Números Amigáveis

TK111 - PERFIL HISTÓRICO DOS NÚMEROS AMIGÁVEIS ANTES DE EULER

John A. Fossa

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN [email protected]

Sarah Mara Silva Leôncio

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN [email protected]

Resumo

O presente artigo mostra a origem do conceito de números amigáveis na antiguidade e seu parentesco com o de números perfeitos. Ainda explica o método de achá-los de Thabit ibn Qurra e os três pares que ele obteve, bem como a redescoberta independente do método por Fermat e Descartes. Finalmente, explica o procedimento algébrico de van Schooten e sua influência sobre Euler.

Palavras-chave: História de Álgebra; História da Teoria dos Números; Números Amigáveis.

Abstract

The present article delineates the origin of the concept of amicable numbers in Antiquity and its affinity with the concept of perfect numbers. It also explains Thabit ibn Qurra’s method for finding them and the three pairs that he obtained, showing how his method was rediscovered independently by Fermat and Descartes. Finally, it explains the algebraic procedures of van Schooten and the influence that these would have on Euler.

Keywords: History of Algebra; History of Number Theory:

Amicable Numbers.

De acordo com a terminologia antiga, uma parte alíquota de um número inteiro positivo é um divisor positivo do número que é menor do que o próprio número (isto é, se !,! ∈!,com  ! !  e  ! < !, então d é parte alíquota de n). Nesses termos define-se número perfeito como um número que é a soma das suas partes alíquotas (isto é, ! = !_!,onde  !_! !  e  0< !_! < !, ou, equivalentemente σ ! = 2!, onde σ é a função “soma dos divisores”). Em Proposição IX.36 dos seus Elementos, Euclides deu o seguinte método para achar números perfeitos:

Somar os termos iniciais da progressão dupla até se achar um número primo. Multiplicar essa soma pelo último termo somado. Esse produto será um número perfeito.

A dupla progressão é a sequência 1,2,4,8,⋯,2^!,⋯ O primeiro número perfeito é achado da seguinte maneira: 1+2= 3, que é primo; logo, 3×2=6 é perfeito.

Novamente, 1+2+4= 7, o que é primo; logo, 7×4= 28 é perfeito. Quando a soma parcial não é primo, como no caso 1+2+4+8=15, nenhum número perfeito é gerado.

Visto que o n-ésimo termo da progressão dupla é 2^!!! e que a soma destes termos é dada por 2^! −1, a referida proposição de Euclides é equivalente a

(2^!−1)2^!!! será perfeito sempre que 2^! −1 é primo.

Aliado ao conceito de número perfeito, há o de números amigáveis, ou seja, dois números tais que a soma das partes alíquotas de cada um é igual ao outro (isto é,

! = !_!,onde  !_! !  e  0< !_! <! e != !_!,onde  !_! !  e  0< !_! < !). O menor par de números amigáveis é (220, 284). Esse par foi conhecido na antiguidade, mas não se sabe como foi achado. Fossa (em preparação) sugere que foi descoberto numa tentativa empírica de verificar¹, ou falsificar, uma conjetura de Nicômaco de Gerasa que implica que não há número perfeito algum entre 28 e 496.

Thabit Ibn Qurra

Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani (836-901) foi um importante astrônomo, matemático e médico que trabalhava por muitos anos em Bagdá. Fez parte de uma comissão que traduziu Os Elementos e, portanto, certamente conhecia o trabalho de Euclides sobre os números perfeitos. Brentjes & Hogendijk (1989, p. 374) sugerem que Thabit veio a conhecer o conceito de números amigáveis a partir da Introdução à Aritmética de Jâmblico, embora, podemos observar, o referido conceito era bastante divulgado no meio astronômico e, assim, ele poderia tê-lo conhecido independentemente da obra de Jâmblico. Mesmo assim, a tradição grega só lhe proporcionaria um único par de números amigáveis – o já mencionado par (220, 284)                                                                                                                          

1 Observe que a proposição citada de Euclides só afirma que, se o número tiver certa forma, será perfeito.

Não afirma que todos os números perfeitos têm a referida forma.

– e nenhum método para achar outros. A contribuição do próprio Thabit, no entanto, foi o desenvolvimento de um método do referido tipo.

Para razões de brevidade e precisão, seguimos Dickson (1952, p. 39) e damos o método de Thabit em notação algébrica moderna:

Sejam

!= !+2^!

!= !−2^!!!

! =1+2+2^!+⋯+2^!

!= 2^!!!+2^!!! 2^!!! −1, com n ≥ 2. Então, se x, y e z são primos,

2^!!" e 2^!! são amigáveis.

Podemos ainda simplificar essas expressões por eliminar t das fórmulas para x e y e manipular a fórmula para z, assim obtendo:

!=3∙2^! −1

!=3∙2^!!!−1

!=9∙2^!!!!−1.

Para n = 2, 4 e 7, x, y e z são todos primos. No entanto, para n = 3, z = 287; para n = 5, x = 95; e para n = 6, y = 95. Para estes valores, portanto, não achamos números amigáveis. Para aqueles, os resultados podem ser sistematizados da seguinte maneira:

  Os  Primos   Os  Amigáveis  

n   x   y   z   2^!!"   2^!!  

2      11      5              71                  220                  284  

4      47   23      1151          17296          18416  

7   383   191   73727   9363584   9437056  

Thabit, no seu trabalho não menciona os dois novos pares. Brentjes &

Hogendijk (1989) argumenta que ele calculou o par correspondente ao n = 4, mas não ao n = 7. Fossa (em preparação), no entanto, argumenta que ela calculou todos os dois novos pares.

Com o aumento do tamanho de n, torna-se mais difícil de efetuar os cálculos e, talvez o que seja mais importante, de decidir se os valores obtidos para x, y e z são, ou

não, primos. Usando os recursos de computação eletrônica, porém, verificamos que o método de Thabit não fornece outros pares de números amigáveis para n > 100 (e, de fato, ninguém tem achado mais um par usando o referido método).

É importante salientar também que o método de Thabit é uma extensão natural do método de Euclides para achar números perfeitos. Efetivamente, os dois métodos começam com a progressão dupla e usa a mesma para definir números primos que acabam gerando o tipo de número procurado, perfeito no caso de Euclides e amigável no caso de Thabit. Observamos ainda que o trabalho de Thabit não foi conhecido no Ocidente e, portanto, quando Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596- 1650), entre outros, começaram a se interessar nos números amigáveis, só conheceram o par (220, 284) e ainda não conheceram qualquer método para gerar novos pares.

Fermat

Com a chegada à Europa de textos árabes de astrologia, o conceito de números amigáveis ficou conhecido por matemáticos desta região. Segundo Dickson (1952), vários destes matemáticos, incluindo Nicolas Chuquet (1445-1500), Michael Stifel (1486-1567), Girolamo Cardano (1501-1576) e Nicolo Fontana (“Tartaglia”, 1499- 1557) mencionaram o mesmo, embora se limitassem a expor o próprio conceito e dar o exemplo de (220, 284). O primeiro “avanço” veio com Fermat, um dos poucos matemáticos (embora ele fosse matemático amador) da época que se interessavam na Teoria dos Números. Visto, porém, que não escreveu um tratado sobre essa área da matemática, somos restritos à sua correspondência e o testemunho dos seus contemporâneos para descobrir seu pensamento sobre a referida área da matemática. A correspondência, no entanto, tem duas falhas, sendo a primeira a sua incompletude. A segunda falha é um curioso característico do meio científico da época, a saber, devido às rivalidades entre os principais, frequentemente esconderam detalhes e fizeram outras jogadas na sua correspondência. Em relação aos números amigáveis, Fermat anunciou em várias cartas a sua “descoberta” do par (17296, 18416), bem como um método para descobri-los.

Não temos uma explanação do próprio Fermat sobre seu método, mas o mesmo foi preservado por Marin Mersenne (1588-1648) na sua obra Seconde Partie de l’Harmonie Universelle, publicada em 1637 e reproduzido em Fermat (1894).

Segundo a explicação de Mersenne, o método de Fermat consiste dos seguintes passos (as expressões algébricas são acréscimos nossos):

III. 5, 11, 23, 47, ⋯,3×2^!−1 I. 2, 4, 8, 16, ⋯,2^!

II. 6, 12, 24, 48, ⋯,3×2^!

IV. 71, 287, 1151, ⋯, 3×2^! × 3×2^!!! −1.

Inicia-se com (I.) a progressão dupla e, abaixo dela escreve-se (II.) seus elementos multiplicados por 3. Em seguida, põe-se (III.) os elementos de linha II, diminuídos pela unidade, acima da linha I. Finalmente, escreve-se (IV.) abaixo de cada elemento da linha II, começando com o segundo, o produto, diminuído pela unidade, deste elemento com o seu predecessor. Para gerar números amigáveis, basta localizar dois números primos em posições sucessivas na linha III e certificar se o elemento da linha IV, na mesma coluna da do segundo desses primos, também seja primo. Neste caso, o produto do elemento da linha I na referida coluna com os dois primos da linha III produz um número amigável, cuja par é dado pelo produto do mesmo elemento da linha I com o referido primo da linha IV. Em particular, os primeiros dois elementos da linha III, 5 e 11, são primos. O mesmo acontece com 71, o elemento da linha IV na mesma coluna que 11. Assim, (4×5×11, 4×71) = (220, 284) é um par de números amigáveis. De novo, 11 e 23 são primos, no entanto, o elemento correspondente da linha IV, 287, não é primo e, portanto, não se gera um par de números amigáveis.

Mais uma vez, temos que 23, 47 e 1151 são primos. Assim, (16×23×47, 16×1151) = (17296, 18416).

É claro que, apesar de algumas pequenas diferenças de organização (como o fato de que Thabit começou a progressão dupla com 1 enquanto Fermat começou com 2), o método de Fermat é o mesmo que o de Thabit. Com efeito, seja 3×2^!−1 o elemento da n-ésima coluna no método de Fermat. Então seu predecessor será 3×2^!!!−1, enquanto o elemento da n-ésima coluna de linha IV será 9×2^!!!! −1.

Estes números são respectivamente os números x, y e z estipulados por Thabit. Poderia parecer que a identidade dos dois métodos seja evidência prima facie de que Fermat conhecia o trabalho de Thabit. Isto, no entanto, seria um erro, pois a semelhança dos dois métodos advém do fato de que os dois matemáticos se guiaram, nas suas investigações sobre números amigáveis, pela mesma fonte, a saber, o procedimento de

Euclides para achar números perfeitos. Assim, não há nada surpreendente na semelhança dos seus métodos. Curiosamente, Fermat, por exemplo, numa carta para Roberval (Fermat, 1894, 72) se referiu a esse tipo de número pela frase², números “qui font la même chose que 220 et 284, c’est-à-dire que les parties du premier égalent le second et celles du second le premier” e, assim, não usou o nome chamativo “números amigáveis”. Também, afirmou, um tanto apressadamente, que o seu método produz um número infinito de pares de números amigáveis.

Descartes

Descartes era creditado com a “descoberta” do terceiro par de números amigáveis, ou seja, o par (9363584, 9437056). Para tanto, ele estipulou que 3!− 1,6!−1  e  18!^!−1, onde t é uma potência de 2, sejam todos números primos. Neste caso, 18!^!−1 2! será um número amigável. Aparentemente calculava o par deste por somar as suas partes alíquotas, pois em Descartes (1898, p. 93-94), uma carta para Mersenne, ele apenas disse que “fiet numerus cuius partes aliquotæ dabunt alium numerum, qui vice verſa partes alíquotas habebit æquales numero præcedenti”. Não obstante, é claro que o referido par será dado por 3!−1  6!−1 2!.

Ao colocar != 2^!!!, vemos que as fórmulas de Descartes são exatamente as mesmas de Thabit e Fermat. Assim, os três pares de números amigáveis já achados por Thabit são dados, respectivamente, por ! =2,!= 2^!  e  != 2^!. Se Descartes avançou mais do que Fermat, portanto, foi porque teve mais paciência para fazer os cálculos necessários para achar o terceiro par. Para o crédito de Descartes, porém, ele reconheceu, numa carta ao Mersenne, que o seu método era igual ao de Fermat (ver Descartes, 1898, p. 148).

van Schooten

Frans van Schooten (1615-1660) era um matemático holandês que advogava os novos métodos algébricos na matemática. Assim, quando abordou os números amigáveis, no seu livro³ Exercitationum mathematicarum libri quinque, ele não tencionava descobrir novos pares deste tipo de número, mas apenas queria explicar o método de Descartes para achá-los, usando explicitamente, para tanto, procedimentos                                                                                                                          

2 Na citação “font” = sont, pois o signo para s inicial parecia o que usamos para f.

3 Ver Schooten (1657).

algébricos. Dada essa finalidade, porém, ele já sabia a resposta do problema (os três pares até então conhecidos), o que lhe levou a assumir que a forma algébrica dos números amigáveis será (ax, ayz), onde a é uma potência de 2 e x, y, z são três números primos ímpares distintos.

O primeiro caso que analisou era o de a = 4. Visto que as partes alíquotas de 4x são 1, 2, 4, x e 2x, pois x é um primo ímpar, obteve, da definição de números amigáveis,

1+2+4+!+2!= 7+3!= 4!",

ou seja, != ^!!"!!

! . Semelhantemente, a partir das partes alíquotas de 4yz, obteve

1+2+4+!+2!+4!+!+2!+4!+!"+2!"= 4!,

ou seja, 4!=!"!"!!"

! . Ao eliminar o x das duas equações, tem-se

7!"−21! =21!+49, que simplifica a ! =3+ ^!"

!!!.

Sempre tendo em mente que y e z devem ser números primos ímpares distintos, conclui-se, por inspeção, que a única solução é dada por z = 5, y = 11 (a solução simétrica, z = 11, y = 5, não é, de fato, uma solução distinta desta). Usando esses valores, se calcula que x = 71 e, portanto, que (4×71, 4×11×5) = (284, 220) é um par de números amigáveis.

Procedendo de forma semelhante para outros valores de a (que é sempre uma potência de 2), van Schooten calculou os outros dois pares de números amigáveis conhecidos da sua época.

Conclusão

O procedimento de van Schooten, embora não resultasse em novos exemplos de números amigáveis, foi uma marca importante no desenvolvimento da teoria sobre esse assunto. Anteriormente, o procedimento era essencialmente aritmético e parasítico do trabalho de Euclides e, na verdade, van Schooten, ao abordar o assunto algebricamente, incorporou a suposição de que todo par de números amigáveis teria a

forma (2^!!,2^!!"). Foi exatamente essa suposição que Leonhard Euler (1747)⁴, no seu primeiro trabalho publicado sobre números amigáveis, negaria explicitamente.

Não obstante, foi seu uso habilidoso dos métodos algébricos promovidos por van Schooten que lhe permitiu fazer um progresso inédito sobre a teoria deste tipo de número.

Referências Bibliográficas

BRENTJES, Sonja; HOGENDIJK, Jan P. Notes on Thābit ibn Quarra and his rule for amicable numbers. Historia mathematica. 1989, v. 16, p. 373-378.

DESCARTES, René. Ouevres de Descartes. Tome II: correspondence. ADAM, Charles et TANNERY, Paul (eds). Paris: Léopold Cerf, 1898.

DICKSON, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers. Volume I: Divisibility and primality. New York: Chelsea, 1952.

EULER, Leonhard. De numeris amicabilibus.Nova acta eruditorum, 1747, maio, p.

267-269. [E100.]

FERMAT, Pierre de. Oeuvres de Fermat. TANNERY, Paul; HENRY, Charles (Eds.).

Tome Deuxième (Correspondance). Paris: Gauthier-Villars, 1894.

FOSSA, John A. Introdução à história dos números amigáveis. Em preparação.

FOSSA, John A.; LEÔNCIO, Sarah Mara Silva. “Sobre números amigáveis”, de Leonhard Euler: Tradução e Comentário. Revista brasileira de história da matemática, 2009, v. 9, n. 17, p. 87-90.

SCHOOTEN, Francisci à. Exercitationum mathematicarum libri quinque. Leydensis [Leiden (Holanda)]: Johandis Elsevirii, 1657.

4 A tradução deste artigo encontra se em Fossa e Leôncio (2009).