Sumário
• Autovalores e Autovetores
• Polinômio característico
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Autovalores e Autovetores
• Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber que vetores seriam levados neles
mesmos por essa transformação
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores vV tais que T(v) = v?
• v é chamado de vetor fixo
• Obviamente, a condição é válida para v igual ao vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, vamos desconsiderá-lo
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
Quais os vetores vV tais que T(v) = v?
I:R2 → R2
(x, y) → (x, y)
Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)R2
Transformação Identidade
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
Quais os vetores vV tais que T(v) = v?
rX:R2 → R2
(x, y) → (x, -y)
Ou
Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é mantido fixo pela transformação rx. De fato:
Reflexão no Eixo-x
x
y 1 0 0 -1
x
→ y
w→
rXrX(w)
x x
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
Ainda mais, esses vetores são únicos com essa propriedade já que:
Reflexão no Eixo-x
x 1 0 y
0 -1
x
y
=Cont.
x + 0y = x 0x – y = y
x = x
y = -y y = 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3:
N:R2 → R2
(x, y) → (0, 0)
Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0) Transformada nula
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Autovalores e Autovetores
• Considere o seguinte problema: dada uma transformação linear de um espaço vetorial
T:V→V, estamos interessados em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si
mesmos; isto é, procuramos um vetor vV e um escalar λR tal que:
T(v) = λ.v
• Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção que v
Na mesma reta suporte
Autovalores e Autovetores
• Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, estamos interessados em v0
• O escalar λ é chamado de autovalor ou valor característico de T
• O vetor v é chamado de autovetor ou vetor característico de T
• Chamaremos de Operador Linear à transformação T:V→V
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Autovalores e Autovetores
• Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se existirem vV, v0 e λR tais que Tv = λv, λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T
associado a λ
• Observe que λ pode ser zero enquanto v não pode ser o vetor nulo
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
Encontre o autovalor e autovetor da transformação.
T:R2 → R2
v → 2v
Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)(0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2
x
y 2 0 0 2
x
→ y = = 2x
22y
x
y
Autovalores e Autovetores
• Observe que T(v) é sempre um vetor de mesma direção que v. Então, se:
λ < 0, T inverte o sentido do vetor;
|λ| > 1, T dilata o vetor;
|λ| < 1, T contrai o vetor;
λ = 1, T é a identidade;
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
rx:R2 → R2
(x, y) → (x, -y)
Os vetores da forma são tais que:
x
y 1 0 0 -1
x
→ y
0 y
1 0 0 -1
0
y = =
-10
-y
0 y
Assim, todo vetor (0,y), y 0, é autovetor de r com autovalor λ=-1
Encontre um autovetor e o autovalor correspondente E para os vetores (x, 0) quem é o autovalor?
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por essa transformação
• rx (x, 0) = 1.(x, 0)
Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1, com x 0
Assim, existem dois autovalores para essa
transformação com um autovetor associado a cada autovalor
Cont.
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem
rx:R2 → R2
(x, y) → (-y, x)
Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num múltiplo de si mesmo
Logo, T não tem autovalores (consequentemente, também não tem autovetores)
x
y 0 -1 1 0
x
→ y = -y
x
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
Seja A =
Então
e TA(x, y) = (2x + 2y, y)
Para procurar os autovalores e autovetores de TA resolvemos a equação TA(v) = λv
Ou seja....
2 2 0 1
x
A
.
=y
=2x + 2y y
2 2 0 1
x
y
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
i) Se y0, de (2) temos λ = 1 2x + 2y = x y = -½x
autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x0
ii) Se y = 0 x 0 (senão, o autovetor seria o vetor nulo). De (1), 2x + 0 = λx λ = 2. Logo, o outro
autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x 0
Assim, para essa transformação T temos autovetores (x,-½x), x0, associados ao autovalor 1 e os
autovetores (x, 0), x 0, associados ao autovalor 2
λx
= λ
.
=λy
2x + 2y y
x y
Cont.
2x + 2y = λx y = λy
(1) (2)
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Autovalores e Autovetores
• Teorema: Dada uma transformação T:V→V e um autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer
vetor w = v ( 0) também é autovetor de T associado a λ
• Definição: O subespaço Vλ = {vV: T(v) = λv} é chamado de subespaço associado ao autovalor λ
Polinômio Característico
• Exemplo: Seja
Procuramos vetores vR3 e escalares λR, tais que A.v = λ.v (T(v) = λ.v)
Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, então a equação acima pode ser escrita na forma
• Av=(λI)v,
• ou ainda (A – λI)v = 0
Explicitamente...
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
A =
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Polinômio Característico
• Exemplo:
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
Cont.
—
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
x y z
=
0 0 0
4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
x y z
=
0 0 0
Polinômio Característico
• Exemplo:
Para solução do sistema, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a solução única será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo)
Como estamos procurando autovetores v0, para satisfazer a condição acima precisamos ter:
Cont.
= 0 det
4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
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Polinômio Característico
• Exemplo:
(4 – λ).(1 – λ).(2 – λ) + 2.(2 – λ) = 0
-λ3 + 7λ2 - 16λ + 12 = 0
(λ – 2)2(λ - 3) = 0
Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio
característico de A e, portanto, os autovalores da matriz A são 2 e 3
Conhecendo os autovalores, podemos buscar os
autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada autovalor
Cont.
Polinômio Característico
Polinômio Característico
• Exemplo:
λ = 2:
Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço [(0,0,1)]
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x y z
= 2
x y z
4x + 2y = 2x
-x + y = 2y x = -y
y + 2z = 2z y = 0 x = 0
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Polinômio Característico
• Exemplo:
λ = 3:
Logo, os autovetores são do tipo (-2y, y, y) para o autovalor λ = 3. Ou seja, pertencem ao subespaço [(-2,1,1)]
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x y z
= 3
x y z
4x + 2y = 3x
-x + y = 3y x = -2y y + 2z = 3z y = z
Polinômio Característico
• De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A são aqueles que
satisfazem det(A – λI) = 0
• P(λ) = det(A – λI) é um polinômio de grau n e é o polinômio característico da matriz A
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Seja:
-3 4 -1 2
A = det(A – λI) = det
-3-λ 4 -1 2
-λ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ)
P(λ) = 0 λ2 + λ – 2 = 0
(λ - 1)(λ + 2) = 0 λ = 1 ou λ = -2
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Autovetores:
i) Para λ = 1
Cont.
-3 4 -1 2
x
y
= 1.x y
-3x + 4y = x
-x + 2y = y x = y
v = (x, x), x 0
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Autovetores:
ii) Para λ = -2
Cont.
-3 4 -1 2
x
y
= -2.x y
-3x + 4y = -2x x = 4y -x + 2y = -2y x = 4y
v = (4y, y), y 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8) Encontre a transf. linear T:R2 → R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3
associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) respectivamente.
• Solução:
De maneira geral, temos:
a b
c d
x y
x
= . = y ax + by cx + dy
x
y ax + by = x
x(a - ) + by = 0
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
i) = -2
Mas, para = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 3y:
x(a + 2) + by = 0 cx + y(d + 2) = 0
Cont.
3y(a + 2) + by = 0
3cy + y(d + 2) = 0 3a + b = -6
3c + d = -2
(I)
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
i) = 3
Mas, para = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = -2y:
x(a - 3) + by = 0 cx + y(d - 3) = 0
Cont.
-2y(a - 3) + by = 0
-2cy + y(d - 3) = 0 -2a + b = -6
-2c + d = 3
(II)
De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
Logo:
Cont.
a b
c d
T = = 0 -6 -1 1
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) Ache os autovalores e autovetores da transformação T:R3 → R3 tal que (x, y, z) → (x + y, x – y + 2z, 2x + y – z).
• Solução:
x + y x – y +2z
2x + y - z =
x y z
1 1 0
1 -1 2
2 1 -1
=
x y z x
y z
Use
det(A – λI) = 0
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
1- 1 0 1 -1- 2 2 1 -1-
det = 0
(1 – )(-1 – )2 + 4 – 1.(-1 – ) – 2.(1 – )= 0 (1 – )(-1 – )2 + 4 + 1 + – 2 + 2= 0
(1 – )(-1 – )2 + 3 + 3 = 0 (1 – )(1 + )2 + 3(1 + ) = 0 (1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
(1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0 (1 + )[1 – 2 + 3] = 0
(1 + )(4 – 2) = 0
(1 + )(2 – )(2 + ) = 0 Autovalores:
1 = -1, 2 = 2, 3 = -2
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
Autovetores (de forma geral):
x + y = x
x – y + 2z = y 2x + y – z = z
x + y x – y +2z
2x + y - z =
x y z
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a 1 = -1:
x + y = -1x
x – y + 2z = -1y 2x + y – z = -1z
y = -2x z = -x/2
Logo, o autovetor associado ao autovalor 1 é:
v (x, -2x, -x/2) [(1, -2, -1/2)]
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a 2 = 2:
x + y = 2x
x – y + 2z = 2y 2x + y – z = 2z
y = x z = x z = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor 2 é:
v2 (x, x, x) [(1, 1, 1)]
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4)
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a 3 = -2:
x + y = -2x
x – y + 2z = -2y 2x + y – z = -2z
y = -3x z = x z = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor 3 é:
v (x, -3x, x) [(1, -3, 1)]
Hoje vimos...
• Autovalores e Autovetores
• Polinômio característico
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Exercícios Sugeridos
• 2
• 3
• 4
• 7 a 18
• 22
A Seguir...
42
