Análise Matemática do Problema de Navier-Stokes no R 3

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

Análise Matemática do Problema

de Navier-Stokes no

_R

3

Maria de Jesus Rodrigues da Silva

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

Análise Matemática do Problema

de Navier-Stokes no

_R

3

por

Maria de Jesus Rodrigues da Silva

sob orientação do

Prof. Dr. Marivaldo Pereira Matos

Dissertação apresentada ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática-CCEN-UFPB, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Junho /2007 João Pessoa-Pb

Análise Matemática do Problema de Navier-Stokes no

R3

por

Maria de Jesus Rodrigues da Silva

Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal da Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Área de Concentração: Análise Matemática

Aprovada por:

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Prof. Dr. Marivaldo Pereira Matos (orientador)

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Prof. Dr. Aldo Bezerra Maciel

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Prof. Dr. Nelson Nery de Oliveira Castro

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (suplente)

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

.

Ao meu esposo Ednaldo.

Aos meus pais José (in memorian) e Antonia. Aos meus irmãos, especialmente à Josineide.

Agradecimentos

A DEUS que é minha fortaleza, por estar sempre presente em minha vida.

Ao meu orientador prof. Dr. MARIVALDO PEREIRA MATOS pela competente orientação, por toda a atenção, dedicação, paciência, compreensão e apoio a mim dedicados. Ao professor Dr. ALDO B. MACIEL pelas valiosas contribuições dadas a este trabalho, além de todo apoio e incentivo a mim concedidos ao ingressar no mestrado e estímulo para que eu continue seguindo o caminho acadêmico.

Ao professor Dr. NELSON NERY pelas sugestões e correções inerentes a este trabalho e por toda a atenção e disponibilidade a mim dispensadas.

Ao professor Dr. FÁGNER D. ARARUNA por ter aceitado colaborar, de forma gentil, com nosso trabalho.

A todos os professores do DM/UFPB, especialmente os professores da Pós-Graduação pelos conhecimentos transmitidos com tanta presteza.

Aos professores da UEPB, em particular os que participaram da minha formação e de um modo muito especial agradeço aos professores OSMUNDO A. LIMA, ISABELLE BORGES, SAMUEL DUARTE, WANDENBERG e ALDO TRAJANO.

Ao meu amado esposo EDNALDO, que mesmo distante esteve sempre presente me incentivando e apoiando, por toda compreensão e amor.

À toda minha família pelo constante incentivo, em particular aos meus pais JOSÉ RODRIGUES FILHO (in memorian) e ANTONIA DOS SANTOS RODRIGUES e irmã JOSINEIDE que são meu alicerce.

À dona MARIA que me acolheu em sua casa como uma …lha, a TOINHO, VIVIANE e VENÍCIO por toda torcida e carinho.

Aos colegas da pós-graduação pela ótima convivência, especialmente às minhas amigas CÉLIA E KALINA, modelo de amizade e companheirismo.

Aos órgãos …nanciadores PIBIC/CNPQ e CAPES, pelo apoio …nanceiro durante minha vida acadêmica.

Resumo

No presente trabalho, estudamos a existência e unicidade de solução das equações estacionárias de Navier-Stokes, as quais regem o escoamento de ‡uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos. Analisamos tanto o problema homogêneo quanto o não homogêneo, sempre considerando um aberto limitado do R3_{, com fronteira bem regular.}

Para garantirmos a existência de solução, usamos o método de Galerkin e para a unicidade, o processo formal.

Abstract

The aim of this work was to study the existence and uniqueness of solution of the stationary Navier-Stokes equations, which govern the drainage of ‡uids homogeneous, incompressible and viscous. We analyzed so much the homogeneous problem as well as the not homogeneous, always considering an open limited of R3_{, with very regular border.}

In order to guarantee the solution existence, we used the method of Galerkin and for the uniqueness, the formal process.

Sumário

Introdução 1 1 Preliminares 10 1.1 Espaços Funcionais . . . 10 1.1.1 Distribuições Escalares . . . 10 1.1.2 Espaços de Sobolev . . . 15 1.2 Resultados Preliminares . . . 19 1.2.1 Desigualdades . . . 19

1.2.2 Resultados de Existência, Convergência e Imersão . . . 20

1.2.3 Resultados Especí…cos . . . 23

2 O Problema Homogêneo 33 2.1 Formulação Fraca do Problema (P ) . . . 34

2.2 Existência de Solução . . . 35

2.2.1 Etapa 1: O Problema Aproximado . . . 35

2.2.2 Etapa 2: Estimativas a Priori . . . 37

2.2.3 Etapa 3: Passagem ao Limite . . . 37

2.3 Unicidade de Solução . . . 39

3 O Problema Não Homogêneo 42 3.1 Formulação Fraca do Problema (P1) . . . 43

3.3 Estimativas a Priori . . . 45 3.4 Passagem ao Limite . . . 45 3.5 Unicidade de Solução . . . 47

.

Introdução

Desenvolvemos esta dissertação, tomando como base um dos diversos trabalhos de J.L.Lions, ver [9]. Aqui vamos enfatizar o caso em que _{é um aberto limitado do R}3_,

que é o caso físico mais importante.

No primeiro capítulo, procuramos objetivamente, apresentar alguns conceitos, notações básicas e demonstrar os principais resultados necessários aos demais capítulos.

No segundo capítulo, estudamos a existência e unicidade de solução para o Problema Homogêneo de Navier-Stokes no R3. O método utilizado para garantirmos a existência de solução foi o de Galerkin.

No terceiro capítulo, analisamos pelo mesmo método o Problema Não Homogêneo, mostrando também a existência e unicidade de solução.

A seguir, apresentaremos uma dedução modelo matemático de Navier-Stokes para o escoamento de ‡uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos, por meio de argumentos elementares e intuitivos, dirigido às pessoas interessadas em ciência, em geral. Esta dedução é devida ao Prof. Luiz Adauto Medeiros [10].

Iniciamos com considerações físicas e geométricas, intuitivas para obter o que se entende por ‡uxo de ‡uido através de uma superfície, para obter a equação de continuidade que traduz, matematicamente, o princípio de conservação de massa. Por meio desta equação, de…nimos o que entendemos por ‡uido incompressível. Da lei de conservação de quantidade de movimento encontramos o modelo que procuramos, conhecido sob a denominação de equações de Navier-Stokes.

1. Considerações Físicas e Geométricas

Consideremos um ‡uido em movimento. Para …xar idéia, pensamos em água ‡uindo em um canal. Representemos por um aberto limitado contido no ambiente onde se encontra o ‡uido. Pensamos cheio do ‡uido, com fronteira regular . O espaço onde está imerso é o R3, constituído de pontos x = (x1; x2; x3). Representamos por a

fronteira de _{, a qual é uma superfície do R}3_{. Com ~n representamos a normal unitária}

externa à fronteira . Denotamos por ~uo vetor de componentes (u1(x; t) ; u2(x; t) ; u3(x; t)),

denominado velocidade do fuido, isto é, das partículas do ‡uido. Denotamos por ~u o vetor ~

u (x; t) velocidade no ponto x no instante t.

Consideremos uma porção d da superfície . Denominamos ‡uxo através de d , a massa de ‡uido que atravessa d , na direção da normal, ~n, na unidade de tempo. Calculamos, de modo intuitivo, o ‡uxo, considerando a velocidade ~udas partículas. De fato, no instante t uma partícula se desloca de ~u t, na direção de ~u. Considerando os pontos de d , no instante t, o total de partículas atravessando d é a massa de ‡uido contida no prisma de altura u t, onde u é o módulo de ~u, e base d . Se desejarmos este ‡uxo na direção da normal ~n, projetamos ~usobre ~n, obtendo un tpara a altura do prisma, sendo un = proj~n~u = (~u; ~n),

onde (:; :) denota o produto escalar no R3_{. Portanto o total de partículas atravessando d}

na unidade de tempo t, na direção da normal ~n, mede-se pelo total de partículas de ‡uido contido no prisma de base d e altura un t, isto é, seu volume é dado por

d un t.

O ‡uxo sendo a massa do ‡uido contida neste prisma, será dado por

un t d ,

Temos a visão geométrica na Fig.1

Convencionamos que o ‡uxo é positivo se calculado no sentido positivo de ~n e negativo no sentido oposto.

Portanto, o ‡uxo através de , no intervalo t = 1, será o somatório dos ‡uxos elementares un t d , isto é:

Z

(x; t) un(x; t) d , (1)

integral sobre a superfície .

2. Equação de Continuidade

Admitiremos o

Princípio de Conservação de Massa de Fluido: “a variação da massa de ‡uido no interior de , em relação ao tempo, é igual ao ‡uxo de ‡uido através da fronteira de

.”

Traduziremos, a seguir, matematicamente, este princípio. De fato, sendo (x; t) a densidade do ‡uido, a massa de ‡uido contida em é dada por:

M (t) = Z

(x; t) dx,

sendo dx = dx1dx2dx3 a medida no R3. A variação, em relação ao tempo, é:

dM (t) dt =

Z _@

Suponhamos a variação devido ao ‡uido entrando em , isto é, Z

(x; t) un(x; t) d . (3)

O princípio de conservação de massa diz que as integrais (2) e (3) são iguais, para todo aberto limitado , com fronteira . Notemos que se supõe limitado e do mesmo lado de

. Algo como na …g. 2

Portanto, pelo princípio de conservação de massa, resulta, da igualdade das integrais

(2) e (3): _Z

@

@t dx + Z

un d = 0,

para todo . Usando o teorema da divergência, obtemos: Z

@

@t + div ( ~u) dx = 0

para todo . Supondo o integrando uma função contínua, obtemos: @

@t + div ( ~u) = 0, pontualmente, em . (4) Notemos que a componente ui da velocidade ~u é

dxi

dt , x = (x1; x2; x3) vetor do R

3_{, posição}

da partícula x no tempo t, isto é, xi = xi(t) i = 1; 2; 3. Daí obtemos

d dt = @ @t + 3 X i=1 @ @xi ui = @ @t + (grad ; ~u). (5) Efetuando o cálculo, temos:

Substituindo (5) e (6) em (4), obtemos: d

dt + div ~u = 0 em . (7)

É claro que (4) e (7) são equivalentes. A equação (7) (ou a (4)) é denominada lei de conservação de massa (ou equação de continuidade).

Dizemos que um ‡uido é incompressível e homogêneo quando sua densidade é constante ou, equivalentemente, div ~u = 0 em todo , isto é,

div ~u = 0 em . (8)

3. Equações de Navier-Stokes

As Equações de Navier-Stokes constituem um modelo matemático para a descrição do movimento de ‡uidos homogêneos (densidade constante), incompressíveis (div ~u = 0) e viscosos. A dedução deste modelo será obtida por meio do princípio de conservação de quantidade de movimento. Estamos supondo

constante e div ~u = 0 em . (9)

Consideremos um prisma de faces x1, x2, x3 contido em , cujo volume é

x = x1. x2. x3 e massa x. A quantidade de movimento desta massa, é ( x)~u,

sendo ~u a velocidade. Da de…nição de integral tripla, concluimos que a quantidade de movimento da massa de é dada por:

m (t) = Z

~u (x; t) dx. (10)

Princípio de Conservação de Quantidade de Movimento: “a variação da quantidade de movimento m (t) de , em relação ao tempo, é igual ao somatório das forças aplicadas ao .”

A variação da quantidade de movimento de é: dm (t)

dt =

Z _d~u

dtdx. (11)

(i) volumétricas aplicadas a de densidade ~f (x; t) = (f1(x; t) ; f2(x; t) ; f3(x; t)).

(ii) tensões internas e viscosidades na fronteira de , cujas componentes admitiremos da forma: Fi(x; t) = 3 X j=1 ij(x; t) j,

i = 1; 2; 3. Os números reais j, j = 1; 2; 3, são as componentes da normal unitária ~n,

externa à .

Suponhamos as funções ij(x; t), x 2 e t 0, contínuas e continuamente diferenciáveis

em relação a x, para todo t 0. As funções fi(x; t)são supostas integráveis em para todo

t > 0. A matriz ij(x; t), i; j = 1; 2; 3, é denominada “tensor de tensões”.

Deduzimos, do princípio de conservação da quantidade de movimento, a equação

seguinte: _Z

d~u dtdx =

Z

!_{f (x; t)dx +}Z _{F (x; t) d . (12)}

Escrevendo a (12) para as componentes dos vetores dos integrandos, obtemos: Z dui dt dx = Z fi(x; t) dx + Z _X3 j=1 ij(x; t) jd , (13) para i = 1; 2; 3.

Do Lema de Gauss, obtemos:

3 X j=1 Z ij(x; t) jd = 3 X j=1 Z @ @xj ij(x; t) dx,

que substituido em (13), resulta: Z _du i dt dx = Z fi(x; t) dx + Z _X3 j=1 @ ij @xj dx, (14) para i = 1; 2; 3.

Para ‡uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos encontramos que ij(x; t) tem a

representação: ij(x; t) = p (x; t) ij + @ui @xj +@uj @xi . (15)

p (x; t) número positivo e > 0 dita viscosidade do ‡uido, cf. Landau-Lifschitz[5]. Sendo div ~u = 0, obtemos 3 X j=1 @ ij @xj = 3 X j=1 @p @xj ij + 3 X j=1 @ @xj @ui @xj + @uj @xi .

Notemos que ij = 0 se i 6= j e ij = 1 se i = j. Logo,

@p @xj ij = 0 se i 6= j restando @p @xi , portanto: 3 X j=1 @p @xj ij = @p @xi . (16)

Temos: div ~u = 0 em , logo

3 X j=1 @ @xj @ui @xj +@uj @xi = ui. (17) Substituindo (16) e (17) em (14) obtemos: Z _du i dt dx = Z fi(x; t) dx + Z _@p @xi + ui dx; (18)

i = 1; 2; 3, para todo imerso no ‡uido, resultando, devido a continuidade dos integrandos em (18): dui dt = fi @p @xi + ui em ; i = 1; 2; 3. (19)

O sistema de equações (19) é denominado sistema de Navier-Stokes, para ‡uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos. Notemos que dui

dt é a aceleração do ‡uido.

Modi…camos (19), observando que ~u (x; t) = (u1(x; t) ; u2(x; t) ; u3(x; t)) para x =

(x1; x2; x3). Portanto, a velocidade das partículas é dada por uj(x; t) =

dxj dt , e daí: dui dt = @ui @t + 3 X i=1 @ui @xj uj,

que substituida em (19) resulta: @ui @t ui+ 3 X j=1 uj @ui @xj = fi @p @xi em , (20)

Trata-se de um sistema de três equações diferenciais parciais nas incógnitas u1; u2; u3 e

p. A questão matemática consiste em saber se um problema de valor inicial e de contorno, para (20), é bem posto, no sentido de Hadamard. Isto signi…ca que devemos investigar se: existe solução para o problema, é única e se depende continuamente dos dados.

De fato, dado _{aberto limitado, não vazio do R}3_{, com fronteira de classe C}2_,

de…namos o cilindro Q = (0; T )_{, T > 0, do R}4

= Rx

Rt_{, com fronteira lateral}

= (0; T ). O problema matemático consiste em determinar ui : Q ! R, para

i = 1; 2; 3, isto é, o vetor ~u (x; t) = (u1(x; t) ; u2(x; t) ; u3(x; t)), solução do problema de

valor inicial e de fronteira seguinte:

@ui @t ui+ 3 X j=1 uj @ui @xj = fi @p @xi em Q ui = 0 em div ~u = 0 em Q ui(x; 0) = u0i(x) em . (21)

Seja ~u (x; t) = u (x; t) _{e representemos por rp o vetor grad p =} @p @x1 ; @p @x2 ; @p @x3 . Além disso sejam @u @t = @u1 @t ; @u2 @t ; @u3 @t e u = ( u1; u2; u3). Daí obtemos a expressão vetorial

3 X j=1 uj @u @xj = 3 X j=1 uj @u1 @xj ; 3 X j=1 uj @u2 @xj ; 3 X j=1 uj @u3 @xj ! .

Com esta notação, escrevemos o sistema de Navier-Stokes (21) sob a forma:

@u @t u + 3 X j=1 uj @u @xj = f _{rp em Q} div u = 0em Q u = 0 em u (x; 0) = u0(x) em . (22)

Neste trabalho estudamos o caso estacionário, isto é, o caso em que as variáveis envolvidas não dependem do tempo. Desta forma, as equações (22) tornam-se:

u + 3 X j=1 uj @u @xj = f _{rp em} div u = 0 em u = 0 em .

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo, apresentaremos algumas de…nições e notações da teoria das Equações Diferenciais Parciais, bem como resultados relevantes que empregaremos nos capítulos subsequentes. Por serem de uso frequente, omitiremos algumas demonstrações, contudo, indicaremos as referências bibliográ…cas onde podem ser encontradas. Em seguida, mostraremos os resultados que são mais especí…cos deste trabalho.

1.1

Espaços Funcionais

1.1.1

Distribuições Escalares

Denotemos por x = (x1; :::; xn) os pontos do Rn. Por um multi-índice entendemos

uma n-upla de números inteiros não negativos = ( 1; :::; n) cuja ordem é de…nida por

j j = 1+ ::: + n e representamos por

D = @

j j

@x 1

1 :::@xnn

o operador derivação parcial de ordem . No caso em que = (0; 0; ::: ; 0) = 0, D0 denota o operador identidade.

função u, anotado supp (u) ; é, por de…nição, o fecho em _{do conjunto fx 2 ; u (x) 6= 0g.} Em outras palavras, o supp (u) é o menor fechado de fora do qual a função u se anula. Seguem as seguintes relações:

(a) supp (u + v) supp (u)_{[ supp (v) ;}

(b) supp (uv) supp (u)_{\ supp (v) ;}

(c) supp ( u) = supp (u) ; _{6= 0.}

Mesmo que o suporte de uma função contínua seja fechado em , existem funções cujos suportes não são compactos.

Exemplo 1.1 Seja u : (0; 1) _{! R a função de…nida por u(x) = 1; 8 x 2 (0; 1). Notemos} que supp(u) = (0; 1); que não é um conjunto compacto da reta.

Como estamos interessados em trabalhar com funções cujo suporte seja um compacto contido em e, além disto, possuindo derivadas contínuas de todas as ordens, consideraremos o espaço C1

0 ( ) das funções in…nitamente diferenciáveis com suporte compacto em . O

exemplo a seguir mostra que esta classe de funções é bastante ampla.

Exemplo 1.2 Sejam x0 2 Rn, r > 0 e Br(x0) a bola aberta de centro x0 e raio r, isto é,

Br(x0) = fx 2 Rn; kx x0k < rg. Sendo x0 2 e r > 0 tal que Br(x0) , de…nimos

' : _{! R por} ' (x) = 8 > < > : exp 1 kx x0k 2 r2 , se kx x0k < r 0 _{, se kx} x0k r.

Para esta função temos que supp (') = Br(x0) é compacto. Temos também que

'_{2 C}1

0 ( ). De fato: observemos que a função f : R ! R de…nida por

f (t) = 8 < : e 1=t_{, t > 0} 0, t 0

pertence a C1_{(R) e se : ! R for de…nida por (x) = r}2

kx x0k2, então 2 C1(R).

Logo ' = f _{2 C}1_{(R) e como supp(') = B}

r(x0), o qual é compacto, temos que

'_{2 C}1 0 ( ).

A seguir estabeleceremos a noção de convergência no espaço vetorial C1

0 ( ),

tornando-o um espaçtornando-o vettornando-orial ttornando-optornando-ológictornando-o. Tal ntornando-oçãtornando-o ftornando-oi intrtornando-oduzida ptornando-or Schwartz ctornando-omtornando-o segue. Dizemos que uma sequência ('n)_n2N de funções em C01( )converge para ' 2 C01( ),

quando forem satisfeitas as seguintes condições: (i) Existe um conjunto compacto K tal que

supp(') K e supp('n) K, 8 n 2 N;

(ii) D 'n ! D ' uniformemente em K, para todo multi-índice .

Representamos por D ( ), o espaço C01( ) munido da convergência de…nida acima e

o denominamos espaço das funções testes.

Por distribuição escalar sobre _{entendemos toda aplicação linear contínua sobre D ( ),} isto é, toda aplicação T : D ( ) ! R satisfazendo:

(i) T ( ' + ) = T (') + T ( ), para todo ; _{2 R e '; 2 D ( );}

(ii) T é contínua, ou seja, se 'n! ' em D ( ), então T 'n! T ' em R.

Normalmente, denotamos o valor da distribuição T na função teste ' por hT; 'i.

Representamos por Lq_loc( ) ; 1 q < _{1, o espaço vetorial das (classes de) funções} u : _{! R tais que juj}q é integrável sobre qualquer compacto K de . Em Lq_loc( ) consideramos a seguinte noção de convergência: (u ) _2N converge para zero em Lq_loc( ) quando ku kLq_(K)

2N convergir para zero, 8 K , compacto.

De…nição 1.1 _{De…nimos D}0( ) como sendo o espaço vetorial das distribuições escalares sobre , com a seguinte noção de convergência: Dizemos que a sequência (Tn)_n2N em D0( )

converge para T em D0_{( ) quando, para toda ' 2 D ( ), a sequência (hT}

n; 'i)_n2N convergir

para hT; 'i em R. Com esta noção de convergência, D0_{( ) passa a ser um espaço vetorial}

Simbolicamente temos

D0( ) =_{fT : D ( ) ! R linear e contínuag .}

Exemplo 1.3 _{Seja u 2 L}1_loc( ), isto é, uma função de _{em R, integrável à Lebesgue em} todo compacto K . Então, o funcional linear Tu :D ( ) ! R de…nido por

hTu; 'i =

Z

u (x) ' (x) dx; _{8 ' 2 D ( )} é uma distribuição escalar sobre .

De fato, seja ('n)n2N uma seqüência de funções testes sobre que converge para uma

função teste ' em D( ). Temos:

jhTu; 'ni hTu; 'ij = jhTu; 'n 'ij = Z u(x)('n ')(x)dx Z ju(x)j j('n ')(x)j dx max x2K j('n ')(x)j Z K ju(x)j dx ! 0; onde K é um compacto de que contém supp('n '); 8 n.

A distribuição Tu, de…nida no exemplo anterior é dita gerada pela função localmente

integrável u. E além disso, Tu é univocamente determinada por u, no seguinte sentido:

Tu = Tv se, e somente, se u = v quase sempre em . Com efeito: segue do Lema de Du Bois

Raymond, o qual enunciaremos na próxima seção, que:

Tu = Tv () hTu; 'i = hTv; 'i ; 8 ' 2 D( ) () Z u(x)'(x)dx = Z v(x)'(x)dx () Z (u v)(x)'(x)dx = 0; _{8 ' 2 D( )} () u v = 0q. s. em .

Por essa razão, identi…camos u à distribuição por ela de…nida, nos referindo a u como uma distribuição de L1

loc( ). Desta forma, podemos ver o espaço das funções localmente

integráveis como uma parte do espaço das distribuições D0_{( ), ou seja, L}1

loc( ) D0( ).

Exemplo 1.4 Consideremos o funcional 0 :D ( ) ! R, com 0 2 , de…nido por

h 0; 'i = ' (0) .

Este funcional é linear e contínuo em D ( ), logo uma distribuição sobre . No entanto, 0

não é gerado por uma função de L1

loc( ), isto é, não existe u 2 L1loc( ) tal que 0 = Tu. A

distribuição 0 é denominada medida de Dirac concentrada no ponto zero.

De fato, se existisse u 2 L1

loc( ) tal que 0 = Tu, então

h 0; 'i =

Z

u(x)'(x)dx_{, 8 ' 2 D( ).} Como (x) = x'(x) também pertence a D( ) temos:

0 = (0) =_h 0; i =

Z

u(x) (x)dx = Z

xu(x)'(x)dx;_{8 ' 2 D( ).}

Pelo Lema de Du Bois Raymond, temos que xu(x) = 0 q.s. em . Logo u(x) = 0 q.s em e portanto, '(0) = Z u(x)'(x)dx = Z 0'(x)dx = 0_{, 8 ' 2 D( ),} um absurdo, pois nem toda função teste ' leva zero no zero.

Destes dois últimos exemplos, concluímos que toda função localmente integrável identi…ca-se a distribuição por ela de…nida, entretanto, nem toda distribuição é de…nida por uma função localmente integrável.

De…nição 1.2 _{Seja u 2 L}1

loc( ), dizemos (segundo Sobolev) que u possui derivada fraca

(derivada no sentido das distribuições), quando existir uma h 2 L1loc( ) tal que

Z

u (x) '0(x) dx = Z

h (x) ' (x) dx; _{8 ' 2 D ( ) .} A função h é denominada derivada fraca de u.

Notemos que a noção de derivada fraca, segundo Sobolev, serve apenas para as funções que são localmente integráveis. Todavia, vimos anteriormente que existem distribuições que não são geradas por uma função localmente integrável e, portanto, para essas funções, tal noção de derivada não serve. Baseando-se nessa di…culdade Schwarz formulou o seguinte conceito de derivada distribucional.

De…nição 1.3 Sejam T uma distribuição sobre e um multi-índice. A derivada distribucional de ordem _{de T é o funcional de…nido em D ( ) por}

hD T; 'i = ( 1)j jhT; D 'i ; 8 ' 2 D ( ) .

Este conceito de derivada distribucional generaliza o conceito de derivada dado na de…nição precedente e, neste sentido o operador derivada é linear e contínuo de D0_{( ) em}

D0_{( ).}

Apresentaremos na próxima seção uma importante classe de espaços para o estudo das Equações Diferenciais Parciais, que são os Espaços de Sobolev.

1.1.2

Espaços de Sobolev

Dado _{um aberto do R}n _{denotamos por L}p_{( ), 1 p <}

1, o espaço vetorial das (classes de) funções mensuráveis u : _{! R tais que juj}p é integrável no sentido de Lebesgue em , equipado da norma: kukLp_{( )} = Z ju (x)jpdx 1=p .

No caso p = 1, denotamos por L1_{( )o espaço vetorial das (classes de) funções mensuráveis}

à Lebesgue e essencialmente limitadas em , isto é, existe uma constante C > 0 tal que

ju (x)j C; q:s em .

Neste espaço, consideremos a seguinte norma

kukL1( ) = supess

x2 ju (x)j , 8 u 2 L 1_{( ).}

O espaço Lp( ), 1 p _{1, com sua respectiva norma, torna-se um espaço de} Banach. No caso particular, onde p = 2 temos que L2_{( ) é um espaço de Hilbert, cuja}

norma e produto interno são de…nidos, respectivamente, por

jujL2_{( )}= Z ju (x)j2dx 1=2 e (u; v) = Z u (x) v (x) dx.

Como Lp_{( ) L}1

loc( ), para todo 1 p 1, concluímos que toda função u 2 Lp( )

pode ser identi…cada a uma distribuição por ela de…nida e temos a seguinte cadeia de injeções contínuas e densas:

D ( ) ,! Lp( ) ,_{! L}1_loc( ) ,_{! D}0( ), 1 p <_1.

Observemos que, se u 2 Lp_{( ), então sua derivada no sentido das distribuições}

não pertence necessariamente a Lp( ). Motivado pela idéia de conhecer o espaço onde jaz as derivadas de determinadas funções, Sobolev (em 1936) introduziu novos espaços, naturalmente denominados Espaços de Sobolev, os quais passaremos a descrever.

Sejam m > 0 um número inteiro e 1 p _{1. O espaço de Sobolev de ordem m sobre} , denotado por Wm;p( )é por de…nição, o espaço vetorial das distribuições de Lp( ) para as quais sua derivada de ordem , no sentido das distribuições, pertence a Lp_{( ), para todo}

multi-índice _{, com j j} m. Simbolicamente escrevemos

Wm;p( ) =_{fu 2 L}p( ) ; D u_{2 L}p( ) ;_{j j} m_{g .} O espaço Wm;p( ) equipado da norma

kukWm;p_{( )} = 0 @X j j m kD ukpLp_{( )} 1 A 1=p , quando 1 p <_{1, ou} kukWm;1( ) = X j j m kD ukL1( ),

quando p = 1, é um espaço de Banach re‡exivo se 1 < p < 1 e separável se 1 p <_1. Quando p = 2; os espaços Wm;2_{( ) são representados por H}m_{( ). Em símbolos,}

temos:

Hm( ) = u _{2 L}2( )_{; D u 2 L}2( )_{, j j} m ; cuja norma e produto interno são dados, respectivamente, por

kukHm_{( )}= 0 @X j j m jD uj2L2_{( )} 1 A 1=2

e

(u; v)_Hm_{( )} =

X

j j m

(D u; D v)_L2_{( )}.

Esta estrutura topológica, torna Hm_{( ) um espaço de Hilbert separável continuamente}

imerso em L2( ).

Para que tenhamos uma idéia melhor desses espaços, descreveremos alguns casos particulares. Em dimensão n = 1, temos

H1(a; b) = u_{2 L}2(a; b); u0 _{2 L}2(a; b) ,

neste caso kuk2H1_(a;b)= Z b a ju (t)j 2 dt + Z b a ju 0_(t)j2 dt, ((u; v))_H1_(a;b)= Z b a u (t) v (t) dt + Z b a u0(t) v0(t) dt: Em dimensão n 2, teremos H1( ) = u_{2 L}2( ); @u @xi 2 L 2_{( ); i = 1; :::; n}

com norma e produto escalar

kuk2H1_{( )} = Z ju (x)j2dx + n X i=1 Z @u @xi (x) 2 dx. ((u; v))_H1_{( )} = Z u (x) v (x) dx + n X i=1 Z _@u @xi (x) @v @xi (x) dx.

Apresentaremos a seguir os espaços W₀m;p( ) e W m;p_{( ) os quais são de grande valia}

no tratamento moderno das Equações Diferenciais Parciais e, em particular, neste trabalho. Um fato importante é que o espaço das funções testes C1

0 ( ) é denso em Lp( ) =

W0;p_{( ), 1 p <}

1, ver [4]. Todavia, não é verdade que C1

0 ( ) seja denso em Wm;p( ),

m 1, inteiro. Motivado por esta razão, de…ne-se o espaço W₀m;p( ) como sendo o fecho de C1 0 ( ) em Wm;p( ); isto é: W₀m;p( ) = C1 0 ( ) Wm;p_{( )} .

Quando p = 2; o espaço W₀m;p( ) será representado por Hm 0 ( ).

O espaço dual de W₀m;p( ), 1 p < _{1, denotado por W} m;q_{( ),} 1

p + 1

q = 1 é constituido dos funcionais lineares e contínuos,

T : W₀m;p( ) _{! R.}

Consequentemente, representamos o dual topológico de H0m( ) por H m( ).

Quando _{for um aberto do R}n _{com fronteira , bastante regular, representaremos por}

H₀1( )_{o espaço de Sobolev das (classes de) funções u 2 H}1( ) ;com u = 0 sobre a fronteira de .

Por (L2( ))n, representamos o produto cartesiano de n cópias de L2( ), munido do produto escalar (u; v) = n X i=1 u(i); v(i) _L2_{( )} e norma jvj2 = n X i=1 v(i) 2 L2( ) .

Aqui uma função vetorial u 2 (L2_{( ))}n _{é representada por u = u}(1)_{; u}(2)_{; :::; u}(n) _.

Analogamente, (H1 0( ))

n

representa o produto cartesiano de n cópias de H1

0 ( ), cujo

produto escalar e norma são dados por

((u; v)) = n X i=1 u(i); v(i) H1 0( )

e _{kuk = ((u; u))}1=2.

Da desigualdade de Poincaré, a qual enunciaremos mais adiante, segue que esta norma é equivalente à kuk2 = n X i=1 ru(i) 2 L2( ), u 2 H 1 0( ) n .

Consideremos as formas bilinear e trilinear respectivamente:

a (u; v) = n X i;j=1 Z @u(i) @xj @v(i) @xj dx, b (u; v; w) = n X i;j=1 Z u(i)Div(j)w(j)dx.

De…namos agora o espaço

V = f' 2 (D ( ))n; div ' = 0g .

Representando por H a aderência de V em (L2_{( ))}n_{, resulta que H é um subespaço}

fechado de (L2( ))n e, portanto, um espaço de Hilbert.

Seja V a aderência de V em (H1_{( ))}n_{. É claro que V é também um espaço de Hilbert}

e, como veremos adiante, V é caracterizado por:

V = v _{2 H0}1( ) n; div v = 0 ; onde div u = n X i=1 Diu(i) = @u(1) @x1 + @u (2) @x2 + ::: + @u (n) @xn .

De…nição 1.4 _{Seja H um espaço de Hilbert real e h:; :i : H} H _{! R seu produto interno.} Uma sequência (un) de vetores de H, tal que

(i) _kunk = 1, 8 n 2 N, hum; uni = 0, 8 m; n 2 N; m 6= n;

(ii) Se F é o subespaço de H gerado por (ui)_i2N, então F = H, ou seja, as combinações

lineares …nitas dos un são densas em H,

é denominada Base de Hilbert de H.

1.2

Resultados Preliminares

Com o intuito de não sobrecarregar a notação, usaremos aqui e no decorrer do trabalho a letra C para representar diversas constantes.

1.2.1

Desigualdades

Enunciaremos algumas desigualdades importantes e de grande utilidade na demonstração de alguns resultados relevantes deste trabalho.

Lema 1.1 _{(Desigualdade de Hölder) Sejam f 2 L}p_{( ) e g} 2 Lq_{( ), com} 1 p + 1 q = 1 e 1 p _{1. Então f g 2 L}1( ) e Z jf gj kfkLp_{( )}kgk_Lq_{( )}. Demonstração: Ver [2].

Lema 1.2 (Desigualdade de Hölder Generalizada) Sejam p1; p2; : : : ; pk números reais

1 e tais que 1/p1 + 1=p2 + : : : + 1=pk = 1. Se ui 2 Lpi( ) ; i = 1; 2; : : : k, então

u1 u2 uk 2 L1( ) e Z ju1 u2 ukj k Y i=1 kuikLpi( ): Demonstração: Ver [2].

Lema 1.3 _{(Desigualdade de Minkowsky) Se f , g 2 L}p( ), 1 p _{1, então:} kf + gkLp_{( )} kfk_Lp_{( )}+kgk_Lp_{( )}.

Demonstração: Ver [2].

Lema 1.4 (Desigualdade de Poincaré) Seja _{um aberto limitado do R}n_{. Se v 2 H}01( ),

então

jvjL2_{( )} Cjrvj_L2_{( )},

onde a constante C depende de .

Demonstração: Ver [11].

1.2.2

Resultados de Existência, Convergência e Imersão

Lema 1.5 _{(Du Bois Raymond) Seja u 2 L}1_loc( ). Então, Z

u(x)'(x)dx = 0, _{8 ' 2 D ( )}

Demonstração: Ver [12].

Lema 1.6 (Lions) Sejam _{um aberto limitado do R}n, (gm)m e g funções de L q_{( ),}

1 < q <_{1, tais que:}

kgmkLq_{( )} C e gm ! g q.s em :

Então, gm * g (convergência fraca) q.s em Lq( ).

Demonstração: Ver [9].

Teorema 1.1 Todo espaço de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana.

Demonstração: Ver [2].

Teorema 1.2 (Imersão de Sobolev) Seja _{um aberto limitado do R}n _{com fronteira}

bastante regular (1) Se 1 p m n = 0, então W m;p_{( ) ,} ! Lq_{( ), onde 1 q <} 1; (2) Se 1 p m n < 0, então W m;p_{( ) ,} ! C0 _, ! L1_{( );} (3) Se 1 q = 1 p m n > 0, então W m;p_{( ) ,} ! Lq_{( ).} Demonstração: Ver [15].

Teorema 1.3 (Ponto Fixo de Brouwer) Seja B a bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rn+1

. Toda aplicação f : B ! B contínua possui (pelo menos) um ponto …xo, ou seja, existe x0 2 B tal que f (x0) = x0.

Demonstração: Ver [7].

Teorema 1.4 _{Sejam f 2 L}1_{( ) e g}

2 Lp_{( ) com 1 p <}

1. Então para quase todo x 2 a função y 7! f (x y) g (y) é integrável sobre . De…namos o produto da convolução de f com g por (f g) (x) = Z f (x y) g (y) dy. Então, (f g)_{2 L}p_{( ) e} kf gkLp_{( )} kfk_L1_{( )}kgk_Lp_{( )}.

Demonstração: Ver [2].

Proposição 1.1 Sejam _{um aberto do R}n e f = f(1); : : : ; f(n) , f(i) _{2 D}0( ), i = 1; : : : ; n: Uma condição necessária e su…ciente para que f = grad p, para algum p_{2 D}0( ), é que _{hf; vi = 0, 8 v 2 V.}

Demonstração: Ver [15].

Proposição 1.2 Seja _{um conjunto aberto limitado do R}n

(i) Se uma distribuição p tem todas as derivadas de primeira ordem Dip; 1 i n em

L2_{( )}

, então p 2 L2_{( )}

e kpkL2_{( )=R} C ( )kgrad pk_(L2_{( ))}n.

(ii) Se uma distribuição p tem todas as suas derivadas primeiras Dip, 1 i nem H 1( ),

então p 2 L2_{( )}

e kpkL2_{( )=R} C ( )kgrad pk_(H 1_{( ))}n.

Onde L2_{( ) =R = fp 2 L}2( ); R p(x)dx = 0_g. Demonstração: Ver [15].

Observação 1.1 _{Combinando os resultados das proposições 1.1 e 1.2 vemos que se f 2} (H 1_{( ))}n _{(ou (L}2

loc( )) n

) e hf; vi = 0, 8 v 2 V, então f = grad p com p 2 L2

loc( ). Se

além disso, _{é um conjunto aberto limitado, então p 2 L}2_{( ) (ou H}1_{( )).}

Proposição 1.3 Sejam _Rn _{um aberto, 1 p}

1; u 2 Lp_{( ) e (u}

k)k2N uma sequência

em Lp_{( ) com u}

k ! u em Lp( ). Então existe uma subsequência de (uk); ainda denotada

por (uk), tal que:

(i) uk(x)! u(x), q.s. em ; (ii) _juk(x)j h(x), q.s. em ; 8 k, com h 2 Lp( ). Demonstração: Ver [2]. Proposição 1.4 Se vi 2 L2( ), i = 0; 1; :::; n então f = v0+ n X i=1 @vi

@x é uma forma linear e contínua sobre H1

Demonstração: Ver [11]. Teorema 1.5 Se 1 p < _{1 e} 1 p m n = 0, n 2, então W m;p (Rn_{) ,}

! Lqloc( ) para todo

q 1, sendo a injeção contínua.

Demonstração: Ver [12].

Teorema 1.6 (Rellich) Seja um aberto, limitado e bem regular. Então a imersão do H1_{( ) no L}2_{( ) é compacta.}

Demonstração: Ver [11].

1.2.3

Resultados Especí…cos

A partir de agora, …xaremos n = 3 e mostraremos os resultados mais especí…cos deste trabalho.

Observação 1.2 Sobre a caracterização do espaço V , mostraremos que as seguintes a…rmações são equivalentes:

(a) V _{é a aderência de V em (H}1_{( ))}3_; (b) V =nv _{2 (H}1 0( )) 3 ; div v = 0o Demonstração: Seja eV = nv _{2 (H}1 0 ( )) 3

; div v = 0o. Para mostrar que V Ve, consideremos v 2 V . Por (a) existe (vk)em V tal que v = lim

k!1vk;onde o limite é considerado

na norma de (H1_{( ))}3_{. Assim, div v}

k ! div v e sendo vk 2 V temos que div vk = 0, logo

div v = 0_{. Agora observemos que v 2 (H}1 0 ( )) 3 , pois v 2 V(H 1_{( ))}3 D ( )3 (H 1_{( ))}3 = (H₀1( ))3_{. Portanto v 2 e}V.

Para veri…car a inclusão contrária, mostraremos que toda forma linear e contínua sobre e

Seja L uma forma linear e contínua sobre eV ; nula sobre V . Como eV é um subespaço fechado de (H1

0( )) 3

podemos estender L, via teorema de Hahn-Banach, a uma forma linear e contínua sobre (H1

0 ( )) 3

, isto é, a uma forma L : (H1 0 ( )) 3 ! R, sendo hL; vi = 3 X i=1 L(i); v(i) _H 1_{( ); H}1 0( ).

Agora, observemos que o vetor distribuição L = L(1)_{; L}(2)_{; L}(3)

2 (H 1_{( ))}3

e hL; vi = 0, 8 v 2 V, pois L é nula sobre V . Usando as proposições 1.1, 1.2 e a Observação 1.1 podemos concluir que L = grad p, p 2 L2_{( ). Logo}

L(i); v(i) _H 1_{( ), H}1 0( ) = Dip; v(i) _H 1_{( ), H}1 0( ) = = p; Div(i) _L2_{( )}, 8 v (i) 2 H01( ). E, portanto hL; vi = 3 X i=1 L(i); v(i) _H 1_{( ), H}1 0( ) = 3 X i=1 p; Div(i) _L2_{( )} = = p; 3 X i=1 Div(i) ! L2_{( )} = (p; div v)_L2_{( )} = 0;8 v 2 eV.

Lema 1.7 A forma trilinear de…nida por b (u; v; w) =

3 X i;j=1 Z u(i)Div(j)w(j) dx é contínua sobre V V V.

Demonstração: Do teorema de Imersão de Sobolev, no caso em que p = 2 e n = 3, concluímos que H1

0( ) está continuamente imerso em L6( ), e isto signi…ca que existe

C > 0 _{tal que: kvkL}6_{( )} Ckvk_H1

0( ). Assim, usando a Desigualdade de Hölder com a

combinação 1 6+ 1 3+ 1 2 = 1, obtemos: jb (u; v; w)j 3 X i;j=1 Z u(i)Div(j)w(j)dx 3 X i;j=1 Z u(i)Div(j)w(j) dx 3 X i;j=1 u(i) _L6_{( )} Div (j) L2_{( )} w (j) L3_{( )}.

Usando imersão de Sobolev, obtemos jb (u; v; w)j 3 X i;j=1 u(i) _L6_{( )} Div (j) L2_{( )} w (j) L3_{( )} C 3 X i;j=1 u(i) _H1 0( ) Div(j) _L2_{( )} w (j) L3_{( )} C 3 X i;j=1 u(i) _H1 0( ) v(j) _H1 0( ) w(j) _H1 0( ). Logo, jb (u; v; w)j C 3 X i;j=1 u(i) H1 0( ) v(j) H1 0( ) w(j) H1 0( ).

Observando que v(i) H1 0( ) kvkV (pois kvk 2 V = 3 X i=1 v(i) 2 H1 0( )) e substituindo na

desigualdade anterior, deduzimos que:

jb (u; v; w)j C

3

X

i;j=1

kukV kvkV kwkV CkukV kvkV kwkV .

Lema 1.8 A forma trilinear b (u; v; w) de…nida no Lema 1.7 satisfaz a seguinte igualdade b (u; v; w) + b (u; w; v) = 0.

Demonstração: Por de…nição, temos

b (u; v; w) + b (u; w; v) = 3 X i;j=1 Z u(i)Div(j)w(j)dx + Z u(i)Diw(j)v(j)dx = = 3 X i;j=1 Z u(i) Div(j)w(j)+ Diw(j)v(j) dx = = 3 X i;j=1 Z u(i)Di v(j)w(j) dx = = 3 X i;j=1 Z Di u(i)v(j)w(j) dx 3 X i;j=1 Z Diu(i) v(j)w(j) dx:

Então, b (u; v; w) + b (u; w; v) = 3 X j=1 Z _X3 i=1 Di u(i)v(j)w(j) dx 3 X j=1 Z _X3 i=1 Diu(i) v(j)w(j)dx = = 3 X j=1 Z div u v(j)w(j) dx 3 X j=1 Z v(j)w(j)div u dx.

Do teorema da Divergência de Gauss, segue que

b (u; v; w) + b (u; w; v) = 3 X j=1 Z u v(j)w(j) d 3 X j=1 Z v(j)w(j)div u dx = 0; porque u; v; w 2 V =nv _{2 (H}1 0 ( )) 3 ; div v = 0o.

Observação 1.3 Notemos que se v = w no Lema 1.8, então b (u; w; w) = 0 e consequentemente b (u; u; u) = 0.

Lema 1.9 Sejam X um espaço de Hilbert de dimensão …nita com produto escalar ( ; ), norma j j e P uma aplicação contínua de X em X tal que

(P ( ) ; ) > 0 para _{j j = k > 0.} Então, existe _{2 X; com j j} k, tal que P ( ) = 0.

Demonstração: Mostraremos por absurdo.

Suponhamos que P ( ) 6= 0 na bola Bk = f 2 X; j j kg, então, a aplicação

S : Bk ! Bk, de…nida por:

S ( ) = k P ( ) jP ( )j

é contínua e usando o teorema do Ponto Fixo de Brouwer, existe 0 2 Bk tal que S ( 0) = 0,

isto é:

k P ( 0) jP ( 0)j

= 0 (1.1)

e, conseqüentemente, j 0j = k. Tomando o produto escalar de (1.1) por 0, encontramos:

kP ( 0; 0) jP ( 0)j

=_j 0j2 = k2, ou seja, (P ( 0) ; 0) = kjP ( 0)j < 0

Lema 1.10 Qualquer que seja > 0, podemos escolher G veri…cando G_{2 (H}1( ))3 div G = 0 em G = F sobre (1.2) de modo que jb (v; G; v)j kvk2. (1.3) Onde F = rot com = (1)_; (2)_; (3) _, (i)

2 H2_{( ) ;} @ (i)

@xj 2 L

3_{( ) e} (i)

2 L1_{( ).}

Demonstração: Para provarmos o Lema 1.10 precisaremos de dois outros lemas.

Lema 1.11 Ponhamos (x) = d (x; ), isto é, distância de x a fronteira de . Para todo " > 0 (su…cientemente pequeno), existe uma função "2 C2 tal que

8 > > > > < > > > > :

"= 1 numa vizinhaça de (variável com ") "= 0, se (x) (") , onde (") = exp ( 1=") @ " @xk (x) " (x), se (x) (") ;8 k. (1.4)

Demonstração: De…namos primeiro a função _7! "( ) para 0 por:

"( ) = 8 > > > < > > > : 1, se < (")2 " log ( (") = ), se (")2 < < (") 0, se > (")

e então de…namos " por

"(x) = "( (x)).

Desde que a função _{2 C}2 , " veri…ca (1.4). Agora, consideremos uma função

2 C2 _{e obtemos}

"= " 2 C2 . Mais detalhes ver [6].

Lema 1.12 Existe uma contante C1 tal que

1 v

L2_{( )}

C1kvkH1 0( ).

Demonstração: Sendo _R3 _{um aberto bem regular, podemos considerar}

= (x0; x3) ; x3 > 0 e x0 = (x1; x2)2 R2 .

Neste caso, (x) = x3 > 0 e é su…ciente mostrar que

Z v (x)2 x2 3 dx C1 Z jDnv (x)j 2 dx_{, 8 v 2 D ( ) .}

Esta desigualdade é veri…cada, se provarmos a seguinte desigualdade unidimensional: Z 1 0 v (s) s 2 ds 4 Z 1 0 jv 0_(s) j2ds_{, 8 v 2 D (0; +1) .} (1.5)

Passaremos a demonstrar (1.5) que é conhecida como desigualdade de Hardy. Façamos s = e , t = e e v (s) s = 1 s Z s 0 w (t) dt, onde w = v0_{. Então,} Z 1 0 v (s) s 2 ds = Z 1 0 1 s Z s 0 w (t) dt 2 ds = (1.6) = Z 1 1 1 e Z e 0 w (t) dt 2 e d = = Z 1 1 e Z e 0 w (t) dt 2 d .

Considerando a função de Heaviside

( ) = 8 < : 1, se > 0 0, se < 0; obtemos Z 1 1 e Z e 0 w (t) dt 2 d = Z 1 1 Z 1 1 ( ) e (2 )w (e ) e2d 2 d . (1.7)

Agora, usaremos em (1.7), o Teorema 1.4, considerando f (x) = (x) e x=2

2 L1

(R) e g (z) = w (ez_{) e}z=2

2 L2

Assim, Z 1 1 Z 1 1 ( ) e (2 )w (e ) e2d 2 d = Z 1 1j(f g) ( )j 2 d = =_{j(f g)j}2_L2_(R) jfj 2 L1_(R)jgj 2 L2_(R)= = Z 1 1 f ( ) d 2Z ₁ 1jg ( )j 2 d = = Z ₁ 1 ( ) e 2 d 2Z ₁ 1jw (e )j 2 e d = = 4 Z 1 0 jw (t)j2dt. Logo, _Z 1 1 Z 1 1 ( ) e (2 )w (e ) e2d 2 d 4 Z 1 0 jw (t)j2dt, substituindo a última desigualdade em (1.7) e em seguida em (1.6), obtemos (1.5).

Demonstração do Lema 1.10:

Provaremos com o auxílio dos Lemas 1.11 e 1.12 que G = rot ( " ) veri…ca (1.2) e

(1.3).

De fato: Notemos que, se " 2 C2 e (i) 2 H2( ), então " (i) 2 H2( ) o que

implica que " 2 (H2( )) 3

. Como G envolve as derivadas parciais de primeira ordem de

" , temos que G = rot ( " )2 (H1( )) 3

. Com isto mostramos (1.2)1.

Observemos que div G = div rot ( " ) = 0, e por (1.4) temos G = rot ( " ) = rot = F

sobre . Logo (1.2) é satisfeita.

Queremos agora, mostrar que G = rot ( " ) satisfaz (1.3), para isto, consideremos

B" =fx 2 ; (x) (")g e observemos o vetor G = rot ( " ) = 2 6 6 6 6 6 6 6 4 @ @x2 " (3) @ @x3 " (2) @ @x3 " (1) @ @x1 " (3) @ @x1 " (2) @ @x2 " (1) 3 7 7 7 7 7 7 7 5 .

Usando as propriedades de " vemos que G(2)_{(x) =} @ x3 "(x) (1)(x) @ x1 "(x) (3)(x) @ x3 "(x) (1)(x) +j "(x)j @ x3 (1)_{(x) +} + @ x1 "(x) (3)(x) +j "(x)j @ x1 (3)_(x) " (x) (1)_{(x) +} (3)_{(x) + sup} x2 j "(x)j @ x3 (1)_{(x) +} @ x1 (3)_{(x) ,} se (x) ("). Consequentemente, G(2)(x) C " (x)j (x)jR3 +jD (x)j , se (x) (")_{, onde jD (x)j =} 3 X i;j=1 Di (j)(x) 2 !1=2 e C = max x2 1; sup_x2 j "(x)j . O

mesmo ocorre quando fazemos j = 1; 3 e, dessa forma, temos

G(j)(x) C "

(x)j (x)j + jD (x)j ;

se (x) (") ;para j = 1; 2; 3 e G(j)_{= 0, se (x) > ("), pois nesse caso}

" = 0. Como (i) 2 L1_{( ) ; então:} G(j)(x) C " (x)supess_x2 j (x)j + jD (x)j , ou seja, G(j)(x) C " (x) +jD (x)j ; j = 1; 2; 3 (1.8) com (x) (") e C = max supess

x2 j (x)j ; 1 .

Multiplicando (1.8) por v(i)(x) e elevando ao quadrado, obtemos

v(i)G(j)(x) 2 C "2 v (i)_(x) (x) 2 + v(i)(x) 2_{jD (x)j}2 ! ; (x) ("), j = 1; 2; 3.

Integrando sobre B" e observando que

Z

v(i)G(j)(x)2dx = Z

B"

pois fora de B", sabemos que G(j)= 0. Chegamos a Z v(i)G(j)(x)2dx = Z B" v(i)G(j)(x) 2dx C "2 Z B" v(i)_(x) (x) 2 dx + Z B" v(i)(x)2_{jD (x)j}2dx ! C "2 Z v(i)_(x) (x) 2 dx + Z B" v(i)(x) 2_{jD (x)j}2dx ! , (x) ("), j = 1; 2; 3. Logo v(i)G(j) 2_L2_{( )} C " 2 v(i) 2 L2_{( )} + Z (") v(i) 2_{jD j}2dx ! , o que implica v(i)G(j) _L2_{( )} C " " v (i) L2_{( )} + Z (") v(i) 2_{jD j}2dx 1=2# .

Agora, usando a Desigualdade de Hölder, com p = 3 e q = 3=2, resulta: Z (") v(i) 2_{jD j}2dx 1=2 ( Z (") v(i) 6dx 1=3 Z (")jD j 3 dx 2=3)1=2 = = v(i) _L6_{( )}' (") ; onde ' (") = Z (")jD j 3 dx 1=3

. Notemos que ' (") ! 0 se " ! 0, pois Di (i) 2 L3( ) e

daí obtemos v(i)G(j) _L2_{( )} C " v(i) L2_{( )} + v(i) _L6_{( )}' (") ! . (1.9)

Usando (1.9) e o Lema (1.12), deduzimos que

v(i)G(j) _L2_{( )} C " v(i) L2_{( )} + v(i) _L6_{( )}' (") ! C " v L2_{( )} +_{kvk ' (")} ! C ("_{kvk + kvk ' (")) =} = C (" + ' ("))_{kvk .}

Portanto, do Lema 1.8 e da Desigualdade de Hölder, segue: jb (v; G; v)j = jb (v; v; G)j 3 X i;j=1 Z v(i)Div(j)G(j) dx 3 X i;j=1 Div(j) _L2_{( )} v (i)_G(j) L2_{( )} 3 X i;j=1 v(j) v(i)G(j) _L2_{( )} 3 X i;j=1 kvk v(i)G(j) _L2_{( )} =kvk 3 X i;j=1 v(i)G(j) _L2_{( )} kvk 3 X i;j=1 C (" + ' ("))_{kvk = kvk}2C (" + ' (")) = _kvk2; com = C (" + ' (")).

Capítulo 2

O Problema Homogêneo

O objetivo deste capítulo é estudar a existência e unicidade de solução para o problema homogêneo de Navier-Stokes. Dividiremos o capítulo em três seções: na primeira seção apresentaremos a formulação fraca do problema; na segunda estudaremos a existência de solução e, por …m, estabeleceremos, sob certas condições, a unicidade de solução.

Seja _{um aberto limitado do R}3, cuja fronteira representamos por , a qual admitimos bem regular. Dado um campo vetorial u = (u(1)_{; u}(2)_{; u}(3)_{) de…nido em , adotaremos as}

seguintes notações: Diu = (Diu(1); Diu(2); Diu(3)) = @u(1) @xi ;@u (2) @xi ;@u (3) @xi , i = 1; 2; 3; u = u(1)_{; u}(2)_{; u}(3) _; div u = 3 P i=1 Diu(i) = @u(1) @x1 +@u (2) @x2 + @u (3) @x3 .

O problema estacionário de Navier-Stokes consiste em determinar um campo vetorial u = (u(1)_{; u}(2)_{; u}(3)_{) de…nido em ; e p veri…cando} (P ) u + 3 X i=1 u(i)_D iu + grad p = f em ; div u = 0 em ; u = 0 sobre

onde u é uma função vetorial e p uma função escalar que representam, respectivamente, a velocidade e pressão do ‡uido.

2.1

Formulação Fraca do Problema (P )

Procedendo formalmente, multiplicamos (P )_{1 por v 2 V e integramos sobre} para encontrarmos: Z u v dx + Z _X3 i=1 u(i)Diu v dx + Z grad p v dx = Z f vdx, isto é: ( u; v) + 3 X i=1 u(i)Diu; v ! + (grad p; v) = (f; v) ; _{com v 2 V .} Agora, usamos a Fórmula de Green e obtemos:

( u; v) = Z v (x) u (x) dx = = Z ru (x) rv (x) dx Z v (x)@u @ d = = Z _@u @x1 ; @u @x2 ; @u @x3 @v @x1 ; @v @x2 ; @v @x3 dx = = Z _X3 j=1 @u @xj @v @xj dx = 3 X i;j=1 Z _@u(i) @xj @v(i) @xj dx = a (u; v).

Da de…nição de b (u; v; w), obtemos:

3 X i=1 u(i)Diu; v ! = Z _X3 i=1 u(i)Diu v dx = 3 X i;j=1 Z u(i)Diu(j)v(j)dx = = b (u; u; v). Finalmente, para todo v 2 V , temos:

(grad p; v) = @p @x1 ; @p @x2 ; @p @x3 ; v(1); v(2); v(3) = = 3 X j=1 (@p @xj ; v(j)) = 3 X j=1 p; Djv(j) = (p; 3 X j=1 Djv(j)) = (p; div v) = 0.

Isto motiva a formulação do seguinte problema:

Dado f 2 V0_{, encontrar u 2 V tal que}

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V ,} que é a formulação fraca do Problema (P).

2.2

Existência de Solução

A seguir, estudaremos o Problema (P) em sua formulação fraca, cuja solução u denominaremos solução fraca do Sistema Homogêneo de Navier-Stokes.

Teorema 2.1 Dado f em V0, existe u em V solução de

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V .} (2.1)

Demonstração: A demonstração é baseada no Método de Galerkin, o qual consiste de três etapas: (i) o problema aproximado; (ii) estimativas a priori e (iii) passagem ao limite.

2.2.1

Etapa 1: O Problema Aproximado

Consideremos uma base hilbertiana fw g _2N de V e seja Vm = [w1; :::; wm]o subespaço

de V gerado pelos m primeiros vetores de fw g 2N.

O Problema Aproximado (P A) associado a (2.1) consiste do seguinte:

(P A) Encontrar um : ! R da forma um(x) = m P j=1 jmwj(x), jm 2 R, tal que a (um; v) + b (um; um; v) = hf; vi , 8 v 2 Vm. (2.2)

No Lema 1.9, consideremos X = Vm e seja P = Pm : Vm ! Vm, de…nida por: Pm(u)é

o vetor de Vm satisfazendo a identidade

((Pm(u) ; v)) = a (u; v) + b (u; u; v) hf; vi , 8 v 2 Vm.

(i) Pm é contínua.

De fato: Se u está próximo de u0, isto é, ju u0j < , então

j(u; u; v) (u0; u0; v)j = j(u u0; u u0; 0)j

ju u0j + ju u0j < 2 :

Sendo dim Vm <1, temos Vm ' Vm0 ' Vm00 e, conseqüentemente:

kPm(u) Pm(u0)k = sup kvk 1 v2Vm j((Pm(u) Pm(u0) ; v))j = = sup kvk 1 v2Vm j((Pm(u) ; v)) ((Pm(u0) ; v))j = = sup kvk 1 v2Vm j a (u; v) a (u0; v) + b (u; u; v) b (u0; u0; v)j j j sup kvk 1 v2Vm ja (u; v) a (u0; v)j + sup kvk 1 v2Vm jb (u; u; v) b (u0; u0; v)j : Logo: kPm(u) Pm(u0)k ,

pois a (u; v) é contínua, o que implica que

ja (u; v) a (u0; v)j <

2_{j j}

sempre que j(u; v) (u0; v)j < ; e j(u; u; v) (u0; u0; v)j < 2 acarreta

jb (u; u; v) b (u0; u0; v)j

2. (ii) ((Pm(u) ; u)) > 0.

Com efeito: usando o Lema 1.8 e a hipótese de f 2 V0 _obtemos

((Pm(u) ; u)) = a (u; u) + b (u; u; u) hf; uiV0;V =

= a (u; u) _{hf; uiV}0;V kuk 2

resultando em,

((Pm(u) ; u)) kukV ( kukV kfkV0).

Daí, segue que ((Pm(u) ; u)) > 0para kuk = k e k su…cientemente grande: mais precisamente

k > 1_kfkV0. Com isto, as hipóteses do Lema 1.9 são satisfeitas e, portanto, existe umsolução

de (2.2).

2.2.2

Etapa 2: Estimativas a Priori

Façamos em (2.2)2 v = um 2 Vm e obtemos

a (um; um) + b (um; um; um) = hf; umi ,

usando o Lema 1.8, temos

kumk2V =hf; umi ,

e como hf; umi kfk_V0kumk_V, chegamos a

kumkV

1

kfkV0. (2.3)

2.2.3

Etapa 3: Passagem ao Limite

Segue de (2.3) que (um) é limitada em V (H01( )) 3

, que é re‡exivo, então BV é

fracamente compacta, e isto acarreta que (um) possui uma subsequência, ainda denotada

por (um), fracamente convergente, isto é,

um * uem V . (2.4) Sendo V (H1 0 ( )) 3 ,_{! (H}1_{( ))}3_{, temos que (u} m) é limitada em (H1( )) 3 e o Teorema de Rellich nos diz que (H1( ))3 está imerso compactamente em (L2( ))3. Assim, existe uma subsequência de (um)que denotamos da mesma forma tal que

um ! u em L2( ) 3

Pela Proposição 1.3, existe ainda uma subsequência de modo que

um! u q:s em . (2.6)

De (2.4), segue que

a (um; v)! a (u; v) , 8 v 2 Vm (2.7)

e para estabelecer a convergência

b (um; um; v)! b (u; u; v) , 8 v 2 Vm (2.8)

usaremos o Lema 1.8. De fato:

b (um; um; v) = b (um; v; um) = 3 X i;j=1 Z u(i)_mDiv(j)u(j)mdx ! ! 3 X i;j=1 Z

u(i)Div(j)u(j) dx = b (u; v; u) = b (u; u; v).

O que precisamos mostrar, na verdade, é a convergência Z

u(i)_mDiv(j)u(j)m dx !

Z

u(i)Div(j)u(j)dx.

Para isto, mostremos primeiro que

u(i)_mu(j)_m é limitada em L2( ), 1 i; j 3. (2.9)

De fato, segue de (2.3) que (um) é limitada em V e assim, u(i)m; u(j)m são limitadas em

H1 0( ) ,! L6( ) ,! L4( ). Logo, Z u(i)_mu(j)_m 2dx = Z u(i)_m 2 u(j)_m 2dx

e usando a Desigualdade de Hölder na última igualdade, temos Z u(i)_mu(j)_m 2dx Z u(i)_m 4dx 1=2 Z u(j)_m 4dx 1=2 = = u(i)_m 2_L4_{( )} u (j) m 2 L4_{( )} C:

Por (2.9) e passando a uma subseqüência, se necessário for, podemos admitir que

u(i)_mu(j)_m * ij em L2( ). (2.10)

Notemos que: ij = u(i)u(j). Com efeito: segue de (2.9) que u (i) mu(j)m

L2_{( )} C, e em (2.6)

temos um ! u q:s em , logo u (i)

m ! u(i) q:s em , implicando u(i)mu(j)m ! u(i)u(j) q:s em .

Assim as hipóteses do Lema de Lions são satisfeitas, e portanto

u(i)_mu(j)_m * u(i)u(j) em L2( ). (2.11)

De (2.10), (2.11) e a unicidade do limite, temos ij = u(i)u(j). Sendo v(j) 2 H01( ), então

Div(j)2 L2( ), e portanto obtemos Div(j); u(i)mu (j) m _L2_{( )} ! Div (j)_{; u}(i)_u(j) L2_{( )},

com esta convergência, temos mostrado (2.8).

Fixado m0 e considerando m0 m, temos que:

a (um; v) + b (um; um; v) =hf; vi , 8 v 2 Vm0.

Com as convergências (2.7) e (2.8), podemos passar o limite quando m ! 1 na última equação para obtermos

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V}m0, 8 m0. (2.12)

Como as combinações lineares …nitas dos fw g 2N são densas em V , temos que (2.12) vale

para todo v 2 V , isto é,

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi ; 8 v 2 V .}

2.3

Unicidade de Solução

Mostraremos agora um teorema que garante, sob certas condições, a unicidade de solução para o Problema Homogêneo de Navier-Stokes.

Teorema 2.2 Se n = 3 e su…cientemente grande ou f su…cientemente pequeno de modo que

2 _C

kfkV0. (2.13)

Então existe uma única solução u de

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V .} (2.14)

A contante C em (2.13) é a mesma da demonstração do Lema 1.7.

Demonstração: Sejam u e ^uduas soluções de (2.14), então

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V ,} a (^u; v) + b (^u; ^u; v) =_{hf; vi , 8 v 2 V .} Consideremos w = u u^e obtemos a (w; v) + b (u; u; v) b (^u; ^u; v) = 0_{, 8 v 2 V ,} ou ainda, a (w; v) + b (u; w; v) + b (w; u; v) b (w; w; v) = 0_{, 8 v 2 V .} (2.15) Agora, fazendo v = w em (2.15) e usando novamente o Lema 1.8, obtemos

kwk2V + b (w; u; w) = 0,

resultando em,

kwk2V jb (w; u; w)j .

Assim, pelo Lema 1.7

kwk2V Ckwk 2

V kukV . (2.16)

Como temos

a (u; v) + b (u; u; v) =_{hf; viV0;V , 8 v 2 V ,} façamos v = u, para obtermos

isto é, kukV 1 kfkV0 (2.17) substituindo (2.17) em (2.16), obtemos: kwk2V C kwk2V kfkV0, ou melhor, kwk2V C kfkV0 0.

Desta forma, usando a hipótese (2.13), concluimos que w = 0 e isto signi…ca que u = ^u. Portanto, obtemos a unicidade para o Sistema de Navier-Stokes.

Capítulo 3

O Problema Não Homogêneo

Neste capítulo estamos interessados no estudo do problema não homogêneo de Navier-Stokes, ainda no caso em que _{é um aberto limitado do R}3_{com fronteira bastante regular.}

O método consiste basicamente em transformar o problema não homogêneo em um problema homogêneo equivalente e, usando o mesmo procedimento do capítulo 2, mostrar a existência e unicidade de solução.

Consideremos um campo vetorial = (1)_; (2)_; (3) _{com as seguintes propriedades:} (i) 2 H2( ) ; @ (i) @xj 2 L 3_{( ) ;} (i) 2 L1( ). (3.1) Com auxílio das Imersões de Sobolev (Teorema 1.2), observamos que a primeira condição em (3.1) implica nas outras duas. De fato: lembremos que

H2( ) = W2;2( ) ,_{! L}1( ), pois 1 2

2 3 < 0, de modo que: se (i) _{2 H}2( ), então (i) _{2 L}1( ).

Agora, se (i) 2 H2( ) ;então @ (i) @xj 2 H 1_{( ) = W}1;2_{( ) ,} ! L6( ), pois 1 6 = 1 2 1 3 > 0, como L6_{( ) ,} ! L3_{( ) temos que:} (i) 2 H2( ) acarreta @ (i) @xj 2 L 3_{( ).}

Observemos que sendo F = rot , resulta de (3.1) que

F _{2 H}1( ) 3. (3.2)

Teorema 3.1 Suponhamos f = f(1); f(2); f(3) com f(i)

2 H 1_{( ) ; i = 1; 2; 3 e F =}

rot ; (i)

veri…cando (3.1). Então, existem U 2 (H1_{( ))}3

e uma distribuição p 2 D0_{( )} satisfazendo (P1) U + 3 X i=1 U(i)_D iU = f grad p em , div U = 0 em , U F _{2 (H}1 0 ( )) 3 .

Notemos que a condição não homogênea (P1)3 signi…ca que:

U(i) = F(i) sobre , i = 1; 2; 3.

Demonstração: Trabalharemos com o mesmo método utilizado para provar o Teorema 2.1 e iniciaremos com a formulação fraca do Problema (P1).

3.1

Formulação Fraca do Problema (P

1

)

De acordo com o Lema (1.10), existe um vetor G com as seguintes propriedades: G_{2 (H}1_{( ))}3_, div G = 0 em , G = F sobre , (3.3) e consideremos u = U G. Fazendo U = u + G em (P1)1, obtemos (u + G) + 3 X i=1

(u(i)+ G(i))(Diu + DiG) = f grad p,

ou seja, u G + 3 X i=1 u(i)Diu + 3 X i=1 u(i)DiG + 3 X i=1 G(i)Diu + 3 X i=1 G(i)DiG = f grad p.

Desta forma, u + 3 X i=1 u(i)Diu + 3 X i=1 u(i)DiG + 3 X i=1 G(i)Diu = ~f grad p, (3.4) onde ef = f + G 3 P i=1 G(i)DiG está em (H 1( )) 3

. De fato: basta observarmos que f _{2 (H} 1( ))3; G_{2 (H}1( ))3 e G_{2 (H} 1( ))3.

Por outro lado,

div u = 0. (3.5)

Pois, div u = div (U G) = div U div G = 0. Em (P1)3temos U F 2 (H01( ))

3

, mas com U = u+G obtemos u+G F 2 (H1 0 ( ))

3

, como G = F sobre conseguimos

u_{2 H0}1( ) 3. (3.6)

Segue de (3.5) e (3.6) que u 2 V , onde V =nv _{2 (H0}1( ))3; div v = 0o. Portanto, temos o seguinte

Problema: _{Encontrar u 2 V tal que}

a (u; v) + b (u; u; v) + b (u; G; v) + b (G; u; v) =Df ; ve E_{, 8 v 2 V .} (3.7)

que é a formulação fraca do problema (P1).

O próximo passo é garantir para (3.7) a existência de solução.

3.2

Existência de Solução

O método de demonstração do Teorema 2.1, nos assegura a existência de u solução de (3.7) se pudermos escolher G de forma que

((P (v) ; v)) = a (v; v) + b (v; v; v) + b (v; G; v) + b (G; v; v) D ~ f ; v E kvk2, > 0_{, 8 v 2 V .}

Mas, podemos garantir a escolha de G veri…cando (3.3) pelo Lema 1.10, de modo que jb (v; G; v)j kvk2 para qualquer > 0. Supondo > , temos que = > 0 e considerando > jj ~fjjV0 kvkV obtemos ((P (v) ; v)) = a (v; v) + b (v; G; v) Df ; v~ E kvk2V kvk 2 V jj ~fjjV0kvk_V = = jj ~fjjV0 kvkV ! kvk2V = kvk 2 , com = jj ~fjjV0 kvkV > 0.

Dessa forma, garantimos a existência de solução para o problema aproximado:

a (um; v) + b (um; um; v) + b (um; G; v) + b (G; um; v) =

D ~

f ; vE_{, 8 v 2 V}m. (3.8)

3.3

Estimativas a Priori

Fazendo em (3.8), v = um(x)2 Vm deduzimos que

a (um; um) + b (um; um; um) + b (um; G; um) + b (G; um; um) = D ~ f ; um E .

Pelo Lema 1.10, obtemos b (um; G; um) kumk 2

e usando o Lema 1.8, chegamos a D ~ f ; um E V0_;V = a (um; um) + b (um; G; um) kumk 2 V kumk2V , o que implica, ( )_kumk 2 V D ~ f ; um E V0_;V jj ~fjjV0kumkV ,

considerando > , onde é dada pelo Lema 1.10 temos

kumk_V

1

( )jj ~fjjV0. (3.9)

3.4

Passagem ao Limite

Segue de (3.9) que (um) é limitada em V , assim temos

Sendo V (H1 0 ( )) 3 ,_{! (H}1_{( ))}3_{, temos que (u} m) é limitada em (H1( )) 3 e o Teorema de Rellich garante a existência uma subsequência de (um), que denotamos da mesma forma,

tal que

um ! u em L2( ) 3

e q.s. em . (3.11)

No caso homogêneo, já obtivemos as convergências:

a (um; v)! a (u; v) , 8 v 2 Vm, (3.12)

e

b (um; um; v)! b (u; u; v) , 8 v 2 Vm (3.13)

e, agora, mostraremos que:

b (um; G; v)! b (u; G; v) , 8 v 2 Vm, (3.14)

e

b (G; um; v)! b (G; u; v) , 8 v 2 Vm. (3.15)

Para mostrar (3.14), observemos inicialmente que (u(i)m) é limitada em H₀1( ) ,! L6( ) ,!

L4( ) _{e como v 2 V}m teremos v(j) 2 L4( ). Logo, pela Desigualdade de Hölder

Z u(i)_mv(j) 2dx = Z u(i)_m 2 v(j) 2dx Z u(i)_m 4dx 1=2 Z v(j) 4dx 1=2 = = u(i)_m 2 L4_{( )} v (j) 2 L4_{( )} C. Assim, _Z u(i)_mDiG(j)v(j)dx ! Z u(i)DiG(j)v(j)dx e, portanto: b (um; G; v) = 3 X i;j=1 Z u(i)_mDiG(j)v(j) dx ! 3 X i;j=1 Z u(i)DiG(j) v(j) dx = = b (u; G; v).

A demonstração de (3.15) é análoga a anterior. Basta observarmos que b (G; um; v) =

b (G; v; um).

Fixado m0 e considerando m0 m, resulta:

a (um; v) + b (um; um; v) + b (um; G; v) + b (G; um; v) =

D ~

f ; vE_{, 8 v 2 V}m0.

Podemos agora, passar o limite quando m ! 1 na equação anterior para obtermos

a (u; v) + b (u; u; v) + b (u; G; v) + b (G; u; v) = D

~ f ; v

E

, 8 v 2 Vm0, 8 m0 (3.16)

e sendo as combinações lineares …nitas dos fw g 2N densas em V , temos que (3.16) vale para

todo v 2 V , isto é,

a (u; v) + b (u; u; v) + b (u; G; v) + b (G; u; v) =Df ; v~ E_{, 8 v 2 V .}

3.5

Unicidade de Solução

A seguir mostraremos, sob certas condições, a unicidade de solução para o Problema Não Homogêneo de Navier-Stokes.

Teorema 3.2 Suponhamos n = 3 e que a norma de F em (L3_{( ))}3 _{é su…cientemente}

pequena de modo que:

jb (v; F; v)j ₂kvk2, 8 v 2 V , (3.17) e é su…cientemente grande tal que

2 _{> 4C}

jj ~f_jjV0, (3.18)

onde C é uma constante e ~f = f + F

3

X

i=1

FiDiF. Então existe uma única solução U do

problema: (P1) U + 3 X i=1 U(i)_D iU = f grad p em , div U = 0 em , U = F sobre . (3.19)

Demonstração: Se U1 é solução de (P1), então u1 = U1 F é uma solução de

a (u; v) + b (u; u; v) + b (u; G; v) + b (G; u; v) =Df ; v~ E_{, 8 v 2 V .} (3.20)

Consideremos G = F e obtemos

a (u1; v) + b (u1; u1; v) + b (u1; F; v) + b (F; u1; v) =

D ~

f ; vE_{, 8 v 2 V .} (3.21)

Tomando v = u1 em (3.21) e aplicando o Lema (1.8), teremos

ku1k2_V + b (u1; F; u1) =

D ~ f ; u1

E

implicando na seguinte desigualdade

ku1k2_V jb (u1; F; u1)j + D ~ f ; u1 E ,

usando a hipótese (3.17) e o fato de ~f ser linear e contínua, deduzimos que:

ku1k2_V 2 ku1k 2 V + f~ V0ku1kV , e daí 2 ku1k 2 V jj ~fjjV0ku1kV , logo, ku1k_V 2 jj ~f_jjV0. (3.22)

Suponhamos U0 e U1 soluções de (P1) e sejam u0 = U0 F, u1 = U1 F, w = u0 u1, u0 e

u1 satisfazendo (3.20) com G = F : a (u0; v) + b (u0; u0; v) + b (u0; F; v) + b (F; u0; v) = D ~ f ; vE; _{8 v 2 V .} a (u1; v) + b (u1; u1; v) + b (u1; F; v) + b (F; u1; v) = D ~ f ; vE; _{8 v 2 V .}

Tomando v = w nestas equações e subtraindo, temos

a (w; w) + b (u0; u0; w) b (u1; u1; w) + b (u0; F; w) b (u1; F; w) +

Expandindo, isto é, w = u0 u1, obtemos

kwk2 = b (w; u1; w) b (w; F; w)

ou melhor,

kwk2 jb (w; u1; w)j + jb (w; F; w)j

do Lema (1.7) e das desigualdades (3.17) e (3.22), segue

kwk2 C_kwk2 2_{jj ~}f_jjV0 + 2kwk 2 . Assim, 2 C 2 jj ~f_jjV0 kwk2 0,

sendo 2 > 4C_{jj ~}f_jjV0, temos kwk = 0. Logo u₀ = u₁ acarretando U₀ = U₁.

Referências Bibliográ…cas

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