UM ESTUDO DE ERROS NAS OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS
DECIMAIS
Rosineide Sousa Jucá, UEPA/ PPGECM/REAMEC/UFPA, rosejuca@yahoo.com.br Pedro Franco de Sá, UEPA/UNAMA, pedro.fraco.sá@gmail.com
RESUMO
Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo realizar uma análise de erros cometidos por alunos ao operacionalizar com os números decimais. Utilizamos como instrumento de pesquisa um teste com 6 problemas de números decimais que aplicamos a uma turma do 6º ano de uma escola publica da cidade de Belém do Pará. Na análise das questões conseguimos identificar os erros e as dificuldades mais comuns e observamos que os erros nas operações com os números decimais estão relacionados à falta de compreensão conceitual de número decimal e do sistema posicional decimal.
Palavras chave: Educação Matemática, Avaliação da aprendizagem, Análise de erros, Números decimais.
ABSTRACT
This paper presents the results of a study that aims to perform an analysis of errors made by students to operate with decimal numbers. We use as a research tool to test 6 problems decimal numbers that apply to a class of 6th year of a public school in the city of Belém do Pará. In the analysis of the issues we can identify the errors and the most common difficulties and noted that the errors operations with decimal numbers are related to lack of conceptual understanding of decimal numbers and decimal positional system. Keywords: Mathematics Education, Evaluation of learning, analysis of errors, decimal numbers
1. Introdução
O estudo do erro tem despertado o interesse de muitos pesquisadores no campo da Avaliação da Aprendizagem da Matemática, pois estes acreditam que os erros são elementos construtivos no processo de aprendizagem e devem ser visto como algo positivo, pois ajudam a identificar as dificuldades e os obstáculos contidos na aprendizagem da matemática. Concordamos com Souza (2002) quando afirma
que a criança quando comete um erro ela emite ao professor sinais da qualidade de suas interpretações que, por sua vez, depende do nível de estruturação da sua inteligência. Sinaliza também, a fragilidade da sua relação com o objeto de conhecimento e pode dar pistas importantes sobre suas reais capacidades de assimilação.
Para Piaget (1988) a capacidade de o aluno aprender depende não somente do ensino, mas também das formas ou estruturas de pensamento que ele predispõe para assimilar o ensino, ou seja, depende do nível de competência cognitiva do aluno. Assim, o importante é a ação física ou mental realizada pela criança; os erros e acertos são vistos como produto dessa ação; são detalhes, conseqüências do processo de desenvolvimento.
Estudos desenvolvidos na área de Educação Matemática, especificamente com os números decimais, têm mostrado as dificuldades e os erros dos alunos em operar com os “números com vírgulas”. Zunino (1995) afirma que “a deficiência do aluno em operar com os números naturais só se manifesta em algumas situações, enquanto para os números decimais, o problema surge em várias situações nas quais eles aparecem envolvidos”.
Diante do exposto, revisamos alguns estudos que tratam sobre o ensino dos números decimais. Dentre estes estudos destacamos os de: Fonseca (2005), Vieira (2005) e Esteves (2009) que fazem referência às dificuldades e aos erros que os alunos apresentam com os números decimais. Alguns desses estudos trazem como referencial teórico os estudos desenvolvidos por Brousseau (1981) sobre os números decimais e sobre o erro e os obstáculos da aprendizagem.
Assim, nos propomos neste trabalho, realizar a análise de alguns erros que os alunos cometem quando operacionalizam com os números decimais.
2. Estudos sobre os números decimais
Apresentamos “recortes” de alguns estudos referentes aos números decimais, estes estudos apresentam algumas dificuldades e os erros mais comuns dos alunos relacionados à compreensão conceitual, representação escrita e as operações dos números decimais.
O estudo de Fonseca (2005) foi realizado junto aos alunos da 6ª série do ensino fundamental de uma escola de São Paulo, com o objetivo de analisar a compreensão dos alunos nas questões que envolviam decimais, e observar os erros cometidos na operação de divisão dos números racionais decimais.
Segundo Fonseca (ibid.), os erros observados na operação de divisão iniciam quando o aluno não iguala as casas decimais para começar a divisão, mostrando assim que não possuem compreensão do significado da vírgula no divisor e do zero no quociente. Segundo este autor, os alunos conseguiram identificar os termos décimos, centésimos e milésimos, mas não atribuíram significados aos mesmos quando inseridos na divisão; mostraram que conhecem a técnica da divisão no campo dos naturais, porém, não refletem sobre a utilização da mesma, pois apresentaram problema em continuar a divisão até o final.
Outro estudo revisado foi o de Vieira (2005) que realizou um estudo junto aos alunos da 5ª série e da 8ª série de uma escola do Rio Grande do Sul, com o objetivo de conhecer as dificuldades conceituais que os alunos possuem sobre os números decimais. Em relação à questão de compreensão conceitual, Vieira (ibidem) concluiu que os alunos vêem os números decimais como números com vírgulas, mas a maioria não tem clareza do que seja um número decimal, pois eles não conseguiram identificar a parte inteira e a parte decimal, dessa forma não entenderam o significado da vírgula no número e não conseguiram estabelecer uma comparação entre os mesmos.
Em relação às operações com números decimais, Vieira (2005) observou que os alunos apresentaram bons resultados. A divisão e subtração apareceram como as operações mais difíceis, as quais apresentam mais erros. De forma geral, ela concluiu que as operações são realizadas de forma mecânica e com a utilização de regras simplificadas, desse modo os alunos não possuem compreensão das operações que realizam e isso ocorre porque o ensino privilegia a memorização em vez da utilização da lógica, como conseqüência os alunos não compreendem o significado das operações que estão realizando, chegando, às vezes, a respostas absurdas. Ela relaciona essas dificuldades de operacionalizar com os decimais ao aspecto conceitual desses números.
Esteves (2009) realizou uma pesquisa junto aos professores do 5º ano sobre números decimais na cidade de Campo Grande - MS, com o objetivo de investigar
os conhecimentos desses professores do 5º ano do Ensino Fundamental sobre números decimais e a relação com sua prática pedagógica.
Na pesquisa foram desenvolvidas situações que envolveram o conceito de números racionais, as operações com números decimais e as relações estabelecidas entre os números decimais, o sistema de numeração decimal e os sistemas de medidas e monetário. Quanto às dificuldades de seus alunos, relativas à aprendizagem dos números decimais, dois tópicos são levantados pela maioria dos professores: a compreensão do que representam os números decimais e a divisão com eles. Dificuldades também relacionadas às dúvidas que os próprios professores possuem sobre o conteúdo.
Em relação às operações com os números decimais, a autora observa a predominância da memorização das técnicas algorítmicas e na forma mecanizada de ensino, desprovido de compreensão por parte de quem ensina, sem preocupação com os conceitos envolvidos. Segundo a autora os resultados revelam a existência de lacunas no conhecimento específico sobre números decimais desses professores, as quais interferem em seu conhecimento pedagógico do conteúdo e também em seu conhecimento curricular, e tendem a influenciar a forma como organizam o processo de ensino e aprendizagem dos números decimais em sala de aula.
Na análise dos estudos de Fonseca (2005), Vieira (2005) e Esteves (2009), observam-se conclusões semelhantes em relação às dificuldades e aos erros que os alunos manifestaram na compreensão dos números decimais, relacionamos a seguir alguns desses erros:
Desconhecimento do sistema posicional decimal;
Não conseguem fazer a representação escrita dos números decimais; por que não compreendem o conceito de número decimal;
Posicionam incorretamente a vírgula e não conseguem realizar a leitura dos decimais;
Dificuldades para realizar as operações com números decimais por causa da memorização de regras que vão reproduzir modelos erráticos;
Um ponto relevante na revisão dos estudos, e que foi colocado por todos os autores, é a comparação que os alunos fazem dos números decimais com os
números naturais, pois “enxergam” os decimais como naturais separados por vírgula, dessa forma, então, sentem dificuldade de compreender os números decimais como um número que pertence a outro conjunto numérico. Este tipo de erro é explicado pelo estudo desenvolvido por Brousseau (1981) sobre os “problemas da didática dos decimais”, que tinha por objetivo discutir sobre as questões epistemológicas referentes aos números decimais. Para Brousseau (ibidem) os números decimais possuem obstáculos do tipo didático, histórico-epistemológico. O primeiro relacionado à forma de ensino dos decimais; o segundo relacionado á questões históricas desses números, pois, estes sempre foram ensinados associados a um sistema de medidas e a técnicas de operações dos inteiros naturais. Como conseqüência, os números decimais não são vistos como um número do conjunto dos racionais, mas como números naturais com uma vírgula.
3. A metodologia de pesquisa
A pesquisa é do tipo investigativo, no qual aplicamos um teste com seis problemas que envolviam números decimais a 30 alunos do 6º ano de uma escola pública da cidade de Belém do Pará.
4. Análises dos erros cometidos nas operações com números decimais
Fundamentados nos estudos supracitados utilizamos as dificuldade e erros apontados nestes estudos para criarmos três categorias de análise, quais sejam: C1 - Compreensão conceitual de número decimal;
C2 - Compreensão do sistema posicional decimal;
C3- Utilização correta dos algoritmos das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Apresentamos o quadro 1 que faz o comparativo do número de acertos, erros e questões em branco.
Quadro 1 - comparativo de acertos e erros e não fez
Questões Acertos Erros Em branco
01 94% 6% - 02 40% 40% 20% 03 88% 12% - 04 6% 88% 6% 05 51% 43% 6% 06 31% 65% 4%
A seguir apresentamos às questões que foram resolvidas pelos alunos e os objetivos das mesmas, assim como, a análise de algumas respostas dadas pelos alunos. Escolhemos para as análises as questões que apresentaram erros significativos e que foram cometidos pelos demais alunos.
1. Dona Marta comprou 8,25 metros de tecido e dona Lucia comprou 12,35
metros. Quantos metros as duas compraram juntas?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue adicionar corretamente com os números decimais.
Esta questão teve 94% de acerto, os erros cometidos foram em relação à escolha errada da operação, ou a falta de compreensão da questão. Nesta questão não houve questões em branco, como mostra o quadro 1. Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.
Figura 1 resposta aluno A Figura 2 resposta aluno B
O aluno A apresenta um desconhecimento do sistema posicional, pois observamos que o aluno não consegue “arrumar” corretamente as parcelas dessa forma chega um resultado absurdo. Além do que, apresenta uma falta de
compreensão conceitual de número decimal, pois efetua a adição da parte inteira com a parte decimal.
O aluno B, apesar de arrumar corretamente as parcelas parece não compreender o que estes números significam, observe que ao efetuar a soma encontra como resultado um valor absurdo. O aluno erra porque desconhece o valor posicional e demonstra não possui uma compreensão conceitual de número decimal. Outro ponto a ser levantado é que as ideias de unidades, dezenas e centenas parecem que não são claras para os alunos nos dois casos.
02. Sofia tem R$ 22,00. Foi ao parque e gastou R$ 8,50 na roda gigante e nos cavalinhos; R$ 5,90, com maçã do amor e docinhos. Quanto restou do dinheiro que possuía?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue adicionar e subtrair corretamente com os números decimais.
A questão 02 apresentou 40% de acertos. Em relação aos erros, 17% dos alunos acertaram apenas uma operação. Constatamos que 9% dos erros foram relativos à escolha da operação, e somente 3% dos alunos erraram ao posicionar a vírgula no resultado. Apresentamos a seguir alguns erros cometidos pelos alunos.
Figura 3 resposta aluno A Figura 4 resposta aluno B Figura 5 resposta aluno C
O aluno A compreende a questão, mas ao tentar utilizar as operações com os números decimais mostra que desconhece sua utilização. Utilizando de forma inadequada os dados da questão, pois no lugar de 22 ele usa 2,20 e no lugar de 5,90 ele usa 59,0.
O aluno B, além de não ter uma boa compreensão do problema, utilizada de forma errada seus dados, não fazendo distinção entre os números inteiros e os decimais. Observe que ao utilizar o 22 ele usa um 2 para a parte inteira e o outro 2 para a parte decimal. Este aluno mostra que além de desconhecer o sistema posicional decimal também não conhece a regra paras as operações de adição e
subtração dos decimais.
O aluno C comete um erro ao efetuar a operação de adição, pois ao adicionar 5 + 5 coloca como resultado 4; na subtração ignora o zero, considerando o mesmo sem valor. Segundo Pérez (1997) isso ocorre porque os alunos aprendem que o zero não possui valor e assim não representa nenhuma quantidade, e isso se torna uma das causas principais das dificuldades relativas ao zero, que irá acompanhar o aluno por séries posteriores.
03. Um alfaiate gasta 2,6m de tecido para fazer um paletó. De quantos metros de tecido precisará para fazer 3 paletós?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue realizar uma multiplicação entre um número inteiro e o um decimal.
Observamos 83% no número de acertos e nenhuma questão em branco. Muitos dos erros detectados na resolução da questão foram em relação à escolha da operação. Apresentamos a seguir alguns erros cometidos pelos alunos.
Figura 6 resposta aluno A Figura 7 resposta aluno B
O aluno A coloca o sinal de (+) e efetua uma adição entre o 3 e o 6 e uma multiplicação entre o 3 e o 2, fica claro que o aluno desconhece a utilização do algoritmo da multiplicação.
O aluno B, acerta na escolha da operação, mas efetua a multiplicação erradamente, observe que ele ao multiplicar 3x6 coloca 18 no resultado, mostrando que parece desconhecer como efetuar com esse algoritmo.
Percebemos que tanto o aluno A como o B mostram um desconhecimento de como efetuar o algoritmo da multiplicação com os números naturais e com os decimais.
04. João vai comprar 1,87 quilos de biscoitos, sabe-se que o quilo
custa R$ 0,80. Quanto João irá pagar?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue realizar a multiplicação entre dois números decimais.
O número de acertos nessa questão foi apenas de 6%. Em relação ao número de erros, tivemos 88% de erros. Conseguimos perceber nessa questão algumas das dificuldades dos alunos, que são: a falta de compreensão do problema, pois 54% dos erros estão relacionados à escolha da operação para resolver o problema e 26% dos alunos que acertaram na escolha da operação, mas cometeram erros no posicionamento da vírgula, mostrando que não compreenderam a regra da multiplicação dos decimais. Apresentamos a seguir alguns dos erros cometidos pelos alunos.
Figura 8 resposta aluno A Figura 9 resposta aluno B
O aluno A ao tentar realizar a multiplicação ignora as vírgulas dos números e efetua erradamente a multiplicação, podemos perceber que o aluno não possui compreensão de como multiplicar com os números decimais, pois não sabe posicionar a vírgula no resultado, além do que, não possui o domínio da tabuada.
O aluno B acerta na escolha e no desenvolvimento da operação, mas erra ao colocar a vírgula no resultado, pois aparecem duas vírgulas, isso mostra que o aluno não possui clareza em relação à posição da vírgula, este tipo de erro está relacionado à falta de compreensão do valor posicional e conceitual dos decimais que é apontado no estudo de Zunino (1995)
Para Pérez (1997) o conhecimento insuficiente do conceito de número decimal e a comparação que os alunos fazem dos decimais com os naturais são os causadores desses erros. Esses conflitos e obstáculos que os alunos manifestam na aprendizagem dos números decimais resultam em erros de leitura e escrita. Isso talvez esteja relacionado a forma mecanizada que professores utilizam para ensinar o algoritmo da multiplicação, pois segundo Esteves (2009) na pesquisa realizada junto aos professores, observou que em relação as operações, foram enfatizadas as técnicas algorítmicas, com um ensino voltado para a memorização e repetição de regras e procedimentos.
0,25 litros. Quantos copos serão usados?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue realizar uma
divisão com os números decimais.
Nessa questão tivemos 51% de acertos. Em relação aos erros, percebemos que os alunos acertaram na escolha da operação para resolver o problema, mas erraram ao armar o algoritmo da divisão. O que observamos foi que os alunos não sabem dividir no campo dos naturais e esse obstáculo comprometeu a aprendizagem no campo dos decimais, pois o aluno não conseguiu compreender a divisão com números decimais e isso vem confirmar as observações feita por Fonseca (2005). Apresentamos a seguir alguns erros cometidos pelos alunos.
Figura 10 resposta aluno A Figura 11 resposta aluno B
O aluno A ao tentar efetuar a divisão, erra no desenvolvimento do algoritmo, mostrando que não sabe como efetuar uma divisão. Nesta resposta, encontramos erros relacionados à falta de domínio da tabuada, desconhecimento do algoritmo de divisão e a falta de um raciocínio lógico, pois o aluno não percebe que o número do divisor é o mesmo encontrado por ele no quociente.
O aluno B, mostra um total desconhecimento do algoritmo, observe que o mesmo não consegue arrumar corretamente a operação de divisão, apesar de ter colocado o sinal da mesma. Parece-nos que a grande dificuldade nestas operações com os números decimais, está na aprendizagem do algoritmo com os naturais. Acreditamos que quando os alunos não possuem clareza de como efetuar essas operações no campo dos naturais, apresentarão dificuldades para desenvolvê-las no campo dos decimais.
06. O dono de uma mercearia distribuiu 87 quilos de arroz em uma dúzia de pacotes iguais. Quantos quilos foram colocados em cada pacote?
O objetivo dessa questão era verificar se o aluno consegue realizar uma divisão entre números inteiros com resultado decimal.
Essa questão apresentou 31 % de acertos, pois os alunos conseguiram resolver e aplicar corretamente a regra da divisão dos decimais. Entretanto, 65 % dos alunos erraram a questão. Os erros detectados foram na escolha da operação e nos cálculos. Em alguns casos, o aluno mostrou não ter nenhuma compreensão da operação de divisão no campo dos naturais, pois armou erradamente o algoritmo. Apresentamos a seguir alguns erros cometidos pelos alunos.
Figura 12 resposta aluno A Figura 13 resposta aluno B
O aluno A, escolhe corretamente a operação, entretanto realiza um cálculo incorreto sem muita coerência colocando vírgulas nos números sem levar em consideração o sistema posicional. Os erros detectados aqui são a falta de domínio da tabuada e a incompreensão do sistema posicional decimal, além do desconhecimento de como utilizar o algoritmo da divisão.
O aluno B escolhe e inicia corretamente a divisão, mas mostra que não possui compreensão da posição da vírgula, observamos que o mesmo acrescenta duas vírgulas no número, apresentando um desconhecimento do sistema posicional decimal.
Nas análises das questões de divisão, percebemos que os alunos apresentaram uma compreensão incompleta desse algoritmo e principalmente quando utilizado com os números decimais, pois parece não compreender o sistema posicional decimal. Segundo Zunino (1995), as crianças erram na divisão por aplicar uma regra de que não têm compreensão, dessa forma, esquece-se de como devem proceder ao efetuar o algoritmo e não conseguem reconstruir o procedimento com seu próprio raciocínio.
Essa dificuldade dos alunos na compreensão do algoritmo da divisão, talvez esteja relacionada a escolha didática dos professores ou na dificuldade que os mesmos possuem para ensinar a divisão. Segundo Esteves (2009) o ensino da divisão envolvendo decimais é algo complicado para os professores, eles possuem
dúvidas relativas ao algoritmo da divisão, as quais estão relacionadas com o modo como aprenderam essa operação na escola.
De um modo geral as análises sobre os erros que os alunos apresentam nas operações com os números decimais corroboram com as apresentadas pelos estudos revisados. Em relação às categorias utilizadas neste estudo, temos que:
Categoria C1 - Compreensão conceitual de número decimal
As respostas analisadas apontaram que os alunos têm deficiências relacionadas ao sistema posicional decimal, pois as ideias de unidades, dezenas e centenas etc. não fazem sentido para o aluno e isso foi observado em todas as respostas dos alunos.
Categoria C2 - Compreensão do sistema posicional decimal
As respostas analisadas apontaram a falta de compreensão conceitual de número decimal que levou os alunos a cometerem erros do tipo não saber onde posicionar a vírgula no resultado, na armação das operações, principalmente de adição e subtração, na qual o aluno não consegue separar a parte inteira da decimal.
Em relação às categorias C1e C2, concordamos com Esteves (2009) quando afirma que o fato de os professores não compreender bem as relações existentes entre os números decimais e o nosso sistema de numeração decimal interfere também na construção do conceito dos números racionais, dificultando a identificação de frações e decimais como formas de representação do número racional. Essas dificuldades dos professores vai influenciar na forma como os mesmos ensinam levando o aluno ao erro.
Categoria C3 - Utilização correta dos algoritmos das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
A análise das respostas mostrou que os alunos apresentam parcialmente conhecimento sobre a utilização correta do algoritmo das operações fundamentais. Assim, nos parece, que as dificuldades dos alunos em operacionalizar com os números decimais estão relacionadas a uma falta de compreensão conceitual de número decimal, do sistema posicional decimal, e por não dominarem corretamente a utilização dos algoritmos das operações.
Para Zunino (1995) essa falta de compreensão do sistema posicional decimal pode ser um dos fatores que interferem na aprendizagem dos números decimais, pois as formas como os alunos produzem e interpretam os números decimais revelam que eles não têm tido oportunidade de reconstruir o conceito e as relações que esses números representam. Os alunos por desconhecer um número decimal, usam a vírgula como indicador para poder organizar o algoritmo, dessa forma eles operam com os números decimais, mas não entendem os significados dos décimos, centésimos e milésimos. Essa falta de compreensão evidencia-se, também, na interpretação dos resultados das operações, pois efetuam as operações de forma incorreta, não refletindo sobre o resultado obtido.
Esteves (2009) chama a atenção para o fato do uso, pelos professores, das propriedades das operações com números naturais para multiplicar e dividir números decimais. As afirmações dos professores revelam que eles possuem apenas o conhecimento de técnicas algorítmicas e regras para operar com decimais, isto é, sabem fazer, mas não sabem justificar.
Concordamos com Esteves (ibid.) quando afirma que as dificuldades no ensino das operações com os números decimais podem estar relacionadas, ao fato de a escola ensinar os algoritmos de cálculo envolvendo os números decimais como sendo os mesmos já utilizados para os números naturais, completados somente de um procedimento relativo à vírgula o que não contribui para a discussão de propriedades do conjunto dos números racionais.
5. Considerações finais
O objetivo deste trabalho era realizar uma análise de alguns erros que os alunos cometem quando operacionalizam com os números decimais. Ao realizarmos uma revisão da literatura correlata podemos relacionar os resultados desses estudos com nossas análises sobre as dificuldades e erros dos alunos em relação aos números decimais.
Em nossas análises encontramos como um fator predominante e que talvez seja a causa dos erros dos alunos em relação aos números decimais a falta de compreensão conceitual e do sistema posicional decimal, esta mesma causa foi apontada em todos os estudos revisados e também nos estudos de Zunino (1995) e
Pérez (1997) que desenvolveram estudos específicos sobre as dificuldades dos alunos em relação aos números decimais. Para Pérez (1997) ao desconhecer o valor posicional, os alunos não conseguem fazer a comparação dos números decimais, chegando a afirmar que o maior número decimal será aquele que possui a maior quantidade de números após a vírgula. Essa dificuldade de compreensão do valor posicional será refletida também nas operações com os números decimais.
Desse modo, é de suma importância que o professor fique atento a esses erros e busque alternativas metodológicas para amenizar os mesmos, pois segundo Perez (ibid.) o ensino das regras das operações deve ser realizado por meio de procedimentos e atividades nos quais os alunos possam percebê-las, antes de enunciá-las explicitamente e não por procedimentos mecanizados ou por memorização de regras das operações.
6. Referencia
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PÉREZ, J.C. Números decimales? ¿Por qué? ¿Para que? Madrid: Síntesis, 1997. 210p.
PIAGET, J. Para onde vai à educação? Tradução de Ivete Braga. 10 ed. Rio de Janeiro: José Olympio, 1988.80p.
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ZUNINO, D. L. A Matemática na escola: aqui e agora. 2 ed. Porto Alegre: Artes médicas, 1995. 189p.
