2 º S E M E S T R E D E 2 0 0 1 / 2 0 0 2
DETERMINAÇÃO DO
DIAGRAMA DE
DISPERSÃO POR
INTERFEROMETRIA
O B J E C T I VO
O objectivo do presente trabalho é a determinação experimental do diagrama de dispersão de um sistema feixe-plasma, magneticamente confinado, na banda 0 < ω < ωpe. Através da relação de
dispersão poder-se-á inferir indirectamente a densidade do plasma.
O diagrama de dispersão será construído medindo a constante de propagação k para vários valores de ω impostos, determinando a frequência de ressonância do sistema (ωpe) pela passagem de
uma banda de propagação real para uma banda de evanescência.
DETER MINAC AO DE UM PAR (W,K )
A determinação do par (ω, k) faz-se pela injecção de sinais monocromáticos no plasma através de uma sonda de Langmuir fixa e pela determinação da configuração do campo eléctrico ao longo da câmara com o auxilio de uma sonda móvel..
Como as densidades típicas do nosso plasma são da ordem de 1015 m-3.temos frequências de
plasma da ordem dos 300 MHz. Portanto o gerador de RF a utilizar deve cobrir uma banda entre 0 e digamos 500 MHz.
Vamos utilizar um gerador que tenha uma potência de saída com cerca de l0 mW, regra geral suficiente para que esses sinais se propaguem com boa definição no plasma. O esquema de ligações correspondente a este trabalho está contido na Fig.1.
Fig. 1
O sinal a utilizar provém do oscilador e tem uma frequência variável (ω). Em série com a saída do oscilador temos inserido no circuito um "pick-off". Este acessório não é mais do que um sistema passivo que retira uma amostra do sinal que existe no seu condutor central. Assim este "pick-off" deixa passar cerca de 99% da potência do sinal e fornece-nos um sinal de referencia para utilização
geral como por exemplo para gerar um sinal de disparo (trigger) de um osciloscópio, etc. Neste trabalho o sinal fornecido pelo pick-off funciona como sinal de referência para se determinar a variação de fase do sinal injectado com a mesma frequência.
O processo de determinar a constante k é o seguinte: o sinal proveniente do gerador é directamente (através do pick-off) dado a uma sonda fixa da experiência. Esta sonda está imersa no plasma e a partir dela vão-se propagar ondas nos dois sentidos da câmara de interacção, até que se estabelece um equilíbrio com reflexões múltiplas nos extremos da câmara. Assim o campo eléctrico associado a esta onda de plasma vai ser função de z através de dependências do tipo exp(jkz) e exp(-jkz). As constantes de propagação nos dois sentidos não têm necessariamente que ser idênticas dado que o feixe de electrões perturba o diagrama de dispersão do plasma. Estas ondas que se propagam no plasma são recebidas por uma sonda móvel que funciona como antena de recepção. Dado que o coeficiente de acoplamento do plasma com as sondas, sob um ponto de vista de radiação e de recepção de sinais, é bastante pequeno, o sinal da sonda móvel tem que ser amplificado. O amplificador tem que ter uma largura de faixa adequada aos nossos sinais e assim deve também cobrir a banda dos 0 - 500 MHz..
Na montagem usam-se dois amplificadores em cadeia com um ganho de 20 dB e para se formarem os sinais de amplitude adequada ao misturador usam-se atenuadores calibrados com uma escala de 1 db em série com um outro com uma escala de 10 db, num máximo de 130 db. Os dois atenuadores da Fig.1 destinam-se portanto a satisfazer os requisitos de entrada do misturador (máximo:5 mW).
O misturador serve portanto para "bater" os dois sinais da mesma frequência que lhe chegam de proveniências diferentes: (i) -directamente do gerador e (ii)- depois de atravessar a coluna de plasma. Se chamarmos ao campo eléctrico de referencia que chega ao misturador E1= E0 cos (ωt) o campo
que chega ao misturador vindo do plasma é E2= E2 cos (ωt-kz) em que z representa a coordenada
longitudinal da experiência. Este sinal diz respeito a uma onda a propagar-se num só sentido ao longo da câmara. Para a outra onda tudo é semelhante e temos E3= E3 cos (ωt+kz). E2 e E3 são
evidentemente amplitudes complexas que traduzem não só as variações de fase introduzidas pela propagação ao longo dos diversos cabos coaxiais do circuito como também pelos acoplamentos com o plasma que podem não ser reais, pelos amplificadores, etç. O que importa é o facto que, quando a sonda móvel se desloca ao longo de z, apenas varia a fase segundo exp(-jkz) dado que todas as outras diferenças de fase entre os dois sinais são fixas!
Assim, e considerando apenas a onda incidente (segundo +z) temos: S1=E0cos(ωt)
S2= E1cos(ωt-kz)
e o produto destes dois sinais (produzido pelo misturador) é dado por: S = E0 E2 [cos(2ωt-kz) + cos(kz)]/2
Este sinal S está disponível à saída do misturador e é composto por uma tensão de RF (segunda harmónica) e de uma tensão continua dependente de z. A saída do misturador vai ser entregue aos terminais YY de um registador X-Y cujo eixo dos XX se sincroniza com a posição da sonda móvel. Devido à inércia do sistema mecânico do registador este não pode seguir a componente em 2ω e portanto vamos obter um registo de um sinal S':
que permite determinar não só a amplitude relativa da onda em função de z mas também a sua variação de fase em relação ao sinal de referencia.
A Fig.2 apresenta um aspecto típico de uma destas curvas:
Fig. 2 - Exemplo de uma curva obtida por interferência da onda de referência com a colectada com uma variação espacial.
O ponto de injecção da onda fica normalmente reconhecível na figura por ser um ponto de quase-simetria em z, dado que a onda se vai propagar nos dois sentidos e a fase relativa sofre uma variação idêntica. O processo de obtenção de λ consiste em medir a distancia entre dois pontos de igual fase (normalmente entre dois zeros correspondentes). Em casos normais, a periodicidade da estrutura representa de facto o comprimento de onda a que está associado o número de onda k que pretendemos determinar. Chama-se desde já a atenção para o facto de que quando a frequência toma valores relativamente baixos, o comprimento de onda se torna elevado e a periodicidade encontrada pode não ser a tradução de λ mas de λ /2 devido á possível formação de ondas estacionarias ao longo da coluna ou de um modo mais geral a fenómenos e interferência entre as ondas que se propaguem segundo +z e -z.
Com a obtenção das curvas de E=E(z) o problema está formalmente resolvido. De cada uma destas curvas vai-se tentar obter os valores respectivos para k+ e k- (propagação segundo +z ou -z).
Variando a frequência da onda vamos obter valores de k que, ponto a ponto, irão permitir o traçado experimental dos dois diagramas de dispersão (lº e 4º quadrantes do plano de Brillouin) para a propagação de ondas electrónicas de plasma num sistema transversalmente confinado.
GR AN DEZAS A DETER MINAR
Com os parâmetros da experiência adequados e equivalentes a uma configuração utilizada na experiência de determinação da densidade com a sonda de Langmuir, obtenha de acordo com o esquema de ligações (Fig.1) as variações de E=E(z) para vários valores da frequência começando por um valor de 100 MHz e depois de 20 em 20 MHz, desde a frequência mais baixa que der origem a gráficos significativos até à mais elevada a considerar. Esta última corresponde à frequência de plasma dos electrões. Esta frequência de ressonância, que delimita a banda em que estamos interessados, pode ser reconhecida em virtude de, pela análise do diagrama de dispersão teórico,
sabermos que para essa frequência k→∞, logo o seu comprimento de onda tende para zero. Além disso fpe separa uma zona de propagação real de outra de propagação evanescente (desprezo da
influencia do feixe electrónico). Sendo assim podemos ir subindo a frequência do gerador e analisando as figuras obtidas para E=E( z). A ressonância procura-se pela observação de uma modificação súbita no tipo de estrutura do campo (passagem de uma estrutura periódica de pequeno λ para uma estrutura evanescente sem variação de fase mas só de amplitude). Devido à presença do feixe nem sempre esta mudança de tipo de propagação se observa com nitidez mas regra geral este método é suficiente para a identificação do valor de fpe.
Com a obtenção dos vários pares (ω, k) e com o conhecimento para cada situação do valor da frequência de plasma termina a parte experimental deste trabalho.
NOTA: caso subsista muito ruído no registador, pode ser filtrado o sinal resultante do batimento com um condensador (~100 nF).
TR ATAMEN TO DOS DADOS EXPER IMEN TAIS
(i) - De cada uma das curvas representando E=E(z) tente obter um valor para o comprimento de onda para cada sentido de propagação. Para as frequências muito baixas medir as várias periodicidades que aparecem devido à formação de figuras de interferência.
(ii) - Para cada situação experimental traçar os dois gráficos de k=k(ω) numa mesma folha de papel milimetrico (1° e 4º quadrantes).
(iii)- Para o diagrama de dispersão determinar: 1) a frequência de plasma dos electrões fpe;
2) a densidade do plasma;
3) fazer a comparação dos valores agora obtidos para ne com os obtidos no 2º
trabalho.
(iv )- calcular a velocidade de fase em função de ω,(vph=ω/k).
(v) - calcular a velocidade de grupo(vg=∂ω/∂k). Para determinar com facilidade a velocidade de
grupo pode-se atender à figura 3 onde se mostra uma relação geométrica entre as duas velocidades. A vg é dada por vph=A/B.
Fig. 3 - Determinação experimental das velocidades de fase e de grupo.
(vi) - Comparar estas velocidades com (a) da luz, (b) do feixe de electrões (c) com a térmica dos electrões. Notar que geralmente se tem vTe < vg < vph < vb.
(vii) - Conhecida a equação de dispersão aproximada para estas ondas electrónicas de plasma:
0
1
1
2 2 2 2 2 2 2=
−
+
−
−
ω
ω
ω
ω
ω
pe ce pek
p
calcular para cada par (ω,k) o valor de p associado. De facto para cada um daqueles pares conhecemos os valores de fpe, f, fce e k de modo que só temos uma incógnita: p=2.405/a, em que a é
o raio da coluna de plasma que preenche o guia.
(viii)- Analisar a variação de p com ω. Em principio p devia ser uma constante relacionada com as dimensões transversais da coluna de plasma. No entanto devido à imprecisão na determinação dos vários valores de k o valor de p tirado dos vários pares (ω,k) pode diferir bastante de caso para caso.
(ix) - Para o valor mais provável de p (tirado normalmente da região média da característica k=k(ω),) e para o valor aproximado para fpe que se utilizou no cálculo anterior, tentar adaptar uma
curva teórica aos pontos experimentais ('curve fitting). De modo geral a curva teórica sofre desvios importantes em relação ao conjunto dos pontos experimentais.
(x)- tente, através de variações adequadas quer de fpe quer de p obter uma curva que melhor adira
aos pontos experimentais. Os valores finais de p e fpe são os mais prováveis. Compare com aqueles
que determinou à priori por análise de passagem à evanescencia (fpe) e através da alínea (vii). Analise o
desvio percentual entre estes dois pares de valores.
(xi)- Derive uma expressão para a equação de dispersão valida para frequências muito baixas f<<fpe<<fce.O resultado deve ser:
2 1 2 2
1
−
+
≅
ce pe pep
k
ω
ω
ω
ω
(xii)- Trace estas rectas nos diagramas de dispersão anteriormente obtidos e compare com o andamento dos pontos experimentais. Se houver grande divergência entre as duas curvas, faça o problema inverso: Determine o par (fpe,p) fixando fpe por exemplo a partir do conhecimento da
inclinação da característica experimental para ω~0.
