P
r i n c í p i o s
G
e r a i s
O
b j e t i v o s d oC
a p í t u l o• Oferecer uma introdução às quantidades básicas e idealizações da mecânica.
• Apresentar o enunciado das leis de Newton do movimento e da gravitação.
• Revisar os princípios para a aplicação do Sistema Internacional de Unidades - SI.
• Investigar os procedimentos padrão de execução de cálculos numéricos.
• Oferecer uma orientação geral para a resolução de problemas.
1.1
M
e c â n i c aA mecânica é definida com o o ram o das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de m ovim en-to de corpos sujeien-tos à ação de forças. Em geral, esse
assunto é subdividido em mecânica dos cor pos r ígidos, mecânica dos cor pos defor máveis e mecânica dos fl uidos. E ste livro trata apenas da m ecânica dos corpos rígidos, um a vez que esta constitui um a base ad e quada para o pro jeto e a análise de m uitos tipos de dispositivos estruturais, m ecânicos ou elétricos encontrados na engenharia. A lém disso, ela fornece o conhecim ento necessá-rio para o estudo da mecânica dos corpos deform áveis e da m ecânica dos fluidos.
A m ecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâm i-ca. A estática trata do equilíbrio dos corpos, isto é, daqueles que estão em repouso ou em m ovim ento, com velocidade constante; já a di nâmica pre o cu -pa-se com o m ovim ento acelerado dos corpos. A pesar de a estática p o d e r ser considerada um caso especial da dinâm ica, no qual a aceleração é nula, ela m erece trata m e n to separado no estudo da engenharia, um a vez que m uitos objetos são desenvolvidos com o intuito de que se m antenham em equilíbrio. D esenvol vi mento H i stór i co. O s prin cíp io s da e stá tic a d e se n v o lv e ra m -se há m uito tem p o , p o rq u e p o d iam ser explicados sim p le sm e n te p o r m ed içõ e s de g e o m e tria e força. P or exem plo, os esc rito s de A rq u im e d e s (287-212 a.C .) tra ta m do prin cíp io da alavanca. E stu d o s so b re polia, p la n o in c lin a -do e to rç ã o tam b ém ap a re c e m re g istra d o s em e sc rito s antigos, d a é p o c a em que os re q u isito s da e n g e n h a ria re strin g ia m se b a sic a m e n te à c o n s tru -ção de edifícios.
C om o os princípios da dinâm ica dependem da m edição precisa do tem po, esse assunto se desenvolveu bem mais tarde. G alileu Galilei (1564-1642) foi um dos prim eiros que m uito contribuiu nesse campo. Seu trabalho consistiu em experiências com pêndulos e corpos em queda. As contribuições m ais sig-nificativas para a dinâm ica, no entanto, foram oferecidas por Isaac N ew ton (1642-1727), conhecido por sua explicação das três leis fundam entais do m ovi-m en to e pela lei universal da atração da gravidade. Pouco depois que essas leis foram postuladas, técnicas im portantes para sua aplicação foram desenvolvi-das p o r E uler, D ’A lem bert, Lagrange e outros.
1 .2
C
o n c e i t o sF
u n d a m e n t a i sA n tes de com eçarm os o estudo da m ecânica, é im portante com preender o significado de alguns conceitos e princípios fundam entais.
Q uanti dades Bási cas. As quatro quantidades que se seguem são usadas em to d a a m ecânica.
Compr i mento. O com prim ento é necessário para localizar a posição de um p o n to no espaço e, por m eio dele, descrever a dim ensão de um sistem a físico. U m a vez definida um a unidadepadrão de com prim ento, podese definir q u a n -tita tiva m e nte distâncias e propriedades geom étricas de um corpo com o m últiplos da unidade de com prim ento.
Tempo. O tem po é concebido com o uma sucessão de eventos. A pesar de os princípios da estática serem independentes do tem po, essa quantidade desem -penha im po rtan te papel no estudo da dinâmica.
M assa. A m assa é um a p ropriedade da m atéria pela qual se pode com parar a ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se m anifesta com o uma atra ção da gravidade e n tre dois corpos e fornece a m edida quantitativa da resis-tência da m atéria à m udança de velocidade.
Força. E m geral, a for ça é considerada um ‘em p u rrã o ’ ou ‘puxão’ exercido por um corpo sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando há contato dire-to e n tre os dois corpos, com o quando um a pessoa em purra um a parede, ou pode o c o rrer à distância, q u ando os corpos estão fisicam ente separados. Alguns exem plos deste últim o caso são as forças da gravidade, elétricas e magnéticas. E m q u a lq u er caso, a força é com pletam ente caracterizada por sua intensida-de, direção e pon to de aplicação.
I deal i zações. As idealizações ou m odelos são usadas em m ecânica a sim pli-ficar a aplicação da teoria. A lgum as das idealizações serão definidas a seguir. O u tra s serão discutidas em o utros m om entos, quando for necessário.
Ponto Mater ial. U m ponto mater ial possui m assa, porém suas dim ensões são desprezíveis. Por exem plo, o tam anho da Terra é insignificante com parado às dim ensões de sua órbita e, portanto, ela pode ser m odelada com o um ponto m aterial ao se estu d ar seu m ovim ento orbital. Q uando um corpo é idealizado com o um p o n to m aterial, os princípios da m ecânica reduzem -se a um a form a sim plificada, um a vez que a geom etria do corpo não será envolvida na análise do problem a.
m ecanism os e sim ilares são relativam ente pequenas e a hipótese de corpo rígi-do é adequada para a análise.
Força Concentr ada. U m a força concentrada re p resen ta o efeito de um a car-ga adm itida com o atuando em um ponto do corpo. Pode-se re p resen ta r uma carga com o força concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, com parada às dim ensões totais do corpo. Um exem plo seria a força de contato entre um a roda e o terreno.
As Três Lei s cio M ovi mento de N ew ton. Tudo o que a m ecânica aborda é explicado a p artir das três leis do m ovim ento de N ew ton, cuja validade é basea-da em observações experim entais. Essas leis se aplicam ao m ovim ento do ponto m aterial m edido a p artir de um sistem a de referência não acelerado.* Em re la-ção à Figura 1.1, pode-se dizer, em resumo, o que se segue.
Primeira Lei. U m ponto m aterial inicialm ente em repouso ou m ovendo-se em linha reta, com velocidade constante, perm anece nesse estado desde que não seja subm etido a uma força desequilibrada.
Segunda Lei. Um ponto m aterial sob a ação de um a for ça desequilibr ada F sofre um a aceleração a que tem a m esm a direção da força e grandeza d ire ta -m ente proporcional a ele.1 Se F for aplicada a u-m ponto -m aterial de -massa -m, essa lei pode ser expressa m atem aticam ente como:
Terceira Lei. As forças m útuas de ação e reação entre dois pontos m ateriais são iguais, opostas e colineares.
Lei de N ew ton de Atr ação da G r avi dade. Depois de explicar suas três leis do m ovim ento, N ew ton postulou a lei que governa a atração da gravidade entre dois pontos m ateriais quaisquer. Expressa m atem aticam ente:
F = força da gravidade entre os dois pontos m ateriais G = constante universal da gravidade; de acordo com
evi-dência experim ental, G = 66,73(10 -12) m 3/(k g * s 2) m u m2 = massa de cada um dos dois pontos m ateriais
r = distância entre os dois pontos m ateriais
Peso. De acordo com a Equação 1.2, quaisquer dois pontos m ateriais ou cor-pos têm uma força de atração m útua (gravitacional) que atua entre eles. E ntretanto, no caso de um ponto m aterial localizada sobre a superfície da Terra ou próxima dela, a única força de gravidade com intensidade m ensurável é aq u e-la entre a Terra e o ponto m aterial. C onseqüentem ente, essa força, denom inada peso, será a única força da gravidade considerada neste estudo da m ecânica.
Pela Equação 1.2, pode-se desenvolver uma expressão aproxim ada para deter-minar o peso W de um ponto material com massa m x = m. Adm itindo-se que a Terra seja uma esfera de densidade constante que não gire e que tenha massa m2
= M t , e se r é a distância entre o centro da Terra e o ponto material, tem-se:
* Como vimos à p. 2, neste livro optou-se pelo uso do term o 'ponto material'; em alguns casos, como o das leis de Newton, seria comum também o uso do termo párticula’ (N. do E.).
1 D ito de outra m aneira, a força desequilibrada que atua sobre o ponto material é proporcional à taxa de mudança do momento linear deste.
Fazendo-se g = GM r lr 2, tem-se:
W = mg (1.3)
Por com paração com F = m a, denom inam os g a aceleração devida à gra-vidade. C om o ela depende de r, pode-se observar que o peso de um corpo não é um a quantidade absoluta. A o contrário, sua intensidade é determ inada onde a m edição foi feita. Para a m aioria dos cálculos de engenharia, entre tan to , g é determ in a d a ao nível do m ar e na latitude de 45°, que é considerada a 'locali- zação -p ad râ o ’.
1 .3
U
n i d a d e s d eM
e d i d aAs qu atro quantidades básicas — força, massa, com prim ento e tem po — não são todas independentes umas das outras. Elas estão r elacionadas pela segunda lei do m ovim ento de Newton, F = ma. Por causa disso, as unidades usadas para m edir essas quantidades não podem ser selecionadas a rb itra ria-m ente. A igualdade F = ria-m a é ria-m antida soria-m ente se três das quatro unidades, cham adas uni dades básicas, são defini das ar bitr ar iamente, e a quarta unidade é en tã o der ivada da equação.
U ni dades SI . O Sistem a Internacional de Unidades, abreviado SI, do fran-cês “ Systèm e In ternational d ‘U n ités”, é uma versão m oderna do sistem a m étrico que teve aceitação m undial. C om o m ostra a Tabela 1.1, o sistem a SI especifica o com prim ento em m etros (m), o tem po em segundos (s) e a massa em quilogram as (kg). A unidade de força, cham ada new ton (N), é der ivada de F = m a. Assim, um new ton é igual à força requerida para dar a 1 quilogram a de m assa um a aceleração de 1 m/s2 (N = kg-m /s2).
Se o peso de um corpo situado na ‘localização-padrão’ for determ inado em new tons, en tão deverá ser aplicada a Equação 1.3. Nessa equação, g = 9,80665 m/s2; en tre tan to , nos cálculos, será usado o valor g = 9,81 m /s2. Assim:
l kg W = mg (g = 9,81 m /s2) (1.4)
Portanto, um corpo de massa de 1 kg pesa 9,81 N, um corpo de 2 kg pesa *9,8i n 19,62 N e assim por diante (Figura 1.2a).
Si stem a U sual A mer i cano. No sistem a de unidades U sual A m ericano (FPS
— feet, pound, second — pé, libra, segundo), o com prim ento é m edido em pés (pés), a força em libras (lb) e o tem po em segundos (s) (Tabela 1.1). A uni-
] ]u dade de m assa, cham ada sl ug, é der ivada de F = ma. Portanto, 1 slug é igual r à quantidade de m atéria acelerada de 1 pé/s2 quando acionada por um a força
de 1 lb (slug - lb • s2/pé).
P ara se d e term in a r a m assa de um corpo que tenha o peso m edido em 32,2 lb libras, deve-se aplicar a E quação 1.3. Se as m edidas forem feitas na ‘localiza-(b) çã o -p a d rã o ’, então g — 32,2 pé/s2 será usado nos cálculos. Portanto:
Figura 1.2 W ,
m = — (g = 32,2 p és/s2) (1.5)
T ab el a 1.1 • Si st em as de U n i d ad es
Nome Comprimento Tempo Massa Força
Sistema Internacional metro segundo quilograma newton*
de Unidades (m) (s) (kg) (N)
(SI )
( T )
Usual Americano pé segundo slug*
\ s / libra
/l b - s2\
(FPS) (pé) (s) V pé / (lb)
* Unidade derivada.
Conver são de U ni dades. A Tabela 1.2 fornece um conjunto de fatores de conversão direta entre unidades FPS e SI para as quan tid ades básicas. A lém disso, lem bre-se de que no sistem a FPS, 1 pé = 12 polegadas, 5.280 pés = 1 milha, 1.000 lb = 1 kip (quilo-libra) e 2.000 lb = 1 t.
T ab el a 1.2 • Fa t o r e s d e Co n v e r sã o
Unidade de Unidade de
Quantidade medida Igual a medida (SI)
(FPS)
Força lb 4,4482 N
Massa slug 14,5938 kg
Comprimento pé 0,3048 m
1 .4
S
i s t e m aI
n t e r n a c i o n a l d eU
n i d a d e sO sistema SI será b astante usado neste livro, visto que se p re te n d e torná- lo o padrão de m edidas m undial. Por isso, as regras para seu uso e a term inologia relevante para a m ecânica são apresentadas a seguir.
Pr efi xos. Q uando um a quan tid ade num érica é muito grande ou m uito p eq u e-na, as unidades usadas para definir seu tam anho devem ser ac om panhadas de um prefixo. Alguns dos prefixos usados no sistem a SI são m ostrados na Tabela 1.3. Cada um representa um m últiplo ou subm últiplo de um a unidade que, apli-cado sucessivamente, move o po nto decim al de uma quantid ade num érica p ara cada terceira casa decim al.2 Por exemplo, 4.000.000 N = 4.000 kN (quilonew - ton) = 4 MN (m eganew ton) ou 0,005 m = 5 mm (m ilím etros). O bserve que o sistem a SI não inclui o m últiplo deca (10) nem o subm últiplo centi (0,01), que fazem parte do sistem a métrico. Exceto para algum as m edidas de volum e e área, o uso desses prefixos deve ser evitado em ciência e engenharia.
Regr as de Uso. As regras a seguir perm item o uso ad e q u ad o dos vários sím -bolos SI:
1. Um sím bolo nunca é escrito no plural, uma vez que pode ser co nfun-dido com a unidade de segundo (s).
Ta b e l a 1.3 • Pr e f i x o s
Forma exponencial Prefixo Símbolo SI Múltiplo 1 000 000 000 IO9 giga G 1 000 000 106 mega M 1 000 103 quilo k Submúltiplo 0,001 IO"3 mili m 0,000 001 IO-6 micro P 0,000 000 001 10“9 nano n
2. Os sím bolos devem ser sem pre escritos com letras minúsculas, com as seguintes exceções: os símbolos dos dois prefixos m aiores m ostrados na Tabela 1.3, giga e m ega, G e M, respectivam ente, devem ser sem pre escritos com letra maiúscula; os símbolos referentes a nomes de pes-soas tam bém devem ser escritos com letra maiúscula, por exemplo, N. 3. Q u a n tidad e s definidas por diferentes unidades que são m últiplas um as das outras devem ser separadas por um ponto para evitar con-fusão com a n otação do prefixo, com o no caso de = k g -m /s2 = k g - n v s - 2 . D a m esm a m aneira, m*s (m etro-segundo), en quanto ms (m ilissegundo).
4. Potência re p resen ta d a por uma unidade refere-se a am bas as unida-des e seu prefixo. Por exem plo, p.N 2 = (;u.N)2 = pN • pN. D a m esm a m aneira, m m 2 re p resen ta (m m )2 = m m ‘ mm.
5. A o realizar cálculos, represente os núm eros em term os de suas uni -dades básicas ou der ivadas, convertendo todos os prefixos a potências de 10. O resu ltad o final deve en tão ser expresso usando-se um único pr efi xo. A lém disso, após os cálculos, é m elhor m an ter os valores num éricos e n tre 0,1 e 1.000; caso contrário, deve ser escolhido um p re -fixo adequado. Por exem plo:
(50 kN)(60 nm ) = [50(103) N ][6 0(10 '9) m]
= 3.000(10~6) N • m = 3(10 3) N • m = 3 mN • m 6. Prefixos com postos não devem ser usados. Por exem plo, kps (quilo- m icrossegundo) deve ser expresso com o ms (m ilissegundo), visto que 1 kps = 1(103)(1 0-6) s = 1(10“3) s = 1 ms.
7. Com exceção da unidade básica quilogram a, evite, em geral, o uso de prefixo no denom inador de unidades compostas. Por exemplo, não escre-va N/mm, mas kN/m; além disso m/mg deve ser escrito como Mm/kg. 8. A p e sa r de não serem expressos em m últiplos de 10, o m inuto, a hora etc. são m antidos, p o r razões práticas, com o m últiplos do segundo. A lém do mais, as m edidas angulares planas são feitas em radianos (rad). N este livro, en tretanto, serão usados com freqüência graus, sendo 180° = tt rad.
1 .5
C
á l c u l o sN
u m é r i c o sH omogenei dade D i mensi onal . Os termos de qualquer equação usada para des-crever um processo físico devem ser dimensionalmente homogêneos, ou seja, cada um deles deve ser expresso nas mesmas unidades. Se for o caso, todos os term os de uma equação poderão ser combinados se os valores numéricos forem substi-tuídos pelas variáveis. Vamos considerar, por exemplo, a equaçãos s = vt + 1 Hat2, na qual, em unidades SI, 5 é a posição em m etros, t é o tem po em segundos (s), v é a velocidade em m/s e a é a aceleração em m/s2. In dep en d en tem en te de com o a equação seja avaliada, ela m antém sua hom ogeneidade dim ensional. Na form a descrita, cada um dos três term os é expresso em m etros [m, (m/s)8, (m/á?)S2J ou, resolvendo em função de a, a = 2s/ t 2 — 2v/t, cada um dos term os é expresso em unidades de m /s2 [m /s2, m /s2, (m/s)/sj.
Com o os problem as de m ecânica envolvem a solução de equações dim en-sionalm ente hom ogêneas, o fato de que todos os term os de um a equação são representados p o r um conjunto de unidades consistente pode ser usado com o verificação parcial para m anipulações algébricas de um a equação.
Al gar i smos Si gni fi cati vos. A precisão de um núm ero é d eterm in a d a pela quantidade de algarism os significativos que ele contém . Al gar i smo significati-vo é qualquer algarism o, inclusive o zero, desde que não seja usado para especificar a localização de um ponto decimal do núm ero. Por exem plo, 5.604 e 34,52 têm . cada um, quatro algarism os significativos. Q u a n d o os núm eros com eçam ou term inam com zeros, entretanto, é difícil dizer quan to s algarism os significativos há neles. Vamos considerar o núm ero 400. Ele tem um (4), talvez dois (40), ou três (400) algarism os significativos? A fim de esclarecer essa situa-ção, o núm ero deve ser descrito com o potência de 10. U sando a notação da engenharia, o expoente é expresso em m últiplos de três para facilitar a conver-são das unidades SI para as que tenham prefixo apropriado. Assim , 400 expresso com um algarism o significativo deve ser escrito 0,4(103). D a m esm a m aneira, 2.500 e 0,00546 expressos com três algarism os significativos devem ser escritos assim: 2,50(103) e 5,46(10“ 3).
A r r edondamento de Númer os. Nos cálculos numéricos, a precisão do resul-tado de um problem a em geral não pode ser m elhor do que a precisão dos dados do problem a. É o que se espera, mas freqüentem ente calculadoras de bolso ou com putadores envolvem mais dígitos na resposta do que o núm ero de algaris-mos significativos dos dados. Por essa razão, o resultado calculado deve ser sem pre 'a rredo ndado ' para um núm ero apropriado de algarism os significativos.
Para assegurar um a precisão apropriada, aplicam -se as seguintes regras de arredo nd am ento de um núm ero com n algarism os significativos:
• Se o n + 1 dígito for menor do que 5, o n + 1 dígito e os ou tros que o seguem devem ser descartados. Por exem plo, 2,326 e 0,451, a rre d o n -dados com n = 2 dígitos significativos, tornam -se 2,3 e 0,45.
• Se o n + 1 dígito for igual a 5 seguido de zeros, arred on da-se o ené- simo dígito para um núm ero par. Por exem plo, 1,245(103) e 0,8655, arred on dad os com n = 3 algarism os significativos, tornam -se 1,24(103) e 0,866.
• Se o n + 1 dígito for maior do que ou igual a 5 seguido de q u alq uer qu antidade de dígitos diferentes de zero, então aum enta-se o enési- mo dígito de 1 e abandona-se o n + 1 dígito e os que o seguem . Por exem plo, 0,723 87 e 565,500 3, arredondados com n = 3 dígitos signi-ficativos, tornam -se 0.724 e 566.
fazer os cálculos de m odo que núm eros aproxim adam ente iguais não sejam sub-traídos, um a vez que a precisão em geral é perdida no resultado do cálculo.
Nos cálculos de engenharia, costum a-se arredondar a resposta final com três algarism os significativos, já que os dados de geom etria, cargas e outras m edidas são expressos com essa precisão.3 Por isso, neste livro, os cálculos interm ediários dos exem plos em boa parte são realizados com quatro algarismos significativos e as respostas são dadas em geral com três algarismos significativos.
E X E M P L O 1 . 1
C onverta 2 km /h para m/s. Q uantos pés vale essa m edida?
SOLUÇÃO
C om o 1 km = 1.000 m e 1 h = 3.600 s, os fatores de conversão são organiza-dos na seguinte ordem , de m odo que possa ser feito um cancelam ento de unidades:
2 k m /h = 2 kríi /1 .0 0 0 m K V k á
2.000 m
I t f 3.600 s = 0,556 m /s 3.600 sP ela Tabela 1.2,1 pé = 0,3048 m. Assim: 0,556h í 1 pé 0,556 m /s = s 0,3048 i h = 1,82 p és/s Resposta Resposta
E X E M P L O 1 . 2
C o nv erta as q u an tidad es 300 lb • s e 52 slug/pé3 para unidades SI a p ro -priadas.
SOLUÇÃO
U sando a Tabela 1.2, 1 lb = 4,448 2 N. 300 lb • s = 300 lb s 4,4482 N Y6 = 1.334,5 N - s = 1,33 k N -s A lém disso, 1 slug = 14,593 8 kg e 1 pé = 0,304 8 m. 52 slu g /p é 3 = 52 sltíg /'14,593 8 k g \l pê Y
pré3 '^ 1 sltíg ) V 0,3048 m j = 26,8(103)kg /m 3 = 26,8 M g/m 3 Resposta RespostaE X E M P L O 1 . 3 ________________________________________________
Avalie cada um a das seguintes expressões e expresse-as em unidades SI com prefixo adequado: (a) (50 m N)(6 G N ), (b) (400 m m ) (0,6 M N )2, (c) 45 M N3/900 Gg.SOLUÇÃO
Prim eiram ente, converta cada núm ero para unidades básicas, execute as operações indicadas e depois escolha um prefixo ad e quado (consulte a R egra 5 da p. 6).
Par te (a)
O bserve com atenção a convenção kN 2 = (k N )2 = 106 N 2 (R e g ra 4 da p. 6). Par te (b) (400 mm)(0,6 M N )2 = [400(10”3) m][0,6(106) N ]2 = [400(10~3) m][0,36(1012) N : ] = 144( 109) m • N 2 (50 m N )(6 G N ) - [50(10“3) N][6(109) N] = 300(106) N 2 = 300 k N 2 Resposta = 144 Gm • N Resposta
Podem os escrever tam bém :
= 0,144 m - M N 2 Par te (c) 45 M N 3/900 Gg = 45(106 N )3 ~ 900(106) kg = 0,05(1012) N 3/k g = 0,05(103) k N 3/k g = 50 k N 3/k g Resposta
