SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE OPERADORES LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE OPERADORES LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Luciele Rodrigues Nunes. Santa Maria, RS, Brasil 2012.

(2) SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE OPERADORES LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES. Luciele Rodrigues Nunes. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Matemática Pura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de. Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Maurício Fronza da Silva. Santa Maria, RS, Brasil 2012.

(3) Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática. A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação de Mestrado. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE OPERADORES LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES elaborada por. Luciele Rodrigues Nunes. como requisito parcial para obtenção do grau de. Mestre em Matemática. COMISSÃO EXAMINADORA: Maurício Fronza da Silva, Dr. (Orientador). Paulo Leandro Datorri da Silva, Dr. Marcio Violante Ferreira, Dr.. (USP). (UFSM). Santa Maria, 09 de março de 2012..

(4) Aos meus pais, Assis e Marlene..

(5) Agradecimentos Agradeço... Primeiramente à Deus, pela vida e por ter me dado forças para seguir nessa caminhada. Aos meus pais, Assis e Marlene, pela educação e pela esperança que sempre depositaram em mim. À minha irmã Luana, à minha irmã emprestada Lidiane e a minha vó Orlandina, pelo carinho e compreensão nos momentos que estive ausente. Ao meu namorado Rafael que, sempre me incentivou, apoiou e esteve disposto a me escutar e aconselhar nos momentos difíceis. Ao meu orientador professor Maurício, pela forma como conduziu este trabalho, e pelos ensinamentos que muito contribuíram para meu aperfeiçoamento prossional. Ao professor Mário, pelo constante incentivo para continuar os estudos e engressar no mestrado. À todos meus amigos, pelo carinho. Em especial aos meus amigos Sandra e Ezequiel, que mesmo distantes, sempre estiveram presentes. E a minha amiga e colega de mestrado Elisa, pela companhia nesses dois anos. À CAPES, pelo apoio nanceiro..

(6) RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Universidade Federal de Santa Maria. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE OPERADORES LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES AUTORA: LUCIELE RODRIGUES NUNES ORIENTADOR: MAURÍCIO FRONZA DA SILVA Data e Local da Defesa: Santa Maria, 09 de março de 2012.. Nessa dissertação apresentamos uma demonstração do Teorema de Malgrange-Ehrenpreis, que arma que todo operador de coecientes constantes não identicamente nulo tem uma solução fundamental.. Palavras-chave:. Equação Diferencial Parcial. Equações Diferenciais Parciais Line-. ares. Solução Fundamental..

(7) ABSTRACT Dissertation Graduate Program in Mathematics Federal University of Santa Maria. FUNDAMENTAL SOLUTIONS OF LINEAR OPERATORS CONSTANT COEFFICIENTS AUTHOR: LUCIELE RODRIGUES NUNES ADVISOR: MAURÍCIO FRONZA DA SILVA Date and Location of Defense: Santa Maria, march 09, 2012.. In this thesis we present a proof of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which states that every operator with constant coecients non identically zero has a fundamental solution.. Keywords:. Partial Dierential Equation.. Fundamental solution.. Linear Partial Dierential Equations..

(8) Lista de Símbolos Ω X −Ω F Fo ej |·| | · |M B(a, r) B[a, r] φ[] f K ⊂⊂ Ω S SS P p pm fˆ f˜ K≺f f ≺V. (aberto do Rn ) (complementar de Ω em X) (fecho de F ) (interior de F ) (vetor unitário) (norma euclidiana) (norma do máximo) (bola aberta na norma euclidiana) (bola fechada na norma euclidiana) (pg.25) (regularizadas de f ) (compacto de Ω) (suporte) (suporte singular) (operador diferencial linear) (pg.73) (símbolo principal) (Transformada de Fourier) (Tranformada Parcial de Fourier) (pg.13) (pg.13). Espaços: Cc (X) L(µ) Lp (µ) L∞ (µ) Lp (Ω) L∞ (Ω) Cc∞ (Ω) D 0 (Ω) E 0 (Ω) S S0. (pg.13) (pg.17) (pg.18) (pg.19) (pg.23) (pg.23) (pg.25) (pg.29) (pg.37) (pg.52) (pg.63).

(9) SUMÁRIO. 2.

(10) Introdução A teoria das distribuições surgiu com o objetivo de permitir a diferenciação onde o cálculo clássico de Leibniz e Newton não podia ser utilizado, criando um cálculo baseado na extensão da classe das funções a uma nova classe de objetos, as distribuições. Este estudo foi realizado por Laurent Schwartz que em 1950 publicou a obra La théore des distributions"que lhe valeu, no Congresso Internacional de Matemática de Harward, a medalha Fields. A noção de Soluções Fundamentais tornou-se gradualmente mais clara durante os séculos XIX e XX . As primeiras provas da existência de Soluções Fundamentais foram dadas em. 1953/54. por Bernard Malgrange e Leon Ehrenpreis.. Estas provas foram baseadas no. teorema de Hahn-Banach. Logo em seguida, provas construtivas também foram encontradas ou seja, provas que representam a Solução Fundamental de se referir a existência de. E. através de uma fórmula, em vez. E.. O presente trabalho tem como objetivo principal estudar o Teorema de MalgrangeEhrenpreis, que arma que todo operador com coecientes constantes, não nulo, tem uma Solução Fundamental. Em particular, prova-se a existência de Soluções Fundamentais para os operadores diferenciais do Calor, da Onda e de Laplace. O trabalho está organizado do seguinte modo: No capítulo. 1 listamos resultados úteis de Topologia Geral e Medida e Integração que. dão as fundamentações para os capítulos subsequentes. As distribuições são estudadas no capítulo. 2.. A ferramenta principal na demonstração do Teorema de Malgrange-Ehrenpreis. é a Transformada de Fourier, que é apresentada no capítulo. 3.. O capítulo. 4. traz a relação. entre Solução Fundamental e a Existência e Regularidade de Soluções de EDP's lineares. Finalizando, ainda no capítulo. 4, apresentamos uma demonstração relativamente simples do. Teorema de Malgrange-Ehrenpreis..

(11) Capítulo 1 Preliminares 1.1 Noções Topológicas ?. Para maiores detalhes dos resultados enunciados nessa seção veja [ ].. Denição 1.1.1. Seja. (a). τ. Uma coleção. X. um conjunto qualquer.. de subconjuntos de. X. é chamada de topologia em. X,. se. τ. tiver as. seguintes propriedades:. (i) ∅ ∈ τ e X ∈ τ ; (ii) se Vi ∈ τ para i = 1, 2, . . . , n então V1 ∩ V2 ∩ . . . ∩ Vn ∈ τ ; S (iii) se {Vα } é uma coleção arbitrária de elementos de τ então Vα ∈ τ. α. (b). Se. (c). Se. τ. X , então (X, τ ) é chamado de espaço topológico, e os elementos de τ são chamados de conjuntos abertos de X. Para simplicar a escrita, sempre que possível diremos simplesmente espaço topológico X. é uma topologia em. Y são espaços topológicos, dizemos que f : X → Y é uma aplicação −1 quando f (V ) é um conjunto aberto de X para cada aberto V de Y. X. e. Denição 1.1.2. Seja. (a). Um conjunto. F ⊂X. (b). Dado um conjunto. (c). Dado um conjunto. X. contínua. um espaço topológico. é fechado se o seu complementar. Fc. é aberto.. F ⊂ X , denimos o fecho de F como a intersecção de todos os fechados que contém F . Denotamos o fecho de F por F . Denimos o interior de F o como a união de todos os abertos contidos em F . Denotamos o interior de F por F . E ⊂ X , uma cobertura de E é uma família (Cλ )λ∈L de subconjuntos S de X tal que E ⊂ Cλ . Uma subcobertura é uma sub-família (Cλ )λ∈L0 , com L0 ⊂ L S λ∈L tal que E ⊂ Cλ . Quando todos conjuntos Cλ0 s são abertos dizemos que (Cλ )λ∈L é λ∈L0 uma cobertura aberta e quando. L. é nito dizemos que. (Cλ )λ∈L. é uma cobertura nita..

(12) 5. (d). K⊂X. Um conjunto. é compacto se toda cobertura aberta de. X. nita. Representamos um compacto de. (e). Uma vizinhança de um ponto. (f). X. X. U. p. e. V. de. F. então. Suponha que. juntos abertos. X. que contém. p, q ∈ X. p.. existem vizinhanças. q.. K. é compacto e. X F. tem uma vizinhaça com fecho compacto. é fechado em um espaço topológico. X.. Se. é compacto.. Teorema 1.1.4. Suponha. U. W. e. Teorema 1.1.5 U ⊂X. é qualquer aberto de. é localmente compacto se cada ponto de. Teorema 1.1.3 F ⊂K. de. tem uma subcobertura. K ⊂⊂ X.. é um espaço de Hausdor se para todo par de pontos. disjuntas. (g). p∈X. por. K. X. tais que. Suponha que. são tais que. K. K ⊂⊂ X U ∩ W = ∅.. um espaço Hasdor,. p ∈ U, K ⊂ W X. e. e. p ∈ K c.. Então existem con-. é um espaço de Hausdor localmente compacto. Se. é compacto e. U. é aberto, então existe um aberto. V. K ⊂. com fecho compacto. tal que. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.. Denição 1.1.6. Seja. X. um espaço topológico. Dada. f :X→C. denimos o suporte de. f. como o conjunto. S(f ) = {x ∈ X; f (x) 6= 0} e denotamos como. Cc (X) o conjunto de todas funções f : X → C contínuas tais que S(f ) ⊂⊂. X. K ≺ f signica que K ⊂⊂ X e que f ∈ Cc (X) tem as seguintes propriedades: 0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ X e f (x) = 1, ∀x ∈ K. O símbolo f ≺ V signica que V é aberto e que f ∈ Cc (X) tem as seguintes propriedades: 0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ X e S(f ) ⊂ V. A notação K ≺ f ≺ V signica que K ≺ f e f ≺ V. Suponha. X. um espaço topológico. A notação. Lema 1.1.7 (Lema de Urysohn) compacto,. V. é um aberto em. X. e. Suponha que. K ⊂⊂ V.. X. é um espaço de Hausdor localmente. Então existe. f ∈ Cc (X),. tal que. K ≺ f ≺ V.. Teorema 1.1.8. V1 , V2 , . . . , Vn são subconjuntos abertos de um espaço de HausX e que K ⊂⊂ X satisfaz. Suponha que. dor localmente compacto. K ⊂ V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vn . Então existem funções. hi ≺ Vi , i = 1, . . . , n,. tais que. h1 (x) + h2 (x) + . . . + hn (x) = 1, ∀x ∈ K..

(13) 6. {h1 , . . . , hn } {V1 , V2 , . . . , Vn } .. A coleção. Denição 1.1.9. K. é chamada de partição de unidade em. Um conjunto. E. subordinada a cobertura. em um espaço topologico é chamado. σ−compacto. se. E. é. uma união enumerável de conjuntos compactos. O próximo resultado mostra que todo aberto de. Teorema 1.1.10 sequência. (i). (Kj ). Considere em. Rn. Rn. é. σ−compacto.. a topologia usual. Para cada aberto. de subconjuntos compactos de. Ω. Ω. de. Rn. existe uma. tal que. o. Kj ⊂ Kj+1 , ∀j ∈ N;. (ii) (iii). ∞ S. Kj = Ω;. j=1. para cada. K ⊂⊂ Ω,. existe. j∈N. tal que. K ⊂ Kj .. Finalizamos a seção com uma denição útil.. Denição 1.1.11. Seja. A, χA : X → {0, 1}. por. X. um conjunto qualquer.. ( χA (x) =. 1, 0,. se se. Denimos a função característica de. x∈A x∈ / A.. 1.2 Resultados de Medida e Integração ?. ?. Para maiores detalhes sobre Medida e Integração veja [ ] e [ ].. Denição 1.2.1. Seja. (a). M. Uma coleção. X. um conjunto qualquer.. de subconjuntos de. X. σ -álgebra. é chamada de uma. em. X. se. M. tem. as seguintes propriedades:. (i) X ∈ M ; (ii) se A ∈ M então Ac ∈ M ; (iii) se {Aα } é uma coleção arbitrária de elementos de M (b). Se. (c). Se. M. então. S. Aα ∈ M .. α. σ -álgebra em X então (X, M ) é chamado de espaço mensurável, e os elementos de M são chamados de conjuntos mensuráveis de X. Para simplicar a escrita, sempre que possível diremos simplesmente espaço mensurável X. X. é uma. é um espaço mensurável,. Y , então f é chamada V de Y tem-se f −1 (V ). Y. é um espaço topológico e. f. é uma aplicação de. X. em. de mensurável se, e somente se, para todo subconjunto aberto mensurável em. X..

(14) 7. Observação 1.2.2 σ -álgebra. em. em. F. Se. X. é uma coleção de subconjuntos de. que contém. Denição 1.2.4 σ -álgebra. σ -álgebras. em. X. é uma. X.. Denição 1.2.3 σ -álgebras. A interseção de uma quantidade qualquer de. (X, τ ). Seja. τ. gerada por. Observação 1.2.5. F. é chamada. σ -álgebra. X,. então a interseção de todas. gerada por. um espaço topológico. A. σ -álgebra. F. de Borel é denida como a. e seus elementos são chamados de conjuntos de Borel.. Os conjuntos fechados de um espaço topológico. X. são conjuntos de Bo-. rel, pois seus complementares são abertos.. Teorema 1.2.6 todo. Se. n = 1, 2, 3, . . .. X. é um espaço mensurável e. fn : X → [−∞, ∞]. é mensurável, para. então. g = sup fn , h = lim sup fn , n≥1. são mensuráveis.. Teorema 1.2.7. X. Seja. um espaço mensurável e. é mensurável se, e somente se,. u. Denição 1.2.8. s : X → [0, ∞). Uma função. e. v. f = u + iv ,. sendo. u, v : X → R.. Então. f. são mensuráveis. denida em um espaço mensurável. X. cuja. imagem é um conjunto nito será chamada de função simples.. Teorema 1.2.9. Seja. existe uma sequência. f : X → [0, ∞) mensurável denida no espaço (sn ) de funções simples mensuráveis tal que:. (a). 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ f ;. (b). sn (x) → f (x). Denição 1.2.10 função. quando Seja. µ : M → [0, ∞]. mensurável. X.. Então. um espaço mensurável. Uma medida positiva em. X. é uma. n → ∞,. (X, M ). para todo. que tem a seguinte propriedade: se. de subconjuntos mensuráveis de. X, µ. (X, M , µ). Teorema 1.2.11. Se. {Ai }. é uma coleção enumerável. dois a dois disjuntos, então ∞ [. ! Ai. i=1. Chamamos. x ∈ X.. =. ∞ X. µ(Ai ).. i=1. de espaço de medida.. (X, M , µ). é um espaço de medida então:. (a). µ(∅) = 0;. (b). µ(A1 ∪ A2 ∪ . . . An ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) + . . . + µ(An ), mensuráveis dois a dois disjuntos;. se. A1 , A2 , . . . , An ∈ M. são conjuntos.

(15) 8. (c) (d) (e). A, B ∈ M , A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B); lim µ(An ) = µ(. n→+∞. An ). se. An ∈ M , ∀n ∈ N. An ). se. An ∈ M , ∀n ∈ N, A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .. e. A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ;. n=1. lim µ(An ) = µ(. n→+∞. ∞ T. e. µ(A1 ). é nito.. n=1. Denição 1.2.12 implica que. ∞ S. (X, M , µ) A ∈ M então µ é dita. Denição 1.2.13. Seja. um espaço de medida. Se. E ∈ M,A ⊂ E. e. µ(E) = 0. ser uma medida completa.. (X, M , µ) um espaço de medida e P uma propriedade relativa a pontos de X . Dizemos que P vale µ−q.t.p, ou simplesmente q.t.p se ∃E ∈ M tal que µ(E) = 0 e {x ∈ X; x tem a propriedade P } = X − E. Seja. Aqui q.t.p.. f, g : X → C. abrevia a expressão quase todo ponto".. ∃E ∈ M. são iguais q.t.p. se. Denição 1.2.14. (X, M , µ). Consideremos. ples mensurável em. X,. com. da forma. tal que. f (x) = g(x), ∀x ∈ X − E.. um espaço de medida. Se. n X. s=. µ(E) = 0,. Assim, dizemos por exemplo. s. é uma função sim-. αi χAi ,. (1.1). i=1. α1 , . . . , αn são números reais distintos, se E ∈ M , denimos onde. dois a dois distintos e. Z s dµ =. n X. E. Se. f : X → [0, ∞]. é mensurável e. A1 , . . . , An ∈ M. αi µ(Ai ∩ E).. (1.2). i=1. E ∈ M,. denimos. Z. Z f dµ = sup. s dµ,. E. (1.3). E. o supremo a ser tomado sobre todas as funções simples mensuráveis O membro a esquerda de. (??). uma sequência de funções mensuráveis em. (a). 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤ ∞,. (b). n→+∞. lim fn = f,. Então. f. q.t.p.;. q.t.p.. é mensurável, e. Z. Z fn dµ →. X. quando. n → ∞.. 0 ≤ s ≤ f. f sobre E , com. tais que. é chamado de Integral de Lebesgue de. Teorema 1.2.15 (Teorema da Convergência Monótona) (fn ). s. µ.. respeito a medida. de medida e. são dois a dois. f dµ X. X,. Sejam. (X, M , µ) um espaço. e suponha que.

(16) 9. Lema 1.2.16 (Lema de Fatou) é mensurável para cada. n∈N. (X, M , µ). Se. é um espaço de medida e. então. Z. Z lim inf fn dµ ≤ lim inf. fn dµ .. X. Denição 1.2.17. Seja. fn : X → [0, ∞]. X. (X, M , µ). um espaço de medida, denotamos o conjunto de todas as. funções mensuráveis tais que. Z |f | dµ < +∞. por. L(µ).. Denição 1.2.18 f ∈ L(µ),. Se. f = u + iv ,. u. onde. v. e. são funções mensuráveis reais em. X,. e se. denimos. Z. Z. u dµ −. f dµ = E. u+. e. u−. Z. −. E. Z. +. v dµ −i. u +i. E. para cada conjunto mensurável Aqui. Z. +. E. v − dµ,. (1.4). E. E.. são as partes positiva e negativa de. u. enquanto. v+. e. v−. são partes. v. Estas quatros funções são mensuráveis reais, e não negativas, assim + as quatro integrais a direita de (??) fazem sentido pela denição ??. Além disso, u ≤ |u| ≤ |f |, o mesmo vale para u− , v + e v − , de modo que cada uma das quatros integrais a direita de (??) é nita. positiva e negativa de. Teorema 1.2.19. Se. (X, M, µ). é um espaço de medida e. f ∈ L(µ),. então.

(17) Z

(18) Z

(19)

(20)

(21) f dµ

(22) ≤ |f | dµ .

(23)

(24) X. X. Teorema 1.2.20 (Teorema da Convergência Dominada) de medida.. Suponha que. (fn ). Seja. (X, M , µ). um espaço. é uma sequência de funções mensuráveis complexas em. X. tal que. f = lim fn n→∞. Se existe uma função. g ∈ L(µ). q.t.p.. tal que. |fn | ≤ g, ∀n ∈ N, q.t.p. então. f ∈ L(µ). e. Z |fn − f | dµ = 0.. lim. n→∞. Denição 1.2.21 p < ∞.. Sejam. (X, M , µ). (1.5). X. um espaço de medida,. Dena,. Z ||f ||p =. p. |f | dµ X. p1. f :X →C. mensurável e. 1≤.

(25) 10. e seja. Lp (µ). X. a coleção de todas funções mensuráveis em. tais que. ||f ||p < ∞. Considere em. Lp (µ). a seguinte relação de equivalência:. f ∼g⇔f =g e o espaço vetorial quociente. Lp (µ)/ ∼ .. Seja. [f ]. q.t.p.. a classe de. f ∈ Lp (µ).. Então. Lp (µ)/ ∼. equipado com a norma dada por. k[f ]kp = kf kp , [f ] ∈ Lp (µ) é um espaço de Banach. A partir de agora denotaremos Os elementos de. L1 (µ). [f ]. por. f. e. Lp (µ)/ ∼. por. Lp (µ).. são chamados funções integráveis de Lebesgue, com respeito a. µ.. Denição 1.2.22. a coleção de todos. α∈R. e como a união enumerável de conjuntos de medida nula tem medida nula, temos que. β ∈ S.. Suponha. g : X → [0, ∞]. mensurável. Seja. S. tais que. µ(g −1 ((α, ∞])) = 0. Se. S = ∅,. ponha. β = ∞.. Se. S 6= ∅,. ponha. −1. g ((β, ∞]) =. β = inf S .. ∞ [. g. −1. . n=1. Chamamos. β. de supremo essencial de. Assim,. 1 β + ,∞ n. . g.. ||f ||∞ o supremo essencial ∞ de |f | e denimos L (µ) a coleção de todas funções mensuráveis em X tais que ||f ||∞ < ∞. ∞ Os elementos de L (µ) são chamados de funções essencialmente limitadas em X. Passando ∞ ao quociente, como na denição ??, obtemos que L (µ) é Banach. Se. f. é uma função complexa mensurável em. Teorema 1.2.23 (Desigualdade de Hölder) p e q f g ∈ L (µ) e dida. Se. 1 são tais que p. +. 1 q. X,. denimos. (X, M , µ) é um espaço de mef ∈ Lp (µ) e g ∈ Lq (µ), então. Suponha que. = 1, 1 ≤ p, q ≤ ∞,. e se. 1. kf gk1 ≤ kf kp kgkq .. Teorema 1.2.24 que para cada. (X, M , µ) um espaço de medida. Suponha que f : X ×[a, b] → C é tal R t ∈ [a, b] ocorre x 7→ f (x, t) pertence a L1 (µ). Dena F (t) = f (x, t) dµ, t ∈ Seja. X. [a, b].. (i) Se para quase todo x ∈ X. tem-se que. t 7→ f (x, t). é contínua em. t0 ∈ [a, b]. e. ∃g ∈ L1 (µ).

(26) 11. tal que. |f (x, t)| ≤ g(x). X × [a, b]. q.t.p. em. então. (ii) (Derivação sob o sinal de integral) ∃g ∈ L (µ) R F 0 (t) = ∂f (x, t) dµ ∂t. t→t0 X. X. e. isto é,. lim f (x, t) dµ;. f (x, t) dµ =. lim. t→t0. ∂f tal que | ∂t (x, t)|. t0 ,. é contínua em. Z. Z. 1. F. ≤ g(x). ∂f se ∂t (x, t) existe em todos os pontos de. q.t.p. em. X × [a, b]. então. F. é derivável. X ×[a, b] em [a, b] e. isto é,. X. ∂ ∂t. Z. Z f (x, t) dµ =. X. X. Denição 1.2.25 σ−nita. se. E. Um conjunto. ∂ f (x, t) dµ . ∂t. E. é uma união enumerável de conjuntos. Teorema 1.2.26 (Fubini) (i) Se 0 ≤ f ≤ +∞ q.t.p.. (X, M , µ) em X × Y.. Sejam. uma função mensurável denida. µ µ(Ei ) < ∞.. em um espaço medida, com medida. e. Ei. com. (Y, N , λ). é dito ter medida. espaços de medida. σ−nitos. e. f. então as funções. ϕ : X → [0, +∞], ψ : Y → [0, +∞] denidas por. Z. Z. ϕ(x) =. f (x, y) dλ, ψ(y) = Y. são. S. e. T −mensuráveis,. X. respectivamente, e. Z. Z. X. →C. Z f (x, y) d(µ × λ) =. ϕ(x) dµ =. (ii) se f : X × Y. f (x, y) dµ. X×Y. e a função. Y. ϕ∗ : X → [0, +∞] ∗. ψ(y) dλ;. denida por. Z |f (x, y)| dλ. ϕ (x) = Y. pertence a. L1 (X). então. f ∈ L1 (X × Y ).. A seguir apresentaremos os resultados que conduzem a construção da medida de Lebesgue em. Rn .. Denição 1.2.27 sempre que. Dizemos que um funcional linear. Λ : Cc (X) → C. é positivo se. Λf ≥ 0. f ≥ 0.. Teorema 1.2.28 (Teorema de Representação de Riesz) localmente compacto, e seja. Λ. X um espaço Hausdor Cc (X). Então existe uma. Seja. um funcional linear positivo em.

(27) 12. σ -álgebra M µ tal que:. (i). Λf =. R X. f dµ. (ii). µ(K) < ∞. (iii). para cada. (iv). a relação. µ. e. (i). se. para cada. E ∈ M,. temos que. µ. se. e existe uma única medida. K ⊂ X;. µ(E) = inf {µ(V ); E ⊂ V, V. aberto. };. é completa. Suponha. X. um espaço localmente compacto,. são descritas como no teorema. E ∈ M e > 0, então existe F ⊂ E ⊂ V e µ(V − F ) < ;. (ii). X,. f ∈ Cc (X);. para cada conjunto compacto. Teorema 1.2.29 M. que contém qualquer conjunto Borel em. µ(E) = sup {µ(K); K ⊂ E, K compacto } vale para qualquer conjunto aberto, qualquer E ∈ M com µ(E) < ∞;. e para. (v). X. em. E ∈ M,. B uma µ(B − A) = 0.. e. e. µ. um conjunto fechado. então existem conjuntos. conjuntos fechados e. E⊂B. ??, então M. A. e. B. σ−compacto e Hausdor.. Se. tem as seguintes propriedades:. F. tal que. e um conjunto aberto. A. V. tal que. é uma união enumerável de. intersecção enumerável de conjuntos abertos, tal que. A⊂. Um conjunto da forma. w = {x ∈ Rn ; αi ≤ xi ≤ βi , 1 ≤ i ≤ n} , onde qualquer. ≤ pode ser substituído por <, é chamado uma n-célula, e seu volume é denido. por. n Y V ol(w) = (βi − αi ). i=1. Se. n. a = (a1 , . . . , an ) ∈ R. e. δ > 0,. chamamos o conjunto. Q(a; δ) = {x ∈ Rn ; ai ≤ xi < ai + δ, 1 ≤ i ≤ n} k = 1, 2, . . ., seja Pk o conjunto de todos x ∈ Rn cujas −k −k coordenadas são múltiplos inteiros de 2 , e seja Ωk a coleção de todos 2 blocos com canto nos pontos de Pk . Temos as seguintes propriedades do conjunto Ωk :. de. δ−bloco. com canto em. (a). se. k. (b). se. Q0 ∈ Ωk , Q00 ∈ Ωr ,. (c). se. Q ∈ Ωr ,. é xado, cada. pontos em. então. Q;. a.. Para. x ∈ Rn e. pertence a um único elemento de. r < k,. então. V ol(Q) = 2−rk ,. Q0 ⊂ Q00 e se. ou. n > r,. Ωk ;. Q0 ∩ Q00 = ∅; o conjunto. Pn. tem exatamente. 2(n−r)k.

(28) 13. (d). Rn. todo conjunto aberto não vazio em pertencentes a. Teorema 1.2.30. Ω1 ∪ Ω2 ∪ . . . .. Existe uma medida completa positiva. em. Rn ,. com as seguintes propriedades.. (i). M. contém todo conjunto de Borel em. (ii). m(V ) = V ol(W ). (iii). m é invariante x ∈ Rn ;. (iv). se. µ. para cada. m. denida em uma. Rn ;. m(E + x) = m(E). por translação, isto é,. para cada. Rn. é uma medida Borel positiva invariante por translação em. para qualquer conjunto Borel Chamamos de. M. m. e. σ−álgebra M. n−célula W ;. para cada conjunto compacto. Rn ,. é uma união enumerável de blocos disjuntos. K , então E ⊂ Rn .. σ−álgebra. a. c. existe uma constante. de Lebesgue em. Rn. E ∈ M. e cada. µ(K) < ∞ µ(E) = cm(E). tal que. tal que. e a Medida de Lebesgue em. respectivamente. A partir de agora, usaremos somente a Medida de Lebesgue em. a integral de. f. em relação a Medida de Lebesgue será denotada por. Observação 1.2.31 escrevemos. Lp (Ω). Teorema 1.2.32 Denição 1.2.33. Se. µ. Rn. e. f (x) dx .. Ω ⊂ Rn , na denição ?? ∞ ∞ escrevemos L (Ω) em vez de L (µ).. é a medida de Lebesgue no aberto. em vez de Se. R. Lp (µ). 1≤p<∞. ??. e na denição. então. Cc (Ω). é denso em. Lp (Ω).. A função Gama é denida por. Z Γ(x) =. +∞. e−t tx−1 dt, 0 < x < +∞.. 0. Observação 1.2.34. Utilizando integração por partes verica-se que. Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0 e daí. Γ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, . . . .. Teorema 1.2.35 (Coordenadas Polares em Rn ). f : Rn → R. é uma fun-. é uma função mensurável a Borel não negativa ou. f ∈ L1 (Rn ). Suponha que. ção radial, isto é,. f (x) = g(|x|), ∀x ∈ Rn , para alguma. g : R → R.. então. f. Se. Z f (x) dx = σ(S Rn. sendo. σ(S. n−1. ). a área da esfera. n−1. Z ) 0. S. n−1. n. ⊂R .. +∞. rn−1 g(r) dr.

(29) 14. Exemplo 1.2.36 (Cálculo da área da esfera) σ(S. n−1. Vale a fórmula:. √ 2( π)n )= . Γ( n2 ). De fato, por coordenadas polares mostra-se que. −|x|2. f (x) = e. −r2. g(r) = e. é uma função radial, sendo. obtemos,. Z f (x) dx = σ(S. n−1. ). Rn. Observação 1.2.37. +∞. Z 0. .. R Rn. √ 2 e−|x| dx = ( π)n .. Além disso. Assim, aplicando o teorema. ?? em f. 1 n 2 rn−1 e−r dr = σ(S n−1 ) Γ( ). 2 2. A integral. Z. 1 (1 + |x|2 ). Rn. n+1 2. dx. é nita. 1 1 n e denimos g(r) = n+1 , x ∈ R n+1 , r ∈ R. Assim f (x) = (1+|x|2 ) 2 (1+r2 ) 2 g(r), ou seja, f é uma função radial. Além disso f ≥ 0, assim aplicando o teorema. Seja. g(|x|) =. f (x) =. ?? temos. Z f (x) dx = σ(S. n−1. Z. (1 + r2 ). +∞. Z. 1. n−1. 1 e para. 0. 1 (1 + r2 ). n+1 2. dr .. r ≥ 1,. +∞. r. rn−1. ). Rn Notemos que, para. +∞. Z. n+1 2. dr ≤. r. n−1. Z. 1 rn+1. 0. 0 ≤ r ≤ 1 temos que a aplicação r 7−→ rn−1. dr =. r−2 dr < +∞. 1. 1 (1+r2 ). +∞. n+1 2. é contínua e portanto integrável.. Portanto,. Z. 1. Rn. (1 + |x|2 ). n+1 2. dx < +∞.. ?. Por resultados dados em [ ] obtemos o. Teorema 1.2.38 n. R. Seja. M ⊂ Rn+1. uma hiperfície então. M. tem medida de Lebesgue nula em. . Usando o teorema anterior obtemos. Teorema 1.2.39. Se. q : Rn → R. é um polinômio não identicamente nulo então. q −1 ({0}). tem medida de Lebesgue nula.. 1.3 Multi-índice Introduziremos agora uma notação muito usada no estudo de EDP's e que se mostra eciente para denotar derivadas de ordens altas de funções de várias variáveis..

(30) 15. Um. n-muti-índice. ou simplesmente um multi-índice. α. α = (α1 , α2 , . . . , αn ) é denido cada multi-índice α escrevemos. negativos. O comprimento de Para cada. j = 1, 2, ..., n. e. ∂f ∂j f = ∂xj Assim, o número. |α|. e. n-upla de inteiros não|α| = α1 + α2 + . . . + αn .. é uma por. ∂ |α| f ∂ f = α1 . ∂ x1 ∂ α 2 x 2 . . . ∂ α n xn α. diz a ordem de derivação de. f,. enquanto que cada coordenada. αj. diz. xj estão sendo calculadas. n Para cada x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ R e cada multi-índice α = (α1 , α2 , . . . , αn ) denimos. quantas derivadas na direção de. α! = α1 !α2 ! . . . αn !. xα = xα1 1 xα2 2 . . . xαnn .. e. α ≤ β se αi ≤ βi , ∀i = 1, 2, . . . , n algum i = 1, 2, . . . , n.. e dizemos que. αi < βi. para. Teorema 1.3.1 (Teorema Binomial). Dados. α. (x + y) =. e que. x, y ∈ Rn. X α β. β≤α. Denição 1.3.2. Dado. ζ ∈ Cn. α ∈ Nn. e. α<β. e. se ocorre. α, β ∈ Nn. α≤β. e, além disso,. tem-se. xβ y α−β. denimos. X α (∂ + ζ) f = ζ β ∂ α−β f. β β≤α α. Nos próximos resultados consideramos máximo em. |·|. a norma euclidiana e. | · |M. Rn .. Lema 1.3.3. Dado. (i). |α|. |xα | ≤ |x|M ;. Teorema 1.3.4. x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , α ∈ Nn temos que n k P P α2 P k k (iii) |xj |2k ≤ |x | . (ii) = 2 ; j j=1. j=0. |xα | ≤ (1 + |x|2 ). |α| 2. |α|≤k. , ∀x ∈ Rn , ∀α ∈ Nn .. Utilizando homogeneidade e compacidade obtemos o. Teorema 1.3.5. Para cada. k ∈ N,. existe. c = c(k) > 0. k. X. (1 + |x|2 ) 2 ≤ c. tal que. |xα |, x ∈ Rn .. |α|≤k Usando indução sobre. |α|. obtemos o. Teorema 1.3.6 (Fórmula de Leibniz). Se. α ∈ Nn. e. f, g ∈ C |α| (Ω). X α ∂ (f g) = ∂ β f ∂ α−β g. β β≤α α. tem-se. a norma do.

(31) 16. 1.4 Funções Testes e Regularização ?. Para maiores detalhes desta seção veja [ ]. Neste texto. Ω. sempre denota um aberto de. Rn. na topologia usual.. Denição 1.4.1 funções. Para cada. φ ∈ C k (Ω). tais que. k = 0, 1, 2, ... denimos Cck (Ω) como o S(φ) ⊂⊂ Ω. Os elementos de Cc∞ (Ω) são. conjunto de todas as chamados de funções. teste.. Observação 1.4.2. U é um aberto de Ω φ0 = φ em U e φ0 = 0 em Ω − U pertence Cc∞ (U ) ⊂ Cc∞ (Ω). Se. φ ∈ Cc∞ (U ) então φ0 : Ω → C denida por Cc∞ (Ω). Identicando φ com φ0 escrevemos. e a. Os resultados que seguem mostram a existência de funções teste.. Observação 1.4.3. Dena. φ : Rn → R. por. ( φ(x) =. então. φ ∈ Cc∞ (Rn ), 0 ≤ φ ≤ 1. e. 1. e |x|2 −1 , se |x| < 1 0, se |x| ≥ 1. S(φ) = B[0, 1].. Dividindo a função anterior por sua integral obtemos uma nova aplicação, que continuamos a denotar por. φ,. com as seguintes propriedades:. Z φ ≥ 0, S(φ) = B[0, 1]. φ(x)dx = 1.. e. Rn Assim para cada. >0. vale. Z φ. x. Rn logo, para cada. >0. a aplicação. . dx = n ,. φ[] : Rn −→ R. dada por. 1 x φ (x) = n φ []. é não-negativa, tem suporte igual a. Denição 1.4.4 Cc∞ (Ω), ∀j. (i) (ii). ∈ N,. ∃K ⊂⊂ Ω xado. B[0, ]. e integral igual a. Dizemos que uma sequência. (φj ). (1.6). 1.. converge para. φ. em. Cc∞ (Ω). e. tal que. α ∈ Nn. S(φj ) ⊂ K, ∀j ∈ N;. temos que. (∂ α φj )∞ j=1. converge uniformemente para. ∂ α φ.. quando. φj ∈.

(32) 17. Denição 1.4.5. L1loc (Ω). Denimos. f :Ω→C. como o conjunto de todas as funções. men-. suráveis a Lebesgue que têm a propriedade de que. Z f (x) dx < ∞, K. qualquer que seja integráveis de. K ⊂⊂ Ω.. Os elementos de. L1loc (Ω). R .. L1 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ) mas a inclusão n 1 n Além disso C(R ) ⊂ Lloc (R ).. Note que constantes).. são chamados de funções localmente. n. Denição 1.4.6. Se. f ∈ L1loc (Rn ). e. g ∈ Cck (Rn ). Z (f ∗ g)(x) =. família de funções. f. então a convolução de. Z. > 0. f. e. g. é denida por. f (y)g(x − y) dy, x ∈ Rn .. f (x − y)g(y) dy = Rn. Quando, para cada. contrária não é válida (exemplo: funções. Rn. tomamos. g. igual a aplicação. φ[]. denida por (. ??). obtemos a. dadas por. . Z. 1 f (x) = f ∗ φ (x) = n []. f (y)φ. x−y . . dy, x ∈ Rn ,. Rn chamadas de regularizadas de. f.. O próximo resultado justica o nome das funções. Teorema 1.4.7 (i). f ∈ L1loc (Rn ). Dada. e. >0. f .. temos:. f ∈ C ∞ (Rn );. (ii). S(f ) ⊂ S(f ) + B[0, ].. (iii). se. f. é contínua e. Em particular. S(f ) ⊂⊂ Rn. então. f ∈ Cc∞ (Rn ) f → f. caso. S(f ) ⊂⊂ Rn ;. uniformemente quando. Utilizando as regularizadas obtemos uma versão do teorema. Teorema 1.4.8. Seja. Então existem funções. (i). l P. K ⊂⊂ Rn ,. e consideremos abertos. φj ∈ Cc∞ (Vj ). tais que. φj ≤ 1;. (iii). l P. φj = 1. ?? com funções suaves.. V1 , · · · , Vl. tais que. K ⊆. l S j=l. j=1. (ii). → 0.. numa vizinhança de. j=1. 0 ≤ φj ≤ 1, j = 1, 2, . . . .. K;. Vj ..

(33) 18. Com as regularizadas, também podemos obter uma versão do teorema suaves.. Teorema 1.4.9. Se. 1≤p<∞. então. Cc∞ (Ω). é denso em. Lp (Ω).. ?? com funções.

(34) Capítulo 2 Distribuições 2.1 Denição Denição 2.1.1 Ω.. u : Cc∞ (Ω) → C 0 por D (Ω).. Um funcional linear contínuo. O espaço das distribuições em. Ω. A denição signica que se. se denota. φ, φ1 , φ2 ∈ Cc∞ (Ω), λ ∈ C. e. é dito uma distribuição em. (φj ). é uma sequência em. Cc∞ (Ω), u(φ1 + λφ2 ) = u(φ1 ) + λu(φ2 ) φj → φ em Cc∞ (Ω) ⇒ u(φj ) → u(φ). Por vezes é conveniente escrever. Exemplo 2.1.2. Considere. hu, φi. Ω = Rn ,. em vez de. e dena. (linearidade) (continuidade). u(φ).. hδ, φi = φ(0), φ ∈ Cc∞ (Ω).. O funcional. δ. é. linear e também contínuo. Esta distribuição é chamada Delta de Dirac".. Exemplo 2.1.3. Denimos. Z∞. 0. |t| φ (t)dt, φ ∈ Cc∞ (R).. hT, φi = −∞ A linearidade é clara, e se que. S(φj ) ⊆ [−a, a] , ∀j ∈ N. e. 0. φj → 0.

(35) 0

(36) |hT, φj i| ≤ a2 sup

(37) φj

(38) → 0.. Exemplo 2.1.4. Seja. f ∈ L1loc (Ω),dena Z hTf , φi =. f φ dx, φ ∈ Cc∞ (Ω).. Ω A linearidade é clara, e a continuidade decorre da estimativa. Z |hTf , φi| ≤ sup |φ|. |f | dx . S(φ). uniformemente, segue.

(39) 20. hTf , φi = hTg , φi para toda φ ∈ Cc∞ (Ω) e f, g ∈ L1loc (Ω), ∞ então f = g q.t.p. Com efeito, se K é um compacto de Ω, h = f − g e α ∈ Cc (Ω) vale um 1 n em K, αh ∈ L (R ) (estendendo por zero fora de Ω). Considere É interessante notar que se. −n. Z. (αh) (x) = . (αh)(y)φ( Rn. x−y )dy = hTf , βi − hTg , βi = 0 . onde. β(y) = −n α(y)φ( Portanto, fazendo e em particular teorema. h=0. → 0. x−y ) ∈ Cc∞ (Ω). . K.. q.t.p. em. concluimos que. Tomando uma sequência de compactos. ?? concluimos que f = g q.t.p.. Abandonemos agora a notação provisória. R. ??(c),. e aplicando teorema. Tf. αh = 0 q.t.p. (Kj ) como no. e escrevemos simplesmente. hf, φi =. f φ dx . Isto equivale a identicar qualquer função localmente integrável f , com o funcional. Tf. denido no exemplo. como. ??.. Esta identicação permite considerar muitos espaços de funções,. Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, C k (Ω), 1 ≤ k ≤ ∞,. como subespaços de. D 0 (Ω).. É neste sentido. que as distribuições são funções generalizadas. De agora em diante a identicação. f. e. Tf. será feita sem maiores comentários.. Observação 2.1.5. δ∈ / L1loc (Rn ),. f ∈ L1loc (Rn ). ou seja, não existe. tal que. Tf = δ.. De fato, suponha que exista, assim,. hf, φi = hδ, φi , ∀φ ∈ Cc∞ (Rn ). Tome uma sequência. N.. i h (φj ) em Cc∞ (Rn ) tal que S(φj ) ⊂ − 1j , 1j , φj (0) = 1 e 0 ≤ φj ≤ 1, ∀j ∈. Então,. hδ, φj i = φj (0) = 1, ∀j ∈ N.. (2.1). Por outro lado,. Z hf, φj i =. 1 j. Z. − 1j Temos que. |f φj | → 0. |f φj | ≤ |f | , ∀j ∈ N.. Além disso. lim φj = 0. j→∞. 1. Z. q.t.p., pois. h i S(φj ) ⊂ − 1j , 1j ,. logo. 1. f φj dx →. 0 = 0.. −1. hf, φj i → 0,. Exemplo 2.1.6 µ(K). f φj dx . −1. q.t.p. Então aplicando o Teorema da Covergência Dominada teremos:. Z. Portanto,. 1. f φj dx =. Seja. contradizendo. µ. −1. (??).. uma medida denida na. seja nita para todo compacto. K⊂Ω. (ou. σ -álgebra de Borel de Ω e suponhamos seja que µ é localmente nita). Então,. Z hµ, φi =. φ dµ Ω. que.

(40) 21. dene um funcional linear em. Cc∞ (Ω).. A linearidade é clara e a continuidade segue de,.

(41) Z

(42)

(43) Z

(44)

(45)

(46)

(47) |hu, φi| =

(48) φ dµ

(49)

(50) =

(51)

(52) Ω. S(φ).

(53) Z

(54) φ dµ

(55)

(56) =. Z sup |φ| dµ = sup |φ|. S(φ). dµ = S(φ). = sup |φ|µ(S(φ)). Em outras palavras, as distribuições são sucientemente gerais para incluir todas as medidas localmente nitas.. 2.2 Operações com Distribuições u1 , u2 ∈. A soma e o produto por escalares de distribuições dene-se de maneira óbvia, se. D 0 (Ω), φ ∈ Cc∞ (Ω), λ ∈ C, hu1 + u2 , φi = hu1 , φi + hu2 , φi e. hλu1 , φi = λ hu1 , φi . A losoa geral para denir operações nas distribuições é a seguinte. Suponhamos que existam dois operadores lineares contínuos. Z. Z (Lφ)ψ dx =. Ω. L. e. 0. L. de. Cc∞ (Ω). em. Cc∞ (Ω). tais que. 0. φ(L ψ) dx, φ, ψ ∈ Cc∞ (Ω).. (2.2). Ω 0. L é o transposto formal de L e vice e versa. A 0 0 ∞ continuidade de L (L ) signica Lφj → 0 (L φj → 0) em Cc (Ω) toda vez que φj → 0 em Cc∞ (Ω). Observe que por hipótese φ, Lφ, ψ, Lψ ∈ Cc∞ (Ω) ⊆ L1loc ⊆ D 0 (Ω) e, portanto, (??). 0 pode ser também escrita da forma hLφ, ψi = φ, L ψ . Neste caso é possível estender o ˜ : D 0 (Ω) → D 0 (Ω). Com efeito, denimos operador L a um operador L Quando isto acontece diz-se que. D ˜ Lu. E D E ˜ ψ = u, L0 ψ , u ∈ D 0 (Ω), ψ ∈ Cc∞ (Ω). Lu,. é um funcional linear contínuo em. Cc∞ (Ω).. Exemplo 2.2.1 (Produto por uma função C ∞ ) Cc∞ (Ω). →. Cc∞ (Ω) por. f ∈ Cc∞ (Ω) 0 (Lφ)(x) = f (x)φ(x), x ∈ Ω. Temos que L = L. operação multiplicação por f". (2.3). Seja. satisfaz. (??). e a. ca denida para qualquer distribuição por meio de. hf u, φi = hu, f φi .. Exemplo 2.2.2 (Derivação). L :. e denimos. Sejam. (x1 , x2 , · · · , xn ). coordenadas cartesianas em. (2.4). Ω. e de-.

(57) 22. nimos. L=. ∂ . Integrando por partes em relação à variável ∂xj. Z Ω. ∂φ ψdx = − ∂xj. O termo não integrado é nulo porque as funções 0. L = −L. Z φ Ω. xj. obtemos. ∂ψ dx. ∂xj. φ, ψ. são nulas fora de um compacto. Então. ∂ é o transposto formal de ∂x , e podemos denir j. . Analogamente, para cada. ∂u ∂φ , φ = − u, . ∂xj ∂xj. α ∈ Nn. e. u ∈ D 0 (Ω). denimos. (2.5). ∂ αu. por. h∂ α u, φi = (−1)|α| hu, ∂ α φi , φ ∈ Cc∞ (Ω).. Exemplo 2.2.3 (Mudança de Variáveis) Cc∞ (Ω). Observe que. Lφ = φ ◦ Φ, φ ∈ 0 encontrar L aplicamos. Φ : Ω → Ω um difeomorsmo e denimos S(φ ◦ Φ) = Φ−1 (S(φ)) e, portanto, Lφ ∈ Cc∞ (Ω). Para. o teorema de mudança de variáveis na integral. Z. Z φ(Φ(y))ψ(y) dy =. Ω.

(58)

(59) φ(x)ψ(Φ−1 (x))

(60) J(Φ)−1

(61) (x) dx,. (2.6). Ω. Φ−1 . Isto 0 −1 −1 −1 nos leva a denir L ψ = |J(Φ) | (ψ ◦ Φ ). Lembramos que a matriz jacobiana de Φ é −1 não singular e seu determinante nunca nulo, assim |J(Φ) | é diferenciável. Além disso Φ 0 −1 −1 ∞ preserva compactos, logo, (φ ◦ Φ ) · |J(Φ )| ∈ Cc (Ω). Quando u ∈ D (Ω), denimos então,. onde. |J(Φ)−1 |. Seja. denota o valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana de.

(62)

(63) . hu ◦ Φ, φi = u, (φ ◦ Φ−1 ) ·

(64) J(Φ)−1

(65) .. Exemplo 2.2.4 (Translação). (2.7). a ∈ Rn xo, Φ : Rn → Rn , denido por Φ(x) = x − a, x ∈ Rn . Denimos a translação de φ(x) ∈ Cc∞ (Rn ) como a função φa (x) = φ(x − a), x ∈ Rn . Se u ∈ D 0 (Rn ), a translação de u se dene usando (??), ou seja: Seja. hua , φi = hu, φa i , φ ∈ Cc∞ (Rn ).. Exemplo 2.2.5 (Reexão) mos. Φ(x) = −x, x ∈ Ω.. Seja. Denimos. (2.8). Ω um aberto simétrico em relação a origem ˇ φ(x) = φ(−x) para φ ∈ Cc∞ (Ω) e x ∈ Ω, e. e considere-. hˇ u, φi = u, φˇ , u ∈ D 0 (Ω), φ ∈ Cc∞ (Ω).. (2.9). 2.3 Derivadas Distribuicionais e Derivadas Clássicas Vejamos o que acontece com as funções de uma variável que apresentam uma descontinuidade de primeira espécie na origem. Mais precisamente, suponhamos que. f ∈ C 1 (R − {0}). e que.

(66) 23. os limites. lim f (x) = f (0+ ). lim f (x) = f (0− ). e. x→0+. x→0−. 0 df para x 6= 0 e não denida para x = 0 f a função denida por dx 0 0 1 e suponhamos ainda que f ∈ Lloc (R). Para calcular f (a derivada de f no sentido das ∞ distribuições) observamos que dada φ ∈ Cc (R), com S(φ) ⊆ [−N, N ] tem-se. existam. Denotemos por. D. E D E Z 0 f , φ = − f, φ = 0. N. Z. 0. f φ dx = − lim. −. →0. . Z. = lim f (−)φ(−) − →0. η→0. = f (0+ ) − f (0− ) φ(0) +. −∞. N. n 0o φ(x) f dx =. η. Z n 0o − φ(x) f dx − lim −f (η)φ(η) − η→0. −N. Z. →0. −N. 0. f φ dx =. Z n 0o N φ(x) f dx − lim f (x)φ(x)|η −. −N. N. Z. 0. f φ dx − lim. →0. −N. Z − = − lim f (x)φ(x)|−N −. −. N. n 0o φ(x) f dx =. η. n 0o φ f dx.. +∞ Um caso particular importante se obtém quando. f (x). é a função Heaviside, ou seja,.  1, se x > 0 f (x) = H(x) = 0, se x < 0. Temos. D. H(0+ ) = 1, H(0− ) = 0. e. . H. 0. =0. assim,. Z E + − H , φ = H(0 ) − H(0 ) φ(0) + 0. +∞. n 0o H φ dx = φ(0) = hδ, φi .. −∞ Obtemos deste modo a distribuição Delta de Dirac como derivada de. Observação 2.3.1. É possível fazer com que uma função não localmente integrável dena. uma distribuição, por exemplo a função. f (x) =. 1 em x. R.. 1 em qualquer vizinhança da origem é innita e f |x| d log |x| = x1 e g(x) = log |x| é localmente integrável e dx. De fato, a integral de tanto para para. x 6= 0,. x 6= 0.. H(x).. ∈ / L1loc (R). Entrelog |x| é contínua. Assim, denimos a distribuição dada por. D. E D E D E 0 0 0 g , φ = − g, φ = − log x, φ. conhecida por valor principal de. 1 . x. A seguir apresentaremos alguns exemplos de produto de uma distribuição por uma função. C ∞.. Exemplo 2.3.2. Se. f ∈ C ∞ (R), φ ∈ Cc∞ (R). temos. hf δ, φi = hδ, f φi = (f φ)(0) = f (0)φ(0) = hf (0)δ, φi ,.

(67) 24. o que signica que. f δ = f (0)δ. e só o valor de f em. x = 0. é relevante no produto. f δ.. Analogamente,. D. E D 0 E D E D E D E D E 0 0 0 0 0 0 f δ , φ = δ , f φ = − δ, (f φ) = − δ, f φ + φf = − δ, f φ − δ, φf = D 0 E D E 0 0 0 0 0 = −f (0)φ (0) − f (0)φ(0) = f (0) δ , φ − f (0) hδ, φi = f (0)δ − f (0)δ, φ .. qualquer. 0. 0. 0. f δ = f (0)δ − f (0)δ. ordem de δ.. Então. Análogos resultados podem ser obtidos para derivadas de. A regra de Leibniz para a derivada do produto de duas funções se mantém quando um dos fatores é uma distribuição. Sua demonstração é feita por indução sobre. Teorema 2.3.3. Se. u ∈ D 0 (Ω), f ∈ C ∞ (Ω) α. ∂ (f u) =. e. X α β≤α. Se. f. implica que. é diferenciável num intervalo. f. é constante em. Teorema 2.3.4. (a, b).. u ∈ D 0 ((a, b)) hc, φi , ∀φ ∈ Cc∞ (Rn ). Se. Demonstração.. se,. (a, b). ∂ β f ∂ α−β u.. e. 0. f =0. então o Teorema do Valor Médio. Este mesmo resultado é válido para distribuições. 0. u =0. então. u = cte,. isto é,. ∃c∈R. tal que. hu, φi =. L1loc. u = c.. Dada. Cc∞ ((a, b)) temos que. Tomamos. φ0 ∈ Cc∞ ((a, b)). φ∈ φ(x) dx = 0.. β. então. Primeiramente observemos que qualquer função constante pertence a. e é nesse sentido que. R. e. α ∈ Nn. |α|.. φ = ψ0,. para alguma. como na observação. ??. ψ ∈ Cc∞ ((a, b)). tal que. R. se, e somente. φ0 (x) dx = 1,. assim. podemos escrever. Z φ(x) = [φ(x) −. Z φ(t) dt φ0 (x)] +. 0. Z. φ(t) dt φ0 (x) = ψ (x) +. φ(t) dt φ0 (x). pois o termo entre conchetes tem integral nula, logo ele é a derivada de uma função teste. Utilizando a expressão acima, mostramos que. hu, φi = hc, φi,. ou seja,. u = c. onde. c = hu, φ0 i.. 2.4 Distribuições com Suporte Compacto Denição 2.4.1. Duas distribuições. u1 , u2 ∈ D 0 (Ω). são iguais num aberto. hu1 , φi = hu2 , φi , ∀φ ∈ Cc∞ (U ).. U ⊆Ω. quando.

(68) 25. Note que a denição acima faz sentido pois Usando o teorema. Teorema 2.4.2 u1 = u2 .. Então. u1. Sejam. u1 = u2. Denição 2.4.3. Se. ?? mostramos o. em. u2 ∈ D 0 (Ω) Ω.. e. u ∈ D 0 (Ω). Cc∞ (U ) ⊆ Cc∞ (Ω).. tais que todo ponto de. Ω. tem uma vizinhança onde. u, denotado S(u), como u = 0 em Ω − F, ou seja. denimos o suporte de. de todos os subconjuntos fechados. F. de. Ω. tais que. a interseção. hu, φi = h0, φi , ∀φ ∈ Cc∞ (Ω − F ).. Exemplo 2.4.4. S(δ) = {0} .. Vamos mostrar que. φ(0) = 0.. supor. δ = 0 em Rn −{0} . Seja φ ∈ Cc∞ (Rn −{0}). Pela observação ?? podemos. Assim,. hδ, φi = φ(0) = 0 = h0, φi . S(δ) ⊂ {0} . S(δ) = {0} . Então. Denição 2.4.5 a intersecção de. Mas tomando. φ ∈ Cc∞ (Rn ). temos. hδ, φi = 6 0,. portanto. u ∈ D 0 (Ω) denimos o suporte singular de u, denotado por SS(u),como ∞ todos os fechados F de Ω para os quais existe uma função f ∈ C (Ω − F ) Z hu, φi = hf, φi =. Observação 2.4.6. f φ dx, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω − F ).. SS(u) ⊂ S(u).. x∈ / S(u) x∈ / SS(u).. Com efeito, se. Exemplo 2.4.7. φ(0) 6= 0. Se. tal que. Logo. tal que. então. u=0. numa vizinhança de. x,. assim. u. é. C∞. nesta vizinhança.. SS(δ) = {0} .. SS(δ) ⊂ S(δ) = {0}, então SS(δ) ⊂ {0} . Logo, SS(δ) = {0} ou SS(δ) = ∅. ∞ n ∞ n Suponhamos que SS(δ) = ∅, então δ é uma função C (R ), ou seja , ∃f ∈ C (R ). Como. tal que. hδ, φi = hf, φi , ∀φ ∈ Cc∞ (Rn ). Rn − {0} . De fato, suponha que existe x0 6= 0 tal que f (x0 ) 6= 0. Logo, pela continuidade da f Rn , f (x) 6= 0, ∀x ∈ B(x0 , r), para algum r satisfazendo, 0 < r < kx0 k . Digamos, f > 0 B(x0 , r). Seja φ ∈ Cc∞ (B(x0 , r)), 0 ≤ φ ≤ 1 e φ = 1 em B(x0 , 2r ), assim temos, Armação:f. =0. em. em em. Z 0< o que é absurdo, logo em. n. R .. Logo. δ ≡ 0,. f φ = hδ, φi = φ(0) = 0. f (x) = 0, ∀x ∈ Rn − {0}.. o que é absurdo e, portanto,. f ∈ Cc∞ (Rn ) SS(δ) = {0} .. Como. concluimos que. f =0.

(69) 26. Denição 2.4.8. Denotamos por. E 0 (Ω),. o subespaço de. D 0 (Ω) das. distribuições com suporte. compacto. A partir de agora veremos os resultados que permitem identicar dos funcionais lineares contínuos em. Teorema 2.4.9. Se. u ∈ E 0 (Ω),. E 0 (Ω) com o espaço. C ∞ (Ω).. então existe um único funcional linear. u e : C ∞ (Ω) → C. tal. que. (i). u e(φ) = u(φ),. (ii). u e(φ) = 0,. para toda. se. φ ∈ Cc∞ (Ω);. φ ∈ C ∞ (Ω). Demonstração. (i), (ii) e seja ψ ∈. S(φ) ∩ S(u) = ∅.. e. ue1 , ue2 que veriquem ψ = 1 numa vizinhança de S(u). Se φ ∈ Cc∞ (Ω), colocamos. Suponhamos que existam dois funcionais lineares. Cc∞ (Ω) tal que. φ = φψ + (1 − ψ)φ = φ1 + φ2 , onde. φ1 = φψ. e. φ2 = (1 − ψ)φ.. Assim,. φ1 ∈ Cc∞ (Ω). e. S(φ2 ) ∩ S(u) = ∅.. Então,. ue1 (φ) = ue1 (φ1 ) + ue1 (φ2 ) = u(φ1 ) = ue2 (φ1 ) + ue2 (φ2 ) = ue2 (φ), o que prova a unicidade. Mostraremos agora a existência. Dada. φ ∈ C ∞ (Ω). denimos. he u, φi = hu, φ0 i , onde. φ = φ0 + φ1. φ0 ∈ Cc∞ (Ω) e S(φ1 ) ∩ S(u) = ∅. decomposição de φ então. é qualquer decomposição de. Suponha que. φ = φ00 + φ01. é outra. φ. com. φ0 + φ1 = φ00 + φ01 o que implica que. φ0 − φ00 = φ01 − φ1 .. (2.10). S(φ01 ) ∩ S(u) = ∅ e S(φ1 ) ∩ S(u) = ∅ então S(φ01 − φ1 ) ∩ S(u) = ∅ e 0 por (??) segue que S(φ0 − φ0 ) ∩ S(u) = ∅. 0 0 Mas φ0 − φ0 esta suportada num aberto onde u se anula, então u(φ0 − φ0 ) = 0, ou. Temos também que assim. seja,. hu, φ0 − φ00 i = hu, φ0 i − hu, φ00 i = 0 Então,. hu, φ0 i = hu, φ00 i,. Agora mostraremos que De fato, seja. φ∈. u e independe (ii).. ou seja, a denição de. u e verica (i). e. Cc∞ (Ω). Então, he u, φi = he u, φ + 0i = hu, φi ,. da decomposição de. φ..

(70) 27. o que prova. (i). φ ∈ C ∞ (Ω). Agora seja. tal que. S(φ) ∩ S(u) = ∅.. Então,. he u, φi = he u, 0 + φi = hu, 0i = 0, o que prova. (ii).. Denição 2.4.10. Dizemos que uma sequência. ∞. φ, φj ∈ C (Ω), ∀j ∈ N. e. n. ∀K ⊂⊂ Ω, ∀α ∈ N. (φj ). converge para. φ. em. C ∞ (Ω). quando. tem-se que,. lim sup |∂ α φj (x) − ∂ α φ(x)| = 0.. j→+∞ x∈K. u : C ∞ (Ω) → C é contínuo C ∞ (Ω) tem-se que u(φj ) → u(φ).. Dizemos que um funcional linear. Cc∞ (Ω) tal que. φj → φ. Observação 2.4.11. em. (φj ) ⊂. (φj ) ⊂ Cc∞ (Ω) converge a zero em Cc∞ (Ω) é claro C ∞ (Ω). A recíproca é falsa, como mostra o exemplo em. Se uma sequência. que também converge a zero em. Ω=R. se, para toda sequência. dado por. φj (x) = 2−j φ0 (jx), onde. S(φ0 ) ⊆ [−1, 1]. e. φ0 (x) = 1. se. |x| ≤ 21 .. De fato,. (k). (k). Por. |φj (x)| = |2−j j k φ0 (jk)| ≤ 2−j j k c → 0, quando j → ∞. j j outro lado, S(φj ) ⊇ − , , ou seja, os suportes das φj não estão 2 2. contidos num. compacto xo.. Teorema 2.4.12 que. φj → φ. em. Cc∞ (Ω) C ∞ (Ω).. é denso em. C ∞ (Ω),. isto é,. ∀φ ∈ C ∞ (Ω). existe. (φj ) ⊂ Cc∞ (Ω). tal. Demonstração. Considere uma sequência (Kj ) de compactos de Ω como no teorema ??. ∞ Pelo teorema ??, para cada j ∈ N existe φj ∈ Cc (Ω) tal que φj = 1 em Kj . Então, φj φ ∈ Cc∞ (Ω), ∀j ∈ N.. φj φ → φ. em. C ∞ (Ω).. φj φ − φ = φ(φj − 1) = 0. em. Kj , ∀j ∈ N,. Mostraremos que. Fixe. K ⊂⊂ Ω. que,. logo,. ∂ α φj φ − ∂ α φ = 0 Tome. j0 ∈ N. tal que. K ⊂ Kj0 .. Então se. j > j0. em. o. Kj , ∀j ∈ N.. temos que. j > j0 ⇒ ∂ α φj φ − ∂ α φ = 0. o. K ⊂ Kj. em. K.. e daí. e. α ∈ N.. Note.

(71) 28. Teorema 2.4.13. Seja. u. um funcional linear em. C ∞ (Ω).. As condições seguintes são equi-. valentes:. (i) (ii). u. é contínuo;. K ⊂ Ω,. existem um compacto. X. | hu, φi | ≤ c. φj → 0.. Suponhamos que. (ii). tais que. (2.11). (φj ). uma sequência em. C ∞ (Ω). tal que. Assim,. X. sup |∂ α φj | → 0, K. |α|≤m já que as derivadas de. φj. até a ordem. m tendem a zero uniformemente em qualquer compacto.. hu, φj i → 0. u. Reciprocamente, suponhamos que qualquer escolha de. c, K, m ∃φ ∈ C ∞ (Ω). é contínua e que. (ii). seja falsa.. X. sup |∂ α φ|.. |α|≤m. K. (Kj ) dada no teorema ??, tomando c = j, m = j (φj ) ∈ C ∞ (Ω) tal que. Seja a sequência de uma sequência. rj = | hu, φj i | > j. X. K = Kj , existe. Kj. rj > 0.. Seja. ψj =. φj , rj. sup |∂ β ψj | ≤ K. Então quando. ψj → 0. vamos mostrar que. j > |β|. multi-índice e escolhemos. X |α≤j. tal que. sup |∂ α ψj | = K. K ⊆ Kj X. |α|≤j. j → +∞, sup |∂ β ψj | → 0,. em. Kj. ou seja,. φj | hu, ψj i | = | u, rj em. C ∞ (Ω). A continuidade dos. Teorema 2.4.14. Seja. u. Assim, sejam. K ⊂⊂ Ω, β. um. X 1 φj 1 |= sup |∂ α φj | < . rj rj Kj j |α|≤j. sup ∂ β ψj → 0. e, portanto,. ψj → 0.. Mas,. K. . ψj → 0. C ∞ (Ω).. então,. sup |∂ α. K. valentes:. e. sup |∂ α φj |.. |α|≤j Note que. Então, para. tal que. | hu, φi | > c. Assim,. m. K. ocorra e seja. | hu, φj i | ≤ c. Então,. e um inteiro positivo. sup |∂ α φ|, φ ∈ C ∞ (Ω).. |α|≤m. Demonstração.. c. uma constante positiva. |=. 1 | hu, φj i | = 1, ∀j ∈ N. rj. hu, ψj i 9 0. O que contradiz o fato de u ser contínuo. ∞ funcionais de Cc (Ω) pode ser caracterizada de forma análogo.. mas. um funcional linear em. Cc∞ (Ω).. As condições seguintes são equi-.

(72) 29. (i) (ii). u. é contínuo;. Para cada compacto. K ⊂ Ω,. existem uma constante positiva. c. e um inteiro positivo. m. tais que. | hu, φi | ≤ c. X. sup |∂ α φ|, φ ∈ Cc∞ (Ω), S(φ) ⊂ K.. |α|≤m. Teorema 2.4.15 (i) (ii). Suponha que. u ∈ D 0 (Ω).. As seguintes condições são equivalentes. S(u) ⊂⊂ Ω; existe um funcional linear contínuo. Demonstração.. (i) ⇒ (ii). v : C ∞ (Ω) → C. tal que. v|Cc∞ (Ω) = u.. u˜ : C ∞ (Ω) → C como no teorema φj → φ em C ∞ (Ω) mostraremos que. Tome. é contínuo. Para isso, tomamos. ??.. Mostremos que. h˜ u, φj i → h˜ u, φi . Da lineariedade de. u˜. u˜. (2.12). é suciente considerar o caso em que. φ ≡ 0.. Para isso mostraremos. inicialmente que. ψφj → 0 S(ψφj ) ⊂ S(ψ), ∀j ∈ N. max sup |∂ β ψ(x)|, logo. De fato,. em. Cc∞ (Ω).. Além disso para cada. (2.13). α ∈ Nn. 0≤β≤α x∈Ω. sup |∂ α (ψφj )(x)| = sup |∂ α (ψφj )(x)| x∈K X α ≤ sup |∂ α−β ψ(x)| sup |∂ β φj (x)|. β x∈K x∈K β≤α. x∈Rn. Então,. α. sup |∂ (ψφj )(x)| ≤ Mα x∈Rn Como. φj → φ. em. C ∞ (Ω),. X α β≤α. para cada. sup |∂ β φj (x)|.. β. 0≤β≤α. x∈K temos que. lim sup |∂ β φj (x)| = 0,. j→+∞ x∈K daí segue. (??).. Para concluir a prova de. φj = ψφj + (1 − ψ)φj Logo, pelo teorema. (??), e. note que. S((1 − ψ)φj ) ∩ K = ∅, ∀j ∈ N.. ?? e por (??) segue que h˜ u, φj i = hu, ψφj i → 0.. dena. Mα =.

(73) 30. (ii) ⇒ (i). Pelo teorema. ??, existem C, m, K. | hv, φi | ≤ c. X. sup |∂ α φ(x)|, φ ∈ C ∞ (Ω).. |α|≤m Mostraremos que. ∀α ∈ Nn .. S(u) ⊂ K .. tais que. x∈K. φ ∈ Cc∞ (Ω). De fato, se. e. S(φ) ∩ K = ∅. então. ∂ αφ = 0. em. K,. Logo,. X. | hu, φi | = | hv, φi | ≤ c. sup |∂ α φ(x)| = 0.. |α|≤m. Observação 2.4.16. O funcional. v. do teorema. x∈K. ?? é único.. com o espaço dos funcionais lineares contínuos em. E 0 (Ω). C ∞ (Ω).. w : C ∞ (Ω) → C é um φ ∈ C ∞ (Ω) qualquer, pelo. De fato, suponha que. w|Cc∞ (Ω) = u. Então, dada ∞ tal que (φj ) → φ em C (Ω).. Logo, podemos identicar. funcional linear contínuo tal que teorema. ??. existe. (φj ) ⊂ Cc∞ (Ω). Logo,. hv, φj i = hw, φj i , ∀j ∈ N. Fazendo. j → +∞,. da continuidade de. v. e. w. resulta que. hv, φi = hw, φi . Ou seja,. v = w.. Exemplo 2.4.17. f ∈ L1loc (Ω) e f é zero q.t.p. fora de um compacto K , segue que S(Tf ) ⊆ K e Tf ∈ E 0 (Ω). Reciprocamente se S(Tf ) = K , ou seja, Tf é zero no aberto Ω − K então f = 0 q.t.p. em Ω − K. De fato, como. Se. f ∈ L1loc (Ω). temos pelo exemplo. ?? que f. dene uma distribuição. Tf. dada. por. Z. f φ dµ, φ ∈ Cc∞ (Ω).. hTf , φi = Ω. f =0 que f 6= 0 em E e µ(E) = 0. ∞ Assim, ∀φ ∈ Cc (Ω − K),. Suponhamos inicialmente que tal. Z. Z. hTf , φi = S(Tf ) ⊆ K. e assim. f φ dµ + Ω−K. ou seja, existe. Z f φ dµ =. K. f φ dµ = 0. E. S(Tf ) = K ,. ou seja,. hTf , φi = 0, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω − K).. ∀φ ∈ Cc∞ (Ω − K), Z. Z f φ dµ =. Ω. E ⊂Ω−K. Tf ∈ E 0 (Ω).. Reciprocamente, suponhamos que Assim,. K,. Z. f φ dµ = Ω. Então,. q.t.p. fora do compacto. Z f φ dµ +. Ω−K. Z f φ dµ =. K. f φ dµ = 0. Ω−K.

(74) 31. Então, segue que. f =0. q.t.p. em. Ω − K.. 2.5 Convergência em D 0(Ω) Denição 2.5.1 converge a. hu, φi. Exemplo 2.5.2 dada por. Dizemos que uma sequência para toda Seja. φ ∈ Cc∞ (Ω).. u ∈ D 0 (R), r. hur , φi = hu, φr i,. onde. (uj ) ⊂ D 0 (Ω),. u ∈ D 0 (Ω) se huj , φi uj → u em D 0 (Ω).. converge a. Neste caso escrevemos. φr (x) = φ(r +x). Dado o quociente de Newton. temos que. lim vr =. r→0 Com efeito, dada. hvr , φi =. du = u0 . dx. φ ∈ Cc∞ (R),. ur − u 1 1 φr − φ , φ = (hur , φi − hu, φi) = (hu, φr i − hu, φi) = u, . r r r r. Consideremos uma sequência em. ur de u ur − u vr = r. um número real e consideremos a translação. Cc∞ (Rn ). Seja N > 0. tal que. rj → 0. e colocamos. S(φ) ⊂ [−N, N ]. e. ψj =. φrj − φ . rj. R = sup |rj |.. Mostraremos que. Então. ψj → φ0. S(ψj ) ⊂ [−N − R, N +. j∈N. R], ∀j ∈ N. Além disso, cada k ∈ N, temos que. ou seja,. ψj. converge a. φ0. uma dupla aplicação do Teorema do Valor Medio mostra que para. em. dk ψ j dk φ0 → dxk dxk Cc∞ (R). Então,. uniformemente,. φr − φ lim hvr , φi = lim u, = hu, −φ0 i = hu0 , φi . r→0 r→0 r Portanto,. hvr , φi → hu0 , φi em. D 0 (R). Este exemplo mostra que a derivada no sentido das distribuições é ainda o limite de. quocientes de Newton, em um certo sentido. No caso de distribuições denidas em. Rn , temos. situação análoga.. Exemplo 2.5.3 (Continuidade da derivação em D 0 (Ω)) ∂ ∂u ∂uj = lim uj = . j→∞ ∂xi ∂xi j→∞ ∂xi lim. Seja. uj → u em D 0 (Ω). Então.

(75) 32. Exemplo 2.5.4. φ∈. Se. Z. Cc∞ (Ω), φ. ≥0. φ dx = 1,. e. −n. φ (x) = em. φ. x . então quando. → 0,. →δ. D 0 (Ω).. Exemplo 2.5.5. n o j ∈ N seja Kj = x ∈ Ω; |x| ≤ j e d(x, Ωc ) ≤ 1j e consideremos ∞ uma sequência de funções φj ⊂ Cc (Ω) tal que φj = 1 numa vizinhança de Kj . Dada u ∈ D 0 (Ω) a sequência uj = φj u ∈ E 0 (Ω) e uj → u em D 0 (Ω). Para cada. 2.6 Convolução de Distribuições f e g são funções f e g se dene como Se. contínuas em. Rn. e uma delas tem suporte compacto, a convolução de. Z. Z. f ∗ g(x) =. g(x − y)f (y) dy, x ∈ Rn .. f (x − y)g(y) dy = Rn. Rn. Isto leva a seguinte denição. Denição 2.6.1 n. u∗φ:R →C. Se. u ∈ D 0 (Rn ) (u ∈ E 0 (Rn )). e. φ ∈ Cc∞ (Rn ) (φ ∈ C ∞ (Rn )). denimos. por. u ∗ φ(a) = u, φˇa , onde. φˇa (x) = φ(a − x).. Teorema 2.6.2 (i). Sejam. u ∗ φ ∈ C∞ (Rn ). u ∈ D 0 (Rn ), φ ∈ Cc∞ (Rn ).. Então. e suas derivadas são dadas por. ∂ α (u ∗ φ) = (∂ α u) ∗ φ = u ∗ ∂ α φ;. (ii). (2.14). S(u ∗ φ) ⊆ S(u) + S(φ).. Demonstração.. Seja. (aj ). uma sequência de. Rn. tal que. aj → a.. Assim como. φˇaj → φˇa. em. Cc∞ (Rn ) temos que. u ∗ φ(aj ) = u, φˇaj → u, φˇa = u ∗ φa . u ∗ φ é uma função contínua. Mostraremos que, para todo m ∈ N temos que u ∗ φ ∈ C (R ) e que vale (??) para |α| ≤ m, usando para isso, indução em m. Para k = 1 tome α = ei , consideramos o quociente de Newton na direção do vetor unitário ei , assim Então. m. n. . 1 1 ˇ [u ∗ φ(a + rei ) − u ∗ φ(a)] = u, φa+rei − u, φˇa = r r . 1 ˇ urei − u ˇ ˇ u, φa+rei − φa = , φa . = r r.

(76) 33. Pelo exemplo. u ?? temos que r→0 lim. rei −u. =. r. ∂ (u ∗ φ)(a) = ∂xi. ∂u . Assim, ∂xi. . ∂u ˇ ∂u , φa = ∗ φ(a). ∂xi ∂xi. Como o membro direito da igualdade acima é uma função contínua em é contínua, assim. (2.15). a segue que. ∂ (u ∗ φ) ∂xi. u ∗ φ ∈ C1 (Rn ).. Além disso,. ∂ (u ∗ φ) = ∂xi De. (??). e. (??). . ∂u ˇ , φa ∂xi. . ∂ φˇa = − u, ∂xi . . ∂ φˇx ∂φ = u, =u∗ . ∂ai ∂ai. (2.16). segue que. ∂ ∂u ∂φ (u ∗ φ) = ∗φ=u∗ . ∂xi ∂xi ∂xi. (??) é válida para todo α ∈ Nn tal que |α| ≤ m. Dado α ∈ Nn tal que |α| = m + 1, temos que α = β + e1 para algum β ∈ Nn com |β| = m e algum i = 1, 2, . . . , n. β Substituindo u por ∂ u na demonstração do caso m = 1, segue o item (i). Finalmente, se a ∈ / S(u) + S(φ) então u ∗ φ(a) = 0. De fato, a − x ∈ / S(φ) então u ∗ φ(a) = 0. Agora se a − x ∈ S(φ) então x ∈ / S(u). Assim, u ∗ φ(a) = 0. Logo S(u ∗ φ) ⊆ S(u) + S(φ). Supondo que. Observação 2.6.3 ∞. Os mesmos resultados do teorema anterior valem se. u ∈ E 0 (Rn ). e. φ∈. n. C (R ).. Lema 2.6.4. Se. φ, ψ ∈ Cc∞ (Rn ).. Para cada. s (x) =. X. >0. dena. s. por. φ(x − m)ψ(m)n .. m∈Zn. Então. (i). S(s ) ⊂ S(φ) + S(ψ);. (ii) s → φ ∗ ψ uniformemente em x, quando → 0. Demonstração. (i) De fato, seja x ∈ Rn tal que x ∈/ S(φ) + S(ψ), vamos mostrar que φ(x − m)ψ(m) = 0, ∀m ∈ Zn .. (2.17). m ∈ / S(ψ), ∀m ∈ Zn então vale (??). Agora suponhamos que m ∈ S(ψ) então x − m ∈ / S(φ), pois se x − m ∈ S(φ) teríamos x ∈ S(φ) + S(ψ). Assim vale (??). (ii) Existe K compacto tal que S(φ ∗ ψ) ⊆ K . Consideramos a partição P em K tal que |P | = . n Fixado x ∈ R . Por um resultado de integral dado em [?] temos que. Se. Z φ(x − y)ψ(y) dy = φ ∗ ψ(x).. lim s (x) = →0. Rn. (2.18).

(77) 34. Dado. µ > 0,. ∃δx > 0. mostraremos que. e. x > 0. tais que. < x ⇒ |s (x) − φ ∗ ψ(x)| < µ, ∀z ∈ B(x, δx ). Por. (??). segue que existe. 1 > 0. tal que. < 1 ⇒ |s (x) − φ ∗ ψ(x)| < Como. φ∗ψ. x, ∃δ > 0. é contínua em. (2.19). µ 3. (2.20). tal que. |x − z| < δ ⇒ |φ ∗ ψ(x) − φ ∗ ψ(z)| <. µ . 3. (2.21). Além disso,. P. |s (x) − s (z)| ≤. |φ(x − m) − φ(z − m)||ψ(m)|n. m∈Zn. sup |φ0 ||x − z||ψ(m)|n Rn P ≤ sup |φ0 ||x − z| |ψ(m)|n P. ≤. m∈Zn Rn. m∈Zn. ?. Pelo mesmo resultado dado em [ ] usado anteriormente. ∃2 > 0. tal que.

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