Álgebra Linear MAE 709

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Mestrado em Matem´atica Aplicada

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Algebra Linear – MAE 709

Prof Gregorio Malajovich, [email protected]

Organiza¸

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ao geral do curso

Hor´ario: Segundas e Quintas, 15:00 `as 17:00

Local: Sala ABC-116

Homepage: http://www.labma.ufrj/ gregorio/ensino.html Bibliograf´ıa: N.V. Efimov e E.R. Rozendorn, Linear Algebra

and Multi-Dimensional Geometry, MIR, Moscow, 1975. G. Strang, Introduction to Linear Algebra,

Wellesley Cambridge Press, 1993.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática Aplicada, Mestrado em Matemática Aplicada, Exames de Qualifica¸cão, http://www.labma.ufrj.br/mestrado Pré-requisitos: Um bom conhecimento de Álgebra Linear de gradua¸cão, ao n´ıvel

do texto de Strang (que ´e leitura pr´evia a este curso)

Critério de Avalia¸cão: 6 testes, com peso 1 cada, e um exame simulado com peso 5. As listas de exerc´ıcio serão discutidas em aula e não contam ponto. Planejamento de aulas: Um cap´ıtulo de Efimov e Rozendorn por semana,

mais uma semana para complemento de svd e teorema espectral, mais uma semana para condicionamento e norma de matrizes.

1 Primeira lista de exerc´ıcios (Cap 1, Efimov e

Ro-zendorn)

1. Ler o cap´ıtulo 1 de Ian Stewart, Galois Theory, Chapman e Hall, 1973, e fazer os exerc´ıcios.

2. Mostrar que o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas é um espa¸co vetorial. 3. Mostrar que o espa¸co das fun¸cões integráveis é um espa¸co vetorial.

4. Mostrar que as colunas de uma matriz que correspondem a um menor de base (”basis minor”) s˜ao linearmente independentes.

5. Mostrar que elas geram a imagem (espa¸co das colunas) da matriz.

6. Mostrar que o determinante de uma matriz quadrada ´e igual a zero se e somente se as colunas da matriz s˜ao linearmente dependentes.

7. Escreva uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que as colunas de uma matriz m × n sejam linearmente dependentes.

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8. Mostre que o posto de uma matriz é igual à ordem de seu menores de base. 9. Mostre que o conceito de dimensão de um espa¸co vetorial real está bem definido. 10. Seja ψ : Cn → R2n_{, definida por: ψ(z) = [Re(z}

1), Im(z1), · · · , Im(zn)]T. Seja

λ ∈ C, escreva ψ(λz).

11. Mostre que a dimensão da soma direta de n espa¸cos vetoriais é a soma das di-mensões dos espa¸cos.

12. Seja x j def = x(x−1)···(x−j+1)_j! . Mostre que x j

, j = 0, · · · , d ´e uma base para o espa¸co dos polinˆomios em x de grau ≤ d.

2 Segunda lista de exerc´ıcios (Cap 2, Efimov e

Ro-zendorn e cap 2, Strang)

1. Sejam e1, · · · , en e e01, · · · , e 0

n bases de Rn, relacionadas por: e 0

i = P ei onde P ∈

GL(n, R) (isso quer dizer que P ´e uma matriz invers´ıvel n × n). Seja x =P xiei =P x0ie0i. Escrever x0i em fun¸c˜ao de xi.

2. Com as nota¸c˜oes da quest˜ao anterior, considere a fun¸c˜_{ao linear ω : R}n _{→ R,}

definida por: ω : x 7→P ωixi. Ache ω0i em fun¸c˜ao de ωi. Dica: P ωixi =P ωi0x 0 i.

3. Ainda com as mesmas nota¸c˜oes: Seja A uma transforma¸c˜_{ao linear de R}n, repre-sentada na base (e1, · · · , en) por uma matriz que tamb´em chamaremos de A. Na

base (e0₁, · · · , e0_n), esta transforma¸cão é representada por uma matriz A0. Escreva A0 em fun¸cão de A.

4. Ainda com as mesmas nota¸c˜_{oes: seja Q : R}n _{→ R uma forma quadr´atica,}

re-presentada na base (e1, · · · , en) por: Q(x) =

P

ijQijxixj, onde Q ´e uma matriz

sim´etrica. Escreva essa mesma forma quadr´atica na base (e0₁, · · · , e0_n).

5. Sejam A : Rm _{→ R}n _{e B : R}l _{→ R}m _aplica¸c˜_{oes lineares. Mostre que o posto de}

AB ´e menor ou igual ao m´ınimo do posto de A e do posto de B. Mostre que a igualdade n˜ao vale em geral.

6. Sejam A : Rm _{→ R}n _{e B : R}m _{→ R}n _aplica¸c˜_{oes lineares. O que vocˆ}_{e pode afirmar}

sobre o posto de A + B ?

7. Mostre que toda matriz de posto 1 se escreve da forma: abT onde a e b s˜ao vetores. Se abT _´_{e uma matriz n × n, mostre que det(I + ab}T_{) = 1 + a}t_b

8. Leia o cap. 2 do livro do Strang, e fa¸ca os exerc´ıcios 25 p. 46, 27 p. 55, 30-31 p.65, 34 p. 76, 24 p. 88, 10 p. 99, 21 p. 100

9. Mostre que os polinˆomios x j

da lista anterior est˜ao relacionados aos polinˆomios xq _{pela f´}_{ormula de mudan¸ca de coordenadas:}

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onde o somat´orio dos j vai de 0 a q, para algum valor dos Ajq.

10. Seja I = (I1, · · · , Ij) ∈ Nk tal que

P Ik = d. Definimos d I como o coeficiente de xI1 i x I2 2 · · · x Ij j em (x1+ · · · + xj)d. Ache o valor de d I . 11. Mostre que Ajq = P_I q I

onde a soma ´e sobre todos os multi-´ındices I = (I1, · · · , Ij) tais que Ik ≥ 1∀k e P Ik = q.

12. Leitura complementar (opcional): o texto de Golub e Van Loan explica como a multiplica¸cão de matrizes é feita na prática.

13. Leitura complementar (opcional): leia a parte do texto de Gathen e Gerhard explicando o algoritmo de Strassen para multiplica¸c˜ao de matrizes.

3 Terceira lista de exerc´ıcios (Cap 3)

Quest˜ao ´unica. Sejam a1, · · · , am ∈ Rn e seja A o fecho convexo dos ai’s. Seja A a

matriz com linhas ai ∈ Rn. Assuma que A tem posto n.

Seja 1m = [1, 1, · · · , 1]T ∈ Rm, onde m ´e o n´umero de linhas de A.

Um vetor x ∈ Rn ´e dado com a seguinte propriedade: Ax ≤ 1m

onde a desigualdade matricial deve ser interpretada linha por linha. Al´em disso, Bx = 1n

para uma submatriz B de A com posto n e exatamente n linhas. Esse vetor x representa uma face F de A. (Essa face é um simplexo). A matriz B−1 também é dada.

Escreva um algoritmo para achar as faces adjacentes a F . Se poss´ıvel, evite inverter matrizes.

Após resolver esse problema, procure na literatura o ”algoritmo do simplexo”, e veja se a sua solu¸cão é razoável.

4 Quarta lista de exerc´ıcios (Cap 4)

1. Qual ´e a regra de mudan¸ca de coordenadas para uma forma tri-linear ?

2. Seja a(x) uma fun¸cão cúbica (i.e, um polinômio homogˆ_{eneo de grau 3) em R}n. Mostre que a(x) = b(x, x, x) onde b é uma forma tri-linear simétrica. Ache a fórmula de b(x, y, z) em fun¸cão de a. (Essa fórmula também é chamada de fórmula de polariza¸cão).

3. Refa¸ca a prova do método de Lagrange para reduzir uma forma bilinear à forma canônica.

4. Refa¸ca a prova do método de Jacobi para reduzir uma forma bilinear à forma canônica.

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5. Mostre o critério de Sylvester: uma forma quadrática é positiva-definida se e so-mente se todos seus menores principais são estritamente positivos.

6. Seja f : R4 → R quadr´atica, tal que f(0) = 0 e ∇f0 = 0. Descreva geom´etricamente

o gr´afico de f , distinguindo os casos que forem necess´arios.

7. Nas mesmas condi¸cões, ache uma condi¸cão necessária e suficiente para que o con-junto dos vetores x tais que f (x) ≥ 0 seja convexo.

8. Ache o grupo das transforma¸c˜_{oes lineares de R}2 _{(aqui com coordenadas (t, x)) que}

preserva a forma quadr´atica t2− x2_{. Interprete geom´}_{etricamente em L(2).}

9. [Exame de qualifica¸c˜ao, 2001/2] Seja Ano subespa¸co de L(n) gerado pelas matrizes

de permuta¸c˜ao. Mostre que dim An = n2 − 2n + 2. Sugest˜ao: mostre primeiro

que An = (An∩ Simn) ⊕ (An∩ Antin), onde Simn e Antin s˜ao, respectivamente,

os espa¸cos das matrizes sim´etricas e anti-sim´etricas.

5 Quinta lista de exerc´ıcios (Cap 5)

1. Mostre que L(n) = Rn⊗ (Rn₎∗

2. Deduza que as matrizes de posto 1 geram L(n), enquanto espa¸co vetorial. 3. Seja f : Rm _{→ R}n _diferenci´_{avel. Escreva a k-´}_{esima derivada de f .}

4. Considere o operador ∧ : (R3)∗_{× (R}3)∗ definido por: u ∧ v = u ⊗ v − v ⊗ u. Escreva a contra¸c˜ao de u ∧ v por vetores x e y na forma de um determinante 3 × 3. 5. Mostre (usando um argumento tensorial) que o tra¸co de um endomorfismo linear

M : E → E não depende da escolha da base de E. Explique porquê o tra¸co de uma fun¸cão bilinear pode depender da base.

6. Escreva o produto de matrizes como uma contra¸c˜ao de tensores.

7. Qual a dimens˜ao do espa¸co das fun¸c˜_{oes k-lineares alternadas em R}n _{? Ache uma}

base para esse espa¸co.

6 Sexta lista de exerc´ıcios (Cap 6)

1. Sejam G e H grupos e ψ : G → H um homomorfismo. Mostre que a imagem e o n´ucleo de ψ s˜ao, respectivamente, subgrupos de G e de H.

2. Verifique que A → detA ´_{e um homomorfismo de GL(n) em (R}∗, ×). Qual ´e o seu n´ucleo ? Sua imagem ?

3. Seja B ∈ GL(n). Verifique que A → B−1AB é um homomorfismo de GL(n) em (R∗, ×). Qual é o seu núcleo ? Sua imagem ?

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5. Mesma pergunta, para R6 um hex´agono regular centrado na origem.

6. Seja C um cubo centrado na origem. Descreva o sub-grupo de GL(3) que fixa C. 7. Forne¸ca exemplos de invariantes dos tipos 1 a 4 (p. 195).

8. Que tipo de invariante é o volume não orientado ? 9. Dê um exemplo de pseudo-tensor axial de peso 3.

7 S´

etima lista de exerc´ıcios (Cap 7)

1. (Exame de qualifica¸c˜ao, Mar¸co 1990) (a) Sejam N1 e N2 duas matrizes complexas

3 × 3, nilpotentes. Mostre que N1 ´e similar a N2 se, e somente se, N1 e N2 tˆem o

mesmo polinômio minimal. (b) Sejam A e B matrizes complexas n × n que têm o mesmo polinômio caracter´ıstico

f (x) = (x − c1)d1(x − ck)dk

e o mesmo polin omio minimal. Suponha que di ≤ 3, para todo i = 1, · · · , k.

Mostre que A e B s˜ao similares.

2. (Exame de qualifica¸c˜ao, Setembro 1991) (a) Descrever suscintamente como se con-segue uma base de Jordan para um operador nilpotente L : U → U . (b) Seja T : R10 _{→ R}10 _{um operador linear cujo polinˆ}_{omio m´ınimo ´}_{e m(x) = (x − 2)}4 _e

tal que dimKer(T − 2I) = 3. Descreva as possibilidades para dimKer(T − 2I)2 e dimKer(T − 2I)3_.

3. (Exame de qualifica¸cão, Setembro 1990) Seja A uma matriz complexa n × n satis-fazendo a equa¸cão Ar _{= I, r ∈ N, r 6= 0. (a) Mostre que A é diagonalizável. (b)} Mostre que |trA| ≤ n.

4. (Exame de qualifica¸cão, Set. 1989) Se A é uma matriz complexa 5 × 5 com po-linômio caracter´ıstico (X − 2)3_{(X + 7)}2 _{e polinˆ}_{omio minimal (X − 2)}2_{(X + 7), qual}

a forma de Jordan de A?

5. (Exame de qualifica¸cão, Setembro 1992) Seja A matriz real n × n e suponha que λ é autovalor de A com parte imaginária não nula. Mostre que existe um subespa¸co de dimens˜_{ao 2 em R}n _{invariante por A.}

6. (Exame de qualifica¸c˜ao, Mar¸co 1994) Construa uma matriz A, 3×3, que tem apenas 2 autovetores independentes, sabendo que A fixa os vetores (0, 1, 3) e (3, 0, 1). Calcule A20_.

7. (Exame de qualifica¸c˜ao, Setembro 1994) Ache a forma de Jordan da matriz:     3 −4 0 2 4 −5 2 4 0 0 3 −2 0 0 2 −1    

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8. (Exame de qualifica¸c˜ao, Setembro 1996) Ache a forma de Jordan da matriz:     −1 9 −1 9 −9 6 −9 6 1 −9 −1 9 9 −6 −9 6    

9. (Exame de qualifica¸c˜ao, Mar¸co 1997) Seja A uma matriz n × n, de coeficientes Aij

tais que: ai,j =    1 se i = j 2 se i = j − 1 0 Sen˜ao Determine a forma canˆonica de Jordan de A.

10. (Exame de qualifica¸c˜_{ao, Setembro 1992) Seja T : R}4 _{→ R}4 um operador linear cujos polinˆomios m´ınimo e caracter´ıstico s˜ao, respectivamente, (x2_{+ 1)(x − 2) e}

(x2_{+ 1)(x − 2)}2_{. Determine as poss´ıveis formas canˆ}_{onicas reais de T , a menos da}

ordem dos blocos.

11. (Exame de qualifica¸cão, Mar¸co 1994) Seja p um polinômio geral de grau n. Con-sidere A : p(t) 7→ p(t + 1). Qual é o polinômio m´ınimo de A? Encontre a base de Jordan.

12. (Exame de qualifica¸cão, Mar¸co 2000) Considere a seqüencia de números inteiros {an} gerada pela lei de recorrência:

an+2 = 6an+ an+1, n ≥ 1,

e com a1 = 1, a2 = 2. Determine a100. Sugest˜ao: Existe uma matriz B, 2 × 2 tal

que xn+1= Bxn, onde xn = (an, an+1).

13. (Exame de qualifica¸cão, fevereiro 2001) Sejam T e S duas transforma¸cões lineares em um espa¸co vetorial complexo V de dimensão finita tais que

T S = ST

(a) Prove que se λ é um autovalor de T , então W = {v ∈ V ; T v = λv} é um subespa¸co invariante por S. (b) Prove que T e S possuem ao menos um autovetor em comum.

14. (Quest˜ao t´ıpica de exame oral) Explique o significado de um autovalor complexo (para uma matriz real, ´e claro).

8 Oitava lista de exerc´ıcios (Cap 8)

1. Mostre que toda matriz de SO(n) (Grupo de matrizes ortogonais de determinante 1) é um produto de rota¸cões de Givens (rota¸cões que fixam todas as coordenadas menos 2).

(7)

3. Mostre que toda matriz A m × n admite uma decomposi¸c˜ao A = QR, onde Q ∈ O(m) e R ´e triangular superior (i > j ⇒ Rij = 0).

4. Mostre como utilizar a decomposi¸c˜ao QR para resolver o problema dos m´ınimos quadrados: Se A : Rm _{→ R}n _{injetiva, e b ∈ R}n_{, achar x tal que kAx − bk}

2 seja

minimal.

5. Mesma pergunta, sem a hipótese de que A é injetiva. Agora, é preciso achar a solu¸cão x de norma minimal.

6. (Exame de Qualifica¸cão, Setembro de 1996) Mostre que toda matriz complexa n × n A se escreve da forma: A = QRQH, onde Q é unitária e R é triangular superior. Essa fatora¸cão é chamada de forma normal de Schurr. (...) Existe alguma decomposi¸cão análoga para matrizes reais (com R real)?

7. (Exame de Qualifica¸cão, Setembro de 1999) Dê um exemplo de uma matriz orto-gonal real A, 5 × 5, que tenha apenas um autovalor real de multiplicidade algébrica igual a 1.

8. (Exame de Qualifica¸c˜_{ao, Dezembro de 2001) Seja a : (R}n₎k _{→ R}n _{uma forma}

k-linear alternada n˜_{ao-nula em R}n_{. A norma de a pode ser definida assim:}

kak2 = sup ku1k2=···=kukk2=1

|a(u1, · · · , uk)|

Mostre que se a norma de a ´e atingida para um certo valor de u1, · · · , uk acima,

ent˜ao a matriz U de colunas u1, · · · , uk ´e ortogonal.

9 Nona lista de exerc´ıcios (Cap 9)

1. Seja A uma matriz Hermitiana em L(Cn, Cn). mostre que seus auto-valores s˜ao reais e que existe uma base (sobre C) ortonormal de auto-vetores.

2. Seja g forma Hermitiana (=bilinear sesqui-sim´_{etrica) positiva definida em C}n. Seja a uma forma Hermitiana qualquer em Cn_{. Mostre que g e a podem ser}

diagonali-zadas simultaneamente.

3. (Exame de Qualifica¸c˜ao, mar¸co 1990) Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ao finita, com produto interno. Seja T um operador auto-adjunto em V . mostre que:

a) kα + iT αk = kα − iT αk para todo α ∈ V . b) α + iT α = kβ + iT β se e somente se α = β. c) I + iT e I − iT s˜ao invert´ıveis.

d) O operador U : V → V definido por U = (I − iT )(I + iT )−1 ´e um operador unit´ario.

4. (Exame de Qualifica¸c˜ao, setembro 1998) Sejam A1, · · · , Am matrizes Hermitianas

em Cn, n ∈ N. Suponha que

m

X

k=1

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Mostre que A1 = · · · = An.

5. (Exame de Qualifica¸c˜ao, mar¸co 2000) Mostre que uma transforma¸c˜ao linear orto-gonal de R2 _´_{e uma reflex˜}_{ao ou uma rota¸c˜}_ao.

10 D´

ecima lista de exerc´ıcios (Cap 10)

1. Mostre que o posto de uma forma bilinear alternada em Rn_´_{e um n´}_{umero par, ≤ n.}

2. Mostre que se ω ´e uma forma bilinear alternada, de posto r = 2m, ent˜ao existe um sistema de formas lineares independentes p1, · · · , pm, q1, · · · , qm tais que:

ω = p1∧ q1+ p2∧ q2+ · · · + pm∧ qm

3. (Lema de Cartan) Sejam p1, · · · , pm, q1, · · · , qm formas lineares, sendo p1, · · · , pm

independentes. Mostrar que

p1∧ q1+ p2∧ q2+ · · · + pm∧ qm = 0

se e somente se existirem coeficientes αij tais que qi =P αijqj.

4. Seja h·, ·i uma forma Hermitiana positiva definida em Cn_{. Considere ψ : C}n _{→ R}2n

que a todo z, associa (x, y) com zj = xj+ iyj. Mostre que

h·, ·i = (a + iη) ◦ (ψ ⊕ ψ)

onde a ´e bilinear sim´_{etrica positiva definida em R}2n_{, e η ´}_{e bilinear alternada em}

R2n. Escreva o determinante da matriz de h·, ·i em fun¸c˜ao de η ∧ · · · ∧ η.

11 Ementa oficial do exame de qualifica¸

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ao

Algebra Linear - MAE 705 1. Ementa:

- Espa¸cos Vetoriais e Transforma¸c~oes Lineares. Bases e Dimens~ao. Determinantes e Formas Multilineares. Produto Interno. Espa¸co Dual. - Auto-Valores e Auto-Vetores, Complexifica¸c~ao. Operadores Simétricos, Unitários e Normais. Decomposi¸c~ao Espectral. Forma Canônica de Jordan. Decomposi¸c~ao em Valores Singulares. Normas de Matrizes.

Condicionamento. 2. Refer^encias:

- G. Strang, Linear Algebra and its Aplications, Academic Press, 1976. - P. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, 1974. - M. Gelfand, Lectures on Linear Algebra, Interscience Publ., NY, 1961.

- Hofman e Kunze, ´Algebra Linear, Pol´ıgono, S~ao Paulo, 1971.