09 - Indução

Solenóides

Uma bobina, ou seja, um conjunto de espiras em série, ou um único fio enrolado várias vezes, quando percorrida por uma corrente elétrica, produzirá um campo magnético em seu interior.

A expressão desse campo já foi determinado, no entanto, não foi considerado o comprimento da bobina. Nesse caso, a bobina é chamada de solenóide.

As linhas de campo de uma espira se combinam com as linhas de campo da espira vizinha, produzindo um campo vetorial resultante. A figura abaixo mostra uma aproximação das linhas de campo totais de um solenóide.

A figura acima mostra que a distribuição de linhas de campo magnético no interior do solenóide é praticamente uniforme na parte central, onde o efeito de borda pode ser desconsiderado.

Em um solenóide ideal, o campo magnético no exterior dele é zero e no interior é uniforme. Essa simplificação permite definir uma expressão aproximada do campo magnético. Tomando como amperiana o retângulo abcd abaixo:

a Lei de Ampère nos dá a relação:

∮

¯

B⋅d ¯s=μienv

No percurso abcd, o produto escalar Bds é zero para os trechos bc e da, pois os dois vetores são perpendiculares. No trecho cd, o campo magnético (idealmente) é zero. Assim, a integral de linha acima se resume em:

∫

B ds=Bh=μ i_env

onde h é uma porção do comprimento do solenóide. Nesse trecho, a amperiana é atravessada por N espiras. Logo:

ienv = N i = (nh) i

onde n é o número de espiras por unidade de comprimento. Assim:

Bh = μ N i = μ (nh) i B = μni

Indução Eletromagnética

Considere um experimento simples envolvendo campo magnético. Colocamos uma espira de material condutor ligado a um amperímetro, mas sem conexão com qualquer tipo de fonte.

Usando um ímã permanente, aproximamos ele da espira. Durante a aproximação do ímã, o amperímetro acusa passagem de corrente elétrica. Quando o ímã fica estático, a corrente é zero. Quando o ímã é afastado aparece novamente uma corrente elétrica, dessa vez de sentido contrário à primeira corrente.

Essa experiência fornece as seguintes informações:

1- A corrente na espira só é observada enquanto há movimento relativo entre a espira e o ímã; 2- Quanto mais rápido o movimento maior a corrente;

3- O movimento de aproximação e de afastamento produzem correntes em sentidos contrários. Trocando os pólos do ímã, o resultado é invertido.

Lei de Indução de Faraday

Os experimentos realizados pelo físico inglês Michael Faraday o levaram a estabelecer a lei da indução. Segundo ele, a variação do fluxo de campo magnético em um circuito fechado, induz uma diferença de potencial nesse circuito.

A partir da definição de fluxo de uma grandeza vetorial (já visto com campo elétrico na Lei de Gauss), podemos definir como fluxo de campo magnético em uma área, como:

Φ_B=

∫

onde dA é um vetor perpendicular à uma área infinitesimal, onde é calculado o fluxo. A Lei de Faraday, portanto, é definida como:

E_ind=−d ΦB dt

onde o sinal negativo provem de outra observação. A expressão acima estabelece que o módulo da tensão induzida em uma espira condutora é igual a taxa de variação temporal do fluxo magnético que atravessa a espira.

Se o fluxo de campo magnético varia dentro de uma bobina de N espiras, teremos uma tensão induzida para cada espira, que estão conectadas em série. Logo, para essa bobina, a tensão induzida será:

E_ind=−Nd ΦB

dt

Analisando a expressão da Lei de Faraday, percebe-se que há três formas de variar o fluxo de campo, e consequentemente, gerar uma tensão induzida:

1- variar o módulo de B;

2- variar a área da espira que é atravessada pelo campo; 3- variar o ângulo entre os vetores B e A.

Lei de Lenz

A partir das experiências de Faraday, foi observada a relação do módulo da tensão e corrente elétrica induzidas em um espira. O sentido dessa tensão, e consequentemente da corrente, foram propostos pelo físico russo Heinrich Friedrich Lenz.

A corrente induzida, por se tratar de um movimento de cargas, também irá criar um campo magnético. Esse campo, chamado de campo magnético secundário, gerado pela corrente induzida, se opõe à variação do campo magnético primário, que induziu a corrente.

Em outras palavras, se o fluxo de campo magnético aumenta no interior da espira, a corrente induzida terá um sentido tal que o campo magnético gerado por ela (secundário) terá sentido oposto ao campo primário. Se o campo primário estiver diminuindo, a corrente terá um sentido tal que o campo secundário terá o mesmo sentido do primário.

A Lei de Lenz, matematicamente, se resume ao sinal negativo da Lei de Faraday e, na prática, é uma aplicação da terceira Lei de Newton aplicada às grandezas elétricas.

Campos elétricos induzidos

Suponha que um anel de cobre de raio r é submetido a um campo magnético externo uniforme, como na figura abaixo. O campo ocupa um volume cilíndrico de raio R. Suponha agora que o campo magnético aumente a uma taxa constante.

Como o fluxo de campo magnético no interior do anel de cobre aumenta, pela Lei de Faraday haverá uma tensão induzida no anel, provocando uma corrente elétrica. Pela Lei de Lenz, essa corrente será no sentido anti-horário.

Se existe uma corrente no anel de cobre, há portanto um campo elétrico nesse meio, necessário para causar deslocamento nas cargas livres do cobre (F = qE). Há, portanto, um campo elétrico induzido no cobre.

A indução desse campo elétrico, entretanto, independe da existência do cobre, pois causa o deslocamento das cargas, e não o contrário. Daí, conclui-se que um campo magnético variado induz campo elétrico, independente de um circuito fechado ou não.

Esse campo magnético, seguindo a geometria do exemplo, será sempre tangente a uma circunferência, cujo o plano é perpendicular ao campo magnético. O sentido do campo elétrico será definido pela Lei de Lenz.

No exemplo citado, no caso de uma variação crescente do campo magnético, o campo elétrico será círculos concêntricos no sentido anti-horário. Caso a variação do campo magnético seja decrescente, o campo elétrico inverterá o sentido.

Assim, conclui-se que, um campo magnético variável produz um campo elétrico. Essa análise leva a uma reformulação da Lei de Faraday:

∮

dt Indutores

Se as espiras de um solenóide conduzem uma corrente i, a corrente produz um fluxo magnético ΦB

na região central do solenóide. A indutância associada a ele é definida como:

L=N ΦB

i

onde N é o número de espiras. Dizemos que as espiras de um solenóide estão enlaçadas por um fluxo magnético, e o produto NΦB é chamado de enlaçamento de fluxo magnético. A indutância L é,

portanto, uma medida do enlaçamento do fluxo magnético produzido pelo solenóide por unidade de corrente.

Em circuitos elétricos, os dispositivos que possuem uma resistência conhecida são chamados de resistores. Da mesma forma, dispositivos que possuem uma indutância associada, cujo valor é conhecido, são chamados de indutores.

A unidade de medida da indutância é chamada de Henry [H], em homenagem ao físico americano Joseph Henry. Pela expressão da indutância, temos que 1 H = 1 T m2_/A.

NΦB = (nl)(BA)

onde n é o número de espiras por unidade de comprimento (n = N/l) e A é a área da seção transversal da bobina. Substituindo B pela expressão do campo em um solenóide:

L=N ΦB i = (nl)(BA) i = (nl)(μi n)( A) i =μn 2 lA L l=μn 2 A

Que é a expressão da indutância por unidade de comprimento. Também podemos expressar a indutância como: L=μn2_lA=μ

(

)

A expressão acima mostra que a indutância de um dispositivo depende somente de sua geometria, e não dos valores de tensão e corrente aplicados a ele. Isso também mostra que a indutância é uma consequência do enrolamento de fios condutores.

Uma indutância em circuitos elétricos muitas vezes não é desejada, mas ela existirá sempre que uma bobina (ou solenóide) for usado. O comportamento de um indutor em um circuito elétrico será visto na próxima disciplina.