la perspectiva tarskiana semántica
*José Seoane Instituto de Filosofía-FHCE Universidad de la República
Montevideo-Uruguay
Resumen : La reflexión tarskiana sobre el concepto de consecuencia lógica puede dividirse -básicamente- en dos enfoques: el enfoque axiomático inicial -cuyo programa es elaborado hacia fines de los 20 y cuyos primeros resultados aparecen en “On Some Fundamental Concepts of Metamathematics” de 1930- y el enfoque semántico –expuesto en el célebre artículo de Tarski de 1936, “On the Concept of Logical Consequence”. El propósito de este escrito es reflexionar acerca de algunos aspectos metodológicos y conceptuales de la perspectiva semántica, basándose esencialmente en el artículo de 1936.
Más específicamente, se identifican en tal esfuerzo tarskiano dos etapas: una etapa crítica (cuyo objeto es la noción sintáctica de consecuencia) y una etapa propositiva (consistente en la exposición original de la noción semántica). La tesis que se pretende defender es que subyace, tanto a la etapa crítica como a la propositiva, una misma modalidad elucidatoria.
La conclusión más importante que este resultado provee es que permite apreciar entre la etapa axiomática (sintáctica) y la etapa semántica, un cambio metodológico profundo. Una conjetura interesante que auspicia la tesis defendida es que tal vez no sea éste el único proceso de cambio matemático susceptible de reconstruirse fecundamente a través del modelo elucidatorio en cuestión.
Abstract : The tarskian reflection about the concept of logical consequence can be divided -basically- in two accounts: the initial axiomatic account -whose program was elaborated in the late 20s and its first results were published in “On Some Fundamental Concepts of Metamathematics” in 1930- and the semantic account -exposed in the Tarski’s famous paper of 1936, “On the Concept of Logical Consequence”. The purpose of this note is to reflect on some methodological and conceptual aspects of the semantic perspective, studying specially the paper of 1936. More specifically, we can identify, in that paper, the following two stages: a critical stage (whose objective is the syntactical concept of consequence) and a positive stage (whose objective is to define the original semantic notion). The thesis is that both critical and positive stages are articulated for the same elucidatory model. The more important conclusion is that there is between the axiomatic and semantic accounts a notable contrast in methodological terms. An interesting conjecture is that perhaps this process is not the unique process of mathematical change which could be fruitfully captured by the discussed model.
1. Introducción
La reflexión tarskiana sobre el concepto de consecuencia lógica puede dividirse -básicamente- en dos enfoques: el enfoque axiomático inicial -cuyo programa es elaborado hacia fines de los 20 y cuyos primeros resultados aparecen en “On Some Fundamental Concepts of Metamathematics” de 1930- y el enfoque semántico –expuesto en el célebre artículo de Tarski de 1936, “On the Concept of Logical Consequence”. El primer enfoque consiste -sustancialmente- en la elaboración de un sistema axiomático que caracteriza una noción general de consecuencia lógica; el segundo queda definido por la explotación -en una forma específica- de recursos teórico-modélicos en el tratamiento de aquella venerable noción logica. El propósito de esta nota es reflexionar acerca de algunos aspectos metodológicos y conceptuales de la perspectiva semántica, basándose esencialmente en el artículo de 1936. Más específicamente, se identifican en tal esfuerzo tarskiano dos etapas:
una etapa crítica (cuyo objeto es la noción sintáctica de consecuencia) y una etapa propositiva (consistente en la exposición original de la noción semántica). La tesis que se pretende defender es que subyace, tanto a la etapa crítica como a la propositiva, una misma modalidad elucidatoria. Esta modalidad fue caracterizada por Coffai y ha sido modificada y/o desarrollada por el autorii. La consecuencia más importante de esta constatación es que, conjuntamente con la tesis de la ausencia de análisis en el tratamiento tarskiano de la noción de consecuencia en la etapa axiomática, permite apreciar que, además del cambio de, por así decir, naturaleza entre esa etapa y la aquí estudiada (sintáctica, en el caso de la primera, semántica, en el caso de la última) se evidencia un notable cambio metodológico entre ambas empresasiii. Brevemente dicho, en la primera perspectiva no existe –en un sentido preciso- “análisis” o “elucidación” y en la segunda se pone en obra una forma de análisis que caracterizará el trabajo del eminente lógico polaco. Finalmente, una conjetura interesante que auspicia esta indagación sobre la estructura metodológica del artículo de Tarski del 36 es que tal vez no sea éste el único proceso de cambio matemático susceptible de reconstruirse fecundamente a través del modelo elucidatorio en cuestión.
2. Algunas ideas meta-elucidatorias
El artículo de Tarski “On the Concept of Logical Consequence”iv es considerado (acertadamente) la piedra fundacional del tratamiento teórico-modélico de las nociones de verdad lógica y consecuencia lógicav. Este escrito se abre, precisamente, con un tipo de reflexión de especial valor, desde el punto de vista de los intereses metodológicos presentes. Podría decirse que se trata de una reflexión de naturaleza meta-elucidatoria.
Escribe Tarski vi:
The concept of logical consequence is one of those whose introduction into the field of strict formal investigation was not a matter of arbitrary decision on the part of this or that investigator; in defining this concept, efforts were made to adhere to the common usage of the language of everyday life
El primer aspecto digno de interés es la adhesión manifiesta, por parte del lógico polaco, a una cierta forma de entender esta empresa elucidatoria concreta. La idea principal que parece vertebrar tal concepción es el papel privilegiado que ocupa en la misma la noción pre-formal. En dicha perspectiva, la “arbitrariedad” definicional está severamente limitada por el objetivo de hacer justicia a la noción pre-formal de consecuencia lógica i.e.
el explicatum debe respetar el uso común. Se podría afirmar incluso que Tarski propone comprender la historia de los esfuerzos intelectuales en torno a aquella tradicional noción en tal marco: éstos no pueden entenderse como destinados a introducir arbitrariamente un concepto formal preciso sino más bien a ofrecer una contrapartida formal rigurosa para un concepto intuitivo de uso ordinariovii. Pero ¿por qué se hizo necesaria tal operación de clarificación?viii
With respect to the clarity of its content the common concept of consequence is in no way superior to other concepts of everyday language. Its extension is not sharply bounded and its usage fluctuates.
Podría pensarse que entonces el objetivo es obtener de una buena vez un concepto formal que venga a eliminar todas las oscuridades e imprecisiones del concepto intuitivo, permitiendo obtener así una contrapartida absolutamente fidedigna del concepto original.
Sin embargoix
Any attempt to bring into harmony all possible vague, sometimes contradictory, tendencies which are connected with the use of this concept, is certainly doomed to failure. We must reconcible ourselves from the start to the fact that every precise definition of this concept will show arbitrary features to a greater or less degree.
Este último pasaje permite apreciar que –aún privilegiando el papel del concepto intuitivo- no cabe esperar una fidelidad, por así decir, total de parte del explicatum riguroso (formal) al explicandum vago y problemático (pre-formal). La idea que parece subyacer es la siguiente: el concepto pre-formal aporta una especie de “control” a la corrección elucidatoria o, si se prefiere, funciona como “límite” a la arbitrariedad definicional pero, por otra parte, se trata de un control o un límite que resulta insuficiente para determinar unívocamente al explicatum; perdura un margen ineliminable de arbitrariedad y, en ese sentido, la coincidencia plena quizá sólo pueda admitirse como un “ideal” prácticamente irrealizable.
El lector puede razonar -sensatamente- que si lo que se pretende es extraer de estas escasas observaciones una concepción de la elucidación matemática debiera ofrecerse un desarrollo más amplio y sólido. Le asiste razón: tal desarrollo ha sido elaborado por Alberto Coffa en un sugestivo y original escritox. La sección siguiente expone –siguiendo básicamente las ideas de Coffa aunque introduciendo algunos desarrollos y/o ajustes a la misma- una concepción elucidatoria que podría denominarse tarskiana.
3. El modelo tarskiano
Coffa caracteriza las elucidaciones –en su denominación- à la Tarski-Kreisel en oposición a las elucidaciones à la Quinexi. En la propia exposición de Coffa adquiere mucho mayor peso la discusión acerca de la propuesta tal cual ella se aprecia en los textos de Tarski; dado el marco específico de interés de esta trabajo, se opta por elaborar el modelo inspirándose, fundamentalmente, en las observaciones tarskianasxii.
La primer advertencia que corresponde efectuar es que dicha elaboración, en el caso de Tarski (en contraste con lo que ocurre con Quine) se trata mucho más de una
“reconstrucción” coffiana que de una propuesta acabada del propio autor. No existe en Tarski -como en Quine- una sofisticada y manifiesta reflexión meta-elucidatoria; tal
“reconstrucción” se puede obtener espigando observaciones metodológicas en los trabajos científicos del autor y cotejándolas con su propia práctica elucidatoriaxiii.
La idea más general de esta perspectiva consiste en tomar, como punto de partida, un concepto vago o confuso -explicandum- y, a través del análisis, lograr establecer ciertas condiciones de adecuación que debe satisfacer el concepto preciso - explicatum- que se propondrá como elucidación. Se trata de establecer -como es obvio- una cierta relación entre conceptos y, especialmente, el explicatum debe procurar hacer justicia a las intuiciones asociadas al explicandumxiv.
Coffa esquematiza el modelo discriminando tres etapas: en primer término, se identifica un concepto respecto del cual se posee una aproximación intuitiva y vaga (explicandum), en segundo lugar se determinan, mediante el análisis parcial del explicandum, ciertas condiciones que cualquier concepto que se proponga como elucidación de aquél debe satisfacer (condiciones de adecuación) y, por último, se propone un concepto riguroso (explicatum) que satiface las condiciones anteriores.
La primera etapa posee un status más bien definicional y, en consecuencia, no susceptible de crítica. ¿Por qué? Porque consiste simplemente en la identificación del significado de una expresión que será el objeto del análisis. Además ¿en relación con qué cotejar o comparar este concepto? Esta etapa es, precisamente, el comienzo del esfuerzo analíticoxv.
La segunda etapa, en cambio, permite la evaluación, en la medida en que tales condiciones se encuentran determinadas o respaldadas por el análisis parcial del explicandum. En cierto sentido, se trata de atributos o propiedades del concepto objeto de elucidación y por ello tales afirmaciones debieran poder evaluarse en términos de verdad o falsedad.
Coffa intenta ubicar aquí el rasgo diferencial (respecto a la concepción quineana) de esta modalidad elucidatoria (cursivas J.S.)xvi:
...las elucidaciones tarskianas son criticables en base a su inadecuación a la noción que se intenta elucidar. En las elucidaciones à la Quine no hay un objeto común de referencia para las expresiones empleadas antes y después de la elucidación.
La reformulación de la perspectiva tarskiana que se elabora en estas páginas pretende recoger ese rasgo fundamental, a saber: la capacidad de las mismas de estimular el desarrollo de cierta forma de evaluar (y construir) elucidaciones, en términos de una vigorosa interrelación entre concepto formal-concepto intuitivo o pre-formal.
El primer aspecto que se desea resaltar es que, dado el interés exclusivamente metodológico, es razonable entender la modalidad tarskiana en una acepción más bien
“programática” o “modélica” más que como caracterización intensional de una clase peculiar de esfuerzos elucidatorios. En otras palabras, se sugiere pensar tal concepción como una suerte de “marco” que estimula y regula cierto tipo de preocupaciones y controles intelectuales en los procesos elucidatorios y no como un criterio que permite particionar el conjunto de las elucidaciones. Quizá convenga ahora refinar un poco la caracterización del modelo y, para ello, la propia noción de proceso elucidatorioxvii.
Se entenderá por proceso elucidatorio una relación entre conceptos i.e. entre explicandum y explicatumxviii. Esta relación puede pensarse como una serie o secuencia de me1 ... men momentos elucidatorios (con n≥ 2) tal que me1 es el explicandum y men es el explicatum. Cada mei (con 1<i<n) se considera una elucidación de mei-1.o una reformulación de mek –donde k=1 o k es el subíndice del último elemento de una secuencia finita de reformulaciones cuyo primer elemento es me1xix.
Una elucidación se articula como lo describe el siguiente esquema -donde “→1” y
“→2” representan relaciones (o tramas de relaciones) entre los conceptos respectivos-:
explicandum →1 condiciones de adecuación →2 explicatum
Las relaciones, por así decir, “sub-1” se pretende que justifican o respaldan las condiciones de adecuación propuestas en tanto análisis del explicandum; las relaciones
“sub-2” se pretende que apoyan la capacidad del axplicatum de satisfacer las condiciones de adecuación establecidas. Dado que el explicatum debe satisfacer –como ya se ha descrito- las condiciones de adecuación obtenidas goza de una suerte de superioridad epistémica (es decir, una mayor articulación y/o claridad teórica) que el explicandum respectivoxx. No debe perderse de vista que el énfasis fundamental de este enfoque de la relación elucidatoria se concentra en la exigencia de adecuación material, es decir, de fidelidad extensional e intensional del explicatum al explicandum –aunque, como se ha señalado, también se reconocen en general otros aspectos relevantes como la simplicidad o la fecundidad. Como quizá resulte obvio, se ha procurado capturar mediante esta clase de momentos elucidatorios el carácter eventualmente complejo (i.e. conformado por diversas
“etapas” o “estadios”) de los esfuerzos de rigorización.
Una reformulación consiste en una revisión o supresión de ciertos rasgos intuitivos (argumentalmente fundada) de un concepto previo –ya el explicandum original, ya alguna versión revisada del mismo. La idea de incluir este tipo de conceptos en la categoría de los momentos elucidatorios responde al interés por capturar la “dinámica elucidatoria”, es decir, la interacción entre rigorización e ideas intuitivas. Eventualmente pudiera ser necesario contemplar el caso en que se tenga una reformulación de una reformulación ... de una reformulación del explicandum original –eso justifica la opción de un subíndice variable en la caracterización de arriba.
Este modelo elemental puede usarse con fines analíticos o históricos. En el primer caso es necesario justificar racionalmente (en términos de ganancia en precisión, sistematización, interconexión teórica, etc.) el pasaje de mei a mei+1. En el segundo caso, además de lo anterior, debe proveerse una justificación histórica de tal pasaje –i.e. proveer la documentación histórica que pruebe el orden de la secuencia. La medida en que un proceso analítico puede coincidir con un proceso histórico puede denominarse grado de factualidad del mismoxxi. Esta potencial interacción auspicia la evaluación de las diversas concepciones elucidatorias en términos de fecundidad histórica y aún de interés pedagógico. En este trabajo, se procura mostar el significativo grado de factualidad del modelo en relación con el tratamiento tarskiano del concepto de consecuencia lógica.
Para terminar esta exposición quizá convenga recurrir al esquema de arriba para advertir mejor el rasgo fundamental del modelo elucidatoria tarskiano, a saber, su capacidad de estimular tanto el examen de las relaciones sub-2 como sub-1.
El origen de esta ampliación del espectro crítico puede ubicarse, no en el papel que atribuye Coffa -y Simpson refuta eficazmentexxii- a ese “objeto común” de referencia al que alude el primer autor en la cita de arriba, sino (siguiendo igualmente una linea propuesta por Coffa) en el énfasis explicitado por el modelo tarskiano en la distinción entre relaciones sub-1 y relaciones sub-2. El proceso que se representa con “→1” es filosóficamente subvalorado en ciertas formas de entender los procesos elucidatorios; el punto interesante, desde tales perspectivas, es la evaluación de “→2.” Adviértase que en el caso de la reflexión sobre “→1” la situación es metodológicamente compleja: el explicandum es un concepto vago, penumbroso –en otro caso, la elucidación carecería de interés- y, en la mejor hipótesis, las condiciones de adecuación gozan del mayor rigor -por poner un ejemplo, pueden formularse en el lenguaje de la teoría de conjuntos- pero aún entonces, por lo menos en un sentido ampliamente admitidoxxiii , la prueba es imposible. El carácter de tales relaciones obliga, frecuentemente, al examen conceptual y es precisamente a la luz de tales exámenes que las elucidaciones tarskianas se vuelven en extremo
“sensibles” a la críticaxxiv. Este modelo elucidatorio así caracterizado será denominado, de aquí en más, “modelo tarskiano” o, simplemente “MT”.
El énfasis en la adecuación material puede apreciarse en algunos textos de Tarski pero, sensatamente, podría objetarse que tal acentuación no debiera oscurecer otras dimensiones relevantes en la evaluación del explicatum; por ejemplo, fecundidad o
rendimiento teórico y simplicidadxxv. Sin embargo, será tal adecuación material el aspecto fundamental en los desarrollos posteriores; la concentración en dicho aspecto encuentra así su justificación.
Aunque esta “sensibilidad a la crítica” es una virtud distintiva de esta modalidad elucidatoria, conviene efectuar algunas precisiones a los efectos de evitar malos entendidos.
Como se ha consignado en reiteradas oportunidades, tal perspectiva supone una primacía del concepto pre-formal. Luego podría pensarse que se pretende, por parte del concepto formal, una suerte de fidelidad absoluta e incondicional a aquél. Sin embargo, un ideal de ese tipo –como es obvio- resulta difícilmente conciliable con la naturaleza misma de los procesos elucidatorios: explicandum y explicatum deben ser conceptos distintos. Como es sabido, frecuentemente éstos difieren tanto en la dimensión intensional como extensional.
La fidelidad pretendida pues es siempre una fidelidad crítica o razonada.
Luego tanto en el plano intensional como en el plano extensional, esta lealtad debe ser legitimada. Una propiedad intensional del concepto pre-formal debe ser preservada por el concepto formal si es justificada por las condiciones de adecuación establecidas –se la denominará propiedad legitimada. Una instancia del concepto pre-formal debe caer en la extensión del concepto formal si es justificada por las condiciones de adecuación establecidas –se le denominará instancia legitimada. El desacuerdo relevante entre ambos conceptos supone pues el establecer una propiedad-problema (es decir, una propiedad intensional del concepto pre-formal respaldada por las condiciones de adecuación y no satisfecha por el concepto formal) o una instancia-problema (es decir, una instancia del concepto pre-formal justificada por las condiciones de adecuación y no perteneciente al concepto formal). La idea de entender la “dinámica” de los procesos de elucidación matemática previendo la posibilidad de revisar el concepto pre-formal (como lo prevé la definición de la serie de momentos elucidatorios ofrecida arriba) revela la aspiración de entender los mismos en su rica complejidad.
¿Es compatible esta descripción con el privilegio de la noción pre-formal? La respuesta positiva se funda en el vigor de las condiciones de adecuación. La sensibilidad crítica respecto de las relaciones sub-1 puede llevar al abandono o modificación de ciertas condiciones de adecuación manteniéndose incambiado el explicandum. En casos excepcionales puede producirse una crítica más radical asistiéndose así a lo que se denomina (en la terminología del modelo) una reformulación del explicandum.
Tal vez resulte conveniente consignar que no se ha pretendido en estas escasas líneas “demostrar” filosóficamente la adhesión de Tarski al modelo elucidatorio descrito.
Las ideas básicas que subyacen al mismo parecen poseer, no obstante, una indiscutible filiación tarskianaxxvi. A los fines presentes tal constatación es suficiente. Como se ha adelantado, en lo que sigue se estudian los desarrollos tarskianos de 1936 en el marco del modelo propuesto.
4. El momento crítico
El escrito de Tarski admite distinguir en su desarrollo un momento crítico y un momento propositivo. El primero de ellos consiste en ofrecer una argumentación destinada a mostrar el fracaso de un cierto intento de elucidar el concepto de consecuencia lógica.
Esta sección se propone entender tal crítica como una instancia del modelo elucidatorio arriba caracterizado.
Como era esperable, la orientación natural que sugiere MT en términos de evaluación de un proceso elucidatorio se conecta con la capacidad del explicatum de capturar el contenido del explicandum; en especial, resulta pertinente, desde este punto de vista, la comparación tanto en términos extensionales como intensionales entre ambos conceptos.
Tarski reseña el esfuerzo realizado a fin de capturar la noción de consecuencia lógica valiéndose de lo que se llamaría -con un lenguaje actual- la noción de consecuencia sintáctica o de derivabilidad xxvii. Esta noción puede formularse así: sea S un sistema axiomático formalxxviii , sea ForS el conjunto de las fórmulas de S, sea ϕ∈S y Γ⊆ForS
entonces se dirá que ϕ es “consecuencia sintáctica” de Γ -se nota Γ|−Sϕ - si existe una demostración en S de ϕ a partir de Γ. Más explícitamente
Γ|−Sϕ si y sólo si existe una secuencia finita de fórmulas de Γ tal que cada miembro de dicha secuencia o pertenece a los axiomas de S o pertenece a Γ o es el resultado de aplicar alguna de las reglas de inferencia de S a fórmulas precedentes en la secuencia y el último miembro de dicha secuencia es ϕ.
La pregunta fundamental, a la luz de MT, es –obviamente- cuál es la relación entre consecuencia sintáctica –en adelante, CSin- y el concepto (pre-formal) de consecuencia lógica –en adelante CL. Más precisamente, ¿es CSin una adecuada elucidación de CL?
Esta cuestión se presenta, en principio, como enteramente análoga a la que sugiere cualquier elucidación que vincula un concepto informal con un concepto formal. Luego no puede esperarse –como ya se señaló - una “demostración” de la equivalencia entre ambos conceptos. Esto no inhibe la reflexión a propósito del éxito o el fracaso del proceso elucidatorio, es más, de acuerdo a MT, evaluar una elucidación supone precisamente ese tipo de examen de las relaciones entre explicatum y explicandum. Tal evaluación torna imprescindible la reconstrucción del concepto (pre-formal, intuitivo) que subyace a las observaciones tarskianas. Tarski lo expresa asíxxix (negritas J.S.):
Certain considerations of an intuitive nature will form our starting-point. Consider any class K de sentences and a sentence X which follows from the sentences of this class. From an intuitive standpoint it can never happen that both the class K consists only of true sentences and the sentence X is false. Moreover, since we are concerned here with the
concept of logical i.e. formal consequence, and thus with a relation which is to be uniquely determined by the form of the sentences between which it holds, this relation cannot be influenced in any way by empirical knowledge, and in particular by knowledge of the objects to which the sentence X or the sentences of the class K refer.
Los componentes que parece incluir tal caracterización son, básicamente, los siguientes: sea Γ un conjunto de sentencias, sea ϕ una sentencia, se dice que ϕ es consecuencia lógica de Γ (en el sentido pre-formal o intuitivo) si:
a) si todos las sentencias pertenecientes a Γ son verdaderas, entonces ϕ lo es – denomínesele a esta propiedad: preservación de la verdad-;
b) tal propiedad se encuentra cualificada modalmente: es necesaria (independientemente de cómo se interprete este operador modal intuitivo);
c) finalmente tal preservación necesaria de la verdad se fundamenta en las características formales o estructurales de las sentencias –denomínesele a esta propiedad: formalidad.
La evaluación negativa de CSin como elucidación de CL –en la argumentación tarskiana de 1936- se fundamenta en la no-coincidencia extensional entre ambos conceptos. Su argumento central consiste en un caso particular de teoría omega- incompletaxxx. Supóngase se tiene una teoría T tal que en T pueden probarse los teoremas:
A0 0 posee la propiedad P.
A1 1 posee la propiedad P.
:
y en general, para todo n∈ℵ An n posee la propiedad P.
Quizá sea útil plantear la situación así:
T |− Ai (con i∈N).
Sea “A” el enunciado “Todo número natural posee la propiedad P”. El centro del argumento es la cuestión:
¿A es una consecuencia lógica de T?
La respuesta de Tarski es contundentexxxi (negritas J.S.):
Yet intuitively it seems certain that the universal sentence A follows in the usual sense from the totality of particular sentences A0, A1, ..., An, ... .Provided all these sentences are true, the sentence A must also be true.
elucidatorio propuesto- es ofrecer una instancia legitimada del concepto pre-formal. La pertenencia de la relación de consecuencia aducida por Tarski a la extensión del concepto pre-formal se apoya en la cita de arriba: “in the usual sense”. La última oración de la cita puede entenderse como una constatación de la legitimidad de tal instancia: repárese en el
“must”.
El problema que encierra esta interpretación ha sido advertido por diversos autoresxxxii. Expuesto en los términos de este trabajo puede formularse así: el argumento anterior no es una instancia legitimada del concepto pre-formal ya que la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas. La razón es –como señala gráficamente Sagüilloxxxiii- que ninguna premisa individual ni todas tomadas conjuntamente aseguran que los casos por ellas contemplados sean todos los casos. Es decir, la transmisión necesaria de la verdad no queda asegurada, si se piensa en el marco de los supuestos lógicos hoy estándar. Es fácil ver, por ejemplo, que en la semántica estándar de orden uno tal esquema argumental no es válido. Sea el dominio del modelo los ordinales contables y tengan ‘0’ y la función sucesor su interpretación habitual. Si la extensión del predicado “ser número natural” es el dominio (dado que no es una constante lógica cabe reinterpetarlo) y la de “P” es el conjunto de los ordinales finitos, las premisas resultan verdaderas y la conclusión falsaxxxiv.
Existen diversos modos de resolver el problema interpretativo; los mismos consisten en abandonar (de formas variadas) aquellos supuestos. Etchemendy, por ejemplo, propone entender su solución vía una elección no-estándar de las constantes lógicas ( “0”, “1”,... y el cuantificador “todo número natural” deben interpretarse como tales, es decir, se “fija” su interpretación)xxxv. Gómez Torrente piensa que la concepción tarskiana es, en cierto sentido, más sofisticada, no se trata de considerar las expresiones aritméticas como términos primitivos sino como términos definidos vía lógica (en el marco, obviamente, de asunciones logicistas)xxxvi. Sagüillo discute tres posibilidades para explicar la problemática clasificación tarskiana de este argumento como lógicamente correcto: a) Traski podría haber confundido (asumiendo la interpretación habitual de las expresiones claves) validez material y validez lógica, b) las posibilidades de elecciones alternativas de constantes lógicas (i.e. la perspectiva de Etchemendy) y c) la adhesión a una concepción de “universo fijo” de filiación logicistaxxxvii. Como seguramente el lector ya advirtió el problema histórico es complejo. Sin embargo, es indiscutido que Tarski consideraba el fenómeno de la omega-incompletud y, en especial, argumentos como el arriba citado, instancias legitimadas del concepto pre-formal. Esta convicción tarskiana no se aprecia exclusivamente en este escrito del 36 sino que se encuentra también en su menos célebre Some observations on the concepts of ω-consistencia and ω-completenessxxxviii. Luego, independientemente de cómo se interpreten las razones para tal concepción, ésta claramente puede atribuirse a Tarski. Felizmente, es tal atribución todo lo que se necesita para las observaciones metodológicas presentes. El primer paso de la crítica tarskiana pues queda así descrito.
El segundo paso consiste en mostrar cómo tal instancia del concepto pre-formal no cae en la extensión del concepto formal. El aspecto decisivo es que A no puede derivarse a través de las reglas de inferencia “normales” –i.e. con un número finito de premisas- de T.
Una alternativa para introducir una regla que contuviera infinitas premisas podría ser no exigiendo que ellas efectivamente se demuestren sino que sean demostrables a partir de las reglas con las que ya contaba el sistema: si se denomina B al enunciado que afirma que A0,
A1,... son demostrables, la regla afirmaría que si se tiene B, puede afirmarse A. Pero una regla de este tipo posee una evidente naturaleza meta-teórica, ya que B no es un enunciado de la teoría, luego habría que conseguir “representar” B en la teoría. Si se tuviera una teoría en la que pueda expresarse la aritmética de los naturales esto podría hacerse usando las ideas de Gödel: luego no se tendría propiamente el meta-enunciado B sino se tendría B’ (la interpretación aritmética de B). El punto crítico aquí es que, si se adopta tal regla, se ha modificado sustancialmente la extensión del concepto “demostrable con las reglas anteriores del sistema”, es decir, podría reproducirse la objeción inicial demandando así la construcción de una nueva regla análoga a la que se acaba de introducir y así ad infinitum.
La pregunta que podría hacerse es si no sería posible, mediante la adición de reglas finitarias al sistema, obtener finalmente una solución a tal problema –es decir, si no habría alguna estrategia “reformista” que permitiera ajustar el sistema de reglas de inferencia finitarias para eliminar estos fenómenos de incompletud. La respuesta negativa radical la ofrecen los resultados de Gödel, más específicamente, el primer teorema de incompletitud.
Dicho rápidamente, en una teoría que contiene los axiomas aritméticos (y no importa los axiomas y reglas finitarias que se le adicionen) siempre es posible obtener una sentencia que se sigue de los axiomas (en el sentido intuitivo) y que no es demostrable i.e. no es una consecuencia sintáctica de los mismos.
El propósito no es estudiar en detalle esta argumentación en términos de cada uno de sus pasos, sus supuestos o su efectividad: el punto es advertir el papel metodológico que la misma cumple, a saber, mostrar el desacuerdo extensional entre el concepto pre-formal y el concepto de consecuencia sintáctica. La conclusión de Tarski es (cursivas J.S.)xxxix :
This fact seems to me to speak for itself. It shows that the formalized concept of consequence, as it is generally used by mathematical logicians, by no means coincides with the common concept.
Si se piensa la extensión de estos conceptos como pares ordenados, donde la primera proyección es el conjunto de las premisas y la segunda el singletón de la conclusión, la evaluación tarskiana lo que muestra es la existencia de un par ordenado (legitimado) que cae bajo el concepto pre-formal y escapa del concepto formal. Es decir, hay argumentos lógicamente válidos (desde el punto de vista pre-formal) que no lo son (desde el punto de vista formal). Es obvio que, en tal constatación, se apela al plano intuitivo: la detección de ese elemento crítico se hace a partir del uso del concepto pre- formal. Pero el aspecto fundamental es que tal divorcio extensional constatado es apreciado como déficit del concepto formal. Este es el punto metodológicamente importante.
Si se revisa la reconstrucción ofrecida se advierte la complementariedad profunda de las dos “etapas” de la misma. La primera supone la detección de la instancia legitimada;
la segunda consiste en la evidenciación de la no pertenencia de dicha instancia a la extensión del concepto formal. Pero, además, este análisis de un caso particular permite entender mejor la modelización general de la dinámica elucidatoria propuesta. Retórnese brevemente a la misma. Como se recuerda, el concepto pre-formal posee –en MT- un papel privilegiado. Tal modelo, sin embargo, prevé la posibilidad de dos relaciones: elucidación y reformulación. La admisión misma de esta última alternativa revela que el modelo
En armonía con tal tesitura, no alcanza la mera detección de una instancia del concepto pre- formal que no cae en la extensión del concepto formal para que, necesariamente, este último deba ser modificado. La pregunta es ¿por qué en este caso tal instancia adquiere esa potencialidad crítica?xl La respuesta seguramente el lector ya la conoce: como se discutió en la sección 3, ese “potencial” crítico resulta del hecho de que tal instancia satisface la exigencia de legitimación. La crítica pues debe ofrecer la justificación de la legitimidad del comportamiento extensional de la instancia del concepto pre-formal. ¿Cómo lograr tal justificación? Apelando a las condiciones de adecuación producidas en el análisis: en este caso, aquellas que surgen de recoger los items a) y b) de la caracterización de arriba.
Dicho de una forma programática, MT no prohibe todo y cualquier intento de “corregir” el concepto pre-formal; el punto es que, dado cierto análisis, se producen determinadas condiciones de adecuación y ellas gobiernan también la crítica elucidatoria. Es en virtud de entender correcto –a la luz del análisis- el comportamiento extensional del concepto pre- formal que las soluciones ensayadas para “solucionar” el desacuerdo apuntan a, por así decir, “ensanchar” el concepto formal de modo que abarque aquello que desdichadamente se le “escapa”xli.
El uso del modelo elucidatorio descrito en esta sección es el que podría denominarse
“uso crítico”. Es posible reconstruir tal uso en una forma detallada (explotando más las características formales del modelo) pero se sospecha que alcanza lo expuesto para justificar el valor de éste en la comprensión de la operación tarskiana. La sección siguiente se ocupa del uso “constructivo” o “propositivo” de MT.
5. El momento propositivo
El fracaso de los intentos “reformistas” respecto de la noción de consecuencia sintáctica -brevemente esbozados en la sección anterior- muestra la limitación radical de esta noción. Esta constatación lleva a la idea de que sólo apelando a recursos novedosos y a un aparato conceptual alternativo es posible construir un concepto formal capaz de capturar el concepto pre-formal de consecuencia lógica. En esta dinámica pues tal concepto juega un papel distinto, especificando así un uso de MT al que podría denominarse “constructivo”.
Como se recuerda el concepto pre-formal en cuestión ha sido caracterizado arriba;
en dicha caracterización ocupa un lugar destacado el requisito de formalidad. Una primera condición de adecuación que reflejara este requisito podría formularse más o menos así: la preservación necesaria de la verdad (de premisas a conclusión) debe darse con independencia de los objetos a los cuales se refieren las sentencias involucradas. Esta idea puede expresarse mejor si se tiene en mente la estructura del lenguaje: el reemplazo de nombres por otros nombres de objetos (respetando ciertas constricciones básicas) en las sentencias involucradas no podría afectar la relación de consecuencia. Una primera elucidación de la noción de consecuencia –que respetase la condición de adecuación antedicha- podría formularse tomando la denominada por Tarski “condición (F)” como necesaria y suficiente. He aquí tal condiciónxlii :
(F) If, in the sentences of the class K and in the sentence X, the constants -aparty from purely logical constants- are replaced by any other constants (like signs being everywhere replaced by like signs), and if we denote the class of sentences thus obtained from K by
‘K´’, and the sentence obtained from X by ‘X´’, then the sentence X´ must be true provided only that all sentences of the class K´ are true.
Por el significado de la condición de adecuación resulta inmediato que F es condición necesaria para que X sea consecuencia lógica de K. No resulta igualmente obvio si la misma es condición suficiente. Si la respuesta fuese positiva, la elucidación habría arribado a buen puertoxliii.
Sin embargo, la condición que expresa F no puede considerarse condición suficiente. Esta apreciación se funda –nuevamente- en un análisis que explota esencialmente el concepto pre-formal. Tal análisis puede reconstruirse usando el modelo elucidatorio.
Descripta rápidamente la situación es la siguiente: podrían existir pares ordenados que cumplirían F y, sin embargo, no caerían bajo el concepto pre-formal. A diferencia del argumento anterior, ahora se trata de instancias del concepto formal que no se encuentran en la extensión del concepto pre-formal. La razón es la siguiente: si se asumiera F como condición suficiente, entonces la existencia o no de la relación de consecuencia dependería crucialmente de los recursos expresivos del lenguaje. La escasez de recursos expresivos repercutiría en la pobreza de las sustituciones posibles y, en consecuencia, podría ocurrir que, dado un magro stock de sustituciones posibles, la verdad se preservara, aunque en realidad tal preservación fuera –metafóricamente dicho- ficticiaxliv.
El punto reviste cierto interés porque permite apreciar el substrato conceptual de una condición de adecuación tan compleja como la preservación necesaria de la verdad.
Adviértase que la objeción tarskiana puede entenderse como el resultado de admitir (en la configuración de tal substrato) de una idea de venerable tradición filosófica: la idea de la objetividad (de la preservación de la verdad ). O, si se prefiere, de la (relativa) independencia lingüística de la mismaxlv.
Nuevamente se abandona un “momento elucidatorio” (usando la terminología del modelo, tal vez me3) en virtud de su desacuerdo extensional con el explicandum más la comprobación de la legitimidad del comportamiento extensional de éste en virtud de un modo refinado de entender la característica a) del concepto pre-formal; considerar tal interpretación parte de las condiciones de adecuación no parece esencialmente artificial. Tal vez pueda pensarse que tal condición de adecuación encarna una intuición fuertemente asociada a la noción de consecuencia lógica cuyos orígenes quizá podrían remontarse a la oposición socrático-platónica a la sofísticaxlvi .
El tratamiento técnico elaborado por Tarski para estudiar, desde el punto de vista semántico, los lenguajes formales y, en especial, las nociones de satisfacción y de verdad por él caracterizadas juegan un papel esencial en su enfoque de la noción de consecuencia lógica. El éxito de la elucidación presente se encuentra luego indisolublemente unido al destino de la empresa semántica tarskiana general. Si se entiende por “modelo de una fórmula X” una interpretación que verifica X, entonces la elucidación buscada se expresaría
sentencias de la clase K xlvii :
The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every model of the class K is also a model of the sentence X.
Es este -como es obvio- el concepto que a veces se denomina “consecuencia semántica” o “consecuencia teórico-modélica”xlviii. Esta definición culmina, en cierto sentido, el esfuerzo tarskiano: es la propuesta positiva del lógico polaco.
Desde el punto de vista de Tarski se ha obtenido a través de la misma una contrapartida rigurosa para el concepto pre-formal de consecuencia lógica. Pero la pregunta obvia es: ¿cómo justificar la adecuación del nuevo explicatum al explicandum tradicional?
Véase que esta interrogante equivale a preguntar acerca de la justificación ofrecida por este autor a la que a veces se ha denominado tesis de Tarski, a saber, la aserción que afirma la coincidencia de la noción (formal) modelo-teórica y la noción (pre-formal) de consecuencia lógicaxlix
La respuesta no es simple y ha ocasionado recientemente una importante dosis de controversia histórico-filosófica. El texto clave de Tarski es el siguiente (cursivas J.S.)l:
It seems to me that everyone who understands the content of the above definition [se refiere a la caracterización teórico-modélica de consecuencia lógica] must admit that it agrees quite well with common usage. This becomes still clearer from its various consequences. In particular, it can be proved, on the basis of this definition, that every consequence of true sentences must be true, and also that the consequence relation which holds between given sentences is completely independent of the senses of the extra-logical constants which occur in these sentences. …On the other hand, …since the concept of consequence here defined (in agreement with the standpoint we have taken) is independent of richness in concepts of the language being investigated.
Dado los intereses esencialmente metodológicos de este trabajo la corrección o incorrección de la anterior argumentación tarskiana no es esencial. El aspecto decisivo es la manifiesta pretensión de este autor de defender su caracterización de consecuencia teórico- modélica como un explicatum elucidatoriamente adecuado del explicandum pre-formal arriba discutido. Esta observación es simplemente una reformulación de las palabras del lógico (“primeras” cursivas en el texto inmediatamente anterior). La condición de adecuación de preservación necesaria de la verdad (de premisas a conclusión) es explícitamente recogida (“segundas” cursivas). Asimismo la exigencia de formalidad (“terceras” y “cuartas” cursivas). Etchemendy propone una muy discutible interpretación de esta argumentaciónli. No parece excesivo afirmar las enormes dificultades de extraer una reconstrucción fina de esta última en base a la anterior evidencia textuallii. Felizmente no es necesario contar con ella para poder establecer la tesis fundamental de los desarrollos anteriores, a saber, el papel esencial que, en la evaluación del concepto formal, juega la capacidad de éste de capturar fielmente el concepto pre-formal. Tal fidelidad se evidencia en su capacidad de satisfacer las condiciones de adecuación producidas en el análisis. La superioridad de este explicatum –en comparación con los anteriores candidatos rechazados-
reside precisamente en este comportamiento. El éxito o el fracaso en el juicio evaluatorio tarskiano es indiferente a los propósitos locales (es decir, de este trabajo); el aspecto decisivo es la opción metodológica evidenciadaliii.
6. Mudanza teórica y mudanza elucidatoria
El enfoque inicial propuesto por Tarski de la noción (general) de consecuencia lógica es, como se sabe, axiomático. Se puede sostener que tal enfoque posee una naturaleza sintáctica: el operador de consecuencia que caracterizan los axiomas es básicamente producto de la generalización sobre los operadores de consecuencia propios de cada teoría particular. Estos operadores poseen una definición sintáctica a partir de las reglas de inferencia de las teorías respectivas (cuya noción de “sentencia” se encuentra igualmente caracterizada a partir de reglas sintácticas). Tal operador general no puede entenderse históricamente como el resultado de un esfuerzo de análisis o elucidación del concepto pre-formal, intuitivo de consecuencia lógica. El extraordinariamente valioso trabajo desarrollado por Tarski en esta línea aparece entonces signado por estos dos rasgos:
el énfasis sintáctico y la ausencia de preocupaciones analíticas o elucidatorias (en el sentido preciso que estos términos poseen en el contexto del presente trabajo). Estas tesis no son obvias pero se han justificado detalladamenteliv.
Como surge de la discusión desarrollada en las secciones anteriores, en el escrito de 1936 se produce una notoria apertura a considerar la práctica matemática pre-formal. Si la discusión del primer período se ciñe a relacionar básicamente los niveles de teorías formalizadas y meta-matemática, la discusión de “On the concept of logical consequence”
pone esencialmente en obra intuiciones difíciles de precisar y cuyo origen no se encuentra en el plano de las teorías formalizadas. Tarski explícitamente lo afirma: consideraciones de naturaleza intuitiva conforman el punto de partida de su análisislv. Es evidente que los conceptos que se relacionan como explicandum y explicatum en tal análisis poseen una notable diferencia en términos de rigor o precisión. La estrategia metodológica del mismo ha sido estudiada en detalle en las páginas anteriores.
Existe pues un contraste profundo entre uno y otro enfoque: evidentemente la investigación desarrollada por Tarski en 1936 es de naturaleza meta-matemática o
“metodológica” lvi– al igual que en el primer enfoque-, pero los factores que entran en juego ya no son exclusivamente las teorías matemáticas formalizadas. La noción pre-formal a la que Tarski se refiere difícilmente puede encontrar un lugar en el marco de las indagaciones primigenias. Si se entiende “elucidación matemática” en el sentido precisado por MT –esto es, como una peculiar relación conceptual que vincula una noción pre-formal y una noción formal o matemáticamente tratable- se advierte que el cambio operado entre el primer y segundo enfoque puede describirse como el pasaje de una investigación no- elucidatoria o no-analítica a una investigación de naturaleza analítica o elucidatoria. En realidad, puede arribarse una conclusión más compleja: tal mudanza de perspectiva supone la asunción de una cierta concepción elucidatoria que auspicia la evaluación de lo que aparece - en el primer enfoque- como dato incuestionado ( a saber, las teorías formalizadas
explícito en la reflexión meta-matemática es un rasgo de originalidad notable que exhibe el tratamiento semántico tarskiano del concepto de consecuencia lógica. Un aspecto que no se desarrolla aquí es el de las implicaciones para la meta-matemática y la filosofía de la matemática que tal modelo elucidatorio auspicialvii.
7. Observaciones finales
Tarski asume una continuidad básica entre su esfuerzo y el de sus predecesores
“sintactistas”; tal continuidad se apoya en que comparten el mismo explicandum. Pero, además, el lógico interpreta la totalidad del proceso de análisis de tal concepto pre-formal a la luz del mismo modelo elucidatorio. No hay ningún pasaje del autor que permita sospechar que (en su opinión) tal estrategia pueda conducir a algún tipo de, por así decir,
“incomparabilidad”. Dicho brevemente, no hay ningún indicio en el texto tarskiano para suponer que este autor perciba el cambio de enfoque por él propuesto como lo que se denominaría, en terminología kuhniana, un cambio revolucionario.
No obstante, independientemente de la percepción tarskiana, una pregunta que surge es si la introducción de la semántica formalizada en el tratamiento de las cuestiones meta- matemáticas es, precisamente, un cambio de naturaleza tan radical en la historia de la disciplina. Puede asumirse, en principio, que la respuesta sea negativa. Sin embargo, cabría reconocer que se trata de un cambio fundamental; origina una de las ramas más bellas y activas de la lógica matemática: la teoría de modelos. Parece, por otra parte, que la interpretación de la justificación tarskiana de tal mudanza en el marco del modelo elucidatorio propuesto resulta relativamente clarificadora. ¿Es posible aplicar este modelo a los efectos de reconstruir procesos de cambio matemático en términos históricos más ambiciosos? Sea cual sea la respuesta, esta interrogante plantea un estimulante desafío para aquellos interesados en comprender un tipo de cambio matemático no-revolucionario donde el componente conceptual resulta clavelviii.
Agradecimientos: Deseo agradecer al Dr. Luis Vega Reñón sus valiosos comentarios a una versión preliminar de este escrito. Agradezco asimismo las observaciones de Facundo Ponce de León, Soledad Caño Guiral y Aníbal Corti. Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a un árbitro anónimo por sus útiles comentarios. Los errores que aún persisten son de mi exclusiva responsabilidad.
Referencias
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* Esta es una versión fuertemente modificada y notoriamente ampliada de Seoane, J. [1998].
i Véase Coffa, A. [1975].
ii Algunas modificaciones se encuentran ya en Seoane, J. [2000] pero son desarrolladas aquí.
iii Esta tesis se encuentra sugerida en Etchemendy, J. [1989]. Pero ni se justifica detalladamente ni se explicita la noción relevante de “análisis”. Se espera que este trabajo constituya un modesto aporte en tal dirección.
iv Por detalles históricos, ver nota en Tarski [1936] pág. 409.
v Esta sección así como las secciones 4 y 5 recogen libremente un trabajo anterior: Seoane [1998].
vi Véase Tarski, A. [1936], pág. 409.
vii Una observación análoga puede leerse, por ejemplo, en Tarski [1944] respecto del concepto de verdad.
viii Véase Tarski, A. [1936], pág. 409.
ix Véase A. Tarski [1936] párg. 409.
x Véase Coffa, A. [1975].
xi Una exposición detallada del modelo original se encuentra en Coffa, A. [1975]. Este trabajo motivó una estupenda réplica de Simpson -véase Simpson [1975]. Algunas de las matizaciones del modelo tarskiano fueron introducidas en forma independiente pero coinciden con observaciones de Comesaña, M. [1995].
También se consultó Simpson [1995]. Estos autores, no obstante, se encuentran preocupados exclusivamente (o casi) por las “elucidaciones filosóficas”.
xii Coffa habla de la “línea tarskiana” y del “tarskianismo” en diversas oportunidades –véase, por ejemplo, Coffa (ob.cit.) pág. 54.
xiiiEsta es quizá una buena razón para denominar a tal modalidad (de forma más sensata) “Tarski-Coffa”.Se ha optado, en cambio, por cierto laconismo estilístico en las denominaciones y se ha intentado suplir la (eventual) injusticia con una nota al pie de página.
xiv Debe advertirse que se usa aquí “explicandum” y “explicatum” para referirse a los conceptos mismos, no a las expresiones lingüísticas que los refieren.
xv La justificación de elucidar tal o cual concepto queda fuera del proceso elucidatorio propiamente dicho. Es obvio que dicha justificación, sin embargo, puede ser sometida a crítica: sólo tiene sentido elucidar conceptos penumbrosos y, a la vez, científica o filosóficamente relevantes.
xvi Véase Coffa, A. [1975] pág. 53.
xvii En lo que sigue he usado libremente algunas ideas de T. Koetsier acerca de construcciones y reconstrucciones de un desarrollo matemático aunque las caracterizaciones resultantes difieren sensiblemente de las de este autor –véase Kotsier, T. [1991], pág. 11 y ss.
xviii Quizá convenga enfatizar que los explicata considerados aquí poseen una naturaleza formal i.e. conceptos
matemáticamente caracterizables.
xix Naturalmente puede rigorizarse esta definición pero a los fines presentes se sospecha que este nivel de formalización es ya excesivo.
xx Esta última afirmación es esencial a cualquier modelo elucidatorio y a cualquier tipo de elucidación; en este caso particular, dada la naturaleza matemática del explicatum y el carácter pre-formal del explicandum, el contraste es quizá más inmediato.
xxi Esta noción aparece en Kotsier, T. [1991], pág. 13.
xxii Véase Simpson, Th. [1975].
xxiii Desde el punto de vista tradicional, la diversa naturaleza (formal-informal) de los conceptos en juego se
encuentra en la base de la diferencia entre “tesis” y “teoremas”. Una crítica a tal visión puede leerse en Mendelson [1990].
xxiv Este último aspecto quizá pueda ser visto como difícilmente compatible con algunos textos de Tarski - véase Tarski [1944], versión española pp. 140-141. Como se ha dicho, la presente se trata de una “versión”
del modelo tarskiano.
xxv Estos requerimientos son precisamente los establecidos por Carnap, además de lo que aquí hemos llamado adecuación material y de la adecuación formal –véase Carnap, R. [1950], pp. 5 y ss.
xxvi Por una fundamentación de la misma, véase Coffa, A. (ob.cit.).
xxvii Véase Tarski , A. [1936], pp.409-410.
xxviii Hablo de un sistema axiomático exclusivamente por razones de simplicidad expositiva. Es obvio que
podría tratarse, por ejemplo, de un sistema de deducción natural o de secuentes.
xxix Véase Tarski, A. [1936], pág. 414. Se ha modificado el orden expositivo del texto tarskiano pero se cree que tal alteración no produce ninguna distorsión interpretativa.
xxx Véase Tarski, A. [1936], pp.410-13
xxxi Véase Tarski, A. [1936], pp. 411.
xxxii En formas variadas y con interpretaciones diversas señalan el problema Etchemendy [1990], Gómez
Torrente, M. [1996] y Sagüillo, J. [1997].
xxxiii Véase Sagüillo, J. [1997].
xxxiv El ejemplo es de Shapiro –véase Shapiro, S. [1991], pág. 38.
xxxv Véase Etchemendy, J. [1990], pág. 85.
xxxvi Véase Gómez Torrente, M. [1996], especialmente pp. 127-137.
xxxvii Véase Sagüillo, J. [1997], especialmente pp. 222-232.
xxxviii Véase al respecto Sagüillo, J. [1997] pág. 226.
xxxix Véase Tarski, A. [1936], pp. 410-11.
xl Véase que este es un caso particular de una relevante pregunta general: ¿qué prueba el desacuerdo extensional entre el concepto introducido en me1 y el introducido en mei (i>1)?
xli En cierto sentido, podría decirse que el concepto formal sub-genera, es decir, no es capaz de generar
“todas” las instancias que (de acuerdo al análisis) debiera.
xlii Véase Tarski, A. [1936] pág. 415.
xliii Quizá alguien podría reclamar que F no es una buena elucidación por razones, por así decir, epistémicas:
ocurre en su formulación un concepto tradicionalmente enigmático, a saber, “verdad”. Pero esta problema encuentra su solución -piensa Tarski- en su clásico tratamiento del mismo -véase Tarski, A. [1936], pág. 415.
xliv En cierto sentido, podría decirse que la objeción se funda en la posibilidad de sobre-generación del concepto formal, es decir, genera instancias inaceptables (desde el punto de vista del análisis).
xlv El pasaje de un test “sustitucional” a las ideas de satisfacción y verdad asociado con el tratamiento de la consecuencia lógica ha sido visto como el perfeccionamiento introducido por Tarski de la noción de consecuencia de Bolzano. Véase al respecto Etchemendy, J. [1990].
xlvi Respecto de algunas intuiciones asociadas a la idea clásica de preservación de la verdad en la argumentación válida puede verse J. Seoane [1997].
xlvii A. Tarski [1936], pág. 417.
xlviii El lector sensatamente puede preguntarse por qué, simplemente, no se remitió a las definiciones
habituales de los conceptos de “interpretación”, “modelo” y, en síntesis, de “consecuencia teórico-modélica”.
Aunque tradicionalmente se identifican básicamente las nociones estándar con las introducidas por Tarski en 1936, en tiempos relativamente recientes tal asunción se ha cuestionado –véase Etchemendy [1988] y [1990].
Un aspecto decisivo al respecto es si el lógico polaco admite la variación del dominio de la interpretación a
los efectos de testar las nociones lógicas. Una interpretación literal de la definición citada parece estimular una interpretación negativa (tal es la posición de Etchemendy); muy valiosos argumentos históricos en dirección contraria pueden leerse en Gómez Torrente, M. [1996].
xlix Véase Sher, Sh. [1996].
l A. Tarski [1936], pág. 417.
li Tal interpretación le lleva a hablar de la falacia de Tarski –véase Etchemendy, J. [1990], cap. 6. Una opinión disidente se encuentra en Sher, G. [1996].
lii En esta dirección opina Sher, G. [1996].
liii El optimismo elucidatorio que transmite la última cita tarskiana quizá pueda decirse que contrasta con los reparos respecto a la posibilidad de caracterizar de forma objetiva la clase de las constante lógicas que expresa el lógico hacia el final de su escrito. Es decir, ¿es compatible la evaluación satisfactoria (qua elucidación) del enfoque teórico-modélico con la admisión del estado abierto del problema de la caracterización de las constantes lógicas? Este problema (obviamente de la mayor importancia) no modifica los rasgos metodológicos atribuidos a Tarski en este trabajo.
liv Véase Seoane, J. [2002].
lv Véase el texto citado arriba, nota XXV.
lvi En el sentido en que Tarski usa esta palabra. Sobre la importancia de la obra de Tarski en el desarrollo de la investigación metodológica de las ciencias deductivas véase, por ejemplo, Corcoran, J. [1983].
lvii Algunas observaciones en esta dirección se encuentran en Seoane, J. [1998].
lviii Debiera ser evidente que no se pretende haber estudiado aquí el “cambio semántico” en un sentido
histórico comprehensivo; sólo se ha emprendido la tarea muchísimo más modesta de entender mejor el análisis tarskiano.
