Geometria

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Geometria

Preparado por Marcos Cherinda

Nota

Este documento é publicado sob condições da Crative Commons

Tabela de conteúdos

I. Módulo 5: Geometria ... II. Curso pré-requisito ou conhecimento de base ... III. Tempo ... IV. Materiais ... V. Racionalidade do Módulo ... VI. Vista geral ... 6.1 Perfil ... 6.2 Organizador gráfico ... VII. Actividades de ensino e aprendizagem ... VIII. Actividades de aprendizagem ... IX. Conceitos-chave (Glossário) ... X. Leituras obrigatórias ... XI. Recursos multimídia e links úteis ... XII. Síntese do Módulo ... XIII. Avaliação sumativa ... XIV. Referências ... XV. Autor principal do Módulo ...

I. Módulo 5: Geomtria

II.

Curso pré-requisito ou conhecimento base

Geometria da escola superior.

III. Tempo

O tempo total deste módulo é de 120 horas de estudo.

IV. Material

Você é muito recomendado a usar o software interactivo no CD-ROM-Recursos incluído no seu pacote de material de estudo. O software Geo-Gebra ou WinGeom vai ajudá-lo a explorar o mundo da geometria de maneira interessante e dinâmica e com menos custos de papel e tempo!

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Ao começar cada Unidade deverá visitar, pelo menos uma vez, o material disponível em on-line na Internet como está indicado nas Leituras Relevantes. Quase todos os links nas Leitura Relevantes têm conteúdos em off-line no CD-ROM-R

s ecursos. Isto inclui livros electrónicos vres e abertos e os softwares mencionados acima.

V. acionalidade do Módulo

s e

rá strumentos mecânicos básicos (compasso e régua) e rogramas de computadores.

s

otenciar para fazer pesquisa em geometria, bem como em outros módulos matemáticos.

irá

a introdução à geometria Não-uclidiana, tratada apenas sinteticamente.

I. Visão geral

prendizagem (AA). O tempo total do Módulo é de 120 horas, distribuídas como na tebela abaixo: li

R

O Módulo sobre Geometria começa por olhar o desenvolvimento histórico do

conhecimento que a Humanidade veio, pouco a pouco, adquirindo ao longo de século que mais tarde se tornaram, por volta de 300 A.C., a disciplina Matemática chamada “Geometria Euclidiana” pelo reconhecimento do grande trabalho de Euclides. O

raciocínio inductivo-dectivo que caracteriza esta disciplina será desenvolvido através de investigação das suas conjecturas sobre objectos e propriedades geométricas. Você i explorar a geometria usando in

p

A medida que você vai progredindo, você irá tratar a geometria Euclidiana usando um sistema referencial para localizar pontos. O sistema Cartesiano ortogonal de coordenada que você já conhece desde a escola secundária é o sistema referencial mais comum que você vai usar em ambos casos de duas e de três dimensões. Você irá também aprender outros sistemas de coordenadas que irão lhe p

Analisando profundamente a construção axiomática da geometria Euclidiana você aprender novas estruturas geométricas, geralmente designadas por geometria Não-Euclidiana. Portanto, em suma, este Módulo fala sobre a geometria Euclidiana tratada de ambas maneiras, sintética e analiticamente, e engloba um

E

V

O Módulo está subdividido em quatro Unidades. Cada sub-Unidade constitui uma Actividade de A

Módulo 5: Geometria Tempo

Revendo a Geometria Euclidiana 24

Geometria Analítica do Plano 34

Geometria Analítica dos Sólidos 42

Geometria Não-Euclidiana 20

Tempo total 120 horas

6.1 Perfil:

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Unidade 1: Revendo a Geometria Euclidiana Tempo AA1.1 Sobre história da Geometria Euclidiana 1

AA1.2 Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana 3

AA1.3 Isometrias Euclidianas planas 6

AA1.4 Triângulos 5

AA1.5 Circunferências 3

AA1.6 Semelhança geométrica 4

Miscelânea de exercícios 2

Unidade 2: Geometria Analítica Plana Tempo

AA2.1 Espaço vectorial em duas dimensões 6

AA2.2 A linha recta 8

AA2.3 Transformação de coordenadas no plano 4

AA2.4 Secções cónicas 12

Unidade 3: Geometria Analítica dos Sólidos Tempo

AA3.1 Espaço vectorial em três dimensões 8

AA3.2 Planos e rectas 10

AA3.3 Transformação de coordenadas no espaço tridimensional 6

AA3.4 Superfícies quádricas 14

Unidade 4: Geometria Não-Euclidiana Tempo

AA4.1 Introdução à Geometria Não-Euclidiana 6

AA4.2 Transformações afins 4

AA4.3 Transformações projectivas 8

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Módulo 5: GEOMETRIA Geometria Euclidiana

Geometria Analítica do Plano

Nota: A Geometria Euclidiana é o tópico central o Módulo 5. A primeira Unidade é dedicada à revisão da Geometria Euclidiana numa abordagem sintéctica. Depois, usando a Álgebra Linear (Módulo 4) com o sistema Cartesiano de coordenadas, a Geometria Euclidiana será tratada analiticamente cobrindo duas Unidades: Geometria Analítica do Plano e Geometria Analítica dos Sólidos. Depois destas Unidades, será introduzida uma construção de novas estruturas

geométricas, geralmente designada por geometria Não-Euclidiana.

VII. Actividades de ensino e aprendizagem

Pré-Avaliação

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

Pré-Avaliação (60 minutos)

Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Euclidiana você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada correcta.

Questão 1

A palavra “geometria”´ significa: A O mesmo que “geografia”

B “Medição da Terra” onde geo significa “terra” e metria significa “medição”. C “Matriz terrestre” onde geo significa “terra” e metria significa “matriz”. D Estudo da paisagem

Questão 2

O raciocínio visual é peculiar no tratamento de questões da Geometria Euclidiana. Que forma é a próxima na seguinte sequência:

A B C

D

Geometria Analítica dos Sólidos

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Questão 3

Considere a figura do lado esquerdo. O cumprimento X é igual a:

Questão 4

Considere o quadrado inscrito na circulo de raio r. A razão da área do círculo para a área do quadrado é igual a:

Questão 5

Na figura à direita, o segmento PT é tangente à circunferência em T. Se AB4 e BP3,

então PT é igual a: 2

Chave de respostas

Questão 1 2 3 4 5

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UNIDADE 2: Geometria Analítica Plana

Pré-avaliação (60 minutos)

Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica do Plano você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada.

Questão 1

Considerando os vectores a e b na figura ao lado, as coordenadas do vector a+b são:

A (2, 3) B (-2, -1) C (4, -1) D (4, 3) Questão 2

A distância d entre dois pontos conhecidos P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂)pode ser dado por:

A ₂ 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x  y y  d B d (x2 y2)(x1 y1) C _d ₍_x₂ _x₁₎2 ₍_y₂ _y₁₎ D ₎ 1 ( ) (x₂ x₁ y₂ y d     Questão 3

Considerando o gráfico abaixo, a equação da linha recta é: A 3y x2 60 B 3 0 3 2    y x C 2x y3 60        x y D 2 0 3 2    x y Questão 4

Considera a circunferência de raio r e centro

O’. A sua equação pode ser dada por:

A ₍x₃₎2 ₍y₂₎2 ₁ B ₍ _₂₎2 _₍ _3₎2 _₁ y x ₂ C ₍_x3₎2 ₍_y1₎2 ₁ x 2 2 1 ) 3 ( ) 2 2 _ _ 2 _  y D ₍

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Questão 5

Considerando o gráfico abaixo, a equação da parábola é:

A y2x2 B yx2 C y ₂1x2       x y D yx2 Chave de respostas Questão 1 2 3 4 5 Resposta D A C B C

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos

Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica dos Sólidos você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada.

Questão 1

Considerando os vectores a e b ao lado, a soma ab é igual a: A (4, 5, -2) B (3, -5, -2) C (4, -1, 2) D (3, 5, 2) Questão 2

Considerando a figura da questão anterior, a magnitude do ângulo entre os vectores a e b será igual a: A 1200 B 900 C 2450 D 1000 Questão 3

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A 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) (x x  y y  Z Z d  B 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) (x x  y y  z z d  d  C ) ( ) ( ) (x₁ y₂  y₁ z₂  z₁ x₂ D ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ 1 2 1 2 1 2 y y z z x x      d  Questão 4:

Considerando a figura abaixo, o volume do tetraedro [OABC] é igual a: A 24 unidades cúbicas B 18 unidades cúbicas C 8 unidades cúbicas D 10 unidades cúbicas

Questão 5

Os gráficos abaixo mostram as projecções da esfera sobre os planos xy e plane yz.

As coordenadas do centro da esfera são: A (1, 2, 1.5)

B (2, 1, 1.5) C (1, 1.5, 2) D (1.5, 2, 1)

Chave das respostas

Questão 1 2 3 4 5

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UNIDADE 4: Geometria Não-Euclidiana

Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica dos Sólidos você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada.

Questão 1

A seguinte afirmação:

“Dada qualquer recta l e um ponto P não pertencente à l, existe uma única recta m no mesmo plano como P e l que passa através de P e não encontra l.”

A É a definição de rectas paralelas

B É um axioma sobre incidência ponto recta C É o V postulado de Euclides

D É o teorema das rectas paralelas

Questão 2

Qual das seguintes afirmações é verdadeira:

A A geometria Euclidiana foi inventada por Euclides.

B A obra Os Elementos foi escrita pelo pai de Euclides cerca de 300 AC. C Euclides nasceu em Roma.

D A obra Os Elementos é composto por treze livros.

Questão 3

Considere o triângulo ABC e sua imagem A’B’C’ por dilatação de centro O. Se o centro O tender para o infinito, então:

A Os dois triângulos tendem a ser congruentes entre si. B O triângulo ABC tende a ser maior que o triângulo A’B’C’.

C _{O triângulo ABC tende a ser maior que o triângulo A’B’C’. The triangle} A’B’C’ tends to be bigger than the triangle ABC.

D A relação de tamanho dos triângulos permanece imutável.

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Considere um triângulo qualquer ABC. Se T é centróide (o centróide de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas – as linhas que unem os vértices com o ponto médio do lado oposto), então verifica-se:

A AT  ₃2AD B ET FT C BT CT D TETFTDEB Questão 5 A matriz inversa de _       5 7 2 3 A  A  A  A A Is _       7 5 3 2 1 B Is _         3 7 2 5 1 C Is _         3 2 7 5 1 D Não existe!

Chave das perguntas

Questão 1 2 3 4 5

Resposta C D A A B

IX. Actividades

de

Aprendizagem

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA):

AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana

AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas

AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências

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Agora você vai trabalhar sobre

Actividade de Aprendizagem 1.1: Sobre a história da Geometria Euclidiana

1.1.1 Objectivos da aprendizagem

No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deve ser capaz de:

 Explicar o desenvolvimento do conhecimento geométrico ao longo da história das diferentes civilizações.

 Indicar locais, períodos, geômetras destacáveis e suas contribuições para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana

Sumário

Nesta Actividade de Aprendizagem você vai aprender como o pensamento geométrico foi

desenvolvido ao longo dos séculos como producto da interacção da humanidade com a Natureza. Você vai saber sobre os locais, períodos de destacáveis geômetras e suas contribuições para o conhecimento que se tornou disciplina matemática chamada geometria Euclidiana. Você irá

encontrar que à parte dos Gregos, Babilónios, Romanos, Indianos e Chineses, os antigos Egípcios – uma civilização Africana antiga – à cerca de 4000 anos atrás já possuíam conhecimentos matemáticos interessantes que incorporam a famoso obra de Euclides – Os Elementos.

Racionalidade

Frequentemente os alunos perguntam de onde vêm os teoremas, ou como os matemáticos os descobriram. É importante para você como futuro educador explicar aos seus estudantes a cerca de questões deste tipo. Sabendo como a Humanidade desenvolveu a geometria, eles ficarão

intrinsecamente estimulados a investigar geometria. Se eles próprios puderem sentir-se

investigadores, eles se tornarão mais confidentes em fazer matemática e você se sentirá satisfeito da sua profissão como professor.

Conceitos chaves

Os Elementos de Euclides: O clássico tratado de geometria escrito por Euclides (à cerca de 300 AC).

A obra consiste em 465 proposições, dividido em 13 tomos (livros). (Ver AA1.1 LR )

Papiro Matemático Rhind: O Papiro Matemático Rhind (PMR) é um documento matemático antigo

escrito no papyrus (papel). Foi denominado por Alexander Henry Rhind, um Escocês colecionador de antiguidades que comprou o papyrus em 1858 em Luxor, Egipto. (Ver AA1.1 LR )

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Lista de Recursos Relevantes

Particularmente para esta Actividade de Aprendizagem inicial da Unidade 1, para além do CD-ROM-Recursos que você obterá no seu pacote de material, você precisará visitar sítios da Internet, pelo menos uma vez, durante o estudo da Actividade de Aprendizagem.

Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem Sobre a história da Geometria Euclidiana

Você deve ter perguntado a si próprio as seguintes questões:  Quem criou (ou inventou) a geometria Euclidiana?  Qual foi o mérito de Euclides como geômetra?

 Terão antigas civilizações em África desenvolvido conhecimentos geométricos?

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Nesta actividade você vai aprender sobre o desenvolvimento do conhecimento geométrico e ser capaz de responder a questões como aquelas apresentadas acima. De facto, a geometria Euclidiana – que você já a conhece da escola secundária – é uma disciplina matemática que tem sido desenvolvida por diferentes civilizações por todo o mundo desde os tempos antigos.

Você vai aprender sobre geometria Euclidiana a saber porquê ela tem fascinado pessoas e

influenciado a maneira de pensar na matemática e em outras disciplinas científicas desde a 300 AC, quando Euclides escreveu a famosa obra intitulada Os Elementos.

Tarefa 1

Lê sobre o desenvolvimento da geometria Euclidiana (AA1.1 LR2 – LR5) ao longo da história das diferentes civilizações. Encontre como diferentes civilizações ao longo de séculos contribuíram para a construção do saber hoje conhecido como geometria Euclidiana e escreva um ensaio (500-700 palavras) sobre o assunto.

Figura 1.1.2: Pirâmides de Giza – um magnífico sinal do conhecimento geométrico do Egipto Antigo

Tarefa 2

Lê sobre matemática do Egipto Antigo (AA1.1, LR5) escreva sobre algumas contribuições Egípcias para a geometria Euclidiana.

Tarefa 3

O que é o “Papyrus matemático Rhind”? Apresente alguns tópicos geométricos incluídos no Papyrus matemático Rhind

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Figura 1.1.3: Uma porção do papyrus Rhind

Tarefa 4

Quando escreveu Euclides a sua obra “Os Elementos”? Descreva brevemente o conteúdo dos 13 livros d’ Os Elementos.

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas

AA1.6: Semelhança geométrica

Actividade de Aprendizagem 1.2:

Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana

Objectivos da aprendizagem

No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

 Explicar o desenvolvimento da geometria Euclidiana num exemplo concreto de aplicação de axiomas, teoremas e outros conceitos geométricos.

 Apresentar suas próprias conjecturas a partir da exploração de meios sólidos manipulativos ou pacotes informáticos.

 Desenhar figuras geométricas usando instrumentos básicos e/ ou computador.  Demonstrar teoremas Euclidianos clássicos e simples

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Sumário

Nesta Actividade você vai aprender como o pensamento geométrico foi desenvolvendo ao longo dos séculos como produto da interacção do Humanidade com a Natureza. O objectivo essencial desta actividade é ter você desenvolvendo o raciocínio inductivo-deductivo e estimulá-lo para mais investigação na geometria e na matemática em geral. Daí que você terá de formular conjecturas explorando as questões que lhe serão colocadas no decorrer da actividade. Baseado nas suas próprias conjecturas você irá desenvolver demonstrações matemáticas formais. Também irá aprender alguns teoremas clássicos e comuns da geometria Euclidiana e pedido para aplicá-los em problemas

concretos. Recomenda-se vivamente que você use instrumentos geométricos (pelo menos régua e compasso) sempre que necessário.

Racionalidade

É importante reflectir sobre como a geometria Euclidiana – tal como outras estruturas matemáticas – foi construída. Você irá encontrar o que caracteriza os fundamentos da geometria e que inovações apresenta David Hilbert (1862-1943) para a axiomática da geometria Euclidiana. Com base na tall reflexão, você irá perceber melhor o que distingue esta geometria de outro tipo de geometria que irás aprender mais adiante na Unidade 4 (a geometria Não-Euclidiana).

Conceitos-chave

Axioma: Uma proposição que é tomada por garantia como verdadeira.

Teorema: Uma afirmação que já foi provada ser verdadeira ou proposta como verdade demonstrável. Conjectura: Uma conjectura é o mesmo que hipótese, a afirmação esboçada da mesma evidência mas

ainda não provada.

Raciocínio inductivo-deductivo: Uma maneira de pensar que começa pelos casos particulares à

generalizações (indução) – e uma vez tendo afirmações gerais (provadas) então obtemos implicações para caso particular (dedução).

Demonstração matemática: Uma minuciosa demonstração de uma proposição usando a lógica de

estrutura axiomática dessa proposição.

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Lista de Recursos Relevantes (RR)

WinGeom ou GeoGebra (softwares geométricos no CD-ROM-Recursos)

Ambos WinGeom e GeoGebra são fontes livres e abertos de softwares similares ao Cabri-geometrè e são de alta qualidade. Também desenham gráficos de funções e criam uma relação dinâmica entre o gráfico e sua função. Você poderá baixar WinGeom e GeoGebra da Internet

http://freestatistics.altavista.org/math.php

Figura 1.2.2: Imagens do GeoGebra e do WinGeom

1.2.7 Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem

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Figura 1.2.1: Um edifício em construção

Você deve já ter visto pessoas construindo um edifício. Procura reflectir nas seguintes questões:  Qual é o material básico que os construtores usam para levantar as paredes?

 Você conhece algumas regras – precauções – que os construtores aplicam por forma a estarem seguros que as paredes não vão cair?

Mesmo que você não saiba nenhuma precaução que os construtores usam para construírem uma casa, você está seguro que é necessário respeitar certas leis físicas.

A construção da nossa disciplina – Geometria Euclidiana – pode ser comparada a construção de uma casa. As “pedras” ou “tijolos” da Geometria Euclidiana são proposições que são tomadas como verdadeiras e servem como um ponto de partida para deduzir outras verdades. Afirmações deste tipo chamam-se axiomas. Existe mais “materiais básicos” que se chamam teoremas. Um teorema é uma afirmação cuja veracidade já foi provada ou proposta como verdade demonstrável.

Portanto, com este “material” juntamente com definições dos conceitos geométricos que você já conhece da escola secundária, deixa-nos iniciar a construção da nossa casa (a Geometria Euclidiana) usando pedras e tijolos (axiomas, teoremas, definições) e respeitando regras de construção de uma casa (lógica, pensamento indutivo-deductivo) pondo doto este material junto, de tal modo que as paredes possam ser erguidas firmemente.

Continuando a construir atendendo estas regras teremos finalmente a casa toda, com quartos, cozinha, casa de banho, portas, janelas, etc. Tal como pedras ou tijolos de uma casa, todo o conjunto dos axiomas Euclidianos respeita as seguintes regras:

 Integridade: Um sistema de axiomas é inteiro se de todas as suas proposições da disciplina (neste caso da Geometria Euclidiana) podem ser deduzidas;

 Independência: Não é permitido considerar qualquer afirmação como axioma se ela é deduzida de outros axiomas;

 Não-contradição: Não é permitido que através de uma conclusão deductiva de axiomas se declare a negação de um axioma ou proposição.

Estes são os princípios do sistema axiomático da Geometria Euclidiana. Assim, dado que estamos envolvidos numa construção de uma teoria geométrica na base de um tal conjunto de axiomas, a nossa actividade será o desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana.

Agora você tem uma idéia sobre o que vai ser a sua actividade. De facto a Geometria Euclidiana tem vindo a fascinar pessoas e influenciado o modo de pensar de cientistas de outras disciplinas desde cerca de 300 anos AC, quando Euclides escreveu a sua famosa obra Os Elementos.

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Tarefa 1

Lê sobre o Fundamento da Geometria (AA1.2 LR5, pgs 1-16). Dos cinco grupos de axiomas, escolha dois grupos e apresente seus axiomas.

Tarefa 2

Lê sobre a Geometria Euclidiana (AA1.2 LR2).

Explica a diferença entre um axioma e um teorema. Dê três exemplos de ambos.

Tarefa 3

Lê sobre Os Elementos de Euclides (AA1.2 LR1), particularmente os seguintes itens: - Introdução (sobre Os Elementos de Euclides)

- Livro I (Os fundamentais da geometria)

- Livro IV (Construções sobre figuras inscritas e circunscritas)

Escolha um dos softwares (GeoGebra ou WinGeom) e tenta ilustrar três proposições do Livro I, e cinco proposições do Livro IV.

Tarefa 4

Lê sobre o sistema de axiomas da Geometria Euclidiana (AA1.2 LA5 AA1.2 LR6) e explica suas propriedades.

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UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas

Actividade de Aprendizagem 1.3: Isometrias Euclidianas planas

No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

 Definir todos os quatro tipos de isometria Euclidiana plana

 Desenhar exemplos de isometria Euclidiana plana usando papel e lápis e usando o software GeoGebra ou WinGeom.

Sumário

Nesta actividade você vai rever transformações geométricas que já conhece da geometria da escola secundária. Os quatro tipos de isometria Euclidiana plana são: translação, rotação, reflexão e

translação-refectida. Basicamente você será estimulado a rever estas transformações por exploração de softwares do seu CD-ROM-Recursos.

Racionalidade

Eata Actividade de Aprendizagem ajuda você a elevar seus conhecimentos sobre transformações isométricas aprendidas na escola secundária. É importante reconhecer a classificar os diferentes tipos de isometria no seu ambiente geográfico e cultural.

Conceitos Chave

Isometrias Euclidianas plana: Isometrias Euclidianas plana é uma isometria no plano euclidiano, ou mais informalmente, a transformação do plano que preserva propriedades geométricas tais como o comprimento. (AA1.3 LR1)

Translação: Em geometria, translação movimenta todo ponto a uma distância constante, numa determinada direcção. Formalmente, a translação é denotada por T , onde v é um vector em v

2 R . Isto tem o efeito de deslocar o plano na direcção de v. (AA1.3 LR1)

Rotação: Uma rotação é o movimento de um objecto numa trajectória circular. No plano, um objecto roda à volta de um centro (ou ponto) de rotação. Uma rotação é denotado por , onde c é um ponto no plano (o centro da rotação), e

 c R  é o ângulo de rotação. (AA1.3 LA1)

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Translação-reflectida: Uma translação-reflectida é uma combinação de uma reflexão numa recta e uma translação nessa recta. A translação reflectida é denotada por , onde c é um ponto no plano, v é um vector unitário em

cvw G 2

R , e w é um vector perpendicular à v. (AA1.3 LA1)

Congruência geométrica: Duas figuras geométricas são ditas exibir congruência geométrica (or “ser geometricamente congruentes”) sse uma pode ser transformada na outra por uma isometria (AA1.3 LA3). Esta relação é escrita A . B

Lista de Leituras Relevantes (LR)

Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- Instrumentos de desenho geométrico básico (régua e compasso). Mais instrumentos manuais de desenho podem ser úteis.

- GeoGebra ou WinGeom

1.3.7 Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem

Isometria Euclidiana plana

Isometria Euclidiana plana

Em qualquer sítio no nosso meio ambiente nós temos a oportunidade de apreciar a beleza de objectos naturais e artificiais. Há plantas, animais e objectos feitos pelo homem, cuja beleza é caracterizada por disposição de padrões repetidos, conservando formas e tamanhos inalterados. São essa

característica a matéria da nossa actividade de aprendizagem agora.

Figura 1.3.1: Exemplos de transformações isométricas na Natureza e na arte

Tarefa 1

Leia sobre a Isometria Euclisiana plana (AA1.3 LR1). Encontra no seu meio ambiente dois exemplos de cada tipo de isometria Euclidiana plana e esboça-os à mão.

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Investigue a seguinte questão: Numa translação-reflectida G, se começar por translação seguida de reflexão, resulta o mesmo como começar por reflexão seguida de translação?

Tarefa 3

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UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências

Actividade de Aprendizagem 1.4: Triângulos

No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:  Definir alguns teoremas comuns sobre triângulos

 Construir um triângulo dados três dos seus elementos, usando somente régua e compasso or usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário

Nesta actividade você vai demonstrar sinteticamente alguns dos mais populares teoremas sobre triângulos. Há proposições sobre pontos, rectas e circunferências associadas ao triângulo. Para construções de triângulos, à parte de usar instrumentos clássicos (compasso e régua), você será estimulado a resolver problemas de construção explorando GeoGebra ou WinGeom – os softwares no seu CD-ROM-Recursos.

Racionalidade

Um triângulo é o polígono fechado com menor número de lados. Qualquer polígono fechado pode ser repartido em triângulos.

Consequentemente, conhecendo as propriedades dos triângulos você será capaz de resolver problemas relacionados a diferentes formas poligonais. Formas triangulares são muito usadas na engenharia porque elas são a maneira mais simples que se pode construir estruturas físicas fortes para várias aplicações técnicas.

Conceitos chave

Triângulo: Um triângulo é uma das formas básicas da geometria: um polígono com três vértices e

três lados que são segmentos de recta. (AA1.4 LR1)

Circunferência inscrita: A circunferência circunscrita de um triângulo é a maior circunferência

contida no triângulo; ela toca (é tangente a) os três lados. O centro de uma circunferência inscrita é chamada incentro do triângulo. (AA1.4 LR1)

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Centróide: A centróide de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas (os segmentos de recta que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto). (AA1.4 LA1)

Ortocentro: As três alturas de um triângulo intersectam-se num ponto singular chamado ortocentro do triângulo. (AA1.4 LR1)

Circunferência dos nove-pontos: A circunferência dos nove-pontos (também conhecida por circunferência de Feuerbach, circunferência de Euler, circunferência de Terquem) é uma circunferência que pode ser construída par qualquer triângulo dado. Ela é assim chamada porque passa por nove pontos significantes, dos quais seis no próprio triângulo (ao menos que o triângulo seja obtuso). Eles incluem: o ponto médio de cada lado do triângulo, o pé de cada altura, e o ponto médio do segmento de cada altura que vai do vértice ao ortocentro.

LA1.4 RR1: Triângulo

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle LA1.4 RR2: Triângulo

http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html

- Instrumentos de desenho geométrico clássicos: compasso e régua. Diferentemente de outras Actividades de Aprendizagem, nesta AA nenhum outro instrumento de construção é permitido.

- GeoGebra or WinGeom.

Introduction to the Learning Activities

Triângulos

Figura 1.4.1: Um exemplo de aplicação de formas triangulares na tecnologia de construção

(24)

Altura de um triângulo é o segmento que vai do vértice, perpendicularmente, ao lado oposto. As três alturas de um

triângulo intersectam-se num ponto singular chamado ortocentro do triângulo.

Mediana de um triângulo é o segmento que vai do vértice ao ponto médio do lado oposta. O centróide ou baricentro de um triângulo é ponto de intersecção das suas medianas.

Bissector-de-ângulo de um triângulo é o segmento de raio que bissecta um ângulo e estende-se até ao lado oposto. A intersecção dos bissectores-de-ângulo coincide com o centro da circunferência

inscrita.

Mediatriz do lado de um triângulo é a recta que bissecta e é perpendicular a esse lado. As três mediatrizes de um triângulo encontram-se num ponto singular, no circuncentro do triângulo; este ponto é o centro da circunferência circunscrita, a circunferência que passa por todos três vértices do triângulo.

Depois desta revisão você vai elaborar estes elementos relacionados ao triângulo, começando por conjecturas de suas propriedades. Isto irá dirigi-lo a aprender teoremas que lhe irão permitir resolver problemas sobre construção triângulos, usando compasso e régua. Usando GeoGebra ou WinGeom você poderá também explorar proposições interessantes sobre triângulos.

Tarefa 1

Lê sobre Triângulos (AA1.4 LR1 e AA1.4 LR2)

Em geral, um triângulo é definido por três elementos. LAL (Lado, Ângulo, Lado), ALA (Ângulo, Lado, Ângulo), LLL (Lado, Lado, Lado) providenciam três exemplos bem conhecidos. Mas existe mais! Usando compasso e régua, constrói um triângulo para cada um dos casos LAL, ALA, e LLL.

Tarefa 2

Teorema de Thales (designado mediante Thales de

Miletos) declara que se A, B e C são pontos sobre a circunferência onde o segmento AC é diâmetro, então o ângulo ABC é ângulo recto.

Prova o inverso deste teorema de Thales.

Tarefa 3

Recta de Euler, denominado mediante Leonardo Euler, é a recta determinada de qualquer triângulo

que não é equilátero; ela passa pelo ortocentro, cincuncentro, centróide e o centro da circunferência dos nove-pontos de um triângulo. Desenha a recta de Euler do triângulo ABC.

Tarefa 4

Investiga o teorema de Ceva. Este é um teorema bem conhecido da geometria elementar. Dado o triângulo ABC, e pontos D, E, e F que estão nos segmentos BC, CA, e AB respectivamente, o teorema declara que os segmentos AD, BE e CF são concorrentes se e só se

1    EA CE DC BD FB AF

(25)

Tarefa 5

(26)

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

AA1.4: Triângulos

AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica

Actividade de Aprendizagem 1.5: Circunferências

No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:  Demonstrar alguns teoremas comuns sobre circunferência

 Explorar propriedades da circunferência usando GeoGebra or WinGeom

Sumário

Nesta actividade, você vai demonstrar sinteticamente alguns dos mais teoremas populares sobre triângulos. Alguns destes teoremas estão relacionados com a AA anterior (sobre triângulos). Problemas de construção de circunferências serão resolvidos usando régua e compasso bem como usando GeoGebra or WinGeom.

Racionalidade

Nesta AA, você vai aprender propriedades da circunferência relacionado com segmentos e ângulos. Daí que é importante rever alguns teoremas sobre triângulos circunscritos e triângulos inscritos.

Conceitos chave

Circunferência: Uma circunferência é o conjunto de todos pontos num plano que estão à uma distância fixa de um ponto fixo chamado centro.

Raio: Um raio de uma circunferência é um segmento que une o centro à um ponto da circunferência.

Nota: Uma vez que todos os raios de uma dada circunferência têm o mesmo comprimento,

poderemos usar em tempos a palavra raio para significar o número que é “o cumprimento do raio”.

Corda: Uma corda de uma circunferência é um segmento de recta que une dois pontos na circunferência.

Diametro: Um diâmetro é uma corda que para do centro da circunferência.

(27)

Lista de Leituras Relevantes (LR) LA1.5 RR1: Circunferência

http://en.wikipedia.org/wiki/Circle LA1.5 RR2: Circunferência

http://mathworld.wolfram.com/topics/Circles.html LA1.5 RR3: Teoremas sobre circunferência

http://www.mathsrevision.net/gcse/pages.php?page=13

Lista de Recursos Relevantes

- Instrumentos de desenho geométrico clássicos: régua e compasso. - GeoGebra or WinGeom.

Introdução da Actividade de Aprendizagem

Circunferência

 Que forma é o conjunto de todos os pontos situados à mesma distância de um ponto fixo? .

Circunferência é uma forma muito comum que encontramos na Natureza e no ambiente artificial.

Figura 1.5: Exemplos de aplicação da forma circular..

Tarefa 1

Leia sobre a Circunferência (AA1.5 LR1, AA1.5 LR2 e AA1.5 LR3) e prove três dos seguintes teoremas:

(1) Ângulos subentendidos por um arco numa circunferência e sobre o mesmo segmento são iguais.

(2) O ângulo que um arco subentende no centro de uma circunferência é duas vezes o ângulo que o arco subentende nos pontos sobre o resto da circunferência.

(3) Um ângulo subentendido por uma semi-circunferência é um ângulo recto.

(4) If two tangents are drawn from an external point P to a circle then: (a) the tangents have equal length; (b) the tangents subtend equal angles at the centre of the circle; (c) the line from the point to the centre bisects the angle between the tangents.

(5) If a tangent PA and a secant PBC are drawn from an external point P, then PA2=PB.PC. (6) If two chords AB and CD intersect at a point Y, then AY.BY=CY.DY.

(28)

Tarefa 2

Considerando as figuras abaixo, encontre x e y.

a) b) c)

Tarefa 3

Resolva um dos seguintes problemas de construção:

(1) Construa uma circunferência com um dado raio e tangente a duas rectas concorrentes. (2) Construa uma circunferência com um dado raio, tangente a uma dada recta e tangente a

(29)

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana

AA1.6: Semelhança geométrica

Actividade de Aprendizagem 1.6: Semelhança geométrica

No fim desta Actividade de Aprendizagem, o estudante deverá ser capaz de:  Definir e construir exemplos de semenhança geométrica

 Explorar semelhança geométrica usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário

Nesta actividade você vai aprender semelhança geométrica e relacionar esta transformação com a transformação isométrica que aprendeu em AA1.3. Particularmente, você vai aprender sobre triângulos semelhantes.

À parte do uso de instrumentos de desenho clássicos para construção geomérica você vai usar também construction you will use also GeoGebra or WinGeom.

Racionalidade

A semelhança geométrica inclui transformações isométricas como casos particulares. Assim, é importante que você chame a memória as propriedades das transformações aprendidas em AA1.3. Também é importante rever princípios básicos de proporção, particularmente aqueles relacionados com semelhança de triângulos.

Conceitos-chave

Semelhança geométrica: Uma transformação que preserva ângulos e muda todas as distâncias na

mesma razão, chamada razão de ampliação. Uma semelhança pode também ser definida como uma transformação que preserva razões de distâncias. (AA1.6 LR2)

Razão de ampliação: Uma razão de ampliação é um razão constante na qual todas as distâncias são incrementadas (ou reduzidas) numa semelhança. Uma semelhança com razão de ampliação igual a 1 é chamada isometria. (AA1.6 LR2)

Dilatação central: Uma transformação de semelhança que transforma cada segmento de recta em um segmento de recta paralelo cujo comprimento é um múltiplo fixo do comprimento do segmento de recta original. A dilatação simplíssima é portanto a translação e qualquer dilatação que não seja meramente uma translação é chamada dilatação central.

(30)

Directamente similar: Duas figures são directamente similares (ou directamente semelhantes) quando todos os ângulos correspondentes são iguais e descritos no mesmo sentido rotacional. (AA1.6 LR2)

Inversamente similar: Duas figuras são inversamente similares (ou inversamente semelhantes) quando todos os ângulos corespondentes são iguais e descritos no sentido rotacional oposto. (AA1.6 LR2)

Lista de Leituras Relavantes (LR) LA1.6 RR1: Semelhança (geométrica)

http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_(geometry) LA1.6 RR2: Semelhança geométrica

http://mathworld.wolfram.com/SimilarityTransformation.html

- Instrumentos de desenho geométrico clássicos: régua e compasso. - GeoGebra ou WinGeom.

Introdução às Actividades de Aprendizagem

Semelhança geométrica

Figura 1.5: Exemplo de formas com semelhança geométrica

Tarefa 1

Lê sobre semelhança geométrica (AA1.6 LR1, AA1.6 LR2 e AA1.6 LR3).

Soponha que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF de tal modo que o ângulo de vértice A é congruente ao ângulo de vértice D, o ângulo de vértice B é congruente ao ângulo em E, e o ângulo em C é congruente ao ângulo em F. Então, uma vez isso conhecido, prova uma das seguintes

proporcionalidades entre lados correspondentes dos dois triângulos.

EF DE BCAB  , DF DE ACAB  , EF DF BCAC  , DF AC EF BC DE AB  

(31)

Tarefa 2

Considera o triângulo ABC cuja a área é igual a 3 unidades quadradas. Se ABC é transformado em A’B’C’ por dilatação central de razão de ampliação igual a ₂3_{qual será a} área do triângulo A’B’C’ ?

Tarefa 3

Encontra os comprimentos dos catetos de um triângulo rectangular cuja hipotenusa tem comprimento c se estes catetos têm a razão de

(32)

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano

AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta

AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas

Actividade de Aprendizagem 2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões)

Objectivos de aprendizagem

No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:  Definir o conceito de vector

 Operar com vectores (adição, multiplicação escalar, e produto escalar).

Sumário

Nesta Actividade de Aprendizagem, você vai aprender o conceito de vector. Deverá ser observado que um vector é definido pelos seguintes aspectos: magnitude e direcção orientada (sentido). As operações fundamentais de vectores com os quais você vai começar nesta Unidade 2 são a adição, a multiplicação por um escalar e o produto escalar.

Mais tarde na Unidade 3 você vai aprender mais tipos diferentes de produtos de dois vectores.

Racionalidade

As leis de operação no espaço vectorial são similares às leis de operação na álgebra escalar. Portanto, é importante rever princípios de operações básicas aprendidas no Módulo sobre Álgebra Linear.

Conceitos chave

Espaço vectorial: Um espaço vectorial é um domínio matemático de quantidades possuindo

magnitude, direcção e sentido – vectores – junto com um conjunto definido de leis de operação. (ver definição formal em AA2.1 LR3)

Vector: Um vector é uma quantidade caracterizada por magnitude (em matemática um número, em física um número vezes uma unidade) e um sentido, frequentemente representado graficamente por uma seta. (AA2.1 LR2)

Multiplicação por um escalar: Uma multiplicação por um escalar é a multiplicação de um vector por um escalar.

Norma de um vector: O comprimento ou magnitude de um vector v é frequentemente chamado

norma de v e é denotado por v . Segue-se do teorema de Pitágoras que a norma de um vector

no espaço de duas dimensões é )

, (v₁ v₂ 

v v  v₁2 v₂2 .

Producto escalar: Um producto escalar (apropriado pelo facto de que o seu valor é escalar) de dois vectores A e B é a quantidade escalar (denotadoab) obtido por multiplicação do producto das

(33)

normas dos vectores pelo coseno do ângulo formado por esses vectores. Isto é ab a  bcos(a,b).

O producto escalar é também chamado producto interno.

List a de Leituras Relavantes (LR)

LA2.1 RR1: Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and Physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs, c1929

(a PDF file in http://www.archive.org/details/117714283 ) LA2.1 RR2: Vector (spatial)

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial) LA2.1 RR3: Vector space

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space LA2.1 RR4: Vector

http://mathworld.wolfram.com/Vector.html Lista de Recursos Relevantes (RR)

Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Régua e trnasferidor

- GeoGebra ou WinGeom.

Introdução a Actividade de Aprendizagem

Espaço vectorial (em duas dimensões)

No mundo matemático e físico podemos considerar dois tipos de quantidades. Algumas quantidades são simplesmente descritas pelas suas magnitudes. Por outro lado, há quantidades que para além da magnitude, a direcção e sentido devem ser dadas. Por exemplo, a força é dada pela magnitude junto com a direcção e sentido em ela é orientada. O vento também é apresentado pela magnitude junto com a direcçào e sentido norte, sul, este, oeste ou uma direcção intermédia. Tais quantidades – possuindo uma magnitude, uma direction e sentido – são chamadas vectores.

Figura 2.1.7: Uma camada grelha de vectores

Matematicamente. Um espaço onde quantidades deste tipo são estudados é chamado espaço vectorial e é formalmente definido como se segue:

(34)

Seja F um campo (tal como os números reais ou números complexos), cujos elementos serão chamados escalares. Um espaço vectorial sobre o campo F é o conjunto V junto com duas operações binárias,

- Adicção de vectores: V × V → V denotado v + w, onde v, w ∈ V, e - Multiplicação por escalar: F × V → V denotado av, onde a ∈ F e v ∈ V,

satisfazendo os axiomas abaixo. Quatro destes requerem a adicção de vectores para serem um grupo Abeliano, e dois são leis distributivas

1. A adicção de vectores é associativa:

Para todo vector u, v, w ∈ V, temos u + (v + w) = (u + v) + w. 2. A adicção de vectores é comutativa:

Para todo vector v, w ∈ V, temos v + w = w + v. 3. A adicção de vectores tem um elemento neutro:

Existe um elemento 0 ∈ V, chamado vector nulo, tal que v + 0 = v para todo v ∈ V. 4. A adicção de vectores tem um elemento inverso: inverse element:

Para todo vector v ∈ V, existe um elemento w ∈ V, chamado inverso aditivo de v, tal que v + w = 0.

5. A distributividade verifica-se para a multiplicação por escalar sobre a adicção de vectores: Para todo vector a ∈ F e v, w ∈ V, temos a (v + w) = a v + a w.

6. A distributividade verifica-se para a multiplicação por escalar sobre adicção de campo: Para todo vector a, b ∈ F e v ∈ V, temos (a + b) v = a v + b v.

7. A multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação no campo de vectores: Para todo vector a, b ∈ F e v ∈ V, temos a (b v) = (ab) v.

8. A multiplicação por escalar tem um elemento identidade: identity element:

Para todo vector v ∈ V, temos 1 v = v, onde 1 denota a identidade multiplicativa em F.

Formalmente, estes são para um módulo, portanto um espaço vectorial pode se descrito de forma concisa como módulo sobre um campo.

Nota que o sétimo axioma acima, declarando que a (b v) = (ab) v, não confirma assoiatividade of de uma operação, uma vez que há duas operações em questão, multiplicação por escalar: b v; e multiplicação de campo: ab

Algumas fontes optam também por incluir dois axiomas do fecho. Some sources choose to also include two axioms of closure:

1. V é fechado sob adicção de vectores: Se u, v ∈ V, então u + v ∈ V.

2. V é fechado sob multiplicação por escalar: Se a ∈ F, v ∈ V, então a v ∈ V.

(35)

(Fonte: LA2.1 RR3) Tarefa 1

Leia sobre o conceito de vector, suas propriedades e operações nas leituras LA2.1 RR1, Chapter I, pages 1-17, 51-52; Chapter II, pages 55-60.

Tarefa 2

Esboçe os seguintes vectores v com ponto inicial localizado na origem de coordenadas: (a) v₁ (3, 5) (b) v₂ (2, 7) (c) v₃ (5, 4)

Tarefa 3

Encontre os componentes do vector tendo ponto inicial P1 e ponto terminal P2. (a) P₁(2, 3), P2(3, -5) (b) P1(7, -2) P2(0, 0)

Tarefa 4

(36)

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano

AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta

AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas

Actividade de Aprendizagem 2.2: A linha recta

No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

 Apresentar uma definição prática de uma linha recta através de diferentes formas de equações;

 Transformar uma equação de uma recta dada numa forma para outra forma de equação;  Resolver problemas envolvendo rectas e pontos, ângulos, ou distâncias relacionadas.

Sumário

Uma linha recta pode ser representada por diferentes formas de equação, algumas delas você já as conheces desde a escola secundária. Nesta Acitividade de Aprendizagem você vai aprender mais formas de equações, usando o sistema Cartesiano e polar de coordenadas.

Racionalidade

Podemos considerar uma linha recta como a simplíssima “curva” uma vez que ela é representada por uma equação do primeiro grau. Mais adiante nesta Unidade você vai aprender à cerca de curvas propriamente ditas cujas equações são do segundo grau. É importante ter mestria na dedução das diferentes equações da linha recta antes de você ir às linhas curvas.

Conceitos chave

Declive de uma recta: Um declive (de uma linha recta) é modo de descrever o ângulo entre uma dada recta e a recta horizontal. Veja definição formal de declive de uma recta num plano contendo os eixos x e y no LA2.2 RR1.

Forma declive-intersecção: A forma linear y = ax + b é chamada forma declive-intersecção de uma equação de uma recta, onde a é declive da recta, e b é y-intersecção.

Forma geral: A forma linear Ax + By + C = 0 onde A, B, C são inteiros, é chamada forma geral da equação da recta.

LA2.2 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(37)

LA2.2 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892)

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) LA2.2 RR3: Line

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_(mathematics) LA2.2 RR4: Line

http://mathworld.wolfram.com/Line.html Lista de Recursos Relevantes

Os recursos relevantes para esta acividade de aprendizagem são: - Régua e transferidor

Introdução à Actividade de Aprendizagem

A linha recta

Figura 2.2.7: Linhas rectas

Tarefa 1

Lê sobre representação de uma recta por equações de diferentes formas em LA2.2 RR1,

Chapter II, § 31, pages 38-39; and LA2.2 RR2, Chapter III, pages 27-49;

Tarefa 2

Resolva os seguintes exercícios:

LA2.2 RR1, page 51, Exercises 1-15 (solve 8 exercises only); page 52, Exercises 1-13 (solve 7 exercises only); page 54, Exercises 1-11 (solve 6 exercises only); page 57, Exercises 1-18 (solve 9 exercises only);

pages 63-66, Exercises 1-39 (solve 20 exercises only);

Tarefa 3

LA2.2 RR2, pages 27-29, Exercises 1-15 (solve 8 exercises only); pages 30-31, Exercises 1-12 (solve 7 exercises only); page 34, Exercises 1-7 (solve 4 exercises only);

(38)

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano

AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta

AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas

Actividade de Aprendizagem 2.3: Transformação de coordenadas no plano Objectivos de aprendizagem

 Definir dois movimentos (translação, rotação) de transformação de coordenadas no plano;  Encontrar para um dado objecto geométrico as novas coordenadas de uma translação e/ou

/or rotação dos eixos originais.

Sumário

Uma equação de um objecto geométrico pode ser complicada e não fácil de analizar como estiver dada. Por transformação de coordenadas essa equação pode se tornar mais simples. A simplificação poderá ser realizada por uma ou duas operações distintas: a translação ou/e a rotação dos eixos. Nesta Actividade de Aprndizagem você vai aprender como deduzir as novas coordenadas a partir das originais.

Rationalidade

A transformação de coordenadas constitue um despositivo que nos permite simplificar uma equação de um objecto geométrico para a forma mais reconhecida – a forma canônica. Portanto, quando você está capaz de transformar coordenadas, você pode então analizar as propriedades do objecto

geométrico mais facilmente.

Conceitos chave

Transformação de coordenadas: Uma transformação de coordenadas é uma conversão de um

sistema de coordenadas para outro, para descrever o mesmo espaço.

Translação de eixos coordenados:Uma translação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados no plano para uma posição diferente de modo que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectivamente, e similarmente direcionados.

Rotação de eixos coordenados: Uma rotação de eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados por um torno à volta da sua origem como um ponto fixo.

LA2.3 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(39)

LA2.3 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c892)

(PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )

Lista de recursos relevantes

Os reursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Régua e transferidor

Introdução à Actividade de Aprendizagem

Transformação de coordenadas no plano

Figura 2.3.7: Exemplos de transformação de coodenadas no plano (uma translação seguida de una rotação)

Tarefa 1

Lê sobre transformação de coordenadas no plano em LA2.3 RR1, Chapter IV, pages 67-69;

and LA2.3 RR2, Chapter IV, pages 50-58.

Tarefa 2

Resolve os seguintes execícios:

LA2.3 RR1, page 69, Exercises 1-24 (solve 15 exercises only).

Tarefa 3

Resolve os seguintes exercícios:

LA2.3 RR2, page 54, Exercises 1-13 (solve 8 exercises only); pages 57-58, Exercises 1-24 (solve 15 exercises only).

(40)

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano

AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta

AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas

Actividade de Aprendizagem 2.4: Secções cónicas

 Definir secções cónicas em termos de locus de pontos e apresentando suas equações;  Resolver problemas relacionados com secções cônicas;

 Desenhar secções cónicas à mão livre e usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário

Nesta Actividade de Aprendizagem você vai definir secções cônicas autênticas (elipse, parábola, e hipérbole) e aplicar suas propriedades em problemas relacionados. Você vai começar por tratar a equação geral do segundo grau e as formas padrão para as quais ela pode ser transformada, enquanto, por outro lado, será apresentado que o lócus de tal equação é sempre uma curva que pode ser obtida fazendo uma secção plana de um cone circular recto.

Racionalidade

Secções cónicas têm propriedades com várias aplicações técnicas. É importante para você saber à cerca essas propriedades, particularmente, como você vai precisar de usá-las na próxima Actividade de Aprendizagem quando tratar superfícies geradas por secções cônicas.

Conceitos- chave

Secção cónica: Uma secção cónica (ou simplesmente cónica) é uma curva que pode ser obtida por fazer uma secção plana de um cone circular recto.

Elipse: Uma elipse é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano que não intersecta a base do cone. Uma elipse pode também ser definida como o locus dos pontos sobre o plano onde a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva à dois pontos fixos é constante.

Parábola: Uma parábola é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano paralelo à recta geradora desse cone. Uma parábola também pode ser definida como locus de pontos num plano que são equidistantes de um dado ponto (o foco) e uma dada recta (a directriz).

(41)

Hipérbole: Uma hipérbole é o tipo de secção cónica definido como intersecção entre um cone circular recto e um plano que intersecta ambas metades do cone. Ela também pode ser definida como o locus dos pontos onde a diferença entre as distâncias para dois pontos fixos é constante.

LA2.4 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 113-192.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich)

LA2.4 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 59-169.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) LA2.4 RR3: Conic section

http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section LA2.4 RR4: Conic section

http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html

7 Introdução à Actividade de Aprendizagem Secções cónicas

Figura 2.4.7: Secções cónicas

Tarefa 1

Lê sobre secções cónicas em LA2.4 RR1, Chapter VII-Chapter XI, pages 113-192; and

LA2.4 RR2, Chapter V-Chapter IX, pages 59-187.

Tarefa 2

LA2.4 RR1, para cada grupo de execícios, resolva apenas cinco. Pages: 137-, 146-, 161-, 175-, 187-.

Tarefa 3

LA2.4 RR2, para cada grupo de exercícios, resolva apenas em cinco. Pages: 63-82, 102-105, 136-140, 166-169.

(42)

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos

AA3.1: Vectores em três dimensões AA3.2: Planos e rectas

AA3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional AA3.4: Superfícies quádricas

Actividade de Aprendizagem 3.1: Vectores em três dimensões

Objectivos de Aprendizagem

 Operar com vectores (adicção, multiplicação por um escalar, e produto escalar em três dimensões);

 Aplicar os productos de vectores (producto escalar, producto vectorial, producto misto)

Sumário

Nesta Actividade, você vai começar por rever o conceito de vector e extendê-lo para o espaço tridimensional. De facto, em termos de espaço, esta Unidade é uma extensão da Unidade anterior. Todas as operações de vectores que você aprendeu na Unidade 2, serão aplicadas agora em três dimensões. Um tipo diferente de producto de vectores será introduzido – o producto vectorial (ou producto externo). Mais ainda, combinações do producto escalar e producto vectorial envolvendo três vectores – o producto misto escalar e o producto misto vectorial – serão aprendidos

Furthermore, combinations of dot product and cross product involving three vectors – the scalar triple product and the vector triple product – will be learned.

Racionalidade

As leis das operações no espaço vectorial em três dimensões são as mesmas que você já conhece da Unidade anterior. Portanto, o único aspecto que você deverá estar consciente dele é que você está agora trabalhando em três dimensões. Por esta razão, você é recomendado a rever as propriedades do espaço vectorial que aprendeu na Unidade 2, antes de começares a presente Unidade.

Conceitos-chave

Producto vectorial: O producto vectorial (também conhecido por producto externo) é uma operação binária sobre vectores no espaço Euclidiano tridimensional que resulta em um vector. O producto vectorial difere do producto escalar, que resulta num escalar. O seu principal uso reside no facto de que o producto vectorial de dois vetores é ortogonal a ambos vectores dados. (LA3.1 RR4)

Producto misto escalar: O producto misto escalar é definido como o producto escalar de um dos vectores com o producto vectorial dos outros dois vectores. É um escalar (mais precisamente, tanto pderá ser um escalar como um pseudo-escalar). Geometricamente, este producto é o volume do paralelopípedo formado pelos três vectores dados. Pode ser avaliado numericamente usando qualquer das seguintes caraterizações equivalentes: a(bc)b(ca)c(ab). (LA3.1 RR4)