(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

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Recredenciamento

Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.

C o m p l e x o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C a c h o e i r i n h a

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(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

Módulo de Pesquisa: Práticas de ensino em matemática, contextos e metodologias Disciplina: Fundamentos de Matemática II / Matemática Instrumental

Ano/Semestre: 2015/02

Unidade de Aprendizagem: Da realidade às funções e sequências numéricas

Quest(ii)

Par ordenado e Produto Cartesiano.

Relações e Funções: conceito e representação.

Função sobrejetora, injetora e bijetora.

Atenção: os conteúdos aqui abordados estão resumidos para que você possa tê-los como um norteador para os estudos. Estes conteúdos podem ser encontrados em qualquer livro de matemática do ensino médio (volume único ou da 1º série do ensino médio). É importante compreender que o estudo que se faz individual, através da pesquisa, a partir da leitura e de exercícios, contribue muito para o seu crescimento como aluno!

O famoso René Descartes e o “seu” plano, o plano cartesiano

“Penso, logo existo”!

Mas costumamos estudar o plano cartesiano junto a um conceito muito importante na matemática, o conceito de função! O que é função na matemática? Qual a relação entre funções, par ordenado e plano cartesiano?

Vamos fazer o seguinte, complete as questões abaixo e somente depois responda as questões acima!

1) Observe a “máquina” abaixo que descreve uma relação entre alguns valores que entram nela com os valores que saem dela. Para organizar o pensamento, chamaremos os valores de entrada de valores x e os valores de saída de valores y. O número x (que pode ser qualquer número) entra na máquina, sobre uma transformação matemática e sai como um valor y:

a) De acordo com a maquininha, complete a tabela:

b) Se x = 25, quanto vale o y? 53

c) Se y = 42, quanto vale o x? 19,5

d) Vamos escrever, numa equação matemática, que, em relação a x, y é igual a..., ou seja, y = 2x + 3 Vamos refletir sobre este exercício, que é simples, mas carregado de conceitos importantes.

Você compreende que existem pares de valores na tabela? Tipo, cada x está associado a um único valor de y. Se você percebeu isso, será que não poderíamos associar estes pontos no tal “plano cartesiano”?

Construa um plano cartesiano em seu caderno e marque os pares indicados na tabela.

Após marcar os pontos corretamente, descreva o que você percebe de regularidade nos pontos marcados?

Após fazer a atividade você consegue perceber que marcar os pares de valores x e y, ou seja, os pares ordenados (x, y), nos permite enxergar graficamente como estes pares de valores se expressam?

O que você acabou de ver na verdade trata da correspondência entre duas variáveis, pois vimos que, por exemplo, um valor y é igual a um valor x multiplicado por 2 e somado a 3, e que ao mudarmos (variarmos) o valor de x, o de y também muda (varia).

Esta relação entre duas variáveis, da maneira como foi apresentada, chama-se função na matemática!

Vamos definir função e compreender por que é importante representá-la no plano cartesiano.

x -2 -1 0 1 2

y -1 1 3 5 7

Dobra o x

e soma 3 Números de saída

(y) Números

de entrada (x)

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Leia atentamente e faça o que é pedido:

O viandante na floresta põe um pé diante do outro — e a cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma nova porção. O trajeto guarda com o número de passos uma relação fixa e determinada; e com esta simples constatação já esboçamos propriamente o caráter duma função: existe uma interdependência entre duas grandezas — no caso, o número de passos e o trajeto — e essa interdependência obedece a uma lei determinada.

Matematicamente expressamo-la dizendo que: “o trajeto é uma função do número de passos”.

Levando-se em conta que cada passo do viandante percorre um trajeto de 80 centímetros, complete a tabela abaixo:

Passos 1 2 3 4 x

Trajeto

(metros) 0,80 1,6 2,4 3,2 0,8.x

Afinal, o que é uma função na matemática?

É possível perceber que diferentes situações decorrentes de fenômenos naturais ou de situações do dia-a-dia, consequentemente, configuram-se como funções matemáticas, como, abastecer o carro, onde temos o valor a ser pago em função da quantidade de litros, ou ainda a velocidade do carro, que descreve a distância em função do tempo.

Chamamos de função, na matemática, uma relação entre grandezas, expressa por conjuntos numéricos que obedecem a uma lei (equação, expressão algébrica, fórmula) matemática ao se relacionarem.

Definição de função

. Para exemplificar, considere a função f :RR (vamos nos lembrar dos conjuntos numéricos,

R R

f :  significa que a função tem como domínio e imagem o conjunto dos números reais), conforme o diagrama de flechas abaixo:

2) Responda:

a) Qual é a lei da função? y = 2x b) Para x = 1, qual é o valor de y? 2 c) A imagem de x = -3, ou seja, f(-3) é? -6 d) Se x = 11,5, qual é o valor de y? 23 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

Uma função de A em B é injetora se cada elemento de A tem imagem distinta em B.

Uma função f:A→B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual ao

contradomínio da função = B, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y = f(x).

domínio imagem

D Im

D = R Im = R

-3 0 1

-6 0 2

A B

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tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R→R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Exercícios

1) Observe a máquina abaixo que descreve uma função:

a) De acordo com a maquininha, complete a tabela:

b) Qual é a variável dependente e qual é a variável independente (pesquise estes conceitos)? O x é a variável independente e y é a variável dependente.

c) Se x = 31, quanto vale o y? 89

2) Para as funções abaixo, dê o domínio, o contradomínio e a imagem:

3) Determine x e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira:

a) (x , y) = (2 , -3) x = 2

y = -3

c) (9 , 6y) = (-3x , -3) 9 = -3x

9/-3 = x x = -3

6y = -3 y = -3/6 y = -1/2

b) (x + 1 , y - 1) = (4 , -4) x +1 = 4

x = 4 - 1 x = 3

y - 1 = -4 y = -4 +1 y = -3

d) (2x , 2y - 5) = (8 , 7) 2x = 8

x = 8/2 x = 4

2y - 5 = 7 2y =7 + 5 2y = 12 y = 12/2 y = 6

4) Seja a função definida por y2x5 que também pode se escrita assim f

 

x 2x5. Calcule:

a) f(3)= 2.3+5 = 11 d) f(2)= 2.2+5 = 9

b) f(0)= 2.0+5 = 5 e) f(2)= 2.(-2)+5 = 1

x 0 1 2 3 4

y -4 -1 2 5 8

A B

Triplica x e

subtrai 4 Números de saída

(y) Números

de entrada (x)

A B

-3 1 3

1 4 9 a)

A B

1 4 6

0 3 5 7 b)

D(f): {1, 4, 6}

CD(f): {0, 3, 5, 7}

Im (f): {0, 3, 5}

D(f): {-3, 1, 3}

CD(f): {1, 4, 9}

Im (f): {1, 9}

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5) Seja

f

uma relação de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} expressa pela fórmula

1 ) (x x

f . Faça o diagrama de flechas, marque os pares ordenados no plano cartesiano e verifique se é uma função de A em B. Se for uma função, dê o domínio, o contradomínio e a imagem.

É uma função

D(f): {-2, -1, 0, 1, 2}

CD(f): {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Im (f): {-1, 0, 1, 2, 3}

6) Seja

h

uma relação de A = {-2, 2, 4, 5, 6} em B = {-1, 1, 2, 3, 4} expressa pela fórmula

) 2

( x

x h 

^.

Faça o diagrama de flechas, marque os pares ordenados no plano cartesiano e verifique se é uma função de A em B. Se for uma função, dê o domínio, o contradomínio e a imagem.

Não é uma função porque x = 5 do conjunto A não tem um correspondente (imagem) em B.

7) Indique, circulando, quais pares ordenados estão dentro da mancha sobre o plano cartesiano:

8) Um motorista de táxi cobra R$ 5,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 1,50 por quilômetro rodado.

A

B -2

-1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4

A B

-2 2 4 5 6

-1 1 2 3 4

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função dos quilômetros x rodados?

C = 5,5 +1,5x

b) Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 20 quilômetros.

C = 5,5 +1,5 . 20 C = 35,5

c) se a corrida deu R$ 34,5, quantos quilômetros foram rodados

C = 5,5 +1,5x 34,5 = 5,5 +1,5x 34,5 - 5,5 = 1,5x 29 = 1,5x 29/1,5 = x x = 19,33 19,33 Km.

9) A tabela abaixo indica o preço do serviço executado por um pintor que tem uma taxa fixa de R$ 25,00 e mais uma quantia que depende da área pintada:

Área pintada (em m²)

Total a pagar (em R$)

5 35

10 45

15 55

20 65

30 85

40 105

80 185

Observando a tabela, responda:

a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar pela pintura de x metros quadrados?

S = serviço

x = metros quadrados S = 2x + 25

b) Qual o preço cobrado pela pintura de uma área de 150m²?

S = 2 . 150 + 25 S = 325

c) Qual é a área máxima que pode ser pintada, dispondo-se de R$ 625,00?

625 = 2x + 25 625 - 25 = 2x 600 = 2x 600/2 = x x = 300

300 metros quadrados.

10) Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maioria das mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para calcular y é: y = (5x + 28) / 4. Com base nessa relação, responda:

a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?

y = (5. 24,8 + 28) / 4 y = (124 + 28) / 4 y = 152 / 4 y = 38 Calça 38.

b) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?

y = (5x + 28) / 4 42 = (5x + 28) / 4 42 . 4 = 5x + 28 168 = 5x +28 168 - 28 = 5x 140 = 5x 140/5 = x x = 28 Mede 28 cm.

c) Usando a fórmula acima, calcule quanto você calça.

Resposta pessoal!