5 - Difração

5

DIFRAÇÃO

INTRODUÇÃO

Neste capítulo vamos considerar os fenômenos da difração e do espaIhamento da radiação eletromagnética. Tais fenômenos são de muita importância em diversas situações da Óptica Integrada, tais como a propagação da luz através de janelas ópticas, ou em guias nos quais existem flutuações de índice de refração, ou partículas, de dimensões comparáveis ao comprimento de onda da radiação. A luz por exemplo, ao se propagar em um guia óptico sofre processos de espalhamento da luz devido a impurezas aleatoriamente distribuídas no material do guia. O mesmo sucede quando há imperfeições nas interfaces do seu núcleo com as camadas confinantes.

5.1 - O que é difração?

A difração é um fenômeno típico da natureza ondulatória da luz. Ela se constitui da distorção causada em uma onda eletromagnética quando ela incide sobre um obstáculo de dimensões comparáveis ao seu comprimento de onda. Estes obstáculos podem ser aberturas em um anteparo, bem como objetos como esferas, discos e outros.

Em todos esses casos mencionados, a perturbação causada leva à presença de radiação em locais nos quais ela não seria esperada. Isto é, radiação em regiões de sombra como indica a fig.(5.1-1). É como se a interação da radiação com as bordas do anteparo, ou do obstáculo, causasse uma perturbação na radiação em propagação e a espalhasse por regiões onde ela não deveria, normalmente , ser detectada.

Os aspectos essenciais da difração podem ser explicados qualitativamente pelo princípio de

Região de Sombra

Região de Sombra Raio de Luz

Fig.(5.1-1) - Ilustração de um experimento de difração em uma abertura.

Frente de O nda Frente de O nda Secundária N ova Frente de O nda Direção de Propagação Fonte Secundária

Fig. (5.1-1) – Ilustração do princípo de Huygens para a construção geométrica de uma frente de onda, a partir de uma ftente de onda anterior.

Huygens. Segundo ele, a propagação de uma onda luminosa pode ser prevista assumindo-se que cada ponto da frente de onda age como uma fonte secundária de ondas que lança luz em todas as direções. A função envelope de todas as frentes de onda das ondas secundárias forma a nova frente de onda total. A fig.(5.1-1) ilustra o que acabamos de mencionar.

Com tal princípio podemos perceber que cada nova frente no instante t’ de onda é formada pela interferência de infinitas fontes, as quais estão irradiando a partir da frente de onda no instante t. Isto pode ser traduzido em forma matemática dizendo-se que em cada ponto da nova frente de onda teremos um campo óptico que é igual à soma dos campos irradiados por todas as fontes secundárias. Como o número de fontes é infinito, as somas dos campos referentes a cada fonte secundária se transformará numa integral.

O tratamento matemático que realiza isto foi desenvolvido de uma forma precisa levando a uma expressão que permite calcular o campo da onda em cada ponto do espaço a partir do campo em uma dada frente de onda. Isto resultará numa expressão chamada de Integral de Helmoltz-Kirchhoff, o que será feito a seguir.

5.1.1 Integral de Helmoltz-Kirchhoff

Para encontrarmos a integral de Helmoltz-Kirchhoff, tomemos a equação de onda

∇

2

+

2

=

0

ψ

k

ψ

(5.1-1) referente a uma onda eletromagnética

que se propaga pelo espaço. Esta equação é chamada de equação de Helmoltz, daí vindo a designação do método que estamos considerando. Não é difícil de percebermos que

ψ

se refere à parte do campo eletromagnético, independente do tempo.

Vamos tomar uma função auxiliar ϕ(r) que também satisfaça à mesma equação de Helmoltz que

ψ

. O significado físico para

ϕ

ainda não está estabelecido até o momento, sendo, por enquanto, um artifício matemático. A seguir, apliquemos a integral de Green a essas duas funções mencionadas. Teremos:

(

ψ∇ϕ ϕ∇ψ

−

)

•

∫

S ds=

(

ψ∇ ϕ ϕ∇ ψ

2

₋

2

)

∫

V dv (5.1-2)

sendo S uma superfície fechada que envolve o ponto P onde pretendemos calcular a amplitude da função de onda desejada. Dentro dela não há fontes de radiação e V é o volume por ela delimitado. Caso desejemos considerar o versor normal (n) a S, apontando no sentido do interior da superfície, deveremos trocar ds por -ds na eq.(5.1-2). Como, por definição,

ψ

e

ϕ

satisfazem à mesma equação de Helmoltz, podemos concluir que a integral sobre o volume V é nula. A seguir tomaremos como função auxiliar

S

R

S’

n

fonte de luz

Fig.(5.1-2) - Ilustração da superfície usada na integral de Helmoltz-Kirchhoff.

ϕ

(r)=

ϕ r

( )

e

r

ikr

=

(5.1-3)

Tal função representa uma onda esférica, sendo pois uma possível solução da equação de Helmoltz, da qual

ψ

também o é. Entretanto, a função considerada tem uma singularidade no ponto r=0. Este é o ponto que faremos coincidir com o ponto P onde desejamos calcular a amplitude de

ψ

. Em face deste contratempo com

ϕ

, vamos isolar o ponto P, envolvendo-o com uma superfície esférica S' de raio R, como está indicado na fig. (5.1-2) . Tal raio poderá ser feito tão pequeno quanto se queira, permitindo assim o limite de R a zero. Para esta nova configuração de superfícies, a eq.(5.1-2) ficará:

, S ikr ikr S ikr ikr d r e r e d r e r e , s s

∫

∫

• • ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ (5.1-4)

Como

∇ϕ

poderá ser escrito na forma:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ = ϕ ∇ r e r r eikr ikr n’= _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ 2 ikr r 1 r ik e n’

e sabendo-se que a integral é feita sobre a superfície S', a eq.(5.1-4) poderá ser reescrita como segue:

0 d R e R e R e ik d r e r e _, S ikR 2 ikR ikR S ikr ikr , = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ψ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ •

∫

•

∫

_{s n s}, _(5.1-5)

Usando-se a expressão para ds’ em coordenadas esféricas, ds’=R2 sen

θ

d

θ

d

φ

, a integral em s' se transformará em: = ′ • ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ

∫

n ds R e R e S ikR ikR

(

)

[

]

e

ikR

ψ

ikR

− − ∇ψ

1

R

sen

θ θ φ

d d

(5.1-6)

Fazendo-se o limite de R tendendo para zero, a integral sobre S’ será igual a:

(

)

[

]

ikR S S 0 R e 4 d d sen d d sen R 1 R lim

∫

_, ψ − − ∇ψ θ θ φ=

∫

_,ψ θ θ φ= πψ →

( )

ds r e r e 4 1 P S ikr ikr •

∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ π = ψ (5.1-7)

na qual Ψ(P) indica que o valor da função de onda está sendo tomado no ponto P, em face do limite (RÆ0) que fizemos na integral sobre S'. Esta integral é conhecida como a integral de Helmoltz-Kirchhoff, e será a base do tratamento escalar do fenômeno da difração.

5.1.2 - Tratamento de Kirchhoff para a Difração

A fim de desenvolvermos o tratamento de Kirchhoff para o fenômeno da difração, consideremos a situação de uma onda incidindo sobre um anteparo, no qual existe uma abertura. Desejamos saber qual será a amplitude da onda, após atravessar a abertura, num determinado ponto P; como está indicado na fig.(5.1-3).

Vamos construir uma superfície fechada S, como se vê na fig.(5.1-3). Nela, destacaremos três regiões: Sa, Ss, Se. A primeira, corresponde à parte da superfície, exatamente, diante da abertura. A

segunda, a parte que se encontra na região de sombra diante do anteparo. Finalmente, Se é a parte que

se encontra no espaço adiante do anteparo. A escolha da forma da superfície tomada é livre, sendo ditada pela facilidade que se pode ter na execução da integração a ser realizada.

A integração que se tem de fazer sobre S, para determinarmos a integral da eq.(5.1-7), exige o conhecimento de Ψ e ∇Ψ e nos diversos setores desta superfície. Para tanto, algumas aproximações deverão ser tomadas, porque nem sempre se conhece Ψ e ∇Ψ. As aproximações consideradas serão aquelas feitas por Kirchhoff, autor do método que estamos estudando.

Segundo Kirchhoff, as condições de contorno, para o cálculo da integral da eq.(5.1-7), são as seguintes:

Ψ e ∇Ψ são os mesmos da onda incidente na região Sa.

Com isto, se está supondo que o anteparo, incluindo as suas bordas, não afetam apreciavelmente a onda incidente que passa pela abertura. Isto é razoável nas situações em que a dimensão da abertura é maior do que o comprimento de onda da radiação incidente, exceto nas imediações das suas bordas.

S

_e

S

_s

S

_a

r

_o

e

_o

e

r

Ψ e ∇Ψ são nulos na região de sombra determinada por Ss.

Com isto se está supondo que o anteparo é opaco à radiação, devendo se ressaltar que nas imediações das bordas da abertura isto não é mais verdadeiro.

Ψ e ∇Ψ são desprezíveis para pontos sobre a superfície Se.

Segundo esta aproximação, estamos supondo que o raio R de Se poderá ser feito tão grande

que, para as ondas envolvidas nos eventos que estão se passando entre o anteparo e o ponto P, o seu valor é nulo sobre Se. Tal aproximação seria inválida caso estivéssemos considerando ondas

absolutamente monocromáticas, pois assim sendo, conforme tivemos oportunidade de discutir na seção 6.5, tais ondas estariam distribuídas sobre todo o espaço. A consideração aqui feita, no entanto, é razoável para ondas quasimonocromáticas, como são aquelas correspondentes aos casos reais.

De posse dessas aproximações, e considerando-se que a onda incidente seja uma onda esférica do tipo: o o o r eikr ψ = ψ

a integração a ser desenvolvida na eq.(5.1-7), nos levará ao resultado apresentado na eq.(5.1-8).

( )

ds r e r e r e r e 4 1 P a S ikr ikr ikr ikr

∫

• ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ψ π = ψ o o o o o (5.1-8)

onde usamos, como função auxiliar, aquela dada anteriormente na eq.(5.1-3). Recordando-se dos resultados apresentados para o gradiente de

ϕ

, a eq.(5.1-8) tomará a seguinte forma:

( )

e e ds r 1 r ik r e e e r 1 r ik r e 4 1 P a S ikr 2 ikr r ikr 2 ikr

∫

• ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ψ π = ψ _{o o} o o o o o o (5.1-9)

na qual r0 determina a posição de cada ponto da superfície Sa e e0 é um versor que determina a direção

do raio vetor r0 que vai desde a fonte até o referido ponto P (vide a fig.(5.1-3)).

Para grandes distâncias, tanto da fonte, quanto do ponto P, em relação ao comprimento de onda (k=2

π

/

λ

), o resultado obtido para a integral que determina

ψ

(P), poderá ser grandemente simplificado porque pode-se desprezar os termos em 1/r2 e 1/r02. Dentro dessa última aproximação, o

valor de

ψ

(P) será obtido através da expressão:

( )

( )

(

e e

)

ds rr e 4 i P a r r ik S r k

∫

_{− •} π ψ = ψ + n o o o o (5.1-10)

que é conhecida como integral de Fresnel-Kirchhoff.

5.2 - Difração de Fraunhofer

Vamos considerar aqui uma situação bastante verificada em muitos casos de difração, qual seja aquela na qual a onda incidente sobre o obstáculo ou a abertura pode ser considerada uma onda plana.

Vejamos que mudanças esta aproximação nos trará. No caso da onda incidente ser uma onda plana, a função que a descreverá será do tipo Ε= Εo=constante. Isto significa substituir, na eq.(5.1-9), Εo=e

ikr

o

/r

o

por Ψ=constante. Se além disso, considerarmos que as ondas planas se posicionam paralelamente ao anteparo, teremos que eo é perpendicular a ele. Com isso er-n=-cosθ e e0-n=1, como podemos ver na

fig. (5.2-1). Tais resultados, aplicados à eq.(5. 1-9), nos fornecerão:

( )

_∫

(

+ θ

)

π − = a S ikr ds cos 1 r e 4 k E i P E o (5.2-1)

Na eq.(5.2-1) vemos que o integrando pode ser entendido como uma onda esférica tendo uma intensidade modulada angularmente pelo termo (1+cosθ). Este termo é conhecido como fator de inclinação. Para pontos no plano de observação próximos ao centro de abertura, podemos aproximar cosθ≅1 e a eq.(5.2-1) ficará ainda mais simples. Ou seja:

( )

_∫

π − = S ikr ds r e 2 k E i P E o (5.2-2)

A partir daqui, não usaremos a indicação S para a integral sobre Sa. Consideremos a

fig.(5.2-2), na qual são apresentados um anteparo e as coordenadas que localizam um ponto P de observação e os pontos sobre o anteparo. Como vemos na figura, o sistema de coordenadas usado tem seu referencial localizado sobre o anteparo. O ponto P tem coordenadas (x,y,z) enquanto os pontos sobre o anteparo tem coordenadas (X,Y). O valor de r, que é a distância de P a qualquer ponto da abertura é dado pela expressão:

r2=(x-X)2+(y-Y)2+z2 (5.2-3)

enquanto a distância de P à origem, definida aqui por R, será expressa por:

R2=x2+y2+z2 (5.2-4)

Quadrando-se os termos da eq.(5.2-3) e usando-se a eq.(5.2-4), obtemos:

(

)

1/2 2 2 2 2 2 / 1 2 2 2 R ) ( R ) y x ( 2 1 R ( ) y x ( 2 R r _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + − = + + + − = x y x y x y x y (5.2-5) x y r R θ x P y

Fig.(5.2-2) - Ilustração de uma abertura em um anteparo com as coordenadas necessárias à integração de Helmoltz-Kirchhoff.

Como estamos considerando que o ponto de observação P está localizado a uma distancia do anteparo tal que R é muito maior do que as dimensões das coordenadas (x,y) e (x,y), a raiz quadrada da eq.(5.2-5) poderá ser calculada com a aproximação (l+u)n≅(l+nu). Isto leva a expressão de r para

2 2 y x y x y x R 2 ) ( Y X R R 2 ) ( R ) y x ( R r 2 2 2 2 ₊ + µ − η − = + + + − ≅ (5.2-6)

onde, η=x/R e µ=y/R são, por definição, os cossenos diretores do vetor R. Para distâncias muito maiores do que as dimensões da abertura, pode-se desprezar os termos quadráticos da eq.(5.2-6). Nesta aproximação a difração é chamada por difração de Fraunhofer. Caso isto não possa ser feito, quando por exemplo os pontos de observação estão muito próximos do anteparo. Em tais casos, a situação corresponde ao que se chama de difração de Fresnel.

Na aproximação de Fraunhofer a eq.(5.2-2) ficará na seguinte forma:

( )

_∫

−

(

η +µ

)

₌

_∫

−

(

η +µ

)

π − = S S ik o ik ikR d d e E d d e R 2 ke E i P E o x y x y x y x y (5.2-7)

onde, na segunda integral, fizemos: −iE_okeikR 2πR→E_o.

De posse da eq.(5.2-7) poderemos calcular a distribuição de campo eletromagnético resultante da difração originada por diversos tipos de aberturas e anteparos. Nas seções seguintes iremos calcular alguns deles

5.2-1 - Difração de Fraunhofer em uma Fenda

Vamos considerar um caso bastante simples, que é o de um anteparo com uma fenda de largura e comprimento infinito.

Nesta configuração, ilustrada na fig.(5.2-3), a integral da eq.(5.2-7) será:

( )

sen(k a/2) k E 2 2 / a 2 / a e k i E x d e E P E ik x 2 / a 2 / a x ik _η η = − η = = − η − η −

∫

(5.2-8)

`

x

y

r

R

_θ

x

y

P

Com a expressão para E(P), fica fácil obtermos a intensidade da radiação, bastando para isto tomarmos o seu módulo ao quadrado. Teremos:

( )

2

(

)

2 2 2 o sen 2 / a k 2 / a k sen ) 2 / a k ( sen k E 2 P _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ξ ξ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ η η = η ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ η = I_o I_o I (5.2-9)

onde definimos uma nova variável

ξ

= k a

η

. Tomando-se a expressão do cosseno diretor

η

poderemos escrever:

ξ

π

λ

θ

=

a

sen

(5.2-10)

Da eq.(5.2-9) podemos deduzir que o máximo absoluto de I(P) se dará para

θ

=0. Isto é, no eixo que passa pelo centro da fenda. Os outros pontos de máximo poderão ser obtidos pelos meios matemáticos bem conhecidos. Com eles, se chega a uma equação transcendental, qual seja:

tgξ ξ

=

.

Os valores de

ξ

que a satisfazem fornecem os pontos de máximo. Eles serão aproximadamente iguais a ξ=(2n+1)π/2 (n=1,2,3,...). Os valores máximos da função irão decrescendo à medida que aumentem os valores de ξ, correspondendo a maiores valores do angulo

θ

. Além disto, a intensidade irá para zero (valor mínimo da função) em pontos nos quais ξ=±nπ (n=1,2,3...). Tais pontos correspondem a valores de senθ=ξ=±λ/a. Deixamos para o leitor responder à questão: por que n=0 corresponde a um máximo e não a um zero da função? A fig.(5.2-4) nos mostra o comportamento de I(P) em função de

ξ. Os dois pontos de mínimo entre os quais se situa o máximo absoluto de I(P), ocorrerão para senθ=ξ=±λ/a. Eles são usados para definir a abertura angular ∆θ da figura de difração. Dentro deste ângulo estará contida a porção significativa da intensidade da referida figura. Seu valor é calculado via a expressão:

∆θ ≅ 2

λ

a

(5.2-11)

5.2.2 - Difração de Fraunhofer em uma Abertura Circular

No caso de uma abertura circular, vamos usar o sistema de coordenadas cilíndricas, como indica a Fig.(5.2-5).

Consideremos, dentro da aproximação de Fraunhofer, que a onda incidente sobre a tela onde se encontra a abertura circular seja plana. A amplitude da onda no ponto P é dada pela eq.(5.2-7). Em coordenadas cilíndricas, temos:

φ ρ = cos x (5.2-12) φ ρ = sen y (5.2-13) e também

η

=

x

=

ρ

φ

R

R

, ,

cos

(5.2-14)

µ

=

y

=

ρ

φ

R

R

, ,

sen

(5.2-15)

Para grandes distancias (R»a), podemos tomar a seguinte aproximação:

ρ

θ θ

,

sen

R

=

≅

Com as expressões para as coordenadas, podemos escrever: ) sen sen cos (cos ) sen sen cos (cos R y x , , , , , φ φ + φ φ ρθ ≅ φ φ + φ φ ρρ = µ + η (5.2-16)

a qual nos permite escrever a eq.(5.2-7) da seguinte maneira:

( )

=

∫

ρ ρ

∫

φ π φ φ + φ φ ρθ − _d e d E P E 2 0 ) sen sen cos (cos ik a 0 o , , (5.2-17)

Tal expressão pode ser simplificada caso usemos a simetria existente no caso de uma abertura circular. É fácil percebermos que, dado um valor de ρ’ (ou θ), E(P) não se alterará para diferentes valores de φ’. Então, podemos fazer φ’ igual a um valor qualquer. inclusive zero. Com tal valor a eq.(5.2-17) ficará:

( )

P =E

∫

ρdρ

∫

πe− ρθ φdφ E 2 0 cos ik a 0 o (5.2-18)

Infelizmente, a integral em

φ

não tem solução simples. Para resolvê-la teremos de nos valer da definição das funções de Bessel na sua forma integral. Ela é:

x

y

r

R

θ

x

P

y

ρ’φ’

ρ

φ

( )

( )

φ π = η

∫

π νφ φ η ν ν e e d i 2 1 J 2 0 i cos i _(5.2-19)

para

ν = 0

, a eq.(5.2-19) nos fornece a expressão:

( )

J_{o η} ei d π η φ π φ = 1

∫

2 0 2 cos _(5.2-20)

a qual, comparada ao integrando em

φ

da eq.(5.2-19), nos permite indentificar:

) k ( J ) k ( J e−ikρθcosφ= _o − ρθ = _o ρθ (5.2-21)

Desta forma, a eq.(5.2-23) será:

( )

P =2πE

∫

ρJ (kρθ)dρ E

a

0

o _o ( 5.2-22)

cuja solução se obtem usando-se a seguinte propriedade das funções de Bessel:

( )

( )

ηJ_o η η ηd J η

∫

= ₁ (5.2- 23)

Com ela teremos:

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ π = θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ π = ka ) ka ( J a E 2 ) ka ( J ka k 1 E 2 P E _{1 o} 2 1 2 o (5.2-24)

Da eq.(5.2-29), vem a expressão para a intensidade da onda difratada no ponto P. Ela será:

( )

2 1 2 o 2 ka ) ka ( J ) E a 2 ( P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ π = I (5.2-25)

A distribuição de intensidade obtida, para o caso de uma abertura circular, terá seu máximo Io em

θ = 0

, para o qual

(

J₁(kaθ) kaθ =)

)

0 5. . Isto nos leva a:

4 2 o 2 o =π ψ a I (5.2-26)

A dependência de Io em a4 nos indica uma rápida redução (ou aumento) na intensidade de luz com a

diminuição (ou aumento) do raio da abertura circular. O mesmo é válido para toda a distribuição Io.

Outro ponto importante a ser considerado é quanto aos zeros da função J1(ka

θ

). Eles

determinam os pontos de intensidade nula, os quais estão localizados em círculos concêntricos em torno do ponto

θ = 0

. As raízes da função J1(η) ocorrem para os seguintes valores de η=3,83, 7,02,

θ

₁

=

3 83

,

=

0 61

,

λ

ka

a

θ

₂

=

7 02

,

=

112

.

λ

ka

a

θ

₃

=

10 17

,

=

1 62

,

λ

⋅⋅⋅

ka

a

(5.2-27)

5.3 - Espalhamento de Luz

Quando analisamos os efeitos de difração, tomamos obstáculos de caráter macroscópico. Além disso, tais obstáculos eram passivos no sentido de que as perturbações causadas seriam apenas o da sua interposição à trajetória da radiação. Consequentemente, a radiação difratada pelo obstáculo não passaria da soma da própria luz incidente com aquela parte desviada pelos obstáculos.

Se considerarmos a interação da luz com obstáculos microscópicos, devemos deixar de lado essa idéia de passividade dos obstáculos. Isto porque os obstáculos microscópicos poderão ser átomos, moléculas, ou mesmo elétrons. Enfim, sistemas de cargas que, sob a ação dos campos elétrico e magnético da radiação, são capazes de emitir radiação eletromagnética. Esta, irá se somar àquela que Ihe é incidente. Desta forma, passamos a ter um fenômeno chamado de espalhamento.

Quando as novas ondas geradas possuem a mesma freqüência da onda incidente, o espalhamento é dito elástico. Nas situações em que a freqüência da onda gerada é diferente da onda incidente o espalhamento é dito inelástico. Tais designações advém da idéia de choques mecânicos. Neles os elásticos correspondem às situações em que não há variação da energia total dos corpos em choque, havendo uma reorientação no movimento dos corpos que deles participam. No caso dos inelásticos há também a variação da energia de cada corpo. No caso dos espalhamentos de radiação, a idéia segue o espírito, embora não seja exatamente a mesma coisa. No caso dos espalhamentos, a designação de elásticos significa que a energia dos fótons incidentes e daqueles gerados pelos centros de espalhamento é a mesma. Seria o mesmo dizer que a freqüência da radiação não se altera. A variação de energia não significa variação de intensidade. Para os inelásticos, há mudança de energia entre os fótons incidentes e gerados pelos centros espalhadores.

Devemos salientar que o espalhamento de luz não é apenas provocado por partículas individuais. Poderá se dar também devido à perda, localizada, da homogeneidade das propriedades ópticas do meio. Como, por exemplo, a flutuação de índice de refração do meio no qual a radiação esteja se propagando.

Vamos considerar apenas alguns tipos clássicos e importantes de espalhamento, usando um tratamento clássico. Assim evitaremos as complexidades matemáticas de um tratamento mais preciso, inclusive envolvendo princípios quânticos, e poderemos explorar mais o aspecto fenomenológico objetivado para este tópico.

5.3.1 - Espalhamento Rayleigh

Vamos, agora, considerar que a partícula carregada não seja livre, mas esteja ligada a um sistema de cargas. Como um elétron ligado ao núcleo, em um átomo. Examinemos que tipo de espalhamento é produzido por tal carga. Por simplicidade vamos considerar uma carga q ligada a algum sistema de cargas, que chamaremos de caroço. Seja ela capaz de oscilar na presença de um campo harmônico. Como o fizemos na seção (2.2), quando analisamos a polarização eletrônica. A equação de movimento de tal carga será:

(

)

_e e qE = r K t r m _o ikr - t 2 2 ω ⋅ − + ∂ ∂ (5.3-1)

considerando-se que o movimento se dá em torno de uma posição de equilíbrio, na qual localizamos a origem do nosso sistema de coordenadas para o vetor r. A eq.(5.3-1) será escrita na forma:

(

)

∂

∂

ω

ω 2 2 2

r

r

k r

e

t

qE

m

e

o o i t

+

=

− ⋅ − (5.3-2)

sendo, ωo=K/m correspondendo a uma freqüência natural de oscilação do sistema carga-caroço. A

solução da eq.(5.3-2) será:

r(t) =

q m

E e

(

)

o o i t

ω

ω

ω 2

₋

2 − k r⋅ −

e

(5.3-3)

Substituindo-se a eq.(5.3-3) na equação anterior obteremos:

(

)

∂

∂

ω

ω

ω

ω 2 2 2 2 2

r

e

k r - t

t

q

m

_o

E e

o i

= −

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

_⎠

⎟⎟

− ⋅

Vamos calcular o momento de dipolo referente ao dipolo elétrico induzido pelo campo externo e, a partir dele, calculemos a intensidade de radiação emitida. Encontraremos:

(

)

∂

∂

ω

ω

ω

ω 2 2 2 2 2 2

p

e

k r

t

q

m

_o

E e

o i t

=

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

_⎠

⎟⎟

− . − (5.3-4) e

dW

d

T

dW

d

T

c

e

p

t

dt

T o T

Ω

=

Ω

=

ℜ

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

=

∫

∫

1

1

1

16

0 2 3 2 2 2 2 0

π ε

∂

∂

sen

θ

θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε π = 2 2 2 2 o 2 3 o 2 2 2 o 4 sen c m 32 E q (5.3-5)

Como vemos, agora, a radiação emitida depende da freqüência da radiação, fato que não ocorria anteriormente para uma partícula livre. A secção diferencial de espalhamento será:

d

d

dW d

S

q

m

_o

c

_o

σ

π ε

ω

ω

ω

θ

Ω

Ω

=

=

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

_⎠

⎟⎟

4 2 2 3 2 2 2 2 2

16

sen

(5.3-6)

(

)

2 cos 1 4 mc q d d 2 2 2 2 o 2 2 o 2 2 np α + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ πε = Ω σ (5.3-7)

Finalmente, a secção total de espalhamento será:

2 2 2 o 2 2 o 2 2 np T 4 mc q 3 8 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ πε π = σ (5.3-8)

Caso ω0 seja muito maior do que ω podemos fazer a aproximação:

2 o 2 2 2 o 2 ω ω ≅ ω − ω ω

Usemos tal aproximação na eq.(5.3-8), deixando as demais equações para o leitor. Obteremos:

σ

π

πε

ω

π

ε

λ

T np o o

q

mc

q

m

=

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

_⎠

⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

8

3

4

8

3

2 2 2 4 2 2 4 (5.3 -9)

O espalhamento de luz por cargas fortemente ligadas, significando altos valores de ω0 ou κ,

correspondem ao que se chama de espalhamento Rayleigh. Este tipo de espalhamento tem uma dependência bastante característica qual seja a sua dependência com a quarta potência da frequência, ou inversamente proporcional à quarta potência do comprimento de onda da radiação. Tal tipo de espalhamento é o responsável pela cor azul do céu. Isto porque, sendo o azul a faixa de frequências da luz visível de menor comprimento de onda, é também a que sofre maior grau de espalhamento. Com isto se distribui pela atmosfera muito mais luz na faixa da cor azul do que com as demais cores visíveis.

Este tipo de espalhamento também é importante em guias de ondas, tais como as fibras ópticas, sendo causa de perda da luz guiada em tais dispositivos. Isto porque o espalhamento da radiação, no núcleo do guia, faz com que parte da luz de um modo saia da condição de guiamento (vide Cap.9) e seja lançada fora deste. Quanto menor for o comprimento de onda da luz que está sendo guiada, maior será, obviamente a perda associada ao espalhamento Rayleigh.