Geometria Analítica - Retas e Planos
Cleide Martins
Departamento de Matemática UFPE Turma PF
Objetivos
1 Estudar ângulos entre retas, entre planos e entre retas e planos e
2 Apresentar os conceitos de projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta, de um ponto
sobre um plano e de uma reta sobre um plano.
Ângulo entre duas retas
Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s
r : X = A + λ→u r é a reta que contem A e é paralela a →u s : X = B + λ→v sé a reta que contem B e é paralela a →v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas.
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é agudo então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = →
u .→v k→uk . k→vk
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é obtuso então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = − → u .→v k→uk . k→vk
Ângulo entre duas retas
Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s
r : X = A + λ→u r é a reta que contem A e é paralela a →u s : X = B + λ→v sé a reta que contem B e é paralela a →v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas.
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é agudo então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = →
u .→v k→uk . k→vk
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é obtuso então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = − → u .→v k→uk . k→vk
Ângulo entre duas retas
Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s
r : X = A + λ→u r é a reta que contem A e é paralela a →u s : X = B + λ→v sé a reta que contem B e é paralela a →v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas.
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é agudo então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = →
u .→v k→uk . k→vk
Se o ângulo entre os vetores→u e →v é obtuso então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que
cos θ = − → u .→v k→uk . k→vk
Ângulo entre duas retas
Em qualquer caso o cosseno do ângulo θ entre as retas
r : X = A + λ→u e s : X = B + λ→v é cos θ = | → u .→v | k→uk . k→vk
Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta
A projeção ortogonal do ponto P sobre a reta ` : X = A + λ→v é o ponto P0 tal que → AP0= Proj → AP → v ou seja P0= A + Proj → AP → v
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
A projeção ortogonal A0 de um ponto A = (x1, y1, z1) sobre um plano π : ax + by + cz = d é a interseção da reta ` que contem A e é paralela a →n= (a, b, c)(vetor normal do plano π)
` : X = A + λ→n com o plano π.
A0 = ` ∩ π
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção de uma reta r : X = A + λ→u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r0 de nida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A0 a projeção de A sobre π.
Se r é paralela a π então r0 é a reta X = A0+ λ→u
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção de uma reta r : X = A + λ→u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r0 de nida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A0 a projeção de A sobre π.
Se r é paralela a π então r0 é a reta X = A0+ λ→u
Se r não é paralela a π e Q = r ∩ π 6= A, então r0 é a reta X = Q + λQA→0
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção de uma reta r : X = A + λ→u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r0 de nida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A0 a projeção de A sobre π.
Se r é paralela a π então r0 é a reta X = A0+ λ→u → n b r A →u b r′ A′ →u
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção de uma reta r : X = A + λ→u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r0 de nida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A0 a projeção de A sobre π.
Se r é paralela a π então r0 é a reta X = A0+ λ→u
Se r não é paralela a π e Q = r ∩ π 6= A, então r0 é a reta X = Q + λQA→0
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção de uma reta r : X = A + λ→u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r0 de nida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A0 a projeção de A sobre π.
Se r é paralela a π então r0 é a reta X = A0+ λ→u
Se r não é paralela a π e Q = r ∩ π 6= A, então r0 é a reta X = Q + λQA→0 → n b r A →u b Q b r′ A′
Ângulo entre uma reta e um plano
Suponha que sejam conhecidas uma equação vetorial da reta r e a equação geral do plano π r : X = A + λ→u r é a reta que contem A e é paralela a →u
π : ax + by + cz = d π é o plano perpendicular a →n= (a, b, c)
O ângulo entre r e π é o ângulo entre r e a reta r0 que é a projeção ortogonal de r sobre π
→ n b r A → u
→ n b r A → u b b
→ n b r A → u b b
θ → n b r A → u b b O ângulo θ entre r e π é o
complementar do ângulo entre →u e →n (considerando que esses ângulos são agudos). Portanto
sen θ = | → u .→n | k→uk . k→nk
Ângulo entre dois planos
Considere os planos
π1 : ax + by + cz = d ⊥ →n e π2: mx + ny + pz = h ⊥ →w
Se π1 e π2 são paralelos então o ângulo entre eles é zero. Se π1 e π2 não são paralelos então então o ângulo θ entre eles é o menor dos ângulos formados por seus vetores normais.
→ n → n → w cos θ = | → n .→w| k→nk . k→wk
Exercícios
Considere o ponto A = (2, 3, 2) e os vetores →u = (1, 1, 2), →v = (0, 1, 1) e→w= (1, 1, −4).
1 Determine os pontos B, C e D tais queAB=→ →u,BC=→ →v e CD=→ →w
2 Determine a equação do plano π que contém A, B e C
3 Determine a equação do plano α que contem D e é paralelo a π 4 Determine o ponto D0 projeção do ponto D sobre o plano π 5 Escreva o vetorAD→0 como combinação linear de AB→ eAC→
6 Escreva uma equação vetorial para a reta r que contem a mediana do triângulo ABC
relativa ao vértice A
7 D0 ∈ r?
8 Justi que por quê para todo ponto Y ∈ α os tetraedros ABCD e ABCY têm mesmo
volume
