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matemática aplicada 01. O gráfico no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios de televisores de tela plana e alta definição, do modelo “LCD, full HD, 32 polegadas”, antes da Copa do Mundo na África do Sul e sua queda após o início. Os pontos A, A’ e C são colineares. Demonstre que o preço médio desse modelo em agosto de 2010 foi 8,3% menor, aproximadamente, que o preço médio do mesmo modelo em maio de 2010. Resolução: A equação da reta ↔AA´ é dada por y = mx + n m = ∆_∆y_x= − − 2500 2350 1 2 \ m = – 150 Þ y = – 150x + n Substituindo o ponto A, temos: 2500 = – 150 . 1 + n \ n = 2650 Þ y = – 150x + 2650 Assim, no mês de agosto o preço será: y_C = – 150 . 3 + 2650 \ y_C = 2200 Sendo p a porcentagem de redução, temos: 2400 . (1 – p) = 2200 \ p @ 8,3%

02. Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f (x) = ax + b , em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. Resolução: Para o salário-mínimo (f (x)), o coeficiente angular da reta é dado por ∆ ∆ y x = − − 510 300 5 0 = 42 . O coeficiente linear da reta é 300. Assim, f (x) = 42x + 300 Para a cesta básica (g(x)), o coeficiente angular da reta é dado por ∆ ∆ y x = − − 184 154 5 0 = 6. O coeficiente linear da reta é 154. Assim, g(x) = 6x + 154. b) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo. Resolução: Queremos: f (x) = 3 . g(x) Þ 42x + 300 = 3 . (6x + 154) 24x = 162 Þ x = 6,75 @ 7 anos Portanto, o salário será suficiente para comprar aproximadamente 3 cestas básicas no ano de 2012.

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03. a) Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia equações como x + 0,5x = 30 , por meio de uma regra de três, que chamava de “regra do falso”. Atribuía um valor falso à variável, por exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 . 10 = 15 e montava a regra de três: Valor falso Valor verdadeiro 10 x 15 30 10 15 = x30 → x = 20 Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método acima: “Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26. Qual é a quantidade? Resolução: Do enunciado temos a seguinte equação: x + x₂+2₃x _{= 26} E utilizando a regra do falso com x = 6, 6 + 3 + 4 = 13: Valor falso Valor verdadeiro 6 x 13 26 \ 6 13=26x Û x = 12 b) O matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1240), mais conhecido hoje como Fibonacci, propunha e resolvia, pela regra do falso, interessantes problemas como este: “Um leão cai em um poço de 50 1_{7 pés de profundidade.} Pé é uma unidade de medida de comprimento. Ele sobe um sétimo de um pé durante o dia e cai um nono de um pé durante a noite. Quanto tempo levará para conseguir sair do poço?” Resolva o problema pela regra do falso ou do modo que julgar mais conveniente. Observe que, quando o leão chegar a um sétimo de pé da boca do poço, no dia seguinte ele consegue sair. Resolução: Considerando que ao subir 50 pés, no próximo dia o leão sairá do poço, temos a equação: I. 1₇x-1₉x _{= 50 Û x = 1575 dias} Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço. Outra forma: Pela regra do falso e utilizando x = 63 na equação I: Valor falso Valor verdadeiro 63 x 2 50 63₂ = x Û x = 1575 dias.₅₀ Portanto, o leão levará 1576 dias para sair do poço. 04. Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, um aluno encontrou as soluções: 2 + i e 2 – i . Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0,5). Resolução: Como temos suas raízes, podemos expressar f (x) na forma f (x) = a (x – (2 + i)) . (x – (2 – i)) Þ f (x) = a . (x2 _{– 4x + 5).} Como f (0) = 5, temos: 5 = a . (02 _{– 4 . 0 + 5) Þ a = 1.} Logo f (x) = x2 _{– 4x + 5; x} V = − −( )4 2 1. = 2 e yV = f (2) = 1. Desta forma, V = (2; 1). 05. Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho? Resolução: Tempo que cada um dos trabalhadores completam a obra: 1o _{trabalhador – x dias} 2o _{trabalhador – y dias} 3o _{trabalhador – z dias}

Definindo: rendimento = trabalho_{tempo Þ R =} T_t

Quando os trabalhadores produzem em dupla, podemos somar os rendimentos: R₁ + R₂ = R_total Û T t₁+tT₂ =t_totalT Û 1 1 1 1 2 t +t =t_total Assim: 1 1 1 10 1 1 1 12 1 1 1 15 y z x z x y + = + = + =            Somando todas as equações membro a membro, temos: 2 2 2 1 10 121 151 x+y+ z= + + 2 1_x +1_y+1_z 15₆₀       = \ 1_x +1_y+1_z =₁₂₀15 \ 1_x+1_y +1_z =1₈

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de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética: 5, 10, 15, ..., 500 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um número maior que 101? Resolução: Temos a P.A. (5, 10, 15, 20, ... , 500): a_n = a₁ + (n – 1) . r 500 = 5 + (n – 1) . 5 \ n = 100 termos e uma parte dela, outra P.A. (105, 110, ... , 500): a_k = a₁ + (k – 1) . r 500 = 105 + (k – 1) . 5 \ k = 80 termos Portanto, a probabilidade será: P (a_n > 101) = ₁₀₀80 \ P (a_n > 101) = 80% b) Explique por que podemos afirmar que 101! + 19 não é um número primo. Resolução: 101! = 1 . 2 . 3 ... 19 . 20 ... 101 = 19k, isto é, múltiplo de 19. Então 101! = 19k e 101! + 19 = 19k + 19 = 19 (k + 1) que é múltiplo de 19, portanto não é um número primo.

07. O serviço de compras via internet tem aumentado cada vez mais. O gráfico ilustra a venda anual de ebooks, livros digitais, em milhões de dólares nos Estados Unidos. Suponha que as vendas anuais em US$ milhões, possa ser estimada por uma função como y = a . ekx_{, em que x = 0} representa o ano 2002, x = 1, o ano 2003, e assim por diante; e é o número de Euler. Assim, por exemplo, em 2002 a venda foi de 7 milhões de dólares. A partir de que ano a venda de livros digitais nos Estados Unidos vai superar 840 milhões de dólares? Use as seguintes aproximações para estes logaritmos neperianos: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1; ln 5 = 1,6 Resolução: Se x = 0, y = 7 \ 7 = a . ek(0) _{\ a = 7 então y = 7 . e}kx Em 2009 (x = 7), temos que: 315 = 7 . ek . 7 _{\ 45 = e}7k ln e7k _{= ln 45} 7k . ln e = ln (32 _{. 5)} 7k = 2ln 3 + ln 5 \ k = 3 8₇, Para que y > 840 devemos ter 7 . ekx _{> 840 e}kx _{> 120} ln ekx _{> ln (2}3 _{. 3 . 5) \ kx ln e > 3ln2 + ln3 + ln5} kx > 4,8 \ x > 4 8, k \ x > 4 8 3 8 7 , , \ x > 8,84, isto é, a venda irá exceder 840 milhões de dólares a partir de 2011.

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08. a) Determine o quarto termo da sequência (a₁, a₂, a₃,... a_n...) dada por: a_n = 2a_n–1 + 1 e a₁ = 1, com n > 1. Resolução: a_n = 2 . a_n–1 + 1 e a₁ = 1 a₂ = 2 . a₁ + 1 = 2 . 1 + 1 = 3 a₃ = 2 . a₂ + 1 = 2 . 3 + 1 = 7 a₄ = 2 . a₃ + 1 = 2 . 7 + 1 = 15 \ a₄ = 15 b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1a _{Somente um anel pode ser movido de cada vez.} 2a _{Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.} Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos. Resolução: 1 2 3 4 5 6 7

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torre de n anéis, n > 1, satisfaz a relação:

a_n + 1 = 2 (a_n–1 + 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis?

Resolução:

Como a menor quantidade de movimentos a_n para transferir uma torre de n_discos satisfaz a relação:

a_n + 1 = 2 . (a_n–1 + 1) a_n + 1 = 2 a_n–1 + 2 a_n = 2 a_n–1 + 1 (I) E como o menor número de movimentos para transferir uma torre com um único disco é 1, temos: a₁ = 1 (II) Por (I) e (II) temos que o menor número de movimentos segue a sequência apresentada no item a. Portanto, a₄ = 15 e, a partir daí: a₅ = 2 . 15 + 1 = 31 a₆ = 2 . 31 + 1 = 63 Þ 63 movimentos 09. a) Demonstre que as duas equações abaixo são identidades. 1a _{(x + y)}2 _{– 2xy = x}2 _{+ y}2

2a _{(x + y) . [(x + y)}2 _{– 3xy] = x}3 _{+ y}3

Resolução:

1a _{(x + y)}2 _{– 2xy = x}2 _{+ 2xy + y}2 _{– 2xy = x}2 _{+ y}2

2a _{(x + y) . [(x + y)}2 _{– 3xy] = (x + y) . (x}2 _{+ 2xy + y}2 _{– 3xy)}

= (x + y) . (x2 _{– xy + y}2_{) = x}3 _{– x}2_{y + xy}2 ₊

+ x2_{y – xy}2 _{+ y}3 _{= x}3 _{+ y}3

b) Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de um aritmético muito falante, propôs-lhe o seguinte problema: “Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada mão, os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do que tenho em cada mão, a soma disso tudo é o número 194. Quantas moedas tenho em cada mão?” Mesmo que você resolva o problema por substituição e tentativa, faça o que é pedido no item C. Resolução: Temos: x: número de moedas em uma das mãos. 8 – x: número de moedas na outra mão. Assim x + 8 – x + x2 _{+ (8 – x)}2 _{+ x}3 _{+ (8 – x)}3 _{= 194} 8 + (x + 8 – x)2 _{– 2 . x (8 – x) + (x + 8 – x) . [(x + 8 – x)}2 _– – 3 . x (8 – x)] = 194 8 + 64 – 16 x + 2x2 _{+ 8 . (64 – 24 x + 3x}2_{) = 194} 72 – 16 x + 2 x2 _{+ 512 – 192 x + 24 x}2 _{= 194} 26 x2 _{– 208 x + 390 = 0 Þ x}2 _{– 8x + 15 = 0} x = 3 ou x = 5

Logo, ele tem 3 moedas em uma mão e 5 moedas na outra

mão.

c) Expresse o problema mediante um sistema de duas equações com duas variáveis.

Resolva o sistema de equações usando, se julgar conveniente, as identidades do item A. Resolução: Sendo x: número de moedas em uma das mãos y: número de moedas na outra mão temos: x + y = 8

(x + y) + (x2 _{+ y}2_{) + (x}3 _{+ y}3_{) = 194}

x + y = 8

(x + y) + (x + y)2 _{– 2 xy + (x + y) [(x + y)}2 _{– 3xy] = 194}

x + y = 8 8 + 82 _{– 2x . (8 – x) + 8 . (8}2 _{– 3x . (8 – x)) = 194} x + y = 8 x2 _{– 8x + 15 = 0} x + y = 8 x = 3 ou x = 5 x = 3 e y = 5 ou x = 5 e y = 3 S = {(3; 5), (5; 3)}

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10.

a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i , –3 e –6i, respectivamente.

b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’ que se obtém girando 90º o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário?

c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B’? Resolução: a) A figura acima, consolida que: AC = 6 e BD = 12 Assim, a área do losango ABCD é dada por AC BD. . 2 =6 122 = 36 b) Ao rotacionarmos o losango ABCD de 90º no sentido anti-horário, obtemos o losango A'B'C'D', cujas coordenadas são A' (0; 3), B' (–6; 0), C' (0;–3) e D' (6;0) ou seja, são os afixos dos números complexos 3i, –6, –3i e 6. c) Sendo z = x + yi o número complexo procurado, temos: z . 6 i = –6 Þ (x + yi) . 6 i = – 6 Þ –6 y + 6 xi = –6 Þ 6x = 0 _Þ x = 0 _{\ z = i} –6y = – 6 y = 1 A (3;0) C (–3;0) 0 C' A' D' x B (0;6) y B' D (0;–6)