Exame de Matem ´atica Discreta — 2019.1
A prova ´e individual, sem consulta e ´e proibido usar qualquer eletrˆonico. Pode responder as quest˜oes usando l´apis (deixe as resoluc¸˜oes leg´ıveis caso a folha seja de papel reciclado) e em qualquer ordem. Devolver a folha de quest˜oes no final da prova.
´
E prefer´ıvel responder menos quest˜oes mas com qualidade do que muitas quest˜oes mal res-pondidas; um exerc´ıcio certo vale mais que dois meio-certos. Tamb´em ´e prefer´ıvel responder quest˜oes em temas diferentes do que no mesmo tema.
A prova tem 8 quest˜oes. Para a avaliac¸˜ao ser˜ao consideradas 6 quest˜oes. Caso resolva mais quest˜oes, vocˆe deve indicar quais 6 devem ser consideradas. Resposta sem justificativa n˜ao ser´a considerada. Eventualmente, a prova n˜ao ser´a corrigida at´e o prazo de lanc¸amento de notas, nesse caso os conceitos ser˜ao lanc¸ados no pr´oximo quadrimestre.
(1) Definic¸˜ao 1. Umacadeia bin´aria ´e uma sequˆencia de numerais (ou bits) 0 e 1 usualmente escritos um seguido do outro e n˜ao separados por v´ırgulas como, por exemplo, 01001. Podemos, alternativamente, definir recursivamente o conjunto { 0, 1 }∗de todas as cadeias bin´arias
(A0) λ ∈ { 0, 1 }∗; (λ ´e uma cadeia bin´aria, chamadacadeia vazia, cujo objetivo ´e representar a cadeia sem s´ımbolos),
(A1) se s ∈ { 0, 1 }∗ent˜ao sb ∈ { 0, 1 }∗para qualquer b ∈ { 0, 1 }.
Definic¸˜ao 2. Aconcatenac¸˜ao das cadeias s e t ´e a cadeia st. Essa operac¸˜ao pode ser definida recursivamente por
(B0) se s = λ ent˜ao st = t; sen˜ao,
(B1) s = bu com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗, de modo que st = (bu)t = b(ut). Definic¸˜ao 3. O reverso da cadeia s ´e denotado por sR e definido como a ca-deia obtida escrevendo S na ordem inversa. Por exemplo, o reverso de 0101 ´e 0101R= 1010 e o reverso de 1110 ´e 0111.
Com tais definic¸˜oes, resolva ((a) e (b)) ou ((c) e (d)) ou ((e) e (f)):
(a) Dˆe uma definic¸˜ao recursiva para ` : { 0, 1 }∗ → Nonde `(s) ´e a quantidade de bits na cadeia s. Por exemplo `(01001) = 5.
(a0) Se s = λ ent˜ao definimos `(s) = 0
(a1) sen˜ao, por (B1) s = bu com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗, ent˜ao definimos `(s) = 1 + `(u).
(b) Prove, usando induc¸˜ao estrutural, que `(st) = `(s) + `(t) para quaisquer s, t ∈ { 0, 1 }∗.
Por induc¸˜ao em s. Se s = λ, ent˜ao `(st) = `(t) = 0 + `(t) = `(s) + `(t). Seja s = bu, com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗ e suponha que `(ut) = `(u) + `(t) (∀t).
Se s = bu, st = (bu)t = b(ut) por (B1), assim `(st) = `(b(ut)), mas `(b(ut)) = `(b) + `(ut) por (a1) e `(ut) = `(u) + `(t) por hip ´otese. Portanto, `(st) = `(s) + `(t).
Por induc¸˜ao `(st) = `(s) + `(t) para todos s, t ∈ { 0, 1 }∗.
(c) Dˆe uma definic¸˜ao recursiva para o reverso de uma cadeia bin´aria. (b0) Se s = λ ent˜ao definimos sR= s
(b1) sen˜ao, por (B1), s = bu com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗, ent˜ao definimos sR = uRb.
(d) Prove, usando induc¸˜ao estrutural, que (st)R = tRsR para quaisquer s, t ∈ {0, 1 }∗.
Por induc¸˜ao em s. Se s = λ, ent˜ao (st)R = tR= tRsR por (b0).
Seja s = bu, com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗e suponha que (ut)R = tRuR(∀u). Se s = bu, st = (bu)t = b(ut) por (B1), assim (st)R = (b(ut))R = (ut)Rb por (b1), mas (ut)R= tRuRpor hip ´otese de induc¸˜ao. Portanto, (st)R= tRuRb = tRsR.
Por induc¸˜ao (st)R = tRsRpara todos s, t ∈ { 0, 1 }∗.
(e) Prove, usando induc¸˜ao estrutural , que
Para todo s ∈ { 0, 1 }∗, sλ = s. Se s = λ, ent˜ao sλ = s.
Seja s = bu, com b ∈ { 0, 1 } e u ∈ { 0, 1 }∗e suponha que uλ = u (∀u). Se s = bu,
sλ = (bu)λ = b(uλ) = bu = s Por induc¸˜ao sλ = s para todo s ∈ { 0, 1 }∗.
(f) Defina L ⊂ { 0, 1 }∗recursivamente por (C0) λ ∈ L;
(C1) se s ∈ L ent˜ao 0s0 ∈ L e 1s1 ∈ L.
Prove, usando induc¸˜ao estrutural, que `(t) ´e par para todo t ∈ L.
Seja s ∈ L. Se s = λ ent˜ao `(t) = 0 ´e par; sen˜ao s = btb com b ∈ { 0, 1 } e t ∈ L e assuma `(t) par. Ent˜ao `(s) = 2 + `(t), portanto par.
(2) Prove por induc¸˜ao que √
2 ´e irracional (Dica: P(n) a sentenc¸a √
2 , n/b para todo natural b > 0).
Seja P(n), para todo n ∈ N, a sentenc¸a dada no enunciado. Se n = 0 ent˜ao P(n) ´e verdadeira pois
√
2 > 0 = 0b para todo b.
Seja k um natural arbitr´ario e suponha que P(0), P(1), . . . , P(k) s˜ao verdadeiros. Vamos provar P(k + 1) por contradic¸˜ao.
Se existe um natural b , 0 tal que √
2 = k+1b , ent˜ao 2 = (k+1)b2 2, donde conclu´ımos
(como prova feita em sala) que k + 1 ´e par. Se k + 1 = 2s ent˜ao b tamb´em ´e par (como prova feita em sala), b = 2t, Ent˜ao,
√ 2 = k + 1 b = 2s 2t = s t
contrariando P(s) que por hip ´otese ´e verdadeira. Note que s < k + 1 e P(s) afirma que
√
2 , bs para todo natural b > 0.
(3) Qual ´e o coeficiente de x2y5z3na expans˜ao de (x + y + z)10?
(x + y + z)10= (x + y + z)(x + y + z) · · · (x + y + z)(x + y + z)
um produto com 10 parcelas. Quando aplicamos a distributividade, das 10 parcelas, h´a 102 modos de escolher 2 que contribuir˜ao com x no produtos; pra cada uma delas h´a 10−25 modos de escolher 5 parcelas que contribuir˜ao com y; as 3 parcelas restantes contribuir˜ao com z, portanto, pelo Princ´ıpio Multiplicativo 10 2 ! 10 − 2 5 ! termos correspondem a x2y5z3.
(4) De quantas maneiras podemos distribuir k part´ıculas indistingu´ıveis em n n´ıveis de energia distintos? (Esta distribuic¸˜ao de part´ıculas em n´ıveis de ener-gia ´e chamada, em F´ısica, de Estat´ıstica de Bose-Einstein).
Se xi ´e o n ´umero de particulas no nivel i, o n ´umero de distribuic¸˜oes ´e a
quan-tidade de soluc¸˜oes de
x1+ x2+ · · · + xn = k, com xi ∈ N
que tem n+k−1k , ou n+k−1n−1 , soluc¸˜oes.
(5) De quantas maneiras podemos distribuir k part´ıculas indistingu´ıveis em n n´ıveis de energia distintos se cada n´ıvel pode conter no m´aximo uma part´ıcula? (Esta distribuic¸˜ao de part´ıculas em n´ıveis de energia ´e chamada, em F´ısica, de Estat´ıstica de Fermi–Dirac).
Cada distribuic¸˜ao corresponde `a selec¸˜ao de um subconjunto de k dos n n´ıveis de energia, logo s˜ao nkmodos de distribuir.
(6) Uma roleta de seis compartimentos ´e pintada com trˆes cores, azul, vermelho e branco, sendo permitida a repetic¸˜ao de cores. Use uma relac¸˜ao de equivalˆencia para mostrar que o n ´umero de maneiras de fazer esta pintura ´e 130.
Defina X = { (a1, a2, a3, a4, a5, a6) : ai ∈branco, azul, vermelho } que representa as poss´ıveis pinturas dos compartimentos. Pelo princ´ıpio multiplicativo |X| = 36. Se rodarmos a roleta, a pintura n˜ao muda. Assim, consideraremos a relac¸˜ao de equivalˆencia R em X definida pelas rotac¸˜oes, duas sextuplas per-tencer˜ao a uma mesma classe de equivalˆencia se uma 6-upla puder ser obtida a partir de rotac¸˜oes da outra por exemplo, as sextuplas (a1, a2, a3, a4, a5, a6) e
(a2, a3, a4, a5, a6, a1) representam a mesma pintura, ou seja, pertencem `a mesma
classe de equivalˆencia.
Temos 3 classes de equivalˆencia unit´arias que correspondem a todos os com-partimentos com a mesma cor.
Temos 3 classes de equivalˆencia com cardinalidade 2, pois temos que escolher uma das trˆes cores para um compartimento, e depois uma das duas cores res-tantes para o compartimento vizinho (os demais compartimentos alternam as cores).
Para cardinalidade 3, temos que compartimentos opostos devem ter mesma cor, o que nos daria 33. Por´em devemos subtrair as pinturas em que a roleta est´a toda de uma mesma cor, pois estes j´a foram contados. Isso nos d´a 33−3. Dividindo pelo tamanho, 3, ficam 8 classes de equivalˆencia.
Finalmente, as classes de equivalˆencia de cardinalidade 6. A maneira mais f´acil de contar isso ´e subtrair de 36as configurac¸˜oes que est˜ao nas outras classes de equivalˆencia, 36−3 − 3 · 2 − (33−3), que dividindo por 6 d´a 116 classes de equivalˆencia de tamanho 6. Logo, no total, temos 130 classes de equivalˆencia.
(7) Enuncie de modo preciso e como uma sentenc¸a condicional e prove: Remover um elemento de um conjunto infinito resulta num conjunto infinito.
Se A ´e infinito ent˜ao A \ { x } ´e infinito para todo x ∈ A.
Vamos provar a contrapositiva. Se A \ { x } ´e finito ent˜ao | A \ { x } | = n para algum natural n. Se x ∈ A ent˜ao A = (A \ { x }) ∪ { x } e a uni˜ao ´e de disjuntos, logo |A| = |A \ { x }| + 1 = n + 1, ou seja, ´e finito.
(8) Sejam (A, 4) e (B, E) ordens totais. Uma func¸˜ao f : A → B ´e dita crescente se, e s ´o se, para todos x, y ∈ A, vale x ≺ y → f (x) C f (y). Dˆe uma prova ou um contraexemplo para a sentenc¸a: toda func¸˜ao crescente f : A → B ´e injetiva.
Para quaisquer x, y ∈ A, se x , y ent˜ao x ≺ y ou y ≺ x pois a ordem ´e total. Se x ≺ y ent˜ao f (x) C f (y), em particular f (x) , f (y). Se y ≺ x ent˜ao f (y) C f (x), em particular f (x) , f (y). Portanto f injetiva.
