Parte 1 Espa¸cos de Banach

(1)

Espa¸cos de Banach

1.1 Espa¸cos Normados

Defini¸cão 1.1. Seja X um espa¸co vetorial sobreK�K=�ouK=R). Uma semi-norma em X é uma aplica¸cão p:X→ [0,+^∞[que satisfaz as seguintes propriedades:

�N1) p�λx) = |λ| ·p�x), ∀x∈X,∀λ∈K;

�N2)�Desigualdade triangular) p�x+y)≤p�x) +p�y), ∀x,y ∈X.

Se p satisfaz a propriedade adicional

�N0) p�x) =0⇒ x=0,

p ´e dita uma norma em X e neste caso ´e usual escrever�x�no lugar de p�x).

Observe que sepé uma semi-norma emXentão segue imediatamente de�N1)que p�0) = 0. De fato, p�0) = p�0·0) = 0·p�0) = 0 (note que estamos usando o mesmo s´ımbolo “0” para denotar tanto o elementro neutro de K quanto o de X). Assim, p será uma norma se o único vetorx ∈ Xcom p�x) = 0 é o vetor nulo. Estaremos mais interessados nas normas, embora as semi-normas aparecerão em alguns momentos.

Um espaço normado é um espaço vetorial sobre K munido de uma norma. Ve- jamos alguns exemplos.

Exemplo 1.2. O corpo K (visto como espaço vetorial sobre si pr óprio) é um espaço normado se o equiparmos com a norma�λ�=|λ|.

1

(2)

Mais geralmente, K^p ´e um espac¸o normado, pois sabemos de cursos anteriores que �x� = ^�|x^�¹⁾|²+|x^�²⁾|²+· · ·+|x^�^p⁾|²^�

1

2, onde x = �x^�¹⁾,x^�²⁾, . . . ,x^�^p⁾), é uma norma em K^p. É fácil verificar que �x�₁ = |x^�¹⁾|+|x^�²⁾|+· · ·+|x^�^p⁾| e �x�∞ = max{|x^�¹⁾|,|x^�²⁾|, . . . ,|x^�^p⁾|}também são normas emK^p. As duas últimas normas são mais fáceis de se trabalhar e equivalentes à primeira (num sentido que precisaremos mais adiante).

Para o pr óximo exemplo, lembramos que se A é um espaço topol ógico e f uma função f : A→ K, então f é cont´ınua ema ∈ Ase, para todoε >0, existir um aberto VdeAcontendoatal que|f�x)−f�a)|�_{ε, se}_x∈V.

Exemplo 1.3. Seja A�=^�um espaço topol ógico, e consideremos agora o espaço vetorial�_b�A)constitu´ıdo de todas as funç ões f : A → K que são cont´ınuas e limitadas.

Deﬁnimos para f ∈ �_b�A)

�f�=sup

x∈A

|f�x)|.

Observe que pelo fato de f ser limitada tal supremo é finito. Então �f� ∈ [0,+^∞[. Afirmamos que� · � é uma norma em�_b�A). De fato, se�f� = sup_x_∈_A|f�x)| = 0, então|f�x)|=0 para todox ∈ A. Logo, f é a função nula e�N0)está mostrada. Para mostrar�N1)observe que para cadax∈ A

|λf�x)|=|λ| |f�x)| ≤ |λ| sup

x∈A

|f�x)|=|λ| �f�.

Então|λ| �f�é uma cota superior do conjunto{|λf�x)|:x ∈A}. Então sup_x_∈_A|λf�x)| ≤

|λ| �f�, o que nos mostra que �λf�x)� ≤ |λ| �f�. Por outro lado, se λ �= 0, temos que|f�x)| = |λ| |λ⁻¹| |f�x)| = |λ⁻¹| |λf�x)| ≤ |λ⁻¹| �λf�, e portanto, tomando o supremo,�f� ≤ |λ⁻¹| �λf�, ou seja|λ| �f� ≤ �λf�. Assim|λ| �f�=�λf�, seλ�=0.

Porém, seλ = 0 a igualdade é imediata e portanto ela é valida para qualquerλ ∈K.

Finalmente, se f,g ∈ �_b�A)ex∈ A,

|f�x) +g�x)| ≤ |f�x)|+|g�x)| ≤ sup

x∈A

|f�x)|+sup

x∈A

|g�x)|=||f�+�g�. Portanto�f +g�=sup_x_∈_A|f�x) +g�x)| ≤ ||f�+�g�, o que demonstra�N2).

1.2 A topologia da norma

SeXé um espaço normado, entãoXé também um espaço métrico, onde a métrica

é dada pord�x,y) =�x−y�. É quase que imediato qued é de fato uma métrica emX.

(3)

Dizemos qued ´e induzida pela norma deX.

A topologia deX é definida a partir desta métrica: Abola abertacentrada emx₀de raior >0 é o conjunto B�x₀,r)^def={x ∈ X : �x−x₀� �_r}. Um conjunto é aberto em Xse é a reunião (finita ou não) de bolas abertas. Equivalentemente, um subconjunto V ⊂Xserá aberto se para todox₀∈Vexistir umr>_{0 tal que}_B�x₀,r)⊂V.

Os outros conceitos topol ógicos são definidos a partir destes abertos. Um conjunto Fserá fechado emXse seu complementar X\Ffor aberto emX. Denotaremos abola fechadacentrada em x₀de raior > _{0 por}_B[x₀,r] ^def= {x ∈ X : �x−x₀� ≤ r}. Verifique que de fatoB[x₀,r]é um conjunto fechado.

Um pontox₀ ∈X é chamado deaderenteao conjuntoZ⊂Xse toda bola centrada emx₀interceptaZ. Isso significa que há pontos deZarbitrariamente pr óximos de x₀. O fecho de um subconjuntoZdeX é conjunto de seus pontos aderentes e é denotado porZ. É fácil ver queZ é o menor fechado que contémZ.

Uma sequência�x_n)_n_∈_N⊂X convergeparax ∈Xse, para todoε>_{0 existe}_n₀ ∈N tal que n > _n₀ ⇒ �x_n−x� � ε. Neste caso, dizemos que �x_n)_n é uma sequência convergente em X e que x é limite de �xn)_n. Algumas propriedades das sequências convergentes estão destacadas nos exerc´ıcios.

Vejamos agora algumas propriedades da topologia da norma. Lembramos que se Ye Zs˜ao espac¸os normados, estaremos considerando emY×Za topologia produto.

Um conjunto é aberto em tal topologia se é reunião de conjuntos da formaU×Vonde U é aberto emYeV é aberto emZ.

Proposi¸cão 1.4. Seja X um espa¸co normado. Então, são cont´ınuas as aplica¸cões

• S :X×X→ X dada por S�x,y) =x+y;

• M:K×X →X dada por M�λ,y) =λy;

• N: X→ Rdada por N�x) = �x�.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos primeiramente que a soma ´e cont´ınua.

Seja �x0,y0) ∈ X×X. Dado ε > 0, tomando o aberto W = B�x0,₂^ε)×B�y0,₂^ε),

(4)

teremos que

�u,v)∈W ⇒ �u−x₀�� ^ε

2 e�v−y₀�� ^ε 2

⇒ ��u+v)−�x₀+y₀)� ≤ �u−x₀�+�v−y₀��_ε

⇒ �S�u,v)−S�x₀,y₀)��_ε,

o que mostra queS ´e cont´ınua em�x₀,y₀).

Deixaremos a multiplicação como exerc´ıcio. Para mostrar que a norma é cont´ınua, observe que para quaisquerx,y∈Xvale a desigualdade

|�x� − �y�| ≤ �x−y�.

De fato se x,y ∈ X, �x� = �x−y+y� ≤ �x−y�+�y� e portanto �x� − �y� ≤

�x−y�. Trocandoyporx, obtemos�y� − �x� ≤ �x−y�. Logo,

|�x� − �y�|=max{�x� − �y�,−��x� − �y�)} ≤ �x−y�.

Isso mostra que|N�x)−N�y)| ≤ �x−y�, sendo N uma contrac¸˜ao e portanto (uni- formemente) cont´ınua.

A proposição anterior mostra que as operaç ões de espaço vetorial são compat´ıveis com a topologia da norma. Vejamos uma consequência. Antes, lembramos que seX é um espaço métrico eZ⊂X, entãox∈Zse e somente se existe uma sequência contida emZconvergindo parax.

Proposi¸cão 1.5. Seja X um espa¸co normado e S um subespa¸co vetorial de X. Então o fecho que S também é um subespa¸co vetorial de X

Demonstra¸cão. Claro que 0 ∈ S, pois 0 ∈ S eS ⊂ S. Sejamx,y ∈ S e λ ∈ K. Então existem sequências �xn)_n,�yn)_n ⊂ S com xn → x e yn → y. Pela continuidade das operaç ôes emXsegue quexn+λyn → x+λy e comoS é um subespaço de X,�xn+ λy_n)_n ⊂S. Logox+λy ∈S.

1.3 Normas Equivalentes

Dizemos que duas normas � · � e � · �₀ definidas em um espaço vetorial X são equivalentes se geram a mesma topologia em X. Ou seja, se um subconjunto de X

(5)

´e aberto segundo � · � se, e somente se, o for segundo � · �. Assim, os valores �x�e

�x�₀podem ser distintos mas todos os conceitos topol ´ogicos permanecem invariantes se trocarmos a norma� · �pela norma� · �₀emX.

É facil verificar que duas normas são equivalentes se, e somente se, toda bola aberta centrada em x₀ segundo uma norma contém uma bola aberta centrada em x₀ segundo a outra. Destacaremos o seguinte critério:

Proposi¸c˜ao 1.6. Se existirem constantes positivas a e b tais que a�x�₀ ≤ �x� ≤ b�x�₀,

∀x∈X, ent˜ao� · �e� · �₀s˜ao equivalentes.

Demonstra¸cão. Considere uma bola aberta B_�·��x₀,r) segundo a norma � · �. Então, se x ∈ B_�·�₀�x₀,^r_b) então �x−x₀�₀ � ^r

b e portanto �x −x₀� ≤ b�x−x₀�₀ � _r.

Logo B_�·�₀�x0,^r_b) ⊂ B_�·��x0,r). De maneira an´aloga mostramos que B_�·��x0,r·a) ⊂ B_�·�₀�x₀,r).

Exemplo 1.7. As normas deK^pdo exemplo 1.2 s˜ao equivalentes, pois

�x�∞≤ �x� ≤ �x�₁ ≤ p�x�∞. De fato, sex= �x^�¹⁾,x^�²⁾, . . .x^�^p⁾), ent˜ao

�p�max{|x^�¹⁾|,|x^�²⁾|, . . . ,|x^�^p⁾|})^�² ≥ ^�|x^�¹⁾|+|x^�²⁾|+· · ·+|x^�^p⁾|^�²

≥ |x^�¹⁾|²+|x^�²⁾|²+· · ·+|x^�^p⁾|²

≥ ^�max{|x^�¹⁾|,|x^�²⁾|, . . . ,|x^�^p⁾|}^�².

A rec´ıproca da proposição anterior é verdadeira. Veremos a demostração mais adiante quando estudarmos as aplicaç ões lineares.

1.4 Espa¸cos de Banach

Lembramos que uma sequência�x_n)_n_∈Nem um espaço métricoMé dita de Cauchy se, para todoε > 0, exitir umn₀ ∈Ntal qued�xn,xm) � _{ε, se}_n,_m > _n₀. É imediato que toda sequência convergente é de Cauchy. Porém, nem toda sequência de Cauchy

é convergente. Por exemplo, se M = {¹_n : n ∈ N}munido da métrica induzida pela deR, então a pr ópria sequência�¹_n)_n_∈N é de Cauchy mas não converge à nenhum elemento deM. Um espaço metrico é ditocompletose toda sequência de Cauchy converge (em M, claro).

(6)

Defini¸cão 1.8. Um espa¸co normado X é chamado de Espa¸co de Banach se toda sequência de Cauchy em X converge.

Assim, um espaço normado é um espaço de Banach se é um espaço métrico completo em relação à metrica induzida por sua norma. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 1.9.O espaços normadoRé um espaço de Banach, pois sabemos do curso de análise real que toda sequência de Cauchy de n úmeros reais converge.

Exemplo 1.10. Vamos mostrar que R^p é um espaço de Banach. Seja �xn)_n_∈N uma sequência de Cauchy emR^p. Note que aqui cada x_n é uma p-upla de n úmeros reais:

x_n = �x_n^�¹⁾,x^�_n²⁾, . . . ,x^�_n^p⁾). Como�x_n)_n_∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todoε >_0, existe algumn₀ ∈Ntal que

n,m>_n₀ ⇒ �x_n−x_m�=^��x_n^�¹⁾−x^�_m¹⁾)²+ �x^�_n²⁾−x^�_m²⁾)²+· · ·+ �x^�_n^p⁾−x^�_m^p⁾)²^�

12

�_ε.

Em particular, para cadai = 1, 2, . . . ,p, sen,m > _n₀ _então|x^�_nⁱ⁾−x^�_mⁱ⁾| � ε. Isso nos mostra que cada sequência�x_n^�ⁱ⁾)_n é uma sequência de Cauchy emR e portanto converge, pelo exemplo anterior. Defina entãox^�ⁱ⁾ =limnx^�_nⁱ⁾e considerex = �x^�¹⁾,x^�²⁾, . . . ,x^�^p⁾). Claro quex ∈R^p e vamos mostrar que este é o limite da sequência�xn)_n. Seja então ε > _{0. Como}_x^�ⁱ⁾ =lim_nx^�_nⁱ⁾, para cadai =1, 2, . . . ,p, existen_i tal que|x_n^�ⁱ⁾−x^�ⁱ⁾|² � ε²/p, sen >_n_i_{. Se}_k₀=max{n_i : i=1, 2, . . . ,p}, então

n >_k₀ ⇒ �x_n−x�=^��x^�_n¹⁾−x^�¹⁾)²+ �x^�_n²⁾−x^�²⁾)²+· · ·+ �x^�_n^p⁾−x^�^p⁾)²^�

1 2 �_ε,

o que mostra que�x_n)_nconverge paraxemR^p.

Observa¸cão 1.11. Como espaços normados, � é identico aR². Segue então pelo exemplo anterior que� é um espaço de Banach. Consequentemente, �^p também é um espaço de Banach.

Exemplo 1.12. Consideremos agora o espaço �_b�A). Seja �fn)_n uma sequência de Cauchy em�_b�A). Então para todoε >0, existe algumn₀ ∈Ntal que

n,m>_n₀ ⇒ �f_n−f_m�=sup

x∈A

|f_n�x)− f_m�x)|�_ε.

Como no exemplo anterior, vemos que para cada x ∈ A a sequência �f_n�x))_n uma sequência de Cauchy emKe portanto converge (pela observação anterior) para algum α�x)∈K. Defina f : A→Kpondo f�x) = α�x). Observe que, sex∈ Aen,m>_n₀

� _ε+|fm�x)−f�x)|.

(7)

Fazendom→^∞, obtemos que|fn�x)−f�x)| ≤ εpara qualquerx ∈A. Ent˜ao, sup

x∈X

|f_n�x)− f�x)| ≤ ε, sen>_n₀ �∗)

Devemos mostrar que f pertence a�_b�A):

Mostremos inicialmente que f ´e cont´ınua. Sejamx₀ ∈ Aeε>_{0. Usando}�∗)com

ε

3, obtemosn ﬁxo tal que |f_n�x)−f�x)| ≤ ₃^ε, para qualquer x ∈ X. Ora, f_n est´a em

�_b�A). Ent˜ao, existe um abertoVεcontendox0 tal que|fn�x)−fn�x0)|� ^ε

3, sex ∈Vε. Assim, para cadax∈Vε,

|f�x)−f�x₀)| ≤ |f�x)−f_n�x)|+|f_n�x)−f_n�x₀)|+|f_n�x₀)−f�x₀)| ≤ ^ε 3+ ^ε

3+^ε 3 =ε, o que mostra que f é cont´ınua. Claramente f é limitada, pois usando �∗)comε = 1, obtemosnfixo tal que|fn�x)− f�x)| ≤ 1, para qualquerx ∈A, e portanto

|f�x)| ≤ |f�x)− fn�x)|+|fn�x)| ≤1+�fn�. Finalmente, ´e imediato por�∗)que sen>_n₀_ent˜ao

�f_n−f�=sup

x∈X

|f_n�x)− f�x)| ≤ε.

Portanto�f_n)_nconverge para f em�_b�A). Isso completa a demonstrac¸˜ao.

A seguir destacaremos dois casos particulares importantes do exemplo anterior.

Exemplo 1.13. �O espa¸co�_∞₎_{O espaço}�_∞ é definido fazendoA =Nno exemplo anterior. Assim,�_∞ ^def=�_b�N). Note que como toda função f :N→K é cont´ınua (poisN é discreto), segue que�_∞ é o espaço de Banach das sequências limitadas de escalares. Se x= �x_n)_n ∈�_∞_{, então}�x�=sup_n_∈_N|x_n|.

Exemplo 1.14. �Espa¸cos��K))Seja agoraA=Kum espaço topol ógico compacto. Então toda função continua emKé limitada. Denotamos então o espaço�_b�K)simplesmente por��K), o espaço de Banach das funç ões cont´ınuas no compactoK. Em particular se K é o intervalo[a,b]deR, temos o espaço�[a,b]estudado no curso de Análise Real.

Observa¸c˜ao 1.15. Veremos adiante que�_∞ pode ser visto como um espac¸o da forma

��K), ondeK é a compactificação de Stone- ˘Cech deN(Nnão é compacto�).

Vejamos agora um exemplo de espac¸o normado n˜ao completo.

(8)

Exemplo 1.16. �Um espa¸co normado que não é Banach)SejaX =c₀₀o espaço das sequências quase nulas. Ou seja, uma sequência pertence ac₀₀se possui apenas um n úmero finito de termos não nulos. Mostraremos quec₀₀ não é um espaço de Banach. Para tanto, devemos exibir uma sequência de Cauchy emc₀₀que não converge.

Considere a sequência (de sequências quase nulas)�x_n)_ndefinida por x₁ = �1, 0, 0 . . . , 0, 0, . . .),

x₂ = �1,1

2, 0 . . . , 0, 0, . . .) ...

xn = �1,1 2,1

3, . . . ,1

n, 0, . . .) ...

Note que �xn)_n ´e de Cauchy, pois dado ε > _{0, existe} _n₀ ∈ N, n₀ > ¹

ε. Assim, se n>_m>_n₀_,

�xn−xm�=^�^�_��0, 0 . . . , 1

m+1, 1

m+2, . . . , 1

n, 0, 0, . . .)^�^�_�= ¹

m+1 � ¹ n₀ �_ε.

Porém,�x_n)_n não converge em c₀₀. De fato, suponha por absurdo que�x_n)_n convirja para algumx = �x^�¹⁾,x^�²⁾, . . .)∈c₀₀. Então (pela definição dec₀₀) existe umk₀ ∈Ntal quex^�ⁱ⁾=0, sei>_k₀. Assim, sen>_k₀_,

�xn−x�=sup

�

|1−x^�¹⁾|,|¹

2 −x^�²⁾|, . . . ,|¹

k₀ −x^�^k⁰⁾|, 1

k₀+1, . . . ,1 n

�

≥ ¹

k₀+1. contradizendo o fato de�xn)_nconvergir parax.

Note quec00 é um subespaço (vetorial e normado) de�_∞que não é completo, ape- sar deste ser. A proposição seguinte nos dá um critério para decidir se um subrespaço Sde X é Banach. Quando nos referirmos asubespa¸co significará sempre que a norma deS é a induzida porX.

Proposi¸cão 1.17. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach é Banach. Reciprocamente, todo subespa¸co de Banach de um espa¸co normado é fechado.

Demonstra¸cão. Suponha que S seja fechado em X Banach. Tomamos um sequência de Cauchy�xn)_n ⊂ S. Mas �xn)_n também é uma sequência de Cauchy em X que é

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completo. Logo, �xn)_n converge para algum x ∈ X. Isso implica que x ∈ S. Sendo^¯ S fechado, temos que x ∈ S. Mostramos então que toda sequência de Cauchy emS converge (emS). Logo,S é completo.

Reciprocamente, sejaS completo no normado X. Considerex ∈ S. Então existe^¯ uma sequência �x_n)_n ⊂ S que converge para X. Ora, toda sequência convergente é de Cauchy. Assim,�x_n)_n é uma sequência de Cauchy emSque é completo e portanto converge para algumy ∈S ⊂X. Pela unicidade do limite emX(todo espaço normado

´e Hausdorff), temos quex =y, e portantox∈S, sendo este fechado.

Exemplo 1.18. Segue da proposição anterior e do exemplo 1.16 quec₀₀não é um sub- espaço fechado de�_∞_.

A proposição anterior é útil para mostrar que determinados espaços normados são Banach. Vejamos alguns exemplos

Exemplo 1.19. Seja A um espaço topol ógico Hausdorff e considere �₀�A)o subconjunto das funç ões f ∈ �_b�A) tais que para cada ε > 0, o conjuntoVε�f) ^def= {x ∈ A :

|f�x)| ≥ε}é compacto. Vamos mostrar que�₀�A)é um espaço de Banach. Como uma aplicação da proposição anterior, mostraremos que é um subespaço fechado em�_b�A). Note que�₀�A) é um subespaço vetorial de�_b�A). De fato, a aplicação nula está em �₀�A)poisVε�0) = {x ∈ A : 0 ≥ ε} = ^�. Além disso, se λ �= 0 é um escalar e

f ∈ �₀�A), ent˜aoVε�λf) ={x ∈ A: |λf�x)| ≥ε} ={x ∈ A: |f�x)| ≥ _|_λ^ε_|}=V^ε

|λ|�f), sendo compacto. Finalmente, sejam f,g ∈ �₀�A). ComoVε�f+g)⊂V_ε/2�f)∪V_ε/2�g) segue queVε�f+g)é compacto, pois é fechado (f egsão cont´ınuas) e está contido em um compacto. Logo f +g ∈ �₀�A).

Mostremos agora que �₀�A) é fechado em �_b�A). Seja f ∈ �₀�A) e tome uma sequência f_n ⊂ �₀�A)convergindo para f. Temos que mostrar que para todoε > _0, Vε�f) é compacto. Sejam entãoε >0 arbitrário ex∈Vε�f). Então|f�x)| ≥ ε. Como fn

converge para f, existeN∈Ntal que�f_N− f��_{ε/2. Assim}

ε≤ |f�x)| ≤ |f�x)− fN�x)|+|fN�x)| ≤ �fN−f�+|fN�x)|� ^ε

2+|fN�x)|, ou seja,|f_N�x)| ≥ ^ε₂, o que mostra quex ∈V^ε

2�f_N). Logo,Vε�f)⊂V^ε

2�f_N)e este ´ultimo

é compacto. Isso mostra queVε�f)também é compacto (pois é um fechado contido em um compacto) e conclui a demonstração.

Vejamos agora um importante caso particular do exemplo anterior.

(10)

Exemplo 1.20. Suponha queA =Ne considere�₀�N). Note que

�x_n)∈ �₀�N) ⇔ {n∈N: |x_n| ≥ε}´e compacto,∀ε >₀

⇔ {n∈N: |x_n| ≥ε}´e ﬁnito,∀ε>₀

⇔ xn →0.

Logo

c₀ ^def=�₀�N) ={�xn)∈�_∞ _:_x_n→ 0}. Lembrando que a norma ´e a induzida por�_∞_.

Finalizamos esta parte com a generalização de um resultado conhecido deR. Dize- mos que uma série

∑

k∈N

x_k em um espaço normado X éabsolutamente convergentese a série numérica

∑

k∈N

�x_k�for convergente.

∞

∑

j=0

�y_j��y₀�+

∞

∑

j=1

2⁻^j �∞,

(11)

o que mostra que

∞

∑

j=0

y_j ´e absolutamente convergente emX e portanto converge, por hip ´otese, para algum y ∈ X. Mas lim

k x_n_k = lim

k k−1

∑

j=0

y_j = y. Vemos então que a sequência de Cauchy�xn)_n possui um subsequência convergente. Logo,�xn)_n é convergente.

1.5 Os Espa¸cos �

p +^b

q

q, ∀a,b≥0.

(12)

Demonstra¸cão. Fixebe considere a funçãoϕ�a) = â_p^p +^b_q^q−ab. É um exerc´ıcio simples de Cálculo 1 verificar que o m´ınimo absoluto de ϕocorre ema = b^p⁻¹¹. Assim, para todoa ≥0 (note que _p₋^p₁ =q= ^q⁺_p^p),

ϕ�a)≥ϕ�b^p⁻¹¹) = ^b

p p−1

p +^b^q

q −b^p⁻¹¹b= ^b^q p +^b^q

q −b^q⁺^p^p = ^b^q p +^b^q

q −b^q =0, e portanto ^a_p^p +^b_q^q ≥ab.

Teorema 1.24. �Desigualdade de H¨older) Sejam p,q > 1, tais que ¹_p +¹_q = 1. Ent˜ao para quaisquer a_k,b_k∈K�k=1, . . . ,n), temos

n

∑

k=1

|a_kb_k| ≤

� n

∑

k=1

|a_k|^p

�¹_p

·

� n

∑

k=1

|b_k|^q

�¹_q .

Demonstra¸cão. Se todos a_k’s ou todos b_k’s são nulos, então a desigualdade é trivial.

Suponha então que nem todosa_k’s e nem todosb_k’s são nulos. Parak =1, . . . ,ndefina A_k = â^k

� n

∑

k=1

|a_k|^p

�¹_p e B_k= ^b^k

� n

∑

k=1

|b_k|^q

�¹_q.

Aplicando o lema anterior para cadaA_keB_k, obtemos

∑

n k=1

A_kB_k≤ ¹ p

=1

� ��

∑

n k=1

A_k^p+¹ q

=1

� ��

∑

n k=1

B_k^q= ¹ p+¹

k=1

|a_k|^p

�¹_p +

� n

∑

k=1

|b_k|^p

�¹_p .

(13)

Demonstra¸cão. A desigualdade parap=1 já foi mostrada no in´ıcio desta seção. Suponha então que p >_{1 e seja}_qseu conjugado. Podemos assumir quea_k,b_k ≥0. Por H ölder obtemos que (Note que�p−1)q= p)

� _n

∑

k=1

�a_k+b_k)^p

�

=

n

∑

k=1

k=1

�a_k+b_k)^p

�¹_q

·

�



� n

∑

k=1

|a_k|^p

�¹_p +

� n

∑

k=1

|b_k|^p

�¹_p

,

e portanto

� n

∑

k=1

�a_k+b_k)^p

�^q⁻_q¹

≤

� n

∑

k=1

|a_k|^p

�¹_p +

� n

∑

k=1

|b_k|^p

�¹_p

∑

k=1

|x_k+y_k|^p

�¹_p

≤ �x�_p+�y�_p, o que mostra quex+y ∈ �_p _{e que} �x+ y�_p ≤ �x�_p+�y�_p.

Se p =^∞, o espaço�_∞foi definido em 1.13 e é um espaço de Banach. O proximo teorema diz que os outros�_p’s também são completos.

Teorema 1.26. Seja1≤p ≤^∞, ent˜ao�_p ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Se p = ^∞ já sabemos. Suponha então que 1 ≤ p � _∞_{. Seja}�x_n)_n_∈N

uma sequência de Cauchy em�_p. Note que aqui cadaxn é uma sequência de escalares

(14)

xn = �x_n^�¹⁾,x_n^�²⁾, . . .)∈�_p_{. Como}�xn)_n_∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todoε >_0, existe algumn₀ ∈Ntal que

n,m>_n₀ ⇒ �x_n−x_m�_p =

� _∞

∑

i=1

|x_n^�ⁱ⁾−x^�_mⁱ⁾|^p

�¹_p

�_ε. �∗)

Em particular, para cadai∈N, sen,m>_n₀_então|x^�_nⁱ⁾−x_m^�ⁱ⁾|�ε. Isso nos mostra que cada sequência�x^�_nⁱ⁾)_n é uma sequência de Cauchy emKe portanto converge, por este ser completo.

Defina então x^�ⁱ⁾ = limnx^�_nⁱ⁾ e considere x = �x^�¹⁾,x^�²⁾, . . .). Vamos mostrar que x ∈�_p. Como a sequência�x_n)_n é de Cauchy, então é limitada (Exec´ıcio). Logo, existe M>_{0 tal que}

�_∞

i=1

|x^�_nⁱ⁾−x^�ⁱ⁾|^p

�¹_p

≤ε, sen >_n₀_.

Defini¸cão 1.27. • Seja1≤ p � ∞. Denotamos por Lp[0, 1]o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares �Lesbesgue)-mensuráveis tais que�

[0,1]|f�t)|^pdt�

∞�Aqui duas fun¸cões estão na mesma classe se são iguais quase sempre), munido de uma norma natural

�f�_p =

�_�

[0,1]|f�t)|^pdt

�¹_p .

• Denotamos por L∞[0, 1] o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares �Lesbesgue)-mensuráveis que são limitadas quase sempre munido da norma

�f�∞=inf{α>_{0 :} _μ{t∈[0, 1]: f�t)>_α}=0}, ondeμdenota a medida de Lesbeguem em[0, 1].

(15)

Os espaço acima definidos são espaços de Banach. A demonstração pode ser en- contrada em qualquer livro sobre a medida de Lesbegue.

1.6 Espa¸cos Separ´aveis

Seja Mum espaço métrico e suponha que D ⊂ A ⊂ M. Dizemos que D édenso em Ase toda bola aberta centrada em elementos de Acontém algum elemento de D.

Observe que isso significa que todo elemento de A é aderente a D. Então, D é denso emAse, e s ó seD ⊃A. Em particular,D é denso emMse, e s ó se,D=M

Um subconjuntoA⊂ Mé ditoseparávelse possui um conjunto enumerável denso.

Por exemplo, sabemos que um intervalo da reta é separável, pois o conjunto dos racionais deste intervalo é enumerável e denso. Em particular a reta é um espaço separável.

Estaremos interessados em saber quando um espaço normado é separável. O seguinte critério é útil para decidir. Lembramos que se A é um subconjunto de um espaço vetorialX, então[A]denota o subespaço gerado por A(no sentido da Álgebra Linear).

Proposi¸c˜ao 1.28. Seja X um espa¸co normado sobreK.

�a) Se X possui um subconjunto A enumerável �podendo ser finito) tal que X = [A], então X

´e separ´avel.

�b) Se X possui um subconjunto B não enumerável tal que, para algum r > _0, �x−y� ≥ r, para qualquer par de elementos distintos x,y de B, então X não pode ser separável.

Demonstra¸cão. (a) Seja S = [A]. Um elemento de S é portanto uma combinação linear (finita��) de elementos de A. Seja D o subconjunto de S formado apenas pelas combinaç ões lineares com coeficientes racionais (SeK=�, coeficientes com parte real e imaginária racionais). Então Dtem a cardinalinada das funç ões finitas deNemQe portanto é enumerável (aqui é importante que seja combinação finita). Vamos mostrar queD é denso emX.

Sejax ∈Xeε >0. Como por hip ´oteseX= [A], existey∈[A]tal que�x−y�� ^ε

2. Podemos escrever y = ∑ⁿ_i₌₁α_ix_i, com α_i ∈ R e x_i ∈ A, ∀i. Para cadai ≤ n, existe β_i ∈Q(ou em�com parte real e imagin´aria racionais) tais que|β_i−α_i|� ^ε

2n�x_i�(claro que podemos supor que cadax_i é não nulo). Defina entãoz = ∑ⁿ_i₌₁β_ix_i ∈ D. Temos que

(16)

�z−x� = �z−y+y−x�

≤ �z−y�+�y−x�

�

∑

n i=1

|β_i−α_i|�x_i�+ ^ε 2

�

∑

n i=1

ε

2n�x_i��x_i�+ ^ε 2

= ^ε 2 +^ε

2 =ε.

(b) SejaDum conjunto denso qualquer emX. As bolas centradas em elementos deB e raior/2 são disjuntas. Cada uma dessas bolas deve conter pelo menos um elemento deD. Como há uma quantidade não enumerável dessas bolas, segue queDnão pode ser enumerável. Logo,Xnão possui conjunto enumerável denso.

Vamos usar a proposição anterior para dar exemplo de espaços separáveis e não separáveis.

Exemplo 1.29. c₀é um espa¸co separável.De fato, considere a sequência unitária can ônica en = �0, . . . , 0,

n−esima

��1 , 0, . . .). Vamos mostrar que c₀ = [en :n∈N] e portanto c₀ será separável pela parte �a) da proposição anterior. Seja então x = �x_n) ∈ c₀ e ε > _0.

Então, existen₀ tal que|x_n| � _{ε, se}_n > _n₀. A sequênciaxε = �x₁,x₂, . . . ,x_n₀, 0, 0, . . .) está em[e_n: n∈N]e�x−xε��_{ε. Como}_εera arbitrário, segue quex ∈[e_n :n∈N]. Exemplo 1.30. �_∞não é separável.Considere, para cada subconjuntoN⊂Na sequência caracter´ıstica deN. Ou seja, a sequênciax =x_N = �xn), ondexn =1 sen ∈Nexn =0 se n ∈/ N. Claro que cada uma destas sequências está em �_∞. Tomamos o conjunto B = {x_N : N ⊂ N} ⊂ �_∞. Então a cardinalidade deB é a das partes deNe portanto não enumerável. Além disso,�x_N−x_N^�� = 1, se N^� �= N. Então, pela parte �b)da proposição anterior,�_∞não é separável.

Exemplo 1.31. Qualquer espa¸co normado de dimensão finita é separável,pois é gerado por um conjunto finito. (Que conjunto é esse?)

Exemplo 1.32. Pelo Teorema de Aproximação de Weierstrass, os polin ômios são densos em�[0, 1](Veja por exemplo o livro do Elon de Espaços Métricos). Então,[tⁿ: n=0, 1, . . .] =

�[0, 1], o que mostra que�[0, 1]é sepárável.