Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
EXERCÍCIOS DE PROGRESSÕES DA EsPCEx
FORMULÁRIO Progressão aritmética e progressão geométrica
Progressão Aritmética (P.A.)
Seja uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 e razão r, então seu termo geral é dado por a
n= a
1+ r ( n 1 . − )
Sejam dois termos de ordem p e q, o termo geral também pode ser escrito na forma
( )
p q
a = a + − r p q .
A soma dos n primeiros termos é dada por ( 1 n )
n
a a n
S .
2 +
=
Progressão Geométrica (P.G.)
Seja uma progressão geométrica de primeiro termo a 1 e razão q, então seu termo geral é dado por a n = a 1 q n 1
−.
Sejam dois termos de ordem p e t, o termo geral também pode ser escrito na forma
p t
p t
a = a q
−.
O produto dos n primeiros termos é ( )
( )
n n 1
n n 2
n 1 n 2 1
P a a a q .
−
= =
A soma dos n primeiros termos é dada por 1 ( n )
n
a q 1
S .
q 1
= −
−
A soma dos termos de uma PG infinita de razão q, tal que q 1, é S a 1 .
= 1 q
−
ENUNCIADOS
1) (EsPCEx 2017) A sequência ( a , a , 1 2 , a 10 ) , onde 1
a 3 ,
= 2 2 5
a ,
= 2 3 9
a , ,
= 2
10
a 1025
= 2 é de tal forma que para cada n 1, 2, ,10 temos que a n = b n + c , n onde
( b , b , 1 2 , b n ) é uma PG com b 1 0 e de razão q 1 e ( c , c , 1 2 , c 10 ) é uma PA constante. Podemos afirmar que a 1 + a 2 + + a 10 é igual a
a) 98 b) 172 c) 260 d) 516 e) 1028
2) (EsPCEx 2016) João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora e acelera o passo de modo a correr mais 1
2 km cada hora que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de horas corridas para que Maria alcance João.
a) 3 b) 5 c) 9 d) 10 e) 11
3) (EsPCEx 2016) Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso esse procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a:
a) 2R 1 3 2
+
b) 4R 1 3 2
+
c) 4R 1 3 4
+
d) R 2 ( + 3 ) e) 2R 1 3 4
+
4) (EsPCEx 2015) Na figura temos uma espiral formada pela união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do raio do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5) (EsPCEx 2014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro
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O primeiro elemento da 43 linha, na horizontal, é:
aa) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) 1807
6) (EsPCEx 2013) Em uma progressão aritmética, a soma S
nde seus n primeiros termos é dada pela expressão S
n= 5n
2− 12n , com n
*. A razão dessa progressão é
a) − 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
7) (EsPCEx 2013) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio.
Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é
a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m
8) (EsPCEx 2012) Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em C, em que BÂC = 30 . Neste triângulo está representada uma sequência de segmentos cujas medidas estão indicadas por L , L , L ,
1 2 3, L
n, em que cada segmento é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A. O valor 9
1
L
L é
a) 27 3
128 b) 1
128 c) 81
256 d) 27
64 e) 1
256
9) (EsPCEx 2012) Se x é um número real positivo, então a sequência
( log x, log 3x, log 9x é
3 3 3)
a) uma progressão aritmética de razão 1.
b) uma progressão aritmética de razão 3.
c) uma progressão geométrica de razão 3.
d) uma progressão aritmética de razão log x
3. e) uma progressão geométrica de razão log x
3.
10) (EsPCEx 2011) Considere a progressão aritmética representada pela sequência 7 47 59
, , ,
12 60 60
. Se todos os termos consecutivos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um
a) pentágono (5 lados) b) hexágono (6 lados) c) octógono (8 lados) d) decágono (10 lados) e) dodecágono (12 lados)
11) (EsPCEx 2011) Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é
a) 480 b) 511 c) 512 d) 1023 e) 1024
12) (EsPCEx 2008) O valor de x que satisfaz a equação 2x 4x 8x
x 243,
3 9 27
+ + + + =
em que o primeiro membro é a soma de uma PG. Infinita, é
a) 27 b) 30 c) 60 d) 81 e) 90
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13) (EsPCEx 2008) Os termos da sequência de números em progressão aritmética
7 5
, , ,
3 12 6
correspondem às medidas em radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência trigonométrica abaixo. Os pontos identificados por 0 a VII representam as medidas de arcos que dividem a circunferência trigonométrica em 8 partes iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de 0.
Nessas condições, o arco correspondente ao 13º termo da sequência, igualmente no sentido anti-horário e a partir de 0, terá sua extremidade situada entre os pontos
a) I e II b) II e III c) IV e V d) V e VI e) VII e 0
14) (EsPCEx 2007) Dispondo em um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento:
• mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm 3 de volume.
• mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm 3 de volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm . 3
Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos,
verificou que a altura do nível da água passou para 39 cm.
Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de
a) 54 cm 2 b) 42 cm 2 c) 24 cm 2 d) 150 cm 2 e) 216 cm 2 15) (EsPCEx 2006) Uma cooperativa compra a produção de pequenos artesãos e a revende para atacadistas com um lucro de 40%. Por sua vez, os atacadistas repassam esse produto para os lojistas com um lucro de 40%. Os Lojistas vendem o mesmo produto para o consumidor e lucram, também, 40%. Considerando que o lucro é a diferença entre o preço de venda e o preço de compra, pode-se afirmar que os preços de compra do produto, efetuados pela cooperativa, pelos atacadistas, pelos lojistas e pelo consumidor, nessa ordem,
a) formam uma progressão aritmética de 0,4.
b) formam uma progressão geométrica de 1,4 c) formam uma progressão aritmética de 40.
d) formam uma progressão geométrica de razão 0,4.
e) não formam uma progressão aritmética nem geométrica.
16) (EsPCEx 2005) O sexto termo de uma progressão geométrica é igual a “b”, e o sétimo termo é igual a “c”. Se o primeiro termo desta progressão é diferente de zero e a razão maior que um, então o primeiro termo é igual a:
a) c
a b)
3 4
b c
c) b
c d)
6 5
b c
e)
4 3
b c
17) (EsPCEx 2005) Sendo f : → , uma função definida por f x ( ) = 2x 3, − então a soma f 1 ( ) + f 2 ( ) + f 3 ( ) + + f 100 ( ) é igual a:
a) 9700 b) 9800 c) 9900 d) 9600 e) 10000
18) (EsPCEx 2004) Se S n = − + − + + − 1 2 3 4 ( ) 1 n 1
− n, para todo n inteiro e positivo, então S 2003
3 é igual a:
a) 668 b) 567 c) 334 d) 424 e) 223
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19) (EsPCEx 2003) Os números a, b e c determinam, nessa ordem, uma progressão aritmética (PA) de razão r ( r 0 . ) Na ordem b, a, c determinam uma progressão geométrica (PG). Então a razão da PG é:
a) − 3 b) − 2 c) − 1 d) 1 e) 2
20) (EsPCEx 2003) Na tabela abaixo, em que os números das linhas 1 e 2 encontram-se em progressão aritmética, seja n o número da coluna em que pela primeira vez o número
b n da linha 2 é maior que o a n da linha 1.
1 2 3 4 ... n
linha 1 1000 1004 1008 1012 ... a n
linha 2 20 27 34 41 ... b n
A soma dos algarismos de n é:
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9
21) (EsPCEx 2002) Atribuindo-se um valor a cada letra da sigla ESPCEX, de modo que as letras “E”, “S”, “P”, “C” e “X” formem nessa ordem uma progressão geométrica e que
E P C E S X + = 8, pode-se afirmar que o produto E S P C E X vale:
a) 10 b) 20 c) 16 d) 24 e) 26
22) (EsPCEx 2002) Uma progressão aritmética tem razão r = − 10, sabendo que seu 100º (centésimo) termo é zero, pode-se afirmar que seu 14º (décimo quarto) termo vale:
a) 130 b) 870 c) 860 d) 990 e) 120
23) (EsPCEx 2002) A sequência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110, a sequência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d f + é igual a:
a) 96. b) 102. c) 120. d) 142. e) 132.
24) (EsPCEx 2001) Sendo a, b, c, nesta ordem, termos de uma progressão aritmética em que a c = 24 e A, B, C, nesta ordem, termos de uma progressão geométrica em que
A = a, B = c e C = 72, então o valor de b é
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
25) (EsPCEx 2000) Numa progressão geométrica (PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respectivamente, à raízes da equação
x 2 − 51x 144 + = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é
a) 12 b) 24 c) 28 d) 36 e) 42
26) (EsPCEx 2000) Sendo X
3 6 12
= + + + e 4 16
Y ,
4 5 25 125
= + + + + o valor de
( )
sen X + Y é
a) 3 2
2
− +
b) 6 2
4
− +
c) 6 2
2
− −
d) 6 2 4
− e) 3 2 2
−
RESPOSTAS
1) e; 2) c; 3) b; 4) b; 5) e; 6) d; 7) a; 8) c; 9) a; 10) d; 11) c; 12) d; 13) d; 14) a; 15) b;
16) d; 17) b; 18) c; 19) b; 20) a; 21) c; 22) c; 23) e; 24) d; 25) e; 26) b
RESOLUÇÕES
1) (EsPCEx 2017) A sequência ( a , a , 1 2 , a 10 ) , onde 1
a 3 ,
= 2 2 5
a ,
= 2 3 9
a , ,
= 2
10
a 1025
= 2 é de tal forma que para cada n 1, 2, ,10 temos que a n = b n + c , n onde
( b , b , 1 2 , b n ) é uma PG com b 1 0 e de razão q 1 e ( c , c , 1 2 , c 10 ) é uma PA constante. Podemos afirmar que a 1 + a 2 + + a 10 é igual a
a) 98 b) 172 c) 260 d) 516 e) 1028
RESOLUÇÃO: e
Como ( c , c , 1 2 , c 10 ) é uma PA constante, então podemos fazer c 1 = c 2 = = c 10 = c.
Assim, temos: a n = b n + c n = b q 1 n 1
−+ c.
Vamos analisar os primeiros termos da sequência.
1 1
1 1 1
3 3
a b q c b c
2 2
=
−+ = + =
2 1
2 1 1
5 5
a b q c b q c
2 2
=
−+ = + =
3 1 2
3 1 1
9 9
a b q c b q c
2 2
=
−+ = + =
( )
2 1 1
5 3
a a b q 1 1
2 2
− = − = − =
( )
3 2 1
9 5
a a b q q 1 2
2 2
− = − = − =
( )
q b q 1 1 2 q 1 2 q 2
− = = =
( ) ( )
1 1 1
b q 1 1 b 2 1 1 b 1
− = − = =
1 1
3 3 1
a b c 1 c c
2 2 2
= + = + = =
Vamos agora calcular a soma a 1 + a 2 + + a . 10
( ) ( )
( ) ( )
1 2 10 1 2 10 1 2 10
10 10
1
a a a b b b c c c
b q 1 1 2 1 1
10c 10 1023 5 1028
q 1 2 1 2
+ + + = + + + + + + + =
− −
= + = + = + =
− −
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2) (EsPCEx 2016) João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora e acelera o passo de modo a correr mais 1
2 km cada hora que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de horas corridas para que Maria alcance João.
a) 3 b) 5 c) 9 d) 10 e) 11
RESOLUÇÃO: c
Após t horas, João percorreu j t ( ) = 8 t km.
A distância percorrida por Maria a cada hora é uma progressão aritmética de primeiro termo 6 e razão 1
2 . A distância percorrida por Maria após t horas é igual à soma dos t primeiros termos dessa PA, ou seja, ( ) 1 ( ) ( )
2 6 t 1 t
23 t t m t 2
2 4
+ −
+
= =
Como a velocidade inicial de João é maior, ele sai a frente de Maria. Maria alcançará João quando as distâncias percorridas por ambos forem iguais. Assim, temos:
( ) ( ) ( 23 t ) t
2j t m t 8t t 9t 0 t 0 t 9
4
= = + − = = = .
Isso significa que as distâncias percorridas por ambos são iguais no início e após 9 horas.
3) (EsPCEx 2016) Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso esse procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a:
a) 2R 1 3 2
+
b) 4R 1 3 2
+
c) 4R 1 3 4
+
d) R 2 ( + 3 ) e) 2R 1 3 4
+
RESOLUÇÃO: b
O hexágono inscrito em uma circunferência de raio r
1= R tem lado L
1= R. A circunferência inscrita nesse hexágono tem raio r
2R 3 .
= 2 O hexágono inscrito nessa circunferência tem lado L
2R 3 .
= 2
Assim, a razão entre os raios de duas circunferência consecutivas é
2 1
R 3
r 2 3
q ,
r R 2
= = = ou seja, as medidas dos raios formam uma progressão geométrica
infinita decrescente de primeiro termo r
1= R e razão q 3 .
= 2
Portanto, a soma dos raios de todas as circunferências é
( )
R 2R 3
S 2R 2 3 4R 1 .
3 2 3 2
1 2
= = = + = +
− −
4) (EsPCEx 2015) Na figura temos uma espiral formada pela união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do raio do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO: b
Os raios dos semicírculos formam uma progressão geométrica infinita de razão 1 2 . O comprimento de cada semicírculo é igual a vezes o seu raio, então os comprimentos dos semicírculos também formam uma progressão geométrica infinita de razão 1
2 .
Sabemos que a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a 1 e razão q , com q 1 , é igual a S a 1
= 1 q
− .
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Portanto, o comprimento da espiral é dado por
1 1
S 1 2
2 4 1
1 2
= + + + = =
−
unidades de comprimento.
5) (EsPCEx 2014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro
O primeiro elemento da 43 linha, na horizontal, é:
aa) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) 1807
RESOLUÇÃO: e
A quantidade de números escritos até a 42
alinha é ( 1 42 42 )
1 2 3 42 903
2 +
+ + + + = = . Assim, o primeiro elemento da 43 linha, na
ahorizontal, é o 904 número natural ímpar, ou seja, em uma PA de primeiro termo
a
1= 1 e razão r = 2 , ele será a
904= + a
1r 904 1 ( − = + ) 1 2 903 1807 = .
6) (EsPCEx 2013) Em uma progressão aritmética, a soma S
nde seus n primeiros termos é dada pela expressão S
n= 5n
2− 12n , com n
*. A razão dessa progressão é
a) − 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
RESOLUÇÃO: d
Seja a P.A. ( ) a
nde razão r.
2
1 1 1
S = a = − = − 5 1 12 1 7 a = − 7
2
2 1 2 1 2
S = + a a = 5 2 − = − + 12 2 4 a a = − 4
( ) ( )
2 1 2 1
a = a + a − = − − − = a 4 7 3
2 1
( )
r = a − = − − = a 3 7 10
7) (EsPCEx 2013) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio.
Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para
obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes
congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a
obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é
a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m
RESOLUÇÃO: a
O comprimento de cada faixa é 2
3 do comprimento da faixa anterior. Assim, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é a soma de uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a
1= m e razão q 2
= 3 , ou seja, S a
1m 3m.
1 q 2
1 3
= = =
− −
8) (EsPCEx 2012) Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em C, em que BÂC = 30 . Neste triângulo está representada uma sequência de segmentos cujas medidas estão indicadas por L , L , L ,
1 2 3, L
n, em que cada segmento é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A. O valor 9
1
L L é
a) 27 3
128 b) 1
128 c) 81
256 d) 27
64 e) 1
256
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Nos triângulos retângulos da figura, temos:
2 3 41 2 3
L
L L 3
cos 30
L = L = L = = = 2 . Logo, a sequência L , L , L ,
1 2 3é uma progressão geométrica infinita de razão q 3
= 2 . Sendo assim,
8 4
9 1 9 8
9 1 8
1
L 3 3 81
L L q q
L 2 2 256
−
= = = = = . Como o ângulo BÂC = 30 0 , observamos que
0 0 0 2 0 n 1
2 1 3 2 1 n 1
L = L .cos 30 , L = L .cos 30 = L .(cos 30 ) ,..., L = L .(cos 30 )
−, ou seja, a sequência L , L , L ,... 1 2 3 é uma PG cuja de razão cos 30 o . Portanto,
8
0 8 9
9 1
1
L 3 81
L L .(cos 30 )
L 2 256
= = =
9) (EsPCEx 2012) Se x é um número real positivo, então a sequência
( log x, log 3x, log 9x é
3 3 3)
a) uma progressão aritmética de razão 1.
b) uma progressão aritmética de razão 3.
c) uma progressão geométrica de razão 3.
d) uma progressão aritmética de razão log x
3. e) uma progressão geométrica de razão log x
3. RESOLUÇÃO: a
3 3 3 3
log 3x = log 3 log x + = + 1 log x
2
3 3 3 3 3 3
log 9x = log 9 log x + = log 3 + log x = + 2 log x
Portanto, a diferença entre os termos consecutivos da sequência é sempre 1, o que
implica que a sequência é uma progressão aritmética de razão 1.
10) (EsPCEx 2011) Considere a progressão aritmética representada pela sequência 7 47 59
, , ,
12 60 60
. Se todos os termos consecutivos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um
a) pentágono (5 lados) b) hexágono (6 lados) c) octógono (8 lados) d) decágono (10 lados) e) dodecágono (12 lados) RESOLUÇÃO: d
A razão da P.A. é r 47 7 12 60 12 60 5
= − = = .
Como 2 2 10
r 5
= = , então a razão é um divisor inteiro de uma volta.
Assim, os termos da P.A. dispostos sobre o ciclo trigonométrico determinarão os vértices de um decágono (10 lados).
11) (EsPCEx 2011) Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é
a) 480 b) 511 c) 512 d) 1023 e) 1024
RESOLUÇÃO: c
A quantidade de grãos de arroz necessária para preencher as nove primeiras casas é
(
9)
1 3 8
1 2 1
1 2 2 2 511
2 1
−
+ + + + = =
− que é a soma dos nove primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 1 a razão 2.
Assim, a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou é 511 1 512 + = .
12) (EsPCEx 2008) O valor de x que satisfaz a equação 2x 4x 8x
x 243,
3 9 27
+ + + + =
em que o primeiro membro é a soma de uma PG. Infinita, é
a) 27 b) 30 c) 60 d) 81 e) 90
RESOLUÇÃO: d
O lado esquerdo da igualdade 2x 4x 8x
x 243
3 9 27
+ + + + = representa a soma dos termos de uma P.G. infinita de primeiro termo a 1 = x e razão 2
q 1.
= 3
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Essa soma é dada por a 1 x
S 3x.
1 q 2
1 3
= = =
− −
Assim, temos: 2x 4x 8x
x 243 3x 243 x 81
3 9 27
+ + + + = = =
13) (EsPCEx 2008) Os termos da sequência de números em progressão aritmética
7 5
, , ,
3 12 6
correspondem às medidas em radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência trigonométrica abaixo. Os pontos identificados por 0 a VII representam as medidas de arcos que dividem a circunferência trigonométrica em 8 partes iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de 0.
Nessas condições, o arco correspondente ao 13º termo da sequência, igualmente no sentido anti-horário e a partir de 0, terá sua extremidade situada entre os pontos
a) I e II b) II e III c) IV e V d) V e VI e) VII e 0 RESOLUÇÃO: d
A 4 7 10
PA : , , ,
12 12 12
tem primeiro termo a 1 3
= e razão 3
r .
12 4
= =
Assim, o 13º termo dessa P.A. é a 13 a 1 12 r 12 3 .
3 4 3
= + = + = +
Como os pontos de 0 a VII dividem a circunferência em 8 partes iguais a diferença entre esses arcos é 2
8 4 .
=
Observe agora que o arco 3 = + 2 está sobre o ponto IV. Logo, o arco correspondente a a 13 3
3
= + está entre V e VI.
14) (EsPCEx 2007) Dispondo em um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento:
• mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm 3 de volume.
• mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm 3 de volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm . 3
Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da água passou para 39 cm.
Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de
a) 54 cm 2 b) 42 cm 2 c) 24 cm 2 d) 150 cm 2 e) 216 cm 2 RESOLUÇÃO: a
A soma dos volumes dos cubos que foram submersos é dada por
( ) 3
V 7 14 39 37 196 cm .
= − =
Dessa foram, a soma dos termos da progressão aritmética de primeiro termo v 1 = 1 cm 3 e razão r = 2 cm 3 é S n = = V 196 cm . 3 Devemos, então, encontrar o valor de n correspondente a essa soma.
( 1 n ) ( 1 ( ) ) ( ( ) ) 2
n
2v r n 1 n
v v n 2 1 2 n 1 n
S 196 n 196 n 14
2 2 2
+ −
+ + −
= = = = = =
Isso significa que foram submersos 14cubos. O volume do último cubo colocado é
( ) 3
14 1
v = a + r 14 1 − = + = 1 2 13 27 cm
que corresponde a um cubo de aresta a = 3 27 = 3 cm .
Sendo assim, a área total do último cubo colocado é S total = 6a 2 = 6 3 2 = 54 cm . 2
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
15) (EsPCEx 2006) Uma cooperativa compra a produção de pequenos artesãos e a revende para atacadistas com um lucro de 40%. Por sua vez, os atacadistas repassam esse produto para os lojistas com um lucro de 40%. Os Lojistas vendem o mesmo produto para o consumidor e lucram, também, 40%. Considerando que o lucro é a diferença entre o preço de venda e o preço de compra, pode-se afirmar que os preços de compra do produto, efetuados pela cooperativa, pelos atacadistas, pelos lojistas e pelo consumidor, nessa ordem,
a) formam uma progressão aritmética de 0,4.
b) formam uma progressão geométrica de 1,4 c) formam uma progressão aritmética de 40.
d) formam uma progressão geométrica de razão 0,4.
e) não formam uma progressão aritmética nem geométrica.
RESOLUÇÃO: b
Sejam pc , pc , pc , pc 1 2 3 4 os preços de compra da cooperativa, dos atacadistas, dos lojistas e do consumidor, respectivamente, e pv , pv , pv 1 2 3 os preços de venda da cooperativa, dos atacadistas e dos lojistas, respectivamente. Assim, temos:
1 2 2 3 3 4
pv = pc , pv = pc , pv = pc .
Como cada venda é feita com lucro de 40% sobre o preço de compra (PC), o preço de venda (PV) corresponde sempre ao preço de compra (PC) mais o lucro que é 40% do preço de compra (PC), ou seja, PV = PC 40% PC 1, 4 PC. + =
Dessa forma, podemos escrever as seguintes relações:
Preço de compra da cooperativa: pc 1
Preço de compra dos atacadistas: pc 2 = pv 1 = 1, 4 pc 1 Preço de compra dos lojistas: pc 3 = pv 2 = 1, 4 pc 2 Preço de compra do consumidor: pc 4 = pv 3 = 1, 4 pc 3
Portanto, na sequência de preços de compra formada, cada preço é 1,4 vezes preço anterior, o que corresponde a uma progressão geométrica de razão 1,4.
16) (EsPCEx 2005) O sexto termo de uma progressão geométrica é igual a “b”, e o sétimo termo é igual a “c”. Se o primeiro termo desta progressão é diferente de zero e a razão maior que um, então o primeiro termo é igual a:
a) c
a b)
3 4
b c
c) b
c d)
6 5
b c
e)
4 3
b c RESOLUÇÃO: d
Se, em uma progressão geométrica, temos a 6 = b e a 7 = c, então a sua razão é
7 6
a c
q .
a b
= =
Utilizando a fórmula do termo geral da P.G., temos:
5 6
6 1 5
6 1 1 1 1 5
c b
a a q a q b a a .
b c
−
