FUNÇÃO QUADRÁTICA1. (Uerj 2016) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a

(1)

APUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

MATÉRIA: MATEMÁTICA PROF.(A).: EMANUEL SÉRIE

: 3ª EM

ALUNO(A): TURMA: TURNO:

FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. (Uerj 2016) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a ^{6 cm,} inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura:

Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas ^x e ^y de seus lados.

2. (Pucrj 2015) Considere o triângulo retângulo de catetos _{AB 6} e _{AC 8} indicado na figura.

a) Calcule a altura h do triângulo ABC, relativa à hipotenusa.

b) Sejam u e v os lados de um retângulo inscrito no triângulo como na figura, ou seja, com um lado contido na hipotenusa, e os outros dois vértices pertencentes aos catetos. Calcule u em função de v.

c) Quando ^v varia de 0 a h, quais são os possíveis valores da área do retângulo?

3. (Unifesp 2015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) 0,05t²2t 25. Nessa função, considera-se t0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento.

Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira.

a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?

b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose?

Rio de Janeiro, ________ de _____________________________ de 2016.

APROFUNDAMENTO 8

(2)

PARANAPUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de reais?

5. (Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação y ^x² ¹¹x 3 6 6

   e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.

Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.

a) Determine as coordenadas do ponto A.

b) Determine as coordenadas do ponto C.

c) Calcule a área do retângulo ABCD.

6. (Uftm 2012) Certa fonte multimídia promove um balé de água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que bombas hidráulicas fazem milhares de litros de água circularem por minuto em alta pressão por canos de aço, dando vida a um show de formas, entre as quais parábolas, conforme ilustra a figura.

A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita pela função ^{h t}

 

^^{12t – t ,}² ^com^{t 0,}^ onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do jato no instante t.

Nessas condições:

a) determine, após o lançamento, a altura máxima que o jato alcança.

b) construa o gráfico da função, explicando o que acontece no instante t 12 s.

7. (Uff 2012) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo cujos vértices são os pontos



2,0 , 2,0 e 0,3

    

, e R o retângulo de vértices



x,0 , x,0 ,0 x 2

  

  , e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T.

Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.

8. (Ufes 2012) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a figura plana esboçada a seguir.

(3)

APUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo é de 24 m e que a altura máxima da trajetória do alvo

é de 16 m, determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo.

b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo α30º com a horizontal, determine as coordenadas cartesianas do ponto P.

9. (Ueg 2011) Considere um retângulo com dimensões x e y e perímetro de 200 metros.

a) Expresse a área desse retângulo em função da medida x.

b) Esboce o gráfico da função área em função da medida x.

10. (G1 - cftrj 2011) Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são tangentes. Sabendo que ^{f x}

 

^^x²^^2k e

 

g x 2x k , calcule ^{f 2}

 

^^{g 3}

 

.

11. (Ufpr 2010) Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.

a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x.

b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo?

12. (Uff 2010) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm².

(4)

PARANAPUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 Determine:

a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm²; b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível.

Justifique suas respostas.

13. (Pucrj 2015) a) Para quais valores reais de ^x a inequação abaixo é satisfeita?

x27x 15 3(x 2)  

b) Para quais valores reais de x a inequação abaixo é satisfeita?

x2 7x 15 3 x 2

  



14. (Pucrj 2012) Encontre que valores reais de x satisfazem a cada desigualdade abaixo:

a) x² 4x 5 1

   2 b) _x²__{4x 5 1}_{ } c) _x²__{4x 5}_{ }₂

(5)

Gabarito:

Resposta da questão 1:

A medida do lado do triângulo equilátero é igual a 6 2cm.

3  Logo, sua altura é 2 3

3 cm.

2

  Além disso, o retângulo de base x cm determina um triângulo equilátero de lado igual a ^{x cm,} com 0 x 2.  Por conseguinte, da semelhança dos triângulos equiláteros, vem

x 3 y 2 ( 3 y)

x .

2 3 3

  

  

A área, A, do retângulo é dada por

2

A x y 2 ( 3 y)

3 y

3 2 3

y .

2 3 2

 

 

 

 

    

 

Desde que a área é máxima, temos y 3

 2 e x 1.

a) BC² 6²8²BC 10

Utilizando a relação métrica BC h AB AC,   temos:

10 h 6 8    h 4,8

b) ADE ABC u 4,8 v 4,8u 48 10v u 10 25 v

10 4,8 12

Δ Δ          

c) A área A do retângulo será dada por:

25 25 2

A u v 10 v v A 10v v

12 12

 

         

O valor da área máxima será dado por: ^máx

A 100 12

25 4 a 4

12

  Δ   

    Portanto, 0 v 12. 

(6)

PARANAPUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

2 2

0,05t 2t 25 40 (t 20) 100 t 10 h ou t 30 h.

      

  

A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá ^{40 ppm} pela primeira vez às ^{11 10 21h}^ ^ da segunda-feira.

b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após 2 2 ( 0,05) 20

 

  horas.

Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as 20 (24 11) 7   horas da terça-feira.

a) C(t) = 50 + 30.(20t – t²) C(t) = –30t² + 600t + 50 b) 2300 = –30t² + 600t + 50

Dividindo por 30, temos:

30t² – 600t + 2250 = 0

t² – 20.t + 75 = 0

Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.

a) Sabendo que ^{D (3, 0),}^ vem xA xD3. Além disso, como A pertence à parábola, temos

A A

2

y f(x )

3 11 3 3 6 6

1.



   

 

b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que y_By_A  1. Assim,

2 2

C C C C

C

x 11x 3 1 x 11x 24 0 6 6

x 8

       

 

e, portanto, ^{C (8, 0).}^

c) A área do retângulo ABCD é dada por

C D A

(x x ) | f(x ) | (8 3) | 1| 5 u.a.     

a) Reescrevendo a lei da função h sob a forma canônica, obtemos

2 2

h(t) 12t t  36 (t 6) . 

Portanto, a altura máxima que o jato alcança é ^{36 m,} no instante ^t^^{6 s.}

b) Quando ^{t 12 s,}^ h é igual a zero, ou seja, o jato retorna ao solo.

(7)

Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que:

2x 3 h 3.x

h 3

4 3 2

     

Considere A, a área do retângulo R.

2

V

A 2x. 3.x 3 2 A 3x 6x

b 6

x 1

2.a 2.( 3)

 

   

  

    

 Portanto, x = 1.

a)

(8)

PARANAPUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

a = -1/9 _y ¹ _{x.(x 24)} _y ^x² ²⁴ _y ^x² ^8x

9 9 9 9 3

             b) A reta será dada pela equação y = tg30º.x, ou seja y = 3 x

3 

Resolvendo o sistema

x2 8x

y 9 3

, y 3 x

3

   





 



temos :

P(0,0) ou P(24 3 3,8 3 3)  Resposta: P(24-3 3,8 3 3) .

a) Se o perímetro do retângulo mede 200 metros, então:

2 (x y) 200    y 100 x,

com 0 x 100. 

Logo, a área A do retângulo, em função de ^x, é dada por A(x) x (100 x),  

com 0 x 100.  b) Considere o gráfico abaixo.

Resposta da questão 10:

f(x) = g(x)

2 2

x 2k 2x k x 2x k 0

  

  

O valor do delta será zero, pois os gráficos das funções são tangentes.

4 – 4k = 0 k = 1

Logo, f(x) x ²2 e g(x) 2x + 1

Portanto, f(2) g(3) 2  ²    2 2 3 1 13.

Vamos considerar todas as medidas em cm.

(9)

APUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 a) V = (40 – 2x);100.x

V = - 200x²+ 4000x b) _V b (4000)

x 10cm

2a 2.( 200)

 

  



x 4 - x

y x

1 6 = 4

y² = x² + (4-x)² 9 = x² + 16 – 8x + x²

2x² -8x + 7 = 0, resolvendo temos:

AM = 2

2 2 e MB = 2 2 2 y² = x² + (4-x)²

A = 2x² -8x + 16 2 2 . 2

) 8 ( 

 

xV logo AM = MB = 2

a) x²7x 15 3(x 2)   x²10x 21 0   x 3 ou x7.

(10)

PARANAPUÃRua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 Resposta: ^{x^ ^{| x 3 ou x}^ ^^7}.

b) x² 7x 15 3 x² 7x 15 3 (x 2) 0 x² 10x 21 0

x 2 x 2 x 2

        

    

  

Fazendo o estudo de sinal da função produto, temos:

Resposta: {x | 2 x 3 ou x  7}.

a) x² 4x 5 1 x² 4x 5 1 4x² 16x 19 0,

2 4

           logo a solução é S R.

b) x²4x 5 1  x²4x 5 1  x²4x 4 0    S R {2}.

c) x²4x 5  2 x²4x 5 4  x²4x 1 0   S {x r / x 2   3 ou x 2  3}.