Notas de aula de Física II. Anderson Kendi R. Kohara

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Notas de aula de F´ısica II

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Essas notas de aula constituem um material didático de uso particular. O objetivo deste material é proporcionar uma visão objetiva do curso de f´ısica II, abrangendo o estudos dos fluidos, oscila¸cões, ondas e termodinâmica. Alguns exerc´ıcios são propostos no decorrer dos cap´ıtulos. É importante lembrar que sob nenhuma hipótese esse material substitui as referências bibliográficas sugeridas no curso. O aluno deve encarar essas notas como uma ferramenta auxiliar ao livro texto adotado. O estudante que analisar este material encontrará alguns erros, portanto estudem atentamente.

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Chapter 1

Est´

atica dos Fluidos

Neste cap´ıtulo estudaremos as propriedades dos fluidos em equil´ıbrio est´atico.

1.1 Propriedades dos fluidos

Os fluidos se dividem em dois estados f´ısicos: gases e l´ıquidos.

L´ıquidos - possuem forma mal definida e volume bem definido (os l´ıquidos se moldam a qualquer recipiente que os contenha, por´em seu volume n˜ao varia).

Gases - possuem forma mal definida e volume mal definido.

1.1.1 Resistˆ

encia e elasticidade de um fluido

Para compreender melhor as caracter´ısticas de um fluido aplica-se for¸cas sobre o mesmo e em seguida mede-se a suas resposta perante a for¸ca aplicada. As for¸cas aplicadas dão origem a uma quantidade chamada pressão. A resposta a essa pressão é identificada pela varia¸cão de volume. Assim, é comum definir a quantidade:

B ≡ − ∆p

∆V /V , (1.1)

chamada de módulo da elasticidade volumar. Note que o sinal negativo da Eq.(1.1) se justifica afim de manter a quantidade B > 0. Isso porque uma varia¸cão positiva na pressão ∆p > 0 implica numa varia¸cão negativa no volume (∆V < 0), e uma varia¸cão negativa na pressão (∆p < 0)implica numa varia¸cão positiva no volume (∆V > 0).

De maneira completamente an´aloga pode-se definir a compressibilidade volumar, 3

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isto é, a resistência de um fluido sobre a aplica¸cão da pressão como o inverso da elasticidade volumar. κ ≡ 1 B = − ∆V /V ∆p . (1.2)

1.2 Tipos de for¸

cas

A fim de estudar o comportamento dos fluidos sujeitos a aplia¸c˜ao de alguma for¸ca separamo-nas em dois tipos:

For¸cas superficiais - for¸cas proporcionais a área da superf´ıcie que recebe a for¸ca. Essas são for¸cas de curto alcance. Exemplos: tra¸cão, compressão e cisalhamento.

For¸cas volumétricas - for¸cas proprocionais ao volume do corpo que sofre a a¸cão da for¸ca. São for¸cas de longo alcance. Exemplos: gravidade, for¸ca centr´ıfuga, for¸ca magnética entre outras.

1.3 For¸

cas superficiais

No curso de f´ısica I já vimos esses tipos de for¸cas de curto alcance. É comum utilizar o termo tensões para se referiar a for¸cas superficiais. A tensão é definida como:

~ Tensao≡

∆ ~F

∆A (1.3)

Um objeto suspenso por um fio sofre a a¸cão da for¸ca gravitacional (for¸ca volumétrica) e a tra¸cão no fio (for¸ca superficial). Um objeto na super´ıcie da uma mesa sofre a a¸cão da for¸ca gravitacional e da for¸ca normal colinear com a gravidade. Um objeto colado em duas paredes conforme a terceira figura 1.3 sofre a a¸cão da for¸ca gravitacional e da for¸ca de cisalhamento.

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1.3. FORÇ AS SUPERFICIAIS 5 Note que o exemplo dado na Fig. 1.3 mostra que um sólido é capaz de sustentar a tensão de cisalhamento contanto que o material que une o bloco a parede seja resistente o suficiente para equilibrar o peso. Porém, um fluido não consegue sustentar a for¸ca de cisalhamento. Isto significa que se houver for¸cas de cisalhamento o fluido necessariamente estará em movimento.

Um fluido está em equili´ıbrio quando a resultante das for¸cas é nula, e, além disso não existem for¸cas tangenciais (cisalhamento).

Alguns materiais curiosos: piche e vidro escoam lentamente como um fluido ”viscoso”, e se fraturam como um s´olido.

1.3.1 Press˜

ao e a for¸

ca superficial

Conforme dissemos anteriormente a for¸ca superficial é proporcional a área a qual ela é aplicada

∆ ~F α ∆ ~S , (1.4) onde define-se ∆ ~S ≡ ~n ∆S com ~n sendo um vetor unit´ario perpendicular ao elemento de ´area ∆S que aponta para fora do volume contido na superf´ıcie S. Assim, tomando um elemento infinitesimal da for¸ca, temos:

d ~F = −p ~n dS = −p d ~S , (1.5) onde p é o coeficiente de proporcionalidade que é uma quantidade positiva definida chamada pressão. Note que o sinal negativo garante a positividade de p, pois a for¸ca d ~F é aplicada no sentido contrário ao vetor ~n0.

´

E bastante comum fazer confusão da quantidade pressão com a for¸ca, porém, já sabemos que a for¸ca é um vetor, e possui dire¸cão e sentido. Ao subir a serra de Petrópolis sentimos uma diferen¸ca de pressão em nossos ouvidos, e para sentir essa varia¸cão, não depende da dire¸cão que nossos ouvidos se encontram, sendo portanto natural esperar que a pressão não dependa da posi¸cão. Assim, queremos provar por absurdo que a pressão não depende da dire¸cão. Suponha que a pressão p = p(P, ~n) seja uma fun¸cão que dependa de um ponto no espa¸co P = (x, y, z) e de uma dire¸cão no espa¸co ~n. Baseado na Fig. 1.3.1, imagine que uma for¸ca d ~F é aplicada na mesma dire¸cão de ~n0 e sentido contrário. A proje¸cão desssa for¸ca no eixo z será:

dFzsup = −p(P0, ~n0) d ~S0· ~n

= −p(P0, ~n0) dS0 (~n0· ~n)

= −p(P0_{, ~}_n0_{) cos θ dS}0 _. _(1.6)

Por outro lado, na base inferior do cilindro a for¸ca superficial ser´a:

dF_zinf= −p(P, ~−n) dS(−~n0· ~n) = p(P, ~−n) dS , (1.7) e deve equilibrar a for¸c na superf´ıcie superior do fluido. Note pela geometria da Fig. 1.3.1 que dS0cos θ = ds, isso implica que

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No equil´ıbrio a soma das for¸cas sobre o elemeto de volume infinit´esimo deve se anular,

dF_zsup+ dF_zinf = [−p(P0, ~n0) + p(P, −~n)]dS = 0 . (1.9) Estamos fazendo a hip´otese adicional de que a press˜ao num ponto P0 _numa

dada dire¸c˜ao ~n0 _´_{e a mesma press˜}_{ao num ponto P na mesma dire¸}_c˜_{ao ~}_n0 _{ou seja}

p(P0, ~n0) = p(P, ~n0). Isso se justifica se desconsiderarmos a for¸ca volum´etrica que ´

e de ordem superior em rela¸c˜ao a for¸ca superficial. Note que para um elemento de volume infinitesimal temos dV = dz dS < dS. substituindo esse resultado na Eq. (1.9) temos

[−p(P, ~n0) + p(P, −~n)]dS = 0 . (1.10) Observe ainda que pela terceira lei de newton p(P, −~n) = p(P, ~n), sendo assim, a Eq.(1.10) implica

p(P, ~n0) = p(P, ~n) , (1.11) donde conclu´ımos que a pressão não depende da dire¸cão pois qualquer que seja a dire¸cão ~n0 a pressão será a mesma que na dire¸cão ~n, sendo assim, não faz sentido considerar que a pressão dependa da dire¸cão. Contudo, nada falamos sobre a dependência da pressão com a altura.

1.3.2 Unidades

Algumas unidades ´uteis para medida de press˜ao:

1 N/m2_{= 1 Pascal = 1Pa ; 1 bar=10}5_N/m2 _{= 10 N/cm}2 _{= 10}3_{mb ;}

1 torr = 133,326 Pa ; 1 atm = 1,013×105 _N/m2 _;

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1.4. FORC¸ AS VOLUM ´ETRICAS 7

1.4 For¸

cas volum´

etricas

For¸cas volum´etricas s˜ao proporcionais ao volume sobre o qual a for¸ca atua. ∆ ~FVα ∆~V ~n , (1.12)

Conforme mencionamos anteriormente a gravidade ´e uma for¸ca do tipo volum´etrica ∆ ~FV= −∆m ~g = −

∆m

∆V~g ∆m = −ρ~g∆V . (1.13) Na equa¸cão acima a quantidade ρ ≡ ∆m_∆V é a densidade, isto é, massa por unidade de volume.

Na próxima se¸cão usaremos as for¸cas volumétricas e superficiais.

1.5 Lei de Stevin

Podemos medir experimentalmente a pressão ao submergirmos na água. A cada ∆h de profundidade a pressão é medida, e verificamos que nessas condi¸cões a pressão é uma fun¸cão linear da profundidade.

p = c + α h , (1.14)

onde c é uma constante e α é o coeficiente angular da reta. Fisicamente este coeficiente deve representar alguma quantidade f´ısica. Qual seria essa grandeza f´ısica? Para responder essa pergunta faremos uma análise de um corpo sujeito as for¸cas volumétricas e superficiais.

Imagine um elemento de fluido, cuja for¸ca volum´etrica ´e do tipo gravita-cional.

∆FV= −∆mg = −ρ g ∆V, (1.15)

mas note que ∆V = ∆S ∆z. Por outro lado, a resultante das for¸cas superficiais nas bases superior e inferior do cilindro fica

∆Fsuperficial = −[p(x, y, z + dz) − p(x, y, z)]∆S

= −p(x, y, z + dz) − p(x, y, z)

∆z ∆S∆z , (1.16)

no limite ∆z → pequeno, e na situa¸c˜ao de equil´ıbrio temos pela segunda lei de newton ∆Fsuperficial+ ∆ ~FV = 0 −ρ g ∆V −∂p ∂z∆V = 0 , (1.17) isso implica em ∂p ∂z = −ρ g . (1.18)

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Integrando na altura z, temos: Z p(z2) p(z1) ∂p ∂zdz = − Z z2 z1 ρ g dz , (1.19)

o que nos leva a

p(z1) = p(z2) + ρ g (z2− z1) . (1.20)

Identificando h = z2− z1 e p(z2) = C, vemos que as Eqs. (1.14), (1.20) s˜ao

equivalentes e que o coeficiente angular α da Eq.(1.14) fornece a medida do produto da gravidade pela densidade do fluido. Assim, uma maneira de medir a densidade de um l´ıquido é medir a pressão como fun¸cão da profundidade e determinar o coeficiente angular da reta obtida pelos dados experimentais.

1.6 Princ´ıpio de Arquimedes

O princ´ıpio de Arquimedes diz que um corpo total ou parcialmente imerso num fluido, recebe do fluido um empuxo igual e contrário ao peso da por¸cão de fluido deslocada e aplicada no centro de gravidade dessa por¸cão.

Empuxo: É uma for¸ca originada devido a varia¸cão de pressão ao redor de um corpo.

Imagine um corpo com ´area A e altura h imerso num fluido. Pela Lei de Stevin temos que:

p(z1) − p(z2) = ρl g h . (1.21)

Multiplicando todos os termos da Eq. (1.21) pela ´area A temos a resultante das for¸cas superficiais,

p(z1)A − p(z2)A = ρl g h A , (1.22)

onde h A = Vl ´e o volume do l´ıquido que foi ocupado pelo corpo. Assim,

chamamos de empuxo a for¸ca originada pela varia¸c˜ao de press˜ao

E = p(z1)A − p(z2)A = ρl g Vl . (1.23)

No caso de um corpo submerso total ou parcialmente em um fluido sobre a influˆencia da for¸ca gravitacional, o empuxo de um corpo ´e dado por:

E = ρl g Vl . (1.24)

1.6.1 Empuxo em um corpo de forma arbitr´

aria

Pode-se tomar um pequeno elemento de volume cil´ındrico dV , e calcular a diferen¸ca de pressão entre o outro extremo conforme a Fig. (1.1). Em seguida faz-se a integral sobre todos os cilindros infinitesimais. As for¸cas laterais na parede do sólido se cancelam mutuamente, pois em cada ponto do fluido as for¸cas apontam para todas as dire¸cões. Assim, a resultante das for¸cas aponta na dire¸cão paralela a for¸ca gravitacional.

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1.6. PRINC´IPIO DE ARQUIMEDES 9

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1.7 Princ´ıpio de Pascal

A varia¸cão de pressão num sistema que contém um fluido incompress´ıvel é a mesma em todos os pontos do fluido. A figura 1.26 mostra um sistema contendo um barril cheio de um fluido incompress´ıvel. Na superf´ıcie superior um êmbolo permite realizar uma tensão de compressão no fluido. Ao aplicar uma for¸ca no ˆ

embolo, induz-se uma varia¸c˜ao de press˜ao do tipo:

∆p = ∆p0+ ∆(ρ g h) . (1.25)

Note que no fluido incompress´ıvel a densidade n˜ao varia, e a altura n˜ao varia, logo, ∆(ρ g h) → 0. Isso implica

∆p = ∆p0 . (1.26)

Ou seja, a varia¸cão de pressão é a mesma em todos os pontos do fluido. Qualquer pontos do fluido recebe o mesmo incremento de pressão ∆p. Como ∆p = ∆F_∆A, pela Eq.(1.26) temos

∆F ∆A =

∆F0

∆A0

. (1.27)

Isso explica porque uma pequena for¸ca ~F é capaz de sustentar uma grande massa nos elevadores hidráulicos. Isso viola conserva¸cão de energia???

1.8 Densidade de energia e press˜

ao

Da Eq.(1.18) temos

∂p

∂z = fg , (1.28)

onde identificamos fg = −ρ g como sendo a densidade de for¸ca gravitacional,

ou seja fg = Fg

V . Por outro lado, vimos no curso de f´ısica I que a gravidade ´e

uma for¸ca conservativa, isto ´e, a for¸ca pode ser escrita como menos a derivada com respeito a altura da energia potencial,

fg= −

∂u

∂z , (1.29)

onde identificamos u = U

V como sendo a densidade de energia potencial.

Sub-stituindo esse resultado na Eq.(1.28) temos, ∂p ∂z = − ∂u ∂z ⇒ Z _∂p ∂zdz = − Z _∂u ∂zdz , (1.30) finalmente temos p(z) = −u(z) + c , (1.31) onde c ´e uma constante. Na Eq.(1.31) associamos a densidade de energia po-tencial com a press˜ao num ponto z do fluido.

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1.9. EQUIL´IBRIO DOS CORPOS NUM FLUIDO 11

1.9 Equil´ıbrio dos corpos num fluido

...

1.10 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio de revisão de f´ısica I: Mostre que a for¸ca gravitacional é conserva-tiva. Isto é equivalente a mostrar a que a integral de linha só depende do ponto inicial e final U (zf) − U (zi) = − Z C ~ F · d~r (1.32) onde ~F é a for¸ca e d~r e o elemento de linha que varia tangente a curva C. Mostre que a for¸ca centr´ıfuga é uma for¸ca conservativa.

Explique porque a for¸ca de atrito externo n˜ao ´e conservativa.

Exerc´ıcio 2 - varia¸cão da pressão atmosférica: Partindo da Expressão

∂p

∂z = −ρ g obtenha a solu¸cão da pressão atmosférica como fun¸cão da altura.

Considere a pressão na altura h = 0 como a pressão atmosférica p0.

Exerc´ıcio 3 - Empuxo efetivo: Imagine um bal˜ao cheio de g´as de densi-dade ρg totalmente imerso num l´ıquido de densidade ρl preso na base inferior

por um fio. O recepiente que cont´em o l´ıquido ´e totalmente vedado. Considere a gravidade g.

a) Calcule a tra¸c˜ao no fio.

b) Se todo o recipiente tiver com acelera¸c˜ao ~a vertical para cima calcule a tra¸c˜ao(DICA: redefinir o empuxo).

c) Se todo o recipiente tiver com acelera¸c˜ao ~a vertical para baixo calcule a tra¸c˜ao .

Exerc´ıcio 4 - Compressibilidade: Imagine um cubo sólido de lados L cujo o módulo da compressibilidade volumar κ seja dado. Uma varia¸cão de pressão ∆p >0 é realizada sobre o cubo. Essa varia¸cão é positiva ou negativa? De quanto varia o volume do cubo?

Exerc´ıcio 5 - Empuxo: Imagine que num copo contendo ´agua ocupando um volume V0 seja colocado uma pedra de gelo. Sendo Vg o volume do gelo e

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a) Qual é a varia¸cão de volume no copo após o gelo derreter?

b) Agora imagine que uma impureza de dimensões despres´ıveis porém alta den-sidade é colocada sobre o gelo. O que acontece com o volume final após o gelo derreter? Ele aumenta, diminui ou permanece o mesmo? Responda qualitati-vamente e quantitatiqualitati-vamente.

Exerc´ıcio 6 - Balde Girante - Conserva¸cão de energia: Suponha que um balde contendo água é colocado para girar ao redor do eixo que passa pelo seu centro com velocidade angular constante ω0. Após algum tempo, a água

entra em rota¸c˜ao, e ao atingir a o equil´ıbrio ela desenha uma forma na superf´ıcie do d l´ıquido. Obtenha a forma dessa superf´ıcie. (DICA: v´a para o referencial acelerado que gira com velocidade ω0).

Exerc´ıcio 7 - Stevin: Um tubo em U contentdo dois l´ıquidos de diferentes densidades ρo e ρa conforme a figura. Obtenha a densidade ρo em fun¸c˜ao dos

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1.10. EXERC´ICIOS 13

Figure 1.2: A figura mostra um tubo em formato U contendo ´agua e ´oleo.

H a