o,i ph´ep chia cho 0. V´o,i c´ac ph´ep t´ınh c .ông, tr`u,, nhân trên sô´nguyên cho ta sô´nguyên, nhu,ng v´o,i ph´ep chia th`ı t´ınh châ´t ¯d´o không c`on ¯d´ung v`ı không phai l´, uc n`ao ta c˜ung nh .ân ¯
du,.o,c sô´nguyên sau ph´ep chia. Nh`o,nh˜u,ng d.i bi.êt cua ph´, ep chia m`a trong to´an h .oc xây d .u,ng h˘an m .ôt l´y thuyê´t vê` ph´ep chia nh˜u, ,ng sô´ nguyên. Nh˜u,ng v´ı d .u v`a b`ai t.âp chu,o,ng n`ay c´o liên quan m .ât thiê´t gi˜u,a ph´ep chia v`a nguyên l´y Ðirichlê, nên ch´ung ta nh´˘ac l .ai ¯d.inh ngh˜ıa ph´ep chia:
Cho a v`a b l`a nh˜u,ng sô´ nguyên, v´o,i b> 0. Ch´ung ta n´oi r`˘ang a chia hê´t cho b, k´y hi .êu l`a b|a, khi tô`n t .ai m .ôt sô´ nguyên q sao cho ¯
d˘ang th´, u,c sau ¯d´ung a=bq.
Ch´ung ta thu,`o,ng g.oi sô´ a l`a b .ôi cua b, ho .˘ac b l`a u, ,´o,c cua a. Sô´ q, g .oi l`a thu,o,ng sô´ cua ph´, ep chia a cho b. Trong ph´at biê,u ¯d.inh ngh˜ıa trên, nê´u không tô`n t .ai m .ôt sô´ q n`ao ca, th`ı ch´, ung ta n´oi r`˘ang a
không chia hê´t cho b v`a k´y hi .êu l`a b6 |a.
T`u,d.inh ngh˜ıa ch´ung ta d˜ê d`ang ch´u¯ ,ng minh ¯du,.o,c c´ac t´ınh châ´t sau
1) V´o,i m .oi sô´ nguyên a > 0 ch´ung ta c´o a|a, Ph´ep chia hê´t c´o t´ınh phan x .a.,
2) Nê´u b|a v`a a|c th`ı b|c- ph´ep chia hê´t c´o t´ı nh b´˘ac câ`u. 3) Nê´u b|a v`a b|c, th`ı b|(ac).
4) Nê´u a, b, m, n l`a nh˜u,ng sô´ nguyên v`a nê´u c|a v`a c|b, th`ı c|(ma+nb).
Ð.inh l´y sau ¯dây gi˜u,vai tr`o quan tr .ong cho ph´ep chia m .ôt sô´ nguyên cho m .ôt sô´nguyên.
V´o,i hai sô´ nguyên bâ´t k`y a v`a b sao cho b > 0, tô`n t .ai duy
nhâ´t nh˜u,ng sô´ nguyên q v`a r thoa m˜, an a=bq+r v`a 0≤r<b. C`on râ´t nhiê`u t´ınh châ´t kh´ac cua sô´ nguyên c˜, ung nhu,sô´ th .u,c nhu,ng ch´ung ta không ¯di theo hu,´o,ng n`ay, m`a ch,ı d`ung c´ac t´ınh châ´t cua sô´h .oc v`a Nguyên l´y Ðirichlê ¯dê, ,giai c´, ac b`ai to´an.
2.2. V´ıd .u
. .
.2.1. Cho k l`a m .ôt sô´t .u,nhiên, A l`a t .âp h.o,p gô`mk+1 sô´ t .u,nhiên. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu hai phâ`n tu,,trong A chia hê´t
chok.
L`o,i giai. G .oi a, 1, a2, . . . , ak+1l`a c´ac phâ`n t
,
u,cua A, c`, on b1, b2, . . . , bk+1
l`a nh˜u,ng sô´ du, cua ph´, ep chia c´ac sô´ trên cho k. Khi ¯d´o a1 =
kc1+b1, a2 = kc2+b2, . . . , ak+1 = kck+1+bk+1,v´o,i c´ac sô´ nguyên
c1, c2, . . . , ck+1 sao cho 0 ≤ b1 ≤ k−1, 0 ≤ b2 ≤ k−1, . . . , 0 ≤
bk+1 ≤ k−1. M .ôt phâ`n t
,
du,bsc
,
ua n´o.G .oi t.âp h .o,p c´ac sô´du,l`a B. Nhu,v .ây, m˜ôi phâ`n tu,,cua A, ¯
du,.o,c ¯d .˘at tu,o,ng ´u,ng v´o,i m .ôt phâ`n tu,,cua t .âp h .o, ,p B, gô`m tâ´t ca c´, ac sô´ nguyên t`u,0 ¯dê´n k−1. Nhu,ng sô´ lu,.o,ng phâ`n tu,,cua A theo gi, a, thiê´t l`a k+1, c`on B c´o sô´ lu,.o,ng k. Theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra tô`n t .ai hai phâ`n tu,,kh´ac nhau cua A c´, o c`ung sô´du,. Ðiê`u ¯d´o ngh˜ıa l`a, tô`n t .ai hai ch,ı sô´ kh´ac nhau s v`a t v´o,i as = kcs+bsv`a at =kct+bs
sau khi tr`u,di cho nhau ta ¯¯ du,.o,c at−as=k(ct−cs). J
. .
.2.2. Cho A m .ôt t .âp h.o,p bâ´t k`y gô`m 101 sô´ t .u,nhiên, m˜ôi sô´ không l´o,n ho,n 200. Ch´u,ng minh r`ang trong˘ A c´o ´ıt nhâ´t hai sô´ m`a m .ôt sô´ n`ay chia hê´t cho sô´kia.
L`o,i giai. M˜, ôi sô´ a cua A c´, o thê,biê,u di˜ên du,´o,i d.ang a=2kb v´o,i k l`a sô´ nguyên không âm, c`on b l`a m .ôt sô´ le. V´, o,i m˜ôi sô´ a thu .ôc A cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i sô´ b trong s .u,biê,u di˜ên o,,trên. B`˘ang c´ach n`ay, m˜ôi phâ`n tu,,a cua A ¯, du,.o,c ¯d .˘at tu,o,ng ´u,ng v´o,i m .ôt phâ`n tu,,cua t .âp h .o, ,p B gô`m c´ac sô´le gi˜, u,a 1 v`a 200. Nhu,ng t .âp h .o,p B chı c´, o 100 phâ`n tu,,v`ı v .ây sô´ phâ`n tu,,cua A l´, o,n ho,n sô´ phâ`n tu,,cua B. Ta c´, o thê,´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê, suy ra tô`n t .ai hai phâ`n tu,,kh´ac nhau a1 v`a a2
thu .ôc A m`a ch´ung tu,o,ng ´u,ng v´o,i c`ung m .ôt sô´cua t .âp h .o, ,p B. Ngh˜ıa l`a, a1=2k1b, a2 =2k2b v`a nê´u k1 <k2, th`ı sô´ a2chia hê´t cho a1. J
. .
.2.3. Cho M l`a t .âp h.o,p bâ´t k`y gô`m 75 sô´t .u,nhi.ên m`a m˜ôi sô´không l´o,n ho,n 100. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m˜ôi sô´ t .u,nhiên l nho ho, ,n ho .˘ac b`ang 49 tô`n t .ai hai phâ`n t˘ u,,cua, M c´o hi.êu l`a l.
L`o,i giai. G .oi c´ac phâ`n t, u,,cua M l`a x, 1, x2, . . . , x75. K´y hi .êu A l`a t.âp
h .o,p c´ac sô´t .u,nhiên t`u,1 ¯dê´n 150. V´o,i m˜ôi sô´1, 2, 3 . . . , 75 cho tu,o,ng ´
u,ng v´o,i c´ac sô´ x1, x2, . . . , x75, c`on c´ac sô´ 76, 77, 78, . . . 150 lâ`n lu,.o,t ´
l ≤ 49 th`ı xm+l < 150. Suy ra m˜ôi phâ`n t
,
u,cua A tu, ,o,ng ´u,ng v´o,i m .ôt phâ`n tu,,cua B gô`m nh˜u, ,ng sô´t .u,nhiên t`u,1 ¯dê´n 149. V`ı sô´phâ`n tu,,cua A l´, o,n ho,n sô´ phâ`n tu,,cua B, theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai, hai phâ`n tu,,kh´ac nhau cua A, m`a ch´, ung tu,o,ng ´u,ng v´o,i c`ung m .ôt phâ`n tu,,cua B. Nhu, ,ng v´o,i c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau cua m t`u, ,1 ¯dê´n 75 ¯
du,.o,c cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau cua x, 1 dê´n x¯ 75 trong
B. Tu,o,ng t .u,c´ac gi´a tr.i cua m, o,,khoang 76 ¯, dê´n 150 tu,o,ng ´u,ng v´o,i c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau trong khoang c`, on l .ai. T`u,d´¯o suy ra tô`n t .ai xm
v`a xnm`a xm =xn+l, ngh˜ıa l`a xm−xn= l. J
. .
.2.4. Cho k≥1 v`an ≥1 l`a nh˜u,ng sô´t .u,nhiên v`a A l`a t .âp h.o,p gô`m
(k−1)n+1 sô´nguyên du,o,ng, m˜ôi sô´n`ay ¯dê`u nho ho, ,n ho .˘ac b`˘ang kn. Ch´u,ng minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o m .ôt phâ`n tu,,cua, A c´o thê,biê,u di˜ên nhu, tô,ng cua, k phâ`n tu,,trong A.
L`o,i giai. V´, o,i k = 1 b`ai to´an hiê,n nhiên l`a ¯d´ung, ch´ung ta gia thiê´t, k ≥ 2. K´y hi .êu m l`a sô´ nho nhâ´t thu .ôc A. D˜ê thâ´y r`˘ang m, ≤ n v`a tô`n t .ai ¯d´ung n−m sô´ thu .ôc A m`a ch´ung l´o,n ho,n m nhu,ng không vu,.o,t qu´a kn.
Ðê,ch´u,ng minh b`ai to´an ch´ung ta t`ım hai sô´ x v`a y thu .ôc A sao cho x = y+ (k−1)m; ngh˜ıa l`a biê,u di˜ên m .ôt sô´ n`ao ¯d´o thu .ôc A th`anh tô,ng k sô´h .ang thu .ôc A trong ¯d´o c´o k−1 sô´h .ang b`˘ang m. Ch,ı câ`n t`ım sô´ x thu .ôc A m`a x> (k−1)m v`a x− (k−1)m thu .ôc A.
Th .ât v.ây, trong khoang, ∆ = ((k−1)m, kn]c´o kn− (k−1)m = k(n−m) +m sô´ nguyên. V`ı k ≥ 2, nên (k−1)m ≥ m, theo nh .ân x´et ban ¯dâ`u suy ra c´o nhiê`u nhâ´t n−m sô´ trong ∆ không thu .ôc A. Ðiê`u n`ay ngh˜ıa l`a A ch´u,a ´ıt nhâ´t s = k(n−m) +m− (n−m) = (k−1)(n−m) +m sô´. Nhu,ng s ≥ n, v`ı(k−2)(n−m) ≥ 0. G .oi a1, a2, . . . , asthu .ôc A, v´o,i(k−1)m< ai ≤ kn, i=1, 2, . . . , s. Khi ¯d´o
nh˜u,ng hi .êu a1− (k−1)m, a2− (k−1)m, . . . , as− (k−1)m l`a nh˜u,ng
sô´nguyên kh´ac nhau trong khoang, [1, kn]. Nê´u m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong ch´ung không thu .ôc A, th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ch´ung ta nh.ân ¯
du,.o,c s ≤n−1, v`ı ngo`ai A c´o ¯d´ung n−1 sô´trong khoang n`, ay. Nhu, v .ây tr´ai v´o,i bâ´t ¯d˘ang th´, u,c ¯d˜a ch´u,ng minh s≥ n. Suy ra tô`n t .ai m .ôt
hi .êu ai− (k−1)m thu .ôc A. J
. .
.2.5. Ch´u,ng minh r`˘ang t`u,n+1 sô´du,o,ng kh´ac nhau nho ho, ,n 2n, c´o thê,ch .on ¯du,.o,c ba sô´sao cho tô,ng hai sô´trong ch´ung b`˘ang sô´th´u,ba.
L`o,i giai. K´, y hi .êu 0 < a1 < a2 < . . . < an+1 l`a nh˜u,ng sô´ ¯d˜a cho.
Ch´ung ta x´et c´ac hi .êu sô´ a2−a1, a3−a1, . . . , an+1−a1 v`a c´ac sô´
a2, a3. . . , an+1. V`ı tâ´t c
,
a c´ac sô´ n`ay ¯dê`u nho ho, ,n 2n nên c´ac sô´ trên ch,ı n`˘am trong khoang 1, 2, . . . , 2n, −1. Nhu,v .ây ch´ung ta s˜e t`ım ¯du,.o,c m .ôt sô´o,,nh´om th´u,nhâ´t b`˘ang m .ôt sô´o,,nh´om th´u,hai: ak−a1 = al,
suy ra ak =a1+al. J
. .
. 2.6. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m .ôt sô´ bâ´t k`y n tô`n t .ai m.ôt sô´ c´o d .ang
111 . . . 000
| {z }
n ch˜u,sô´
m`a chia hê´t chon.
L`o,i giai. Ch´, ung ta x´et nh˜u,ng sô´ 1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111
| {z }
n ch˜u,sô´
v`a nh˜u,ng sô´ du, khi chia d˜ay sô´ trên cho n. V`ı d˜ay sô´ ¯d˜a cho gô`m n phâ`n tu,,, nên nh˜u,ng sô´ du,du,o,ng kh´ac nhau khi chia ch´ung cho n c´o sô´ lu,.o,ng n−1. C´o thê,gia thiê´t không c´, o m .ôt sô´ n`ao trong d˜ay trên chia hê´t cho n v`ı nê´u ngu,.o,c l .ai th`ı b`ai to´an ¯d˜a ¯du,.o,c giai. Khi ¯, d´o s˜e c´o hai sô´ trong ch´ung, v´ı d .u 111 . . . 111
| {z } k ch˜u,sô´ v`a 111 . . . 111 | {z } l ch˜u,sô´ , l > k, m`a khi chia ch´ung cho n s˜e cho c`ung m .ôt sô´ du,. Do ¯d´o l−k =
111 . . . 000 | {z } (l-k ch˜u,sô´1, k ch˜u,sô´0) s˜e chia hê´t cho n. J . .
.2.7. Cho p l`a sô´nguyên tô´l´o,n ho,n 5. Ch´u,ng minh r`ang tô`n t .ai m.ôt˘ sô´c´o d .ang 111 . . . 111 m`a chia hê´t cho p.
L`o,i giai. Ta x´, et d˜ay sô´1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1 | {z }
(p ch˜u,sô´)
. Nê´u trong d˜ay trên không c´o sô´ n`ao chia hê´t cho p, th`ı ta cho tu,o,ng ´u,ng m˜ôi sô´ v´o,i sô´ du,cua ph´, ep chia. T .âp h .o,p c´ac sô´du,ch,ı c´o 1, 2, . . . , p−1 gô`m p−1 phâ`n tu,,(v`ı 0 không thê,c´o trong t .âp n`ay). Nhu,ng v`ı ch´ung ta c´o p sô´o,,d .ang trên, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ c´o c`ung sô´du,. Gia s, u,,c´ac sô´ ¯d´o l`a 111 . . . 1 | {z } (m ch˜u,sô´) v`a 111 . . . 1 | {z } ( n ch˜u,sô´) v´o,i m>n. Khi ¯ d´o 1≤n<m≤ p. V .ây 111 . . . 1 | {z } (m ch˜u,sô´) − 111 . . . 1 | {z } (n ch˜u,sô´) = 111 . . . 000 | {z } (m-n ch˜u,sô´1, n ch˜u,sô´0) = 111 . . . 1 | {z } (m-n ch˜u,sô´) .10n
T´ıch n`ay chia hê´t cho p v`ı(p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1 | {z }
(m-n ch˜u,sô´1)
chia hê´t cho p v`a n´o c˜ung n`˘am trong d˜ayo,,trên. M`a 1≤m−n≤ p mâu thu˜ân v´o,i gia thiê´t không c´, o sô´ n`ao trong d˜ay chia hê´t cho p. J .
.
.2.8. (Ðê`thi Olympic to´an thê´gi´o,i lâ`n th´u,14) Cho M l`a t .âp h.o,p bâ´t k`y gô`m 10 sô´ t .u,nhiên, m˜ôi sô´ không l´o,n ho,n 100. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai hai t .âp h.o,p con cua, M m`a tô,ng cua c´, ac phâ`n tu,,trong ch´ung b`ang nhau.˘
L`o,i giai. C´, o thê,ch´u,ng minh nê´u tô`n t .ai hai t.âp thoa m˜, an kê´t lu .ân cua b`, ai to´an, th`ı ta c´o thê,ch .on ¯du,.o,c hai t .âp con c´o c`ung t´ınh châ´t â´y nhu,ng không giao nhau. Th .ât v.ây, Cho X, Y l`a hai t.âp con cua M, c´o tô,ng c´ac phâ`n tu,,b`˘ang nhau. Ch´ung ta k´y hi .êu X1gô`m c´ac phâ`n
tu,,cua X m`a không thu .ôc Y. Tu, ,o,ng t .u,nhu, v .ây Y1 gô`m c´ac phâ`n
tu,,cua Y m`a không thu .ôc X. R˜o r`ang X, 1 v`a Y1 c´o tô
,
ng c´ac phâ`n tu,,b`˘ang nhau m`a không giao nhau. G .oi A l`a t.âp h .o,p m .oi t.âp h .o,p con không r˜ông cua M. Sô´ lu, ,.o,ng phâ`n tu,,cua A l`a 2, 10−1= 1023.
Ch´ung ta x´et tô,ng S c´ac phâ`n tu,,cua m .ôt t.âp h .o, ,p con nhu,v .ây, r˜o r`ang S ≤ 91+92+ · · · +100 < 10.100 = 1000. Nhu,v .ây tô`n t.ai không qu´a 1000 tô,ng kh´ac nhau. K´y hi .êu B l`a t.âp h .o,p tâ´t ca c´, ac tô,ng nhu,v .ây. Do ¯d´o sô´ lu,.o,ng phâ`n tu,,cua B nh, o,,ho,n 1000 v`a nho, ho,n sô´lu,.o,ng phâ`n tu,,cua A. Ð .˘at tu, ,o,ng ´u,ng m˜ôi phâ`n tu,,cua t .âp h .o, ,p A v´o,i tô,ng c´ac phâ`n tu,,cua n´, o. Ta thâ´y r`˘ang c´o thê,´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlêo,,dây. Suy ra tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai t.âp h .o¯ ,p con kh´ac nhau c´o
c`ung m .ôt tô,ng c´ac phâ`n tu,,. J
. .
.2.9. (Ðê` thi h .oc sinh gioi to´, an Câ´p II to`an quô´c 1983) Ch´u,ng minh r`˘ang trong c´ac sô´t .u,nhiên thê´n`ao c˜ung c´o sô´k sao cho 1983k−1 chia
hê´t cho 105.
L`o,i giai. Cho k lâ´y gi´a tr.i t`u, ,1 ¯dê´n 105+1 rô`i thay v`ao biê,u th´u,c 1983k−1 s˜e nh .ân ¯du,.o,c 105+1 gi´a tr.i kh´ac nhau. Chia 105+1 sô´ v`u,a nh .ân o,,trên cho 105, s˜e ¯du,
.o,c nhiê`u nhâ´t l`a 105 sô´ du,. Do ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê phai c´, o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho c`ung m .ôt sô´ du,. Gia s, u,,d´¯o l`a sô´ 1983m−1 v`a 1983n−1(m > n). Thê´ th`ı(1983m−
1) − (1983n−1)chia hê´t cho 105 m`a(1983m−1) − (1983n−1) =
(1983m−1983n) =1983n(1983m−n−1). Nhu,ng 1983 v`a 105nguyên
tô´ c`ung nhau, do v .ây phai c´, o (1983m−n−1) chia hê´t cho 105. Sô´
. .
. 2.10. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai nh˜u,ng sô´ nguyên a, b v`a c, không
¯
dô`ng th`o,i b`˘ang 0 v`a gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua m˜, ôi sô´ không qu´a 1000000, thoa m˜, an|a+b√2+c√3| <10−11.
L`o,i giai. Ð .˘at S l`a t.âp h .o, ,p cua 10, 18 sô´ th .u,c r+s√2+t√3 v´o,i m .oi
r, s, t thu .ôc {0, 1, 2, . . . , 106−1} v`a ¯d .˘at d = (1+√2+√3d)106.
Khi ¯d´o m˜ôi x trong S ¯dê`u n`am trong kho˘ ang 0, ≤ x < d. Chia ¯
do .an n`ay th`anh 1018−1 phâ`n b`˘ang nhau, m˜ôi ¯do .an nho c´, o ¯d .ô d`ai
e = d
1018−1. Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ trong 10 18 sô´
cua S n`˘am trong c`, ung m .ôt ¯do.an nho. Hi .êu c, ua hai sô´n`, ay k´y hi .êu l`a a+b√2+c√3 ¯d´o ch´ınh l`a c´ac sô´ a, b, c v`ı e< 10 7 1018 =10 −11. J
2.3. B `
ai t .âp
. ..2.11. Cho A l`a t .âp h .o,p bâ´t k`y gô`m 201 sô´t .u,nhiên, m˜ôi sô´không vu,.o,t qu´a 300. Ch´u,ng minh r`˘ang A ch´u,a ´ıt nhâ´t hai sô´, m`a ty sô´ c, ua, ch´ung l`a l˜uy th`u,a b .âc ba.
. .
.2.12. Cho k l`a sô´ t .u,nhiên bâ´t k`y, c`on a v`a b l`a nh˜u,ng sô´ nguyên sao cho a≤b v`a b−a<2k−2. Ch´u,ng minh r`˘ang nê´u M l`a t .âp h .o,p k sô´ t .u,nhiên n`˘am trong khoang, [a, b], v`a l l`a sô´ t .u,nhiên thoa m˜, an 1 ≤ l ≤ 2k+a−b−2, th`ı c´o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu nh˜u,ng phâ`n tu,,cua, M tr`ung v´o,i l.
. .
. 2.13. Cho d˜ây sô´ a1, a2, a3, . . . , a41, m`a m˜ôi phâ`n t
,
u,ch,ı ¯du,.o,c t .ao bo,,i sô´1 v`a, sô´2, trong ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t 21 sô´chı ¯,du,.o,c t .ao bo,,i c´ac sô´1. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai m .ôt sô´ phâ`n tu,,liên tiê´p cua d˜, ay c´o tô,ng b`˘ang ¯d´ung 20.
. .
111 . . . 1 | {z }
(n ch˜u,sô´)
chia hê´t cho 139. (B`ai to´an c`on ¯d´ung nê´u ta thay 139 b`˘ang m .ôt sô´nguyên tô´c`ung nhau v´o,i 10).
. .
.2.15. Ch´u,ng minh r`˘ang trong m .oi sô´t.ao bo,,i 100 ch˜u,sô´ N tô`n t .ai m .ôt sô´chia hê´t cho 1967.
. .
. 2.16. Ch´u,ng minh r`˘ang bao gi`o, c˜ung t`ım du¯ ,.o,c sô´ 19971997. . . 19970. . . 0 chia hê´t cho 1998.
. .
.2.17. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o m .ôt sô´t .u,nhiên chia hê´t cho 1997, m`a bô´n ch˜u,sô´cuô´i c`ung cua n´, o l`a 1998.
. .
.2.18. Ch´u,ng minh r`˘ang nê´u c´ac sô´nguyên m v`a n nguyên tô´c`ung nhau th`ı t`ım ¯du,.o,c sô´t .u,nhiên k sao cho mk−1 chia hê´t cho n.
CHU
O
NG
3
D ˜
AY S ´
Ô
3.1. Nguyên l´
y Ðirichlê cho d˜
ay sô´ vô h .an
Trong phâ`n n`ay ch´ung ta x´et nguyên l´y Ðirichlê du,´o,i d.ang:
Nê´u c´o h˜u,u h .an nh˜u,ng ng˘an k´eo m`a ch´ung ta ¯d .˘at vô h .an nh˜u,ng v .ât v`ao ¯d´o, th`ı ´ıt nhâ´t c´o m .ôt ng˘an k´eo ch´u,a vô h .an nh˜u,ng v .ât ¯d˜a c´o.
Ch´ung ta d˜ê c´o cam tu, ,,o,ng r`˘ang nguyên l´y n`ay l`a hiê,n nhiên nên ´ıt ch´u ´y ¯dê´n n´o. B`˘ang phan ch´, u,ng c´o thê,ch´u,ng minh nguyên l´y n`ay l`a ¯d´ung. Trong sô´ h .oc, t.âp h .o,p c´o liên quan ¯dê´n vô h .an phâ`n tu,,l`a
d˜ây sô´. Ch´ung ta biê´t râ´t nhiê`u d˜ay sô´ ¯d .ep nhu,d˜ay câ´p sô´c .ông, d˜ay câ´p sô´ nhân, d˜ay c´ac sô´ nguyên tô´, ho .˘ac d˜ay Fibonaxi,. . . Chu,o,ng n`ay ch´ung ta ch,ı quan tâm ¯dê´n ´ap d .ung ¯diê`u ph´at biê,u trên ¯dê,giai, c´ac b`ai to´an liên quan ¯dê´n d˜ây sô´. Nh˜u,ng t .âp vô h.an trong c´ac b`ai to´an du,´o,i ¯dây ta x´et nhu, c´ac d˜ay sô´.
3.2. V´ı d .u
. .
.3.1. X´et d˜ay sô´ 6, 62, 63, 64, 65, . . . , 6n, . . . v`a viê´t 4 ch˜u,sô´ cuô´i c`ung cua c´, ac sô´ n`ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch´u,ng minh r`˘ang b´at˘ ¯
dâ`u t`u,m .ôt sô´n0n`ao ¯d´o d˜ây v`u,a l .âp l`a d˜ây tuâ`n ho`an.
c´ac sô´ c´o 4 ch˜u,sô´, nên trong d˜ay ¯d˜a cho ch´˘ac ch´˘an t`ım ¯du,.o,c hai c´ach ch .on c´o c`ung 4 ch˜u,sô´ cuô´i. C´o ngh˜ıa l`a t`ım ¯du,.o,c hai sô´ n0
v`a n0+t m`a v´o,i ch´ung th`ı 6n0 v`a 6n0+t+1 c´o c`ung 4 ch˜u,sô´ cuô´i
(6n0+t+1−6n0 = 104.6k). N´oi chung, ch˜u,sô´ 6n v`a 6n+t v´o,i bâ´t k`y n>n0s˜e c´o c`ung 4 ch˜u,sô´cuô´i(6n+t−6n=104.6n−n0). J
. .
. 3.2. (Ðê` thi To´an Olympic quô´c tê´ lâ`n 17 n˘am 1975) Cho
a1, a2, . . . , an, . . . l`a d˜ay t˘ang ng .˘at c´ac sô´ t .u,nhiên. Ch´u,ng minh r`˘ang vô h .an c´ac phâ`n tu,, an c
,
ua d˜ây trên c´o thê,biê,u di˜ên du,o´,i d .ang
an= xap+yaq, ,
o,dây¯ x v`ay l`a nh˜u,ng sô´nguyên du,o,ng v`ap6=q.
L`o,i giai. Nê´u a, 1 = 1 kê´t lu .ân c
,
ua b`ai to´an l`a hiê,n nhiên. Th .ât v.ây, v´o,i m .oi n ≥ 3 sô´ h .ang an c´o biê
,
u di˜ên d .ang an = an−1+ (an+
an−1) =1.an−1+ (an−an−1).a1 c´o t´ınh châ´t mong muô´n. Ch´ung ta
s˜e ch´u,ng minh tô`n t .ai ch,ı sô´ p l´o,n ho,n 1 sao cho vô h .an c´ac sô´h.ang cua d˜, ay ¯d˜a cho c´o thê,viê´t du,´o,i d.ang xap+ya1 v´o,i c´ac sô´ nguyên
du,o,ng th´ıch h .o,p x v`a y. M˜ôi sô´ h .ang cua d˜, ay ta ¯d .˘at tu,o,ng ´u,ng v´o,i sô´ du,cua n´, o khi chia ch´ınh n´o cho a1. T .âp h .o,p tâ´t c
,
a c´ac sô´ h .ang cua d˜, ay l`a vô h .an, c`on tâ´t ca c´, ac kha n˘, ang cua sô´du, ,khi chia c´ac sô´ h .ang cho a1l`a h˜u,u h .an. Ðiê`u ¯d´o ch´u,ng t
,
o r`˘ang vô h .an phâ`n tu,, an1, an2, . . . , ank, . . . , v´o
,
i n1 <n2 <. . .< nk <. . .
cho c`ung m .ôt sô´ du,r khi chia cho a1. Không mâ´t t´ınh tô
,
ng qu´at ta gia thiê´t n, 1 > 1, v`ı trong tru,`o,ng h.o,p ngu,.o,c l .ai ta x´et c´ac sô´
an2, an3, . . . , ank, . . . c˜ung l`a d˜ay vô h .an v`a cho c`ung sô´ du ,
r khi chia cho a1. V´o,i m .oi k=1, 2, . . . tô`n t .ai sô´nguyên du,o,ng xksao cho ank = xka1+r. Khi ¯d´o ank−an1 = (xka1+r) − (x1a1+r) = (xk−x1)a1 suy ra v´o,i m .oi k ≥ 2 ta c´o ¯d˘ang th´, u,c ank = an1 + (xk −x1)a1 = 1.an1 + (xk−x1)a1. Ngh˜ıa l`a, nh˜u
,
ng sô´ an2, an3, . . . , ank, . . . ., c´o biê ,
u di˜ên v`a c´ac t´ınh châ´t nhu,b`ai to´an ¯d`oi hoi. Th .ât v.ây, ch, ,ı sô´ 1 v`a n1
kh´ac nhau v`ı theo c´ach ch .on trên n1th .u,c s .u,l´o,n ho,n 1. Ch
,
ı c`on phai, kh˘ang ¯, d.inh r`˘ang sô´ xk−x1 l`a sô´ nguyên du,o,ng v´o,i k ≥ 2, ¯diê`u ¯d´o
¯
d´ung v`ı t`u,n1 <nk suy ra x1 <xk. J
. .
.3.3. Cho sô´t .u,nhiên bâ´t k`yk. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai sô´nguyên tô´
p v`a m .ôt d˜ay sô´t .u,nhiên t˘ang ng .˘at a1, a2, . . . , an, . . . sao cho tâ´t c , a c´ac phâ`n tu,,cua d˜, ay p+ka1, p+ka2, . . . , p+kan, . . . l`a nh˜u,ng sô´nguyên tô´.
L`o,i giai. K´, y hi .êu P l`a t.âp h .o,p tâ´t ca c´, ac sô´ nguyên tô´. V´o,i m .oi i = 0, 1, . . . , k−1 k´y hi .êu Pi l`a t .âp h .o,p c´ac sô´ nguyên tô´ m`a khi chia cho k c´o sô´du,i. D˜ê thâ´y r`˘ang m .oi sô´nguyên tô´n`˘am trong m .ôt trong c´ac t .âp h .o,p P0, P1, P2, . . . , Pk−1. B
,
o,i v`ı sô´ nguyên tô´ l`a vô h .an, v .ây ´ıt nhâ´t phai c´, o m .ôt trong sô´c´ac t.âp h .o,p P0, P1, P2, . . . , Pk−1ch´u,a
vô h .an sô´nguyên tô´. Gia s, u,,Pi ch´u,a vô h .an sô´v`a k´y hi.êu p l`a phâ`n
tu,,nho nhâ´t c, ua n´, o. Khi ¯d´o m .oi sô´x thu .ôc Pi c´o d .ang x= p+ka v´o,i m .ôt sô´ t .u,nhiên a. Lâ´y x1, x2, x3, . . . l`a c´ac phâ`n t
,
u,cua P, i xê´p theo
th´u,t .u,l´o,n dâ`n. V´o,i m .oi sô´t .u,nhiên n ¯d .˘at an=
xn−p
k . D˜ê thâ´y r`˘ang sô´nguyên tô´ p v`a d˜ay a1, a2, . . . , an, . . . c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J
. .
.3.4. Cho f l`a ¯da th´u,ck ¯dô´i sô´v´o,i h.ê sô´nguyên v`a a1, a2, . . . , an, . . . l`a d˜ay nh˜u,ng sô´ nguyên thoa m˜, an h.ê th´u,c an+1 = f(a,a2, . . . , an−k+1), v´o,i m .oi sô´ nguyên n, k m`a n ≥ k. Ch´ung ta x´et sô´ du,o,ng bâ´t k`y m
v`a v´o,i m .oi n = 1, 2, . . .. K´y hi.êu an l`a sô´ du,không âm nho nhâ´t c, ua,
antheo mô ¯dunm. Ch´u,ng minh r`˘ang d˜aya1, a2, a3, . . . , an, . . . . l`a d˜ay tuâ`n ho`an.
L`o,i giai. Ch´, ung ta s˜e su,, d .ung khang ¯˘, d.inh sau: Nê´u g l`a ¯da th´u,c k ¯dô´i sô´ v´o,i h .ê sô´ nguyên v`a x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk l`a c´ac sô´
nguyên sao cho x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m), . . . , xk ≡ yk
M .oi sô´ h.ang cua d˜, ay b`˘ang m .ôt trong c´ac sô´ a1, a1, a3, . . . , an, . . .
0, 1, . . . , m−1. Ch´ung ta x´et c´ac b .ô s´˘ap th´u,t .u,gô`m k phâ`n tu,, (a1, a2, . . . , ak),(a2, a3, . . . , ak+1), . . . ,(an, an+1. . . , an+k−1)..
C´o tâ´t ca vô h .an b .ô s´˘ap nhu, , v .ây, nhu,ng sô´ lu,.o,ng c´ac b .ô k sô´ (α1, α2, α3, . . . , αk), v´o,i 0 ≤ αi ≤ m−1, i = 1, 2 . . . , k l`a h˜u,u h .an
(b`˘ang mk theo l´y thuyê´t tô,h .o,p). Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai hai ch,ı sô´ i v`a j, i< j sao cho
ai = aj, ai+1=aj+1, . . . , ai+k−1 =aj+k−1
ho .˘ac l`a
x1 ≡y1 (mod m), x2 ≡y2 (mod m), . . . , xk ≡yk (mod m).
T`u,dây suy ra d˜¯ ay a1, a2, a3, . . . , an. . . l`a tuâ`n ho`an (chu k`y c
, ua n´o l`a u,´o,c sô´cua j, −i). Th .ât v.ây, v`ı f l`a ¯da th´u,c v´o,i h .ê sô´ nguyên nên theo c´ach ch´u,ng minh trên ch´ung ta c´o
f(ai+k−1, ai+k−2, . . . , ai) ≡ f(aj+k−1, aj+k−2, . . . , aj) (mod m)
=⇒ai+k ≡ aj+k (mod m)ho .˘ac l`a ai+k ≡aj+k. Biê´n ¯dô
,
i m .ôt ch´ut d˜ê thâ´y r`˘ang v´o,i m .oi n≥i ta c´o ¯d˘ang th´, u,c sau an+(i−j) ≡an. J
. .
.3.5. Cho d˜ayx1, x2, . . . , xn, . . . . ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh theo công th´u,c sau
x1 =1, x2=0, x3=2, xn+1 =2xn−1+xn−2, n≥3.
Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m .oi sô´ t .u,nhiênm tô`n t .ai hai phâ`n tu,,liên tiê´p cua d˜, ay m`a ch´ung ¯dê`u chia hê´t chom.
L`o,i giai. Công th´, u,c hô`i quy trên c´o thê,viê´t l .ai
xn−2= xn+1−2xn−1 (3.1)
T`u, d´¯o ch,ı ra r`˘ang d˜ay c´o kha n˘, ang ph´at triê,n vê` ph´ıa tr´ai, t´u,c l`a x´ac ¯d.inh xn v´o,i n ≤ 0. V´ı d .u v´o,i n = 2, 1, 0 ch´ung ta nh .ân
¯
du,.o,c x0 = 0, x−1 = 0, x−2 = 1. Nhu, m .uc 3.4 ch
,
x1, x2, . . . , xn, . . . gô`m nh˜u,ng sô´ du,tu,o,ng ´u,ng x1, x2, . . . , xn, . . . theo
môdd un m, l`a d˜ay tuâ`n ho`an. T`u, công th´u,c (3.1) suy ra m˜ôi phâ`n tu,, cua d˜, ay {xn} v`a suy ra c
,
a {xn} x´ac ¯d.inh duy nhâ´t t`u,3
phâ`n tu,,tru,´o,c n´o. Khi ¯d´o nê´u(r1, r2, . . . , rk)l`a phâ`n chu k`y c
, ua d˜ay x1, x2, . . . , xn, . . . th`ı phâ`n n`ay s˜e chuyê
,
n ¯d .ông tuâ`n ho`an vê`ph´ıa tr´ai cua d˜, ay . . . , x−3, x−2, x−1, x0, x1, x2, . . . v`a s˜e c´o d .ang
. . . , r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk. . . (3.2)
Bây gi`o,ta ch´u ´y r`˘ang x−1 = x0 =0, suy ra x−1 = x0 =0. T`u,(3.2)
suy ra r`˘ang d˜ay c´ac sô´ du,theo môdd un m ch´u,a vô sô´ c .˘ap phâ`n tu,, liên tiê´p b`˘ang không. N´oi c´ach kh´ac tô`n t .ai vô sô´c´ac c.˘ap sô´liên tiê´p cua d˜, ay x1, x2, . . . , xn, . . . m`a m˜ôi phâ`n t
,
u,trong c .˘ap ¯dê`u chia hê´t cho
m. J
. .
. 3.6. D˜ay sô´ Fibonaxi ¯du,.o,c ¯d.inh ngh˜ıa b`˘ang c´ac ¯dang th´˘, u,c F1 =
F2 =1, Fn+2 = Fn+1+Fn, n≥ 1. Ch´u,ng minh r`˘ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong 1.000.000.000 phâ`n tu,,¯dâ`u tiên cua d˜, ay chia hê´t cho 10.000.
L`o,i giai. Tu, ,o,ng t .u, nhu, 3.5 ch´ung ta x´et c´ac sô´ du, cua c´, ac sô´ trong d˜ay ¯d˜a cho khi chia cho 10.000. K´y hi .êu sô´ du, d´¯u,ng o,, v.i tr´ı th´u, k khi chia cho 10 000 l`a rk. Khi ¯d´o th`ı r1 = 1, r2 =
1, r3 = 2, r4 = 3, . . . .rk = rk−1+rk−2. R˜o r`ang c´o 10.000 sô´
du,kh´ac nhau do ¯d´o c´o 100002 = 100000000 (tr˘am tri .êu) c.˘ap sô´ du,kh´ac nhau. X´et 100000001 c .˘ap sô´ du, (r1, r2),(r2, r3),(r3, r4). . .
. . .(r100000001, r100000002). Theo nguyên l´y Ðirichlê trong sô´ n`ay c´o ´ıt
nhâ´t 2 c .˘ap sô´ tr`ung nhau, t´u,c l`a t`ım ¯du,.o,c hai sô´ n v`a p v´o,i n, p ¯
dê`u nho ho, ,n 100000002,n nho ho, ,n p sao cho rn = rp, rn+1 = rp+1.
Nhu,ng nê´u biê´t sô´ du,cua tô, ,ng hai sô´ v`a sô´ du,cua m .ôt sô´ th`ı sô´, du,kia c˜ung t´ınh ¯du,.o,c. V`ı v .ây ta c´o rn−1 = rp−1, rn−2 = rp−2, . . . .
sô´ du,hô`i qui o,,trên ta c´o rp−n = 0 v´o,i p−n ≤ 100000001−1 =
100000000. Ngh˜ıa l`a sô´ ¯d´u,ngo,,v.i tr´ı p−n s˜e thoa m˜, an ¯diê`u ki .ên b`ai
ra, chia hê´t cho 10 000. J
. .
. 3.7. (Ð.inh l´y Fecma) Nê´u m.ôt sô´ nguyên tô´ p không chia hê´t sô´
nguyêna, th`ı ¯d˘ang th´, u,c sau ¯d´ungap−1≡1( mod p).
L`o,i giai. Ch´, ung ta ch´u,ng minh m .ênh ¯dê` tô,ng qu´at ho,n. Cho m>1 l`a sô´ t .u,nhiên bâ´t k`y v`a a l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´o,i m. Ch´ung ta x´et d˜ay nh˜u,ng l˜uy th`u,a liên tiê´p cua a,
a1, a2, a3, . . . (3.3)
v`a k´y hi .êu
r1, r2, r3, . . . (3.4)
l`a nh˜u,ng sô´du,tu,o,ng ´u,ng cua (, 3.3) khi chia cho m, ngh˜ıa l`a ak ≡rk (mod m), 1≤rk ≤m−1.
Khi ¯d´o sô´ lu,.o,ng c´ac sô´ trong (3.3) l`a vô h .an, c`on nh˜u,ng sô´o,,(3.4) ch,ı c´o thê,nh .ân nh˜u,ng gi´a tr.i trong 1, 2, 3, . . . , m−1 nên sô´lu,.o,ng l`a h˜u,u h .an. Suy ra theo nguyên l´y Ðirichlê, gi˜u,a nh˜u,ng sô´ du,rk s˜e c´o
´ıt nhâ´t hai sô´ tr`ung nhau; n´oi c´ach kh´ac tô`n t .ai hai ch,ı sô´ i v`a j v´o,i i6=j sao cho ri =rj. Khi ¯d´o ch´ung ta c´o ai ≡aj( mod m). Theo gi
, a thiê´t(a, m) =1, v´o,i i6=j ch´ung ta nh .ân ¯du,.o,c ai−j ≡1( mod m).
Ch´ung ta c´o kê´t lu .ân tô`n t.ai sô´t .u,nhiên l sao cho ¯d˘ang th´, u,c sau ¯
dây ¯d´ung:
al ≡1 (mod m) (3.5)
- Sô´ l trong (3.5) không x´ac ¯d.inh duy nhâ´t, th.âm ch´ı c`on tô`n t.ai vô sô´sô´t .u,nhiên l thoa m˜, an (3.5).
- Trong tru,`o,ng h.o,p m= p l`a sô´nguyên tô´, Fecma t`ım ra l c´o thê, ch .on l`a sô´ p−1.
-Tru,`o,ng h.o,p m bâ´t k`y th`ı O,le ch´u,ng minh r`˘ang l c´o thê,ch .on l`a h`am ch,ı sô´ cua m (ch´, ung ta không xem x´et vâ´n ¯dê` n`ay o,,dây, ¯¯ d .ôc gia c´, o thê,t`ım trong bâ´t c´u,cuô´n s´ach sô´h .oc n`ao). J .
.
. 3.8. Cho x1, x2, x3, . . . l`a d˜ây vô h .an c´ac sô´ nguyên v`a k l`a m.ôt sô´ t .u,nhiên bâ´t k`y. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai d˜ây sô´gô`m nh˜u,ng phâ`n tu,, liên tiê´p cua d˜, ây, m`a tô,ng cua ch´, ung chia hê´t cho k.
L`o,i giai. Ch´, ung ta c´o thê,gi´o,i h .an l.ai, gi˜u,a m .oi b .ô k phâ`n tu,,liên tiê´p cua d˜, ây c´o thê,ch .on ¯du,.o,c m .ôt sô´ phâ`n tu,,c´o t´ınh châ´t mong muô´n. Ðê,do¯,n gian ta xem x´, et k phâ`n tu,,dâ`u tiên x¯ 1, x2, x3, . . . , xk.
Ch´ung ta x´et tô,ng
S1 =x1, S2= x1+x2, S3= x1+x2+x3, . . . , Sk = x1+x2+ · · · +xk
Nê´u m .ôt tô,ng n`ao ¯d´o trong sô´trên chia hê´t cho k, th`ı b`ai to´an ¯du,.o,c giai. Ngu, ,.o,c l .ai, c´ac sô´ S1, S2, . . . , Sk (c´o sô´ lu,.o,ng k) khi chia cho k
¯
du,.o,c c´ac sô´du,1, 2, 3, . . . , k−1. T`u,nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´o m .ôt c .˘ap ch,ı sô´i v`a j, 1≤i< j≤k, m`a c´ac tô,ng Si v`a Sjcho c`ung m .ôt sô´
du,khi chia cho k. Khi ¯d´o tô,ng c´ac phâ`n tu,,liên tiê´p xi+1, xn+2, . . . , xj
cua d˜, ay ¯d˜a cho chia hê´t cho k, v`ı xi+1+xn+2+ · · · +xj = Sj−Si.
J .
.
. 3.9. Cho d˜ay vô h .an c´ac ch˜u,sô´. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m .oi sô´ t .u, nhiên n, nguyên tô´ c`ung nhau v´o,i 10, trong d˜ay vô h .an trên tô`n t .ai m .ôt nh´om ch˜u,sô´ liên tiê´p, m`a sô´ t .ao bo,,i c´ac ch˜u,sô´ trong nh´om (viê´t theo th´u,t .u,chı sô´l´, o,n ¯d´u,ng tru,o´,c) chia hê´t chon.
L`o,i giai. Cho d˜, ay c´ac ch˜u,sô´ a1, a2, . . . , an, . . .. Ch´ung ta x´et c´ac sô´
A1 = a1, A2 = a2a1, . . . , An = anan−1. . . a1, . . . , An+1 = an+1. . . a1.
V`ı sô´lu,.o,ng nh˜u,ng sô´n`ay l`a n+1, c`on sô´lu,.o,ng kha n˘, ang cua sô´du, , khi chia ch´ung cho n l`a n, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ´ıt nhâ´t
hai sô´cho c`ung m .ôt sô´du,ta k´y hi .êu ch´ung l`a Ai v`a Aj,(i< j). Khi
¯
d´o hi .êu Aj−Ai chia hê´t cho n. Hay n´oi c´ach kh´ac
Aj−Ai = aj. . . a1−ai. . . a1= aj. . . ai−1.10j−i+1 v`ı(n, 10) =1, nên aj. . . ai−1chia hê´t cho n. J . . .3.10. Cho k l`a sô´nguyên du,o,ng bâ´t k`y v`a x1, x2, . . . , xn, . . . y1, y2, . . . , yn, . . .
l`a nh˜u,ng chu˜ôi sô´ nguyên bâ´t k`y. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai vô sô´ c .˘ap chı sô´, (i, j), v´o,ii<j sao cho m˜ôi tô,ng
xi+1+xn+2+ · · · +xj; yi+1+yn+2+ · · · +yj ¯
dê`u chia hê´t chok.
L`o,i giai. Ch, ,ı câ`n ch´u,ng minh r`˘ang trong b .ô sô´ k2 phâ`n tu,,liên tiê´p cua 2 d˜, ây trên c´o thê,ch .on ¯du,.o,c tô,ng v´o,i t´ınh châ´t ¯d˜a ch,ı ra. V`ı v .ây ch´ung ta ch,ı quan tâm ¯dê´n k2phâ`n tu,,dâ`u tiên c¯ ua c´, ac chu˜ôi ¯d˜a cho. B`˘ang c´ach tô,ng qu´at h´oa c´ach giai b`, ai to´an 3.8, lâ´y tô,ng
S1 =x1, S2= x1+x2, S3= x1+x2+x3, . . . , Sk2 = x1+x2+ · · · +xk2 T1 =y1, T2 =y1+y2, T3= y1+y2+y3, . . . , Tk2 =y1+y2+ · · · +yk2 V´o,i m˜ôi m = 1, 2, 3, . . . , k2 d .˘at tu¯ ,o,ng ´u,ng c .˘ap (Sm, Tm) v´o,i c .˘ap
(RSm, RTm) c
,
ua nh˜u,ng sô´ du,, khi chia Sm v`a Tm cho k. V`ı RSm
v`a RTm l`a m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , k−1, nên tô
,
h .o,p tâ´t ca, c´ac d .ang kh´ac nhau (RSm, RTm) l`a không qu´a k2. Nê´u tô`n t .ai
m .ôt ch,ı sô´ m, sao cho (RSm, RTm) tr`ung v´o,i (0, 0), th`ı m .oi tô
, ng Sm= x1+x2+ · · · +xmv`a Tm =y1+y2+ · · · +ymdê`u chia hê´t cho¯
k. V`ı nê´u không nhu,v .ây, th`ı c´ac c.˘ap sô´(RSm, RTm), m=1, 2, . . . .., k2
c´o nhiê`u nhâ´t l`a k2−1 kha n˘, ang kh´ac nhau. Nhu,ng sô´ lu,
nh˜u,ng c .˘ap sô´ n`ay l`a k2 suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai trong ch´ung b`˘ang
nhau. N´oi c´ach kh´ac, tô`n t .ai hai ch,ı sô´ i v`a j, sao cho 1 ≤ i < j ≤ k2 v`a (RS
i, RTi) = (RSj, RTj). Trong tru,`o,ng h.o,p n`ay m˜ôi sô´
xi+1+xn+2+ · · · +xj = Sj−Si; yi+1+yn+2+ · · · +yj = Tj −Ti
¯
dê`u chia hê´t cho k. J
Ch´u ´y: Ðây l`a b`ai to´an tô,ng qu´at h´oa b`ai to´an 3.8. Mo,,r .ông kê´t qua n`, ay c´ac b .an h˜ay xem v`a l`am b`ai tâp 3.15.
3.3. B `
ai t .âp
. .
.3.11. C´o tô`n t .ai lu˜y th`u,a cua sô´3 m`, a c´ac ch˜u,sô´cuô´i c`ung cua n´, o l`a 0001 không ?
. .
.3.12. Cho F l`a t .âp h˜u,u h .an nh˜u,ng sô´ nguyên du,o,ng v`a x1, x2, . . .
, xn, . . . v`a y1, y2, . . . , yn, . . . l`a hai d˜ây vô h .an nh˜u,ng phâ`n t
, u,thu .ôc F. Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t .ai nh˜u,ng ch,ı sô´ i v`a j, i < j sao cho t´ıch cua x, i+1, xi+2, . . . , xj v`a yi+1, yi+2, . . . , yjl`a m .ôt sô´c´o l˜uy th`u,a b .âc k.
. .
.3.13. Cho u1, u2, . . . , un, . . . l`a d˜ay nh˜u,ng sô´nguyên x´ac ¯d.inh b`˘ang
công th´u,c u1 =39, u2 =45, un+2 =u2n+1−un(n≥ 1). Ch´u
,ng minh r`˘ang 1986 chia hê´t cho vô sô´nh˜u,ng phâ`n tu,,trong d˜ay n`ay.
. .
.3.14. Cho k l`a m .ôt sô´t .u,nhiên. D˜ay x1, x2, . . . , xn, . . . th
, oa m˜an c´ac ¯ d˘ang th´, u,c x0 = 0, x1 = 1 v`a xn = 1 k(xn+1−xn−1)v´o , i m .oi n ≥ 1. Ch´u,ng minh r`˘ang gi˜u,a nh˜u,ng sô´ x1, x2, . . . , x1986 tô`n t .ai hai sô´ m`a
t´ıch cua ch´, ung chia hê´t cho tich 19.86. .
.
.3.15. Cho k l`a sô´nguyên du,o,ng v`a x11, x12, . . . , x1n, . . . x21, x22, . . . , x2n, . . .
. . . . x1s, xs2, . . . , xsn, . . .
l`a s d˜ay sô´ nguyên. Khi ¯d´o tô`n t .ai vô h.an c´ac c.˘ap ch,ı sô´(i, j), v´o,i i< j sao cho c´ac tô,ng sau ¯dây
x1i+1+x1i+2+ · · · +x1j x2i+1+x2i+2+ · · · +x2j . . . . xsi+1+xis+2+ · · · +xsj
¯
CHU
O
NG
4
H`INH H .OC
4.1. V´ı d .u
Trong sô´c´ac b`ai to´an h`ınh h .oc trong to´an h .oc tô,h .o,p c´o m .ôt l´o,p b`ai to´an giai b`, ˘ang phu,o,ng ph´ap Ðirichlê râ´t thu .ân ti.ên v`a r˜o r`ang. B .an ¯d .oc c´o thê,t`ım thâ´y nh˜u,ng c´ach giai kh´, ac, nhu,ng v`ı m .uc ¯d´ıch chuyên ¯dê` phu,o,ng ph´ap ch´ung ta ¯dang x´et nên ch´ung ta chı kh, ao, s´at c´ac v´ı d .u sau.
. .
.4.1. Trong h`ınh vuông v´o,i c .anh 1 ¯do,n v.i ¯du,.o,c ch .on 101 ¯diê,m. Ch´u,ng minh r`˘ang c´o n˘am ¯diê,m trong c´ac ¯diê,m ¯d˜a ch .on c´o thê,phu b, o,,i ¯du,`o,ng tr`on b´an k´ınh 1
7.
L`o,i giai. Chia h`ınh vuông ra ra 25 h`ınh vuông con c´, o c .anh 0,2.
Nh˜u,ng h`ınh vuông n`ay c´o sô´ lu,.o,ng 25 v`a v`ı tâ´t ca sô´ ¯, diê,m ¯d˜a ch .on l`a 101, th`ı ´ıt nhâ´t c´o m .ôt h`ınh vuông nho ch´, u,a ´ıt nhâ´t 5 ¯diê,m. M`a b´an k´ınh ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p h`ınh vuông nho b`, ˘ang 1
5√5 < 1 7. J .
.
.4.2. Ch´u,ng minh r`˘ang trong m .oi khô´i ¯da di.ên lô`i tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai m .˘at c´o c`ung sô´c .anh.
L`o,i giai. K´, y hi .êu F l`a m.˘at c´o sô´c.anh l´o,n nhâ´t cua khô´i ¯, da di .ên. Nê´u sô´c .anh cua F l`a k, th`ı khô´i ¯, da di .ên c´o ´ıt nhâ´t k+1 m .˘at (v`ı c´o k m.˘at
c´o c .anh chung v´o,i F), c`on sô´ lu,.o,ng c´ac c .anh cua m˜, ôi m .˘at l`a m .ôt trong c´ac sô´ 3, 4, . . . , k. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai m .˘at
c´o c`ung sô´c .anh. J
. .
.4.3. Trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh tr`on v´o, ,i ¯du,`o,ng k´ınh 5 ¯do,n v.i, ngu,`o,i ta ch .on bâ´t k`y 10 ¯diê,m. Ch´u,ng minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ¯diê,m trong c´ac ¯diê,m ¯d˜a ch .on c´o khoang c´, ach nho ho, ,n 2.
L`o,i giai. Chia ¯, du,`o,ng tr`on
C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C1 O E D F C A B A1 B1 H`ınh 4.1: th`anh 8 re qu .at b`˘ang nhau,
v´o,i g´oco,,tâm m˜ôi re qu .at l`a, 450v`a d .u,ng ¯du,`o,ng tr`on ¯dô`ng tâm C1 v´o,i b´an k´ınh 1. K´y hi .êu C2, C3, . . . , C9 l`a nh˜u,ng h`ınh t`u, t´am re qu .at tr`u, , di¯ phâ`n m`a ¯du,`o,ng tr`on C1 d˜¯a chiê´m. C´o thê, ch´u,ng minh ¯ du,.o,c bâ´t c´u, hai ¯diê,m n`ao thu .ôc m .ôt trong ch´ın h`ınh trên ¯dê`u c´o khoang c´, ach nho,
ho,n 2. Th .ât v.ây, nê´u hai ¯diê,m ro,i v`ao ¯du,`o,ng tr`on ¯dô`ng tâm th`ı khoang c´, ach gi˜u,a ch´ung nho ho, ,n 2. Gia s, u,, hai ¯diê,m A v`a B ro,i v`ao m .ôt CDEF trong sô´ t´am re qu .at. Trên b´an k´ınh OC v`a OD lâ´y, tu,o,ng ´u,ng hai ¯diê,m A1v`a B1sao cho OA1=OA; OB1=OB, ngh˜ıa
l`a AB ≤ A1B1 (theo ¯d.inh l´y h`am cosin, b
,
o,i v`ıAOB[ ≤ \A1OB1).
Ðê,´y r`ang A˘ 1B1 ≤ max{A1D, A1E}. Th .ât v.ây ¯diê
,
m B1 n`˘am trong
¯
do .an th˘ang t .ao b, o,,i h`ınh chiê´u H cua A, 1 trên OD v`a ´ıt nhâ´t m .ôt
trong hai ¯diê,m D, E, ch˘ang h .an ¯diê, ,m D. Bo,,i v .ây h`ınh chiê´u HD cua ¯, du,`o,ng xiên A1D không b´e ho,n h`ınh chiê´u HB1 c
,
ua A1B1 trên
DA1≤max{DF, DC}, EA1 ≤max{EF, EC}. T`u,s .u,d´¯anh gi´a EF2 <CD2=OC2+OD2−2.OC.OD. cos 450 =225 4 − 25√2 4 <3, 75 <4 v`a EC2= FD2 =OF2+OD2−2OF.OD. cos 450 = 1+ 25 4 − 5√2 2 <7, 25− 5.1, 4 2 =3, 75<4, ta ¯du,.o,c AB≤ A1B1 ≤max{DF, DC, EF, EC} <2. J . .
.4.4. Gia s, u,,m˜ôi ¯diê,m trong m .ôt m .˘at phang ¯˘, du,.o,c so,n b`˘ang m .ôt trong hai mâ`u ¯do v`, a xanh. Ch´u,ng minh r`ang c´˘ o m .ôt h`ınh ch˜u,nh .ât n`ao ¯d´o trong m .˘at ph˘ang m`, a bô´n ¯dınh c, ua n´, o c`ung mâ`u.
L`o,i giai. D˜, ê thâ´y theo nguyên l´y
P1 P2 P3 P4
Q1 Q2 Q3 Q4
R1 R2 R3 R4
H`ınh 4.2: Ðirichlê, m .ôt t.âp bâ´t k`y 7 ¯diê,m
m`a so,n m .ôt trong hai mâ`u th`ı´ıt nhâ´t c´o 4 ¯diê,m c`ung mâ`u. Trên m .ôt ¯du,`o,ng thang c´˘, o 7 ¯diê,m th`ı ch´ung ta phai c´, o 4 ¯diê,m th˘ang, h`ang c`ung mâ`u, gia s, u,, d´¯o l`a P1, P2, P3, P4 c´o c`ung mâ`u ¯d
, o. Ta
chiê´u nh˜u,ng ¯diê,m n`ay xuô´ng hai ¯du,`o,ng th˘ang song song v´, o,i ¯du,`o,ng ch´u,a ch´ung t .ao ra(Q1, Q2, Q3, Q4)v`a(R1, R2, R3, R4)tu,o,ng ´u,ng v´o,i
(P1, P2, P3, P4). Nh˜u,ng ¯diê
,
m n`ay t .ao ra m .ôt sô´h`ınh ch˜u,nh .ât, ch´ung ta ch´u ´y ¯dê´n c´ac h`ınh ch˜u,nh .ât c´o ¯d,ınh l`a Pi, i = 1, 2, 3, 4. Nhu,v .ây
nê´u 2 ¯diê,m bâ´t k`y cua Q l`a ¯, do th`ı ta c´, o kê´t qua m .ôt h`ınh vuông, PiPjQjQi c´o ¯d
,
ınh c`ung mâ`u. Tu,o,ng t .u,cho c´ac ¯diê,m R. Nê´u ¯dô`ng th`o,i không c´o ¯diê,m Q v`a R thoa m˜, an tru,`o,ng h.o,p trên th`ı c´o 3 (ho .˘ac
ho,n) ¯diê,m Q n`ao ¯d´o v`a 3 ¯diê,m R n`ao ¯d´o c´o c`ung mâ`u xanh. Nhu,ng trong b .ô ba nhu,v .ây phai c´, o c .˘ap ¯dôi t.ao ra h`ınh ch˜u,nh .ât v´o,i c´ac ¯
d,ınh mâ`u xanh trong sô´c´ac ¯diê,m Q v`a R. J
. .
.4.5. Gia s, u,,m .ôt b`an c`o,h`ınh ch˜u,nh .ât c´o 4x7 ô vuông ¯du,.o,c so,n ¯den ho .˘ac tr´˘ang. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i c´ach so,n mâ`u bâ´t k`y, trong b`an c`o, luôn tô`n t .ai h`ınh ch˜u,nh .ât gô`m c´ac ô vuông, m`a bô´n ôo,,g´oc l`a c´ac ô c`ung mâ`u.
L`o,i giai. Ch´, ung ta ch´u,ng
H`ınh 4.3: minh cho b`ai to´an b`an c`o,
3× 7. M˜âu so,n mâ`u c´o thê,xâ,y ra v´o,i b`an c`o,n`ay c´o d .ang t`u, 1 ¯dê´n 8. Gia, su,, m .ôt trong sô´ c´ac c .ôt thu .ôc d.ang 1. B`ai to´an s˜e ¯
du,.o,c ch´u,ng minh nê´u tâ´t ca nh˜, u,ng c .ôt c`on l.ai trong 6 c .ôt thu .ôc c´ac d.ang 1, 2, 3, 4. Nhu,v .ây gia s, u,,tâ´t ca, c´ac c .ôt c`on l.ai thu .ôc d.ang
5, 6, 7, ho .˘ac 8. Khi ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê hai trong sô´ s´au c .ôt c´o hai c .ôt c`ung m .ôt d.ang v`a nhu, v .ây b`ai to´an c˜ung ¯du,.o,c ch´u,ng minh. Ch´u,ng minh ho`an to`an tu,o,ng t .u,nê´u m .ôt c .ôt c´o d.ang 8. Gia, su,,không c´o c .ôt n`ao trong 7 c .ôt c´o d.ang 1 ho.˘ac 8. Nhu,v .ây ta c´o 7 c .ôt v´o,i 6 d .ang. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´o hai c .ôt c`ung d.ang v`a b`ai to´an ¯du,.o,c ch´u,ng minh ¯dâ`y ¯du., J .
.
. 4.6. N˘am ¯diê,m A, B, C, D, E n`˘am trong m .ôt m .˘at phang v`˘, a t .oa ¯d.ô cua ch´, ung l`a c´ac sô´ nguyên. Ch´u,ng minh r`˘ang trong sô´ nh˜u,ng tam
