1ª. Parte (NP1) Em relação ao número de variáveis independentes, podemos classificar as equações diferencias em dois tipos:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1ª. Parte (NP1) 1 INTRODUÇÃO

Chama-se equação diferencial a uma equação que contêm derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Em relação ao número de variáveis independentes, podemos classificar as equações diferencias em dois tipos:

a) Equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que contêm derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma única variável independente.

Exemplos:

1) = 2)

3)

4)

b) Equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que contêm derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a duas ou mais variáveis independentes.

Exemplos:

1)

2)

3)

Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem dessa equação.

Exemplos:

1) = é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

2) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

3) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

4)

é uma equação diferencial parcial de segunda ordem.

5)

= 0

é uma equação diferencial parcial de quarta ordem.

Dizemos que uma equação diferencial ordinária é linear se pode ser escrita na forma:

Caso contrário, é dita não-linear.

Em uma equação diferencial ordinária linear, observa-se que:

i) a potência de cada termo envolvendo y é igual a 1, isto é, a variável y e todas as suas derivadas são de 1º grau;

ii) o termo e cada coeficiente , para , dependem somente da variável independente x ou são constantes.

Exemplos:

a

)

é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.

Nesse caso, temos: , e e, além disso, e y são de 1º grau.

b

)

é uma equação diferencial ordinária não-linear de primeira ordem.

Nesse caso, temos: , e ,embora , e y sejam de 1º grau.

c) é uma equação diferencial ordinária não-linear de primeira ordem.

Nesse caso, temos: , e ,

de 1º grau, mas o termo é de 2º grau.

Dada uma equação diferencial, qualquer função f, definida em algum intervalo I, que substituindo a variável dependente, reduz a equação a uma identidade, é uma solução dessa equação.

Exemplo: Considere a equação diferencial . A função é uma solução dessa equação. De fato, se

,

temos e

.

Dessa forma, o resultado é imediato, pois ·.

Exercícios

Nas questões de 1 a 4, classifique as equações diferenciais:

1) 2) 3) 4)

Nas questões de 5 a 10, verifique se a função apresentada é uma solução da equação diferencial dada:

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ; , ,

Uma solução de uma equação diferencial ordinária que pode ser escrita na forma é chamada de solução explícita. Por outro lado, uma

relação é uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária, em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.

Exemplo: Para , a relação é uma solução implícita da equação diferencial

De fato, por derivação implícita, tem-se:

A relação define duas soluções explícitas, no intervalo : e

Além disso, a relação satisfaz, formalmente, a equação diferencial dada, para qualquer constante , porém, fica subentendido que a relação deverá fazer sentido no sistema dos números reais. Geralmente, uma equação diferencial possui um número infinito de soluções.

Exercício: Verifique que , , , , são

soluções da equação diferencial linear de segunda ordem .

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Problema: Resolver , sujeito a (*).

Geometricamente, buscamos uma solução da equação diferencial, definida em algum intervalo I, cujo gráfico passe pelo ponto .

2.2 TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO

Seja a região retangular do plano xy definida por e , tal que o ponto . Se e

são contínuas em , então existe um intervalo I, centrado em , e uma única função que satisfaz do problema de valor inicial (*).

Exemplos:

1) Considere o problema de valor inicial , sujeito a . Temos:

a) , sendo contínua em todo o plano xy b) , sendo contínua em todo plano xy c) é uma solução do PVI.

Por (a) e (b) e pelo teorema de existência e unicidade, existe uma única solução para esse problema no intervalo I = , centrado em , qualquer que seja

dado. Assim, a solução apresentada em (c), é a única solução desse problema, sujeita à

condição .

2) Considere o PVI: , sujeito a . Temos:

a) , sendo contínua em todo o plano xy b) , sendo contínua em todo o plano xy.

Assim, pelo teorema de existência e unidade, existe uma solução para o PVI, em algum intervalo I em torno de , e esta solução é única.

Observe que o teorema garante a existência da solução, mas não nos mostra essa solução. Além disso, as condições do teorema são suficientes, mas não

necessárias. Ou seja, se as condições de continuidade de e não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, ter mais de uma solução ou ter solução única.

Exercícios

Nas questões de 1 a 3, determine a região do plano xy, para a qual a equação diferencial teria uma única solução, passando por .

1) 2) 3

)

2.3 VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 2.3.1 Introdução

Considere as equações de primeira ordem da forma

(1)

onde é uma função contínua dada. Podemos resolvê-la por integração, isto é:

Sendo c uma constante, a solução da equação é

Observação: neste ponto é proveitoso revisar algumas técnicas de integração, tais como integração por partes, frações parciais e substituição.

Exemplos:

1) Resolver a equação

Solução:

2) Resolver a equação

Solução:

2.3.2 Equações separáveis

Uma equação diferencial da forma

(2)

é chamada de equação separável ou equação que tem variáveis separáveis.

Para resolvê-la, podemos colocá-la na forma

(3)

Uma família de soluções a um parâmetro, em geral parada implicitamente, pode ser obtida integrando-se ambos os membros de (3), isto é

Observe que a equação (1) é um caso particular de (2), obtido fazendo-se . Exemplo: Resolver o PVI:

, s/a .

Solução: da equação segue que . Integrando os dois membros, tem-se

Assim, a solução

representa uma família de círculos concêntricos. Pela condição, , tem-se

Assim, a solução do PVI é o único círculo dessa família, dado por . 2.3.3 Exercícios

Nas questões de 1 a 18, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.

(1) (10)

(2) (11)

(3) (12)

(4) (13)

(5) (14)

(6) (15)

(7) (16)

(8) (17)

(9) (18)

(19) Resolver o PVI: .

(20) Resolver o PVI: .

(21) Uma pequena perturbação (mudança) na condição inicial ou na própria equação, em geral, corresponde a uma mudança radical na solução do PVI. Resolva os problemas de valor inicial apresentados e compare suas soluções.

a) b) c)

d) .

2.4 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 2.4.1 Função homogênea Uma função que satisfaz

para algum , chama-se função homogênea de grau . Exemplos:

a) é uma função homogênea de grau 2, pois

b) é uma função homogênea de grau 2/3., pois

2.4.2 Equação diferencial homogênea 2.4.2.1 Definição

Uma equação diferencial da forma

é chamada de homogênea se ambas as funções e são homogêneas de mesmo grau. Ou seja, se

e

Exemplo: A equação diferencial é homogênea,

porque e são funções homogêneas de grau 2.

2.4.2.2 Método de solução Uma equação homogênea

pode ser resolvida pela substituição algébrica ou por , onde e são novas variáveis independentes. Essa substituição transforma a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável. Por exemplo, vamos efetuar a mudança de variáveis , teremos:

a) b)

que é uma equação diferencial de primeira ordem separável.

Exemplo: Resolver a equação diferencial .

Solução: fazendo-se , temos . Substituindo-se na equação dada, segue:

Integrando-se o último resultado, segue:

onde c é uma constante.

2.4.3 Exercícios

Nos exercícios de 1 a 4, determine se a função apresentada a seguir é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.

1) 2)

3) 4)

Nas questões 5 e 6, resolva a equação diferencial dada.

5) 6)

Nas questões 7 e 8, resolva o PVI apresentado.

7 ) ,

8) ,

2.5 EQUAÇÕES EXATAS 2.5.1 Introdução

A expressão diferencial é uma diferencial exata, em uma região R do plano , se corresponde à diferencial total de alguma função , definida nessa região R.

Teorema: Sejam e funções contínuas, com derivadas parciais contínuas, em uma região R do plano , definida por e . A condição necessária e suficiente para que a expressão diferencial

seja uma diferencial exata é que:

A equação diferencial

é uma equação diferencial exata se a expressão diferencial do membro esquerdo é uma diferencial exata.

Exemplo: A equação diferencial

é

uma equação

diferencial exata. De fato, sendo e , temos:

2.5.2 Método de solução

Considere a equação

.

Se

,

a equação é

exata. Ou seja, existe tal que é a solução da equação, onde é uma constante e, além disso,

Temos

onde é uma função arbitrária que representa a constante de integração.

Por outro lado, como

tem-se que:

Assim, após a determinação de e, portanto, de

,

a solução da equação é

,

onde é uma constante.

Exemplo: Resolver a equação diferencial

.

Pelo exemplo anterior, vimos que essa equação é exata. Assim, existe uma função tal

que e

.

Como

logo,

portanto,

.

Assim, a solução da equação é

onde é uma constante.

2.5.3 Exercícios

Nas questões de 1 a 3, verifique se a equação é exata.

1) 2) 3)

Nas questões de 4 a 5, resolva o PVI dado.

4) 5)

2.6 EQUAÇÕES LINERARES DE 1ª ORDEM

2.6.1 Introdução

Uma equação diferencial da forma

chama-se equação diferencial linear de 1ª ordem.

Dividindo-se pelo coeficiente , podemos reescrever a equação na forma:

(*)

num intervalo conveniente, de modo que as funções e sejam contínuas.

Nessas condições, consideremos uma função tal que

seja uma diferencial exata.

Temos:

A função assim definida é chamada de fator integrante.

2.6.2 Método de solução

Passo 1. Colocamos a equação linear na forma (*) Passo 2. Obtemos o fator integrante

Passo 3. Multiplicamos a equação, membro a membro, pelo fator integrante.

Passo 4. Reescrevemos a equação na forma:

Passo 5. Integramos ambos os lados da equação encontrada no passo anterior (passo 4).

Exemplo: Resolver a equação

Solução: A equação já está na forma (*) e P(x) =-3. Portanto, o fator integrante é

Multiplicando os lados pelo fator integrante, tem-se

Resposta:

2.6.3 Exercícios

Nas questões de 1 a 10, encontre a solução geral da equação dada.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

Nas questões 11 e 12, resolva o PVI dado.

11) constantes.

12) constante.

---Fim da 1ª. Parte (NP1)---

2ª. Parte (NP2)

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

1. O Wronskiano

A solução geral de uma equação diferencial linear e homogênea de segunda ordem como uma combinação linear de duas soluções está intimamente ligada ao conceito de independência linear de duas funções. Esta é uma idéia que será apropriadamente discutida em Álgebra Linear.

Por exemplo, se f(x) senx e ) cos(2 )

(x x

g observamos que, das relações trigonométricas, f g, logo c₁f(x) c₂g(x) 0, para c₁ 1ec₂ 1 assim, por definição, são linearmente dependentes.

Por outro lado, calculando-se o determinante Wronskiano, temos:

0 cos cos cos

) cos (2

cos

2 ) cos(

) ( ' ) ( '

) ( ) ) (

,

( senx x senx x

x x

senx senx

x sen x

x senx

x g x f

x g x g f

f W

pois,

senx senx

sen x

x cos 2

cos2 2 )

cos(

x senx

x sen

x

sen cos

cos2 2cos

2 ) (

Mais precisamente, o seguinte:

Teorema A

Sef egsão diferenciáveis em um intervalo aberto I e se W(f,g) 0 em algum ponto t₀ de I, então f eg são linearmente independentes em I. Além disso, se f eg são linearmente dependentes em I, então W(f,g) 0, para todo t em I.

Como outro exemplo, para as funções f(t) e^t e g(t) e^2t, o Wronskiano é

0 2 2

) ,

( ₂ ^{3 3 3}

2

t t t t

t t t

e e e e

e e g e

f W

para todo t I, qualquer que seja o intervalo I . Assim, pelo teorema anterior, f eg são linearmente independentes em I, qualquer que seja o intervalo I.

Teorema B

Se y₁(t) e y₂(t) são soluções da equação diferencial y'' p(t)y' q(t)y 0(*) , onde pe q são contínuas em um intervalo aberto I, então y₁ e y₂ são linearmente dependentes em I se, e somente se, W(y₁,y₂)(t) é igual a zero, para todo t em I.

Corolário (teorema B)

As quatro afirmações a seguir são equivalentes:

1. As funções y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental de soluções da equação (*) em I;

2. As funções y₁ e y₂ são linearmente independentes;

3. W(y₁,y₂)(t) 0, para algum t em I;

4. W(y₁,y₂)(t) 0, para todo t em I;

2. Equações não-homogêneas 2.1 Conceitos básicos

Consideremos a equação diferencial linear não-homogêna de 2ª. ordem

y'' p(t)y' q(t)y g(t) (2.1) onde p, q e g são funções contínuas em certo intervalo I. A equação (2.2), onde g(t) 0 e p e q são as mesmas de (2.1)

y'' p(t)y' q(t)y 0 (2.2) é chamada de equação homogênea associada a (2.1).

Teorema C

Se Y₁ e Y₂ são soluções da equação (2.1), então sua diferença Y₁ Y₂ é solução da equação (2.2). Isto é, se y₁ e y₂ formam um conjunto fundamental de soluções de (2.2), então

) ( )

( )

( )

( _{2 1 1 2 2}

1 t Y t c y t c y t

Y

Teorema D

A solução geral da equação (2.1) pode ser escrita na forma:

P

GH y

y t Y t y c t y c t

y( ) _{1 1}( ) _{2 2}( ) ( )

onde y_GH c₁y₁(t) c₂y₂(t) é a solução geral da equação homogênea associada (2.2) e )

(t Y

y_p é uma particular solução de (2.1).

2.2 Método dos coeficientes a determinar

Tabela 1 – Forma da solução particular de ay'' by' cy g(t) )

(t

g Y(t)

n n

n t a t a t a

P( ) _{0 1}( ) ... t^s(A₀tⁿ A₁tⁿ¹ ... A_n)

t n t e

P ( ) t^s(A₀tⁿ A₁tⁿ¹ ... A_n)e ^t

t t e sen t P_n ^t

) cos

( t^s[A₀tⁿ A₁tⁿ¹ ... A_n)e ^tcos t + ] )

...

(B₀tⁿ B₁tⁿ¹ B_n e ^tsen t

Notas: o parâmetro s denota o menor inteiro não-negativo (0, 1, 2,...) que garanta que nenhuma parcela de Y(t) seja solução da equação homogênea correspondente. Para os três casos, s é o número de vezes que 0 (zero) é raiz da equação característica; é uma raiz real da equação característica; i é uma raiz não real da equação característica.

Exemplos:

1) Encontre uma solução particular da equação y'' 3y' 4y 3e^2t. Solução:

Vamos adotar Y(t) Ae^2t. Substituindo na equação segue:

t t

t t

t t

t Ae Ae e Ae e A Y t e

Ae^{2 2 2 2 2 2 2}

2 ) 1 2 (

3 1 6

3 4

6

4 é uma

solução particular da equação dada.

2) Encontre uma solução particular da equação y'' 3y' 4y 2sent. Solução:

Vamos adotar Y(t) Asent Bcost. Substituindo na equação segue:

t sent

t

Y cos

17 3 17

) 5

( é uma solução particular da equação dada.

3) Encontre uma solução particular da equação y'' 3y' 4y 3e^2t 2sent. Solução:

t sent

e t

Y ^t cos

17 3 17

5 2

) 1

( ²

é uma solução particular da equação dada, obtida pela soma das soluções das equações das questões (1) e (2) acima.

2.3 Método da variação dos parâmetros Teorema E

Em (2.1) se as funções p,qegsão contínuas em um intervalo aberto I e se as funções y₁ey₂ são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada (2.2), então uma solução particular da equação não-homogênea é

t dt y y W

t g t t y

y t dt y y W

t g t t y

y t

Y ( , )( )

) ( ) ) (

) ( )(

, (

) ( ) ) (

( )

(

2 1 1 2

2 1 2 1

e a solução geral é

) ( ) ( )

( _{2 2}

1

1y t c y t Y t

c y

2.4 Roteiro de solução

Para resolver um problema de valor inicial consistindo de uma equação linear diferencial da forma ay'' by' cy g(t), junto com um par de condições iniciais:

1) Encontre a solução geral da equação homogênea associada;

2) Obtenha uma solução particular (por um dos métodos discutidos acima);

3) A solução geral da equação não-homogênea é dada por y y_GH y_P

4) Por meio das condições iniciais, determine as constantes particulares do problema.

2.5 Exemplos

Nas questões 1 e 2, encontre a solução geral da equação dada a seguir:

1) y'' 2y' 3y 3e^2t 2) y'' 2y' 5y 3sen2t

3) Resolva o problema de valor inicial y'' y' 2y 2t, y(0) 0, y'(0) 1. Nas questões 4 e 5, encontre uma solução particular da equação dada.

4) y '' 5y' 6y 2e^t

5) ₂

' 1 2

'' t

y e y y

t

2.6 Aplicação: vibrações mecânicas

Movimento de uma massa presa em uma mola

Estudaremos este movimento porque uma compreensão do comportamento desse sistema simples é o primeiro passo na investigação de sistemas vibratórios mais complexos.

Considere uma massa m atada em uma mola de comprimento original l. A massa causa um alongamento L da mola para baixo (sentido positivo). Existem duas forças agindo sobre o ponto onde a massa está presa à mola: a gravitacional e a da mola. A força gravitacional (ou o peso da mola) puxa para baixo e tem módulo W = mg, onde g é a aceleração da gravidade. A força F, devido à mola, que puxa a massa para cima. Supondo que o alongamento L da mola seja pequeno, a força da mola é proporcional a L (lei de Hooke). Ou seja, F = - kL, onde k é a constante da mola e o sinal menos é devido ao fato da mola puxar para cima (sentido negativo). Supondo o sistema em equilíbrio, as duas forças estão balanceadas, ou seja: mg – kL

= 0.

Figura A - Sistema massa-mola Figura B-Diagrama de forças para um sistema massa-mola

m

F = -kL

W = mg

Denotando por u(t) o deslocamento da massa, medido no sentido positivo (para baixo) a partir de sua posição de equilíbrio no instante t, pela lei do movimento de Newton,

) ( ) ( '

' t f t

mu , onde u'' é a aceleração e f(t) é a força total agindo sobre a mola. Existem quatro forças que têm que ser consideradas para se determinar f(t):

1) o peso da massa: W = mg;

2) a força da mola: F = - k(L + u)

3) a força de amortecimento ou resistência que sempre age no sentido oposto ao movimento da massa, que vamos supor proporcional ao módulo da velocidade da massa: F_d u'(t)

4) uma força externa: F(t)

Assim, teremos:

) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ' )

( ) ( ' ) ( )

( '

' t mg k L u u t F t mu t u t ku t F t

mu (**)

Observe que mg – kL = 0 e m , k e são constantes.

Observe, ainda, que (**) é uma equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes, cuja solução foi discutida nesse capítulo. Nesse modelo simples, não levamos em consideração a massa da mola, suposta desprezível em relação à massa do corpo, sendo as condições (2) e (3) apenas aproximações para a força da mola e a força de amortecimento.

Exemplo: O movimento de determinado sistema massa-mola é governado pela equação diferencial y'' 0,125y' y 0, onde y é medido em pés e t em segundos. Se y(0) 2 e

0 ) 0 ( '

y , determine a posição da mola em qualquer instante.

Solução: Resolvendo o PVI, tem-se:

16 ) 255 255

2 16

cos 255 2

16( t sen t

e y

t

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

2/255 255^1/2 exp(-1/16 t) sin(1/16 255^1/2 t)+2 exp(-1/16 t) cos(1/16 255^1/2 t)

Figura C – Gráfico da solução do PVI

3. Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes de ordem mais alta 3.1 Exercícios

1) Encontre:

a) a solução geral de y^iv y' '' 7y'' y' 6y 0 b) a solução do PVI:

0 6 ' ' ' 7 ' ' ' ' ' '

' y y y y

y ; y(0) 1; y'(0) 0; y''(0) 2 e y'''(0) 1. Desenhe o gráfico da solução.

2) Obter a solução do PVI:

0 y

y^iv ;

2 ) 7 0 (

y ; y'(0) 4;

2 ) 5 0 ( ''

y ; y'''(0) 2. Desenhe o gráfico da solução.

3) Encontre uma solução particular da equação y''' 3y'' 3y' 1 4e^t. 4) Encontre a solução geral da equação y''' 3y'' 3y' 1 4e^t.

---Fim da 2ª. Parte (NP2)---