Funções reais de variável real

(1)

Func ¸ ˜ oes reais de vari´ avel real

Linguagem da matem´atica

Revisões sobre funç ões reais de variável real Funç ões trigonométricas inversas

Teoremas sobre funç ões cont´ınuas e deriváveis

Paula Oliveira

2020/21

Universidade de Aveiro

(2)

Conte´ udo

1 A linguagem da Matem´atica 1

1.1 Defini¸c˜oes e Teoremas . . . 1

1.1.1 V´ıdeos complementares . . . 5

1.2 Conceitos de Supremo e ´Infimo . . . 6

1.2.1 Axioma do Supremo . . . 7

1.3 Distˆancia no Conjunto dos N´umeros Reais . . . 7

1.3.1 Aproxima¸c˜ao de N´umeros Reais . . . 8

1.3.2 Vizinhan¸ca . . . 8

1.4 A reta “acabada” . . . 9

1.5 Topologia da reta R . . . 9

1.5.1 Conjunto aberto, conjunto fechado . . . 11

1.5.2 Ponto de acumula¸c˜ao e ponto isolado . . . 11

1.6 Solu¸c˜oes dos exerc´ıcios do cap´ıtulo . . . 13

2 Fun¸cões reais de variável real: recordar 14 2.1 Conceito de fun¸cão . . . 14

2.2 Fun¸c˜ao composta . . . 15

2.3 Fun¸c˜oes injetivas e fun¸c˜oes sobrejetivas . . . 17

2.4 Fun¸c˜oes mon´otonas . . . 17

2.5 A fun¸c˜ao inversa . . . 18

2.6 Fun¸c˜oes pares e ´ımpares . . . 19

2.7 Fun¸c˜ao limitada . . . 20

2.8 As fun¸c˜oes exponencial e logar´ıtmica . . . 21

2.9 Limites de fun¸c˜oes reais de vari´avel real . . . 21

2.9.1 Defini¸c˜ao sequencial de limite . . . 22

2.9.2 Limite usando vizinhan¸cas . . . 23

2.9.3 Limites infinitos e limites “no infinito” . . . 24

2.9.4 Limites laterais . . . 25

2.9.5 Propriedades dos limites . . . 25

2.9.6 Teoremas sobre Limites . . . 27

2.10 Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . 29 1

(3)

2.10.1 Propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas . . . 29

2.10.2 Ass´ıntotas . . . 31

2.11 Fun¸c˜oes deriv´aveis . . . 32

2.11.1 Derivada de uma fun¸c˜ao num ponto . . . 33

2.11.2 Reta tangente . . . 33

2.11.3 No¸c˜ao de diferencial . . . 34

2.11.4 Derivadas laterais . . . 35

2.11.5 Continuidade e derivabilidade . . . 36

2.11.6 Fun¸c˜ao derivada . . . 36

2.11.7 Limites laterais da fun¸c˜ao derivada . . . 37

2.11.8 Regras de deriva¸c˜ao . . . 37

2.11.9 Derivadas de ordem superior . . . 38

2.11.10 Derivada da fun¸c˜ao composta . . . 38

2.11.11 Derivada da fun¸c˜ao inversa . . . 39

3 As fun¸cões trigonométricas 42 3.1 Fun¸cões trigonométricas diretas . . . 42

3.1.1 As fun¸c˜oes secante, cossecante e cotangente . . . 43

3.2 Fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas . . . 45

3.2.1 Fun¸c˜ao arco seno . . . 45

3.2.2 Fun¸c˜ao arco coseno . . . 46

3.2.3 Fun¸c˜ao arco tangente . . . 48

3.2.4 Fun¸c˜ao arco cotangente . . . 49

3.3 Exerc´ıcios . . . 50

4 Teoremas sobre fun¸cões cont´ınuas e fun¸cões deriváveis 53 4.1 Teoremas sobre fun¸cões cont´ınuas . . . 53

4.1.1 Teorema de Bolzano . . . 53

4.1.2 Teorema de Weierstrass . . . 54

4.2 Teoremas sobre fun¸c˜oes deriv´aveis . . . 57

4.2.1 O Teorema de Rolle . . . 57

4.2.2 O Teorema de Lagrange . . . 59

4.2.3 M´aximos e m´ınimos locais . . . 62

4.2.4 Convexidade, concavidade e pontos de inflex˜ao . . . 63

4.3 Teorema e regra de Cauchy . . . 66

(4)

A linguagem da Matem´ atica

Neste cap´ıtulo vamos fazer uma introdu¸cão à linguagem usada em Cálculo e recordar algumas propriedades da Lógica.

O intuito é ajudar o estudante a entender um texto matemático, a saber distinguir defini¸cões de teoremas e conseguir elaborar demonstra¸cões simples.

Video sobre a L´ogica Matem´atica

https://www.youtube.com/watch?v=tiARjzPh2pI&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI

1.1 Defini¸ c˜ oes e Teoremas

A Matemática é constitu´ıda pordefini¸cõeseaxiomas, aceites como verdadeiros, como por exemplo,

“Um triângulo é um pol´ıgono com 3 lados”, e porteoremas, que têm de ser demonstrados, como por exemplo o Teorema de Pitágoras e a fórmula resolvente da equa¸cão do 2° grau.

V´ıdeo que explica o conceito de defini¸c˜ao

https://www.youtube.com/watch?v=18iD4hgRh-U Praticando defini¸c˜oes:

https://www.youtube.com/watch?v=gvrI2BIiTvg&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=3 e

https://www.youtube.com/watch?v=oJ4zybyqu9k&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=4 Para provar os teoremas usa-se adedu¸cão, um racioc´ınio que tem uma única condi¸cão:

n˜ao se pode deduzir algo falso a partir de factos verdadeiros.

Um teorema é um facto verdadeiro que pode ser deduzido pelas leis da Lógica a partir de defini¸cões ou de outros teoremas. É frequente formular um teorema na forma “se P então Q”, que se escreve

“P ⇒Q” (lˆe-se “P implica Q”).

Video com o conceito de teorema

https://www.youtube.com/watch?v=jq4RAQlq9Dk&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=5 A implica¸cão material é importante, pois é a base do racioc´ınio matemático:

1

(5)

uma dedu¸cão é uma sequência de implica¸cões materiais verdadeiras.

A tabela de verdade da implica¸c˜ao material ´e a seguinte

P Q P⇒Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Repare-se que só não é poss´ıvel deduzir uma proposi¸cão Falsa a partir de uma proposi¸cão Verdadeira, este é o único caso em queP ⇒Qé Falsa.

V´ıdeo sobre a implica¸c˜ao ( se ... ent˜ao e a contrapositiva)

https://www.youtube.com/watch?v=cKOhcsn4bzw&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=6 e sobre a contrapositiva

https://www.youtube.com/watch?v=iIeHPP_FOLc&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=7 e sobre o se e s´o se

https://www.youtube.com/watch?v=PJefle3wi9g&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=8 exerc´ıcios

https://www.youtube.com/watch?v=hdaNc7vbo84&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=9

Exerc´ıcio 1.1Verifique queP ⇒Q e ∼Q⇒∼P tˆem a mesma tabela de verdade.

Observa¸cão 1.1. ∼P significa a nega¸cão da proposi¸cãoP, assim,∼V =F e ∼F =V.

A implica¸cão material pode ser definida usando outros conetivos lógicos. Pela sua defini¸cão, a implica¸cão material P ⇒Q só é falsa quando P é Verdadeira e Qé Falsa, ou seja, quando∼P é Falsa e Qé Falsa. Esta é exatamente a propriedade da disjun¸cão de ∼P e Q, logo

P ⇒Q´e equivalente a ∼P ∨Q.

Usando as leis de De Morgan pode-se verificar que

∼(P ⇒Q) ´e equivalente aP∧ ∼Q.

Se A(x) e B(x) são condi¸cões, a implica¸cão material A(x) ⇒ B(x) também o é. No estudo do seu Conjunto Solu¸cão (C.S.) usa-se a expressão equivalente∼A(x)∨B(x).

Exemplo 1.1. x² > x + 2 ⇒ x² < 3x é equivalente a ∼ (x² > x + 2)∨x² < 3x, ou seja, x²−x−2≤0∨x²−3x <0; então o seu C.S. em Ré [−1,2]∪]0,3[= [−1,3[.

Exerc´ıcio 1.2Indique o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes:

1. n∈N∧2n²≥3n+5⇒2n <5;

(6)

2. x∈R∧x²+1<0⇒xe^x= senx.

Observa¸cão 1.2. Não é fácil perceber o porquê deF ⇒V eF ⇒F serem verdadeiras! Mas “se uma uma andorinha é um mam´ıfero então um cão é uma ave.” ou “se uma uma andorinha é um mam´ıfero então um cão ladra.” são proposi¸cões verdadeiras...

A proposi¸cão “para todo o x, se x ∈ N então x ∈ Z” é equivalente a N ⊆ Z (verdadeira) e assim a implica¸cão material tem de ser verdadeira para x=−1 (F⇒V) e para x=π (F⇒F).

Os enunciados de teoremas podem ser escritos sob a forma de implica¸cão H ⇒ T em que H e T são ditas, respetivamente,hipótese e tesedo teorema. Supondo que a hipótese é verdadeira, para que a implica¸cão seja verdadeira é necessário que a tese também seja verdadeira.

Umexemplosatisfaz a hipóteseesatisfaz a tese. Umcontra-exemplosatisfaz a hipótesemas não satisfaz a tese.

Uma implica¸cão éverdadeirase não admitir contra-exemplos. Como os enunciados dos teoremas são verdadeiros por defini¸cão, segue-se que um teorema admite apenas exemplos — não admite contra- exemplos.

Ao contrário, uma implica¸cão éfalsase admitir contra-exemplos, ou seja uma implica¸cão que admitir um contra-exemplo nãoé um teorema.

Exemplo 1.2. A implica¸cão “Se mné par então m e nsão pares” não pode ser um teorema:

a implica¸cão admite exemplos – sem= 2 e n= 4 então a hipótese é V e a tese V;

mas admite também contra-exemplos – sem= 1 e n= 2 a hipótese é V e a tese F.

A rec´ıproca de A⇒ B ´e B ⇒ A. Mesmo que A ⇒B seja verdadeira, B ⇒ A pode n˜ao o ser. Por exemplo,

O enunciado “Sem ensão pares então mné par” é um teorema, contudo, a sua rec´ıproca, “Semné par entãom e nsão pares”, não é um teorema.

Existem situa¸cões em que A ⇒ B e B ⇒ A são ambas verdadeiras. Nestes casos escreve-se A ⇔ B (lê-se “A se e só se B” ou “Aé equivalente a B”).

Exemplo 1.3. “O número mné par se e só sem ouné par”.

Se A ⇔B for V, A e B são equivalentes pois têm o mesmo valor lógico para toda a concretiza¸cão das variáveis.

V´ıdeo sobre condi¸c˜ao necess´aria e suficiente

https://www.youtube.com/watch?v=N1Xlamd1PpY&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=10 Num teorema H ⇒ T, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para se poder afirmar que a tese é

verdadeira; diz-se que H ´e condi¸c˜ao suficiente paraT.

Exemplo 1.4. “né par” é condi¸cão suficiente para “2né par”.

Observa¸cão 1.3. Quando a hipótese for falsanãose pode concluir que é falsa a tese!

Note-se que, no exemplo anterior, mesmo que nseja ´ımpar, 2n´e par.

No teoremaH⇒T, para se garantir que a hipótese é verdadeira é necessário que a tese seja verdadeira;

diz-se queT é condi¸cão necessária paraH.

(7)

Exemplo 1.5. “m é múltiplo de 2” é condi¸cão necessária para “m é múltiplo de 4”. Contudo, a condi¸cão “mé múltiplo de 2” não é suficiente para “m é múltiplo de 4”, já que 6 satisfaz a primeira condi¸cão mas não satisfaz a segunda.

Se o enunciado forH ⇔T,H é condi¸cão necessária e suficienteparaT. Exemplo 1.6. “né par” é condi¸cão necessária e suficiente para “3né par”.

Para provar que um teorema é verdadeiro é preciso demonstrar que só admite exemplos, ou seja, que não admite contra-exemplos.

Observa¸cão 1.4. Mostrar alguns exemplos não prova nada! O enunciado “Sené par então n+ 1

´

e primo” é verdadeiro paran= 2,4,6 (três exemplos). . . então é um teorema?

Podem fazer-se vários tipos de demonstra¸cões. Vamos aqui referir os mais usados em Cálculo.

Na demonstra¸c˜ao diretagarante-se que s´o existem exemplos.

A partir da hipótese chega-se à tese por dedu¸cões sucessivas. Assim, sempre que a hipótese é verdadeira, também o é a tese de cada implica¸cão até ao fim.

Exerc´ıcio resolvido 1.1. Prove que “sen∈Né múltiplo de 9 então né múltiplo de 3”.

Resolu¸cão: Sejanum número natural arbitrário.

n´e m´ultiplo de 9⇒ ∃k∈N:n= 9k

⇒n= 3(3k)

⇒ ∃h∈N:n= 3h (h= 3k)

⇒n´e m´ultiplo de 3.

Exerc´ıcio 1.3Mostre que

1. A soma de dois n´umeros ´ımpares ´e par.

2. A soma de um número par e de um número ´ımpar é ´ımpar.

3. O produto de números ´ımpares é um número ´ımpar.

A demonstra¸c˜ao indireta deH⇒T ´e uma demonstra¸cao direta de ∼T⇒∼H.

As duas implica¸cões são equivalentes mas a demonstra¸cão direta da segunda garante que se∼T é V, também∼H é V, ou seja, se a tese é falsa a hipótese não pode ser verdadeira.

Na demonstra¸c˜ao indireta garante-se quen˜ao existem contra-exemplos.

Exemplo 1.7. Prove, no conjunto dos números naturais, que “se m² é ´ımpar então mé ´ımpar”.

A implica¸cão dada é H ⇒T, onde a hipótese é H =“m² é ´ımpar” e a tese é T =“mé ´ımpar”, que é equivalente a

∼T ⇒∼H: “sem não é ´ımpar então m² não é ´ımpar”, ou seja,

“sem é par então m² é par”

Sejam um n´umero natural par qualquer.

m´e par⇒ ∃k∈N:m= 2k

⇒m² = (2k)² = 4k² = 2(2k²)

⇒ ∃r∈N:m² = 2r (r= 2k²)

⇒m² ´e par

(8)

Exerc´ıcio 1.4Mostre que:

1. Se mé ´ımpar então m² é ´ımpar .

2. O produto de dois números é par se e só se pelo menos um deles é par.

3. Se uma fun¸cão é monótona em sentido estrito então é injetiva.

Na demonstra¸cão por redu¸cão ao absurdo garante-se que os contra-exemplos são contradi¸cões.

Para provar queH ⇒T, mostra-se que a sua nega¸c˜ao ´e falsa, ou seja, que

∼(H ⇒T)⇔H∧ ∼T ´e uma contradi¸c˜ao

Observa¸cão 1.5. Se não houver contra-exemplos H∧ ∼T é uma condi¸cão imposs´ıvel.

Exemplo 1.8. Prove que “sen² é par entãoné par”.

A hipótese é H: “n² é par”. A tese afirma que n é par, logo a sua nega¸cão é ∼ T: “n é ´ımpar”.

Assume-se portanto que H∧ ∼T, ou seja, n² é par∧né ´ımpar. Então:

n²+né ´ımpar, porque é a soma de um número par com um número ´ımpar;

n²+n=n(n+ 1) é par porque é o produto de um número par (n+ 1) por outro número.

Então, o númerom=n²+né simultaneamente par e ´ımpar, o que é um absurdo.

Exerc´ıcio 1.5

Demonstre, por redu¸cão ao absurdo, que se “né múltiplo de 6 então né múltiplo de 3”.

Exerc´ıcio 1.6Supondo quef´e mon´otona crescente, mostre que∀x₁, x2∈Df,f(x1)< f(x2)⇒x1≤x2. 1.1.1 V´ıdeos complementares

V´ıdeo sobre o e e o ou

https://www.youtube.com/watch?v=ervAO0B4110&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=11 V´ıdeo sobre a nega¸c˜ao

https://www.youtube.com/watch?v=OHI_oow77Ho&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=12 Sobre os quantificadores existencial e universal

https://www.youtube.com/watch?v=qidPwUkbrgw&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=13 O que ´e uma prova?

https://www.youtube.com/watch?v=OTwf5NOW3Jk&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=14 como provar?

https://www.youtube.com/watch?v=Ib0qTQawLqw&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=15 como provar - 2

(9)

https://www.youtube.com/watch?v=enVGqihzK5k&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=16 como provar - 3

https://www.youtube.com/watch?v=zpgdEjadhx8&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=17 Como provar - final

https://www.youtube.com/watch?v=CRMo1lq1HYM&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=18 Contraexemplo

https://www.youtube.com/watch?v=Y10bbxPVTwE&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=19 contraexemplo 2

https://www.youtube.com/watch?v=2pXnKpJ5_xs&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=20

Prova pela contrapositiva

https://www.youtube.com/watch?v=X9zLK6LS2Po&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=21 Prova por redu¸c˜ao ao absurdo

https://www.youtube.com/watch?v=E89vPUjLe-Q&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=22 Prova por redu¸c~ao ao absurdo - 2

https://www.youtube.com/watch?v=nQg50KFROcw&list=PL7RjLI0hJPfClF1VUbV6rxEKhisvGKeiI&index=23

1.2 Conceitos de Supremo e ´ Infimo

Conceitos de majorante, minorante, ´ınfimo e supremo

https://www.youtube.com/watch?v=JCdvXsaHyrc&list=PL25tUR5VG8k9WEXvDh7-NITMPYXYZPvkm&index=4 SejaA um subconjunto n˜ao vazio deR,A⊆R. Diz-se queA ´e um conjuntomajorado se

∃M ∈R:a≤M, ∀a∈A,

(existeM ∈Rtal quea≤M, qualquer que sejaa∈A) ondeM ´e um majorantede A.

Ao menor dos majorantes dá-se a designa¸cão de supremo de A, i.e., s∈R diz-se osupremo de A, supA, se as duas condi¸cões são satisfeitas:

∀a∈A, a≤s(s´e majorante de A);

∀ε >0,∃b∈A: s−ε < b (s´e o menor dos majorantes deA).

Diz-se queA ´e um conjuntominorado se

(10)

∃m∈R:m≤a, ∀a∈A,

(existem∈Rtal quea≥m, qualquer que sejaa∈A) ondem´e um minorantede A.

Ao maior dos minorantes dá-se a designa¸cão de´ınfimo deA, i.e.,i∈Rdiz-se o´ınfimo de A, infA, se as duas condi¸cões são satisfeitas:

∀a∈A, i≤a(i´e minorante deA);

∀ε >0,∃b∈A: b < i+ε(i´e o maior minorante deA).

1.2.1 Axioma do Supremo

Considere-se o conjunto dos n´umeros racionais cujo quadrado ´e menor do que 2:

A=

x∈Q:x² <2 . No universo R o conjunto A tem supremo, supA = √

2, contudo, como √

2 ∈/ Q, no universo Q o conjuntoA n˜ao tem supremo.

Traduzimos este resultado dizendo que o conjunto dos números reais é completo e o conjunto dos números racionais é incompleto.

Axioma 1.1. Axioma do Supremo: Qualquer subconjunto deRmajorado (resp. minorado) tem supremo (resp. ´ınfimo) em R.

V´ıdeo sobre o axioma do supremo

https://www.youtube.com/watch?v=7VptJl59GVc

Sejam s= supAe i= infA. Se s∈A,sdiz-se m´aximo de A; sei∈A,idiz-se m´ınimode A.

Exemplo 1.9. SejaA=]−√

3,4]∪ {3π}.

O supremo de Aé 3π e como o supremo pertence aA, 3π é máximo do conjunto A.

O ´ınfimo deA´e−√

3, contudo, como −√

3 n˜ao pertence aA, o conjunto A n˜ao tem m´ınimo.

1.3 Distˆ ancia no Conjunto dos N´ umeros Reais

v´ıdeo sobre o m´odulo como distˆancia

https://www.youtube.com/watch?v=nD-SKAVfWTs

A distância entre dois números reais é dada pord(a, b) =|a−b|e satisfaz os seguintes axiomas:

i. d(a, b)≥0, ∀a, b∈R ii. d(a, b) = 0 se e s´o se a=b

(|a−b| ≥0) (|a−b|= 0⇔a=b)

iii. d(a, b) =d(b, a),∀a, b∈R iv. d(a, b)≤d(a, c) +d(b, c),∀a, b, c∈R (|a−b|=|b−a|) (|a−b| ≤ |a−c|+|b−c|)

(11)

Observa¸cão 1.6. A distância de qualquer ponto a zero é d(a,0) =|a−0|=|a|. Então, pelo axioma (iv), obtemos a desigualdade triangular:

|a−(−b)| ≤ |a−0|+| −b−0| ⇔ |a+b| ≤ |a|+| −b| ⇔ |a+b| ≤ |a|+|b|.

Observa¸c˜ao 1.7. Se a∈R eδ >0, dizer que d(x, a)< δ significa quex∈]a−δ, a+δ[ ou ainda que a−δ < x < a+δ.

Assim, o conjunto dos pontos cuja distância a 3 é inferior a 2,d(x,3)<2, é

A={x∈R:|x−3|<2}={x∈R:−2< x−3<2}={x∈R:−2 + 3< x <2 + 3}=]1,5[.

1.3.1 Aproxima¸c˜ao de N´umeros Reais

Defini¸cão 1.1. Sejam z um número real e δ um número real positivo (δ >0). Diz-se que o número real y é umaaproxima¸cão dez com erro inferior a δ se a distância entre z e y é inferior a δ,

d(z, y) = |z−y| < δ Exemplo 1.10. 1. Sejaz = √

2 = 1.414213562. . ..

1.4 ´e uma aproxima¸c˜ao de √

2 com erro inferior a 0.1: |√

2−1.4| < 0.1

1.414 ´e uma aproxima¸c˜ao de √

2 com erro inferior a 10⁻³: |√

2−1.414| < 0.001 1.414 ´e umamelhor aproxima¸c˜ao de √

2 do que 1.4!

2. O intervalo de n´umeros reais ]2.998,3.002[ pode ser representado na forma |x−3|<0.002.

Exerc´ıcio resolvido 1.2. Determine um n´umero real r tal que,

“Se a distância de x a 2 é menor do quer e a distância de y a 6 é menor do quer, então a distância de x+y a 8 é menor do que 0.1.”

Traduzindo o problema em linguagem matem´atica temos:

|x−2|< r

|y−6|< r







=⇒ |(x+y)−8|<0.1

Como|(x+y)−8|=|(x−2) + (y−6)| ≤ |x−2|+|y−6|< r+r = 2r,basta que2r= 0.1, ou seja, r= 0.05 (naturalmente que se r for superior a este valor a desigualdade mant´em-se v´alida).

1.3.2 Vizinhan¸ca

V´ıdeo sobre o conceito de vizinhan¸ca

https://www.youtube.com/watch?v=EwQHTNcc8bs

Uma vizinhan¸ca de um ponto a ∈ R ´e um intervalo aberto, contendo o ponto a. Usualmente denota-se porV(a).

No ˆambito desta disciplina vamos considerar apenas vizinhan¸cas centradas no ponto a, isto ´e, intervalos do tipo ]a−δ, a+δ[, comδ >0.

Definimos ainda:

(12)

vizinhan¸ca esquerda de a, que se denota por V(a⁻), como sendo um intervalo ]a−δ, a[, com δ >0.

vizinhan¸ca direita de a, que se denota por V(a⁺), como sendo um intervalo ]a, a+δ[, com δ >0.

E usual dizer que o raio da vizinhan¸´ ca ]a−δ, a+δ[ é δ ou que se trata de uma vizinhan¸ca de raioδ de a. Se for necessário especificar o raio da vizinhan¸ca usam-se as nota¸cões V_δ(a), V_δ(a⁻) e V_δ(a⁺).

Exemplo 1.11. V(2) =]0,4[=]2−2,2 + 2[, sendo δ= 2;

V(2) =]1.99,2.01[=]2−0.01,2 + 0.01[, sendo δ= 0.01;

V(0⁻) =]−0.001,0[, sendoδ = 0.001;

V(100⁺) =]100,100.05[, sendoδ = 0.05.

1.4 A reta “acabada”

Se adicionarmos ao conjunto dos n´umeros reais os elementos +∞ e −∞ obtemos um novo conjunto, designado porreta acabada,R,e

Re =R∪ {−∞,+∞}.

A no¸c˜ao de ordem estende-se naturalmente a este conjunto definindo

−∞ < x < +∞,∀x∈R.

Podemos, parcialmente, estender a aritm´etica de Ra R. See a∈R, ent˜e ao:

a+∞= +∞ sea6=−∞, a− ∞=−∞ sea6= +∞

a×(+∞) =

+∞ se a >0

−∞ se a <0 a×(−∞) =

−∞ se a >0 +∞ se a <0

a^+∞=







+∞ se a >1 N D se a= 1 0 se 0< a <1

a^−∞=







0 se a >1 N D se a= 1 +∞ se 0< a <1

Note-se que as expressões +∞ − ∞, 1^±∞e 0×(±∞) não estão definidas e portanto não têm qualquer significado (dizem-se indetermina¸cões).

Vizinhan¸cas de ∞:

O conjunto ]b,+∞[, comb∈R´e uma vizinhan¸ca esquerda de +∞;

O conjunto ]− ∞, b[ comb∈R´e uma vizinhan¸ca direita de−∞.

1.5 Topologia da reta R

Aqui fazer um v´ıdeo curtinho com estas no¸c˜oes

Nesta seçcão vamos referir algumas no¸cões que no 2ºsemestre serão definidas emRⁿ.

(13)

Complementar - O complementar de um conjunto A ⊆ R, denotado por R\A, é o conjunto de todos os elementos que estão emRe não estão emA.

Interior - a ∈ A diz-se ponto interior do conjunto A ⊆ R, se existe uma vizinhan¸ca V(a) de a, contida emA,V(a)⊆A, isto é,a∈Aé ponto interior aA se e só se

∃δ >0 : ]a−δ, a+δ[

| {z }

V_δ(a)

⊆A.

Ointerior de A´e o conjunto de todos os pontos interiores de Ae denota-se por Int(A).

Exterior - a ∈R\A diz-se ponto exterior a A⊆ Rse existe uma vizinhan¸ca V(a) de acontida no complementar de A,V(a)⊆R\A, isto ´e,

∃δ >0 : ]a−δ, a+δ[⊆R\A.

a∈Ré ponto exterior deA se e só se é ponto interior de R\A. (Porquê?)

Oexterior deA ´e o conjunto de todos os pontos exteriores de A e denota-se por Ext(A).

Fronteira - Um ponto a∈Rdiz-seponto fronteira deA⊆R se toda a vizinhan¸ca de ainterseta A e interseta o complementar deA (R\A), isto ´e,

∀δ >0,]a−δ, a+δ[∩A6=∅∧]a−δ, a+δ[∩R\A6=∅.

a∈Ré ponto fronteira deA se e só se é ponto fronteira de R\A. (Porquê?)

A fronteira de A ´e o conjunto de todos os pontos fronteira de A e denota-se por Frt(A).

Fecho (ou aderência) - O conjunto formado pelos pontos fronteira e pelos pontos interiores de A ⊆ R designa-se por fecho ou aderência de A e denota-se por A, A = Int(A)∪Frt(A). Os pontos de Adesignam-se por pontos aderentes ou pontos de aderência.

Exemplo 1.12. SejaA= [−1,0[∪]0,1[∪[π,5[.

−1 e 0 n˜ao s˜ao pontos interiores a A nem aR\A;

−

√2

2 , 0.5 e 4 s˜ao pontos interiores a A;

Int(A) = ]−1,0[∪ ]0,1[∪]π,5[;

R\A = ]− ∞,−1[∪ {0} ∪ [1, π[∪ [5,+∞[;

Ext(A) = ]− ∞,−1[∪]1, π[∪]5,+∞[;

Frt(A) = {−1,0,1, π,5};

A = [−1,1]∪[π,5].

Exerc´ıcio 1.7SejaA=]− ∞,1] ∪ {3} ∪]10,35]. Determine:

O interior de A;

O complementar deA;

O exterior deA;

A fronteira deA;

O fecho de A.

(14)

1.5.1 Conjunto aberto, conjunto fechado

Aberto - Um conjunto A⊆Rdiz-se aberto emRseA = Int(A).

Fechado - Um conjunto A ⊆ R diz-se fechado em R se o seu complementar ´e aberto, isto ´e, se R\A = Ext(A).

Exemplo 1.13. S˜ao conjuntos abertos os conjuntos ]−1,4[ ; ]2,3[∪]3,5[ ; ]2,+∞[ ;R;∅.

S˜ao conjuntos fechados os conjuntos [−1,4] ; ]− ∞,3] ; [2,3] ∪ [4,+∞[ ; R;∅.

Os conjuntos [−1,3[ e ]4,7] n˜ao s˜ao abertos nem fechados.

Observa¸c˜ao 1.8. R e∅ s˜ao conjuntos abertos efechados.

Proposi¸cão 1.1. Um conjunto A ⊆ R é fechado em R se e só se coincide com o seu fecho, i.e., A = A. Equivalentemente, um conjunto A ⊆ R é fechado se e só se contém a sua fronteira, i.e., A⊇Frt(A).

Exemplo 1.14. SejaA= [2,8]∪ {0,1,9}.

Int(A) =]2,8[

Frt(A) ={0,1,2,8,9}

A= Int(A)∪Frt(A) =A Logo, A´e um conjunto fechado.

1.5.2 Ponto de acumula¸c˜ao e ponto isolado

SejaA ⊆R. Um ponto a∈ Rdiz-se ponto de acumula¸c˜ao de A se toda a vizinhan¸ca de a, V(a), interseta A\ {a}:

∀V(a),V(a) ∩ A\ {a} 6= ∅

Usando as vizinhan¸cas centradas no ponto, podemos escrever a defini¸c˜ao de ponto de acumula¸c˜ao na forma:

a∈Réponto de acumula¸cão de Ase e só se ∀δ >0, ]a−δ, a+δ[∩ A \ {a} 6= ∅.

Ao conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao deA chama-se derivado de A e denota-se porA⁰.

Um ponto a∈ A diz-se ponto isolado de A se existe uma vizinhan¸ca de a, V(a), que interseta A apenas no pontoa:

∃V(a) :V(a)∩A={a}.

Usando de novo as vizinhan¸cas centradas no ponto, podemos dizer que

a∈A´e um ponto isolado de Ase e s´o se ∃δ >0 : ]a−δ, a+δ[∩A = {a}.

Observe queA⁰∩ {pontos isolados de A}=∅ e queA⁰∪ {pontos isolados de A}=A.

Exemplo 1.15. SejaA = ]−√

7,3] ∪ {π}. Ent˜ao o derivado deA ´e A⁰ = [−√

7,3] eπ é o único ponto isolado de A. o fecho deAé o conjunto [−√

7,3]∪ {π}.

Observa¸cão 1.9. Em Re, o ponto +∞ (resp. −∞) pode ser considerado ponto de acumula¸cão e de aderência de todo o subconjunto deRsuperiormente (resp. inferiormente) ilimitado.

Por exemplo, se A = [3,+∞[ podemos dizer que, em Re, a = +∞ é um ponto de acumula¸cão e um ponto de aderência de A.

(15)

Proposi¸c˜ao 1.2. Se A⊆R, verificam-se as seguintes propriedades:

1. Int(A)⊆A;

2. Int(A)∩Frt(A) = Ext(A)∩Frt(A) = ∅;

3. Int(A)∪Frt(A)∪Ext(A) = R;

4. Int(A) ⊆ A⁰;

5. Int(A)∩Ext(A) = ∅;

6. A = A∪Frt(A);

7. Ext(A) = Int(R\A);

8. O limite de uma sucessão convergente é um ponto de aderência do conjunto dos seus termos, i.e.,

Sel= lim

n→+∞u_n ent˜aol∈ {u_n:n∈N} Exemplo 1.16. As propriedades da proposi¸c˜ao 1.2 aplicadas aos conjuntos

1. A= [2,3[:

Int(A) =]2,3[⊆A

Frt(A) ={2,3}

R\A=]− ∞,2[∪[3,+∞[

Ext(A) =]− ∞,2[∪]3,+∞[= Int(R\A)

Int(A) = [2,3]

A= Int(A)∪Frt(A) =]2,3[∪{2,3}= [2,3]

A⁰ = [2,3]

3 ´e ponto de acumula¸c˜ao de A porque qualquer vizinhan¸ca de 3 intersetaA.

∀δ >0,]3−δ,3 +δ[∩A6=∅.

Repare que como 3∈/ A não é necessário escrever interseta A\ {3}.

Todos os pontos deA s˜ao pontos de acumula¸c˜ao de A.

A n˜ao tem pontos isolados.

2. e B=

x_n= 5 + 1

n :n∈N

:

Int(B) =∅ ⊆B

Frt(B) =B∪ {5}

Note-se que 5 ´e o limite da sucess˜ao (xn)n.

R\B =]− ∞,5]∪

5 + 1

n+ 1,5 + 1 n

:n∈N

∪]6,+∞[

Ext(B) =R\(B∪ {5}) = Int(R\B)

Int(B) =∅

B = Int(B)∪Frt(B) =B∪ {5}

(16)

B⁰ ={5}

5 é ponto de acumula¸cão de B porque qualquer vizinhan¸ca de 5 contém pontos deB:

∀ >0,∃x_n∈B :x_n∈]5−,5 +[

As condi¸c˜oesxn∈]5−,5 +[ e|x_n−5|< s˜ao equivalentes. Assim,

|x_n−5|< ⇔ 1

n < ⇔n > 1 e se, por exemplo, n=

1

+ 1¹,x_n∈B∩]5−,5 +[;

Todos os pontos deB são pontos isolados, porque encontramos sempre uma vizinhan¸ca de cada um deles que só interseta o conjunto B no próprio ponto.

Observe-se que para cadaxn∈B, o ponto de B mais pr´oximo de xn ´e xn+1 e d(xn, xn+1) =|x_n−xn+1|= 1

n(n+ 1).

Assim, se considerarmosδ = _2n(n+1)¹ , o único ponto de B que está em ]x_n−δ, x_n+δ[ é o próprio x_n:

]xn−δ, xn+δ[∩B ={x_n}.

1.6 Solu¸ c˜ oes dos exerc´ıcios do cap´ıtulo

Exerc´ıcio 1.2 1. Falso;

2. Verdadeiro.

Exerc´ıcio 1.7

Int(A) =]− ∞,1[∪]10,35[;

R\A=]1,3[∪]3,10]∪]35,+∞[;

Ext(A) =]1,3[∪]3,10[∪]35,+∞[;

Frt(A) ={1,3,10,35};

A=]− ∞,1] ∪ {3} ∪ [10,35].

1

lˆe-se caracter´ıstica de 1

e ´e o maior inteiro que n˜ao excede 1 .

(17)

Fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real: recordar

Este cap´ıtulo é uma breve revisão do que foi estudado sobre este tema no ensino secundário e que é suposto os estudantes recordarem para ser usado na unidade curricular Cálculo I. Este cap´ıtulo pode ser complementado com materiais dispon´ıveis na wiki Matemática Elementar.

2.1 Conceito de fun¸ c˜ ao

v´ıdeo da khan academy

https://youtu.be/AX_l02JuJ84

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma fun¸cão f : A → B é uma correspondência que a cada elemento x∈A associaum único elemento f(x)∈B. Isto escreve-se

f : A → B

x 7→ f(x) e, em nota¸cão lógica, ∀x∈A,∃¹y∈B:y=f(x) O quantificador∃¹ significa “existe um e um só” ou “existe um único”.

Chama-se dom´ınio de f ao conjunto A, conjunto de chegada ao conjunto B e contradom´ınio (ouconjunto das imagens) de f ao conjunto dado por

f(A) ={f(x) : x∈A} ⊆B

O dom´ınio de f denota-se porD_f e o seu contradom´ınio porCD_f =f(D_f).

v´ıdeo sobre o contradom´ınio -khan academy https://youtu.be/4-1hb1KsZN8

A fun¸cãof éreal de variável realse tem conjunto de chegadaRe o dom´ınio def é um subconjunto de R, isto é,D_f ⊆R.

f : D_f ⊆R → R x 7→ f(x) .

E preciso distinguir entre o dom´ınio de uma fun¸´ cão e o dom´ınio da sua expressão (ou seja, o maior subconjunto de R onde esta tem significado). Uma fun¸cão definida só por uma expressão tem o dom´ınio da expressão.

Fun¸c˜oes que diferem apenas no dom´ınios˜ao diferentes!

14

(18)

Exemplo 2.1. A fun¸cãog:R⁺₀ →R dada porg(x) =x² não está definidapara valores negativos apesar destes fazerem parte do dom´ınio da expressão x².

Observe-se quegé a restri¸cão def ao conjuntoR⁺₀. A restri¸cão denota-se da seguinte formag=f|

R⁺0.

f(x) =x²

g(x) =x²

Figura 2.1: Gr´afico das fun¸c˜oes f(x) =x² com dom´ınioD_f =Re g(x) =x² com dom´ınioD_g =R⁺₀.

V´ıdeo de um exemplo da khan academy https://youtu.be/9X8pd1u3uAU

Exemplo 2.2. O dom´ınio da fun¸c˜ao definida por

h(x) =









 1

1−x² sex≥0

√x+ 1 sex <0

´

e o conjunto

Dh={x∈R: 1−x² 6= 0∧x≥0}∪{x∈R:x+1≥0∧x <0}= [−1,0[∪[0,+∞[\{1}= [−1,+∞[\{1}

Chama-se gr´afico da fun¸c˜ao f ao subconjunto deR² definido por Gr_f =

x, f(x)

∈R² : x∈D_f

Os gr´aficos, sendo conjuntos de pontos no plano, permitem representar graficamente uma fun¸c˜ao.

Nem sempre as curvas no plano são fun¸cões. Explique porque é que uma circunferência não pode ser o gráfico de uma fun¸cão.

2.2 Fun¸ c˜ ao composta

v´ıdeo sobre fun¸c˜ao composta khan academy https://youtu.be/aRp10PXGhF8

e

https://youtu.be/cqzAAT2TSCA e ainda com tabelas

https://youtu.be/CXw4H-QVyYk e com gr´aficos

https://youtu.be/v-VSBJZJLs0

(19)

Exemplos

https://youtu.be/4TcUN0lcVBI finalmente

https://youtu.be/pTIwwa30Iqc

Dadas duas fun¸c˜oesf :D_f ⊆R→Re g:D_g ⊆R→R, se o contradom´ınio def for um subconjunto do dom´ınio deg ( CD_f ⊆D_g) pode definir-se a fun¸c˜ao compostag◦f:

g◦f : Df → R x 7→ g(f(x)) Exemplo 2.3. Considere as fun¸c˜oesf e g definidas porf(x) =√

x e g(x) =x². Vamos determinar as fun¸c˜oesg◦f e f◦g (ou seja, os dom´ınioseas respetivas express˜oes anal´ıticas).

ComoD_f =R⁺₀ eD_g =R(eCD_f =CD_g =R⁺₀ — verifique!), tem-se que (g◦f)(x) = (√

x)² =x, com o dom´ınio Dg◦f ={x∈R:x∈R⁺₀ ∧f(x)∈R}=R⁺₀ (f◦g)(x) =

√

x²=|x|, com o dom´ınio Df◦g ={x∈R:x∈R∧g(x)∈R⁺₀}=R Se h for uma fun¸cão real de variável real definida pela composi¸cão de duas fun¸cões, ou seja, se

h(x) = (g◦f)(x) =g f(x)

então o dom´ınio da fun¸cão composta,h, é definido por: Dg◦f ={x∈R:x∈D_f ∧f(x)∈D_g}.

Exemplo 2.4. Considere-se a fun¸c˜ao definida pela express˜ao anal´ıtica f(x) =

r 4−x x²−2x.

O dom´ınio de f ser´a o maior subconjunto de R onde a express˜ao anal´ıtica tem significado. Note-se quef =g◦h comg(x) =√

x e h(x) = 4−x

x²−2x. Assim, D_f ={x∈R:x∈D_h∧h(x)∈D_g}

=

x∈R:x²−2x6= 0∧ 4−x x²−2x ≥0

=]− ∞,0[∪]2,4]

poisD_h={x∈R:x²−2x6= 0}e Dg=R⁺₀.

Exerc´ıcio 2.1Considere a fun¸c˜ao definida porh(x) = ln(1−√ x):

1. Sendoh=g◦f, com g(x) = lnx e f(x) = 1−√

x, determineDh.

2. Seja i(x) = ln(x+ 1). encontre j de forma a que h=i◦j e verifique queDi◦j =D_h.

Exerc´ıcio 2.2Sejam f :Df →R dada porf(x) = 1

x−4 e g:Dg→R dada porg(x) = 5 +√ 1−x 1. Determine os dom´ınios de f e g,Df e Dg, e o contradom´ınio de g,CDg=g(Dg).

2. Qual ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao f+g? E de f g?

(20)

2.3 Fun¸ c˜ oes injetivas e fun¸ c˜ oes sobrejetivas

Defini¸c˜ao 2.1. Uma fun¸c˜ao f :D_f ⊆R→R diz-se injetiva se

∀x, x⁰ ∈Df, x6=x⁰ ⇒f(x)6=f(x⁰).

Pode provar-se a injetividade de uma fun¸cão usando o facto de que a fun¸cãof é injetiva se e só se

∀x, x⁰ ∈D_f, f(x) =f(x⁰)⇒x=x⁰. Defini¸c˜ao 2.2. Uma fun¸c˜ao f :D_f ⊆R→R diz-se sobrejetiva se

∀y ∈R,∃x∈D_f :f(x) =y.

Pode mostrar-se que uma fun¸cão realf é sobrejetiva mostrando que o seu contradom´ınio éCDf =R. Uma fun¸cão f :D_f ⊆R→Rdiz-se bijetivase é injetiva e sobrejetiva, ou seja,

∀y∈R,∃¹x∈Df :y=f(x).

Exerc´ıcio 2.3 Considere a fam´ılia de fun¸cões fa : R → R definidas por fa(x) = a^x com a ∈ R⁺. Existe alguma fun¸cão desta fam´ılia que não seja injetiva?

2.4 Fun¸ c˜ oes mon´ otonas

Defini¸cão 2.3. Uma fun¸cão f :Df ⊆R→R émonótona crescente se

∀x₁, x₂∈D_f, x₁ < x₂ ⇒f(x₁)≤f(x₂) e ´e mon´otona decrescentese

∀x₁, x2 ∈D_f, x1< x2 ⇒f(x1)≥f(x2).

Defini¸cão 2.4. Uma fun¸cão f :Df ⊆R→R émonótona estritamente crescente se

∀x₁, x₂∈D_f, x₁ < x₂ ⇒f(x₁)< f(x₂) e ´e mon´otona estritamente decrescente se

∀x₁, x2 ∈D_f, x1< x2 ⇒f(x1)> f(x2).

Exerc´ıcio 2.4 Sejaf :R\ {0} →R definida por f(x) = ¹_x. Mostre, usando a nega¸cão da defini¸cão, quef não é monótona decrescente no seu dom´ınio.

Observe, contudo, que a fun¸cão é monótona decrescente em R⁻ e monótona decrescente em R⁺. v´ıdeo sobre intervalos de monotonia e sinal de f da Khan Academy

https://youtu.be/GXbzYAXbyqI

(21)

2.5 A fun¸ c˜ ao inversa

V´ıdeo da khan academy

https://youtu.be/brpV5xR4xrc tamb´em

https://youtu.be/DpZPbeTriFk gr´afico

https://youtu.be/dDyjvI4B-78 Fun¸c~ao invert´ıvel?

https://youtu.be/TSAIIxWBzOw

Sejaf :Df →R uma fun¸cão injetiva. Então, acada y∈CDf está associado umunico´ x∈Df tal quey =f(x). Por isso, conclui-se que existe uma fun¸cão g:CD_f →Rtal quey=f(x) ⇒ g(y) =x.

Denota-se porf⁻¹ a fun¸c˜ao (dita inversade f) que satisfaz esta propriedade. Se existe, a inversa ´e

´ unica.

Uma fun¸c˜ao diz-seinvert´ıvel se admite inversa.

f ´e invert´ıvel (com inversag) se e s´o se existe g:CD_f →R:∀x∈D_f,(g◦f)(x) =x.

Observa¸cão 2.1. O gráfico def⁻¹ é obtido do gráfico def por simetria em rela¸cão à retay=x.

Figura 2.2: Fun¸c˜ao inversa

Nunca confundira fun¸c˜ao inversa com a potˆencia def de expoente −1 f⁻¹(x)6= f(x)−1

= 1

f(x)

Observa¸cão 2.2. Repare-se que se f invert´ıvel e a sua inversa é f⁻¹, então f é a inversa de f⁻¹ e portanto (f◦f⁻¹)(y) =y,∀y∈CD_f =D_f⁻¹.

Por´em, pode haver fun¸c˜oes f e g : CD_f → R tal que (f ◦g)(y) = y, ∀y ∈ CD_f, sem que f seja invert´ıvel!

Exerc´ıcio 2.5Prove que a fun¸cão definida porf(x) =x² não é invert´ıvel. Verifique que seg(x) =√ x, então f(g(y)) =y,∀y∈CD_f.

Porém, g não é f⁻¹ nemf ég⁻¹. Porquê?

Teorema 2.1. Sef é estritamente monótona então f é injetiva (e invert´ıvel).

A rec´ıproca ´e verdadeira?

(22)

Teorema 2.2. A fun¸cão f é estritamente crescente [resp. decrescente] em D_f se e só se a fun¸cão f⁻¹ é estritamente crescente [resp. decrescente] emCD_f.

Exerc´ıcio 2.6Verifique quef(x) =x² comDf =R⁻₀ ´e invert´ıvel e determine a sua inversa.

Teorema 2.3. Sejamf egduas fun¸cões invert´ıveis. No seu dom´ınio, a fun¸cão compostaf◦gtambém

´

e invert´ıvel e a sua inversa ´e(f ◦g)⁻¹ =g⁻¹◦f⁻¹. ver o v´ıdeo da khan academy

https://youtu.be/9YzYFj71rSk e https://youtu.be/swhfRCbj_gY

Exerc´ıcio 2.7Determine as inversas (com dom´ınios!) def(x) = 1

1 +x, de g(x) =√

x e def ◦g.

2.6 Fun¸ c˜ oes pares e ´ımpares

v´ıdeo da khan academy

https://youtu.be/gHIZ5_3u5JA exemplo

https://youtu.be/FXAm5WiMFhM

Seja D ⊆ R um conjunto simétrico em rela¸cão à origem, isto é, se x ∈ D o seu simétrico, −x, também está emD:

∀x∈D,−x∈D Uma fun¸c˜ao f :D⊆R→R diz-se

par sef(−x) =f(x),∀x∈D.

´ımpar sef(−x) =−f(x),∀x∈D.

As fun¸cões pares têm gráficos simétricos em rela¸cão ao eixo das ordenadas. As fun¸cões ´ımpares têm gráficos simétricos em rela¸cão à origem do referencial.

Figura 2.3: Fun¸c˜ao par e fun¸c˜ao ´ımpar.

Exemplo 2.5. Considerem-se as fun¸c˜oes definidas emR porf(x) = 2x⁴−3x²,g(x) =−2x³+ 4x e h(x) = 2x²−3x.

f é uma fun¸cão par;g é uma fun¸cão ´ımpar e hnão é par nem ´ımpar.

(23)

2.7 Fun¸ c˜ ao limitada

Defini¸c˜ao 2.5. Uma fun¸c˜ao f :D_f ⊆R→R diz-se limitada se

∃M ∈R:∀x∈D_f,|f(x)| ≤M.

Pode traduzir-se a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao limitada de forma equivalente por:

∃A, B∈R:A≤f(x)≤B, ∀x∈D_f.

Em linguagem corrente poderemos dizer que o gráfico de uma fun¸cão limitada está contido entre duas retas paralelas ao eixo das abcissas.

Exemplo 2.6. A fun¸cão definida emRpor f(x) = _x2³+4 é uma fun¸cão limitada. Basta observar que x²+ 4≥4, ∀x∈Re portanto,

0< 3

x²+ 4 ≤ 3 4.

Contudo, a fun¸cãog(x) = _x+4³ , comx6=−4 não é limitada. Qualquer que seja o número real positivo L, existex∈Dg tal queg(x)> L, basta escolher x tal que−4< x < 3

L −4.

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−6

−4

−2 2 4 6

g(x) = 3 x+ 4 f(x) = 3

x²+ 4

x=−4

Figura 2.4: Gr´aficos das fun¸c˜oesf e g.

O gr´afico da fun¸c˜ao f situa-se entre as retasy= 0 ey = 3

4, mas o gráfico da fun¸cãog não é limitado.

(24)

Exerc´ıcio 2.8Sejaf :R→Rdefinida porf(x) =x². Mostre quef n˜ao ´e limitada.

2.8 As fun¸ c˜ oes exponencial e logar´ıtmica

As fun¸c˜oes exponencial, exp_a, e logar´ıtmica, log_a, de basea∈R⁺\ {1}s˜ao a inversa uma da outra.

exp_a : R → R

x 7→ y = exp_ax=a^x

log_a : R⁺ → R

x 7→ y= log_ax

D_exp =R=CD_log e D_log =R⁺=CD_exp

S˜ao estritamente mon´otonas

crescentes sea >1 e decrescentes se 0< a <1

Pelas propriedades da inversa,

log_aa^x=x,∀x∈Re a^log^a^x=x,∀x∈R⁺

Assim, usando as propriedades do logaritmo, obt´em-se a importante f´ormula (base a=e)

∀x∈R⁺,∀y∈R, x^y =e^y^lnx.

basea >1 base 0< a <1 Figura 2.5: Fun¸c˜ao exponencial e fun¸c˜ao logar´ıtmica.

2.9 Limites de fun¸ c˜ oes reais de vari´ avel real

Nesta seçcão recorda-se a no¸cão de limite e algumas propriedades dos limites de fun¸cões reais de variável real.

O conceito de limite - v´ıdeo https://youtu.be/_WOr9-_HbAM

Para efeitos de limite vamos considerar a reta acabadaRe (isto ´e, consideraremos os casos em queael poder˜ao assumir os valores±∞) e se Dfor ilimitado superiormente (resp. inferiormente), +∞ (resp.

−∞) ´e um ponto de acumula¸c˜ao deD.

(25)

2.9.1 Defini¸c˜ao sequencial de limite

Sejaf :D⊆R→R,a∈Re um ponto de acumula¸c˜ao de De l∈Re. Diz-se quef tem limitel quando x tende para aemD,

x→alimf(x) =l,

se para toda a sucess˜ao (x_n)n∈N, de elementos de D, distintos dea, que tende paraa,

n→+∞lim x_n=a, a correspondente sucess˜ao das imagens (f(x_n))_n∈

Ntende para l,

n→+∞lim f(x_n) =l.

Em linguagem simb´olica temos:

x→alimf(x) =l⇔ ∀(x_n)_n, x_n∈D\ {a}:x_n→a⇒f(x_n)→l.

Recordemos que o limite, quando existe, ´eunico.´ Exemplo 2.7. Sejaf(x) = x

x²+ 2 comD_f =R, e considere-se a sucess˜ao x_n= 1+(−1)ⁿ n . x_n∈D_f \ {1},∀n∈N, lim

n→+∞x_n= 1 e lim

n→+∞f(x_n) =¹₃. Considerando apenas esta sucess˜ao poderemos concluir que lim

x→1f(x) = 1 3?

Figura 2.6: A no¸c˜ao de limite.

Considere a sucess˜ao definida por un= 1−20

n e calcule os primeiros 30 termos da sucess˜ao (f(un))n. Ainda acha que o limite de f(x) quando x tende para 1 ´e 1

3?

Deveremos ter cuidado com as conclusões, quando consideramos apenas uma sucessão! Para garantir que o limite é 1

3, devemos considerar qualquersucess˜ao:

∀(x_n)_n, x_n∈D_f \ {1},∀n∈N, x_n→1 ⇒ f(x_n) = x_n

x²_n+ 2 → 1

1²+ 2 = 1 3. Exemplo 2.8. Considere a fun¸c˜ao definida emRpor

f(x) =







1 +x se x≥1 1−x se x <1

(26)

Se considerarmos as sucess˜oes de termo geral x_n = 1 + 1

n e y_n = 1− 1

n, ambas convergentes para 1, temos que

f(x_n) = 1 +x_n= 1 + 1 + 1

n = 2 + 1

n ef(y_n) = 1−

1− 1 n

= 1 n.

A sucessão (f(xn))nconverge para 2 e a sucessão (f(yn))nconverge para 0. O que nos permite concluir que não existe limite def(x) quando xtende para 1.

2.9.2 Limite usando vizinhan¸cas

Podemos definir o limite em termos de vizinhan¸cas:

x→alimf(x) =l ⇐⇒ ∀V(l), ∃V(a) : f(D∩ V(a)\ {a})⊆ V(l),

ou seja, para cada vizinhan¸caV(l) del∈Re, existe uma vizinhan¸ca V(a) dea∈Re tal quef(x)∈ V(l), para todo o x∈ V(a)∩D, distinto dea.

Exemplo 2.9. Voltando `a fun¸c˜ao do exemplo 2.7, f:Df⊆R→Rdada porf(x) = x x²+ 2:

Figura 2.7: A no¸c˜ao de limite-2.

x→1limf(x) = 1

3 porque para cada vizinhan¸ca de 1

3, V(¹₃), existe uma vizinhan¸ca de 1, V(1), tal que, f(V(1))⊆ V(1

3), ou seja,

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, 0<|x−1|< δ⇒

f(x)− 1 3

< .

em que V(¹₃) =₁

3 −,¹₃ +

e V(1) =]1−δ,1 +δ[.

Exemplo 2.10. Considerem-se as fun¸c˜oes g ef. g(x) =

(xlnx sex >0

x sex <0 e f(x) =







sen (x−1)

x−1 sex6= 1

0 sex= 1

O dom´ınio de g´eR\ {0}, mas existe lim

x→0g(x).

x→0lim⁺g(x) = lim

x→0⁺xlnx= 0 e lim

x→0⁻g(x) = lim

x→0⁻x= 0.

O dom´ınio de f ´e Re o lim

x→1f(x) existe mas ´e diferente de f(1).

x→1limf(x) = lim

x→1

sen (x−1) x−1 = lim

y→0

seny y = 1

(27)

Figura 2.8: Gr´afico da fun¸c˜aog.

Figura 2.9: Gr´afico da fun¸c˜ao f.

2.9.3 Limites infinitos e limites “no infinito”

Exemplo de v´ıdeo com polin´omios https://youtu.be/ArORO9UVlRo

A defini¸c˜ao de limite dada aplica-se quer no caso dea=±∞, quer no caso de l=±∞, considerando vizinhan¸cas esquerdas de +∞ ou vizinhan¸cas direitas de−∞.

Se a∈R, V(a) =]a−δ, a+δ[ Se l∈R, V(l) =]l−ε, l+ε[

Se a= +∞, V(a⁻) =]δ,+∞[ Se l= +∞, V(l⁻) =],+∞[

Se a=−∞, V(a⁺) =]− ∞, δ[ Sel=−∞, V(l⁺) =]− ∞, [

Sejam f : D ⊆ R → R, a ∈ Re um ponto de acumula¸c˜ao de D e l ∈ Re. Em linguagem simb´olica o

x→alimf(x) =l escreve-se Se l, a∈R

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, 0<|x−a|< δ⇒ |f(x)−l|< . e basta notar que V(l) =]l−, l+[ eV(a) =]a−δ, a+δ[

Se l∈R e a= +∞

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, x > δ ⇒ |f(x)−l|< . e basta notar que V(l) =]l−, l+[ eV(a⁻) =]δ,+∞[

Se l= +∞ e a∈R

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, 0<|x−a|< δ⇒f(x)> . e basta notar que V(l⁻) =],+∞[ e V(a) =]a−δ, a+δ[

Se l= +∞ e a= +∞

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, x > δ ⇒f(x)> . e basta notar que V(l⁻) =],+∞[ e V(a⁻) =]δ,+∞[

(28)

Se l=−∞ e a= +∞

∀ >0, ∃δ >0 : ∀x∈D, x > δ⇒ −f(x)> . e basta notar que V(l⁺) =]− ∞, [ eV(a⁻) =]δ,+∞[

Exemplo 2.11. Usemos a defini¸c˜ao para mostrar que lim

x→−∞

1 x = 0.

∀ >0,∃δ >0 :−x > δ⇒ 1 x −0

< ⇔ ∀ >0,∃δ >0 :−x > δ ⇒ −1 x < .

Observe-se que se −x > 1

ent˜ao −1

x < . Assim,

∀ >0,∃δ= 1

>0 :−x > δ⇒ 1 x −0

| {z }

=−¹_x

< ⇔ ∀ >0,∃δ = 1

>0 :−x > 1

⇒ −1 x < .

2.9.4 Limites laterais

Exemplo em v´ıdeo

https://youtu.be/Y7sqB1e4RBI

Diz-se quef tem limitelquando x tende para a, por valores `a direita de aemD

x→alim⁺f(x) =l

se, para cada vizinhan¸ca V(l) de l em Re, existe uma vizinhan¸ca direita V(a⁺) de a em R, tal que f(x)∈ V(l), para todo ox∈ V(a⁺)∩D, ou seja,

Se l∈R, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a, a+δ[∩D⇒ |f(x)−l|<

Se l= +∞, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a, a+δ[∩D⇒f(x)>

Se l=−∞, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a, a+δ[∩D⇒ −f(x)>

Diz-se quef tem limitelquando x tende para a, por valores `a esquerda de aemD

x→alim⁻f(x) =l

se, para cada vizinhan¸ca V(l) de l em R, existe uma vizinhan¸e ca esquerda V(a⁻) de a em R, tal que f(x)∈ V(l), para todo ox∈ V(a⁻)∩D, ou seja,

Se l∈R, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a−δ, a[∩D⇒ |f(x)−l|<

Se l= +∞, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a−δ, a[∩D⇒f(x)>

Se l=−∞, ∀ >0,∃δ >0 :x∈]a−δ, a[∩D⇒ −f(x)>

2.9.5 Propriedades dos limites Unicidade do limite Se existe em Re o lim

x→af(x) então esse limite é único. Porquê?

(29)

Limite e limites laterais Sejamf :D⊆R→Re aum ponto de acumula¸c˜ao de D,

x→alimf(x) =l se e s´o se lim

x→a⁻f(x) = lim

x→a⁺f(x) =l.

a menos quef esteja apenas definida `a direita de aou `a esquerda dea.

Se f est´a definida apenas `a direita dea,

x→alimf(x) = lim

x→a⁺f(x) e se f est´a definida apenas `a esquerda dea

x→alimf(x) = lim

x→a⁻f(x)

Todas as propriedades enunciadas para limites também são válidas para os limites laterais.

2.9.5.1 Infinit´esimos e infinitamente grandes

Se lim

x→af(x) = 0,f diz-se um infinit´esimo coma.

Se lim

x→af(x) =±∞,f diz-se um infinitamente grande coma.

Teorema 2.4. Sejam f :D⊆R→Ruma fun¸c˜ao e a um ponto de acumula¸c˜ao de D.

Se lim

x→af(x) = 0, com f(x)6= 0 numa vizinhan¸ca dea, ent˜ao lim

x→a

1

|f(x)| = +∞.

Se lim

x→a|f(x)|= +∞, ent˜ao lim

x→a

1 f(x) = 0.

Estes resultados costumam traduzir-se dizendo que o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande e que o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo.

Ver o v´ıdeo da khan academy https://youtu.be/ArORO9UVlRo e

https://youtu.be/YqfV4fa12IE e ainda

https://youtu.be/XknP7qYDKX8

e respondam ao question´ario no fim do v´ıdeo

2.9.5.2 Propriedades Aritm´eticas dos Limites

Sejam f :D_f ⊆R→Re g:D_g ⊆R→R,aum ponto de acumula¸c˜ao de D_f ∩D_g.

Se lim

x→af(x) =l e lim

x→ag(x) =m, coml, m∈Re, ent˜ao:

• lim

x→a(f(x)±g(x)) =l±m; • lim

x→a(f(x)g(x)) =l m; • lim

x→a

f(x) g(x) = l

m sem6= 0.

Observa¸cão 2.3. Não estão definidas as opera¸cões do tipo±∞×0; +∞−∞(indetermina¸cões).

(30)

O quociente l

m pode ser encarado como um produto: l× 1 m.

Assim, as indetermina¸c˜oes do tipo ^∞_∞ e ⁰₀, podem ser consideradas como 0× ∞(ou vice-versa).

Se pⁿ

f(x),∀x∈D_f e √ⁿ

l existem emRe lim

x→af(x) =lent˜ao lim

x→a

pn

f(x) =? E sel= +∞?

Alguns doslimites not´aveis que deveremos ter presentes s˜ao os seguintes:

• lim

x→0

senx

x = 1 • lim

x→0

cosx−1

x = 0 • lim

x→0

e^x−1

x = 1 • lim

x→0

ln(x+ 1)

x = 1

• lim

x→+∞

e^x

x^p = +∞, p∈R • lim

x→+∞

lnx

x^p = 0, p∈R⁺ • lim

x→0⁺x^plnx= 0, p∈R⁺. 2.9.6 Teoremas sobre Limites

Teorema 2.5. (Teorema da Permanência do Sinal) Sejam f :D⊆R→R uma fun¸cão ea um ponto de acumula¸cão de D.

Se lim

x→af(x) =l6= 0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca dea, V(a), tal que, para todo o x∈ V(a)∩D\ {a}, f(x) tem o sinal del.

Se lim

x→af(x) =l >0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca de a,V(a) , tal que f(x)>0,∀x∈ V(a)∩D\ {a}.

Se lim

x→af(x) =l <0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca de a,V(a) , tal que f(x)<0,∀x∈ V(a)∩D\ {a}.

Teorema 2.6. (Teorema do Enquadramento) Sejam f, g e h fun¸c˜oes definidas em D ⊆ R e a um ponto de acumula¸c˜ao deD. Se existe uma vizinhan¸caV(a)deatal que f(x)≤h(x)≤g(x), ∀x∈ V(a)∩D\ {a} e

x→alimf(x) = lim

x→ag(x) =l∈Re, ent˜ao

x→alimh(x) =l.

Exerc´ıcio 2.9Para cada uma das fun¸cões cujos gráficos estão esbo¸cados nas figuras abaixo indique, caso existam emRe, os limites lim

x→a⁺f(x) e lim

x→a⁻f(x).

(31)

Figura 2.10: Fun¸c˜oes do exerc´ıcio 2.9.

Exerc´ıcio 2.10Mostre, usando a defini¸c˜ao de limite que lim

x→12(x+ 1) = 4.

Exerc´ıcio 2.11 Seja f : ]1, +∞[→ R definida por f(x) = 1

x. Mostre, usando sucess˜oes, que

x→+∞lim f(x) = 0.

Exerc´ıcio 2.12 Sejaf : D ⊆ R → R. Se existe uma sucess˜ao (xn)n∈N : xn −→ a, xn ∈ D\{a} e (f(xn))_n∈

N n˜ao converge ent˜ao que dizer sobre 1. lim

x→af(x)?

2. lim

x→0sen1 x =?

Exerc´ıcio 2.13Justifique que:

1. lim

x→ax=a 2. lim

x→ac=c;

3. lim

x→0

1

x n˜ao existe em Re; 4. lim

x→0

1

x² = +∞.

Exerc´ıcio 2.14Calcule:

1. lim

x→0

sen(x²) x² ; 2. lim

x→+∞

senx x ;

(32)

3. lim

x→−∞

5x²−sen(3x) x²+ 10 . Exerc´ıcio 2.15Seja lim

x→af(x) =l. Indique o valor l´ogico de cada uma das proposi¸c˜oes:

1. Se l= 0 existe uma vizinhan¸ca de a,V(a), tal quef(x) = 0,∀x∈ V(a)∩D\ {a};

2. Se l= 2π existe uma vizinhan¸ca de a,V(a), tal quef(x)>0,∀x∈ V(a)∩D\ {a};

3. Se l=−∞existe uma vizinhan¸ca de a,V(a), tal quef(x)<0,∀x∈ V(a)∩D\ {a}.

2.10 Fun¸ c˜ oes cont´ınuas

Defini¸cão 2.6. Seja f : D ⊆ R → R. A fun¸cão f é cont´ınua em a ∈ D se e só se para toda a vizinhan¸ca V(f(a))de f(a), existe uma vizinhan¸ca V(a) de a, tal que

f(V(a)∩D)⊆ V(f(a)).

A defini¸c˜ao de continuidade pode ainda traduzir-se por:

∀ >0,∃δ >0 :∀x∈D,|x−a|< δ⇒ |f(x)−f(a)|<

Da defini¸cão resulta imediatamente que se a for ponto isolado de D, a fun¸cão f é cont´ınua em a.

Contudo, n˜ao iremos estudar a continuidade em pontos isolados do dom´ınio da fun¸c˜ao.

Se a∈Dfor um ponto de acumula¸c˜ao de D, dizer quef ´e cont´ınua emasignifica que

x→alimf(x) =f(a).

Se f n˜ao for cont´ınua em a,f diz-sedescont´ınuaema.

Defini¸c˜ao 2.7. Seja f :D⊆R→R. f diz-se cont´ınua se ´e cont´ınua em todos os pontos deD.

Observa¸cão 2.4. 1. Seja f :D⊆R→Re A⊆D. f é cont´ınua emA se e só se f|_Aé cont´ınua.

2. Se a fun¸c˜ao est´a definida num intervalo [a, b], f diz-se cont´ınua em a se lim

x→a⁺f(x) = f(a).

Analogamente, f diz-se cont´ınua emb se lim

x→b⁻f(x) =f(b).

2.10.1 Propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas

Teorema 2.7. (Propriedades aritméticas das fun¸cões cont´ınuas) Se f : Df ⊆ R → R e g : D_g ⊆ R → R são fun¸cões cont´ınuas em a ∈ D_f ∩D_g então as seguintes fun¸cões também são cont´ınuas ema:

(a) f±g; (b) f·g; (c) f

g, se g(a)6= 0.

A rec´ıproca da proposi¸cão anterior é falsa. Dê exemplos de fun¸cões descont´ınuas em que

f±g seja cont´ınua;

f·gseja cont´ınua;

f

g, com g(a)6= 0 seja cont´ınua.

(33)

Teorema 2.8. (Composi¸cão de fun¸cões ) Se f :D_f ⊆R→ R tem limite l ∈R quando x tende para ae g:D_g ⊆R→Ré cont´ınua em l∈D_g então a fun¸cão composta g◦f tem limiteg(l) quando x tende para a:

x→alimg(f(x)) =g( lim

x→af(x)) =g(l).

Como consequência, a composi¸cão de fun¸cões cont´ınuas é cont´ınua.

Corolário 1. Se f :D_f ⊆ R → R é uma fun¸cão cont´ınua em a e g :Dg ⊆ R→ R é cont´ınua em f(a)∈D_g então a fun¸cão composta g◦f é cont´ınua em a.

Teorema 2.9. (Continuidade da fun¸cão inversa) Seja D_f um intervalo de números reais, f : D_f ⊆ R → R uma fun¸cão cont´ınua em D_f e invert´ıvel. Então a sua inversa, f⁻¹ : CD_f → R, é cont´ınua em CDf.

Exerc´ıcio 2.16

Caracterize a fun¸cão inversa da fun¸cão f e estude-a quanto à continuidade, sendo (a)f(x) = e^1−2x (b)f(x) = 5 ln(x−3)−1

4 2.10.1.1 Mais algumas indetermina¸c˜oes

Se h:D⊆R→R, ´e definida porh(x) =f(x)^g(x) e f(x)>0, ∀x∈D, pode usar-se a transforma¸c˜ao f(x)^g(x)=e^ln^f(x)^g(x) =e^{g(x) ln}^f^(x)

para efeitos de determina¸c˜ao do seu limite.

Como a fun¸c˜ao exponencial ´e cont´ınua, se existir o lim

x→ag(x) lnf(x) ent˜ao,

x→alimf(x)^g(x)=elim

x→ag(x) lnf(x) .

Este facto usa-se para “levantar”indetermina¸c˜oes do tipo 0⁰, 1^∞ e ∞⁰. Exerc´ıcio resolvido 2.1. Determinar o limite lim

x→0⁺2x^sen^x. Resolu¸c˜ao: lim

x→0⁺x = 0 e lim

x→0⁺senx = 0, o que conduz a uma indetermina¸c˜ao do tipo 0⁰. Atendendo a que, x >0 porquex→0⁺,

x^senx = e^{ln (x}^sen^x⁾ = e^sen^x^ln^x e lim

x→0⁺e^sen^x^ln^x =e lim

x→0⁺senxlnx basta determinar o lim

x→0⁺senxlnx.

x→0lim⁺senxlnx= lim

x→0⁺

senx

x xlnx= 1·0 = 0 Ent˜ao,

x→0lim⁺2x^sen^x= 2 lim

x→0⁺e^sen^x^ln^x= 2e lim

x→0⁺senxlnx

= 2e⁰ = 2 Exerc´ıcio resolvido 2.2. Determinar o lim

x→0⁺

1 x

tgx

.