Um novo metodo preditor-corretor para fluxo de potencia otimo

Institutode Matemáti a Estatísti aeComputaçãoCientí a

Departamento de Matemáti a Apli ada

Um novo Método Preditor-Corretor para

Fluxo de Potên ia Ótimo

Roy Wilhelm Probst

DoutoradoemMatemáti aApli ada

Orientador: Prof. Dr. Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira

Trabalho nan iado pelaFAPESP

Campinas

F

I

C

H

A CATA

LOGRÁ

F

I

CA E

L

A

BO

RADA PELA

BIB

L

IO

TECA

DO I

MECC

D

A UNICAMP

Bibliotecária: Crisllene Queiroz Custódio

-

CRB8

I

7966

Probst,

Ro

y

Wilhelrn

P94n

Um

novo método preditor-corretor para fluxo de

potência

óti

mo

I

Roy

Wilhelm

Probst --

Campinas,

[S

.

P

.

: s.n.], 20

I O

.

Orientador

:

Aurelio

Ribeiro Leite de Oliveira

Tese

(

doutorado)-

Universidade

Estadual de

Campinas,

Instituto

de

Matemática, Estatística e Computação

Ci

entífica.

I

.

Métodos

de ponto

s

interiores.

2. Sistemas

de

potência. 3.

Programação

não-linear. 4. Método preditor-corr

eto

r

.

I.

Oliveira, Aurelio

Ribeiro Leite de

.

1

1.

Universidade

Estadual de

Campinas.

Instituto de

Matemática, Estatística e Computação

Científica

.

I

li.

Títul

o.

Título em inglês: A

new predietor

-co

rrector method for

optimal

power tlow.

Palavras-chave em inglês (Keywords):

I. Jnterior point

methods. 2.

Power

sys

tem

s.

3. Nonlinear

programming

.

4. Predictor-

cor

rector method.

Área

de

concentração:

Pesqui

sa

Operacional

Titulação:

Doutor em Matemática Aplicada

Banca examinadora:

Pro

f.

Dr

.

Aurelio

Ribeiro Lei

te

de Oliveira ([MECC-UNICAMP)

Profa

.

Ora

.

Márc

i

a

Aparecida Gomes Ruggiero (IMECC-UNI

CAMP)

Prof. Dr

.

Secundino Soares

Filho

(FEEC-UN

ICAMP)

Prof. Dr.

Geraldo

Roberto Martins da

Costa (EESC-USP)

Prof. Dr

.

Leonardo Nepomuceno (FEB-VNESP)

Data

da defesa: 05

.

05

/

2010

EstetrabalhonãoseriapossívelsemaajudadoprofessorAurelio. Agradeço-lhepelas ríti as,

sugestõese apoioque me possibilitaramum grande res imentoa adêmi o e pessoal.

Agradeçoà minha família,espe ialmentemeus pais Ingrid e Wilson e minha avó Adélia,

porseu amor,sabedoria e orações.

Aos meus amigos, pelaajudaque re ebi em várias o asiões.

A Deus, porpermitirque pudesse realizar meussonhos.

Um método de pontos interiores preditor- orretor é desenvolvido para o problema de uxo

de potên ia ótimo ativo-reativo. As tensões são representadas em oordenadas artesianas

ao invés de oordenadas polares, pois estas, sendo quadráti as, permitem orreções não

li-nearesnas ondições de fa tibilidadeprimal e dual e não apenas nas de omplementaridade

omo nos métodos tradi ionais de programaçãonão-linear. Outra ontribuição forne e uma

nova heurísti a para o tratamento das restrições de magnitude das tensões. Experimentos

omputa ionais om sistemas de teste IEEE e um sistema real brasileirosão apresentados e

Apredi tor- orre tor interior-pointmethod isdeveloped tothe ACa tive and rea tive

opti-malpower ow problem. Voltage re tangular oordinates is adopted instead of polar ones,

sin e,being quadrati ,itallows nonlinear orre tions forthe primalanddual feasibility

on-ditions and not only for the omplementary onstraints as in the traditionalnonlinear

pro-grammingmethods. A new heuristi is proposed to handle voltage magnitude onstraints.

ComputationalexperimentsforIEEE testsystems and arealBrazilian system arepresented

1 Introdução 1

1.1 Fluxo de Potên ia Ótimo . . . 1

1.2 Métodos de Pontos Interiores . . . 3

2 Fluxo de Potên ia Ótimo 6 2.1 Cál ulo de Fluxo de Potên ia . . . 6

2.1.1 Modelagemdas Linhas de Transmissão . . . 9

2.1.2 Fluxos de Potên ia Ativa e Reativa . . . 10

2.1.3 Formulação Matri ial . . . 11

2.2 Fluxo de Potên ia Ótimo . . . 14

2.2.1 Fluxo de Potên ia ÓtimoAtivo-Reativo . . . 14

3 Métodos de Pontos Interiores 17 3.1 Método de Newton . . . 17

3.2 Programação Linear . . . 19

3.2.1 Método Primal-DualAm-Es ala . . . 20

3.2.2 Método de Trajetória Central . . . 22

3.2.3 Método Preditor-Corretor . . . 23

3.2.4 Cál ulo daDireção de Newton . . . 27

3.3.2 Método Preditor-Corretor . . . 31

3.3.3 Cál ulo daDireção de Newton . . . 33

4 Método Preditor-Corretor Completo 35 4.1 Motivação . . . 35

4.2 Método Proposto . . . 38

4.3 Fluxo de Potên ia Ótimo . . . 40

4.4 Dedução das Correções . . . 43

4.5 Dedução das Derivadas Utilizadas . . . 52

4.5.1 Derivadas de PrimeiraOrdem . . . 53

4.5.2 Derivadas de Segunda Ordem . . . 54

5 Experimentos Computa ionais 57 5.1 Detalhes da Implementação . . . 57

5.1.1 Heurísti a Proposta . . . 58

5.2 Resultados Numéri os . . . 60

6 Con lusões e Perspe tivas Futuras 65

Introdução

Neste apítuloserá feitauma breve introdução sobreo problema de uxo de potên iaótimo

eos métodos de pontos interiores.

1.1 Fluxo de Potên ia Ótimo

Emengenhariaelétri a, ál ulodeuxodepotên ia(também onhe ido omo ál ulodeuxo

de arga) é uma importante ferramenta envolvendo análise numéri aapli ada à sistemasde

potên ia[17℄. A modelagemdosistema éestáti a e onsidera que asvariações om o tempo

são su ientemente lentas para que se possa ignorar osefeitos transitórios,que só poderiam

serlevadasem onsideraçãosefosseutilizadaumamodelagemdinâmi aenvolvendo equações

diferen iais[30℄. Fluxo de potên iaótimo éo problema de otimização que tem omo função

objetivoalgumamedidadedesempenhodaoperaçãodos sistemaselétri ose omorestrições

as equações de balanço de potên ia provenientes das leis de Kir hho, além das restrições

opera ionais[27℄. Aimportân iadouxode potên iaótimo onsisteemplanejaraexpansão

dosistemade potên ia,assim omodeterminaro melhorpontode operaçãoparaossistemas

existentes. A solução do problema forne e a tensão e a injeção de potên ia ativa e reativa

mulação nos anos 60, om o problema de despa ho e onmi o de Carpentier [7℄. Desde

então,váriosmétodosde otimizaçãoforampropostospara resolveresteproblema, entre eles:

o método do gradiente reduzido de Dommel-Tinney [11℄, gradiente reduzido generalizado

[1℄, o método de injeção diferen ial de Carpentier [8℄, o método do Lagrangiano projetado

[31℄, métodos de programaçãoquadráti a sequen ial[4,6, 36℄, métodos espe í os baseados

na resolução de uma sequên ia de problemas de programação linear [3℄ ou quadráti a [19℄.

Métodosde pontos interioresforamutilizadospara este problemapelaprimeiravez em 1994

[18, 41℄.

Ouxode potên iaótimoforne e aoplanejadorouoperadordosistemaelétri ouma

ori-entaçãode omoasvariáveisde ontrole devemser a ertadas paraqueos entros de geração,

onsumo e equipamentos de transmissão estejam dentro de suas apa idades otimizando

al-gum ritério de desempenho dosistema. Aimplementação deve ser robustae não ne essitar

daexperiên iadooperadorpara ajustar osparâmetros dopro esso de otimização. O tempo

de onvergên ia é fundamentalpara aoperação dosistema,mas não ne essariamentepara o

planejamento[37℄.

Os geradores e argas são onsiderados omo a parte externa do sistema elétri o, e são

modelados através de injeções de potên ia nos nós da rede. A parte interna do sistema é

omposta pelas linhas de transmissão, transformadores,reatores, et . As equações douxo

de potên ia são obtidas impondo-se a primeira lei de Kir hho, ou seja, a onservação das

potên ias ativase reativas em ada nó da rede: a potên ialíquida injetada deve ser igual à

soma das potên ias que uem pelos omponentes internos ligados a este nó. A segunda lei

deKir hhoéutilizadaparaexpressar osuxos depotên ianos omponentesinternos omo

função das tensões de seus nós terminais[30℄.

O uxo de potên ia ótimo orrente ontínua (DC) é uma representação linearizada e

objetivoquadráti a, orrespondenteaos ustosdegeraçãoeperdasnatransmissãodosistema

de potên ia,sujeito àsrestrições linearesque representam o uxo de potên iaativa [33, 34℄.

Deve-se observar que o modelo DC não leva em onsideração as magnitudes das tensões e

aspotên iasreativas,portantonão pode substituir por ompleto osmodelos não linearesde

uxo de potên ia[30℄.

1.2 Métodos de Pontos Interiores

A programação linear tem sido um assunto dominante em otimização desde que Dantzig

[9℄ desenvolveu o método simplex na dé ada de 40. Em 1984, a publi ação do trabalho

de Karmarkar [20℄ ini iou uma nova linha de pesquisa onhe ida omo métodos de pontos

interiores,eumadé adadepoisosmétodosprimais-duaissurgiram omoosmaisimportantes

eúteis desta lasse de métodos [40℄.

Em programação linear, a diferença entre os métodos de pontos interiores e o método

simplex está na natureza das soluções obtidas em ada iteração. No métodosimplex, a

se-quên iadepontosgeradosperten emàfronteiradaregiãofa tível,enquantoquenosmétodos

depontosinterioreselas estãonaregiãointerior. Ométodosimplexpodeser ine ientepara

resolver ertosproblemaspatológi os,poissua omplexidade éexponen ial[32℄. Embora em

quase todos os problemas práti oso métodosimplex seja muito mais e ienteque este

limi-te sugere, em problemas de grande porte os métodos de pontos interiores obtem resultados

melhores queo métodosimplex [2℄.

Em 1955, surge o primeiro método de pontos interiores, atribuído a Fris h [14℄. Este

método foi exaustivamente estudado por Fia o e M Cormi k [13℄. Em 1967, Dikin [10℄

publi ouum método om asmesmasbases de outrostrabalhosposterioresnaáreade pontos

de Kha hiyan [22℄. No entanto, sua onvergên ia é muito lenta, o métodonão é robustona

presença de erros de arredondamento e ne essita de uma grandequantidade de memóriade

armazenamentoa ada iteração [40℄. Este métodoprovou ser inferior ao métodosimplex na

práti a.

Masamaiordes obertanaáreademétodosdepontos interioreso orreuem1984,quando

Karmarkar [20℄ apresentou um novo método de pontos interiores para programação linear,

tambémde omplexidadepolinomial. OmétododeKarmarkaréummétodoprimal,ouseja,é

des rito,motivadoeimplementadopuramenteemtermosdoproblemaprimal,semreferên ia

aodual. A ada iteração,ométodorealizaumatransformaçãoprojetivado onjuntofa tível

primal que leva a solução atual ao entro do onjunto e aminha no espaço transformado

[40℄.

A lasse de métodos de pontos interioresque possui asmelhores propriedades práti ase

teóri assão os hamados métodos primais-duais. Tanto experimentos omputa ionais omo

odesenvolvimentoteóri o mostramque os métodos primais-duais são superiores aos demais

métodos de pontos interiores em problemas práti os, hegando a ser melhor que o método

simplex em problemas de grande porte [40℄.

Entre os métodos primais-duais, desta a-seo métodopreditor- orretorde Mehrotra [26℄,

que passou a ser a base da maioriados ódigos rela ionados a pontos interiores. O método

utilizaaproximaçõesde segunda ordempara atrajetória primal-dual, onformesugeridopor

Megiddo [25℄ e desenvolvido em [21, 23, 29℄. Além disso, o método parte de um ponto

interiorinfa tível, onformeimplementado omsu essoem [24℄. A ontribuiçãodeMehrotra

foi ombinar estas idéias já existentes e adi ionar heurísti as para es olha do parâmetro de

entragem, tamanho dopasso e ponto ini ial.

Embora os métodos de pontos interiores tenham sido originalmente desenvolvidos para

programação onvexa [37℄.

Devidoao tamanhoe ara terísti asespe iaisdos problemas, osmétodos de pontos

inte-rioresmostraram-seuma boaalternativapara osproblemas de uxo de potên iaótimo. Em

1994, Granville props a implementação do método primal-dual barreira logarítmi a para

o problema de despa ho reativo [18℄. Também neste ano, Wu, Debs e Marsten apresentam

o problema de uxo de potên ia ótimo om a variante preditor- orretor do método

primal-dual [41℄. Já em 1998, Torres e Quintana ombinaram estes métodos om a utilização de

oordenadas artesianaspararepresentaratensão[38℄. Atualmenteosmétodosdepontos

in-terioresestãoentre osmaisutilizadosnaáreade sistemasdepotên iadevidoasuavelo idade

erobustez [15, 28, 35℄.

Neste trabalho é proposto um novo método de pontos interiores preditor- orretor om

orreção em todas as ondições de otimalidade para oproblema de uxo de potên iaótimo,

poisautilizaçãode oordenadas artesianas pararepresentar as tensões possibilitao ál ulo

destas orreções. Outra ontribuição deste trabalho é a utilização de uma heurísti a para

tratarasrestriçõesopera ionais demagnitudedas tensões. Para nsde omparação,são

im-plementadososmétodosde trajetória entralepreditor- orretortradi ional,alémdométodo

Fluxo de Potên ia Ótimo

Neste apítulo será apresentado o problema de ál ulo de uxo de potên ia e a partir dele

será formulado oproblema de uxo de potên iaótimo.

2.1 Cál ulo de Fluxo de Potên ia

A formulação do problema de ál ulo de uxo de potên ia será des rita a seguir onforme

[30℄. Na formulação do problema, ada barra da rede é asso iada a quatro variáveis, sendo

queduas delas entram omo dados doproblema e duas omo in ógnitas:

• v

k

,magnitude da tensão;

• θ

k

, ângulo datensão;

• P

k

, injeção líquida(geração menos arga) de potên iaativa;

• Q

k

, injeção líquidade potên ia reativa.

Dependendo de quais variáveis nodais entram omo dados e quais são onsideradas

in- ógnitas, denem-se três tiposde barras:

• P V

, são dados

P

k

e

v

k

e al ulados

Q

k

e

θ

k

;

• V θ

, são dados

v

k

e

θ

k

e al ulados

P

k

e

Q

k

.

As barras do tipo

P Q

e

P V

são utilizadas para representar barras de arga e geração,

respe tivamente. A barra

V θ

, ou barra de referên ia, tem uma dupla função: forne er a

referên iaangulardo sistemae fe har obalanço de potên ia dosistema.

Arepresentaçãomais omumdatensão(

T

k

)utilizadanosestudosde sistemasdepotên ia

sedáatravés de oordenadas polares:

T

k

= v

k

(

os

θ

k

+ j

sen

θ

k

),

(2.1)

onde

j

éa unidade imaginária(

j =

√

−1

).

Podemostambém representar atensão utilizando oordenadas artesianas:

T

k

= e

k

+ jf

k

,

(2.2)

onde

e

k

e

f

k

são as omponentes real e imagináriadatensão, respe tivamente.

As relações entre ambas representações são:

v

k

=

pe

2

k

+ f

2

k

θ

k

= arctan (f

k

/e

k

)

e

k

= v

k

os

θ

k

f

k

= v

k

sen

θ

k

.

(2.3)

Neste trabalho serão utilizadas oordenadas artesianas para representar a tensão, logo

asquatro variáveissão:

• e

k

, parte real datensão;

• P

k

, injeção líquidade potên iaativa;

• Q

k

, injeção líquidade potên ia reativa.

O onjunto de equações do problema de uxo de potên ia é formado por duas equações

para adabarra, orrespondendoàimposiçãodaprimeiraleideKir hho: aspotên iasativas

ereativasinjetadas em ada barra são iguaisà soma dos uxos orrespondentes que deixam

abarra. Isto pode ser expresso matemati amente omo:

P

k

=

X

m∈Ωk

P

km

(e

k

, f

k

, e

m

, f

m

)

Q

k

+ Q

sh

k

(v

k

) =

X

m∈Ωk

Q

km

(e

k

, f

k

, e

m

, f

m

),

(2.4)

onde:

Ω

k

representa o onjunto de barras vizinhas da barra

k

,

P

km

e

Q

km

são os uxos de

potên ia ativa e reativa no ramo

k − m

, respe tivamente e

Q

sh

k

é o omponente da injeção

devida aoelemento shunt da barra

k

(

Q

sh

k

= b

sh

k

v

2

k

).

As expressões (2.4) onsideram a seguinte onvenção de sinais: as injeções líquidas de

potên iasão positivasquando entram nabarra (geração) e negativas quando saem dabarra

( arga);osuxosdepotên iasãopositivosquandosaemdabarraenegativosquandoentram;

para os elementos shunt das barras é adotada a mesma onvenção que a usada para as

injeções.

O onjunto de inequações de problema de uxo de potên ia é formado pelas restrições

nas magnitudes das tensões e pelos limites nas injeções de potên ia das barras:

v

min

k

≤ v

k

≤ v

max

k

P

min

k

≤ P

k

≤ P

k

max

Q

min

k

≤ Q

k

≤ Q

max

k

.

(2.5)

limitadasapenas nas barras geradoras.

Neste momento identi amos uma diferença nas formulações em oordenadas polares e

artesianas. Oslimites impostos às magnitudes das tensões estão na forma de uma simples

analizaçãodevariáveis,enquantoquenaforma artesianapassaaserumarestriçãofun ional

daforma:

(v

min

k

)

2

≤ e

2

k

+ f

2

k

≤ (v

max

k

)

2

.

(2.6)

Essa é a úni a desvantagem da formulação artesiana em relação à polar, e ela perde

importân ia devido ao tratamento e iente de desigualdades propor ionado pelos métodos

de pontos interiores[28, 35℄.

2.1.1 Modelagem das Linhas de Transmissão

As linhas de transmissão são representadas por um modelo denido por três parâmetros:

resistên ia série (

r

km

), reatân ia série (

x

km

) e sus eptân ia shunt (

b

sh

km

) [30℄. A impedân ia

série (

z

km

)do elementoé:

z

km

= r

km

+ jx

km

,

(2.7)

enquanto aadmitân ia série (

y

km

) é:

y

km

= g

km

+ jb

km

= z

−1

_km

=

r

km

r

2

km

+ x

2

km

− j

_r

2

x

km

km

+ x

2

km

,

(2.8)

ouseja,a ondutân iasérie(

g

km

)easus eptân iasérie(

b

km

)sãodadasrespe tivamentepor:

g

km

=

r

km

r

2

km

+ x

2

km

e

b

km

= −

x

km

r

2

km

+ x

2

km

.

(2.9)

A orrente

I

km

é formada de uma omponente série e uma shunt, podendo ser al ulada

apartir das tensões

T

k

e

T

m

e dos parâmetro dalinha de transmissão:

I

km

= y

km

(T

k

− T

m

) + jb

sh

km

T

k

,

(2.10)

onde, por denição:

T

k

= e

k

+ jf

k

e

T

m

= e

m

+ jf

m

. Analogamente, a orrente

I

mk

é dada

por:

I

mk

= y

mk

(T

m

− T

k

) + jb

sh

km

T

m

.

(2.11)

2.1.2 Fluxos de Potên ia Ativa e Reativa

Asexpressões dos uxos de potên iaativa(

P

km

) ereativa(

Q

km

) podemser obtidas apartir

do modelo da subseção anterior. A orrente

I

km

de uma linha de transmissão é dada pela

equação(2.10). Ouxo de potên ia omplexa orrespondenteé:

S

km

= P

km

+ jQ

km

= T

k

I

km

= (e

k

+ jf

k

)[(g

km

− jb

km

)(e

k

− jf

k

− e

m

+ jf

m

) − jb

sh

km

(e

k

− jf

k

)].

(2.12)

Os uxos

P

km

e

Q

km

são obtidos identi ando-se as partes reais e imaginárias dessa

equação,resultando:

P

km

= g

km

(e

2

k

+ f

2

k

− e

k

e

m

− f

k

f

m

) + b

km

(e

k

f

m

− e

m

f

k

)

Q

km

= −b

km

(e

2

k

+ f

2

k

− e

k

e

m

− f

k

f

m

) + g

km

(e

k

f

m

− e

m

f

k

) − b

sh

km

(e

2

k

+ f

2

k

).

(2.13)

Osuxos

P

mk

e

Q

mk

são obtidos de forma análoga:

P

mk

= g

km

(e

2

m

+ f

2

m

− e

m

e

k

− f

m

f

k

) + b

km

(e

m

f

k

− e

k

f

m

)

Q

mk

= −b

km

(e

2

m

+ f

2

m

− e

m

e

k

− f

m

f

k

) + g

km

(e

m

f

k

− e

k

f

m

) − b

sh

km

(e

2

m

+ f

2

m

).

(2.14)

P

km

+ P

mk

= g

km

[(e

k

− e

m

)

2

+ (f

k

− f

m

)

2

]

Q

km

+ Q

mk

= −b

km

[(e

k

− e

m

)

2

+ (f

k

− f

m

)

2

] − b

sh

km

(e

2

k

+ f

2

k

+ e

2

m

+ f

2

m

).

(2.15)

Assim omo foramdesenvolvidas para aslinhas de transmissão, as expressões dos uxos

de potên ia podem ser generalizadaspara transformadores[30℄:

P

km

= a

2

km

g

km

(e

2

k

+ f

2

k

) − a

km

g

km

(e

k

e

m

+ f

k

f

m

) + a

km

b

km

(e

k

f

m

− e

m

f

k

)

Q

km

= −a

2

km

(b

km

+ b

sh

km

)(e

2

k

+ f

2

k

) + a

km

g

km

(e

k

f

m

− e

m

f

k

) + a

km

b

km

(e

k

e

m

− f

k

f

m

).

(2.16)

Para os transformadores em-fase o número real

a

km

é a relação de transformação,

o-nhe ida omo tap. No aso das linhas de transmissão, temos

a

km

= 1

. Neste trabalho não

onsideraremos transformadoresdefasadores, onde

a

km

é um número omplexo.

2.1.3 Formulação Matri ial

A injeção líquida de orrente na barra

k

pode ser obtida apli ando-se a primeira lei de

Kir hho aeste modelo:

I

k

+ I

k

sh

=

X

m∈Ωk

I

km

.

(2.17)

A orrente

I

km

pode ser expressa de formageral omo:

I

km

= (a

2

km

y

km

+ jb

sh

km

)T

k

− a

km

y

km

T

m

.

(2.18)

Considerando

I

km

dadoem(2.18),aexpressão(2.17)podeserrees ritadaseguinteforma:

I

k

=

"

jb

sh

k

+

X

m∈Ωk

(jb

sh

km

+ a

2

km

y

km

)

#

T

k

+

X

m∈Ωk

(−a

km

y

km

)T

m

.

(2.19)

I = Y T,

(2.20)

onde:

I

é ovetor das orrentes, ujas omponentes são

I

k

;

T

é o vetor das tensões, ujas omponentes são

T

k

;

Y = G + jB

é a matriz admitân ia nodal, sendo

G

a matriz ondutân ia e

B

a matriz sus eptân ia.

Des onsiderando transformadores defasadores, os elementos da matriz

Y

são:

Y

km

= −a

km

y

km

(

para

k 6= m),

Y

kk

= jb

sh

k

+

X

m∈Ωk

(jb

sh

km

+ a

2

km

y

km

).

(2.21)

Emgeral, essa matrizé esparsa, pois

Y

km

= 0

sempre que não existirem linhas ou

trans-formadores entre as barras

k

e

m

. Se a rede for formada apenas por linhas de transmissão

e transformadores em fase, a matriz

Y

será simétri a. A presença de transformadores

de-fasadorestorna a matrizassimétri a [30℄.

A injeção de orrente

I

k

, que é a

k

-ésima omponente do vetor

I

, pode ser es rita na

forma:

I

k

= Y

kk

T

k

+

X

m∈Ωk

Y

km

T

m

=

X

m∈K

Y

km

T

m

,

(2.22)

onde

K

é o onjunto de todas as barras

m

adja entes à barra

k

, in luindo ela própria

(

K = {k} ∪ Ω

k

).

I

k

=

X

m∈K

(G

km

+ jB

km

)(e

m

+ jf

m

).

(2.23)

A injeção de potên ia omplexa é:

S

k

= P

k

+ jQ

k

= T

k

I

k

.

(2.24) Substituindo-se (2.23) em (2.24) obtem-se:

S

k

= (e

k

+ jf

k

)

X

m∈K

(G

km

− jB

km

)(e

m

− jf

m

).

(2.25)

As injeçõesde potên ia ativaereativapodem ser obtidasidenti ando-se aspartes reais

eimagináriasde (2.25):

P

k

=

X

m∈K

(e

k

G

km

e

m

+ f

k

G

km

f

m

+ f

k

B

km

e

m

− e

k

B

km

f

m

),

Q

k

=

X

m∈K

(f

k

G

km

e

m

− e

k

G

km

f

m

− e

k

B

km

e

m

− f

k

B

km

f

m

).

(2.26)

Considerando todas asbarras, (2.26)pode ser representada naformamatri ial:

P = EGe + F Gf + F Be − EBf,

Q = F Ge − EGf − EBe − F Bf,

(2.27)

onde:

P

representa o vetor de injeçõesde potên iaativa, ujas omponentes são

P

k

;

Q

representa o vetor de injeçõesde potên ia reativa, ujas omponentes são

Q

k

;

e

representao vetor daparte real das tensões, ujas omponentes são

e

k

;

E = diag(e)

e

F = diag(f )

.

2.2 Fluxo de Potên ia Ótimo

Oproblema de uxo de potên ia ótimo onsiste em determinar o estado de operação ótimo

de um sistema elétri o de geração/transmissão de potên ia. A função objetivo representa

algum ritério de desempenho da operação dos sistemas elétri os e as restrições são dadas

pelas equaçõesde uxo de potên iada seçãoanterior e pelos limites das variáveis [37℄.

A denição dos onjuntos de índi es aseguir será útilpara a formulação doproblema:

Nrepresenta todas as barras dosistema;

Crepresenta asbarras de arga;

G representa as barrasde geraçãode potên iaativa;

R representa as barras de ontrole de potên ia reativa.

Considerandoosvetoresdapartereal(

e

)eimaginária(

f

)datensão,serádenidoovetor:

x =







e

f







.

(2.28)

2.2.1 Fluxo de Potên ia Ótimo Ativo-Reativo

Umproblema de uxo de potên iaótimo ativo-reativopode ser formulado omo:

min φ(x)

s.a

P

k

(x) + P

Ck

− P

Gk

= 0

∀k ∈

C

Q

k

(x) + Q

C

k

− Q

G

k

= 0

∀k ∈

C

(v

min

k

)

2

≤ V

k

(x) ≤ (v

k

max

)

2

∀k ∈

N

P

min

k

≤ P

k

(x) ≤ P

k

max

∀k ∈

G

Q

min

k

≤ Q

k

(x) ≤ Q

max

k

∀k ∈

R

,

(2.29)

V

k

representa o quadradoda magnitudeda tensãona barra

k

;

P

Ck

representa a demanda de potên iaativana barra

k

;

Q

C

k

representa ademanda de potên ia reativa nabarra

k

;

P

G

k

representa a geraçãode potên iaativa nabarra

k

;

Q

Gk

representa ageração de potên ia reativa nabarra

k

;

v

min

k

e

v

max

k

representam oslimites datensão na barra

k

;

P

min

k

e

P

max

k

representam os limitesde injeção de potên ia ativana barra

k

;

Q

min

k

e

Q

max

k

representam os limites de injeção de potên iareativana barra

k

.

A função

V

k

, querepresenta oquadradoda magnitudedatensão nabarra

k

, é dadapor:

V

k

(x) = e

2

k

+ f

2

k

,

(2.30)

ouainda, naformamatri ial:

V = Ee + F f.

(2.31)

Afunção objetivo representa ritériosde desempenhodaoperaçãodos sistemas elétri os,

tais omo: diferença entre a injeção de potên ia ativa e uma dada injeção desejada (

φ

1

),

injeção de potên ia ativa na barra de referên ia (

φ

2

), perdas de potên ia ativa nas linhas

(

φ

3

),entre outros[37℄.

As funçõesobjetivo a ima são dadas por:

φ

1

(x) =

1

2

X

k

h

k

"

X

m∈K

P

km

− P

k

esp

#

2

∀k ∈

G

φ

2

(x) =

X

m∈K

P

km

k = ˜

N

φ

3

(x) =

X

m∈K

(P

km

+ P

mk

)

∀k ∈

N

,

(2.32)

onde

h

k

é o peso rela ionado om a geraçãonabarra

k

,

P

esp

k

representa ainjeção líquidade

potên iaativaespe i adaparaabarra

k

eN

˜

éoíndi equerepresentaabarradereferên ia.

Ou ainda, naformamatri ial:

φ

1

(x) =

1

₂

[P (x) − P

esp

]

t

H[P (x) − P

esp

]

φ

2

(x) = (EGe + F Gf + F Be − EBf)

_N

˜

φ

3

(x) = e

t

Ge + f

t

Gf

(2.33)

Métodos de Pontos Interiores

Neste apítulo serão apresentados os métodos de pontos interiores. Os métodos

primais-duais am-es ala,de trajetória entrale preditor- orretorsão desenvolvidos para problemas

de programaçãolinear. Emseguida,os métodos de trajetória entrale preditor- orretor são

generalizadospara o problema de programaçãonão-linear.

3.1 Método de Newton

O método de Newton onsiste na forma mais simples de desenvolver os métodos de pontos

interioresdotipoprimal-dual[40℄. Nesta seção ométodoserádes ritobrevemente onforme

[39℄. Dada afunção:

F (x) =



















F

1

(x)

F

2

(x)

. . .

F

n

(x)



















e

x =



















x

1

x

2

. . .

x

n



















,

F : R

n

_{→ R}

n

, um problema omum é en ontrar um ponto

x

∗

_{∈ R}

n

tal que

F (x

∗

_{) = 0}

, ou

seja, en ontrar uma raiz de

F

. O método de Newton é um método iterativo desenvolvido

para resolver este problema. Dadoqualquer

x ∈ R

n

, o objetivo é en ontrar uma direçãode

bus a

d

talque

F (x + d) = 0

. Assim, bus amos aproximaresta direção pelos dois primeiros

termosda expansãoda série de Taylor:

F (x + d) ≈ F (x) + J(x)d,

(3.1)

onde

J(x)

é a matrizJa obiana de

F

no ponto

x

:

J(x) =





























∂F

1

∂x

1

∂F

1

∂x

2

· · ·

∂F

1

∂x

n

∂F

2

∂x

1

∂F

2

∂x

2

· · ·

∂F

2

∂x

n

. . . . . . . . . . . .

∂F

n

∂x

1

∂F

n

∂x

2

· · ·

∂F

n

∂x

n





























.

Aaproximaçãoé linearem

d

. Logo,igualando(3.1) azero,temos um sistemalinear uja

solução orresponde a direçãode bus a:

J(x)d = −F (x).

(3.2)

Cal ulado

d = −[J(x)]

−1

_{F (x)}

, ométodode Newton atualizaaaproximação atual

substi-tuindo

x

por

x + d

. Este pro esso ontinuaaté obter uma solução su ientemente próxima

de uma raiz (

F (x) ≈ 0

). Assimtemos um métodoiterativodaforma:

x

k+1

= x

k

₋

J(x

k

)



−1

Em um problema de programação linear o objetivo é minimizar uma função linear, ujas

variáveis estão sujeitas à restrições também lineares. Um ponto interior é aquele em que

todas as variáveis não negativas seen ontram estritamente dentro de seus limites.

Um problema de programaçãolinear pode ser representado por[32℄:

min

c

t

_x

s.a

Ax = b

x ≥ 0,

(3.4) onde

c, x ∈ R

n

,

A ∈ R

m×n

e

b ∈ R

m

.

Oproblema (3.4) está asso iado ao problema dual, dadopor:

max

b

t

_y

s.a

A

t

_{y + z = c}

z ≥ 0, y

livre

,

(3.5) onde

y ∈ R

m

e

z ∈ R

n

. Por denição, um ponto

(x, z, y)

é interior se

(x, z) > 0

.

Um ponto

(x, z, y)

é ótimo para os problemas (3.4) e (3.5) se, e somente se, as seguintes

ondiçõesde otimalidade são satisfeitas [32℄:

•

fa tibilidadeprimal:

Ax − b = 0, x ≥ 0

,

•

fa tibilidadedual:

A

t

_{y + z − c = 0, z ≥ 0}

e

•

omplementaridade:

x

i

z

i

= 0, i = 1, . . . , n

.

Denimos

γ

omo a diferença entre os valores da função objetivo do problema primal e

dual. No asodas formulaçõesdadaspor(3.4)e(3.5),temos:

γ = c

t

_{x − b}

t

_{y = x}

t

_z

,seoponto

Sejao problema om a formulação primale dual dada por (3.4) e (3.5),respe tivamente. A

idéiapara onstruirummétododepontos interiores onsisteem apli arométodode Newton

aosistema formadopelas ondiçõesde otimalidade. Temos que

F (x, y, z)

é dada por:

F (x, z, y) =













Ax − b

A

t

y + z − c

XZu













= 0,

(3.6)

onde

X =

diag

(x)

,

Z =

diag

(z)

e

u

representa o vetor em que todos oselementos tem valor

unitário. Usando essa notação, as equações

x

i

z

i

= 0

são representadas por

XZu = 0

.

Dado um ponto ini ial

(x

0

, z

0

, y

0

)

e des onsiderando as restrições

x ≥ 0

e

z ≥ 0

, al u-lamoso ponto

(x

1

, z

1

, y

1

)

utilizandoo métodode Newton:

(x

1

, z

1

, y

1

) = (x

0

, z

0

, y

0

) −

J(x

0

, z

0

, y

0

)



−1

F (x

0

, z

0

, y

0

),

(3.7) onde:

J(x

0

, z

0

, y

0

) =













A

0

0

0

I

A

t

Z X

0













.

Assim,

d

0

é soluçãodo sistemalinear:













A

0

0

0

I

A

t

Z

0

_X

0

₀

























∆x

0

∆z

0

∆y

0













= −













r

0

1

r

0

2

r

0

3













.

(3.8)

Generalizando, dado

(x

k

_{, z}

k

_{, y}

k

₎

, adireçãode Newton

d

k

é dada pelasoluçãodosistema:













A

0

0

0

I

A

t

Z

k

_X

k

₀

























∆x

k

∆z

k

∆y

k













= −













r

k

1

r

k

2

r

k

3













,

(3.9) onde:

r

k

1

= Ax

k

− b

r

k

2

= A

t

y

k

+ z

k

_{− c}

r

k

3

= X

k

_Z

k

_u.

Método 3.1 MétodoPrimal-Dual Am-Es ala

Entradas:

(x

0

_{, z}

0

_{) > 0}

,

y

0

e

τ ∈ (0, 1)

. Para

k = 0, 1, 2, . . .

faça [1℄ Cal ule

r

k

1

,

r

k

2

e

r

k

3

.

[2℄ Resolva(3.9) para obter adireção de Newton

d

k

.

[3℄ Cal uleo tamanho dopasso

α

k

tal que

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{) > 0}

. [4℄ Cal ule

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{, y}

k+1

_{) = (x}

k

_{, z}

k

_{, y}

k

_{) + α}

k

_(∆x

k

_{, ∆z}

k

_{, ∆y}

k

₎

. Fim Observe que

α

k

é al ulado de formaque

(x

k+1

_{, z}

k+1

₎

seja interior. Assim:

α

k

_{= min(1, τ α}

k

1

, τ α

k

2

),

(3.10) onde:

α

k

1

= min

i

 −x

k

i

∆x

k

i

| ∆x

k

i

< 0



α

k

2

= min

i

 −z

k

i

∆z

k

i

| ∆z

k

i

< 0



e

τ ∈ (0, 1)

. O ál ulo separado do tamanho dos passos primal e dual pode impli ar na

onvergên ia em menos iterações [24℄. Na práti a, adota-se o tamanho máximo do passo

α

k

_{= 1}

porque este é o tamanho de passo natural dométodode Newton.

3.2.2 Método de Trajetória Central

O método am-es ala apresentado na seção anterior possui uma grande desvantagem, pois

permite que os pontos

(x, z)

al ulados se aproximem de seus limites muito rapidamente.

Consequentemente, asdireçõesobtidaspertodesteslimitessãomuitodistor idas,poisovalor

de alguns pares

x

i

z

i

se torna próximo de zero rapidamente eo métodoprogridelentamente,

podendoin lusivenão onvergir. Paraevitarqueistoa onteça,a res entamosa adaiteração

k

uma perturbação

µ

k

_{> 0}

nas ondições de omplementaridade.

Dadaasformulaçõesprimal(3.4)edual(3.5)doproblema,podemoses reveras ondições

de otimalidade,adi ionando uma perturbação

µ

nas ondiçõesde omplementaridade:

•

fa tibilidadeprimal:

Ax − b = 0, x ≥ 0

,

•

fa tibilidadedual:

A

t

_{y + z − c = 0, z ≥ 0}

e

•

omplementaridade:

XZu = µu

. Dado

(x

k

_{, z}

k

_{, y}

k

₎

, adireção de Newton

d

k

éa solução dosistema:













A

0

0

0

I

A

t

Z

k

_X

k

₀

























∆x

k

∆z

k

∆y

k













= −













r

k

1

r

k

2

r

k

3













,

(3.11)

r

k

3

= X

k

Z

k

_{u − µ}

k

u.

Método 3.2 Métodode Trajetória Central

Entradas:

(x

0

, z

0

) > 0

,

y

0

livre,

σ ∈ (0, 1)

e

τ ∈ (0, 1)

. Para

k = 0, 1, 2, . . .

faça [1℄ Cal ule

µ

k

. [2℄ Cal uleos resíduos

r

k

1

,

r

k

2

e

r

k

3

.

[3℄ Resolva(3.11) para obter adireção de Newton

d

k

.

[4℄ Cal uleo tamanho dopasso

α

k

tal que

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{) > 0}

. [5℄ Cal ule

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{, y}

k+1

_{) = (x}

k

_{, z}

k

_{, y}

k

_{) + α}

k

_(∆x

k

_{, ∆z}

k

_{, ∆y}

k

₎

. Fim Ovalorde

µ

k

é dado pelafórmula[32℄:

µ

k

_{= σρ}

k

_,

(3.12)

onde

ρ

k

representaa média dos produtos

x

k

i

z

k

i

, istoé,

ρ

k

_{= γ}

k

_{/n = (x}

k

₎

t

_z

k

_/n

.

3.2.3 Método Preditor-Corretor

Ométodopreditor- orretor desenvolvidoporMehrotra[26℄ onsiste emutilizar umadireção

que ontempla três omponentes:

•

direçãoam-es ala (direçãopreditora oude Newton),

•

direçãode entragem, ujotamanho é determinadopelaperturbação

µ

e

oprogresso for grande,a perturbação

µ

é pequena. Caso ontrário, é onveniente aumentar

opeso dadireção de entragem,tal quea perturbação

µ

seja maior.

Umavez queumasegunda direçãoé al ulada,também al ulamosa orreção não linear

utilizando a mesma matriz Ja obiana, para que o esforço omputa ional por iteração não

duplique.

Dado

(x

k

_{, z}

k

_{, y}

k

₎

, primeiroen ontramos a direçãoam

˜

d

k

(

µ = 0

):













A

0

0

0

I

A

t

Z

k

_X

k

₀

























∆˜

x

k

∆˜

z

k

∆˜

y

k













= −













r

k

1

r

k

2

r

k

3













.

(3.13)

Emseguida al ulamosa orreção noponto

(˜

x, ˜

z, ˜

y) = (x + ∆˜

x, z + ∆˜

z, y + ∆˜

y)

. Para as

equações primais:

A˜

_{x − b = A(x + ∆˜x) − b}

= Ax + A∆˜

_{x − b}

= Ax − b − (Ax − b)

= 0.

Para as equações duais:

A

t

_{y + ˜}

_˜

_{z − c = A}

t

_{(y + ∆˜}

_{y) + (z + ∆˜}

_{z) − c}

= A

t

_{y + A}

t

_∆˜

_{y + z + ∆˜}

_{z − c}

= A

t

_{y + z − c − (A}

t

_{y + z − c)}

= 0.

˜

X ˜

Zu = (X + ∆ ˜

X)(Z + ∆ ˜

Z)u

= XZu + X∆ ˜

Zu + ∆ ˜

XZu + ∆ ˜

X∆ ˜

Zu

= XZu + X∆˜

z + Z∆˜

x + ∆ ˜

X∆ ˜

Zu

= XZu − XZu + ∆ ˜

X∆ ˜

Zu

= ∆ ˜

X∆ ˜

Zu.

Usando a mesma Ja obiana para al ular a direção de orreção

d

ˆ

k

_{= (∆ˆ}

_{x, ∆ˆ}

_{z, ∆ˆ}

_y)

no

ponto

(˜

x, ˜

z, ˜

y)

etambém introduzindo a perturbação de entragem

µ

, temos:













A

0

0

0

I

A

t

Z

k

_X

k

₀

























∆ˆ

x

k

∆ˆ

z

k

∆ˆ

y

k













= −













0

0

∆ ˜

X

k

_{∆ ˜}

_Z

k

u − µ

k

_u













.

(3.14) A direção

d

k

a ser usada é asoma das duas direções:

d

k

_{= ˜}

_d

k

_{+ ˆ}

_d

k

. Ao invés de al ular

(3.14)e depoissomar asdireções, podemos somaros dois sistemas[40℄:













A

0

0

0

I

A

t

Z

k

_X

k

₀

























∆x

k

∆z

k

∆y

k













= −













r

k

1

r

k

2

˜

r

k

3













,

(3.15) onde:

˜

r

k

3

= X

k

Z

k

u + ∆ ˜

X

k

∆ ˜

Z

k

u − µ

k

u.

Para o ál ulode

µ

k

,denimos

ρ

˜

k

omosendoovalormédiodosprodutos

x

˜

i

z

˜

i

seusarmos

adireçãoam. Se

ρ

˜

k

_{≪ ρ}

k

,adireçãoaméumaboadireçãode bus aetomamos

µ

k

Entradas:

(x

0

, z

0

) > 0

,

y

0

livre e

τ ∈ (0, 1)

. Para

k = 0, 1, 2, . . .

faça [1℄ Cal uleos resíduos

r

k

1

,

r

k

2

e

r

k

3

.

[2℄ Resolva(3.13) para obter adireção am-es ala

d

˜

k

.

[3℄ Cal uleo tamanho dopasso

α

˜

k

tal que

(˜

x

k+1

_{, ˜}

_z

k+1

_{) > 0}

. [4℄ Cal ule

µ

k

. [5℄ Cal uleo resíduo

r

˜

k

3

.

[6℄ Resolva(3.15) para obter adireção de Newton

d

k

.

[7℄ Cal uleo tamanho dopasso

α

k

tal que

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{) > 0}

. [8℄ Cal ule

(x

k+1

_{, z}

k+1

_{, y}

k+1

_{) = (x}

k

_{, z}

k

_{, y}

k

_{) + α}

k

_(∆x

k

_{, ∆z}

k

_{, ∆y}

k

₎

. Fim de

0

. Se

ρ

˜

k

é apenas um pou o menor que

ρ

k

, tomamos

µ

k

próximo de

1

[40℄. Para isto,

Mehrotrasugere aseguinteheurísti a [26℄:

µ

k

_{= σ}

k

_ρ

k

_,

(3.16) onde:

σ

k

₌

 ˜

ρ

k

ρ

k



3

˜

ρ

k

_{= (x}

k

_{+ ˜}

_α∆˜

_x)

t

_(z

k

_{+ ˜}

_α∆˜

_z)/n.

Apenas uma de omposiçãoé al uladaa adaiteração,poisamesmamatrizJa obiana é

utilizadanaresoluçãodos doissistemaslineares. Assim, ométodopreditor- orretorpodeser

obtido om uma pequena modi ação do métodode trajetória entral, om usto

omputa- ional adi ional relativamente baixo, mas om ganho signi ativo no número de iterações

bus a, envolve uma eliminação de variáveis, resultando na maioria das implementações em

umsistemasimétri odenidopositivodedimensãomenor[40℄. Alémdisso,todososmétodos

apresentados nesta seção podem ser fa ilmentegeneralizados para problemas om variáveis

analizadasna formulação(3.4).

3.2.4 Cál ulo da Direção de Newton

A direçãode Newton pode ser obtidaresolvendo diretamenteo sistema:













A

0

0

0

I

A

t

Z X

0

























∆x

∆z

∆y













= −













r

1

r

2

r

3













,

(3.17)

ouresolvendo o sistemareduzido:

A(Z

−1

X)A

t

∆y = −r

1

+ A(−Z

−1

Xr

2

+ Z

−1

r

3

)

(3.18)

edepois al ulando:

∆z = −r

2

− A

t

∆y

∆x = −Z

−1

(r

3

+ X∆z).

Esta eliminação de variáveis obtem um sistema denido positivo de dimensão menor e

Umproblema de programaçãonão-linear pode ser representado por:

min f (x)

s.a

g(x) = 0

h

min

≤ h(x) ≤ h

max

_,

(3.19) onde

x ∈ R

n

,

h

min

, h

max

∈ R

p

e

f : R

n

→ R

,

g : R

n

→ R

m

e

h : R

n

→ R

p

são funções ontínuas ederiváveis.

Introduzindo asvariáveis de folganas inequações, temos:

min f (x)

s.a

g(x) = 0

h(x) + s

1

= h

max

h(x) − s

2

= h

min

(s

1

, s

2

) ≥ 0,

(3.20) onde

s

1

, s

2

∈ R

p

.

A ondição de nãonegatividade dasvariáveisde folgapode ser impostaadi ionandouma

barreiralogarítmi aà função objetivo [32℄:

min f (x) − µ

p

X

i=1

(ln s

1i

+ ln s

2i

)

s.a

g(x) = 0

s

1

+ h(x) − h

max

= 0

s

2

− h(x) + h

min

= 0.

(3.21)

de parâmetros de barreirapositivos

µ

onverge para zero.

Assim, a função Lagrangianado problema (3.21) é:

L = f (x) − µ

p

X

i=1

(ln s

1i

+ ln s

2i

)+

+y

t

_{g(x) + z}

t

1

(s

1

+ h(x) − h

max

) + z

2

t

(s

2

− h(x) + h

min

),

(3.22) onde

y ∈ R

m

e

z

1

, z

2

∈ R

p

são asvariáveisduais hamadas de multipli adoresde Lagrange.

Um mínimo lo al de (3.21) pode ser expresso omo um ponto esta ionário de

L

e deve

satisfazeras ondições ne essáriasde primeiraordem (KKT):

∇

x

L = ∇

x

f (x) + J

g

(x)

t

y + J

h

(x)

t

z

1

− J

h

(x)

t

z

2

= 0

∇

s

1

L = z

1

− µS

−1

1

u = 0

∇

s

2

L = z

2

− µS

−1

2

u = 0

∇

y

L = g(x) = 0

∇

z

1

L = s

1

+ h(x) − h

max

_{= 0}

∇

z

2

L = s

2

− h(x) + h

min

_{= 0,}

(3.23) onde

∇

x

f (x) ∈ R

n

é o gradiente de

f (x)

,

J

g

(x) ∈ R

m×n

é a matriz Ja obiana de

g(x)

e

J

h

(x) ∈ R

p×n

é a matriz Ja obiana de

h(x)

. Assim

J

g

(x)

t

_{y =}

P

m

i=1

y

i

∇g

i

(x)

,

J

h

(x)

t

z

1

=

P

p

_i=1

z

1

i

∇h

i

(x)

e

J

h

(x)

t

_z

2

=

P

p

_i=1

z

2

i

∇h

i

(x)

. Novamenteanotação

S

1

=

diag

(s

1

)

,

S

2

=

diag

(s

2

)

,

Z

1

=

diag

(z

1

)

e

Z

2

=

diag

(z

2

)

é utilizadae

u ∈ R

p

representa o vetor em que

todos os elementos tem valorunitário.

































∇

x

f (x) + J

g

(x)

t

y + J

h

(x)

t

z

1

− J

h

(x)

t

z

2

S

1

Z

1

u − µu

S

2

Z

2

u − µu

g(x)

s

1

+ h(x) − h

max

s

2

− h(x) + h

min

































= 0,

(3.24) om

(s

1

, s

2

) > 0

e onsequentemente

(z

1

, z

2

) > 0

.

3.3.1 Método de Trajetória Central

Analogamente àprogramação linear,apli amoso métodode Newton aosistema (3.24):

































∇

2

xx

L

0

0

J

g

(x)

t

J

h

(x)

t

−J

h

(x)

t

0

Z

1

0

0

S

1

0

0

0

Z

2

0

0

S

2

J

g

(x)

0

0

0

0

0

J

h

(x)

I

0

0

0

0

−J

h

(x)

0

I

0

0

0

































































∆x

∆s

1

∆s

2

∆y

∆z

1

∆z

2

































= −

































r

1

r

2

r

3

r

4

r

5

r

6

































,

(3.25)

∇

2

xx

L = ∇

2

xx

f (x) +

P

m

i=1

∇

2

xx

g

i

(x)y

i

+

P

p

_i=1

∇

2

xx

h

i

(x)z

1

i

−

P

p

i=1

∇

2

xx

h

i

(x)z

2

i

r

1

= ∇

x

f (x) + J

g

(x)

t

y + J

h

(x)

t

z

1

− J

h

(x)

t

z

2

r

2

= S

1

Z

1

u − µu

r

3

= S

2

Z

2

u − µu

r

4

= g(x)

r

5

= s

1

+ h(x) − h

max

r

6

= s

2

− h(x) + h

min

.

Ao ontrário de programaçãolinear (onde

σ

é xo), o parâmetro

σ

k

pode ser atualizado

na fórmula (3.16) em função do gap de omplementaridade

s

t

1

z

1

+ s

t

2

z

2

após ada iteração.

Neste trabalho, a atualizaçãoserá feita através daheurísti a [12℄:

σ

k

_{= min(0, 2; 100(s}

t

1

z

1

+ s

t

2

z

2

)).

(3.26)

3.3.2 Método Preditor-Corretor

Analogamente àprogramação linear, al ulamos ini ialmentea direçãoam

d

˜

k

(

µ = 0

):

































∇

2

xx

L

0

0

J

g

(x)

t

J

h

(x)

t

−J

h

(x)

t

0

Z

1

0

0

S

1

0

0

0

Z

2

0

0

S

2

J

g

(x)

0

0

0

0

0

J

h

(x)

I

0

0

0

0

−J

h

(x)

0

I

0

0

0

































































∆˜

x

∆ ˜

s

1

∆ ˜

s

2

∆˜

y

∆ ˜

z

1

∆ ˜

z

2

































= −

































r

1

r

2

r

3

r

4

r

5

r

6

































,

(3.27)