Guia do Professor. Conteúdos Digitais. Simulador. Funções do Primeiro Grau Simuladores

Guia do Professor

Funções do Primeiro Grau

Simuladores

Conteúdos Digitais

DISTRIBUIÇÃO GRATUITA IMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Alexandre Direne Andrey Pimentel Fabiano Silva Laura Garcia Luis Bona Marcos Castilho Marcos Sunye Danilo Picolotto Derik da Silva Diego Marczal Felipe Moreschi Fernando Coelho Gabriel Ramos Grazielle Vernize Jonatas Teixeira Luan dos Santos Raphael Andrade Leandro Ferreira Luciana Gastaldi Lourdes Almeida Marcia Cyrino Jorge Luis Salvi Juliana Bueno Rose Shimizu Andre Machado

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline Sentone

Juliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estado da Educação do Paraná

SIMULADOR

FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

1 Introdução

O simulador “Funções do primeiro grau” é constituído por oito seções e seis exercícios que apresentam situações que permitem discutir o conceito de função, o comportamento de uma função, diferentes tipos de representação de uma função (gráfica, tabular e analítica), dando ênfase ao estudo da função linear.

Para passar de uma página a outra, deve-se clicar na seta amarela que fica no canto infe-rior da tela. Na mesma linha, encontram-se três ícones: o primeiro fornece um glossário de termos para acesso rápido às definições resumidas, o segundo, um bloco de anotações e o terceiro, uma calculadora.

Nos exercícios propostos o aluno, caso cometa algum erro, poderá buscar sozinho a cor-reção do mesmo, pois o simulador possibilita uma interatividade na busca da solução para os exercícios com sinalização imediata da ocorrência de erro. Há possibilidade de retroação aos erros que forem cometidos pelo aluno, incluindo um sub-ambiente para a tentativa de correção (isso pode ser observado por meio de um botão circular vermelho que fica no canto inferior direito – esse botão só “aparece” depois que o usuário comete o primeiro erro em qualquer exercício). Um outro dispositivo interessante é a existência de um teclado virtu-al para a entrada naturvirtu-al de expressões na representação anvirtu-alítica. Este teclado apresenta como única opção a letra n para designar a variável, deve ser utilizada a vírgula para decimais

e x para a operação de multiplicação. Depois de digitada a expressão, deve-se clicar em enviar.

1.1 O conceito de função

O objetivo principal deste quadro é chamar a atenção para a interdependência e a flu-ência de um fenômeno, características essenciais para investigá-lo e fazer previsões sobre seu comportamento futuro.

Na figura, aparece uma corda amarrada a um osso em uma extremidade e ao rabo de um cachorro na outra, de tal forma que, quando o cachorro corre atrás do osso, este se desloca, fazendo com que o cachorro nunca o alcance. Assim, o deslocamento do osso é totalmente dependente do deslocamento do cachorro. Outros fatores poderiam influen-ciar nesta corrida do cachorro, como a sua fome, o aroma do osso, a boa saúde do animal, entre outros, mas para se estudar uma situação é impossível observar todos os fatores que a influenciam, fazendo-se necessário o destaque de apenas um foco, abstraindo-se de todos os outros fatores aos quais a situação está relacionada . Escolhidos os dois fatores principais, no caso, o deslocamento do osso e o deslocamento do cachorro, a próxima coi-sa a ser feita será arranjar uma representação simbólica para os conjuntos, caso contrário, teríamos sempre que estar às voltas com tabelas de resultados particulares e não teríamos uma generalidade conveniente. Essa representação simbólica consegue-se introduzindo o conceito de variável, que seria um símbolo capaz de representar qualquer dos elementos de um conjunto, sem coincidir individualmente com algum.

Poderíamos neste caso, por exemplo designar por x a variável deslocamento do

ca-chorro e por y o deslocamento do osso. Percebe-se na relação entre elas que a variável y é

função da variável x. Chamamos à variável x, antecedente da correspondência, de variável

independente. À variável y, chamamos de variável dependente.

A observação do fato permite estudar a frequência de repetições e prever resultados,

por meio da regularidade do fenômeno. Dizemos que a variável y é função da variável x

Assim, o conceito de função surge como o instrumento próprio para o estudo das leis.

1.2. Comportamento de uma função

O comportamento de uma função pode ser estudado por meio de tabelas ou de grá-ficos. No caso, a figura representa o gráfico do fenômeno do lançamento de uma bola para cima cuja altura (variável dependente) está em função do seu alcance (variável in-dependente). Num gráfico é convenção colocar-se a variável dependente no eixo vertical e a variável independente no eixo horizontal. O gráfico de uma função é o conjunto de pontos (x,y) do plano tal que y=f(x).

O exemplo em questão apresenta um gráfico não linear.

1.3 Função do Primeiro Grau com sua representação gráfica

Nessa seção, o objetivo é introduzir as atividades que serão desenvolvidas a seguir, que dizem respeito a um sistema massa/mola, no qual o comprimento/alongamento da mola está em função do seu peso. O peso (variável independente) é dado pelo número de moedas co-locadas na balança, e o comprimento (variável dependente) está em função do número de moedas e é medido em centímetros.

Vale a pena, nesse momento, destacar os conceitos de variável discreta e variável contínua. Uma variável discreta é aquela que se pode contar: no caso, uma moeda, duas moedas e assim por diante. Perceba que, neste caso, só se utiliza quantidades inteiras, não existe meia moeda, por exemplo. Já uma variável é contínua quando se pode medi-la. O compri-mento é um exemplo de variável contínua, pois pode ser subdividido e ser medido em cm. Percebe-se pelo gráfico, que, com o prato vazio, sem moeda alguma, o comprimento da mola (Y) é de 3cm (ponto (0,3)). Já com 1 moeda (n=1), o comprimento vai para 5cm (ponto (1,5), com duas (n=2) vai para 7cm (ponto (2,7), com três moedas para 9 cm (ponto (3,9) e assim por diante. Esses dados podem ser organizados em uma tabela (veja seção seguinte).

1.4 Função do Primeiro Grau com suas representações tabular e

analítica

Este quadro traz a tabela que representa o comprimento da mola em função de di-ferentes pesos. Vale a pena destacar que a convenção é não fechar a tabela e colocar a variável independente à esquerda e a variável dependente à direita. Nas atividades que se seguem, o aluno deverá encontrar uma expressão analítica que generalize a função

Comprimento da mola, de tal forma que para qualquer peso n, encontra-se o respectivo

comprimento. No caso, pode-se afirmar que a cada moeda colocada, a mola alonga 2cm. Como o comprimento inicial da mola era de 3cm, infere-se que a lei que fornece o com-primento da mola é:

Y = 2n + 3

Caso o aluno não consiga a generalização, aconselha-se a entrar com um número gran-de gran-de moedas (por exemplo, 25) e perguntar quais são os cálculos necessários para que ele possa calcular o comprimento. A resposta pode, nesse caso, ser: 3 + 2 . 25.

Uma outra sugestão é pedir para que os alunos considerem apenas o alongamento. Neste caso, deve-se desconsiderar o comprimento inicial da mola e levar em consideração apenas o quanto a mola se alongou. Neste caso, como ela está alongando 2 cm a cada moeda, o alongamento é dado pela expressão analítica:

Esta expressão representa uma função do primeiro grau que passa pela origem. Ela também é chamada de função linear.

1.5. Generalização de uma função do Primeiro Grau

As seções 5 e 6 trazem os gráficos de duas funções do primeiro grau genéricas, uma crescente e a outra decrescente, ambas da forma

Y=ax+b

Se a reta r é o gráfico da função afim então o coeficiente é chamado

inclinação ou coeficiente angular da reta r, e pode ser obtido por meio do cálculo da

tan-gente trigonométrica do ângulo que a reta r faz com o eixo Ox. Perceba, na Figura 1,

que o ângulo formado pela reta r e o eixo x é o mesmo que o ângulo P₂P₁P₂’. Desse modo,

,

onde (x₁,y₁) e (x₂,y₂) são dois pontos distintos quaisquer de r.

Para deduzir-se a equação da reta r, toma-se dois pontos conhecidos da reta, por exem-plo, P1(x₁,y₁) e P2(x₂,y₂) e um ponto genérico P(x,y) e trabalha-se com a igualdade da tangente do ângulo agudo para os triângulos P₂P₁P₂’ e PP₁P’, como mostrado a seguir.

Figura 1: Representação gráfica de uma função do 1º grau

Assim, toda vez que tivermos que construir o gráfico de uma função, saberemos que é uma reta, bastando, portanto, determinar apenas dois de seus pontos.

Quando o valor de a>0, a função é crescente, ou seja, os valores de x e y crescem na mesma proporção.

Quando o valor de a<0, a função é decrescente, ou seja, quando o valor de x cresce o valor de y decresce na mesma proporção.

O ponto onde o gráfico corta o eixo x, correspondente ao valor de x tal que f(x)=0 é chamado de zero ou raiz da função de 1° grau.

O ponto onde o gráfico corta o eixo y, corresponde ao valor de y no qual x=0, ou seja, y=b e é chamado de coeficiente linear.

1.6. Aplicação

Na seção 7 temos um sistema de roldanas móveis, no qual a interdependência entre as quantidades de moedas em cada prato é regida por uma função do primeiro grau. Cabe ao usuário descobrir essa lei. A montagem do gráfico é feita automaticamente.

2 Objetivos

• Conceituar função e função do 1º grau.

• Conhecer diferentes tipos de representação de uma função do 1º grau (tabular, analí-tica e gráfica).

• Efetuar conversões entre diferentes tipos de representação de uma função do 1º grau.

• Reconhecer uma função do 1º grau por meio de sua representação gráfica e analítica.

• Identificar e determinar os coeficientes de uma função do 1º grau.

3 Tempo previsto para a atividade

O tempo previsto para a atividade com o software no laboratório é de aproximada-mente uma hora e meia. No entanto, esse tempo pode variar de acordo com o potencial de intervenção do professor antes da execução da atividade ou mesmo durante a ativi-dade. Recomenda-se que o professor utilize a oportunidade dos momentos no ambiente laboratorial, fora do âmbito hierárquico de sala de aula, para explorar as possíveis suges-tões de desenvolvimento da atividade vindas dos próprios alunos.

4 Sugestão de atividade

Após o trabalho no laboratório o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conhecimentos sobre os conteúdos abordados no simulador. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1

Represente graficamente as funções y=3x e y=3x+3, e meça o ângulo formado entre as retas que representam a função e o eixo O_X. A seguir responda:

a) qual o valor de ?

b) qual o valor do coeficiente angular de ambas as funções? c) qual o valor do coeficiente linear?

Comentários:

O professor pode chamar a atenção dos alunos para o fato de que em ambas as

fun-ções o coeficiente angular é a=3 e o ângulo de inclinação é = 72°. Já o coeficiente

linear b varia, porque b=0 em y=3x e b=3 em y=3x+3.

Atividade 2

As funções da atividade 1 têm o mesmo coeficiente angular, mas com coeficientes line-ares diferentes. Observe os gráficos construídos na atividade 1 e responda:

a) o que é possível dizer sobre os gráficos? Há alguma mudança no gráfico? b) em que ponto cada gráfico corta o eixo O_y?

Comentários

Se mantivermos a mesma escala na construção dos gráficos podemos perceber que as retas são paralelas. A variação no coeficiente linear causa uma variação, uma translação vertical do gráfico da função.

O gráfico de toda função do 1° grau f(x)=ax+b, a≠0, intercepta o eixo O_Y no ponto (0, b).

Atividade 3

Observe os gráficos a seguir e responda e identifique qual representa uma função cres-cente e qual representa uma função decrescres-cente.

a) b)

Comentários

A reta representará uma função crescente se a>0 ou uma função decrescente se a<0.

5 No laboratório de computadores

5.1 Material necessário

A rigor, não é necessário material adicional ao equipamento técnico (ver hardware e

software descritos a seguir). No entanto, alguns alunos podem preferir fazer anotações

com lápis em papel durante o trabalho com o simulador. Adicionalmente, o professor pode solicitar a entrega de algum trabalho após o uso da ferramenta, o que também pode exigir o uso de instrumentos tradicionais de escrita, por exemplo, se não houver uma impressora disponível.

5.2 Requisitos técnicos

É necessário que os computadores do laboratório tenham:

• CD com o software ou uma conexão com a Internet (qualquer velocidade);

• qualquer Sistema Operacional (exemplos: Ubuntu Linux, Kurumin Linux, Debian Linux,

Windows 98, Windows XP, Windows Vista, etc) instalado;

• qualquer Navegador Web (Web browser) que suporte Java (exemplos: Mozilla Firefox,

Epiphany, Opera, Internet Explorer, etc) instalado;

• e o Java JRE 1.6 instalado.

6 Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos como os sugeridos anteriormente. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.

7 Sugestões de sítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas: http://www.ime.unicamp.br/~lem/publica/e_sebast/conc_fun.pdf

http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Conceito-funcao.pdf

8 Indicações de leituras

CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 2ª ed. Lisboa/Portugal: Gradiva, 1998. MOURA, M. O. de; MORETTI, V. D. Investigando a aprendizagem do conceito de função a partir dos conhecimentos právios e das interações sociais. Ciência & Educação, v. 9, n. 1, p. 67-82, 2003.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do Ensino Funda-mental e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008

Realização: