APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

APOSTILA DE

GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

Professora: Elisandra Bar de Figueiredo

Elaboração da apostila: Elisandra Bar de Figueiredo

PLANO DE ENSINO DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Departamento: Matemática

Disciplina: Geometria Plana e Espacial

Sigla: GPE0001 Semestre/Ano: 01/2011

Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0 Curso: Licenciatura em Matemática.

Professora: Elisandra Bar de Figueiredo.

Objetivo Geral da Disciplina: Capacitar o aluno para a compreensão dos teoremas relacionados à geometria e para as aplicações de propriedades de guras e sólidos geométricos.

Ementa: Ângulos, Teorema de Tales, Polígonos, Pirâmides, Prismas, Poliedros, Teorema de Euler, Cilindros, Cone, Esfera.

Objetivos Especícos da Disciplina: Desenvolver a capacidades do aluno de observação e representação dos objetos geométricos e físicos. Identicar os diversos tipos de guras planas e sólidos geométricos. Fornecer ao aluno, uma bagagem de conhecimento que lhes permita resolver problemas práticos e abstratos encontrados no dia a dia ou em outras disciplinas. Iniciar o aluno a utilizar o rigor lógico nos pensamentos dedutivo e indutivo.

Cronograma de Atividades:

1. Noções primitivas e Postulados 1.1. Noções primitivas

1.2. Postulados: existência, determinação e inclusão 1.3. Segmentos de reta

1.4. Posições relativas entre retas e planos 2. Ângulos

2.1. Denição

2.2. Medida de ângulos

3.2. Paralelismo e perpendicularidade 3.3. Pontos notáveis no triângulo 3.4. Quadriláteros notáveis 4. Circunferência e círculo 4.1. Ângulos na circunferência

4.2. Quadriláteros inscritos e circunscritos 5. Semelhança de Triângulos

5.1. Teorema de Tales 5.2. Triângulos semelhantes

5.3. Relações métricas no triângulo retângulo 5.4. Triângulos quaisquer

6. Figuras planas 6.1. Polígonos regulares

6.2. Polígonos inscritos e circunscritos em circunferências 6.3. Perímetros e comprimento de circunferência

7. Área de guras planas 7.1. Área de regiões poligonais 7.2. Área do círculo e de suas partes 8. Poliedros

8.1. Conceitos gerais de poliedros 8.2. Poliedros convexos

8.3. Teorema de Euler 9. Prismas

9.1. Denição, elementos e classicação 9.2. Área da base, da superfície lateral e total 9.3. Volume

9.4. Princípio de Cavalieri 10. Pirâmides

10.2. Área da base, da superfície lateral e total 10.3. Volume

10.4. Tetraedro

10.4. Tronco de pirâmide 11. Cilindros

11.1. Denição, elementos e classicação 11.2. Seção meridiana

11.3. Área da base, da superfície lateral e total 11.4. Volume

12. Cones

12.1. Denição, elementos e classicação 12.2. Seção meridiana

12.3. Área da base, da superfície lateral e total 12.4. Volume

12.5 Tronco de cone 13. Esfera

13.1. Denição e elementos 13.2. Área da superfície esférica 13.3. Volume

14.4. Seções 14.5 Fuso esférico 14.6 Cunha esférica

Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos:

1a _{P rova}: referente ao Capítulos 1, 2 e 3: nota x

2a P rova: referente ao Capítulos 4, 5 e 6: nota y

3a _{P rova: referente aos Capítulos 7, 8, 9 e 10: nota z}

4a _{P rova}: referente ao Capítulo 11, 12 e 13: nota w

Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das quatro avaliações, ou seja Média= x + y + z + w

Datas das Avaliações:

1a _{P rova}: 29/03/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)

2a P rova: 03/05/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)

3a _{P rova: 02/06/2011 (quinta-feira, entre 7h e 9h20min)}

4a _{P rova}: 28/06/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min)

EXAME: 05/07/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min) Segunda chamada das provas

Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliações, deverá entrar com pedido ocial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.

As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina.

É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada.

BIBLIOGRAFIA

• IEZZI, G. et all. Geometria Plana. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.

Volume 09, 8a _{edição, Editora Atual, 2008.}

• IEZZI, G. et all. Geometria Espacial. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.

Volume 10, 6a _{edição, Editora Atual, 2008.}

• KALEFF, A. M. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume

através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. 2a_{edição, EDUFF,}

Rio de Janeiro, 2003.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

• BARBOSA, J.L.M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática,

SBM, 2006.

• CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática,

SBM, 2005.

• GARBI, G. G.. C.Q.D.. 1a _{edição, Livraria da Física, 2010.}

• LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. e MORGADO, A.C. A Matemática

do Ensino Médio. Volume 2. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006.

• LIMA, E.L. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática,

SBM, 1991.

• MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria I. Editora VestSeller, 2009. • MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria II. Editora VestSeller,

Horário de Monitoria

Monitor:

Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50 19:50 20:40

Horário de Atendimento da Professora

Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50

Conteúdo

1 Noções primitivas e postulados 1

1.1 Estrutura Matemática . . . 1

1.2 Noções primitivas, postulados e denições . . . 2

1.2.1 Noções primitivas . . . 2

1.2.2 Proposições primitivas . . . 2

1.2.3 Denições . . . 2

1.2.4 Posições relativas entre pontos, retas e planos . . . 3

1.3 Determinação de um plano . . . 3

1.4 Exercícios . . . 4

2 Elementos do espaço, do plano e da reta 6 2.1 Conceitos . . . 6

2.2 Exercícios . . . 9

3 Triângulos 10 3.1 Conceitos - Elementos - Classicação . . . 10

3.1.2 Elementos do △ABC . . . . 10

3.1.3 Classicação . . . 10

3.2 Congruência de triângulos . . . 11

3.3 Exercícios . . . 12

4 Paralelismo e Perpendicularismo 13 4.1 Ângulos das paralelas . . . 13

4.2 Desigualdades nos triângulos . . . 14

4.3 Perpendicularidade . . . 15

4.4 Exercícios . . . 18

5 Quadriláteros 19 5.1 Quadriláteros - denição e elementos . . . 19

5.2 Quadriláteros notáveis - denições . . . 20

5.3 Propriedades dos trapézios . . . 21

5.4 Propriedades dos paralelogramos . . . 21

5.5 Propriedades dos retângulos . . . 22

5.6 Propriedades dos losangos . . . 23

5.7 Resumo . . . 23

5.8 Base média do triângulo . . . 23

5.9 Base média do trapézio . . . 24

6 Pontos notáveis do triângulo 26 6.1 Incentro . . . 26 6.2 Circuncentro . . . 26 6.3 Ortocentro . . . 26 6.4 Baricentro . . . 26 6.5 Exercícios . . . 28 7 Polígonos 29 7.1 Denições e elementos . . . 29

7.2 Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos . . . 31

7.3 Exercícios . . . 32

8 Circunferência e círculo 33 8.1 Denições e elementos . . . 33

8.1.2 Interior e exterior de uma circunferência . . . 33

8.2 Posições relativas entre duas circunferências . . . 34

8.3 Posições relativas entre uma reta e uma circunferência . . . 35

8.4 Quadriláteros circunscritíveis . . . 36 8.5 Exercícios . . . 37 9 Ângulos na circunferência 38 9.1 Congruência . . . 38 9.2 Ângulo central . . . 38 9.3 Ângulo inscrito . . . 38 9.4 Quadrilátero inscritível . . . 39 9.5 Ângulo de segmento . . . 40 9.6 Ângulo excêntrico . . . 41 9.7 Exercícios . . . 41

10 Teorema de Tales e Semelhança de triângulos 42 10.1 Feixe de retas paralelas . . . 42

10.2 Teorema das bissetrizes . . . 44

10.3 Semelhança de triângulos . . . 45

10.4 Casos de semelhança de triângulos . . . 46

10.5 Exercícios . . . 46

11 Relações métricas nos triângulos 48 11.1 Triângulos retângulos . . . 48

11.2 Aplicações do teorema de Pitágoras . . . 49

11.3 Triângulos quaisquer . . . 51

11.4 Exercícios . . . 52

12 Polígonos regulares 53 12.1 Conceitos e propriedades . . . 53

12.2 Medida do lado e do apótema de polígonos regulares . . . 54

13 Comprimento da circunferência 58

13.1 Conceitos e propriedades . . . 58

13.2 Comprimento de um arco de circunferência . . . 61

13.3 Exercícios . . . 61

14 Áreas de superfícies planas 62 14.1 Equivalência plana . . . 62

14.2 Área . . . 62

14.3 Exercícios . . . 65

15 Poliedros convexos 67 15.1 Superfície poliédrica e poliedros . . . 67

15.2 Poliedros de Platão . . . 70 15.3 Exercícios . . . 71 16 Prismas 72 16.1 Denições e elementos . . . 72 16.2 Paralelepípedos e romboedros . . . 73 16.3 Volume de um sólido . . . 74

16.4 Volume de um paralelepípedo retângulo . . . 74

16.5 Princípio de Cavalieri . . . 74

16.6 Volume de um prisma . . . 75

16.7 Exercícios . . . 76

17 Cilindro 78 17.1 Denições e elementos . . . 78

17.2 Área lateral e total . . . 80

17.3 Volume do cilindro . . . 80 17.4 Exercícios . . . 80 18 Pirâmide 81 18.1 Denições e elementos . . . 81 18.2 Volume da pirâmide . . . 83 18.3 Tronco de pirâmide . . . 85 18.4 Exercícios . . . 87 19 Cone 89 19.1 Denições e elementos . . . 89

19.2 Áreas lateral e total . . . 91

19.3 Volume do cone . . . 91 19.4 Tronco de cone . . . 91 19.5 Exercícios . . . 92 20 Esfera 94 20.1 Denições . . . 94 20.2 Área e volume . . . 95 20.3 Exercícios . . . 96

Capítulo 1

Noções primitivas e postulados

1.1 Estrutura Matemática

1. Noções primitivas - estabelecidas sem denição;

2. Proposições primitivas (postulados ou axiomas) - são armações aceitas sem demon-stração;

3. Denição - caracterização de elementos;

4. Propriedades, proposições, teoremas, corolários, lemas - são armações que devem ser provadas

1.2 Noções primitivas, postulados e denições

1.2.1 Noções primitivas

Adotaremos sem denir os conceitos de

Ponto, Reta e Plano.

NOTAÇÕES:

• Ponto: letras latinas maiúsculas - A, B, C, · · · • Reta: letras latinas minúsculas - r, s, t, · · · • Plano: letras gregas minúsculas - α, β, γ, · · ·

1.2.2 Proposições primitivas

1. Postulado da existência

(a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, existem innitos pontos. (b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há innitos pontos. 2. Postulados da determinação

(a) Da reta: dois pontos distintos, A e B, determinam uma única reta que passa por eles. Denotaremos esta reta por ←→AB.

(b) Do plano: três pontos, A, B e C, não colineares (pontos que não pertencem a uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles. Denotaremos este plano por (A, B, C).

3. Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois pontos distintos contidos num plano, então esta reta está contida nesse mesmo plano.

1.2.3 Denições

Denimos:

1. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.

2. Duas retas, r e s, são paralelas se ou são coincidentes ou são coplanares e não possuem nenhum ponto em comum. Notação: r ∥ s.

3. Duas retas são concorrentes se elas tem um único ponto de interseção. 4. Duas retas são reversas se não existe um plano que contém as duas retas.

1.2.4 Posições relativas entre pontos, retas e planos

1. Pontos P e Q : { P = Q P ̸= Q 2. Ponto P e reta r : { P ∈ r P /∈ r 3. Ponto P e plano α : { P ∈ α P /∈ α 4. Retas r e s :                coplanares:        paralelas: { r = s r∩ s = ∅ concorrentes: r ∩ s = {P } não coplanares: reversas: r ∩ s = ∅

5. Reta r e plano α :    r⊂ α ⇒ r ∩ α = r r∥ α ⇒ r ∩ α = ∅ r concorrente com α ⇒ r ∩ α = {P } 6. Planos α e β : { α∥ β ⇒ α ∩ β = ∅ α e β secantes ⇒ α ∩ β = r

OBSERVAÇÃO 1.2.5 Se a interseção de dois planos não é vazia, então é sempre uma reta.

1.3 Determinação de um plano

Existem quatro maneiras de determinar um plano:

1. Três pontos não colineares - Postulado da determinação. 2. Uma reta e um ponto fora dela - Teorema:

T

EOREMA 1.3.1 Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém.

3. duas retas concorrentes - Teorema:

T

EOREMA 1.3.2 Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as contém.

4. duas retas paralelas distintas - Teorema:

T

EOREMA 1.3.3 Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas deter-minam um único plano que as contém.

1.4 Exercícios

1. Retas reversas podem ser paralelas?

2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos?

3. Prove que: três retas, duas a duas concorrentes, não passando pelo mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano.

4. Três retas, duas a duas concorrentes, passando pelo mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano?

5. Na gura abaixo temos um sólido cujas faces estão contidas em seis planos distintos (o sólido é um paralelepípedo). Determine a interseção dos planos α e β, sendo α o plano determinado pelas retas←→AB e ←→HG e β o plano determinado pelas retas ←→BC

e ←→EH.

6. Classique em V (verdadeiro) ou F (falso) justicando a resposta. (a) Por um ponto passam innitas retas.

(b) Uma reta contém dois pontos distintos.

(c) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. (d) Por três pontos dados passa uma só reta.

(e) Três pontos distintos são sempre colineares. (f) Três pontos distintos são sempre coplanares.

(g) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. (h) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.

(i) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta

a tal que A ∈ a e B ∈ a.

(j) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.

(k) Três pontos distintos determinam um plano.

(l) Um ponto e uma reta determinam um único plano.

(m) Duas retas distintas paralelas e uma reta concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

(n) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. (o) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos. 7. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas

8. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se eles não são coplanares.

9. Quais são os planos determinados por quatro pontos distintos A, B, C e D?

10. Prove que: duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares. 11. Quantos são os planos que passam por uma reta? Justique.

12. Prove que: se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra.

13. Num plano α há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se con-duzirmos por P uma reta s, paralela a r, então s está contida em α.

14. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si? Justi-que.

15. Prove que: Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

16. Classique em V (verdadeiro) ou F (falso) justicando a resposta. (a) Duas retas distintas determinam um plano.

(b) Duas retas concorrentes são coplanares. (c) Duas retas coplanares são concorrentes.

(d) Duas retas distintas não paralelas são reversas.

(e) Duas retas que não tem um ponto em comum são paralelas. (f) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. (g) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas.

(h) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅.

(i) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que r e s sejam reversas. (j) A condição r ∩ s = ∅ é suciente para que r e s sejam reversas.

(k) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas.

(l) A condição r ∩ s = ∅ é suciente para que duas retas r e s sejam paralelas. (m) Dois planos secantes tem innitos pontos em comum.

17. Num plano α há duas retas ←→AB e ←→CD concorrentes num ponto O. Fora de α há um

ponto P. Qual a interseção dos planos β = (P, A, B) e γ = (P, C, D)?

18. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a interseção dos planos α = (r, S) e β = (s, R)?

Capítulo 2

Elementos do espaço, do plano e da reta

2.1 Conceitos

1. Um ponto de uma reta divide a mesma em dois conjuntos de pontos chamado semir-retas, sendo o ponto de divisão chamado origem de cada semirreta.

Notação: −→AB

2. Dados dois pontos A e B em uma reta r chama-se segmento AB ao conjunto de pontos de r que estão entre A e B, que são os extremos do segmento.

3. Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro.

4. Dois segmentos de reta são colineares se pertencem a mesma reta.

5. Dois segmentos de reta colineares e consecutivos são adjacentes se possuem apenas uma extremidade em comum.

6. Uma reta r de um plano α divide α em dois conjuntos de pontos chamados semiplanos, sendo a reta de divisão chamada origem de cada semiplano.

7. Um plano qualquer divide o espaço em dois conjuntos de pontos chamados semiespaços, sendo o plano de divisão chamado origem de cada semiespaço.

8. Um conjunto de pontos é convexo se, para todo par de pontos A e B do conjunto, o segmento AB está inteiramente contido no conjunto. Quando o conjunto não é convexo ele é dito côncavo.

9. Ângulo é a união de duas semirretas com mesma origem.

10. Se as duas semirretas que determinam um ângulo não são opostas então este ângulo de-termina dois setores angulares, um convexo e um côncavo. O setor convexo é chamado interior do ângulo.

11. Ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por elas.

12. Ângulo entre duas retas reversas é o ângulo formado por duas retas concorrentes par-alelas as duas primeiras.

13. Congruência

(a) Dois segmentos são congruentes quando podem ser levados a coincidir por super-posição, mediante um deslocamento rígido de um deles.

(b) Duas guras são congruentes quando podem ser levadas a coincidir por super-posição, mediante um deslocamento rígido de uma delas.

14. Bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

15. Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos congruentes. Notação: r ⊥ s.

16. Qualquer um dos ângulos formados pelas retas perpendiculares chama-se ângulo reto.

17. Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum.

18. (a) α é um ângulo agudo se α < 1R; (b) α é um ângulo obtuso se α > 1R;

(c) α é um ângulo raso se α = 2R. 19. Dois ângulos α e β são:

(a) complementares se α + β = 1R; (b) suplementares se α + β = 2R;

(c) replementares se α + β = 4R.

20. Dois ângulos são opostos pelo vértice, (opv), quando os lados de um são as semir-retas opostas dos lados do outro.

21. Medida de um segmento: Medir um segmento é compará-lo com um outro tomado como unidade.

Consequência: Dois segmentos são congruentes quando possuem a mesma medida. 22. Medida de ângulos: Medir um ângulo é compará-lo com outro ângulo tomado como

unidade.

(a) Sistema sexagesimal: Unidade - grau - 1◦ ₌ 1

90R. Múltiplos - subunidades minuto: 1′ ₌ 1◦ 60, segundo: 1′′₌ 1′ 60. (b) Sistema decimal: Unidade - grado - 1gr = 1

100R. Múltiplos - subunidades

decígrado: 1dgr = 0, 1gr, centígrado: 1cgr = 0, 01gr.

T

EOREMA 2.1.1 Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.

2.2 Exercícios

1. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares. 2. As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

3. Sendo AB e BC segmentos colineares e consecutivos, AB o quádruplo de BC e

|AC| = 45u.c., determine |AB| e |BC|.

4. O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento CD dessa mesma reta. Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento CD.

Capítulo 3

Triângulos

3.1 Conceitos - Elementos - Classicação

DEFINIÇÃO 3.1.1 Dados três pontos A, B e C não colineares a união dos segmentos AB,

BC e AC chama-se triângulo ABC.

Notação: Triângulo ABC = △ABC

3.1.2 Elementos do △ABC

• Vértices: os pontos A, B e C; • Lados: os segmentos AB, BC e AC;

• Ângulos (ou ângulos internos): B ˆAC ou ˆA, A ˆBC ou ˆB e A ˆCB ou ˆC.

Dizemos que os lados AB, BC e AC e os ângulos ˆC, ˆA e ˆB são, respectivamente opostos.

3.1.3 Classicação

• Quanto aos lados:

1. Equilátero - os três lados congruentes.

2. Isósceles - dois lados congruentes. Num triângulo isósceles o lado não congruente é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice.

3. Escaleno - quaisquer dois lados não são congruentes.

• Quanto aos ângulos:

1. Acutângulo - os três ângulos agudos.

2. Retângulo - um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto num triângulo retângulo é chamado hipotenusa e os outros dois são catetos.

3. Obtusângulo - um ângulo obtuso.

DEFINIÇÃO 3.1.4 Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte

de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado.

DEFINIÇÃO 3.1.5 Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num

vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

DEFINIÇÃO 3.1.6 Dado um △ABC e sendo −−→CX a semirreta oposta à semirreta −−→CB, o

ângulo ˆe = ˆeC = A ˆCX é o ângulo externo do △ABC adjacente a ˆC e não adjacente aos

ângulos ˆA e ˆB.

DEFINIÇÃO 3.1.7 Mediana de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

DEFINIÇÃO 3.1.8 Um triângulo é congruente a outro se é possível estabelecer uma

corres-pondência entre seus vértices de modo que:

• seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro; • seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

3.2 Congruência de triângulos

1. Lado-Ângulo-Lado (LAL): dois lados e o ângulo compreendido respectivamente con-gruentes;

2. Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): um lado e seus dois ângulos adjacentes respectivamente congruentes;

3. Lado-Lado-Lado (LLL): três lados respectivamente congruentes;

4. Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAAO): um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto

ao lado respectivamente congruentes;

5. Caso especial de triângulos retângulos - a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes.

T

EOREMA 3.2.1 Um triângulo é isósceles se, e somente se, seus ângulos da base são congruentes.

COROLÁRIO 3.2.2 Um triângulo equilátero possui os três ângulos congruentes.

3.3 Exercícios

1. Prove que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz. Capítulo 4 do livro texto volume 9: 80, 91, 93-96, 105-112.

Capítulo 4

Paralelismo e Perpendicularismo

4.1 Ângulos das paralelas

Sejam r e s retas paralelas e t uma reta concorrente com r e s (t é dita transversal às paralelas r e s). Os oito ângulos determinados por estas retas e indicados na gura abaixo são classicados como:

• alternos: α1 e α7, α2 e α8, α3 e α5, α4 e α6;

• correspondentes: α1 e α5, α2 e α6, α3 e α7, α4 e α8;

• colaterais: α1 e α8, α2 e α7, α3 e α6, α4 e α5.

PROPRIEDADES

1. Os ângulos alternos são congruentes.

2. Os ângulos correspondentes são congruentes. 3. Os ângulos colaterais são suplementares.

PROPOSIÇÃO 4.1.1 Um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois ângulos internos

não adjacentes.

COROLÁRIO 4.1.2 A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦_.

COROLÁRIO 4.1.3 Num triângulo equilátero cada ângulo interno mede 60◦.

4.2 Desigualdades nos triângulos

1. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado.

3. DESIGUALDADE TRIANGULAR. Em cada triângulo cada lado é menor que a soma

dos outros dois. E consequentemente cada lado é maior que a diferença dos outros dois.

4.3 Perpendicularidade

DEFINIÇÃO 4.3.1 Duas retas são perpendiculares se são concorrentes e formam um ângulo

de 90◦_.

DEFINIÇÃO 4.3.2 A projeção de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P′ ∈ r

obtido pela interseção de r com a reta perpendicular a r e passando por P.

DEFINIÇÃO 4.3.4 A distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto

qualquer de uma delas até a outra reta.

DEFINIÇÃO 4.3.5 A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que

passa pelo seu ponto médio.

PROPRIEDADE DOS PONTOS DA MEDIATRIZ. Todo ponto da mediatriz é equidistante

das extremidades do segmento.

PROPOSIÇÃO 4.3.6 As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo

DEFINIÇÃO 4.3.7 O ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo é chamado

cir-cuncentro e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

PROPRIEDADE DOS PONTOS DA BISSETRIZ. Todo ponto da bissetriz de um ângulo é

equidistante dos lados deste ângulo.

PROPOSIÇÃO 4.3.8 As bissetrizes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que

está a igual distância dos lados deste triângulo.

DEFINIÇÃO 4.3.9 O ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo é chamado

4.4 Exercícios

1. Com três segmentos cujos comprimentos são 9 cm, 13 cm e 23 cm é possível construir um triângulo? Justique sua resposta.

2. Na gura abaixo sabe-se que: AB//P Q; AB ≡ AM; BM ≡ MQ; m(B ˆAC) =70◦ e m(P ˆQM ) =55◦. Determine a medida de β.

3. No triângulo ABC da gura abaixo tem-se CD perpendicular a AB, BE perpendicular a AC e CD ≡ BE.

Mostre que ABC é um triângulo isósceles.

4. O triângulo ABC abaixo é um triângulo retângulo com ângulo reto em ˆA e não é

isósceles. Além disso, AD é bissetriz do ângulo B ˆAH, AE é bissetriz do ângulo C ˆAH

e AH é uma altura do triângulo ABC.

Com os dados acima classique em V (verdadeiro) ou F (falso) as armações abaixo justicando sua resposta.

(a) m(D ˆAE) = 45◦.

(b) O triângulo ADE é isósceles. (c) O triângulo BAE é isósceles. (d) O triângulo CAD é isósceles.

Capítulo 4 do livro texto volume 9: 114, 115, 116;

Capítulo 5 do livro texto volume 9: 135, 139, 140, 146, 147, 154, 155, 156, 167, 169, 185; Capítulo 6 do livro texto volume 9: 191, 198, 199, 200, 202, 203, 221, 223.

Capítulo 5

Quadriláteros

5.1 Quadriláteros - denição e elementos

DEFINIÇÃO 5.1.1 Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos

e três não colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a união destes quatro segmentos é um quadrilátero.

Notação: Quadrilátero ABCD = ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA.

OBSERVAÇÃO 5.1.2 Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO ABCD

• Vértices: os pontos A, B, C e D;

• Lados: os segmentos AB, BC, CD e DA;

• Ângulos (ou ângulos internos): D ˆAB ou ˆA, A ˆBC ou ˆB, B ˆCD ou ˆC e C ˆDA ou ˆD; • Diagonais: os segmentos AC e BD.

PROPOSIÇÃO 5.1.3 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360◦ graus e a soma

5.2 Quadriláteros notáveis - denições

1. TRAPÉZIO - é o quadrilátero plano convexo que possui um par de lados paralelos, que são chamados de bases do trapézio.

Classicação:

• Trapézio isósceles - se os lados não paralelos são congruentes; • Trapézio escaleno - se os lados não paralelos não são congruentes; • Trapézio retângulo - se possui dois ângulos retos.

2. PARALELOGRAMO - é o quadrilátero plano convexo que possui os lados opostos para-lelos.

ABCD é paralelogramo ⇔ AB//CD e BC//AD.

3. RETÂNGULO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro ângulos con-gruentes.

ABCD é retângulo ⇔ ˆA≡ ˆB ≡ ˆC ≡ ˆD.

4. LOSANGO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes.

ABCD é losango ⇔ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA.

5. QUADRADO é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.

ABCD é quadrado ⇔ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA e ˆA≡ ˆB ≡ ˆC≡ ˆD.

5.3 Propriedades dos trapézios

1. Em qualquer trapézio ABCD com bases AB e CD temos que ˆA + ˆD = ˆB + ˆC = 180◦.

2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

5.4 Propriedades dos paralelogramos

1. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os ân-gulos opostos congruentes.

2. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos congruentes.

3. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.

4. Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelo-gramo.

5.5 Propriedades dos retângulos

1. Um paralelogramo ABCD é um retângulo se, e somente se, tem as diagonais congru-entes.

5.6 Propriedades dos losangos

1. Um paralelogramo ABCD é um losango se, e somente se, tem as diagonais perpendi-culares.

5.7 Resumo

Note que se um quadrilátero convexo

• tem diagonais que se cortam ao meio, então ele é um paralelogramo;

• tem diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, então ele é um retângulo; • tem diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, então ele é um losango; • tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então ele

é um quadrado.

5.8 Base média do triângulo

1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede metade do terceiro lado.

2. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado.

5.9 Base média do trapézio

1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então ele é paralelo às bases e é igual a semissoma das bases.

2. Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado.

5.10 Exercícios

1. Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo.

2. Sejam AB e P Q dois segmentos que interceptam-se num ponto X. Prove que se X é ponto médio dos dois segmentos, então o quadrilátero formado pelos pontos A, P, B e Q é um paralelogramo.

3. Demonstre que unindo-se, consecutivamente, os pontos médios dos lados de um retân-gulo obtém-se um losango.

4. Considere um losango ABCD se o ângulo formado pela mediana BX com um dos lados do losango mede 50◦ _{(veja a gura abaixo), determine a medida de todos os ângulos}

internos e externos deste losango.

5. No trapézio abaixo sabe-se que AD ≡ DC ≡ CB e BD ≡ BA. Determine a medida do ângulo ˆA.

Na gura abaixo temos que D é ponto médio de AB, E é ponto médio de BC e a reta

r é paralela a reta ←→AB. Prove que ADHC é um paralelogramo e que |DE| = |AC|

2 .

6. Considere um trapézio isósceles ABCD com bases AB e CD. Seja O o ponto de interseção das suas diagonais.

(a) Prove que os triângulos BOC e AOD são congruentes.

(b) Se a razão entre a medida dos ângulos ˆA e ˆD é 2₇,determine a medida de todos

Capítulo 6

Pontos notáveis do triângulo

6.1 Incentro

DEFINIÇÃO 6.1.1 Num triângulo ABC incentro é o centro da circunferência inscrita

nesse triângulo.

PROPRIEDADE. O incentro é o ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo.

Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da bissetriz. Visto no resumo de Perpen-dicularismo.

6.2 Circuncentro

DEFINIÇÃO 6.2.1 Num triângulo ABC circuncentro é o centro da circunferência

circuns-crita a este triângulo.

PROPRIEDADE.O circuncentro é o ponto de interseção das três mediatrizes de um

triân-gulo. Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da mediatriz. Visto no resumo de Perpendicularismo.

6.3 Ortocentro

DEFINIÇÃO 6.3.1 Ortocentro é o ponto de interseção das três alturas de um triângulo.

A prova que as três alturas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto pode ser encontrada no livro texto no capítulo 8.

6.4 Baricentro

PROPOSIÇÃO 6.4.1 As três medianas de um triângulo de interceptam-se num mesmo ponto,

chamado baricentro do triângulo, que divide a mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

6.5 Exercícios

1. O triângulo ABC abaixo é um triângulo equilátero com incentro no ponto O. Prove que O é também circuncentro e ortocentro deste triângulo.

2. Considere o trapézio ABCD com AB//CD, |AB| = 8u.c. e |CD| = 5u.c., repre-sentado na gura abaixo. Se G é o baricentro do triângulo ABC qual a medida de

ZY ?

3. Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio da AB. Determine

m(P M ),sendo m(DP ) = 16 cm.

4. Na Figura abaixo P é o ponto médio de AC e P Q é paralelo a BC. Sendo |BC| = 40u.c. e |AC| = 50 u.c., determine |P Q| e |P O|.

Capítulo 7

Polígonos

7.1 Denições e elementos

DEFINIÇÃO 7.1.1 Dada uma sequência de pontos distintos (A1, A2, A3, · · · , An), com

n≥ 3, em um plano α, sendo que três pontos consecutivos não são colineares, considerando An, A1 e A2 consecutivos, chama-se polígono de n lados a união dos segmentos

A1A2, A2A3, · · · , An−1An, AnA1.

Notação: Polígono A1A2· · · An−1An= A1A2∪ A2A3∪ · · · ∪ An−1An∪ AnA1. EXEMPLO 7.1.2 Identique quais casos abaixo são polígonos.

TIPOS DE POLÍGONOS

• Um polígono é simples se a interseção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia. • Um polígono é complexo quando não é simples.

• Um polígono é convexo se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer

deixa os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina.

EXEMPLO 7.1.4 Classique os polígonos dados no Exemplo 1.

ELEMENTOS DE UM POLÍGONO

Considerando o polígono A1A2· · · An−1An,temos:

• Vértices • Lados

• Ângulos (internos)

• Ângulos externos de um polígono convexo • Lados Consecutivos

• Ângulos Consecutivos • Perímetro

• Diagonais

-NOME DOS POLÍGONOS

De acordo com o número de lados os polígonos recebem nomes especiais. Veja a seguir a correspondência, sendo n o número de lados.

• n = 3 −→ triângulo ou trilátero • n = 4 −→ quadrângulo ou quadrilátero • n = 5 −→ pentágono • n = 6 −→ hexágono • n = 7 −→ heptágono • n = 8 −→ octógono • n = 9 −→ eneágono • n = 10 −→ decágono

• n = 11 −→ undecágono • n = 12 −→ dodecágono • n = 15 −→ pentadecágono • n = 20 −→ icoságono

DEFINIÇÃO 7.1.5 Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes (equi-látero) e todos os ângulos congruentes (equiângulo).

EXEMPLO 7.1.6 • O triângulo regular é o triângulo equilátero. • O quadrilátero regular é o quadrado.

• Para os demais polígonos usamos a notação regular. Exemplo: pentágono regular,

icoságono regular.

7.2 Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos

PROPOSIÇÃO 7.2.1 O número de diagonais de um polígono convexo de n lados, n ≥ 3, é dado por d = n(n− 3)

2 .

PROPOSIÇÃO 7.2.2 A soma Si dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,

PROPOSIÇÃO 7.2.3 A soma Se dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados,

n≥ 3, é Se = 360◦.

COROLÁRIO 7.2.4 Num polígono convexo regular de n lados, n ≥ 3, cada ângulo interno e externo medem, respectivamente, ai =

(n− 2) · 180◦

n e ae =

360◦

n .

7.3 Exercícios

1. Na gura abaixo temos um hexágono e um pentágono regular. Determine a medida de

α, β, θ e δ.

2. Três polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números inteiros n, n+1 e n+2. Sabendo que a soma dos ângulos internos dos três polígonos é 2700◦_,determine

o número de diagonais de cada um destes polígonos.

3. Considere um polígono convexo de 6 lados. Sabendo que as medidas dos ângulos internos desse polígono formam uma progressão aritmética e a proporção entre o menor ângulo e a razão desta progressão é 15

2,determine a medida de todos os ângulos internos

deste polígono.

Capítulo 8

Circunferência e círculo

8.1 Denições e elementos

DEFINIÇÃO 8.1.1 Circunferência é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de

um ponto O ∈ α é igual a uma distância r > 0 xa dada. O ponto O é chamado centro e r é o raio da circunferência.

Notação: Circunferência de centro O e raio r : λ(O, r), assim,

λ(O, r) ={p ∈ α/d(P, O) = r}.

8.1.2 Interior e exterior de uma circunferência

Dado um ponto X ∈ α e uma circunferência λ(O, r) ⊂ α, podemos ter: 1. X interno a λ ⇐⇒ d(X, O) < r;

2. P pertence a λ ⇐⇒ d(P, O) = r; 3. Y externo a λ ⇐⇒ d(Y, O) > r;

O conjunto de todos os pontos interiores a λ(O, r) é o interior da circunferência e o con-junto dos pontos exteriores é o seu exterior.

ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA λ(O, r):

• Centro • Raio • Corda • Diâmetro

 Arco maior

• Semicircunferência

-DEFINIÇÃO 8.1.3 Círculo ou disco é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de

um ponto O ∈ α é menor ou igual a uma distância r > 0 xa dada. O ponto O é chamado centro e r é o raio do círculo.

Notação: Circulo de centro O e raio r : c(O, r), assim, c(O, r) = {p ∈ α/d(P, O) ≤ r}.

OBSERVAÇÃO 8.1.4 O círculo c(O, r) é a união da circunferência λ(O, r) com o seu interior. ELEMENTOS DO CÍRCULO c(O, r):

• Setor circular

• Segmento circular

• Semicírculo

-8.2 Posições relativas entre duas circunferências

Sejam λ1(O1, r1) e λ2(O2, r2) duas circunferências, com r1 > r2 e d = d(O1, O2). Podemos

ter,

1. λ2 ⊂ λ1 não tangentes, então d < r1− r2;

2. λ2 ⊂ λ1 tangentes, então d = r1− r2;

3. λ2 e λ1 tangentes externas, então d = r1+ r2;

4. λ2 e λ1 secantes, então r1 − r2 < d < r1+ r2;

8.3 Posições relativas entre uma reta e uma

circunferên-cia

1. t tangente a λ(O, r), então d(O, t) = r;

2. s secante a λ(O, r), então d(O, s) < r;

3. l exterior a λ(O, r), então d(O, l) > r.

PROPRIEDADES DA RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Seja s uma reta secante à circunferência λ(O, r), não passando por O, com s∩λ = {A, B}. Então, temos

(a) Se M é ponto médio da corda AB, então ←−→OM ⊥ s.

(b) Se l é uma reta perpendicular à reta s, passando por O e P ∈ s ∩ l, então P é ponto médio de AB.

PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

1. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência.

2. Seja t uma reta tangente à circunferência λ(O, r) no ponto T. Então, OT ⊥ t.

PROPOSIÇÃO 8.3.1 Se de um ponto P conduzirmos os segmentos P A e P B tangentes a

circunferência λ(O, r), com A, B ∈ λ, então P A ≡ P B.

8.4 Quadriláteros circunscritíveis

DEFINIÇÃO 8.4.1 Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se seus

quatro lados são tangentes à circunferência.

PROPOSIÇÃO 8.4.2 Um quadrilátero convexo ABCD é circunscrito a uma circunferência

8.5 Exercícios

1. Determine os raios das circunferências centradas em A, B e C, sendo m(AB) = 12,

m(BC) = 13 e m(AC) = 17.

Capítulo 9

Ângulos na circunferência

9.1 Congruência

DEFINIÇÃO 9.1.1 Duas circunferências são congruentes se possuem o mesmo raio.

DEFINIÇÃO 9.1.2 Dois arcos são congruentes se são arcos de circunferências de mesmo

raio e possuem o mesmo ângulo de abertura.

9.2 Ângulo central

DEFINIÇÃO 9.2.1 Ângulo central relativo a circunferência λ(O, r) é o ângulo que tem o

vértice no centro da circunferência.

Todo ângulo central determina na circunferência um arco AB correspondente, sendo A e B os pontos onde o ângulo intercepta a circunferência. Na gura abaixo α = A ˆOB é um

ângulo central com arco AB correspondente.

DEFINIÇÃO 9.2.2 A medida de uma arco de circunferência é igual a medida do ângulo

central correspondente.

9.3 Ângulo inscrito

DEFINIÇÃO 9.3.1 Ângulo inscrito na circunferência λ(O, r) é um ângulo que tem o

vér-tice na circunferência e os lados são secantes a circunferência. Na gura abaixo α é ângulo inscrito com ângulo A ˆOB como ângulo central correspondente.

PROPOSIÇÃO 9.3.2 A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central

correspondente.

PROPOSIÇÃO 9.3.3 Todo ângulo reto é inscritível numa semicircunferência.

Reciproca-mente, todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremi-dades da semicircunferência é um ângulo reto.

9.4 Quadrilátero inscritível

DEFINIÇÃO 9.4.1 Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é um quadrilátero inscrito nesta circunferência.

PROPOSIÇÃO 9.4.2 Um quadrilátero convexo é inscritível numa circunferência se, e

so-mente se, os ângulos opostos são suplementares.

9.5 Ângulo de segmento

DEFINIÇÃO 9.5.1 Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma

circun-ferência é um ângulo que tem o vértice na circuncircun-ferência, um lado secante e o outro lado tangente à circunferência. Na gura abaixo α é o ângulo do segmento circular AB.

PROPOSIÇÃO 9.5.2 A medida do ângulo de segmento é metade da medida do ângulo central

9.6 Ângulo excêntrico

DEFINIÇÃO 9.6.1 Se duas cordas se interceptam num ponto no interior a uma

circunferên-cia, distinto do centro, então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo excêntrico interior. Na gura abaixo β e θ são ângulos excêntricos interiores.

DEFINIÇÃO 9.6.2 Se com origem num ponto exterior a uma circunferência traçarmos duas

semirretas, ambas secantes à circunferência, ou ambas tangentes, ou uma secante e a outra tangente, estas semirretas formam um ângulo que é chamado ângulo excêntrico exterior. Nas guras abaixo α é sempre um ângulo excêntrico exterior.

9.7 Exercícios

1. Demonstre que: se duas cordas de uma mesma circunferência são congruentes, então os arcos correspondentes às cordas são congruentes.

2. Seja AB o diâmetro de uma circunferência e C um ponto sobre a circunferência tal que a medida do arco BC seja igual a 32◦_{. Calcule a medida dos ângulos A ˆBC e A ˆCB.}

3. Prove que um trapézio inscrito em uma circunferência é isósceles.

4. Determine a medida de um ângulo excêntrico interior, em relação à medida dos arcos que ele compreende.

5. Determine a medida de um ângulo excêntrico exterior, em relação à medida dos arcos que ele compreende.

6. Determine a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que CD = R, sendo R o raio da circunferência.

Capítulo 10

Teorema de Tales e Semelhança de

triângulos

10.1 Feixe de retas paralelas

DEFINIÇÃO 10.1.1 Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares paralelas

entre si.

DEFINIÇÃO 10.1.2 Reta transversal a um feixe de retas paralelas é uma reta concorrente com as retas do feixe.

DEFINIÇÃO 10.1.3 Pontos correspondentes de duas retas transversais a um feixe de

retas paralelas são os pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. DEFINIÇÃO 10.1.4 Segmentos correspondentes de duas retas transversais são os

seg-mentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. Na gura abaixo são segmentos correspondentes AB e EF ; BC e F G; CD e GH e ainda, AC e EG entre outros.

T

EOREMA 10.1.5 (Teorema de Tales) Se duas retas são transversais de um feixe de para-lelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Na gura acima temos,

|AB| |BC| = |EF | |F G|; |BC| |CD| = |F G| |GH|; |AB| |CD| = |EF | |GH|; entre outros.

EXEMPLO 10.1.6 Determine o valor das incógnitas nas guras abaixo.

EXEMPLO 10.1.7 Na gura abaixo, onde r//s//t, temos que m(AC) + m(AE) = 20 cm;

m(AD) m(AB) =

5

3 e as medidas dos segmentos AB e BC são proporcionais a 1 e 3,

10.2 Teorema das bissetrizes

T

EOREMA 10.2.1 (Teorema da bissetriz interna) Considere o triângulo ABC e seja AD bissetriz interna do ângulo A. Então, |BD|

|AB| = |CD|

|AC|, como na gura.

T

EOREMA 10.2.2 (Teorema da bissetriz externa) Considere o triângulo ABC e seja AD bissetriz externa do ângulo A. Se AD intercepta BC no ponto D, então, |BD|

|AB| = |CD|

|AC|,como

EXEMPLO 10.2.3 Considere o triângulo ABC na gura abaixo. Sendo AS bissetriz de ˆA e AD bissetriz externa de ˆA. Determine |CD|, dados |BS| = 8u.c. e |SC| = 6u.c..

10.3 Semelhança de triângulos

DEFINIÇÃO 10.3.1 Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos

ordenada-mente congruentes e os lados homólogos proporcionais (dois lados são homólogos se cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes).

Na gura abaixo, se △ABC é semelhante ao △EF G, então ˆA ≡ ˆE; ˆB ≡ ˆF ; ˆC ≡ ˆG e k = |AB| |EF | = |BC| |F G| = |AC| |EG|.

Notação: △ABC ∼ △EF G,

Se a constante de proporção k for igual a 1 temos que os triângulos são congruentes.

T

EOREMA 10.3.2 (Teorema fundamental) Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela de-termina é semelhante ao primeiro.

10.4 Casos de semelhança de triângulos

1. Primeiro caso (Ângulo-Ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenada-mente congruentes, então eles são semelhantes.

2. Segundo caso (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

3. Terceiro caso (Lado-Lado-Lado): Se dois triângulos tem os lados homólogos propor-cionais, então os triângulos são semelhantes.

10.5 Exercícios

1. Considere o triângulo ABC representado na gura abaixo. Calcule o perímetro do quadrilátero EF CG sabendo que: a circunferência inscrita é tangente ao lado AB no ponto E; |AB| = 12u.c., |AC| = 8u.c., |BC| = 16u.c. e os lados EG e EF são paralelos a BC e AC, respectivamente.

2. Sabendo que a razão de semelhança entre dois triângulos semelhante é k, Determine: (a) a razão de semelhança entre os perímetros destes triângulos;

(b) a razão de semelhança entre as alturas homólogas destes triângulos;

(c) a razão de semelhança entre os raios dos círculos inscritos nestes triângulos; 3. Na gura abaixo considere |AB| = 8 u.c., |BC| = 12 u.c. e BF DE um losango

inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado deste losango.

4. Na gura abaixo o triângulo ABC é equilátero, as três retas ligando os lados AB a AC são paralelas a BC e dividem o lado AB em quatro segmentos congruentes. Se |DG| + |EH| + |F I| = 18 u.c., determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

5. Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC, conforme a gura abaixo. Seja AE um diâmetro dessa circunferência e BD a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B.

(a) Mostre que os triângulos ABE e BCD são semelhantes.

(b) Sendo |AE| = 15 u.c., |AB| = 5 u.c. e |BC| = 7 u.c., calcule a altura BD. Capítulo 12 do livro texto volume 9: 416, 418, 421, 422, 424, 430, 435, 441, 443, 444 Capítulo 13 do livro texto volume 9: 450, 455, 458, 461, 471, 472, 478, 483

Capítulo 11

Relações métricas nos triângulos

11.1 Triângulos retângulos

Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em A e AD altura deste triângulo relativa ao lado BC, conforme a gura abaixo.

Elementos: • BC • AB • AC • AD • BD • CD

T

EOREMA 11.1.2 (Teorema de Pitágoras) A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

T

EOREMA 11.1.3 (Recíproca do teorema de Pitágoras) Se num triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo.

11.2 Aplicações do teorema de Pitágoras

1. Medida da diagonal de um quadrado de lado a :

2. Medida da altura de um triângulo equilátero de lado a :

3. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Dena

• seno de α por: sin α = cateto oposto_hipotenusa • cosseno de α por: cos α = cateto adjacente_hipotenusa

• do quadrado:  sin(45◦_{) =}  cos(45◦_{) =}  tan(45◦_{) =} • do triângulo equilátero:  sin(30◦_{) =}  cos(30◦_{) =}  tan(30◦_{) =}  sin(60◦_{) =}  cos(60◦_{) =}  tan(60◦_{) =}

EXEMPLO 11.2.1 No triângulo ABC da gura abaixo tem-se que: AH é altura; DE//AB;

DF //AC; m( ˆC) = 30◦; |AC| = 6u.c.; |AB| = 5u.c. e |DH| = 3

2u.c.. Determine o perímetro do triângulo DEF.

11.3 Triângulos quaisquer

T

EOREMA 11.3.1 (Lei dos cossenos) Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produtos destes dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

T

EOREMA 11.3.2 (Lei dos senos) Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência cir-cunscrita ao triângulo.

11.4 Exercícios

1. Na Figura 11.1, determine a medida do ângulo ˆC.

2. Na Figura 11.2, o triângulo ABC é equilátero de lado 4 u.c., M é o ponto médio do lado AC e |P B| = 1 u.c.. Calcule o perímetro do triângulo AP M.

3. Na Figura 11.3, ˆA = 45◦ e |BC| = 4√2 u.c., determine o determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

4. Na Figura 11.4, AB é igual ao raio do círculo de centro O, |BC| = 26u.c. e BH é perpendicular a AC. Calcule |HC|.

Figura 11.1: Ex.2 Figura 11.2: Ex. 3 Figura 11.3: Ex. 4 Figura 11.4: Ex. 5 Capítulo 14 do livro texto volume 9: 509, 512, 516, 523, 527, 530, 534, 538, 556, 576, 598, 617, 618

Capítulo 12

Polígonos regulares

12.1 Conceitos e propriedades

DEFINIÇÃO 12.1.1 Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes e

todos os seus ângulos internos congruentes ou seja, um polígono é regular se é equilátero e equiângulo.

PROPRIEDADE 1. Dividindo-se uma circunferência λ(O, r) em n (n ≥ 3) arcos

congru-entes, temos:

(a) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, for-mam um polígono regular de n lados inscrito em λ(O, r);

(b) as tangentes a λ(O, r) traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular de n lados circunscrito a esta circunferência.

PROPRIEDADE 2. Dado um polígono convexo regular P de n lados (n ≥ 3), temos:

(a) P é inscritível numa circunferência, isto é, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.

ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM POLÍGONO REGULAR.

1. Centro:

2. Ângulo cêntrico:

3. Apótema:

12.2 Medida do lado e do apótema de polígonos regulares

Indicaremos por ln a medida do lado e por an a medida do apótema do polígono regular de

n lados.

EXEMPLO 12.2.1 Calcule o lado e o apótema do polígono regular abaixo conhecendo o raio R da circunferência circunscrita.

2. Triângulo equilátero:

3. Hexágono regular:

4. Octógono regular:

EXEMPLO 12.2.2 Calcule o apótema de um polígono regular dados R e ln.

12.3 Exercícios

1. Determine a razão entre os raios de dois círculos, sabendo que o primeiro está circun-scrito a um triângulo regular e no segundo está incircun-scrito um quadrilátero regular. Além disso, o perímetro do triângulo e do quadrilátero é o mesmo.

2. Na gura abaixo temos inscritos na circunferência, de raio 4u.c., um polígono de 5 lados e um de 10 lados e circunscrito à circunferência um de 10 lados. Sendo |AB| = 2√10− 2√5u.c. o lado do polígono de 5 lados, determine sem usar senos e cossenos de ângulos que não sejam os conhecidos:

(a) cos 72◦_;

(b) o apótema do polígono de 5 lados inscrito na circunferência; (c) o lado (BP ) do polígono de 10 lados inscrito na circunferência; (d) o apótema do polígono de 10 lados inscrito na circunferência;

(e) o lado (UV ) do polígono de 10 lados circunscrito à circunferência;

(f) a aproximação para π usando o polígono de 10 inscrito e o de 10 lados circunscrito a circunferência.

Capítulo 13

Comprimento da circunferência

13.1 Conceitos e propriedades

Seja λ(O, R) uma circunferência e considere o polígono regular A1B1C1D1· · · N1 de n

lados inscrito em λ e ABCD · · · N o polígono regular de n lados circunscrito a λ.

Na gura acima temos:

• |OP | = R = An - apótema do polígono circunscrito;

• |OP1| = r = an - apótema do polígono inscrito;

• |AB| = Ln - lado do polígono circunscrito;

• |A1B1| = ln - lado do polígono inscrito;

Logo, |AB| |A1B1| = |OP | |OP1| ⇔ Ln ln = R r ⇔ n· Ln n· ln = R r ⇔ Pn pn = R r,

onde Pn é o perímetro do polígono circunscrito e pn é o perímetro do polígono inscrito.

Como R > r, segue que,

Pn > pn.

Além disso, conforme aumenta o número de lados do polígono, temos que pn aumenta,

enquanto Pn diminui.

EXEMPLO 13.1.1 Verique que

p3 < p4 < p6 < p12< P12 < P6 < P4 < P3,

sendo pn o perímetro do polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R

DEFINIÇÃO 13.1.2 Dada uma circunferência λ(O, R), o segmento maior que o perímetro

de todos os polígonos convexos inscritos e menor que o perímetro de todos os polígonos convexos circunscritos é chamado segmento reticante da circunferência ou perímetro do círculo denido pela circunferência.

DEFINIÇÃO 13.1.3 O comprimento do segmento reticante da circunferência ou do perímetro

do círculo é chamado comprimento da circunferência. Notação: C.

OBSERVAÇÃO 13.1.4 Os perímetros dos polígonos inscritos e circunscritos em λ aproximam o comprimento da circunferência.

PROPOSIÇÃO 13.1.5 A razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número

constante representado por π, isto é,

C

2R = π.

DEMONSTRAÇÃO:Considere duas circunferências λ1(O1, R1) e λ2(O2, R2)com comprimento

C1 e C2, respectivamente. Sejam

• p1 e P1 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em

λ1(O1, R1);

• p2 e P2 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em

λ2(O2, R2).

Temos que p1 < C1 < P1 e p2 < C2 < P2, donde

p1 2R1 < C1 2R1 < P1 2R1 e p2 2R2 < C2 2R2 < P2 2R2 .

Além disso, por semelhança de triângulos temos que

p1 p2 = R1 R2 = P1 P2 . Logo, p2 2R2 < C1 2R1 < P2 2R2 . Portanto, C1 2R1 = C2 2R2 ,

ou seja, a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constante.

EXEMPLO 13.1.6 Use o perímetro de polígonos, de n lados, inscritos e circunscritos a uma circunferência de raio R para aproximar o valor de π. Considere n = 3, 4, 6, 12.

13.2 Comprimento de um arco de circunferência

O comprimento de um arco de circunferência l é proporcional à sua medida α.

• Para α em graus:

• Para α em radianos:

OBSERVAÇÃO 13.2.1 Chama-se radiano todo arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém. Assim, numa circunferência há 2π radianos e consequentemente 1 rad = 360 ◦ 2π = 180◦ π .

13.3 Exercícios

1. Uma pista circular está limitada por duas circunferências concêntricas cujos compri-mentos valem, respectivamente, 3km e 2,4km. Determine a largura da pista.

2. Determine o perímetro da região sombreada sendo ABCD um quadrado de lado 48u.c. e os arcos são centrados em A, B, C e D.

A B

C D

3. Calcule o comprimento da circunferência inscrita no trapézio retângulo ABCD com bases m(AD) = 10 e m(BC) = 15.

Capítulo 14

Áreas de superfícies planas

14.1 Equivalência plana

DEFINIÇÃO 14.1.1 Dois polígonos são equivalentes se podem ser decompostos em igual

número de polígonos dois a dois congruentes entre si. Notação: P1 ≈ P2.

EXEMPLO 14.1.2 Um retângulo de dimensões b e h e um paralelogramo com um lado medindo

b e altura relativa a este lado medindo h são equivalentes. Notação: R(b, h) ≈ P (b, h).

14.2 Área

DEFINIÇÃO 14.2.1 Área de uma superfície plana é um número real positivo associado

a superfície de forma que:

(i) superfícies equivalentes possuem a mesma área;

(ii) a uma soma de superfícies está associada uma área que é a soma das áreas das super-fícies parcelas;

(iii) se uma superfície R1 está contida em uma outra R2, então a área de R1 é menor ou

igual que a área de R2.

UNIDADE DE MEDIDA DE ÁREA. Considere o quadrado Q(1, 1) de lado 1u.c.. Este

quadrado é a unidade de medida de área, isto é, 1 u.a. = Q(1, 1).

ÁREAS DE POLÍGONOS

• Retângulo R(b, h) : A = b · h u.a.

• Quadrado Q(a, a) : A = a2 _u.a.

• Paralelogramo P (b, h) : A = b · h u.a.

• Triângulo T (b, h) : A = b· h

2 u.a.

• Triângulo Equilátero de lado a A = a2 √ 3 4 u.a. • Trapézio Tra(b1, b2, h) : A = (b1+ b2)· h 2 u.a.

• Losango L(d1, d2) sendo d1 e d2 as medidas de suas diagonais: A =

d1· d2

2 u.a.

• Polígono regular com medidas:

       n = número de lados a = medida do apótema l = medida do lado p = semiperímetro , então A = p · a u.a.

ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES

• Círculo de raio R : A = semiperímetro · apótema = 2πR

2 · R = πr

2 _u.a.

• setor circular de abertura α◦ _{: A =} παR2

360 u.a.

• Segmento circular: A = (área do setor) - (área do triângulo).

RAZÃO ENTRE ÁREAS

• Razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Suponha que △ABC ∼ △DEF

com |AB| |DE| = |AC| |DF | = |BC| |EF | = k, então A_△ABC A_△DEF = k 2_.

• Razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes. Dizemos que dois polígonos são

semelhantes se podem ser decompostos em triângulos semelhantes, consequentemente seus ângulos são ordenadamente congruentes e seus lados homólogos proporcionais. Se a proporção de semelhança entre dois polígonos for k, então a razão entre as suas áreas será k2_.

14.3 Exercícios

1. A gura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regu-lares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. Sabe-se que o lado do hexágono mede 1u.c..

(a) Determine a área dos ladrilhos que compõe a gura 1.

(b) Classique (quanto a lados e ângulos) e determine a área dos 6 ladrilhos trian-gulares colocados perfeitamente nos espaços da gura 1, como indicado na gura 2.

2. Determine a área de um octógono regular de lado medindo 4 u.c.. 3. Determine a área do triângulo abaixo.

4. Um agrimensor desejava encontrar a área de um lote de terra ABCDE, cujo diagrama está abaixo. Para determinar a área ele traçou uma reta passando por E na direção norte-sul e as retas passando por A, B, C e D na direção leste-oeste e descobriu que

|AO| = 37m, |BR| = 47m, |CQ| = 42m, |DP | = 28m, |P Q| = 13m, |QE| = 7m, |ER| = 19m e |RO| = 18m. Com esses dados, ele encontrou a área que queria.

Calcule-a, agora, você.

Leste Oeste