UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
EVANES DAIANE TOLFO
A PRESENÇA DA ÁLGEBRA EM LIVROS DIDÁTICOS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ DEPARTAMENTO DE HUMANIDADES E EDUCAÇÃO CURSO DE
PEDAGOGIA
A PRESENÇA DA ÁLGEBRA EM LIVROS DIDÁTICOS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: DESAFIOS E PERSPECTIVAS
EVANES DAIANE TOLFO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Graduação em Pedagogia – Licenciatura, do Departamento de Humanidades e Educação – DHE, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul– UNIJUI, como requisito parcial para obtenção do título de Pedagoga.
Professor Orientador: Me. Emanueli Bandeira Avi
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me dado força e saúde para enfrentar os obstáculos.
A meus pais Clovis e Evanir e irmão Cleiton, que não mediram esforços para que eu chegasse até aqui, incentivando, apoiando e ajudando em tudo que podiam. Essa conquista também é de vocês.
A meu esposo Ariel, que sempre me acompanhou, me entendendo, ajudando e apoiando em cada decisão.
Aos meus amigos (as), que estiveram comigo durante a graduação, tornando meus dias mais significativos e únicos, em especial aos melhores presentes da Pedagogia, Milena e Danieli. Vocês foram fundamentais na minha constituição enquanto futura Pedagoga, obrigada por cada incentivo, conselho, palavra amiga, abraço, sorriso, hoje essa vitória é nossa.
A minha orientadora professora Emanueli. Obrigada por cada conselho, por cada palavra amiga, por cada ajuda, não medindo esforços por nada. És uma inspiração para mim.
E a todos os professores que compartilharam um pouco do seu ensinamento durante a graduação. Meu muito obrigada.
“Apesar de árduo e solitário, o processo de pesquisar é também um desafio, pois a paixão pelo desconhecido, pelo novo, pelo inusitado acaba por invadir o espaço do educador, trazendo-lhe alegrias inesperadas.” Ivani Catarina Arantes Fazenda
A PRESENÇA DA ÁLGEBRA EM LIVROS DIDÁTICOS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL: DESAFIOS E PERSPECTIVAS1
Evanes Daiane Tolfo2 RESUMO
O presente artigo nasce de uma investigação acerca da presença da álgebra em livros didáticos do 3° ano dos anos iniciais do ensino fundamental. Trata sobre uma análise de como a álgebra manifesta-se nas atividades dos livros didáticos, de que forma, e se estão em consonância com os planos de estudos das escolas, com o Referencial Curricular Gaúcho e a Base Nacional Comum Curricular. A metodologia utilizada para atingir o objetivo, se fez através de uma pesquisa qualitativa, com ênfase na análise de livros didáticos de 3 diferentes escolas da região, sendo estadual, municipal e privada, um estudo documental, e levantamento bibliográfico. O trabalho foi elaborado à luz da BRASIL (2018), SPINELLI (2011), VAN DE WALLE (2009), FIORENTINI (1993), CANAVARRO(2007), a análise aponta que nenhum dos livros analisados apresenta um capítulo especificamente sobre álgebra, porém, é possível identificar a presença dos objetos do conhecimento identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas recursivas e relação de igualdade, porém aspectos relacionados a ideia de igualdade precisam ser fortemente complementados. Reforça-se ainda, a importância de o professor considerar outros materiais de referencia para o planejamento para além do livro didático, e dessa forma, continuar em constante formação principalmente em períodos de reformas curriculares, conhecendo assim os objetos matemáticos, bem como, o como ensiná-los.
Palavras-chave: Álgebra; Anos Iniciais; Livro didático; Atividades
ABSTRACT
This article is born from an investigation about the presence of algebra in textbooks of the 3rd year of the early years of elementary school. It deals with an analysis of how algebra manifests itself in the activities of textbooks, how, and if they are in line with the curricula of schools, with the Referencial Curricular Gaúcho and Base Nacional Comum Curricular. The methodology used to achieve the goal was made through a qualitative research, with emphasis on the analysis of textbooks from 3 different schools in the region, being state, municipal and private, a documentary study, and bibliographic survey. The work was elaborated in the light of BRASIL (2018), SPINELLI (2011), VAN DE WALLE (2009), FIORENTINI (1993), CANAVARRO (2007), The analysis points out that none of the analyzed books presents a chapter specifically about algebra, however, it is possible to identify the presence of knowledge objects identification and description of regularities in recursive numerical sequences and equality relation, but aspects related to the idea of equality need to be strongly complemented. It also reinforces the importance of the teacher considering other reference materials for planning beyond the textbook, and thus continue in constant formation especially in periods of curricular reforms, thus knowing the mathematical objects, as well as how teach them.
Keywords: Algebra; Early Years; Textbook; Activities
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Artigo produzido na disciplina Trabalho de Conclusão de Curso, do curso de Pedagogia /UNIJUI, sob orientação da professora Mestre da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ. emanueli.bandeira@unijui.edu.br
2 Acadêmica do curso de Pedagogia da UNIJUI – Universidade Regional do Noroeste do Estado do
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Atividade que considera sequência L1 ... 19
Figura 2 Sequência considerando números L1 ... 20
Figura 3 Sequência dos meses do ano L2 ... 21
Figura 4 Desafio sequência numérica. ... 22
Figura 5 Identificação da regularidade e continuidade da sequência ... 22
Figura 6 Atividade para completar a sequência L3 ... 22
Figura 7 Identificação da regularidade e complementação de sequências L3 ... 23
Figura 8 Relação de Igualdade L1 ... 26
Figura 9 Representação de igualdades nas balanças L2... 27
Figura 10 Representações de igualdade utilizando cédulas de dinheiro L2 ... 27
Figura 11 Igualdade presente nas operações matemáticas L2. ... 28
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 8
1. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 11
2. ÁLGEBRA: Um campo em inserção nos anos iniciais da Educação básica ... 12
3. IDENTIFICAÇÃO E DESCRIÇÃO DE REGULARIDADES EM SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS RECURSIVAS. ... 16
4. RELAÇÃO DE IGUALDADE ... 24
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 30
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INTRODUÇÃO
Desde a tenra idade a Matemática me chamava muito à atenção, pelos vários desdobramentos de um cálculo. No ensino superior minha visão sobre a matemática mudou, se aperfeiçoou e se aprimorou. Até então não conseguia ver o lado lúdico da matemática e sua importância para as crianças. Diante disso, decidi realizar minha pesquisa sobre a matemática, mas ir além, e analisar as mudanças, e perspectivas destas para o ensino, a partir da nova proposta de organização curricular, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
Com isso, o presente artigo aborda aspectos relativos a presença da álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental, buscando compreender este campo no currículo, considerando suas mudanças no decorrer das diferentes reformas curriculares, sobretudo a mais atual a BNCC. Considerando que, o desenvolvimento curricular no Brasil, suas contribuições e mudanças, são de extrema importância para entendermos os percursos que a educação passou, bem como, o momento atual.
A implementação da Base Nacional Comum Curricular, tem se configurado como um processo árduo e longo. Houve, até então, muitos outros documentos importantes que nortearam a elaboração dos currículos até então. Podemos citar como exemplos a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (1996), sendo esta a lei maior e obrigatória da educação para o período educacional, nos diferentes níveis de ensino, que busca assegurar uma formação básica comum em todo o país. Tem-se ainda os Parâmetros Curriculares Nacionais, que não é considerado um documento obrigatório, mas que traz consigo orientações/didáticas aos educadores, para dar-lhes um auxílio na prática docente, tendo como foco uma formação voltada para o exercício da cidadania.
No ano de 2014 definiu-se o Plano Nacional da Educação (PNE) com vigência de 10 anos, definindo a universalização do ensino fundamental de 9 anos para toda a população brasileira, e deixando expresso as seguintes afirmativas
2.1) O Ministério da Educação, em articulação e colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, deverá, até o final do 2º ano de vigência deste PNE, elaborar e encaminhar ao Conselho Nacional de Educação, precedida de consulta pública nacional, proposta de direitos e
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objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para os(as) alunos(as) do ensino fundamental;
2.2) Pactuar entre União, Estados, Distrito Federal e Municípios, no âmbito da instância permanente de que trata o § 5º do art.º 7º desta Lei, a implantação dos direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que configurarão a base nacional comum curricular do ensino fundamental.
(BRASIL, 2014)
Todos estes documentos citados, marcam a importância da proposição a nível nacional de um currículo mínimo obrigatório, porém diante de tal ordenamento, determinado pelo PNE, o Ministério da Educação, iniciou no ano seguinte a elaboração da BNCC, e foi no final do ano de 2017 que a versão da educação infantil e do ensino fundamental foi homologada, começando sua vigência no ano seguinte. A BNCC (Brasil, 2018) tem caráter normativo, e vem sendo uma aposta para avançar na perspectiva da equidade e qualidade da educação brasileira, e além disso é a primeira vez no Brasil que tem-se um documento que explicita os direitos de aprendizagens para todas as etapas da educação básica.
Com a efetivação da BNCC (Brasil, 2018) cada área do conhecimento considera competências específicas de sua área, através das unidades temáticas e objetos de conhecimento. Cada área tem então sua fundamental contribuição para a formação do educando, possibilitando conhecimentos e aprendizagens no momento certo. Os currículos das escolas terão que adaptar-se a nova proposta da curricular, pois com a implantação da BNCC os conceitos e conteúdos obrigatórios ocuparão 60% da carga horária, comuns a todos os alunos, e 40% optativos, partindo da realidade local de cada instituição.
A história das reformas curriculares no Brasil, no que tange os currículos de matemática, destaca dois grandes momentos, a reforma Francisco Campos no ano de 1931, na qual Eucliides Roxo teve grande influência, onde propôs a unificação dos campos matemáticos – Álgebra, Aritmética e Geometria – em uma única disciplina, e a reforma Capanema, em 1942, que deixou um marco histórico nas decisões curriculares do Brasil, pois foi um período marcado por ações bastante questionáveis , influenciadas pelo poder, pessoas e questões políticas.
Posteriormente, houve ainda três períodos marcantes na história das reformas curriculares no Brasil, sendo o Movimento Matemática Moderna, as
10 reformas que confrontavam ao ideário do Movimento Matemática Moderna e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (Brasil, 1997). Por volta de 1997, os PCN evidenciaram a seguinte ideia sobre o estudo da álgebra
Há um razoável consenso no sentido de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria). (BRASIL, 1997, p.38)
Percebe-se que nas diferentes reformas, houveram alterações e mudanças importantes, porém na BNCC, houve um avanço significativo em relação a unidade temática álgebra, sobretudo nos anos iniciais do ensino fundamental, trazendo conceitos e ideias que até então não mostrava-se de forma tão explícita.
Na BNCC (Brasil, 2018) a unidade temática Álgebra, objetiva olhar para a aritmética com maior ênfase na maneira de pensar do que na técnica e no procedimento mecânico do cálculo, ou seja, fazer com que as crianças pensem acerca das ideias fundamentais das operações matemáticas, sem usar métodos ou algoritmos prontos. O pensamento algébrico pode contribuir na instituição de processos de observação, de abstração e de generalização.
A educação algébrica não pode tratar a Álgebra apenas como conteúdos compartimentalizados, mas sim como a instrumentalização para a resolução de situações-problema, articulando o concreto e o formal. Diante disso Rodney Bassanezzi, Paolo Boero, Alan Bell e Jan de Lange, citados por Lins e Gimenez (1997), declaram situações concretas:
Para eles o “concreto” é visto como o real, e as atividades propostas são de investigação de situações reais ou “realistas” [aquelas criadas com a finalidade didática, embora buscando o máximo de semelhança com o que poderia ser uma situação real (p.108).
Nos anos iniciais do ensino fundamental a matemática tem fundamental importância, já que favorece o pensamento matemático, no raciocínio lógico, na resolução de problemas, entre outros. A aprendizagem de conceitos e o desenvolvimento de noções matemáticos nessa etapa auxiliam na construção de conhecimentos em outras áreas, além de servir como base para as séries posteriores. Diante disso, tem-se a ideia que apresentar desde cedo os princípios da
11 álgebra para os educandos será de grande valia, fortalecendo assim as ideias matemáticas, como por exemplo, o entendimento de relação de igualdade e sequências numéricas.
Visto que a temática álgebra não estava tão evidente no currículo, e, para tanto se configura como um importante desafio para sua implantação, fez-se necessário um estudo que possibilite um aprofundamento desta unidade temática, buscando compreender sua importância na formação inicial dos sujeitos. Diante do exposto, a presente pesquisa tem como objetivo identificar e analisar aspectos relacionados a unidade temática álgebra presentes em livros didáticos do 3° ano do ensino fundamental. Para atingir este objetivo definiu-se como questão norteadora da presente pesquisa: quais elementos da álgebra se fazem presentes em três livros didáticos de matemática do 3° ano do ensino fundamental?
A presente pesquisa busca aprofundar ainda mais sobre a unidade temática álgebra, por isso num primeiro momento busca-se entender ainda mais sobre a inserção deste conteúdo nos anos iniciais do ensino fundamental. Posteriormente serão explicitados os objetos de conhecimento da álgebra no 3° ano do ensino fundamental, bem como sua análise em livros didáticos. Por fim, encontra-se as considerações finais acerca da presente pesquisa.
1. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A presente pesquisa se configura como qualitativa, com ênfase na análise e estudo documental, concomitante ao levantamento bibliográfico considerando os elementos teóricos definidos. Segundo Minayo, um estudo qualitativo “aprofunda-se no mundo dos significados das ações e relações humanas, um lado não perceptível e não captável em equações, médias e estatísticas” (2001, p.22)
A definição da coleta de dados se deu inicialmente pela definição de um ano que foi realizado a análise. Com o ano definido foi contatado com as escolas da rede municipal, estadual e privada para verificar a possibilidade de empréstimo de livros didáticos de matemática do 3° ano do ensino fundamental. Dessa forma, a definição de quais seriam os livros analisados se deu pelo critério de acesso e utilização nas redes estadual, privada e municipal. Caracteriza-se portanto, como
12 material empírico da pesquisa, os livros didáticos “Buriti mais matemática” (TOLEDO, 2017) da editora moderna, “Projeto Ápis” (DANTE, 2018) da editora ática e “Aprender juntos” (LEITE e TABOADA, 2017) da editora SM que serão chamado na presente escrita de L1, L2, e L3 respectivamente, e ainda a BNCC, Plano de Estudos das escolas em que foram utilizadas os livros didáticos e RCG.
A catalogação das informações analisadas na presente pesquisa se deu pela observação criteriosa do todo dos livros. Através do qual foi construído um quadro que objetivou evidenciar os aspectos em comum nos LDs analisados de acordo com os focos de análise estabelecidos. O foco é na unidade temática álgebra, portanto a analise será no todo do livro para ver em quais capítulos contêm princípios da álgebra, com foco nos objetos de conhecimento identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas recursivas; relação de igualdade.
Com o quadro completado, foram identificados os encaminhamentos e atividades presentes possibilitando a observação da presença da álgebra nos livros didáticos e de que forma, levando em conta os documentos norteadores da educação.
A pesquisa está estruturada em três principais capítulos, sendo o primeiro álgebra: Um campo em inserção nos anos iniciais da Educação básica; segundo identificação e descrição de regularidades em sequências numérica recursivas, e o terceiro relação de igualdade. A análise dos dados se deu sob o viés teórico, a luz de Brasil (2018), Spinelli (2011), Van de Walle (2009), Fiorentini (1993), Canavarro(2007), entre outros.
2. ÁLGEBRA: Um campo em inserção nos anos iniciais da Educação básica
Com as novas orientações curriculares oficiais, vinda da BNCC (Brasil, 2018) e do Referencial Curricular Gaúcho (Rio Grande do Sul, 2018), muitos conteúdos que recebiam destaque somente nas séries finais ou no ensino médio, passaram a ter sua iniciação já nos anos iniciais, como é o caso de temáticas relacionadas a álgebra, que agora segundo a BNCC ela passa a ser trabalhada desde o primeiro ano do ensino fundamental.
13 A BNCC apresenta em seu documento a unidade temática álgebra da seguinte maneira
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico – que é essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos (BRASIL, 2018, p.268).
Até então, como já dito, não se tinha uma unidade específica que abordasse as temáticas relacionadas a álgebra, ficando esta engajada juntamente com a unidade dos números. A ideia de álgebra sempre esteve presente nos anos iniciais, porém nunca fora chamada exclusivamente dessa forma.
A BNCC explora a ideia de campo, que posteriormente trás a tona o pensamento algébrico.
“[...]os diferentes campos que compõem a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que produzem articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação. Essas ideias fundamentais são importantes para o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na escola, em objetos de conhecimento.” (BRASIL, 2018, p. 266).
Uma das finalidades do estudo da álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental, é despertar, desenvolver um novo tipo de pensamento no educando, o pensamento algébrico. Para que este pensamento se efetive, a BNCC afirma que
É necessário que os estudantes identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis Matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver problemas por meio de equações e inequações, com compreensão dos procedimentos utilizados. As ideias Matemáticas fundamentais vinculadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade. (BRASIL, 2018, p. 268).
Inicialmente a álgebra surge para possibilitar a resolução das necessidades práticas do dia a dia, estando ela, bastante presente no cotidiano. Coelho (2018, p. 171) nos diz que “o conhecimento da Álgebra precisa do meio social para ser aprendido e assimilado pelo indivíduo”. Atualmente tem-se focado nas técnicas da álgebra, esquecendo-se do desenvolvimento dos conceitos e do pensamento mais
14 abstrato, bem como de atividades práticas e situações do cotidiano para facilitar a compreensão e assimilação das aprendizagens.
No que tange pensamento algébrico, Van de Walle (2009, p.288) destaca que “[...] é composto de diferentes formas de pensamento e é de compreensão do simbolismo”, ressalta ainda a importância de trabalhar desde cedo com as ideias algébricas, para fortalecer ainda mais o pensamento matemático. O autor, também afirma, que o pensamento algébrico “[...] envolve formar generalizações a partir da experiência com números e operações, formalizar essas ideias com o uso de um sistema de símbolos significativos” (VAN DE WALLE, 2009, p. 287).
Blanton e Kaput (2005, p. 413 apud FERREIRA, 2018, p. 56), afirmam também que o pensamento algébrico fundamenta-se em:
um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio de discursos de argumentação e expressam-nas, cada vez mais, em caminhos formais e apropriados para a sua idade.
O pensamento algébrico contempla toda a matemática, e é fundamental para possibilitar o desenvolvimento do letramento matemático. Van de Walle descreve cinco formas diferentes de raciocínio algébrico, sendo eles.
1. Generalização da aritmética e de padrões em toda a matemática.
2. Uso significativo de simbolismo.
3. Estudo da estrutura do sistema de numeração.
4. Estudo de padrões e funções.
5. Processo de modelagem matemática, que integra as quatro anteriores.
(VAN DE WALLE, 2009, p. 288).
O pensamento algébrico, também chamado de raciocínio algébrico, envolve, segundo Van de Walle (2009, p.287), “[...] formular generalizações a partir de experiências com números e operações, formalizar essas ideias com o uso de um sistema de símbolos significativos e explorar os conceitos de padrão de função.” Por isso, entende-se que a álgebra e o pensamento algébrico estão presentes em toda a matemática, sendo útil em toda a vida humana.
15 A ênfase da álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental é trabalhar a ideia de proporcionalidade/sequências/relação de igualdade, ou seja, estimular a criança ao pensamento e raciocínio fazendo com que ela perceba/pense qual critério ela está utilizando para evidenciar as grandezas, e qual foi o percurso investigativo que ela fez para chegar nas conclusões prévias. A aprendizagem da álgebra nos anos iniciais pode contribuir na compreensão dos procedimentos matemáticos envolvidos em situações mais complexas.
A álgebra pode estar presente nas diferentes áreas do conhecimento, porém é na Matemática que ela se destaca. Canavarro (2007, p.92) nos afirma que a “ matemática dos primeiros anos pode evocar-se, não só o seu carácter preparatório para a Álgebra dos anos posteriores, mas também o seu contributo para o aprofundamento da compreensão da Matemática e do poder desta área do saber.” Por conseguinte, a iniciação de uma exploração algébrica nos primeiros anos do ensino fundamental é de grande valia e de suma importância para que o educando possa ir compreendendo algumas noções da álgebra, bem como estimular o pensamento e raciocínio matemático.
Portanto, pode-se destacar que um dos focos nos anos iniciais é o trabalho com o pensamento algébrico dos educandos, e, mais tarde, nas séries finais e ensino médio os educandos trabalham com as técnicas da álgebra, juntamente com as “letras” nas contas, chamadas de incógnitas.
Nos planos de estudos das 3 escolas, a álgebra aparece, porém não muito evidente, e também o pouco que aparece, podemos notar que eles não estão de acordo com a nova versão da BNCC, considerando que, devem passar por reformulações nesse período de implementação da mesma. Por isso optamos em analisar livros didáticos de 3 escolas, por ainda ser o principal material de planejamento dos professores.
Os professores são os principais mediadores do processo ensino-aprendizagem, com isso, é fundamental que sejam parceiros dos alunos, e possam contribuir na sua aprendizagem. Um bom professor deve entender o conteúdo e saber ensinar, assim como ser comunicativo e propor diferentes maneiras para
16 explorar tal conteúdo. Um planejamento organizado, e com sequência de conteúdos, fará sentido para os alunos, bem como para a prática docente.
Logo, um primeiro olhar deu-se para o sumário do livro, a fim de definir diretamente os capítulos para análise, porém não foi constatado claramente os elementos da álgebra. Como se esperava, não está evidenciado nos livros analisados um capítulo específico sobre álgebra ou pensamento algébrico, dessa forma fez-se necessário olhá-lo como um todo, identificando encaminhamentos de atividades, exercícios, problematizações para enfim, identificar as atividades que apresentam ideias relacionadas ao desenvolvimento de pensamento algébrico e utilizá-las como elemento de análise.
3. IDENTIFICAÇÃO E DESCRIÇÃO DE REGULARIDADES EM SEQUÊNCIAS
NUMÉRICAS RECURSIVAS.
Sendo um dos objetos de conhecimento expressos na BNCC, a identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas discursivas busca segundo as habilidades da BNCC
“Identificar regularidades em sequências ordenadas de números naturais, resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas, por um mesmo número, descrever uma regra de formação da sequência e determinar elementos faltantes o seguintes.” (BRASIL, 2018, p.285).
Juntamente com a BNCC tem-se as ideias que foram propostas pelos documentos que norteiam a educação no estado, sendo o RCG, que centraliza ainda mais a ideia da identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas recursivas da seguinte forma “Explorar, interpretar e avaliar sequências ordenadas de números naturais percebendo regras de formação e identificando elementos faltantes ou seguintes em situações diversas” (RIO GRANDE DO SUL 2018, p. 83-84).
Esta habilidade amplia o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, que já fora estudado no primeiro e no segundo ano do ensino fundamental, por isso, no terceiro ano espera-se que o educando identifique, explique e perceba a sequência, compreendendo-a através da prática diária em sala de aula. E estudos desta habilidade são a base para um estudo posterior no ensino médio, com a temática de
17 progressão aritmética, e para além disso, possibilita o desenvolvimento de um pensamento específico relevante na formação dos sujeitos.
O termo sequência segundo o dicionário Aurélio (2008 p. 734) refere-se ao “ato ou efeito de seguir. Aquilo que vem em seguida: continuação de algo iniciado anteriormente. Conjunto de coisas, ações ou fatos que se sucedem sem interrupção, um após o outro no espaço ou no tempo.”, ou seja, é a sucessão de fatos, ideias, acontecimentos, estando sempre em uma determinada ordem, podendo esta ser na forma grupal ou individual. Na matemática, usamos a ideia de sequência numérica, a qual é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida, podendo ser uma sucessão finita ou infinita de números. Ponte (2013, p. 138) afirma que o estudo de sequências
[...] permite aos futuros professores percorrer um caminho de compreensão da utilização das variáveis, da procura da generalização e da construção e compreensão de expressões algébricas muito próximo do que deverão percorrer os seus alunos.
É importante que os alunos consigam analisar as sequências numéricas e identifiquem suas regularidades, suas relações, e indiquem uma lei de formação, utilizando a linguagem natural e simbólica, a fim de que compreendam suas ações e conteúdo.
A presença da sequência numérica ficou evidente nos 3 livros analisados, sendo na forma de atividades na reta numérica, sucessor e antecessor, ordem crescente e decrescente, nas atividades de multiplicação, entre outras, que serão visualizadas durante o capítulo.
No L1 as ideias das sequências numéricas se fazem presente, por meio de atividades intituladas como “sequências”, possuindo algumas, poucas, atividades que retratem esta perspectiva apontada pela BNCC. Ao verificar as atividades, percebe-se que o professor deve trazer consigo diferentes estratégias para complementar as propostas no livro didático, considerando que no L1, por exemplo, a atividade começa com números simples e logo apresenta sequencias mais complexas.
Todos os três livros exploram a ideia de sucessor e antecessor, e ordem crescente e decrescente, sob forma de atividades, onde o aluno deve preencher as
18 lacunas, conforme seu entendimento, sendo que o professor atua como mediador deste processo, explicando o que é e como pode ser uma sequência numérica, podendo usar como auxílio outras atividades, já que, essa explicação prévia, não fica explicitada no livro. A Figura 1 nos trás um exemplo de atividade de sucessor e antecessor, e as Figuras 2 e 7 nos trazem atividades relacionadas a ordem crescente e decrescente. Seguidamente as atividades vão exigindo mais do aluno, e os números que até então eram pequenos vão ampliando para números a partir de 100, sendo sequências de 100 em 100 e até de 1000 e 1000. O L1, e o L3 trazem para o aluno a sequência numérica na reta numérica, o que fica mais fácil para o aluno, visualizar e compreender, como podemos notar na Figura 2 do L1 e na Figura 6 do L3.
Para fixar a ideia de sequência o L1, L2 e L3, propõe que o educando pense e formule uma ideia de sequência, conforme as indicações da atividade e faça com que um colega descubra a regularidade desta sequência, como podemos ver na Figura 2 do L1. Para fixar o conteúdo, e estimular o pensamento algébrico o livro faz uma retomada no final do capítulo que contemplem esta unidade temática.
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Figura 1 Atividade que considera sequência L1
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Figura 2 Sequência considerando números L1
Fonte: Toledo (2017,p. 21)
Com uma abordagem mais cotidiana, ou então considerando desafios, a sequência numérica aparece no L2 em forma de diferentes contextos, conforme o recorte do L2 na Figura 3 e 4. Uma atividade contextualizada faz com que o educando perceba que as sequências podem estar no dia a dia, não sob forma de
21 números, mas sim símbolos, palavras, entre outros. Ao falar sobre contextos Spinelli, 2011 afirma que
[...] os contextos de ensino são agentes que dão vida às abstrações, na medida em que configuram o objeto de estudo sobre uma rede de significações em que diversos conceitos se associam, permitindo, dessa forma, que o objeto de conhecimento seja visto como um feixe de relações, estabelecido a partir do conjunto de circunstâncias que caracteriza o contexto adotado. (SPINELLI, 2011, p. 05)
Outra abordagem de sequência que o L2 trás bem evidente, e de fácil compreensão dos alunos é a multiplicação pela relação de sequência, esta que pode ser vista na figura 5 retirada do L2. Quando trabalhado sequências de 2, 3, 4, entre outras, pode-se adentrar com as ideias de multiplicação, pois a multiplicação também pode ser presentada através de uma sequência, e ao explicá-la através da sequência facilita o entendimento do aluno.
Figura 3 Sequência dos meses do ano L2
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Figura 4 Desafio sequência numérica.
Fonte: Dante(2017, p. 291)
Figura 5 Identificação da regularidade e continuidade da sequência
Fonte: Dante(2017, p. 148)
No L3 a abordagem de sequência aparece, por exemplo, nas atividades das figuras 6 e 7. Diferentemente dos outros livros, este traz em cada página, o que as atividades buscam explorar, ou seja, uma breve orientação para os professores, dando indicativos das habilidades ali desenvolvidas, e possibilitando uma maior autonomia ao estudante no desenvolvimento das tarefas.
Figura 6 Atividade para completar a sequência L3
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Figura 7 Identificação da regularidade e complementação de sequências L3
Fonte: Taboada (2017, p. 31)
Enfim, nos três livros aparecem as ideias de sequência, porém cada um com uma abordagem diferente. O L2 é o livro que mais abrange as ideias de sequência, sendo que tais ideias se fazem presente na maioria dos capítulos e são apresentados na forma contextualizada, onde o educando consegue perceber o uso da álgebra no seu dia a dia, não somente nas atividades elaboradas dos livros didáticos. Já nos outros livros a abordagem é pouca, o que dá indicativos de que ainda mais, o professor necessita ter autonomia e conhecer as propostas curriculares e dessa forma investigue e proponha tarefas que auxiliem “os alunos a construir um repertório de ferramentas intelectuais que os apoiem no desenvolvimento do pensamento algébrico[...]” Canavarro ( 2007, p. 110), podendo este, ser sob diferentes formas e maneiras, desde que traga contribuições para seus alunos, a fim de que tais conteúdos possam fazer sentido e contribuam para a aprendizagem dos educandos.
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4. RELAÇÃO DE IGUALDADE
A relação de igualdade, também chamada de comparação, é fundamental para que os educandos entendam que o sinal de “igual” ultrapassa a representação da representação do resultado de um cálculo, e sim vai além, evidenciando uma relação comparação de termos. Este estudo no terceiro ano do ensino fundamental é necessário pois auxiliará o estudante em estudos seguintes, e a construção desse tipo de pensamento, facilitando a compreensão de equações exploradas posteriormente.
Ao abordar o termo igualdade, Fiorentini; Fernandes; Cristovão ( 2005, p. 5 apud FERREIRA, 2017 p.20) [...] interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas;[...] seguidamente Ferreira (2017, p. 30) complementa que “Compreender uma igualdade não se altera quando se adiciona ou se subtrai o mesmo número em ambos os lados da igualdade para construir a noção de equivalência”, ou ainda uma comparação de expressões.
A BNCC (Brasil, 2018) expõe que no tange a relação de igualdade o estudante deve “Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que resultem na mesma soma ou diferença.” (Brasil, 2018 p. 285). Em consonância com a BNCC, o RCG diz o seguinte
Observar, explorar e compreender as ideias de equivalência na igualdade (2+3=5, então 5=2+3) e igualdade das diferenças ou somas (20-10=10 e 40 - 30=10; então 20 - 10=40 – 30; da mesma forma para a adição) aplicando-as em situações diversaplicando-as com ou sem apoio de material manipulável (RIO GRANDE DO SUL, 2018, p.84).
Desde cedo é importante que o educando tenha a compreensão que o sinal de igualdade vai além de uma simples resolução de cálculo, Van de Walle (2009 p. 288) nos afirma dizendo que “o sinal de igualdade é um dos símbolos mais importantes da aritmética elementar, na álgebra e em toda matemática ao usar números e operações” e ainda acrescenta que “[...] o “=” é um símbolo muito mal compreendido”. Nos três livros analisados, essa abordagem que Van de Walle aponta não foi considerada, visto que os livros abordam a igualdade em diferentes sentenças, não considerando esse importante avanço apresentado pelo autor e
25 também pela BNCC para o terceiro ano do ensino fundamental. Portanto é importante desde cedo trabalhar com a ideia correta do símbolo de igualdade, para não causar confusão na cabeça das crianças. A relação de igualdade no L1 aparece numa única vez, e sua resolução e proposta na reta numérica, a qual é considerada uma maneira fácil e prática para o aluno perceber o “processo” da operação, porém fundamental na construção do pensamento. A Figura 8 nos trás um exemplo desta atividade.
A relação de igualdade na reta numérica também aparece nos L2 e L3, vale destacar que nos 3 LDs as atividades de relação de igualdade aparecem através de situações contextualizadas, as quais estimulam nos alunos raciocínio e ao pensamento, podemos ver um exemplo de problema na Figura 8.
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Figura 8 Relação de Igualdade L1
Fonte: Toledo (2017, p.38)
O L2 novamente traz atividades em forma de contexto para problematizar ao aluno a ideia de que a matemática, e em específico a álgebra podem estar presentes nas atividades do dia a dia, como nos mostra a Figura 9 que explora com
27 a relação de igualdade através do dinheiro, e na Figura 10 traz a relação de igualdade nos diferente pesos, estimulando ainda mais o pensar do aluno.
Figura 9 Representação de igualdades nas balanças L2
Fonte: Dante (2017, p.261)
Figura 10 Representações de igualdade utilizando cédulas de dinheiro L2
28 No L2 e no L3 aparecem atividades como as Figuras 11 e 12, sendo do L2 e L3 respectivamente. Esta atividade consideram as operações básicas, em que o educando deve descobrir o termo faltante, ou seja, a incógnita do cálculo. Na Figura 11 do L2 temos presente a relação de igualdade nas operações de multiplicação, esta que só aparece neste livro.
Figura 11 Igualdade presente nas operações matemáticas L2.
Fonte: Dante (2017, p.49)
Figura 12 Igualdade presente na operação de adição L3
Fonte: Taboada (2017, p.134)
Por fim, pode-se destacar que a unidade temática relação de igualdade aparece nos 3 LDs, cada um com uma perspectiva, e com uma forma diferente de evidenciar tal conteúdo e conceito. O L2 é o que mais aparece este conceito, e o L1 e L3 aparece parcialmente ficando apenas na identificação de termos faltantes em um cálculo de adição.
A abordagem esperada (com base nos autores e nos documentos) para a relação de igualdade não é explorada nos livros didáticos de forma adequada, portanto cabe ao professor entender o conceito correto, e considerar no seu
29 planejamento, bem como, aprimorar seu conhecimento, pois torna-se fundamental neste processo.
É importante que desde cedo o professor compreenda a importância dos conteúdos e conceitos para explorar com seus alunos, tentando sempre ir além do que está proposto nos livros didáticos. Ir além significa não manter o foco somente no livro didático, ou seja, ir em busca de novas alternativas para evidenciar os conceitos, maneiras diversas de exploração do conteúdo, utilizar objetos concretos Fiorentini ( 1993), situações do cotidiano, entre outras. Possibilitar meios para que o aluno expresse sob diferentes formas seu entendimento, seu pensamento, estímulo e comunicação são de grande valia nesta etapa da educação básica.
O professor é o principal agente intermediário das ações pedagógicas, portanto, segundo Sortisso
Cabe ao professor pensar seriamente no papel da álgebra na escola e principalmente na formação do pensamento algébrico do aluno, pois este pensamento relaciona-se, no processo de escolarização, com o pensamento aritmético e geométrico. Não se pode deixar uma defasagem no aprendizado e na construção matemática do estudante. Sendo apresentado de forma fragmentada o ensino da álgebra é visto como um ente matemático que não se relaciona com a contextualização de conteúdos, ignora-se totalmente a formação das idéias em que a álgebra se apóia. (SORTISSO, 2011, p. 7)
Entende-se que o livro didático é uma importante ferramenta de planejamento do professor, porém ele precisa muito mais do que isso, o professor precisa conhecer este campo e os objetos que o constituem, entender o que consta nos documentos curriculares, os conceitos e noções envolvidas, e possibilitar diferentes formas de vivência, considerando outras metodologias, recursos, para além das atividades dos livros didáticos.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa objetivou investigar, estudar e entender ainda mais a álgebra, sobretudo no 3° ano do ensino fundamental. A teoria foi de suma importância para compreender a relevância deste conteúdo para as crianças. A pesquisa em diferentes livros didáticos fez fortalecer a ideia de que o professor precisa ter um bom planejamento e atividades extras, pois na maioria das vezes o livro didático não retrata com clareza o conteúdo, trazendo mais aspectos genéricos, e considerando que as aulas de matemática não devem se configurar como uma mera tarefa de completar o livro didático.
Os planos de estudos analisados não deixam evidente o que de álgebra necessariamente deve ser trabalhado no 3° ano do ensino fundamental. Sabemos que os planos de estudos são muito importantes para o professor, porém ao analisá-los percebe-se que ainda não estão em consonância com os propósitos da BNCC (Brasil, 2018), sendo, portanto, um desafio para as escolas se adequarem as novas propostas nacionais e estaduais.
É sabido que o livro didático não deve ser a única referência no planejamento do professor, por isso, vale ressaltar que um bom profissional da educação sempre terá que ter em mãos diferentes ideias e materiais para suprir as dúvidas dos alunos, pois muitas vezes a ideia apresentada no livro não é evidente para o educando, tornando assim, um desafio diário para o professor.
As análises em livros didáticos é muito importante e significativa. Ao analisar o livro e fazer comparações com a BNCC e o RCG, notamos que eles não estão em total harmonia, no que tange a relação de igualdade há uma divergência, deixando a desejar em todos os livros, já na ideia de sequência recursiva é exposta claramente nos três livros didáticos. A álgebra não esta organizada especificamente em capítulos, mas em atividades que trabalhem com os objetos de conhecimentos esperados para o terceiro ano do ensino fundamental.
Ao estudar um pouco mais sobre sequências numéricas, notamos que elas estão presentes no nosso dia a dia, não somente na forma de números, mas em atividades do nosso cotidiano. As sequências numéricas apresentadas nos livros didáticos aparecem sob diferentes atividades, ordem crescente e decrescente,
31 sucessor e antecessor, na reta numérica, entre outros. Um estudo relacionado a sequências numéricas nos anos iniciais possibilita o desenvolvimento do pensamento, bem como auxilia na sua formação enquanto sujeito.
Com a presente pesquisa fica claro que a ideia de igualdade, não nos remete somente e resolução de um cálculo, e sim entender que o “=” é uma comparação de termos de ambos os lados da igualdade. A abordagem relacionada a ideia de igualdade aparece nos três livros didáticos, porém ela não busca estimular o educando a refletir sobre o real significado do sinal “=”. As atividades trazem consigo a ideia de completar as sentenças, não possibilitando ao educando a compreensão adequada do sinal de “=”. Neste caso, compete ao professor conhecer e entender as ideias relacionadas à álgebra, bem como aprofundar-se no entendimento de pensamento algébrico, não seguindo somente as orientações curriculares.
Os objetivos de aprendizagens expostos na BNCC, bem como no RCG são direitos de aprendizagens dos educandos, em que os profissionais da educação precisam se comprometer com a aprendizagem de seus alunos, da melhor forma possível, no tempo correto, para que este educando esteja habilitado para estudos posteriores.
Portanto, pode-se concluir que uma pesquisa em livros didáticos é fundamental na vida de um professor, e que muitas vezes precisamos nos deter com mais tempo na análise do livro para verificar mesmo se há ou não presença dos conceitos matemáticos que serão trabalhados pelo professor. É necessário que o professor conheça os referenciais e o livro didático, estando atendo aos objetos a serem ensinados, entendendo, neste caso, o que é o pensamento algébrico, quais os objetos envolvidos, qual sua importância no desenvolvimento cognitivo da criança, bem como, como ensiná-los nessa etapa, tornando assim o trabalho ainda mais valioso.
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