EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PESQUISA OPERACIONAL
1) Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:
A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais.
O pacote de ração Tobi custa R$ 20,00 e o pacote de ração Rex custa R$ 30,00 O quilo de carne custa R$ 4,00 e o kg de cereais custa R$ 1,00
Estão disponíveis por mês 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais
A empresa precisa saber qual quantidade produzir de cada ração de modo a maximizar o lucro: O modelo de programação linear nesse caso deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de ração Tobi (x1) e de ração Rex (x2).
A função objetivo pode ser escrita como maximizar Z = 11 x1 + 12 x2 sujeito às seguintes restrições:
1 x1 + 4 x2 10000 (restrição de carne) 5 x1 + 2 x2 30000 (restrição de cereais) x1, x2 0 (positividade das variáveis)
Solução para o problema 1: Passo-a-Passo
Este problema com apenas duas variáveis pode ser resolvido da seguinte forma:
Primeiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
Segundo: Considere uma das variáveis como constante (zerando uma para achar a outra). 1 x1 + 4 x2 = 10.000 (restrição de carne);
x1 = 10.000 x2 = 2.500
5 x1 + 2 x2 = 30.000 (restrição de cereais) x1 = 6.000
x2 = 15.000
Valores encontrados de x1 e x2 para a restrição dos cereais
Terceiro: Represente no gráfico as soluções viáveis com os valores encontrados.
OBS: A região de soluções viáveis é dada pela intersecção das retas encontradas.
Quarto e último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
1 x1 + 4 x2 = 10.000
5 x1 + 2 x2 = 30.000 Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de baixo por (-2) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. 1 x1 4 x2 = 10.000
10 x1 4 x2 = 60.000 9 x1 = 50.000
x1
=Para encontrar x2 basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 1 x1 4 x2 = 10.000
5556 4 x2 = 10.000
4 x2 = 10.000 5556
Substituindo na função objetivo: Z = 11 x1 + 12 x2, temos:
Z = 11 . (5556) + 12 . (1111)
Z = 74448
OBS: O ponto ótimo é o ponto onde a reta de maior valor possível corta a região viável (normalmente num vértice).
2)
de jantar: o conjunto Beatrice e o conjunto Annamaria. A empresa está preparando sua programação semanal de produção para os dois conjuntos. Sabe-se que, embora não haja restrições no tocante à demanda do conjunto Beatrice (dentro das limitações de produção atuais), para o conjunto Annamaria dificilmente a demanda semanal ultrapassará 08 unidades. A fabricação dos dois conjuntos é dividida em dois grandes blocos de operações: Preparação (consistindo no corte da madeira e na preparação para a montagem) e Acabamento (consistindo na montagem do conjunto e no acabamento final). Em face dos outros produtos existentes, a empresa não poderá alocar mais de 100 horas para a Preparação e 108 horas para o Acabamento durante a semana. O conjunto Beatrice exige 05 horas para a preparação e 09 horas para o acabamento, enquanto, para o conjunto Annamaria, esses números são de 10 e 06 horas respectivamente. A empresa deve decidir quantas unidades de cada conjunto devem ser fabricadas, levando em conta que o conjunto Beatrice fornece um lucro unitário de R$ 4.000,00 (Quatro mil), enquanto, para o conjunto Annamaria o lucro unitário é de R$ 5.000,00 (Cinco mil).
Solução para o problema 2: Passo-a-Passo
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 4000 x + 5000 y sujeito às seguintes restrições: 5 x + 10 y 0 (restrição da preparação)
9 x + 6 y 108 (restrição do acabamento)
1 y 8 (demanda máxima de conjuntos Annamaria) x , y 0 (positividade das variáveis)
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
5 x + 10 y = 100 (restrição da preparação) x = 20
y = 10
Valores encontrados de x e y para a restrição da preparação
9 x + 6 y = 108 (restrição do acabamento) x = 12
y = 18
Valores encontrados de x e y para a restrição do acabamento
1 y = 8 (restrição da demanda máxima de conjuntos Annamaria) x = 0
y = 8
Valores encontrados de x e y para a restrição da demanda
Quinto e último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
5 x + 10 y = 100 9 x + 6 y = 108
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-1,8) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. - 9 x - 18 y = - 180
9 x + 6 y = 108 - 12 y = - 72
y = 6
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 5 x + 10 . (6) = 100
5 x + 60 = 100 5 x = 40 x = 8
Substituindo na função objetivo: Z = 4000 x + 5000 y, temos a solução ótima: Z = 4000 . (8) + 5000 . (6)
Z = 62000
3) Uma fábrica de brinquedos precisa programar a produção de um aeromodelo que requer o uso de dois tipos de recursos: Mão-de-obra e Material. A empresa fabrica dois modelos, conforme a tabela a seguir:
O suprimento de material é de 150 kg por dia. A disponibilidade diária de mão-de-obra é 180 horas. Determinar a produção diária de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia utilizando a programação linear.
Solução para o problema 3: Passo-a-Passo
Primeiro: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 10 x + 25 y sujeito às seguintes restrições: 4 x + 8 y 50 (restrição da mão-de-obra)
10 x + 5 y 180 (restrição do material) x , y 0 (positividade das variáveis)
Segundo: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
4 x + 8 y = 150 (restrição da mão-de-obra) x = 37,50
y = 18,75
Valores encontrados de x e y para a restrição da mão-de-obra
10 x + 5 y = 180 (restrição do acabamento) x = 18
y = 36
Valores encontrados de x e y para a restrição do material
Terceiro: Represente no gráfico as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
36
18,75
18 37,5 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
4 x + 8 y = 150 10 x + 5 y = 180
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-2,5) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. - 10 x - 20 y = - 375
10 x + 5 y = 180 - 15 y = - 195
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 4 x + 8 y = 150
4 x + 8 . (13) = 150 4 x = 150 - 104 x = 11,5
Substituindo na função objetivo: Z = 10 x + 25 y, temos a solução ótima: Z = 10 . (11,5) + 25 . (13)
Z = 115 + 325 Z = 440
4) Um fabricante de calçados produz, entre dois tipos de sapatos: Um modelo para atender o público feminino e um para o masculino. Embora não haja restrições de demanda do modelo feminino, para o modelo masculino a demanda semanal máxima é de 90 unidades. A fabricação dos dois tipos é dividida em entre as operações de Processamento e Acabamento. Em face da produção de tênis esportivos, a empresa não poderá alocar mais que 63 horas para o Processamento e 95 horas para o Acabamento durante a semana. A tabela abaixo apresenta a quantidade de horas necessárias para as respectivas operações, bem como o lucro unitário de cada tipo de calçado:
Utilizando a modelagem em programação linear, quanto a empresa deve produzir de cada tipo para maximizar o lucro ?
Solução para o problema 4: Passo-a-Passo
Primeiro: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 120 x + 40 y sujeito às seguintes restrições: 4,5 x + 5 y 63 (restrição do tempo de processamento) 10 x + 5 y 95 (restrição do tempo de acabamento)
1 y 90 (demanda máxima de sapatos masculinos) x , y 0 (positividade das variáveis)
Segundo: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
4,5 x + 5 y = 63 (restrição do tempo de processamento) x = 14
y = 12,60
Valores encontrados de x e y para a restrição do processamento
10 x + 5 y = 95 (restrição do acabamento) x = 9,5
y = 14
Valores encontrados de x e y para a restrição do acabamento
1 y = 90 (restrição da demanda máxima de calçados masculinos) x = 0
y = 90
Valores encontrados de x e y para a restrição da demanda
Terceiro: Represente no gráfico as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
90
14 12,60
9,5 14 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
4,5 x + 5 y = 63 10 x + 5 y = 95
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-1) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. - 4,5 x - 5 y = - 63
10 x + 5 y = 95 5,5 x = 32
Para encontrar y basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 10 x + 5 y = 95
10 . (5,82) + 5 y = 95 58,2 + 5 y = 95 y = 7,36
Substituindo na função objetivo: Z = 120 x + 40 y, temos a solução ótima: Z = 120 . (5,82) + 40 . (7,36)
Z = 698,4 + 294,4 Z = 992,80
5) Uma companhia de aluguel de caminhões possuía dois tipos distintos: O tipo A com 02 metros cúbicos de espaço refrigerado e 04 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 03 metros cúbicos refrigerados e 03 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A for R$ 0,30 por km e o do B, R$0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Minimizar Z = 0,30 x + 0,40 y sujeito às seguintes restrições: 2 x + 3 y 90 (restrição do espaço refrigerado)
4 x + 3 y 120 (restrição do espaço não refrigerado) x , y 0 (positividade das variáveis)
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
2 x + 3 y = 90 (restrição do espaço refrigerado) x = 45
y = 30
Valores encontrados de x e y para a restrição do espaço refrigerado
4 x + 3 y = 120 (restrição do espaço não refrigerado) x = 30
y = 40
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
40
30
30 45 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
2 x + 3 y = 90 4 x + 3 y = 120
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-1) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. - 2 x - 3 y = - 90
4 x + 3 y = 120 2 x = 30
x = 15
Para encontrar y basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 2 x + 3 y = 90
2 . (15) + 3 y = 90 y = 20
Substituindo na função objetivo: Z = 0,30 x + 0,40 y, temos a solução ótima: Z = 0,30 . (15) + 0,40 . (20)
Z = 4,5 + 8 Z = 12,5
6) Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contém uma mistura com metade do peso dos bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote contém uma mistura de um terço de bombons de cereja e
dois terços de menta e é vendido por R$12,50 por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim de maximizar seu lucro nas vendas?
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 20 x + 12,5 y sujeito às seguintes restrições: x + y 130 (restrição do recheio de cereja) x + y 170 (restrição do recheio de menta) x , y 0 (positividade das variáveis)
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
x + y = 130 (restrição do recheio de cereja) x = 260
y = 390
Valores encontrados de x e y para a restrição do recheio de cereja
x + y = 170 (restrição do recheio de menta) x = 340
y = 255
Valores encontrados de x e y para a restrição do recheio de menta
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
390
255
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
x + y = 130 x + y = 170
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-1) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. x - y = - 130
x + y = 170 y = 40
y = 120
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: x + y = 130
x + . (120) = 130 x = 180
Substituindo na função objetivo: Z = 20 x + 12,5 y, temos a solução ótima: Z = 20 . (180) + 12,5 . (120)
Z = 3600 + 1500 Z = 5100
7) A empresa Radicais produz paraquedas e asa-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 63 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 01, enquanto que na linha 02 o paraquedas requer 3 horas e a asa-delta requer 14 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada paraquedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00 encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo.
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática.
Maximizar Z = 60 x + 40 y sujeito às seguintes restrições:
x + y 100 (restrição da disponibilidade da linha de montagem 1) x
x + , y
y 0
63 (restrição da disponibilidade da linha de montagem 2) (positividade das variáveis)
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
x + y = 100 (restrição da disponibilidade da linha de montagem 1) x = 10
y = 10
Valores encontrados de x e y para a restrição da linha de montagem 1
x + y = 63 (restrição da disponibilidade da linha de montagem 2) x = 21
y = 4,5
Valores encontrados de x e y para a restrição da linha de montagem 2
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
10
4,5
10 21 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
x + y = 100 x + y = 63
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-1) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. x - y = - 100
x + y = 63 x = - 77
x = 7
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: x + y = 100
+ = 100 y = 3
Substituindo na função objetivo: Z = 60 x + 40 y, temos a solução ótima: Z = 60 . (7) + 40 . (3)
Z = 420 + 120 Z = 540
8) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de R$ 3,00 e os lotes de bolo de creme com um lucro de R$ 1,00. Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados de ambos nunca seja menor que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 50 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema.
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 3 x + y sujeito às seguintes restrições: x + y 20 (restrição da produção mínima de ambos)
x + y 50 (restrição das horas disponíveis para operação) x 0 (restrição da produção mínima de bolos de chocolate) x 60 (restrição da demanda máxima de bolos de chocolate) y 40 (restrição da demanda máxima de bolos de creme)
x y
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
x + y = 20 (restrição da produção mínima de ambos) x = 20
y = 20
Valores encontrados de x e y para a restrição da produção mínima de ambos
x + y = 50 (restrição das horas disponíveis para operação) x = 25
y = 16,67
Valores encontrados de x e y para a restrição das horas de operação
x = 10 (restrição da produção mínima de bolos de chocolate) x = 10
y = 0
x = 60 (restrição da demanda máxima de bolos de chocolate) x = 60
y = 0
Valores de x e y para a restrição da demanda máxima de bolo de chocolate.
y = 40 (restrição da demanda máxima de bolos de creme) y = 40
x = 0
Valores de x e y para a restrição da demanda máxima de bolo de creme.
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. y
40
20 16,67
10 20 25 40 60 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
x + y = 20 x + y = 50
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de cima por (-2) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. x - y = - 40
x + y = 50 = 10
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: x + y = 20
+ = 20 x = 10
Substituindo na função objetivo: Z = 3 x + y, temos a solução ótima: Z = 3 . (10) + 1 . (10)
Z = 40
9) Um alfaiate tem disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão e 1 metro de lã. Para um vestido são necessários 1 metro de algodão e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por R$300,00 e um vestido por R$500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta.
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 300 x + 500 y sujeito às seguintes restrições: 2 x + y 16 (restrição do algodão necessário)
x + y 15 (restrição da lá necessária) x y
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
2 x + y = 16 (restrição do algodão necessário) x = 8
y = 16
Valores encontrados de x e y para a restrição do algodão necessário
x + y = 15 (restrição da lã necessária) x = 15
y = 5
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. Y
16
5
8 15 x
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
2 x + y = 16 x + y = 15
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de baixo por (-2) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. x + y = 16
- x - y = - 30
= 2,8
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: 2 x + y = 16
= 16 2,8 x = 6,6
Substituindo na função objetivo: Z = 300 x + 500 y, temos a solução ótima: Z = 300 . (2,8) + 500 . (6,6)
Z = 840 + 3300 Z = 4140
10)Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Elabore o modelo
Primeiro: Organizar os dados para uma melhor visualização
Segundo: Fazer a modelagem matemática, ou seja, transformar as informações em equações e inequações.
Maximizar Z = 30000 x + 10000 y sujeito às seguintes restrições: 20 x + 10 y 80 (restrição do tempo para música)
x + y 5 (restrição do tempo para propaganda) x y
Terceiro: Determinar a região de soluções viáveis. Para tanto, substitua cada desigualdade por uma equação.
20 x + 10 y = 80 (restrição do tempo para música) x = 4
y = 8
Valores encontrados de x e y para a restrição do tempo para música
x + y = 5 (restrição do tempo para propaganda) x = 5
y = 5
Valores encontrados de x e y para a restrição do tempo para propaganda
Quarto: Represente graficamente as soluções viáveis com os valores encontrados. y
8
5
Último passo: Para saber a solução ótima, é só solucionar a equação dada pelas retas encontradas e substituir na função objetivo conforme abaixo:
20 x + 10 y = 80 x + y = 5
Basta tão somente fazer um pequeno sistema para resolver
Multiplica-se a expressão de baixo por (-10) para que seja possível eliminar uma das variáveis no sistema. 20 x + 10 y = 80
- x - y = - 50
= 3
Para encontrar x basta apenas substituir o valor encontrado em uma das equações: x + y = 5
= 5 3 y = 2
Substituindo na função objetivo: Z = 30000 x + 10000 y, temos a solução ótima: Z = 30000 . (3) + 10000 . (2)
Z = 90000 + 20000 Z = 110000