Introdução à Probabilidade
Prof. Diana Patricia
Introdução à Probabilidade
“A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em
determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos
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Definição
Trata-se do ramo da matemática que cria, desenvolve e
em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para o estudo de experimentos ou fenômenos
aleatórios.
A probabilidade P, de um evento A foi definida assim:
Se A pode ocorrer de s maneiras diferentes entre um total de n maneiras igualmente prováveis, então:
s
A
P
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Exemplo
No lançamento de um dado, um número par pode ocorrer
de 3 maneiras diferentes entre 6 “igualmente prováveis”, portanto:
Um experimento é determinístico quando repetido em
condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos.
Os experimentos que repetidos sob as mesmas
condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados aleatórios.
2
1
6
3
P
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Espaço amostral e eventos
Espaço amostral é o conjunto S de todos os resultados
possíveis de um experimento.
Um elemento de S é chamado de ponto amostral. Um evento A é um conjunto de resultados. Portanto,
trata-se de um subconjunto do espaço amostral.
Quando o evento {a} consiste de um único ponto
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Probabilidades e operações com conjuntos
A definição de probabilidade como quociente do número
de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis” foi a primeira definição formal de
probabilidade.
Apesar de ter sido retomada por Laplace, apareceu pela
primeira vez na obra Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano (*1501-†1576).
Tomaremos a probabilidade também como definição de
uma função de conjunto, explicitando qual é o conjunto de possíveis resultados de um experimento e calculando o número de elementos nele contidos.
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Probabilidades e operações com conjuntos
Este conjunto será chamado de espaço Amostral e os
subconjuntos do espaço amostral serão chamados de eventos.
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Operações com conjuntos
Podemos combinar eventos usando as várias operações
permitida na teoria dos conjuntos.
A B, significa que o evento união ocorre se e somente se
ocorre A ou ocorre B ou ambos;
A B, significa que o evento intersecção ocorre se e
somente se ocorrem A e B;
Ac, significa que o complemento de A ocorre se e somente
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Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B, são ditos mutuamente exclusivos se
são disjuntos, A B=Ø.
Exemplos
Considere o experimento: Lançar o dado e observar o
número que aparece na face superior. Então, o espaço amostral consiste dos seis números possíveis:
S={1,2,3,4,5,6}
Seja A o evento: “ocorrer n.º par”;
B, o evento: “ocorrer número ímpar” e C, o evento: “ocorrer n.º primo”;
Então:
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Então:
B C = {3,5} é o evento: “ocorrer um n.º primo ímpar”;
Cc={1,4,6} é o evento: “não ocorre número primo”.
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Tipos de espaços amostrais
Os espaços amostrais, quanto ao número de elementos,
podem ser finitos ou infinitos.
Exemplos
Na experiência aleatória que consiste no lançamento de
uma moeda, o espaço amostral contém resultados de natureza qualitativa: S = {c,k} onde, c=cara e k=coroa
Na experiência que consiste na contagem do n.º de
pedidos de informação recebido pela portaria de uma repartição pública, o espaço contém resultados de natureza quantitativa:
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Tipos de espaços amostrais
Uma experiência aleatória é dita uniforme, quando todos
os elementos do espaço amostral são equiprováveis (têm a mesma possibilidade de se realizarem).
Exemplo intuitivo
Consideremos um grupo de máquinas de uma fábrica
operada de uma certa forma, tendo uma determinada capacidade de produção. Vamos caracterizar a qualidade do produto manufaturado por essas máquinas com um critério pré-estabelecido para se decidir se a peça
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Exemplo intuitivo - continuação
Tomemos pois 6 amostras de peças produzidas pelas
máquinas, sendo cada amostra constituída de 25 peças; após a análise de qualidade, contemos as peças
defeituosas e calculemos a porcentagem de peças defeituosas para cada amostra.
Repitamos a experiência, mas aumentando o tamanho da
amostra para 250 peças inicialmente e depois para 2.500 peças.
Suponhamos que tenhamos encontrado os valores
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N.º de peças tomadas para amostra (n)
N=25 N=250 N=2.500 D %D D %D D %D 4 16 12 4,8 157 6,28 1 4 14 5,6 151 6,08 0 0 22 8,8 136 5,44 2 8 15 6,0 160 6,40 1 4 8 3,2 153 6,12 0 0 15 6,0 157 6,28
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Exemplo intuitivo
As quantidades de peças defeituosas constituem as
freqüências absolutas e as porcentagens de peças defeituosas constituem as freqüências relativas.
Quando o tamanho da amostra é pequeno, a freqüência
relativa apresenta oscilações irregulares;
Quando o tamanho da amostra aumenta, as oscilações
tendem a ser menores e se concentram em torno de um valor constante;
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Exemplo intuitivo
Para amostras suficientemente grandes as freqüências
relativas pouco diferem entre si. É o que chamamos
regularidade estatística dos resultados.
O valor hipotético fixo no qual tende a haver uma
estabilização da freqüência relativa, denomina-se probabilidade.
A freqüência relativa é considerada uma medição
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Probabilidade
Onde:
P(E) = probabilidade de ocorrer o evento E; f
E = freqüência absoluta do evento E; n = tamanho da amostra.
n
f
E
P
E n lim
)
(
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Axiomas de probabilidade
Sejam S um espaço amostral, a classe de eventos e P
uma função de valor real definida em . Então P é chamada de função de probabilidade e P(A), de
probabilidade do evento A, se os seguintes axiomas valem:
[A1] Para todo evento A, 0 P(A) 1;
[A2] P(S) = 1;
[A3] Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (A B)=, então:
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Alguns fatos que se seguem dos axiomas:
Se Ø é o conjunto vazio, então P(Ø)=0;
Se Ac é o complemento de um evento A, então P(Ac
)=1-P(A);
Prova
O espaço amostral S pode ser decomposto nos eventos
mutuamente exclusivos A e Ac; ou seja, S=A Ac.
Por [A2] e [A3], obtemos:
1= P(S)=P(A Ac)=P(A) + P(Ac)
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Alguns fatos que se seguem dos axiomas:
Se A B, então P(A) P(B);
Prova
Se A B, então B pode ser decomposto nos eventos
mutuamente exclusivos A e B\A.
P(B)=P(A)+P(B\A)
Segue então, que:
Se P(B\A) = 0 => P(A)=P(B);
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Alguns fatos que se seguem dos axiomas:
Se A e B são eventos quaisquer, então P(A\B) = P(A) - P(A
B);
Prova
Se A pode ser decomposto nos eventos mutuamente
exclusivos A\B e A B; ou seja:
A=(A\B) (A B);
Segue então, pelo axioma A3 que:
P(A) = P(A\B)+P(A B) => P(A)- P(A B) = P(A\B).
A B
A B A \ B
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Alguns fatos que se seguem dos axiomas:
Se A e B são eventos quaisquer, então P(AB) =
P(A)+P(B)-P(AB);
Prova
Se A e B podem ser decompostos nos eventos mutuamente
exclusivos A\B e B; ou seja:
AB=(A\B)B;
Segue então, pelo axioma A3 que:
P(AB) = P(A\B)+P(B)
P(A) - P(AB) + P(B) P(A)+ P(B) - P(AB)
A B
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Alguns fatos que se seguem dos axiomas:
É possível estender o resultado acima para casos em que o
número de eventos é maior que 2.
P(AB C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A B) – P(A C) - P(B C) + P(A B C)
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Exemplos
Exemplo-1) Selecione aleatoriamente uma carta de um
baralho comum de 52 cartas.Seja A={a carta é uma espada} e B={a carta é uma figura, isto é, valete, dama ou rei}.
Como estamos considerando que o espaço é
equiprovável, ao calcular P(A), P(B) e P(A B), teremos:
4 1 52 13 .º .º ) ( cartas n espadas n A P 13 3 52 12 .º .º ) ( cartas n figuras n B P
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Exemplos
Exemplo-2) Considere o espaço amostral
S={1,2,3,...}de um experimento de lançamento de uma moeda até que apareça uma cara:
O espaço amostral constitui os n lançamentos feitos;
A probabilidade é dada em função de n:
n P P P P 1 ) ( ... 8 1 ) 3 ( 4 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 (
Referências bibliográficas
BUSSAB,W.O.; MORETIN, P.A. Estatística básica. 2.ed. São
Paulo: Atual, 1987. 321 p.
LIMA, E. Temas e Problemas Elementares. 2.ed. São Paulo:
SBM, 2006. Col. Professor de Matemática.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidades. São Paulo: McGraw-Hill do
Brasil, 1986. 261 p.
GUERRA, M. j.; Donaire, D. Estatística Indutiva: teoria e
aplicações. 2.ed. São Paulo: LTC, 1982. 299 p.
MORGADO, A. C. de O. Análise Combinatória e
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de Matemática.
