GABARITO 08 – FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS – 2020
• Dois pulsos se propagam em uma corda com velocidade de
𝟎, 𝟓 𝒎/𝒔 e em sentidos opostos. No instante 𝒕 = 𝟎, os pulsos estão
mostrados na figura ao lado. Faça o gráfico da configuração da corda nos instantes 𝒕 = 𝟏 𝒔, 𝟐 𝒔 𝒆 𝟑 𝒔.
Resolução
:Ambos os pulsos se deslocam com uma velocidade de meio metro por segundo. Abaixo as ondas e suas posições de acordo com o tempo 𝑡 = 1 𝑠, 2 𝑠, 3 𝑠 𝑒 4 𝑠. No instante t=2 s, as ondas se interferem construtivamente e, como suas bases estão no mesmo lugar, a amplitude desta interferência será a soma da amplitudes individuais. Após isso, as ondas se separam e cada uma segue o seu caminho.
1- A figura ao lado mostra uma onda senoidal propagando-se em uma corda; a curva sólida representa a forma corda no instante 𝒕 = 𝟎, a curva tracejada representa a forma da corda no instante 𝒕 = 𝟎, 𝟏 𝒔. Determine a) A amplitude; b) O comprimento de onda; c) A velocidade; d) A frequência; e) O período da onda.
Resolução
:a) A amplitude pode ser obtida diretamente do gráfico: 𝐴 = 2 𝑐𝑚.
b) O comprimento de onda é a distância de crista a crista da onda, valendo 𝜆 = 20 − 5 = 15 𝑚.
c) A velocidade de propagação da onda é obtida pela relação 𝑣 = 𝜆/𝜏. Para isso, precisamos definir o período: se a onda leva 𝑡 = 0,1 𝑠 para se mover 2,5 𝑚, para percorrer 15 𝑚, o tempo necessário
0,1 𝑠 → 2,5 𝑚 𝜏 → 15 𝑚 ⇒ 𝜏 = 15 ∙ 0,1 2,5 = 0,6 𝑠 Portanto, a velocidade 𝑣 =𝜆 𝜏 = 15 0,6= 25 𝑚/𝑠
d) A frequência é o inverso do período: 𝑓 =1
𝜏 = 1
0,6≅ 1,67 𝐻𝑧
e) E o período, obtido na questão (c), é 𝜏 = 0,6 𝑠.
2- Em 𝒕 = 𝟎, a equação de uma onda senoidal é 𝒚 = 𝟎, 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝟎, 𝟓𝝅𝒙). Onde 𝒚 e 𝒙 são dados em 𝒄𝒎. Para essa onda, calcule:
a) A amplitude;
b) Comprimento de onda em 𝒄𝒎;
c) O deslocamento vertical 𝒚 para 𝒙 = 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎; d) Desenhe essa onda no intervalo de 𝟎 𝒄𝒎 𝒂 𝟐 𝒄𝒎;
e) Se essa onda se deslocar para a direita com velocidade de 𝒗 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎/𝒔, calcule seu deslocamento vertical para 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟔 cm no instante 𝒕 = 𝟔, 𝟔 𝒎𝒔.
Lembre: uma onda se deslocando para a direita é descrita por uma função do tipo
𝒚 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 [𝟐𝝅
𝝀 (𝒙 − 𝒗𝒕)]
Resolução
:a) A amplitude é a constante multiplicando o seno da função: 𝐴 = 0,2 𝑐𝑚
b) O comprimento de onda é obtido através da magnitude do vetor de onda 𝑘 pela relação 𝑘 = 2𝜋/𝜆, lembrando que a função de onda é escrita de forma geral como 𝑦 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡). No caso da equação inicial, o tempo 𝑡 = 0, e a grandeza 𝑘 = 0,5𝜋 = 𝜋/2. Portanto
𝜆 =2𝜋 𝑘 =
2𝜋
𝜋/2= 4 𝑐𝑚
c) Para o cálculo de deslocamento vertical, basta substituir 𝑥 = 0,5 𝑐𝑚 na equação de onda: 𝑦(0,5) = 0,2 sin(0,5 ∙ 0,5 ∙ 𝜋) = 0,2 sin (𝜋
4) = 0,2 sin(45°) = 0,2 ∙ √2
2 ≅ 0,14 𝑐𝑚 d) Para visualizar a onda 𝑦 = 0,2 sin (0,5𝜋𝑥), devemos
definir seu valor para alguns valores de 𝑥 = 0, 1 𝑒 2 𝑐𝑚 a fim de desenhar seu gráfico.
𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 0,2 sin(0) = 0
𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 0,2 sin (𝜋
2) = 0,2 𝑐𝑚 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 0,2 sin(𝜋) = 0
e) Sabendo que uma função se deslocando para a direita com velocidade 𝑣 = 50 𝑐𝑚/𝑠 é descrita na forma 𝑦 = 𝐴 sin [2𝜋 𝜆 (𝑥 − 𝑣𝑡)] ⇒ 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,2 sin [ 𝜋 2(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 0,2 sin [ 𝜋 2(𝑥 − 50𝑡)] Para o ponto 𝑥 = 0,66 𝑐𝑚 no instante 𝑡 = 6,6 𝑚𝑠 = 6,6 × 10−3 𝑠:
𝑦 = 0,2 sin [𝜋 2(0,66 − 50 ∙ 6,6 × 10 −3)] = 0,2 sin [𝜋 2(0,33)] = 0,2 sin [ 𝜋 6] 𝑦 = 0,2 sin(30°) = 0,2 ∙1 2= 0,1 𝑐𝑚
f) Para o ponto 𝑥 = 0,5 𝑐𝑚 no instante 𝑡 = 40 𝑚𝑠 = 40 × 10−3 𝑠: 𝑦 = 0,2 sin [𝜋 2(0,5 − 50 ∙ 40 × 10 −3)] = 0,2 sin [𝜋 2(−1,5)] = 0,2 sin [− 3𝜋 4 ] 𝑦 = 0,2 sin(−135°) = −0,2 sin(135°) = −0,2 ∙ 0,70712 ≅ −0,14 𝑐𝑚
Nota complementar: A função seno é classificada como uma função ímpar. Isso significa que se
ela depender de uma variável, 𝑥 por exemplo, quando essa variável se tornar negativa, toda a função será negativa. Diferente da função cosseno que, quando 𝑥 se torna negativo, a função resultante permanece positiva, classificando uma função par. Abaixo, para esclarecer:
𝑓(𝑥) = sin(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 → (−𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = sin(−𝑥) = − sin(𝑥) 𝑔(𝑥) = cos(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 → (−𝑥) ⇒ 𝑔(𝑥) = cos(−𝑥) = cos (𝑥) Por isso do passo sin(−135°) = −sin (135°) no cálculo na (f).
Essas são propriedades inerentes à todas as funções. Por exemplo para funções polinomiais: ℎ(𝑥) = 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 → (−𝑥) ⇒ ℎ(𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 𝑃𝐴𝑅
3- Uma onda progressiva transversal em uma corda longa é descrita pela equação 𝒚 =
𝟏𝟎𝒔𝒊𝒏[𝝅𝒙/𝟐 − 𝝅𝒕]. Sendo 𝒚 dado em centímetros, 𝒙 em metros e 𝒕 em segundos. Desenhe a
configuração da corda até 𝒙 = 𝟒 𝒎 para os instantes 𝒕 = 𝟎, 𝝉/𝟒, 𝝉/𝟐 , 𝟑𝝉/𝟒 𝒆 𝒕 = 𝝉. Determine a amplitude, a velocidade, o período (𝝉) e a frequência da onda.
Resolução:
Para facilitar a compreensão, devemos lembrar que uma onda transversal pode ser escrita nas formas 𝑦 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 𝐴 sin (2𝜋
𝜆 ∙ 𝑥 − 2𝜋𝑓 ∙ 𝑡) = 𝐴 sin [ 2𝜋
𝜆 (𝑥 − 𝑣𝑡)] A partir dessa comparação que tiraremos os valores das grandezas de interesse.
Para a montagem gráfica, partiremos do instante inicial 𝑡 = 0 𝑠. Substituímos esse tempo na equação dada pelo exercício: 𝑦 = 10 sin (𝜋2𝑥). Uma vez que temos essa equação mais simples, substituímos valores de 𝑥 = 0, 1, 2, 3 𝑒 4 para observar o seu comportamento senoidal.
𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 10 sin(0) = 0 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 10 sin (𝜋 2) = 10 𝑐𝑚 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 10 sin(𝜋) = 0 ⇒ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑦 = 10 sin (3𝜋 2) = −10 𝑐𝑚 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 10 sin(2𝜋) = 0
Para os demais instantes de análise, eu farei uma breve manipulação de equação para facilitar os cálculos, pois ainda não temos conhecimento do valor do período 𝜏. Na expressão da função, manipulamos o último termo (𝜔𝑡) dentro do seno, lembrando que 𝑓 = 1/𝜏.
𝑦(𝑥, 𝑡) = 10 sin (𝜋 2𝑥 − 2𝜋𝑓 ∙ 𝑡) = 10 sin ( 𝜋 2𝑥 − 2𝜋 ∙ 1 𝜏 ∙ 𝑡 )
Agora, substituímos os valores de 𝑡 = 𝜏/4, 𝜏/2, 3𝜏/4 𝑒 𝜏 e cortamos a grandeza do período. Para o primeiro caso 𝑡 = 𝜏/4: 𝑦 (𝑥,𝜏4) = 10 sin (𝜋
2𝑥 − 𝜋
2) = 10 sin [ 𝜋
2(𝑥 − 1)]. Substituindo valores
de x da mesma forma que antes, temos
𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 10 sin (−𝜋 2) = −10 𝑐𝑚 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 10 sin(0) = 0 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 10 sin (𝜋 2) = 10 𝑐𝑚 ⇒ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑦 = 10 sin(𝜋) = 0 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 10 sin (3𝜋 2) = −10 𝑐𝑚
De forma análoga para os demais casos de interesse, com um pouco de manipulação, temos as seguintes funções: 𝑡 =𝜏 2 ⇒ 𝑦 (𝑥, 𝜏 2) = 10 sin [ 𝜋 2(𝑥 − 2)] 𝑡 =3𝜏 4 ⇒ 𝑦 (𝑥, 3𝜏 4) = 10 sin [ 𝜋 2(𝑥 − 3)] 𝑡 = 𝜏 ⇒ 𝑦(𝑥, 𝜏) = 10 sin [𝜋 2(𝑥 − 4)]
Uma vez que temos a função para cada um dos casos, basta substituir os valores de 𝑥 e montar o gráfico senoidal.
Note que para esse último caso, 𝑡 = 𝜏, o gráfico é idêntico ao caso inicial 𝑡 = 0. Essa é a propriedade de um período: após um tempo característico, a função senoidal se repete.
Por fim, determinaremos os valores das grandezas a partir da função
𝑦 = 10 sin (𝜋
2𝑥 − 𝜋𝑡)
A amplitude é a constante multiplicativa na frente e vale 𝐴 = 10 𝑐𝑚.
Para definir a velocidade, definiremos antes o comprimento de onda: 𝑘 =2𝜋 𝜆 → 𝑘 = 𝜋 2 ⇒ 𝜆 = 2𝜋 𝑘 = 4 𝑚 E a frequência, para obter o período:
𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝜔 = 𝜋 ⇒ 𝑓 = 𝜔 2𝜋= 1 2 𝐻𝑧 ⇒ 𝜏 = 1 𝑓= 2 𝑠
Finalmente a velocidade da onda é dada por
𝑣 =
𝜆𝜏
=
4
2
= 2 𝑚/𝑠.
Então, temos uma onda transversal de comprimento de onda 𝜆 = 4 𝑚, com amplitude de oscilação 𝐴 = 10 𝑐𝑚, frequência 𝑓 = 0,5 𝐻𝑧, período 𝜏 = 2 𝑠 e velocidade de propagação 𝑣 = 2 𝑚/𝑠.
4- A equação 𝒚 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) pode representar tanto uma onda progressiva longitudinal quanto uma onda progressiva transversal. Diga qual o significado de cada uma das variáveis 𝒙 e 𝒚 para cada um desses tipos de ondas.
Resolução
:Para a onda transversal, como a que se propaga numa corda, as variáveis x e y representam a posição na extensão da corda e a altura que a onda atinge, respectivamente. Importante pontual que a direção de propagação e de vibração são perpendiculares entre si.
Para uma onda longitudinal, como a que se propaga o som, as variáveis representam a posição no meio onde a onda está se propagando e a pressão variante pela presença da onda, respectivamente, onde a direção de propagação e de vibração se dão no mesmo sentido. Essas ondas são comumente expressas como 𝑃 = 𝑃0sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) onde 𝑃0 é a amplitude de pressão da onda.
5- Quando a tensão em uma corda é 𝟏𝟎𝟎 𝑵, a velocidade de um pulso é 𝟏𝟐𝟎 𝒎/𝒔. Qual a velocidade do pulso quando a tensão é 𝟐𝟎𝟎 𝑵?
Resolução:
Usando da relação 𝑣 = √𝑇/𝜇 podemos relacionar os dois casos. Como não há variação na massa da corda e no seu comprimento, sua densidade linear 𝜇 permanece igual. Chamando a primeira situação de 𝑣1 𝑒 𝑇1 e a segunda de 𝑣2 𝑒 𝑇2, podemos surgir com uma relação entre esses componentes:
𝑣1 = √𝑇1 𝜇 ⇒ 𝑣1 2 = 𝑇1 𝜇 ⇒ 𝜇 = 𝑇1𝑣1 2 = 𝑇 2𝑣22 𝑇1𝑣12 = 𝑇2𝑣22 → 100 ∙ 1202 = 200 ∙ 𝑣22 → 𝑣2 = √7200 ≅ 85 𝑚/𝑠
6- Uma corda elástica de 𝟎, 𝟖 𝒈/𝒄𝒎³ de densidade e seção transversal de 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎² é submetida a uma tensão de 𝟏𝟎𝟎 𝑵. Em um extremo da corta existe uma fonte que gera pulsos com uma frequência de 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝑯𝒛. Qual é o comprimento do pulso que se propaga através da corda?
Resolução:
A partir da densidade volumétrica (𝑘𝑔/𝑚3) e a seção transversal (𝑚2) podemos definir uma
densidade linear (𝑘𝑔/𝑚). Antes, convertendo as grandezas 𝜌 𝑒 𝐴 para as unidades adequadas: 𝜌 = 0,8 [ 𝑔 𝑐𝑚3] = 0,8 [ 10−3 𝑘𝑔 10−6 𝑚3] = 0,8 × 103 𝑘𝑔/𝑚3 ; 𝐴 = 0,5 𝑐𝑚2 = 0,5 × 10−4 𝑚2 𝜇 = 𝜌 ∙ 𝐴 = (0,8 × 103 [𝑘𝑔 𝑚3]) ∙ (0,5 × 10 −4 [𝑚2]) ⇒ 𝜇 = 0,04 𝑘𝑔/𝑚
A partir de 𝜇 𝑒 𝑇, podemos definir a velocidade de propagação de uma onda nessa corda:
𝑣 = √𝑇 𝜇= √
100
0,04= √2500 = 50 𝑚/𝑠
Finalmente, para definir o comprimento do pulso, isso é, o comprimento de onda, usamos da relação 𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝜆 =𝑣
𝑓 = 50
2000= 0,025 𝑚 = 2,5 𝑐𝑚
7- Uma corda de guitarra tem uma densidade linear 𝝁 = 𝟑, 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟑𝑲𝒈/𝒎. Qual a velocidade das
ondas transversais na corda quando esta é tensionada em 𝟗𝟎 𝑵?
Resolução:
Usamos da relação diretamente:
𝑣 = √𝑇 𝜇= √
90
3,2 × 10−3= √28125 = 167,7 𝑚/𝑠
8- A velocidade do som no ar a 𝟐𝟎°𝑪 é de 𝟑𝟒𝟎 𝒎/𝒔.
a) Qual o comprimento de onda de um som cuja frequência é 𝟑𝟐 𝑯𝒛 e que corresponde à nota mais grave em um tubo de órgão de tamanho médio?
b) Qual a frequência de uma onda cujo comprimento de onda é de 𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒎, correspondendo aproximadamente à nota ré acima do dó médio no piano?
Dica: Lembre-se que a velocidade da onda não muda.
Resolução:
Para ambas as questões usamos da mesma relação: 𝑣 = 𝜆𝑓 a) Substituindo diretamente:
340 = 𝜆 ∙ 32 → 𝜆 = 340
32 ≅ 10,6 𝑚
b) Transformando o comprimento de onda nas unidades adequadas: 𝜆 = 122 𝑐𝑚 = 1,22 𝑚 340 = 1,22 ∙ 𝑓 → 𝑓 = 340
1,22≅ 278,7 𝐻𝑧
9- Duas ondas estacionárias possuem a mesma amplitude, comprimento de onda e velocidade de propagação. Qual deve ser a diferença de fase para que ocorram:
a) Interferência destrutiva; b) Interferência construtiva.
Resolução:
a) Ocorrerá interferência completamente destrutiva quando as partes sobrepostas estiverem em lados diferentes do eixo horizontal, ou seja, quando a fase entre as ondas for 𝛿 = 𝜋, apresentada ao lado. Importante ressaltar que poderá ocorrer interferências destrutivas
para qualquer fase colocada, desde que uma parte de crista de uma das ondas esteja sobre uma parte de vale da outra.
b) A interferência completamente construtiva ocorrerá quando a fase entre as ondas for 𝛿 = 0 𝑜𝑢 2𝜋. Na imagem representei uma onda ligeiramente maior do que a onda para que seja possível ver ambas as ondas na mesma posição. Aqui também cabe a nota de que é possível encontrar interferências positivas para qualquer fase, desde que partes das cristas de ambas as ondas estejam sobrepostas.
10- Uma corda de 𝟎, 𝟔𝟐 𝒌𝒈 e 𝟎, 𝟐 𝒎 de comprimento é fixada em ambas as extremidades. Se a tensão aplicada à corda for de 𝟗𝟔 𝑵, é possível produzir uma onda sonora cuja decomposição em componentes de Fourier no instante 𝒕 = 𝟎 é apresentada ao lado. Use das relações para resolver: 𝒗 = √𝑻/𝝁 𝒆 𝒗 = 𝝀𝒇.
a) Determine a velocidade de propagação das ondas (todas possuem o mesmo 𝒗)
b) Suponha que nestas mesmas condições, isso é, mesmo comprimento e mesma tensão, a corda fosse substituída por uma de maior massa. Nesse caso, o que aconteceria com as frequências do som produzido?
c) Retornando para o caso da corda inicial, se agora a tensão fosse aumentada, o que ocorreria com as frequências?
d) Desenhe o espectro de frequências deste som em um gráfico de |𝑨| × 𝒇. Use os comprimentos de onda 𝝀𝟏 = 𝟎, 𝟒 𝒎, 𝝀𝟐= 𝟎, 𝟐 𝒎 𝒆 𝝀𝟑= 𝟎, 𝟏 𝒎 para calcular 𝒇.
Resolução:
a) Sendo 𝑇 = 96 𝑁 a tensão aplicada à corda e 𝜇 = 𝑚𝐿 = 0,62
0,2 = 3,1 𝑘𝑔/𝑚 a densidade linear da corda,
usamos da relação dada para obter 𝑣
𝑣 = √𝑇 𝜇 = √
96
3,1= √30,97 ≅ 5,6 𝑚/𝑠
b) Analisando a mesma relação de velocidade, se a massa 𝑚 da corda aumentar, sua densidade linear 𝜇 também aumentará. Como a velocidade é inversamente proporcional à raiz de 𝜇, isso é, o quadrado da velocidade é inversamente proporcional à 𝜇
𝑣 ∝ 1
√𝜇 → 𝑣
2 ∝1
𝜇 ⇒ 𝜇 ↑ , 𝑣
Conforme 𝜇 aumenta, a velocidade diminui numa proporção maior do que a diminuição de 𝜇. Partindo da relação entre 𝑣 e 𝑓 (𝑣 = 𝜆𝑓), vemos que a frequência é diretamente proporcional à velocidade, então se 𝑣 diminuir, 𝑓 também diminui e na mesma proporção. Isso nos diz então que as frequências de todas as ondas que compõem o som diminuem, “alargando” as ondas, tornando o som mais grave, tendo períodos associados bem maiores.
c) Seguindo uma lógica similar à usada em (b): analisando a mesma relação, se a tensão for aumentada, a velocidade aumentará quadraticamente de forma diretamente proporcional.
𝑣 ∝ √𝑇 → 𝑣2 ∝ 𝑇 ⇒ 𝑇 ↑ , 𝑣2 ↑
Uma vez que a velocidade aumenta, a frequência também irá aumentar e na mesma proporção, diminuindo o período de cada uma das ondas e tornando o som mais agudo.
d) Voltando para o caso inicial onde as ondas possuem velocidade 𝑣 = 5,6 𝑚/𝑠, calculamos cada uma das frequências usando dos comprimentos de onda fornecidos. Ao lado, a amplitude da onda associada, em 𝑐𝑚. 𝑓1 = 𝑣 𝜆1 = 5,6 0,4= 14 𝐻𝑧 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 |𝐴1| = 5 𝑐𝑚 ⇒ (14, 5) 𝑓2 = 𝑣 𝜆2 = 5,6 0,2= 28 𝐻𝑧 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 |𝐴2| = 2 𝑐𝑚 ⇒ (28, 2) 𝑓3 = 𝑣 𝜆3 = 5,6 0,1= 56 𝐻𝑧 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 |𝐴3| = 3 𝑐𝑚 ⇒ (56, 3) Uma vez que temos cada um dos pontos, basta montar o gráfico |𝐴| × 𝑓.
11- Uma onda sonora de um nível de intensidade de 80 dB incide sobre um tímpano de área 0,6 cm². Quanta energia absorve o tímpano em 3 minutos? Use: 𝜷 = 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠 (𝑰𝑰
𝟎) 𝒆 𝑰 =
𝑬 𝑨∙𝚫𝒕
Resolução:
O primeiro passo é determinar a intensidade sonora associada a esse nível em dB. Aplicamos uma base exponencial 10 em ambos os lados da primeira expressão e isolamos 𝐼, lembrando que 𝐼0 =
10−12 𝑊/𝑚2: 𝛽 = 10 log (𝐼 𝐼0) → 𝛽 10= log ( 𝐼 𝐼0) → 10 𝛽 10= 10log( 𝐼 𝐼0) ⇒ 𝐼 𝐼0 = 10 𝛽/10 = 1080/10 = 108 𝐼 = 108∙ 𝐼 0 = 108∙ 10−12 ⇒ 𝐼 = 10−4 𝑊/𝑚2
Uma vez que temos 𝐼, usamos da segunda relação para obter a energia absorvida pelo tímpano com área 𝐴 = 0,6 𝑐𝑚2 = 0,6 × 10−4 𝑚2 por Δ𝑡 = 3 𝑚𝑖𝑛 = 180 𝑠. 𝐼 = 𝐸 𝐴 ∙ Δ𝑡 → 𝐸 = 𝐼 ∙ 𝐴 ∙ Δ𝑡 = (10 −4 [𝑊 𝑚2]) ∙ (0,6 × 10−4 [𝑚2]) ∙ (180 [𝑠]) = 1,08 × 10−6 𝐽
12- Para obedecer aos requisitos legais, um fabricante desenhou seus carros com um ruído máximo de 80 dB, correspondente ao limite legal. Um teste na estrada com um desses carros revelou que o ruído máximo era de 𝟗𝟎 𝒅𝑩. O fabricante afirma que a diferença entre a intensidade medida e o limite legal é desprezível. Calcule o aumento na intensidade do ruído e verifique a afirmação do fabricante.
Resolução
:Para calcular a intensidade para cada um dos valores de ruído, usamos da relação abaixo, lembrando que a intensidade limite vale 𝐼0 = 10−12 𝑊/𝑚2.
𝛽 = 10 log (𝐼 𝐼0) → 𝛽 10= log ( 𝐼 𝐼0) → 10 𝛽/10 = 10log(𝐼/𝐼0) → 𝐼 = 𝐼 0∙ 10𝛽/10 Calculando: 𝛽 = 80 𝑑𝐵 → 𝐼 = 10−12∙ 108 = 10−4 𝑊/𝑚2 𝛽 = 90 𝑑𝐵 → 𝐼 = 10−12∙ 109 = 10−3 𝑊/𝑚2
Embora seja comum uma rua barulhenta apresentar nível de ruído de 90 𝑑𝐵, não quer dizer que esteja correto. A diferença na intensidade entre o permitido por lei e o que o carro produz não é completamente desprezível, diferindo por uma ordem 10 de grandeza. Isso significa que intensidade sonora produzida pelo carro é 10 vezes maior que a intensidade permitida por lei.
13- Uma onda ultrassônica com 𝟑𝟎 𝑯𝒛 de frequência, ao propagar-se em um meio, possui comprimento de onda igual a 𝟐 𝒅𝒎. Ao passar para outro meio diferente, o comprimento de onda torna-se igual a 3 dm. Calcule a velocidade de propagação dessa onda ultrassônica:
a) No meio onde 𝝀 = 𝟐 𝒅𝒎 = 𝟎, 𝟐 𝒎; b) No meio onde 𝝀 = 𝟑 𝒅𝒎 = 𝟎, 𝟑 𝒎
Resolução:
a) Partindo da relação entre velocidade e frequência, temos 𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑓 = 0,2 ∙ 30 = 6 𝑚/𝑠 b) De forma análoga
𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑓 = 0,3 ∙ 30 = 9 𝑚/𝑠
14- As ondas ultrassônicas têm muitas aplicações tecnológicas e médicas pelo fato de altas intensidades poderem ser usadas sem causar danos ao ouvido. Considere uma onda de ultrassom com intensidade de 𝟏𝟎 𝑾/𝒄𝒎². Use das relações 𝜷 = 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠 (𝑰𝑰
𝟎) 𝒆 𝑰 =
𝑬 𝑨𝚫𝒕=
𝑷𝟎𝟐
𝟐𝝆𝒗 e calcule,
prestando atenção nas unidades:
b) A energia transmitida em uma superfície de 𝟏 𝒄𝒎² em 𝟏 𝒎𝒊𝒏; c) A amplitude de onda de variação de pressão no ar;
d) A intensidade na água de uma onda ultrassônica com amplitude de pressão encontrada em (c). Use:𝝆𝒂𝒓= 𝟏, 𝟐𝟗𝒌𝒈/𝒎³; 𝝆á𝒈𝒖𝒂= 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑; 𝒗𝒂𝒓 = 𝟑𝟒𝟑 𝒎/𝒔 𝒂 𝟐𝟎°𝑪; 𝒗á𝒈𝒖𝒂 = 𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒔
Resolução:
a) Para calcular o nível de intensidade em dB, usamos da relação fornecida, onde a intensidade limite vale 𝐼0 = 10−12𝑊/𝑚2. Transformando a intensidade dada pelo exercício nas devidas
unidades: 𝐼 = 10 [ 𝑊 𝑐𝑚2] = 10 [ 𝑊 (10−2 𝑚)2] = 10 [ 𝑊 10−4 𝑚2] = 10 5 𝑊/𝑚2
Substituindo os valores, temos 𝛽 = 10 log (𝐼 𝐼0 ) = 10 log ( 10 5 10−12) = 10 log(1017) = 10 ∙ 17 log(10) 𝛽 = 170 𝑑𝐵
b) Para calcular a energia, partimos da segunda relação 𝐼 = 𝐸 𝐴 ∙ Δ𝑡 → 𝐸 = 𝐼 ∙ 𝐴 ∙ Δ𝑡 = (10 5 [𝑊 𝑚2]) ∙ (10 −4[𝑚2]) ∙ (60 [𝑠]) 𝐸 = 600 𝐽 Lembrando que 1 𝑊 = 1 𝐽/𝑠.
c) Como trata-se de uma onda sonora, ela se propaga de forma longitudinal, comprimindo e expandido a matéria presente no ambiente de propagação, seguindo uma relação de onda da forma 𝑃 = 𝑃0sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡). A amplitude de pressão 𝑃0 é calculada também pela segunda relação
dada pelo exercício. 𝐼𝐴𝑅 = 𝑃0 2 2𝜌𝐴𝑅𝑣𝐴𝑅 → 𝑃0 2 = 2 ∙ 𝐼 𝐴𝑅∙ 𝜌𝐴𝑅∙ 𝑣𝐴𝑅 = 2 ∙ (105 [ 𝑊 𝑚2]) ∙ (1,29 [ 𝑘𝑔 𝑚3]) ∙ (343 [ 𝑚 𝑠]) 𝑃02 = 88,5 × 106 ⇒ 𝑃 0 ≅ 9,4 × 103 𝑃𝑎
d) Agora, sabendo que na água uma onda se propaga com essa mesma intensidade 𝑃0, calculamos a intensidade 𝐼Á𝐺𝑈𝐴: 𝐼Á𝐺𝑈𝐴 = 𝑃0 2 2𝜌Á𝐺𝑈𝐴𝑣Á𝐺𝑈𝐴 = (9,4 × 103 𝑃𝑎)2 2 ∙ (103[𝑘𝑔 𝑚3]) ∙ (1500 [ 𝑚 𝑠 ]) ⇒ 𝐼Á𝐺𝑈𝐴= 29,45 𝑊/𝑚2
15- Calcule o comprimento de onda e a magnitude do vetor de onda das ondas de rádio emitidas por uma:
a) Emissora de FM que opera a 𝟏𝟎𝟎 𝑴𝑯𝒛; b) Estação de AM que opera a 𝟏𝟎𝟎 𝑲𝑯𝒛.
Resolução
:Sabendo que ondas de rádio se movimentam com velocidade igual à da luz 𝑐 = 3 × 108 𝑚/𝑠, partimos da relação 𝑐 = 𝜆𝑓 para obter os comprimentos de onda. A partir disso, usamos da relação 𝑘 = 2𝜋/𝜆 para obter a magnitude do vetor de onda.
𝜆𝐹𝑀 = 3 × 10 8 108 = 3 𝑚 𝑘𝐹𝑀 = 2𝜋 𝜆𝐹𝑀 = 2𝜋 3 = 0,67𝜋 ≅ 2,1 𝑚 −1 b) Emissora de AM: 𝑓 = 100 × 103 𝐻𝑧 = 105 𝐻𝑧 𝜆𝐴𝑀 = 3 × 108 105 = 3 × 103 = 3000 𝑚 𝑘𝐴𝑀 = 2𝜋 𝜆𝐴𝑀 = 2𝜋 3 × 103 = 0,67𝜋 × 10−3≅ 2,1 × 10−3 𝑚−1
16- Qual é a frequência de uma onda eletromagnética que tem o mesmo comprimento de onda de uma onda ultrassônica de frequência 𝟏𝟎𝟓 𝑯𝒛? Use: 𝝀 = 𝒗/𝒇
Resolução
:Antes, precisamos determinar o comprimento de onda da onda ultrassônica. Sabe-se que essa se movimenta no ar com velocidade aproximada 𝑣 = 340 𝑚/𝑠. Portanto, temos
𝜆 =𝑣 𝑓 =
340
105 = 340 × 10−5 = 3,4 × 10−3 𝑚
Sabendo que a onda eletromagnética se movimenta com velocidade igual à da luz 𝑐 = 3 × 108 𝑚/𝑠, usamos da mesma relação para determinar sua frequência.
𝑓 =𝑣 𝜆 =
3 × 108
